2015-2016年浙江省宁波市余姚三中高二(上)期中数学试卷和答案
浙江省宁波市余姚中学2016届高三上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列说法正确的是（）A．若命题p，¬q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题B．命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0则x≠0或y≠0”C．命题“∀x∈R,2x＞0"的否定是“∃x0∈R,2≤0”D．“x=﹣1"是“x2﹣5x﹣6=0"的必要不充分条件2．已知函数f（x)=Asin（ωx+φ)( A≠0，ω＞0，）在时取得最大值,且它的最小正周期为π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）在上是减函数C．f(x）的一个对称中心是D．f（x)的图象的一条对称轴是x=3．已知数列{a n}满足：a n=,且S n=，则n的值为（)A．8 B．9 C．10 D．114．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中,真命题的序号为(）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③B．②③C．②④D．①④5．已知函数f（x）=﹣kx2（k∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＜1 C．0＜k＜1 D．k＞16．若直线+=1通过点M(cosα，sinα),则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．7．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2C．D．8．设a＜0，（3x2+a)（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立,则b﹣a的最大值为(）A．B．C．D．二、填空题（每题5分,满分35分，将答案填在答题纸上）9．设全集为R，集合M={x∈R|x2﹣4x+3＞0｝，集合N=｛x∈R|log2x＜1}，则M∪N=；M∩N=；∁R（M∩N)=．10．已知曲线+=1，当曲线表示圆时k的取值是，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是，当曲线表示双曲线时k的取值范围是．11．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．则该几何体的表面积是；体积是．12．已知实数x，y，实数a＞1，b＞1，且a x=b y=2，（1)若ab=4，则+=;(2）a2+b=8，则+的最大值是．13．已知向量，的夹角60°，｜|=2，|｜=2，=λ+μ，若λ+μ=2,则|｜的最小值是，此时，夹角大小为．14．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是［a，b］，则a+b=．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内,则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(整理版)余姚高二数学期中试卷(理科)
余姚高二数学期中试卷〔理科〕第 一 学 期一．选择题〔共10题，每题5分〕： 1．圆()1122=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是〔 〕 A ．21 Ｂ．23 Ｃ．１ Ｄ．3 ２．两条直线0,0222111=++=++C y B x A C y B x A 垂直的充要条件是〔 〕 A ．02121=+B B A A Ｂ．02121=-B B A A Ｃ．121-=A AＤ．121=BB ３．一个棱锥的三视图如下图，那么该棱锥的全面积〔单位2cm 〕为〔 〕A．21248+ Ｂ．22448+ Ｃ．21236+ Ｄ．22436+４．在棱长为２的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，F E 、分别是AD CC 、1的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值为〔 〕A ．510 Ｂ．515Ｃ．54 Ｄ．32〔第3题图〕6666ABCDA 1B 1C 1D 1OFE〔第4题图〕５．对于平面α和共面的直线n m 、A ．假设α⊥m ，n m ⊥，那么α//n Ｂ．假设α//m ，α//n ，那么n m // Ｃ．假设α⊂m ，α//n ，那么n m // Ｄ．假设n m 、与α所成角相等，那么n m // ６．平面内到两定点的距离之比为１:２的动点的轨迹是〔 〕 A ．线段 Ｂ．直线 Ｃ．圆 Ｄ．椭圆７．直线l 方程为()0,=y x f ，点),(111y x P 、),(222y x P 分别在l 上和l 外，那么方程()()()0,,,2211=--y x f y x f y x f 表示〔 〕A ．过点1P 且与l 垂直的直线 Ｂ．与l 重合的直线 Ｃ．过点2P 且与l 平行的直线 Ｄ．不过点2P ，但与l 平行的直线 8．多面体ABCDEF 中，面ABCD 是边长为3的正方形，AB EF //,23=EF ,EF 与面AC 的距离为2，那么该多面体的体积为〔 〕A ．29 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．2159．假设直线1=+by a x 与圆122=+y x 有公共点，那么〔 〕A ．122≤+b a Ｂ．122≥+b a Ｃ．11122≤+b a Ｄ．11122≥+ba①设l 、m 位直线，α为平面，假设直线m l //，且α⊂m ，那么α//l ； ②假设一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； ③设n m 、是一对异面直线，那么存在平面α，使α⊂m 且α//n ； ④假设一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的平面角相等或互补．A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 二．填空题〔共7题，每题4分〕：11．1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A 、两点，假设1222=+B F A F ，那么=AB _________．12．正方体1111D C B A ABCD -中，直线B A 1与平面CD B A 11所成的角为_________． 13．集合{}0103|2≤--=x x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，假设B 是A 的充分条件，那么m 的取值范围是_________．ABCDE F(第8题图)14．球O 的面上四点D C B A 、、、，⊥DA 平面ABC ，BC AB ⊥，3===BC AB DA ，那么球O 的体积为_________．15．直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，那么b 的取值范围是_________．16．正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长和侧棱长都为2，过底面上一边AB 作平面α，使α与底面ABC 成︒60的二面角，那么正三棱柱被平面α截得的截面面积为_________．17．过点()3,2P 作圆122=+y x 的两条切线PB PA 、，B A 、为切点，那么直线AB 的方程为_________．三．解答题〔共5大题，共72分〕：18．〔14分〕在△ABC 中，()2,5-A ，()3,7B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上．求： 〔1〕顶点C 的坐标； 〔2〕直线MN 的方程．19．〔14分〕0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减；Q ：不等式12>-+c x x 的解集为R ．假设P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．20．〔14分〕某几何体的一棱长为7，它在正视图中的射影长为6，它在侧视图、俯视图中的投影分别为a 、b ．联想长方体…… 〔1〕求22b a +的值；〔2〕求b a +的最大值． 21．〔15分〕在四棱锥ABCD P -中，△PBC 为正三角形，⊥AB 平面PBC ，CD AB //，DC AB 21=，BC DC 3=，E 为PD 中点．〔1〕求证：直线//AE 平面PBC ；〔2〕求证：平面⊥APD 平面PDC ；〔3〕求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小． 22．〔15分〕设二次函数()m x x x f ++=22的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ． 〔1〕求实数m 的取值范围；〔2〕求圆C 的方程．问圆C 是否经过定点？假设有，求出定点的坐标，并证明你的结论．ABCD(第14题图)A DB CEP(第21题图)。
2015-2016年浙江省宁波三中高二上学期期中数学试卷及参考答案
2015-2016学年浙江省宁波三中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．2．（5分）直线2x﹣my+1﹣3m=0，当m变动时，所有直线都通过定点（）A．（，3）B．（，3）C．（，﹣3）D．（﹣，﹣3）3．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．4．（5分）不等式（x﹣2y+1）（x+y﹣3）≤0表示的平面区域是（）A．B．C．D．5．（5分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β6．（5分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知点A（﹣1，0），B（cosα，sinα），且|AB|=，则直线AB的方程为（）A．y=x+或y=﹣x﹣B．y=x+或y=﹣x﹣C．y=x+1或y=﹣x﹣1 D．y=x+或y=﹣x﹣8．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可知此几何体的表面积是（）A．24 B．C．6+2+2D．24+8+89．（5分）已知直线l过点P（3，4）且与点A（﹣2，2），B（4，﹣2）等距离，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣18=0B．2x﹣y﹣2=0C．3x﹣2y+18=0或x+2y+2=0 D．2x+3y﹣18=0或2x﹣y﹣2=010．（5分）已知曲线﹣=1与直线y=2x+m有两个交点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B．（﹣4，4）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，3）二、填空题（每题4分，共28分）11．（4分）若两平行直线3x﹣2y﹣1=0，6x+ay+c=0之间的距离为，则c 的值为．12．（4分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是．13．（4分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有条．14．（4分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，则异面直线BD1与AC所成角的余弦值为．15．（4分）若直线l1：4x+y﹣4=0，l2：mx+y=0，l3：2x﹣3my﹣4=0不能构成三角形，则实数m的值是：．16．（4分）已知0＜k＜4，直线l 1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．17．（4分）如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE ⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是．三、解答题（本题共72分）18．（15分）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试确定m，n的值，使其分别满足如下条件：（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1；（3）l1与l2相交于点P（m，﹣1）．19．（14分）若变量x，y满足约束条件，（1）求目标函数z=的最大值和最小值；（2）若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，求a的取值范围．20．（14分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA=，E为BC的中点，F是侧棱PD上的一动点．（1）证明：AC⊥BF；（2）当直线PE∥平面ACF时，求三棱锥F﹣ACD的体积．21．（14分）如图所示，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P （1，0）作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=x上时，求直线AB的方程．22．（15分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD 为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．（1）求证：PQ∥平面SCD；（2）求证：；CD⊥SA（3）若SA=SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．2015-2016学年浙江省宁波三中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=故选：D．2．（5分）直线2x﹣my+1﹣3m=0，当m变动时，所有直线都通过定点（）A．（，3）B．（，3）C．（，﹣3）D．（﹣，﹣3）【解答】解：直线2x﹣my+1﹣3m=0，化为2x+1﹣m（y+3）=0，令，解得x=﹣，y=﹣3．当m变动时，所有直线都通过定点．故选：D．3．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示；则原来的平面图形上底是1，下底是1+，高是2，∴它的面积是×（1+1+）×2=2+．故选：D．4．（5分）不等式（x﹣2y+1）（x+y﹣3）≤0表示的平面区域是（）A．B．C．D．【解答】解：不等式（x﹣2y+1）（x+y﹣3）≤0等价于或者，由二元一次不等式与区域的判断规则知，就选C故选：C．5．（5分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β【解答】解：对于A，α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故A也不一定成立；对于B，由线面垂直的判定，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则线面垂直，而选项B中，只有m⊥n，则n⊥α，显然不成立；对于C，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥β，则m⊥α，结论成立；对于D，同由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有m⊥n，不能得到m⊥β或n⊥α，故不正确．故选：C．6．（5分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为：1，所以正方体的表面积为：S2=6；正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，所以球的表面积为：S1==3π．所以==．故选：D．7．（5分）已知点A（﹣1，0），B（cosα，sinα），且|AB|=，则直线AB的方程为（）A．y=x+或y=﹣x﹣B．y=x+或y=﹣x﹣C．y=x+1或y=﹣x﹣1 D．y=x+或y=﹣x﹣【解答】解：因为点A（﹣1，0），B（cosα，sinα），且|AB|=，所以（cosα+1）2+sin2α=3，所以2cosα=1，cos，sin，所以K AB==±，所以直线AB的方程：y=（x+1）．即y=x+或y=﹣x﹣．故选：B．8．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可知此几何体的表面积是（）A．24 B．C．6+2+2D．24+8+8【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是直四棱锥，如图所示；根据图中的数据，底面ABCD是边长为4的正方形，其面积为42=16；且侧面PAB⊥底面ABCD，又侧面PAB是等腰三角形，且高为4，其面积为×4×4=8；△PBC与△PAD的面积相等，为×4×=4；△PCD的面积为×4×=8；所以该几何体的表面积是16+8+4×2+8=24+8+8．故选：D．9．（5分）已知直线l过点P（3，4）且与点A（﹣2，2），B（4，﹣2）等距离，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣18=0B．2x﹣y﹣2=0C．3x﹣2y+18=0或x+2y+2=0 D．2x+3y﹣18=0或2x﹣y﹣2=0【解答】解：设所求的直线方程为y﹣4=k（x﹣3）即kx﹣y+4﹣3k=0由已知及点到直线的距离公式可得，∴|5k﹣2|=|k+6|∴5k﹣2=k+6或5k﹣2=﹣k﹣6∴k=2或k=﹣∴所求的直线方程为2x﹣y﹣2=0或2x+3y﹣18=0故选：D．10．（5分）已知曲线﹣=1与直线y=2x+m有两个交点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B．（﹣4，4）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，3）【解答】解：作出曲线﹣=1对应的图象如图所示：由图象可知直线y=2x+m经过点A（﹣2，0）时，直线和曲线有一个交点，此时﹣4+m=0，即m=4，此时要使两曲线有两个交点，则m＞4，直线y=2x+m经过点B（2，0）时，直线和曲线有一个交点，当直线经过点B时，4+m=0，即m=﹣4，此时要使两曲线有两个交点，则m＜﹣4，综上，m的取值范围是m＞4或m＜﹣4．故选：A．二、填空题（每题4分，共28分）11．（4分）若两平行直线3x﹣2y﹣1=0，6x+ay+c=0之间的距离为，则c 的值为2或﹣6．【解答】解：由题意得，=≠，∴a=﹣4，c≠﹣2，则6x+ay+c=0可化为3x﹣2y+=0，由两平行线间的距离公式，得=，即|+1|=2解得c=2或﹣6，故答案为：2或﹣6．12．（4分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是24．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知当直线经过点A（8，0）时，目标函数取最小值b=﹣8，当直线经过点B（4，4）时，目标函数取最大值a=16，∴a﹣b=16﹣（﹣8）=24故答案为：2413．（4分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条．【解答】解：如下图示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有：DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条．故答案为：614．