线性代数二次型习题及问题详解
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第六章 二次型
1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1
2A ⎛⎫ ⎪⎝
⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T
1111=B C A C ，
因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T
2222=B C A C .
令 12⎛⎫
=
⎪⎝⎭
C C C ，则C 可逆，于是有 T
T 1111111
T
2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B B 合同.
2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称
证：由A 对称，故T
=A A .
因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T
=B C AC ，于是
T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B
即B 为对称矩阵.
3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使
BP P AP P T T 与均为对角阵.
证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使
E AM M =T
记T
1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使
T 11diag(,,)n D μμ==Q B Q L
T 11,,.
n μμ=B M BM L 其中为的特征值
令P=MQ ，则有
D BP P
E AP P ==T T ,
,A B 同时合同对角阵.
4．设二次型211
1
()m
i in n i f a
x a x ==
++∑L ，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .
证：方法一 将二次型f 写成如下形式：
2111
()m
i ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L
设A i = 1(,,,,)i ij in a a a L L ),,1(m i Λ=
则 1111111j n i ij in i m mj mj m a a a a a a a
a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L M
M M M L
L M M M M L
L
A A A A 于是 1T T T T
T 11
(,,,,)m
i m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑M L L M A A A A A A A A A A
故 2111()m
i ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L =12
11
[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑M L L M
=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑M M L L L L M M =1T
11(,,)()m
j n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑M L L M A A
=X T
(A T
A )X
因为A A T
为对称矩阵，所以A A T
就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然
r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．
方法二 设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=L L . 记T
1(,,)m y y =Y L ，于是
=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X L ，则
222
T T T 11()m
i m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X L .
因为A A T 为对称矩阵，所以A A T
就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然
r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．
5．设A 为实对称可逆阵，T
f x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规形.
证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且
0,1,,i i n λ≠=L .
因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，
即
T T T T T
1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y L L 222
11i i n n y y y λλλ=++++L L （*）
因为A 是正交矩阵，显然T
1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP L L 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故2
1i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规形.
⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规形，于是
T T
()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---L L T =Y DY
其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D L L .
显然D 是正交矩阵，由T
=D Q AQ ，故T
=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A 是正交矩阵.
6．设A 为实对称阵，||0 0<ξAξ. 证：方法一 因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使 T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D L L 其中(1,,)i i n λ=L 是A 的特征值，由||0 取010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ξP M M ，则有 T T 0(0,,1,,0)10⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭ ξAξP AP M L L M 1(0,,1,0,0)k n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O L L O 010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ M M 0k λ=< 方法二（反证法） 若∀≠X 0，都有T 0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与