2018版高考数学理科(全国通用)总复习：中档大题规范练2含解析

2.数 列
1.(2017·原创押题预测卷)已知S n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *. (1)若{a n }是等差数列，且S 1＝5，S 2＝18，求a n ； (2)若{a n }是等比数列，且S 1＝3，S 2＝15，求S n .
解 (1)设{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1＝5，S 2＝2a 1＋a 2＝10＋a 2＝18， 所以a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝3，a n ＝5＋3(n －1)＝3n ＋2.
(2)设{a n }的公比为q ，则S 1＝a 1＝3，S 2＝2a 1＋a 2＝6＋a 2＝15， 所以a 2＝9，q ＝a 2
a 1
＝3，a n ＝3×3n －1＝3n ，
所以S n ＝n ×3＋(n －1)×32＋…＋2×3n －1＋3n ， ① 3S n ＝n ×32＋(n －1)×33＋…＋2×3n ＋3n ＋1，
②
②－①，得2S n ＝－3n ＋(32＋33＋…＋3n )＋3n ＋1
＝－3n ＋32(1－3n －1)1－3＋3n ＋1＝－3n －92＋3n ＋12＋3n ＋1＝3n ＋2－6n －92，
所以S n ＝3n ＋2－6n －9
4
.
2.(2017届黑龙江虎林一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若q>0且b 3＝a 5，T 3＝13，求T n ； (3)设c n ＝
1
a n a n ＋1
，求数列{c n }的前n 项和S n . 解
(1)⎩
⎨⎧
a 3
＝a 1
＋2d ＝5，S 3
＝3a 1
＋3×2
2d ＝9，
解得⎩⎨
⎧
a 1＝1，
d ＝2，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.
(2)由题意可知，b 3＝a 5＝9，T 3＝13，所以公比q ＝3， 从而b 1＝1，
所以T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－3n )1－3＝12
(3n
－1).
(3)由(1)知，a n ＝2n －1. 所以c n ＝
1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝
⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.
3.(2017·广东七校联考)设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝n (n －1)
2
，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项之和为S n .若对任意的n ∈N *，总有S n
＋1
>S n ，求实数λ的取值范围.
解 (1)由log 2T n ＝n (n －1)2
，n ∈N *
，得T n ＝(1)
22n n -，
所以T n －1＝(1)(2)
2
2
n n --(n ∈N *，n ≥2)，
所以a n ＝T n T n －1
＝(1)(1)(1)(2)
2
22
(1)(2)2
222n n n n n n n n -------=＝2n －1，n ∈N *，n ≥2.
又a 1＝T 1＝20＝1，所以a n ＝2
n －1
，n ∈N *
.
(2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1－1， 得S n ＝λ·1－2n 1－2－n ＝()2n
－1λ－n ，
所以S n ＋1>S n ⇔()2
n ＋1
－1λ－()n ＋1>()2n －1λ－n ⇔2n λ>1⇔λ>1
2
n ，
因为对任意的n ∈N *，12n ≤1
2，
故所求的λ的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞.
4.(2017·湖北黄冈质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n ，n)，b ＝(9n －7，2)，且a 与b 共线. (1)求数列{}a n 的通项公式；
(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和T m .
解 (1)a 与b 共线，S n ＝n (9n －7)2＝92n 2－7
2
n ，a 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝9n －8，n ≥2， 所以a n ＝9n －8，n ∈N *.
(2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ， 则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1. 故得b m ＝92m －1－9m －1. 于是T m ＝b 1＋b 2＋…＋b m
＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9(1－81m )1－81－1－9m 1－9＝9×92m ＋1－10×9m
80
.
5.(2017·原创押题预测卷)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·3n
3n －1(n ≥1，n ∈N *).
(1)求a 1，a 2，a 3的值；
(2)求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立. (1)解 将n ＝1，2，3代入可得a 1＝32，a 2＝94，a 3＝8126.
(2)证明 由a n ＝n ·3n 3n －1＝n
1－1
3n
(n ≥1，n ∈N *)可得
a 1·a 2·…·a n ＝
n ！
⎝
⎛
⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－13n ，因此欲证明不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立，
只需要证明对任意非零自然数n ，不等式⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＞12恒成立即可，
显然左端每个因式都为正数，因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1
3
2＋…＋13n ＝1－13⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－12⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－13n ＞1－12＝12
.
故只需证明对每个非零自然数，不等式⎝
⎛
⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≥1－。