（4分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，则异面直线BD1与AC所成角的余弦值为．【解答】解：建立如图坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，∴D1（0，0，5），B（3，4，0），A（3，0，0），C（0，4，0），∴=（﹣3，﹣4，5），=（﹣3，4，0）．∴cos＜，＞==﹣．∴AC与BD1所成角的余弦值．故答案为：．15．（4分）若直线l1：4x+y﹣4=0，l2：mx+y=0，l3：2x﹣3my﹣4=0不能构成三角形，则实数m的值是：4、或﹣、或﹣1、或．【解答】解：①当直线l1：4x+y﹣4=0 平行于l2：mx+y=0时，m=4．②当直线l1：4x+y﹣4=0 平行于l3：2x﹣3my﹣4=0时，m=﹣，③当l2：mx+y=0 平行于l3：2x﹣3my﹣4=0时，﹣m=，m 无解．④当三条直线经过同一个点时，把直线l1 与l2的交点（，）代入l3：2x ﹣3my﹣4=0得﹣3m×﹣4=0，解得m=﹣1或，综上，满足条件的m为4、或﹣、或﹣1、或，故答案为：4、或﹣、或﹣1、或．16．（4分）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．【解答】解：如图所示：直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y 轴的交点C（0，4﹣k），直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即2x﹣4+k2（y﹣4）=0，过定点（2，4 ），与x 轴的交点A（2 k2+2，0），由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+=4k2﹣k+8，∴k=时，所求四边形的面积最小，故答案为．17．（4分）如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE ⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是①②④．【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC．又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．∵AE⊂平面PAC．∴BC⊥AE．因此①正确．④由①可知：AE⊥BC，又∵AE⊥PC，PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC．因此④正确．②由④可知：AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB．又∵AF⊥PB，AE∩AF=A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF．因此②正确．③AF⊥BC不正确；用反证法证明：假设AF⊥BC，又AF⊥PB，PB∩BC=B．∴AF⊥平面PBC．这与AE⊥平面PBC相矛盾．因此假设不成立．故③不正确．综上可知：只有①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本题共72分）18．（15分）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试确定m，n的值，使其分别满足如下条件：（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1；（3）l1与l2相交于点P（m，﹣1）．【解答】解：（1）∵直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0平行，∴，解得：m=4，n≠﹣2或m=﹣4，n≠2．（2）m=0时，两条直线方程分别化为：l1：8y+n=0，2x﹣1=0，此时两条直线相互垂直．对于直线l1，令y=﹣1，解得n=8．∴m=0，n=8．m≠0时，由于两条直线相互垂直可得：×=﹣1，无解，舍去．综上可得：m=0，n=8．（3）把x=m，y=﹣1分别代入两条直线方程可得：m2﹣8+n=0，2m﹣m﹣1=0，解得m=1，n=7．19．（14分）若变量x，y满足约束条件，（1）求目标函数z=的最大值和最小值；（2）若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，求a的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，（1）z=的几何意义为可行域内的动点到原点的距离，联立，解得C（3，4），∴|OC|=5，又O到直线x+y=1的距离d=，∴；（2）∵直线x+y=1的斜率为﹣1，直线2x﹣y=2的斜率为2，∴要使目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则，解得﹣4＜a＜2．∴a的取值范围为a∈（﹣4，2）．20．（14分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA=，E为BC的中点，F是侧棱PD上的一动点．（1）证明：AC⊥BF；（2）当直线PE∥平面ACF时，求三棱锥F﹣ACD的体积．【解答】解：（1）连接BD，设AC∩BD=0，连接PO，则PO⊥面ABCD，∴AC⊥PO，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，BD∩OP=O∴AC⊥面PBD，∴AC⊥BF，（2）连接DE交AC于G点，连接FG，∵PE∥平面ACF，∴PE∥FG∴=，又CE==，BC∥AD∴==，∴=，过F作FH⊥DB垂足为H则FH∥OP∴==，∴FH=OP==S△ACD•FH=×=．∴v F﹣ACD21．（14分）如图所示，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P （1，0）作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=x上时，求直线AB的方程．【解答】解：因为射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，所以OA、OB所在的直线方程分别是：x﹣y=0，x+y=0，①当直线AB的斜率不存在时，则AB的方程为x=1，易知A（1，1），B（1，），所以AB的中点C显然不在直线y=x上，不满足条件；②当直线AB的斜率存在时，记为k，易知k≠0且k≠1，则直线AB的方程为y=k（x﹣1），分别联立，，解得A（，），B（，），所以AB的中点C的坐标是（，），因为AB的中点C恰好落在直线y=x上，所以=×，解得k=，则直线AB的方程为：y=（x﹣1），即（3+）x﹣2y﹣3﹣=0，所以直线AB的方程为（3+）x﹣2y﹣3﹣=0．22．（15分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD 为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．（1）求证：PQ∥平面SCD；（2）求证：；CD⊥SA（3）若SA=SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．【解答】证明：（1）取SC的中点R，连QR，DR．由题意知：PD∥BC且PD=BC．在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，所以QR∥BC且QR=BC．所以QR∥PD且QR=PD，则四边形PDRQ为平行四边形．所以PQ∥DR．又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，所以PQ∥平面SCD．…（4分）（2）因为四边形ABCD为正方形，则CD⊥AD．又平面SAD⊥平面ABCD，且面SAD∩面ABCD=AD，所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SA．…（8分）解：（3）N为SC的中点连接PC、DM交于点O，连接PM、SP，因为PD∥CM，并且PD=CM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO=CO．又因为N为SC中点，所以NO∥SP．…（12分）因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，…（13分）又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD．…（14分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
【全国百强校】浙江省余姚中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题解析(解析版)
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )A.2倍B.倍倍【答案】B【解析】试题分析：设原球的半径R，表面积扩大2倍，体积扩大倍，故选B.考点：球的体积与表面积2.一个正方形被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15【答案】D考点：由三视图求表面积、体积3.已知,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，有下列命题：①若m α⊂，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若n αβ=，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；④若,m m αβ⊥⊥，则α∥β.其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B考点：空间中点、线、面的位置关系4.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，已知1,,,AB a AD b AA c ===，则用向量,,b c α可表示向量1BD 为（）A.b c α++B.b c α-++C.b c α-+D.b c α-+-【答案】B【解析】试题分析：利用空间向量的平行六面体法则即可得出．111BD BA BC BB AB AD AA a b c =++=-++=-++．故选B ．考点：平面向量基本定理及其意义5.圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为( )A.6πB.5πC.3πD.2π【答案】C考点：柱锥台体的体积与表面积6.若直线a 不平行于平面α，则下列结论正确的是( )A.α内所有的直线都与a 异面B.直线a 与平面α有公共点C.α内所有的直线都与a 相交D.α内不存在与a 平行的直线【答案】B【解析】试题分析：∵直线a 不平行于平面α，∴α内所有的直线都与a 异面或相交，故A 和C 均错误；直线a 与平面α至少有一个公共点，故B 正确；当a ⊂α时，α内存在与a 平行的直线，故D 不正确．故选B ． 考点：空间中线面位置关系7.如图，正方形1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是( )A.点H 是1A BD ∆的垂心B.AH 垂直平面11CB DC.AH 的延长线经过点1CD.直线AH 和1BB 所成角为45︒【答案】D考点：空间中线线位置关系8.已知一个高度不限的直三棱柱111ABC A B C -，4,5,6AB BC CA ===，点P 是侧棱1AA 上一点，过A 作平面截三棱柱得截面ADE ，给出下列结论：①ADE ∆是直角三角形；②ADE ∆是等边三角形；③四面体APDE 为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体.其中有不可能成立的结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】试题分析：本题考察在空间点线面的位置关系，在直三棱柱中，数形结合，作图求解，①和②找出一个例子即可证明其存在性，③需分类讨论，利用直三棱柱的性质以及底面三边长AB=4，BC=5，CA=6条件判断． 如图，做直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，AB=4，BC=5，CA=6，（1）不妨取AD=6，AE=10，DE=8，则△ADE 是直角三角形，①可能成立；（2）不妨令AD=AE=DE=a （a>6），则△ADE 是等边三角形，②可能成立；（3）假设四面体APDE 为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体，当A 为直角顶点时，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，PA ⊥底面ABC ，则 E ，D 分别与C ，B 重合，此时，∠EAD 不是直角，与假设矛盾，假设不成立，当P 为直角顶点时，可得PD ∥AB ，PE ∥AC ，由等角定理知则∠EPD 不可能是直角，与假设矛盾，假设不成立，当E 或D 点为直角顶点时，不妨选E 为直角顶点，则DE ⊥EP ，DE ⊥EA ，EP ∩EA ═A ，EP ⊂平面11ACC A ，EA ⊂平面11ACC A ，则平面11ACC A 与平面11BCC B 垂直，则直三棱柱111ABC A B C -中，可证∠ACB 为二面角的平面角，∠ACB ═90°，与题意矛盾，假设不成立．综上③错误．故选：C ．考点：命题的真假判断二.填空题：本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分.9.一圆柱的底面直径和高都是3，则它的体积为__________，侧面积为__________.【答案】27;9 4ππ考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为__________，外接球半径为__________.【解析】试题分析：几何体是一个底面是顶角为120°且底边长是侧棱，侧棱长是2，建立适当的坐标系，写出各个点的坐标和设出球心的坐标，根据各个点到球心的距离相等，点的球心的坐标，可得球的半径，做出体积．由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，三棱锥的底面为等腰三角形，且三角形的底边长，底边上的高为1，∴几何体的体积111232V =⨯⨯⨯=以D 为原点，DB 为x 轴，DA 为y 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0，0，2），B （2，0，0），C -（）， 22222222222222x y z x y z x y z x y z -++=++++-=++（），（），①②22222213x y z x y z ++-+=++（）（），③，11x y z ∴===，，∴球心的坐标是），∴球的半径考点：三视图求几何体的体积【易错点拨】由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．11.已知向量5a mi j k =+-，3b i j rk =++，若a ∥b ，则实数m =_____，r =_____. 【答案】1155m r ==-，考点：平行向量与共线向量12.各边长为1的正四面体，内切球表面积为__________，外接球体积为__________.π【答案】6考点：求的体积与表面积【方法点睛】“切”“接”问题的处理规律1．“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．2．“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．13.一只蚂蚁从棱长为1cm的正方体的表面上某一点P出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离()d f P =，那么d 的最大值是__________.【答案】5考点：平面展开-最短路径问题【方法点睛】折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。
浙江省余姚中学2016届高三上学期期中考试理数试题 含解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.下列说法正确的是（ ）A ．若命题p ,q ⌝都是真命题,则命题“p q ∧”为真命题B ．命题“若0xy =，则0x =或0y ="的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠"C ．命题“R x ∀∈，20x>”的否定是“0R x ∃∈，020x ≤"D ．“1x =-”是“2560x x --="的必要不充分条件【答案】C .考点:１、命题及其关系；2、充分条件；3、必要条件.2。
已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A ≠,0ω>，22ππϕ-<<)在23x π=时取得最大值，且它的最小正周期为π,则（ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()f x 的图象的一条对称轴是512x π=【答案】C .【解析】考点：1、求函数()()sin f x x ωϕ=A +的解析式；2、三角函数的图像及其性质。
3.已知数列{}na 满足：21nan n=+，且1011nS=，则n 的值为（ )A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C . 【解析】试题分析：因为21111(1)1nan n n n n n ===-+++，所以 11111110(1)()()12231111n S n n n =-+-++-=-=++，所以10n =，故应选C 。
考点：1、裂项求和.4.若α、β是两个相交平面,则在下列命题中，真命题的序号为（ ) ①若直线m α⊥,则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线． A ．①③ B ．②③ C ．②④D ．①④ 【答案】C .考点：1、直线与平面之间的位置关系。
2014-2015年浙江省宁波市余姚三中高二(上)期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年浙江省宁波市余姚三中高二（上）期中数学试卷一.选择题（5分/题，共50分）1．（5分）下列命题是真命题的为（）A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1C．若x=y，则D．若x＜y，则x2＜y22．（5分）直线（a为实常数）的倾斜角的大小是（）A．30°B．60°C．120° D．150°3．（5分）过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或44．（5分）点（0，﹣1）到直线x+2y=3的距离为（）A．B．C．5 D．5．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示的曲线为圆，则m的取值范围是（）A．＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜D．m＞17．（5分）圆（x﹣1）2+（y+2）2=6与直线2x+y﹣5=0的位置关系是（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交且过圆心D．相离8．（5分）空间直角坐标系中点P（1，2，3）关于y轴的对称点的坐标为（）A．（3，2，1）B．（1，﹣2，3）C．（﹣1，2，﹣3） D．（1，2，3）9．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．310．（5分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5二、填空题（4分/题，共28分）11．（4分）直线l1：x﹣y=0与l2：2x﹣3y+1=0的交点在直线mx+3y+5=0上，则m的值为．12．（4分）已知空间直角坐标系中两点A（1，﹣2，3），B（﹣1，3，1），则|AB|=．13．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2﹣4x+6y+4=0截得的弦长为：．14．（4分）与直线4x+3y﹣5=0平行，并且到它距离等于3的直线方程：．15．（4分）已知BC是圆x2+y2=25的弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是．16．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为．17．（4分）过点M（3，﹣4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为．三、解答题18．（14分）已知△ABC中A（1，0），B（4，0），C（2，5）（1）求AC边上的高线方程（2）求BC边上的中线方程．19．（14分）（1）已知△ABC中A（2，0），B（4，0），C（2，2），求△ABC的外接圆方程（2）过直线l：x+2y+1=0与圆C：x2+y2=8的交点，且圆心在直线y=x上的圆的方程．20．（14分）某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）21．（14分）已知两圆x2+y2﹣2x+10y﹣24=0和x2+y2+2x+2y﹣8=0（1）判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程；（3）求公共弦的长．22．（16分）已知圆C与y轴相切，圆心C（1，﹣2）（1）求圆C的方程（2）是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．2014-2015学年浙江省宁波市余姚三中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（5分/题，共50分）1．（5分）下列命题是真命题的为（）A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1C．若x=y，则D．若x＜y，则x2＜y2【解答】解：A、由得=0，则x=y，为真命题；B、由x2=1得x=±1，x不一定为1，为假命题；C、若x=y，不一定有意义，为假命题；D、若x＜y＜0，x2＞y2，为假命题；故选：A．2．（5分）直线（a为实常数）的倾斜角的大小是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：∵直线（a为实常数）的斜率为﹣令直线（a为实常数）的倾斜角为θ则tanθ=﹣解得θ=150°故选：D．3．（5分）过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【解答】解：过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，所以k===1解得m=1故选：A．4．（5分）点（0，﹣1）到直线x+2y=3的距离为（）A．B．C．5 D．【解答】解：点（0，﹣1）到直线x+2y=3的距离为：d==，故选：B．5．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）若方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示的曲线为圆，则m的取值范围是（）A．＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜D．m＞1【解答】解：根据二元二次方程表示圆的条件，方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆，必有16m2+4﹣20m＞0，解可得，m＜或m＞1，故选：B．7．（5分）圆（x﹣1）2+（y+2）2=6与直线2x+y﹣5=0的位置关系是（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交且过圆心D．相离【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+2）2=6的圆心为（1，﹣2）、半径为，圆心到直线2x+y﹣5=0的距离为=，小于半径，故直线和圆相交，又（1，﹣2）不在直线2x+y﹣5=0上，所以直线和圆相交但直线不过圆心，故选：B．8．（5分）空间直角坐标系中点P（1，2，3）关于y轴的对称点的坐标为（）A．（3，2，1）B．（1，﹣2，3）C．（﹣1，2，﹣3） D．（1，2，3）【解答】解：点P（1，2，3）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣1，2，﹣3）．故选：C．9．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．3【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选：A．10．（5分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x ﹣2）2+（y﹣1）2=5【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|==2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是（，），即（2，1），则△ABP的外接圆方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：D．二、填空题（4分/题，共28分）11．（4分）直线l1：x﹣y=0与l2：2x﹣3y+1=0的交点在直线mx+3y+5=0上，则m的值为﹣8．【解答】解：由，解得：，将（1，1）代入mx+3y+5=0得：m=﹣8，故答案为：﹣8．12．（4分）已知空间直角坐标系中两点A（1，﹣2，3），B（﹣1，3，1），则|AB|=．【解答】解：空间直角坐标系中两点A（1，﹣2，3），B（﹣1，3，1），则|AB|==．故答案为：．13．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2﹣4x+6y+4=0截得的弦长为：2．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+6y+4=0即（x﹣2）2+（y+3）2=9，表示以C（2，﹣3）为圆心，半径等于3的圆．由于圆心到直线x+y﹣1=0的距离为d==2，故弦长为2=2，故答案为：2．14．（4分）与直线4x+3y﹣5=0平行，并且到它距离等于3的直线方程：4x+3y+10=0或4x+3y﹣20=0．【解答】解：设与直线4x+3y﹣5=0平行的直线方程为：4x+3y+m=0，由题意可得：=3，解得m=10或﹣20．∴要求的直线方程为：4x+3y+10=0，4x+3y﹣20=0，故答案为：4x+3y+10=0或4x+3y﹣20=0．15．（4分）已知BC是圆x2+y2=25的弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是x2+y2=16．【解答】解：设圆心（0，0）到BC的距离为d，则由弦长公式可得d===4，即BC的中点到圆心（0，0）的距离等于4，BC的中点的轨迹是以原点为圆心，以4为半径的圆，故BC的中点的轨迹方程是x2+y2=16，故答案为x2+y2=16．16．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为1．【解答】解：由图象可知不等式对应的平面区域为三角形BCD．由解得，即C（﹣2，2）．由题意知a＞﹣2．由得，即D（a，﹣a）．由得，即B（a，a+4），所以|BD|=|2a+4|=2a+4，C到直线x=a的距离d=a﹣（﹣2）=a+2，所以三角形BCD的面积为，即（a+2）2=9，解得a=1或a=﹣5（舍去）．故答案为：1．17．（4分）过点M（3，﹣4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为x﹣y﹣7=0或4x+3y=0．【解答】解：设直线在x、y轴上的截距分别为a和﹣a（a≠0），则直线l的方程为﹣=1∵直线过点A（3，﹣4），∴=1解得：a=7此时直线l的方程为x﹣y﹣7=0当a=0时，直线过原点，设直线方程为y=kx，过点A（3，﹣4）此时直线l的方程为y=﹣x，此时直线l的方程为4x+3y=0∴直线l的方程为：x﹣y+7=0或4x+3y=0，故答案为：x﹣y﹣7=0或4x+3y=0；三、解答题18．（14分）已知△ABC中A（1，0），B（4，0），C（2，5）（1）求AC边上的高线方程（2）求BC边上的中线方程．【解答】解：（1）∵△ABC中A（1，0），B（4，0），C（2，5），∴k AC==5，故高线的斜率为﹣，∴高线方程为y﹣0=﹣（x﹣4），整理为一般式可得x+5y﹣4=0；（2）由中点公式可得BC中点D（3，），∴中线AD的斜率为=，∴BC边上的中线AD方程为y﹣0=（x﹣1），整理为一般式可得5x﹣4y﹣5=0．19．（14分）（1）已知△ABC中A（2，0），B（4，0），C（2，2），求△ABC的外接圆方程（2）过直线l：x+2y+1=0与圆C：x2+y2=8的交点，且圆心在直线y=x上的圆的方程．【解答】解：（1）设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵△ABC中A（2，0），B（4，0），C（2，2），∴，解得D=﹣6，E=﹣2，F=8，∴△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+8=0．（2）联立，得或，设圆心为O（a，b），由题意得：，整理，得4（）=2（），解得a=b=0，∴圆心O（0，0），半径r==2，∴圆的方程为x2+y2=8．20．（14分）某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800．21．（14分）已知两圆x2+y2﹣2x+10y﹣24=0和x2+y2+2x+2y﹣8=0（1）判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程；（3）求公共弦的长．【解答】解：（1）将两圆化为标准方程，得C1：（x﹣1）2+（y+5）2=50，C2：（x+1）2+（y+1）2=10∴圆C1的圆心为（1，﹣5），半径为r1=5；圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为r2=…（4分）又∵|C1C2|==2，r1+r2=5+，r1﹣r2=5﹣，可得r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2…（5分）∴两圆相交…（6分）（2）将两圆的方程相减，得4x﹣8y+16=0，化简得：x﹣2y+4=0，∴公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0．…（9分）（3）由（2）知圆C1的圆心（1，﹣5）到直线x﹣2y+4=0的距离d==3…（12分）由此可得，公共弦的长l=2=2=2…（14分）22．（16分）已知圆C与y轴相切，圆心C（1，﹣2）（1）求圆C的方程（2）是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵圆心C的坐标为（1，﹣2），且所求圆与y轴相切，∴圆的半径r|=1，则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=1；（2）设存在满足题意的直线，且此直线方程为y=x+m，直线与圆C相交于A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由OA⊥OB，得k OA•k OB=﹣1，即x1x2+y1y2=0；由y=x+m与（x﹣1）2+（y+2）2=1，消去y得，2x2+2（m+1）x+m2+4m+4=0，∴x1+x2=﹣（m+1），x1x2=（m2+4m+4）又∵x1x2+y1y2=0，y1=x1+m，y2=x2+m；∴x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，即2x1x2+m（x1+x2）+m2=0；∴m2+4m+4﹣m（m+1）+m2=0，∴m2+3m+4=0△＜0，∴不存在满足题意的直线．。
2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二(上)开学数学试卷(解析版)
2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）开学数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）2．（5分）已知直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay﹣1＝0互相垂直，则a＝（）A．1或﹣1B．1C．﹣1D．03．（5分）两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．akm B．akm C．2akm D．akm4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b sin A﹣a cos B＝0，且b2＝ac，则的值为（）A．B．C．2D．45．（5分）已知直线l：x cosα+y sinα＝2（α∈R），圆C：x2+y2+2x cosθ+2y sinθ＝0（θ∈R），则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与α，θ有关6．（5分）正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得＝4a1，且a6＝a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2C．D．7．（5分）若函数f（x）＝的值域为R，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）8．（5分）已知三个正数a，b，c满足a≤b+c≤3a，3b2≤a（a+c）≤5b2，则的最小值是（）A．﹣B．﹣3C．0D．不存在二、填空题：本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，36分．9．（6分）设集合P＝{x∈R|x2＜16}，M＝{x∈R|2x＜8}，S＝{x∈R|log5x＜1}，则P∪M＝；P∩S＝；∁R M＝．10．（6分）在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝1，BC＝，＝，则AC＝；AD＝．11．（6分）若实数x，y满足不等式组．若a＝4，则z＝2x+y的最大值为；若不等式组所表示的平面区域面积为4，则a＝．12．（6分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a9＝24，则S9＝，•的最大值为．13．（4分）若实数x，y满足4x2+2x+y2+y＝0，则2x+y的范围是．14．（4分）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4．若存在非零实数x、y，使得＝x+y，且x+2y＝1，则cos∠BAC＝．15．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．设平面向量＝（cos x，sin x），＝（cos x+2，sin x），＝（sinα，cosα），x∈R．（1）若，求cos（2x+2α）的值；（2）若α＝0，求函数f（x）＝的最大值，并求出相应的x值．17．已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．18．已知圆O1的方程为x2+（y+1）2＝6，圆O2的圆心坐标为（2，1）．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，求圆O2的方程．19．已知函数为奇函数，其中a为不等于1的常数；（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）＞m恒成立，求m的范围．20．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：向量＝（2，1），＝（x，﹣2），∥，可得﹣4＝x，+＝（﹣2，﹣1）．故选：D．2．【解答】解：∵直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay﹣1＝0互相垂直，∴1×a+1×a＝0，即2a＝0，解得：a＝0．故选：D．3．【解答】解：根据题意，△ABC中，∠ACB＝180°﹣20°﹣40°＝120°，∵AC＝BC＝akm，∴由余弦定理，得cos120°＝，解之得AB＝akm，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D．4．【解答】解：△ABC中，由b sin A﹣a•cos B＝0，利用正弦定理得sin B sin A﹣sin A cos B＝0，∴tan B＝，故B＝．由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac•cos B＝a2+c2﹣ac，即b2＝（a+c）2﹣3ac，又b2＝ac，所以4b2＝（a+c）2，求得＝2，故选：C．5．【解答】解：圆C：x2+y2+2x cosθ+2y sinθ＝0（θ∈R），即（x+cosθ）2+（y+sinθ）2＝1，圆心C（﹣cosθ，﹣sinθ），半径为r＝1．圆心C到直线l：x cosα+y cosα＝2的距离为d＝＝2+cos （θ﹣α），当cos（θ﹣α）＝﹣1时，d＝r，直线和圆相切；当cos（θ﹣α）＞﹣1时，d＞r，直线和圆相离，故选：D．6．【解答】解：在等比数列中，∵a6＝a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去），∵＝4a 1，∴，即2m+n﹣2＝16＝24，∴m+n﹣2＝4，即m+n＝6，∴，∴＝（）＝，当且仅当，即n＝2m时取等号．故选：A．7．【解答】解：①当m＝0时，成立；②当m≠0时，原式可化为myx2+（my﹣1）x+y＝0，由△＝（my﹣1）2﹣4my×y≥0对任意y都成立，得（m2﹣4m）y2﹣2my+1≥0对任意y都成立，则或．解得：m≤0．故选：C．8．【解答】解：不等式a≤b+c≤3a，3b2≤a（a+c）≤5b2，等价为1≤+≤3，3（）2≤1+≤5（）2，设＝x，＝y，则不等式等价为，即，则＝﹣2•＝x﹣2y，设z＝x﹣2y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z，过点A时，直线y＝x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得x＝，y＝，代入目标函数z＝x﹣2y，得z＝﹣∴目标函数z＝x﹣2y的最小值是﹣，故选：A．二、填空题：本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，36分．9．【解答】解：∵P＝{x∈R|x2＜16}＝{x|﹣4＜x＜4}，M＝{x∈R|2x＜8}＝{x|x＜3}，S＝{x∈R|log5x＜1}＝{x|0＜x＜5}，则P∪M＝{x|x＜4}，P∩S＝{x|0＜x＜4}，∁R M＝{x|x≥3}，故答案为：{x|x＜4}，{x|0＜x＜4}，{x|x≥3}10．【解答】解：由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴，化为b2+b﹣12＝0，解得b＝3．cos B＝＝＝．∵＝，∴＝．在△AB中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD cos B＝1+﹣＝，解得AD＝．故答案分别为：3；．11．【解答】解：当a＝4时，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点C时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（3，1），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×3+1＝7．即目标函数z＝2x+y的最大值为7．作出不等式组对应的平面区域，由，解得，即A（1，1），若不等式组构成平面区域，则必有点A在直线x+y＝a的下方，即满足不等式x+y＜a，即a＞1+1＝2，由，解得，即C（a﹣1，1），由，解得，即B（，），则三角形的面积S＝（a﹣1﹣1）×（﹣1）＝（a﹣2）2＝4，即（a﹣2）2＝16，即a﹣2＝4或a﹣2＝﹣4，解得a＝6或a＝﹣2（舍），故答案为：7，612．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a4+a9＝24，得3a1+12d＝24，即a1+4d＝8，a5＝8．∴S9＝9a5＝9×8＝72；•＝＝＝＝．故答案为：72；64．13．【解答】解：把已知式子配方可得（2x+）2+（y+）2＝，∴，∴，∴2x+y＝cosθ﹣+sinθ﹣＝sin（θ+）﹣1，∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴﹣2≤sin（θ+）﹣1≤0，∴2x+y的范围为：[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．14．【解答】解：如图所示，∵＝x+y，且x+2y＝1，∴﹣＝y（﹣2），∴＝y（+），取AC的中点D，则+＝2，∴＝2y，又点O是△ABC的外心，∴BD⊥AC．在Rt△BAD中，cos∠BAC＝．故答案为：，15．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2）．∴当0≤x≤a2时，f（x）＝[﹣x+a2 ﹣（x﹣2a2）﹣3a2]＝﹣x；当a2＜x≤2a2时，f（x）＝﹣a2；当x＞2a2时，f（x）＝x﹣3a2．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出f（x）在R上的图象，如图所示：当x＞0时，f（x）的最小值为﹣a2，当x＜0时，f（x）的最大值为a2，由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，结合（图二）可得1﹣3a2 ≥3a2，即6a2≤1，求得﹣≤a≤，故答案为：[﹣，]．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．【解答】解：（1）若，则•＝0，∴cos x sinα+sin x cosα＝0，∴sin（x+α）＝0，∴cos（2x+2α）＝1﹣2sin2（x+α）＝1．（2）若α＝0，＝（0，1），则f（x）＝＝（cos x，sin x）•（cos x+2，sin x﹣2）＝cos x（cos x+2）+sin x （sin x﹣2）＝1﹣2sin x+2cos x＝1+4sin（x+），所以，f（x）max＝5，x＝2kπ﹣（k∈Z）．17．【解答】解：（1）由题意得，解得a1＝6，d＝4，∴a n＝6+（n﹣1）×4＝4n+2．（2）∵a1＝6，d＝4，∴S n＝6n+＝2n2+4n，＝＝，∴T n＝＝＝﹣＜，（T n）min＝T1＝﹣＝．故≤T n＜．18．【解答】解：设圆O2的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0），∵圆O1的方程为x2+（y+1）2＝6，即圆O1的圆心坐标为（0，﹣1），∴直线AB的方程为4x+4y+r2﹣10＝0，∴圆心O1到直线AB的距离d＝＝，∵|AB|＝4，即|AB|＝2，由垂径定理及勾股定理得：d2+22＝6，解得：d2＝2，∴r2﹣14＝±8，解得：r2＝6或22，则圆O2的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝6或（x﹣2）2+（y﹣1）2＝22．19．【解答】解：（1）∵为奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x），即即对x∈[﹣1，1]恒成立；所以（5+ax）（5﹣ax）＝（5+x）（5﹣x）∴a＝±1，因为a为不等于1的常数，所以a＝﹣1（2）∵设，则f（t）＝log2t，因为在[﹣1，1]上递减所以，又因为f（t）＝log2t，在上是增函数，所以因为对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）＞m恒成立，所以f（x）min＞m所以20．【解答】（Ⅰ）证明：设b n＝a2n﹣，则＝（）﹣＝﹣，＝＝＝＝，∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b n＝a2n﹣＝﹣•（）n﹣1＝﹣•（）n，∴+，由a2n＝+（2n﹣1），得a2n﹣1＝3a2n﹣（2n﹣1）＝﹣•（）n﹣1﹣6n+，∴a2n﹣1+a2n＝﹣[（）n﹣1+（）n]﹣6n+9＝﹣2•（）n﹣6n+9，S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝﹣2[]﹣6（1+2+3+…+n）+9n＝＝（）n﹣3（n﹣1）2+2．由题意得n∈N*时，{S2n}单调递减，又当n＝1时，S2＝＞0，当n＝2时，S4＝﹣＜0，∴当n≥2时，S2n＜0，S2n﹣1＝S2n﹣a2n＝﹣，故当且仅当n＝1时，S2n+1＞0，综上所述，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．。
浙江省宁波市余姚中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷Word版含解析
2016-2017学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（）A．（9，6） B．（6，9） C．（±6，9）D．（9，±6）2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是（）①；②；③；④．A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④3．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．04．与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（））A．B．C．D．5．若二面角α﹣L﹣β的大小为，此二面角的张口内有一点P到α、β的距离分别为1和2，则P点到棱l的距离是（）A．B．2 C．2 D．26．设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A．B．C．D．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．8．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．2 B．3 C．1 D．二、填空题（本题共7小题，共36分，将答案填在答题纸上）9．双曲线的焦距是10，则实数m的值为，其双曲线渐进线方程为．10．已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则此正三棱锥的体积，其侧视图的周长为．11．抛物线y=ax2的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a=；线段FP中点M的轨迹方程为．12．过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：相交于A，B，则直线AB的方程；若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为．13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C 的方程．14．在三棱锥P﹣ABC中，PA垂直于底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积最大时，tanθ的值为．15．如图，F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB=2，BD=2，M，N分别是线段PA，PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线MN与BC所成角的大小．17．已知抛物线x2=2py（p＞0）与直线2x﹣y+1=0交于A，B两点，，点M在抛物线上，MA⊥MB．（1）求p的值；（2）求点M的横坐标．18．如图，已知离心率为的椭圆过点M（2，1），O 为坐标原点，平行于OM的直线i交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）记直线MB、MA与x轴的交点分别为P、Q，若MP斜率为k1，MQ斜率为k2，求k1+k2．19．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．20．设椭圆C：的离心率e=，左顶点M到直线=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．2016-2017学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（）A．（9，6） B．（6，9） C．（±6，9）D．（9，±6）【考点】抛物线的定义．【分析】先求出抛物线的准线，再由P到焦点的距离等于其到准线的距离，从而可确定P的横坐标，代入抛物线方程可确定纵坐标，从而可确定答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线为：x=﹣1抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，∴P到x=﹣1的距离等于10设P（x，y）∴x=9代入到抛物线中得到y=±6故选D．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是（）①；②；③；④．A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【考点】四种命题的真假关系；平面与平面垂直的性质．【分析】准确把握立体几何中定理公理的条件．【解答】解：①为假命题，因为由线面垂直的判定定理，要得m⊥α，需要m垂直α内的两条相交直线，只有m⊥n，不成立．排除A、D，②为面面垂直的判定定理，正确．故选B．④中，m∥n或m与n异面．故选B．3．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】对于①，先根据线面垂直的判定定理证明BC⊥面PAC，然后根据线面垂直的判定定理得到结论；对于②，根据线面平行的判定定理进行判定即可；对于③，根据点到面的距离的定义进行判定即可．【解答】解：∵PA⊥圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面∴PA⊥BC而BC⊥AC，PA∩AC=A∴BC⊥面PAC，而PC⊂面PAC∴BC⊥PC，故①正确；∵点M为线段PB的中点，点O为AB的中点∴OM∥PA，而OM⊄面PAC，PA⊄面PAC∴OM∥平面APC，故②正确；∵BC⊥面PAC∴点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故③正确故选A4．与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（））A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而求得双曲线离心率，根据点P 在双曲线上，根据定义求出a ，从而求出b ，则双曲线方程可得． 【解答】解：由题设知：焦点为a=，c=，b=1∴与椭圆共焦点且过点P （2，1）的双曲线方程是故选B ．5．若二面角α﹣L ﹣β的大小为，此二面角的张口内有一点P 到α、β的距离分别为1和2，则P 点到棱l 的距离是（ ）A ．B ．2C ．2D ．2【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设过P ，C ，D 的平面与l 交于Q 点，可以证出l ⊥面PCQD 于Q ，∠DQC 是二面角α﹣l ﹣β的平面角，PQ 是P 到l 的距离．且PQ 是△PDC 的外接圆的直径，在△PCD 中利用余弦定理求出CD ，最后根据正弦定理可求出PQ ，从而求出点P 到直线l 的距离．【解答】解：设过P ，C ，D 的平面与l 交于Q 点． 由于PC ⊥平面α，l ⊂平面M ，则PC ⊥l ， 同理，有PD ⊥l ，∵PC ∩PD=P ， ∴l ⊥面PCQD 于Q ．又 DQ ，CQ ，PQ ⊂平面PCQD ∴DQ ⊥l ，CQ ⊥l ．∴∠DQC 是二面角α﹣l ﹣β的平面角． ∴∠DQC=60°且PQ ⊥l ，所以PQ 是P 到l 的距离．在平面图形PCQD中，有∠PDQ=∠PCQ=90°∴P、C、Q、D四点共圆，也为△PDC的外接圆，且PQ是此圆的直径．在△PCD中，∵PC=1，PD=2，∠CPD=180°﹣60°=120°，由余弦定理得CD2=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，CD=在△PDC 中，根据正弦定理=2R=PQ，代入数据得出PQ=．∴点P到直线l的距离为故选：A．6．设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5＞|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为=1，即．故选D．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，知F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），由渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=﹣x，l2∥PF2，知ay=bc﹣bx，由ay=bx，知P（，），由此能求出离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，∴F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=﹣x，∵l2∥PF2，∴，即ay=bc﹣bx，∵点P在l1上即ay=bx，∴bx=bc ﹣bx 即x=，∴P （，），∵l 2⊥PF 1，∴，即3a 2=b 2，∵a 2+b 2=c 2， ∴4a 2=c 2，即c=2a ，∴离心率e==2． 故选C ．8．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．1D ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．【解答】解：设球的半径为：r ，由正四面体的体积得：4××r ××62=××62×，所以r=，设正方体的最大棱长为a ，∴3a 2=（）2，∴a=．故选D ．二、填空题（本题共7小题，共36分，将答案填在答题纸上）9．双曲线的焦距是10，则实数m 的值为 16 ，其双曲线渐进线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的基本性质，直接求出a，b，c，然后求出m即可，再求出渐近线方程．【解答】解：双曲线的焦距是10，则a=3，c=5，则m=c2﹣a2=25﹣9=16则渐近线方程为y=±x故答案为：16，y=±x10．已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则此正三棱锥的体积9，其侧视图的周长为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三棱锥的正视图的数据，推出正三棱锥的底面边长，三棱锥的高，然后求出三棱锥的斜高，侧棱长，底面上的高，即可求出此正三棱锥的体积、侧视图的周长．【解答】解：三棱锥的正视图的数据，可知正三棱锥的底面边长为6，三棱锥的高为3，所以三棱锥的底面上的高为=3，斜高为=2，侧棱长为=，所以正三棱锥的体积为=9侧视图的周长为3+2+=．故答案为9；．11．抛物线y=ax 2的焦点为F （0，1），P 为该抛物线上的动点，则a= ；线段FP 中点M 的轨迹方程为 x 2﹣2y +1=0 ． 【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】由题意可得可得2p==4，由此求得a 的值；设M （x ，y ），P （m ，n ），则m=2x ，n=2y ﹣1，利用P 为抛物线上的动点，代入抛物线方程，即可得出结论．【解答】解：抛物线y=ax 2即x 2=y ，根据它的焦点为F （0，1）可得2p==4，∴a=，设M （x ，y ），P （m ，n ），则m=2x ，n=2y ﹣1， ∵P 为抛物线上的动点， ∴2y ﹣1=×4x 2，即x 2﹣2y +1=0故答案为：；x 2﹣2y +1=0．12．过点M （1，1）作斜率为的直线与椭圆C ：相交于A ，B ，则直线AB 的方程 x +2y ﹣3=0 ；若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由直线的点斜式方程：y ﹣1=﹣（x ﹣1），整理得：x +2y ﹣3=0，由①，②，利用中点坐标公式及作差法，即可求得a 与b 的关系，则c==b ，e===．【解答】解：由题意可知：直线的点斜式方程：y ﹣1=﹣（x ﹣1）， 整理得：x +2y ﹣3=0，解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则①，②，∵M 是线段AB 的中点，∴=1，=1，由=﹣∵①②两式相减可得+=0，即+（﹣）=0，整理得：a=b ，c==b∴e===．椭圆C 的离心率．故答案为：x +2y ﹣3=0，．13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为，过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点，且△ABF 2的周长是16，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】画出图形，结合图形以及椭圆的定义与性质，求出a 、b 的值，即可写出椭圆的方程．【解答】解：如图所示，设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c；则离心率e==，∴4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16；∴a=4，∴c=×4=2，∴b2=a2﹣c2=42﹣=8；∴椭圆的方程是．14．在三棱锥P﹣ABC中，PA垂直于底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积最大时，tanθ的值为．【考点】解三角形的实际应用．【分析】等腰Rt△PAB中，算出AE=PE=BE═PB=．由线面垂直的判定与性质，证出PB⊥面AEF，得PB⊥EF．在Rt△PEF中算出EF=tanθ，在Rt△AEF中，算出AF=，可得S，利用二次函数的图象与性质，即可得出当且仅△AEF有最大值，可得答案．当tanθ=时S△AEF【解答】解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2，∵AE⊥PB，∴AE=PB=，∴PE=BE=．∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC∵PB⊂平面PBC，∴AF⊥PB∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，结合EF⊂平面AEF，可得PB⊥EF．Rt△PEF中，∠EPF=θ，可得EF=PE•tanθ=tanθ，∵AF⊥平面PBC，EF⊂平面PBC．∴AF⊥EF．∴Rt△AEF中，AF==，=AF•EF=×tanθ×=∴S△AEF∴当tan2θ=，即tanθ=时，S△AEF有最大值为．故答案为：．15．如图，F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB=2，BD=2，M，N分别是线段PA，PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线MN与BC所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC，交BD于点O，由已知得MN∥AC，由此能证明MN∥平面ABCD．（Ⅱ）由已知得∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角，由此能求出异面直线MN与BC所成的角．【解答】（Ⅰ）证明：连结AC，交BD于点O，∵M，N分别是PA，PC的中点，∴MN∥AC，∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角，∵四边形ABCD是菱形，AB=2，BO=，∴∠OCB=60°，∴异面直线MN与BC所成的角为60°．17．已知抛物线x2=2py（p＞0）与直线2x﹣y+1=0交于A，B两点，，点M在抛物线上，MA⊥MB．（1）求p的值；（2）求点M的横坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，由弦长公式求得p的值；（2）由（1）求出A，B的坐标，设出M的坐标，利用MA⊥MB得，代入根与系数的关系求得答案．【解答】解：（1）将y=2x+1代入x2=2py，得x2﹣4px﹣2p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4p，x1x2=﹣2p，由及p＞0，得p=1．（2）由（1）得设点，，，由MA⊥MB得，即，，，∴（x1+x0）（x2+x0）+4=0，∴．18．如图，已知离心率为的椭圆过点M（2，1），O 为坐标原点，平行于OM的直线i交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）记直线MB、MA与x轴的交点分别为P、Q，若MP斜率为k1，MQ斜率为k2，求k1+k2．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由给出的椭圆的离心率、椭圆过定点M（2，1）及隐含条件a2=b2+c2列方程组可求a2，b2，则椭圆方程可求；（2）设出直线l的方程，设出A，B两点的坐标，把直线和椭圆联立后可求A，B两点的横坐标的和与积，把直线MA，MB的斜率k1、k2分别用A，B两点的坐标表示，把纵坐标转化为横坐标后，则k1+k2仅含A，B两点的横坐标的和与积，化简整理即可得到结论．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为：．由题意得：，把①代入②得：a2=4b2④．联立③④得：a2=8，b2=2．∴椭圆方程为．（2）∵M（2，1），∴k OM=又∵直线l∥OM，可设l：y=x+m，将式子代入椭圆C得：x2+4（x+m）2﹣8=0，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4．设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=．事实上，k1+k2=+==1+m（+）=1+m•=1+m•=1﹣=0．k1+k2的值为0．19．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（Ⅰ）先证明AC⊥BD，再利用向量的方法证明DB⊥AP，从而可得DB ⊥平面PAC，利用面面垂直的判定可得面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求出平面PDB的法向量为，，从而可求点A到平面PBD的距离；（Ⅲ）求出平面ABP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A﹣PB﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设AC与BD交于O点∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD以OA、OB所在直线分别x轴，y轴．以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系，则∵…∴∴DB⊥AP∵AC⊥BD，AC∩AP=A∴DB⊥平面PAC，又DB⊂平面PDB∴平面PBD⊥平面PAC…（Ⅱ）解：设平面PDB的法向量为，由，∴令z1=1得…∵∴点A到平面PBD的距离=…（Ⅲ）解：设平面ABP的法向量，∵，∴∴…∴…∴二面角A﹣PB﹣D的余弦值为…20．设椭圆C：的离心率e=，左顶点M到直线=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a2=b2+c2，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，x1x2+y1y2=0，点O到直线AB的距离为．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O到直线AB的距离为，由此能证明点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=﹣，联立，得，同理，得，由此能求出△AOB的面积S的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1=x2，y1=﹣y2，∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴=0，∴x1x2+y1y2=0，∴，又点A在椭圆C上，∴=1，解得|x1|=|y1|=．此时点O到直线AB的距离．（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴，，∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2）•，整理，得5m2=4（k2+1），∴点O到直线AB的距离=，综上所述，点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，当k0≠0时，OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB的面积S==2，令1+=t，t＞1，则S=2=2，令g（t）=﹣++4=﹣9（）2+，（t＞1）∴4＜g（t），∴，当k0=0时，解得S=1，∴，∴S的最小值为．2017年1月18日。
2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷(数学)
2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷(数学)2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷（数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm22．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( )A．B．C．D．3．设a，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题①若a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ；②若a∥β，m⊂β，m∥a，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥a，n∥β，a⊥β则m⊥n．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．34．如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为( )A．30°B．60°C．90°D．120°5．三棱锥O﹣ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是( )①存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②存在唯一点D，使四面体ABCD为正三棱锥；③存在无数个点D，使OD=AD=BD=CD；④存在唯一点D，使四面体ABCD有三个面为直角三角形．A．①③B．①④C．①③④D．①②④12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=时，S的面积为__________；若S为五边形，则此时CQ取值范围__________．13．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为__________．14．两条异面直线a，b所成角为60°，则过一定点P，与直线a，b都成60°角的直线有__________条．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB 上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD ⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．19．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B﹣ADF的外接球的表面积；（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．20．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F分别在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF 上的射影H在直线DE上．（Ⅰ）求证：A′D∥平面B′FC（Ⅱ）求二面角A′﹣DE﹣F的大小．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．2．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( )A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．3．设a，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题①若a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ；②若a∥β，m⊂β，m∥a，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥a，n∥β，a⊥β则m⊥n．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】平面的基本性质及推论．【专题】证明题．【分析】在正方体中举出反例，可以得到命题①和命题③是错误的；根据平面与平面平行和直线与平面平行的定义，得到②是正确的；根据直线与平面平行的判定和空间直线平行的传递性，通过举出反例可得④是错误的．由此可得正确答案．【解答】解：对于命题①，若a⊥β，β⊥γ，则a与γ的位置不一定是垂直，也可能是平行，比如：正方体的上、下底面分别是a与γ，右侧面是β则满足a⊥β，β⊥γ，但a∥γ，∴“a⊥γ”不成立，故①不正确；对于命题②，∵a∥β，m⊂β∴平面a与直线m没有公共点因此有“m∥a”成立，故②正确；对于命题③，可以举出如下反例：在正方体中，设正对我们的面为γ，在左侧面中取一条直线m，上底面中取一条直线n，则m、n都与平面γ斜交时，m、n在γ内的射影必定互相垂直，显然“m⊥n”不一定成立，故③不正确；对于命题④，因为a⊥β，所以它们是相交平面，设a∩β=l当m∥a，n∥β时，可得直线l与m、n都平行，所以m∥n，“m⊥n”不成立，故④不正确．因此正确命题只有1个．故选B【点评】本题借助于命题真假的判断为载体，着重考查了平面与平面垂直的定义与性质、直线与平面平行的判定定理和直线在平面中的射影等知识点，属于基础题．4．如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为( )A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】首先利用平行线做出二面角的平面角，进一步利用勾股定理和余弦定理解出二面角平面角的大小，最后确定结果．【解答】解：在平面α内做BE∥AC，BE=AC，连接DE，CE，所以四边形ACEB是平行四边形．由于线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，所以AB⊥平面BDE．CE∥ABCE⊥平面BDE．所以△CDE是直角三角形．又AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则：DE=2cm进一步利用余弦定理：DE2=BE2+BD2﹣2BE•BDcos∠DBE解得cos∠DBE=所以∠DBE=60°即二面角的度数为：60°故选：B【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，勾股定理的应用，线面垂直的性质，二面角的应用．属于基础题型．5．三棱锥O﹣ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是( )①存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②存在唯一点D，使四面体ABCD为正三棱锥；③存在无数个点D，使OD=AD=BD=CD；④存在唯一点D，使四面体ABCD有三个面为直角三角形．A．①③B．①④C．①③④D．①②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；运动思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC，即可判断出才正误；②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，这样的点D至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，即可判断出正误；③由已知：可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D且唯一，即可判断出正误；④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，即可判断出正误．【解答】解：①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，则四面体ABCD为正三棱锥，这样的点D至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，因此不正确；③∵OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，∴可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D，满足OD=AD=BD=CD，因此有唯一的一个点D，使OD=AD=BD=CD，故不正确；④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，因此正确．综上可知：①④正确．故选：B．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质定理、直三棱锥、长方体与外接球的性质、特殊的四面体性质，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．【解答】解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选C．【点评】本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键．7．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC 与DE不垂直，可得C不正确．【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．【点评】掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．8．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是( )A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为【考点】棱柱的结构特征．【专题】应用题；空间位置关系与距离．【分析】利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；当A1P=时，∠APD1为直角角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；将面AA1B与面ABCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴D正确．故选：C．【点评】本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想．二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9．已知O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），若OC⊥AB，则x=16；若O、A、B、C四点共面，则x=8．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）先求出，的坐标，根据•=0，得到3x﹣16﹣32=0，解出即可．（2）由于四点A，B，C，O共面，可得存在实数λ，μ使得，解出即可．【解答】解：（1）∵=（x，﹣8，8），=（3，2，﹣4），若OC⊥AB，则•=0，∴3x﹣16﹣32=0，解得：x=16，；（2）∵O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），∴=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x，﹣8，8），∵四点A，B，C，O共面，∴存在实数λ，μ使得，=λ+μ，∴（x，﹣8，8）=λ（﹣2，2，﹣2）+μ（1，4，﹣6），∴，解得x=8，故答案为：16； 8【点评】本题考查了向量垂直的性质，考查向量共面问题，是一道基础题．10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D与BC1夹角的大小是90°；若E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1夹角的大小是30°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1D与BC1夹角的大小和异面直线EF与A1C1夹角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B1（2，2，2），D（0，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，2），∴•=0，∴B1D⊥BC1，∴B1D与BC1夹角的大小是90°；∵E（2，1，0），F（0，2，1），A1（2，0，2），∴=（﹣2，1，1），=（﹣2，2，0），设异面直线EF与A1C1夹角的大小为θ，则cosθ=||=||=，∴θ=30°．∴异面直线EF与A1C1夹角的大小为30°．故答案为：90°；30°．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为、、，则△BCD的面积为；三棱锥A﹣BCD的内切球半径为．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=，ac=，bc=，求出a，b，c，即可求△BCD的面积，利用等体积求出三棱锥A﹣BCD的内切球半径．【解答】解：设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，△ABC中，BC上的高为，∴△DBC中，BC上的高为=，∴△BCD的面积为=．设三棱锥A﹣BCD的内切球半径为r，则=×（++）r∴r=故答案为：；．【点评】本题是中档题，考查三棱锥A﹣BCD的内切球半径，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=时，S的面积为；若S 为五边形，则此时CQ取值范围（，1）．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求出答案．【解答】解：如图：当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，∴S=（+）•=；当CQ=时，如下图，，延长DD1至N，使D1N=，连结AN交A1D1于S，连结QN交C1D1于R，连结SR，则AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2．∴C1R=，RD1=，∴当＜CQ＜1时，此时的截面形状是上图所示的APQRS，为五边形．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了学生的空间想象和思维能力，借助于特殊点分析问题是解决该题的关键，是中档题．13．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出体积后，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥的底面均为侧视图，故底面面积S=×4×4=8，棱柱的高为8，故体积为64，棱锥的高为4，故体积为：，故组合体的体积V=64﹣=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14．两条异面直线a，b所成角为60°，则过一定点P，与直线a，b都成60°角的直线有3条．【考点】异面直线的判定．【专题】数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】先将异面直线a，b平移到点P，结合图形可知，当使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线时存在2条满足条件，当直线为∠EPD的角平分线时存在1条满足条件，则一共有3条满足条件．【解答】解：先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE=60°，∠EPD=120°而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为30°，而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为60°∵60°＞30°，∴直线与a，b所成的角相等且等于60°有且只有3条，使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线，和直线为∠EPD的角平分线，故答案为：3．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及射影等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是[]．．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB 上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD ∥NB．进而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP ∥AM．再利用线面平行的性质即可得出QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD⊥AC，再利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO为四棱锥A﹣MNBD的高，进而得到V A﹣MNBD的体积．即可得出V几何体ABCDMN=2V A﹣MNBD．【解答】（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP⊄平面AMD，AM⊂平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO为四棱锥A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V几何体ABCDMN=2V A﹣MNBD=4．【点评】熟练掌握线面平行于垂直的判定与性质、线线平行的判定与性质、四棱锥的体积等是解题的关键．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD ⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PBC ⊥平面PBD；（2）确定∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵CD2=BC2+BD2，∵BC⊥BD∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而BD=，所以PD=1…分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）所以，，1）设平面PBC的法向量为，∴…即可解得）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=…【点评】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用向量法求线面角．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知考查PG，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理即可求得cos∠PCH的值．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，可证FM∥PG，由GM ⊥MD得：GM=GD•cos45°=，由DF⊥GC，即可求得的值．【解答】解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，CH=，PC=，PH=，由余弦定理得，cos∠PCH=．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM，由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD•cos45°=，∵，∴由DF⊥GC，可得．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，异面直线及其所成的角，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B﹣ADF的外接球的表面积；（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．【考点】直线与平面所成的角；球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）求出外接球的半径，利用取得面积公式求解即可．（2）证明BE⊥平面ABCD．=以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，求出相关点的坐标，求出平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．推出sinφ==，结合sinφ，即求出BK的取值范围．【解答】解：（1）三棱锥B﹣ADF的外接球就是三棱柱DFA﹣CEB的外接球，球的半径为R，R==，外接球的表面积为：4πR2=20π．（2）解：∵BE=BC=2，CE=2，∴CE2=BC2+BE2，∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），．设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．由，，得，可取，…又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，∵30°≤φ≤45°，∴sinφ，即…结合0＜m＜2，解得，即BK的取值范围为（0，]．…【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力，20．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F分别在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF 上的射影H在直线DE上．（Ⅰ）求证：A′D∥平面B′FC（Ⅱ）求二面角A′﹣DE﹣F的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）利用线面平行的判定定理可得A′E∥平面B′FC，DE∥平面B′FC，又A′E∩DE=E．由面面平行的判定定理可得平面A′ED∥平面B′FC，再利用面面平行的性质定理可得线面平行；（II）建立如图所示的空间直角坐标系，利用B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）及F（2，2，0），，B′F=3，可得到点B′的坐标，分别求出平面A′DE的法向量、平面CDEF的法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（I）证明：∵A′E∥B′F，A′E⊄平面B′FC，B′F⊂平面B′FC．∴A′E∥平面B′FC，由DE∥FC，同理可得DE∥平面B′FC，又∵A′E∩DE=E．∴平面A′ED∥平面B′FC，∴A′D∥平面B′FC．（II）解：如图，过E作ER∥DC，过E作ES⊥平面EFCD，分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）．∵F（2，2，0），，B′F=3．∴解得．∴B′（0，1，2）．∴．∴=．设平面A′DE的法向量为，又有．∴得，令x=1，则z=1，y═0，得到．又∵平面CDEF的法向量为．设二面角A′﹣DE﹣F的大小为θ，显然θ为钝角∴=．∴θ=135°．【点评】熟练掌握线面平行的判定定理、面面平行的判定和性质定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．。
浙江省宁波市余姚中学高二(上)开学数学试题
2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）开学数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）2．已知直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，则a=（）A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．03．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B 在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．akm B．akm C．2akm D．akm4．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（）A．B．C．2 D．45．已知直线l：xcosα+ycosα=2（α∈R），圆C：x2+y2+2xcosθ+2ysinθ=0（θ∈R），则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．与α，θ有关6．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2 C．D．7．若函数f（x）=的值域为R，则m的取值范围是（）A． B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0∪﹣1，10，4 D．（﹣∞，04，+∞）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：当m=0时，函数f（x）的值域为实数集；当m≠0时，把原函数变形，由判别式大于等于0得到关于y的不等式，然后由不等式恒成立列式求得m的取值范围．解答：解：①当m=0时，成立；②当m≠0时，原式可化为myx2+（my﹣1）x+y=0，由△=（my﹣1）2﹣4my×y≥0对任意y都成立，得（m2﹣4m）y2﹣2my+1≥0对任意y都成立，则或．解得：m≤0．故选：C．点评：本题考查了函数的值域，考查了数学转化思想方法，训练了判别式法求函数的值域，是中档题．8．已知三个正数a，b，c满足a≤b+c≤3a，3b2≤a（a+c）≤5b2，则的最小值是（）A．﹣B．﹣3 C．0 D．不存在考点：简单线性规划的应用；不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式组进行转化，设=x，=y，利用线性规划的知识进行求解即可．解答：解：不等式a≤b+c≤3a，3b2≤a（a+c）≤5b2，等价为1≤+≤3，3（）2≤1+≤5（）2，设=x，=y，则不等式等价为，即，则=﹣2•=x﹣2y，设z=x﹣2y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得x=，y=，代入目标函数z=x﹣2y，得z=﹣∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣，故选：A点评：本题主要考查线性规划的应用，将不等式组进行转化，利用换元法转化为线性规划的知识是解决本题的关键．综合性较强．二、填空题：本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，36分．9．设集合P={x∈R|x2＜16}，M={x∈R|2x＜8}，S={x∈R|log5x＜1}，则P∪M={x|﹣4＜x＜4}；P∩S= {x|0＜x＜5}；C R M={x|x≥4}．考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵P={x∈R|x2＜16}={x|﹣4＜x＜4}，M={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，S={x∈R|log5x＜1}={x|0＜x＜5}，则P∪M={x|x＜4}，P∩S={x|0＜x＜4}，C R M={x|x≥4}，故答案为：{x|﹣4＜x＜4}，{x|0＜x＜5}，{x|x≥4}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10．在△ABC中，若∠A=120°，AB=1，BC=，=，则AC=3；AD=．考点：余弦定理；线段的定比分点．专题：解三角形．分析：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，代入解得b．利用余弦定理可得cosB=．由=，可得=．在△AB中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB即可得出．解答：解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，∴，化为b2+b﹣12=0，解得b=3．cosB===．∵=，∴=．在△AB中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB=1+﹣=，解得AD=．故答案分别为：3；．点评：本题考查了余弦定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．若实数x，y满足不等式组．若a=4，则z=2x+y的最大值为7；若不等式组所表示的平面区域面积为4，则a=a．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．结合不等式组的图形，根据面积即可得到结论．解答：解：当a=4时，：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．作出不等式组对应的平面区域如图，若平面区域为三角形，则a＞0，由，解得，即A（1，1），由，解得，即C（a﹣1，1），由，解得，即B（，），则三角形的面积S=（a﹣1﹣1）×（﹣1）=a（a﹣2）=4，整理得a2﹣4a﹣12=0，解得a=6或a=﹣2（舍），故答案为：7，6点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a9=24，则S9=72，•的最大值为64．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由a2+a4+a9=24结合等差数列的通项公式求得a5，代入等差数列的前n项和公式得答案；直接由等差数列的前n项和把•转化为含有d的代数式求得最大值．解答：解：在等差数列{a n}中，由a2+a4+a9=24，得3a1+12d=24，即a1+4d=8，a5=8．∴S9=9a5=9×8=72；•====．故答案为：72；64．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是中档题．13．若实数x，y满足4x2+2x+y2+y=0，则2x+y的范围是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：配方并三角换元可得2x+y=cosθ﹣+sinθ﹣，由三角函数的值域求解方法可得．解答：解：把已知式子配方可得（2x+）2+（y+）2=，∴，∴，∴2x+y=cosθ﹣+sinθ﹣=sin（θ+）﹣1，∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴﹣2≤sin（θ+）﹣1≤0，∴2x+y的范围为：，故答案为：．点评：本题考查不等式求式子的取值范围，三角换元是解决问题的关键，属中档题．14．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由=x+y，且x+2y=1，可得﹣=y（﹣2），利用向量的运算法则，取AC 的中点D，则=2y，再利用点O是△ABC的外心，可得BD⊥AC．即可得出．解答：解：如图所示，∵=x+y，且x+2y=1，∴﹣=y（﹣2），∴=y（+），取AC的中点D，则+=2，∴=2y，又点O是△ABC的外心，∴BD⊥AC．在Rt△BAD中，cos∠BAC=．故答案为：，点评：本题考查了向量的运算法则、三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，属于难题．15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：当x≥0时，分类讨论化简函数的解析式，再结合奇函数的性质可得函数的图象．结合条件：∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），可得6a2≤1，由此求得a的范围．解答：解：当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2）．∴当0≤x≤a2时，f（x）==﹣x；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；当x＞2a2时，f（x）=x﹣3a2．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出f（x）在R上的图象，如图所示：当x＞0时，f（x）的最小值为﹣a2，当x＜0时，f（x）的最大值为a2，由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，结合（图二）可得1﹣3a2 ≥3a2，即6a2≤1，求得﹣≤a≤，故答案为：．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（2015春•绍兴校级期末）设平面向量=（cosx，sinx），=（cosx+2，sinx），=（sinα，cosα），x∈R．（1）若，求cos（2x+2α）的值；（2）若α=0，求函数f（x）=的最大值，并求出相应的x值．考点：两角和与差的余弦函数；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）利用两个向量垂直，它们的数量积等于0，以及二倍角的余弦公式求得cos（2x+2α）的值．（2）若α=0，则=（0，1），由题意化简可得函数解析式：f（x）=1+4sin（x+），利用正弦函数的有界性求出函数的最值．解答：解：（1）若，则•=0，∴cosxsinα+sinxcosα=0，∴sin（x+α）=0，∴cos（2x+2α）=1﹣2sin2（x+α）=1．（2）若α=0，=（0，1），则f（x）==（cosx，sinx）•（cosx+2，sinx﹣2）=cosx（cosx+2）+sinx（sinx ﹣2）=1﹣2sinx+2cosx=1+4sin（x+），所以，f（x）max=5，x=2kπ﹣（k∈Z）．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基本知识的考查．17．（2015•绥化一模）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意得，由此能求出a n=4n+2．（2）由a1=6，d=4，得S n=2n2+4n，==，从而T n==﹣＜，由此能证明≤T n＜．解答：解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，∴a n=6+（n﹣1）×4=4n+2．（2）∵a1=6，d=4，∴S n=6n+=2n2+4n，==，∴T n===﹣＜，（T n）min=T1=﹣=．故≤T n＜．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．（2015秋•余姚市校级月考）已知圆O1的方程为x2+（y+1）2=6，圆O2的圆心坐标为（2，1）．若两圆相交于A，B两点，且|AB|=4，求圆O2的方程．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：设出圆O2的方程，两圆方程相交消去二次项得到公共弦AB所在直线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心O1到直线AB的距离d，根据半径以及弦长，利用垂径定理，以及勾股定理求出r2的值，即可确定出圆O2的方程．解答：解：设圆O2的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=r2（r＞0），∵圆O1的方程为x2+（y+1）2=6，即圆O1的圆心坐标为（0，﹣1），∴直线AB的方程为4x+4y+r2﹣10=0，∴圆心O1到直线AB的距离d==，由d2+22=6，得d2=2，∴r2﹣14=±8，解得：r2=6或22，则圆O2的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=6或（x﹣2）2+（y﹣1）2=22．点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两圆相交的性质，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．19．（2011秋•常州期中）已知函数为奇函数，其中a为不等于1的常数；（1）求a的值；（2）若对任意的x∈，f（x）＞m恒成立，求m的范围．考点：对数函数的值域与最值；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：（1）利用奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x），代入函数解析式得恒等式，利用恒等式中x的任意性即可得a的值；（2）先将不等式f（x）＞m恒成立问题转化为求函数f（x）在x∈时的最小值问题，再利用复合函数的单调性求最值即可解答：解：（1）∵为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），即即对x∈恒成立；所以（5+ax）（5﹣ax）=（5+x）（5﹣x）∴a=±1，因为a为不等于1的常数，所以a=﹣1（2）∵设，则f（t）=log2t，因为在上递减所以，又因为f（t）=log2t，在上是增函数，所以因为对任意的x∈，f（x）＞m恒成立，所以f（x）min＞m所以点评：本题考查了奇函数的定义及其应用，不等式恒成立问题的解法，复合函数的单调性及其最值的求法，转化化归的思想方法20．（2015•潮南区模拟）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设b n=a2n﹣，则=﹣，==，由此能证明数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，得+，从而a2n﹣1+a2n=﹣2•（）n﹣6n+9，由此能求出S2n．从而能求出满足S n＞0的所有正整数n．解答：（Ⅰ）证明：设b n=a2n﹣，则=（）﹣=﹣，====，∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，∴+，由a2n=+3（2n﹣1），得a2n﹣1=3a2n﹣3（2n﹣1）=﹣•（）n﹣1﹣6n+，∴a2n﹣1+a2n=﹣﹣6n+9=﹣2•（）n﹣6n+9，S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）=﹣2﹣6（1+2+3+…+n）+9n==（）n﹣3（n﹣1）2+2．由题意得n∈N*时，{S2n}单调递减，又当n=1时，S2=＞0，当n=2时，S4=﹣＜0，∴当n≥2时，S2n＜0，S2n﹣1=S2n﹣a2n=﹣，故当且仅当n=1时，S2n+1＞0，综上所述，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用．。
浙江省宁波市余姚三中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 含解析
2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高二（上）期中数学试卷一．选择题:每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x+1=0的倾斜角是（）A．0°B．90°C．45°D．不存在2．若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（)A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣33．如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC 和EF所成的角为(）A．30°B．45°C．60°D．90°5．在空间，下列命题正确的是（）A．平行于同一平面的两条直线平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行6．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+(y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．7．若实数x，y满足不等式组合,则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．8．过点（﹣2,4）且在两坐标轴上截距相等的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，则点P(a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能10．已知圆C的方程是x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，直线l：y=﹣x,则圆C上有几个点到直线l的距离为(）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m=．12．圆x2+y2=20的弦AB的中点为P（2，﹣3）,则弦AB所在直线的方程是．13．若点p(m，3)到直线4x﹣3y+1=0的距离为4，且点p在不等式2x+y＜3表示的平面区域内，则m=．14．如果两条直线l1：x+a2y+6=0与l2:（a﹣2）x+3ay+2a=0平行,则实数a 的值是．15．过点P（1，1)的直线与圆(x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点,则|AB｜的最小值为．16．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(﹣1，1）和Q（2，2)，若直线l：mx+y﹣m=0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是．17．设m，n是两条不重合的直线,α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β④若m⊂α，n⊂β,m∥n，则α∥β其中正确的命题的序号是．三．解答题：本大题共5小题,共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）（2013秋•秦州区校级期末）已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P（1，1）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ)求点A（3，4)关于直线l的对称点A′的坐标．19．（15分）(2010•如皋市校级模拟)如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD;（2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（3）设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE,并说明理由．20．（15分)（2010秋•杭州校级期末）如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD,BC=CD=1，分别为AC、AD的中点．(1)求证:平面BEF⊥平面ABC；（2）求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．21．(15分）(2015秋•余姚市校级期中）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+(y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）作出该不等式组所确定的平面区域试，并求圆C的方程．(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，满足CA⊥CB，求直线l的方程．22．（15分)(2009秋•下城区校级期末）已知圆C：与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B，其中O为原点．（1）求证:△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M、N，若|OM｜=｜ON｜,求圆C的方程．2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x+1=0的倾斜角是（）A．0°B．90°C．45°D．不存在【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；函数思想；直线与圆．【分析】直接利用直线方程求出直线的倾斜角即可．【解答】解：直线x+1=0的倾斜角是90°．故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查计算能力．2．若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（)A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】待定系数法．【分析】把圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2)代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0,∴a=1，故选B．【点评】本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．3．如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】直线的截距式方程;确定直线位置的几何要素．【专题】直线与圆．【分析】先把Ax+By+C=0化为y=﹣x﹣，再由AB＜0,BC＜0得到﹣＞0，﹣＞0，数形结合即可获取答案【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为y=﹣x﹣，又AB＜0，BC＜0∴AB＞0，∴﹣＞0，﹣＞0，∴直线过一、二、三象限，不过第四象限．故选:D．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化,以及学生数形结合的能力,属容易题4．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC 和EF所成的角为(）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】连接BC1，A1C1,A1B，根据正方体的几何特征，我们能得到∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角,判断三角形A1C1B的形状，即可得到异面直线AC和EF所成的角．【解答】解：连接BC1，A1C1，A1B，如图所示:根据正方体的结构特征,可得EF∥BC1，AC∥A1C1,则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B为等边三角形故∠A1C1B=60°故选C【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中利用平移的方法，构造∠A1C1B 为异面直线AC和EF所成的角，是解答本题的关键．5．在空间，下列命题正确的是(）A．平行于同一平面的两条直线平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故A错误;平行于同一直线的两个平面平行或相交，故B错误；垂直于同一平面的两个平面平行或相交,故C错误；由直线与平面垂直的性质得：垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确．故选:D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养．6．直线x﹣y+3=0被圆(x+2）2+(y﹣2）2=2截得的弦长等于（)A．B．C．2 D．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD,然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB．【解答】解:连接OB,过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，根据（x+2)2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为(﹣2，2)，半径为．圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=,则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选D．【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题，以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形．灵活运用垂径定理解决数学问题．7．若实数x,y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+y，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=x+y，过可行域内的点A（4，5)时的最大值,从而得到z最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5)时z最大，最大值为9，故选A．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题．8．过点（﹣2,4）且在两坐标轴上截距相等的直线有（)A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】直线的截距式方程．【专题】分类讨论；方程思想；直线与圆．【分析】对直线截距分类讨论即可得出．【解答】解：当直线经过原点时，满足条件，其方程为:y=﹣2x．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为:x+y=a,代入点（﹣2，4)可得a=2，此时直线方程为x+y=2．综上可得:满足条件的直线有两条．故选：B．【点评】本题考查了直线的截距式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．9．若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离,则点P（a，b）的位置是(）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据直线与圆的位置关系,得到圆心到直线的距离大于半径，得到关于a,b的关系式,这个关系式正好是点到圆心的距离,得到圆心与点到距离小于半径，得到点在圆的内部．【解答】解：∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离,∴,∴，∴点P（a，b）到圆心的距离小于半径，∴点在圆内,故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系,本题解题的关键是正确利用点到直线的距离公式，本题是一个基础题．10．已知圆C的方程是x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，直线l：y=﹣x,则圆C上有几个点到直线l 的距离为(）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】点到直线的距离公式；圆的一般方程．【专题】计算题；数形结合．【分析】先把圆的方程转化为标准形式，求出圆心和半径；再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即可得出结论．【解答】解：圆C的方程是x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，即（x﹣2）2+（y﹣2)2=18，圆心为（2，2)，r=3．又因为(2，2）到直线y=﹣x的距离d=＜3．所以圆与直线相交，而到直线l的距离为的点应在直线两侧,且与已知直线平行的直线上．两平行线与圆相交的只有一条．故满足条件的点只有两个．故选B．【点评】本题主要考查圆的标准方程和一般方程的相互转化以及点到直线的距离公式的应用．解决本题需要有很强的分析能力．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m=或．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】求出圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心为C（1，0）、半径r=，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列式,解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵将圆x2+y2﹣2x﹣2=0化成标准方程，得（x﹣1）2+y2=3，∴圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心为C(1，0)，半径r=．∵直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，∴点C到直线的距离等于半径，即=,解之得m=或．故答案为:或【点评】本题给出含有参数m的直线与已知圆相切，求参数m之值．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题．12．圆x2+y2=20的弦AB的中点为P(2，﹣3），则弦AB所在直线的方程是2x﹣3y﹣13=0．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】先求得直线OP的斜率，可得弦AB的斜率，再用点斜式求得弦AB所在直线的方程．【解答】解：由于弦AB的中点为P（2，﹣3），故直线OP的斜率为=﹣，∴弦AB的斜率为，故弦AB所在直线的方程是y+3=（x﹣2），即2x﹣3y﹣13=0,故答案为：2x﹣3y﹣13=0．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质,用点斜式求直线的方程，属于基础题．13．若点p（m,3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为4,且点p在不等式2x+y＜3表示的平面区域内，则m=﹣3．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由点M到直线4x﹣3y+1=0的距离等于4求得m的值，代入不等式2x+y＜3验证后得答案．【解答】解:∵点M（m,3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为4，∴,解得:m=7或m=﹣3．当m=7时，2×7+3＜3不成立;当m=﹣3时,2×（﹣3)+3＜3成立．综上:m=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了二元一次不等式表示的平面区域,是基础题．14．如果两条直线l1:x+a2y+6=0与l2:(a﹣2)x+3ay+2a=0平行，则实数a 的值是0或﹣1．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】讨论直线的斜率是否存在，然后根据两直线的斜率都存在，则斜率相等建立等式,解之即可．【解答】解:当a=0时,两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=﹣6,x=0，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故有斜率相等，∴﹣=，解得:a=﹣1,综上，a=0或﹣1，故答案为：0或﹣1．【点评】本题主要考查了两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，属于基础题．15．过点P(1，1）的直线与圆（x﹣2）2+(y﹣3）2=9相交于A,B两点，则|AB|的最小值为4．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】求出圆心坐标与半径，圆心C到直线距离的最大值为|CP|．由此结合垂径定理,即可算出｜AB｜的最小值．【解答】解：圆（x﹣2)2+（y﹣3)2=9的圆心坐标为（2，3），半径为3．点P（1，1）在圆（x﹣2)2+（y﹣3）2=9内部．∵圆心到直线的距离的最大值为｜CP｜==，∴｜AB｜有最小值2=4，故答案为：4．【点评】本题给出直线与圆相交于A、B两点，求截得弦长的最小值，着重考查了两点间的距离公式和用垂径定理求弦长等知识，属于中档题．16．已知线段PQ两端点的坐标分别为P（﹣1，1）和Q（2，2），若直线l：mx+y﹣m=0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是m≤﹣2或m≥．【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题;数形结合；综合法；直线与圆．【分析】利用直线l：x+my+m=0经过定点，A（0，﹣1），求得直线AQ的斜率k AQ，直线AP的斜率k AP即可得答案．【解答】解：直线mx+y﹣m=0等价为y=﹣m（x﹣1）则直线过定点A(1，0），作出对应的图象如图：则由图象可知直线的斜率k=﹣m，满足k≥k AQ或k≤k AP,即﹣m≥=2或﹣m≤=﹣，则m≤﹣2或m≥，故答案为：m≤﹣2或m≥．【点评】本题考查：两条直线的交点坐标，考查恒过定点的直线，考查直线的斜率的应用，考查作图与识图能力，属于中档题．17．设m，n是两条不重合的直线，α,β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ,则α∥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m、n是异面直线，m⊂α,m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β④若m⊂α,n⊂β，m∥n，则α∥β其中正确的命题的序号是②③．【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【专题】规律型．【分析】由空间平面与平面之间位置关系的定义及判定方法，可以判断①的正误;若m⊥α，m⊥β，则α∥β，可由垂直同一条直线的两个平面的关系判断；对于③，利用反证法，可得到α∥β；对于④，α∩β=a，m⊂α,n⊂β，m∥a，n∥a,故m∥n，从而可判断．【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，也可能平行,故①错误;对于②，因为由m⊥α，m⊥β,可得出α∥β，故命题正确;对于③,若α∩β=a,则因为m⊂α，m∥β，n⊂β,n∥α，所以m∥a，n∥a，∴m∥n,这与m、n 是异面直线矛盾，故结论正确对于④，α∩β=a，m⊂α，n⊂β，m∥a，n∥a，∴m∥n，故结论不正确故正确的命题为:②③故答案为：②③【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系判定及命题的真假判断与应用,其中熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定方法是解答本题的关键．三．解答题:本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分)（2013秋•秦州区校级期末）已知直线l的倾斜角为135°,且经过点P（1，1）．(Ⅰ)求直线l的方程；（Ⅱ）求点A（3，4)关于直线l的对称点A′的坐标．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的点斜式方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（I）算出直线l的斜率k=tan135°=﹣1,利用直线方程的点斜式列式,化简即得直线l 的方程；(II）设所求对称点A’的坐标为（a，b），根据轴对称的性质建立关于a、b的方程组，解出a、b之值,可得所求对称点A’的坐标．【解答】解:（Ⅰ）∵直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率k=tan135°=﹣1，由此可得l直线l的方程为：y﹣1=﹣(x﹣1)，化简得x+y﹣2=0；（Ⅱ）设点A(3,4）关于直线l的对称点为A’（a，b)，∵AA’与直线l相互垂直,且AA’的中点(，）在直线l上，∴，解得,可得A'的坐标为（﹣2，﹣1）．【点评】本题求经过定点且倾斜角为135°的直线方程，并依此求对称点的坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题．19．（15分)（2010•如皋市校级模拟）如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2)求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（3)设E是CC1上一点,试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；集合的含义;直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】(1）连接AB1与A1B相交于M,由三角形中位线定理，我们易得B1C∥MD，结合线面平行的判定定理，易得B1C∥平面A1BD；（2）由于已知的几何体ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，结合AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，根据正方形的几何特征，我们易得到AB1⊥B1C1，BB1⊥B1C1，根据线面垂直的判定定理，即可得到B1C1⊥平面ABB1A1;(3）由图可知,当点E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，由已知易得DE∥AC1，结合AC1⊥平面AB1D，我们易得到DE⊥平面AB1D，进而根据面面垂直的判定定理得到结论．【解答】解：（1)证明：连接AB1与A1B相交于M,则M为A1B的中点，连接MD，又D为AC的中点，∴B1C∥MD，又B1C⊄平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD．（4分）（2）∵AB=BB1,∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1,∴A1B⊥B1C1,又在直棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1．（8分)（3）当点E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面BDE,∵D、E分别为AC、CC1的中点，∴DE∥AC1,∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面AB1D,又DE⊂平面BDE,∴平面A1BD⊥平面BDE．（14分)【点评】本题考查的知识眯是直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面间平行和垂直的判定定理、性质定理、定义是解答此类问题的根本．20．（15分）（2010秋•杭州校级期末）如图，已知△BCD中,∠BCD=90°，AB⊥平面BCD,BC=CD=1，分别为AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】(1）通过证明CD⊥平面ABC，CD∥EF,说明EF⊂平面BEF,即可证明平面BEF⊥平面ABC；（2）过A作AH⊥BE于H，连接HF，可得AH⊥平面BEF，推出∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．在Rt△AFH中，求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．【解答】解：（1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC．∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC，∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2)过A作AH⊥BE于H，连接HF，由（1）可得AH⊥平面BEF,∴∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．在Rt△ABC中，为AC中点，∴∠ABE=30°，∴．在Rt△BCD中，BC=CD=1，∴．∴在Rt△ABD中,∴．∴在Rt△AFH中,，∴AD与平面BEF所成角的正弦值为．【点评】证明两个平面垂直，关键在一个面内找到一条直线和另一个平面垂直；利用三垂线定理找出二面角的平面角，解三角形求出此角，是常用方法．21．（15分）（2015秋•余姚市校级期中）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b)2=r2及其内部所覆盖．（1)作出该不等式组所确定的平面区域试，并求圆C的方程．（2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A,B，满足CA⊥CB，求直线l的方程．【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；作图题；数形结合；不等式的解法及应用．【分析】（1）作平面区域，从而可得C(2，1)，r==，从而解得；（2)由题意作图，从而可得CB∥x轴，从而解得B（2+，1)或B(2﹣，1）；从而解得．【解答】解：(1）、作平面区域如下，，结合图象可知，点C（2，1)，r==，故圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1)2=5；（2）由题意作图如右图，结合图象可知,CB∥x轴，故由（x﹣2）2+（1﹣1)2=5解得，x=2+或x=2﹣；故B（2+,1）或B(2﹣，1）；故l的方程为y﹣1=x﹣2﹣或y﹣1=x﹣2+；即x﹣y﹣1﹣=0或x﹣y﹣1+=0．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．22．（15分）(2009秋•下城区校级期末）已知圆C：与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1）求证：△OAB的面积为定值；(2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M、N，若｜OM|=｜ON｜，求圆C的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知A（2t，0)，，进而表示出面积即可得到答案．（2)由OM=ON，CM=CN可得OC垂直平分线段MN,根据题意得到直线OC的方程是,所以t=2或t=﹣2,再分别验证t的数值是否正确，进而得到答案．【解答】解：（1）由题意知A（2t，0），∴，所以△OAB的面积为定值．（2）∵OM=ON，CM=CN,∴OC垂直平分线段MN．∵k MN=﹣2，∴,∴直线OC的方程是．又因为圆心C(t，），所以,解得:t=2或t=﹣2．①当t=2时,圆心C的坐标为（2，1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4相交于两点．②当t=﹣2时，圆心C的坐标为(﹣2,﹣1），,此时C到直线y=﹣2x+4的距离,圆C与直线y=﹣2x+4不相交，∴t=﹣2不符合题意舍去．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题主要考查圆与直线的方程，以及直线与圆的位置关系，并且熟练掌握运用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系,是一道中档题．2016年1月15日。
2015-2016学年浙江省宁波市效实中学高二(上)数学期中试卷带解析答案
2015-2016学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（3分）复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（3分）椭圆x2+=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．43．（3分）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（）A．B．C．D．44．（3分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．5．（3分）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣16．（3分）过点A（﹣2，3）作直线与抛物线y2=8x在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．7．（3分）双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线上任意一点P到两个焦点的距离之差的绝对值与2a的大小关系为（）A．恒等于2a B．恒大于2a C．恒小于2a D．不确定8．（3分）已知F1、F2分别是双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，3]B．（0，3]C．（1，2]D．（1，+∞）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分．9．（4分）复数z=（3+4i）2的虚部为，z的共轭复数=．10．（4分）双曲线的焦距是，渐近线方程是．11．（4分）已知点P（x，y）在椭圆C：2x2+y2=4上，则2x+y的取值范围是，椭圆C上的点到M（1，0）的距离的最大值为．12．（4分）抛物线C：y2=2x的准线方程是，经过点P（4，1）的直线l 与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则=．13．（3分）如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是．14．（3分）已知椭圆的弦AB过点（﹣1，0），则弦AB中点的轨迹方程是．15．（3分）设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共51分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（10分）已知复数，（1）求|z|；（2）若z（z+a）=b+i，求实数a，b的值．17．（10分）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为，右焦点F（4，0），左右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线x=1交于M，N两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证：为定值，并求此定值．18．（10分）已知抛物线y2=4x，作斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，交x轴于点M，弦AB的中点为P（1）若M（2，0），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）设M（m，0），若点P满足，求m的值．19．（10分）已知椭圆方程C：+=1（a＞b＞0），经过点（1，），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆于M，N两点，试问：直线MN是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．20．（11分）已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线y=1相切；椭圆N的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点O，F是其一个焦点，又点（0，2）在椭圆N上．（1）求动圆圆心Q的轨迹M的方程和椭圆N的方程；（2）过点（0，﹣4）作直线l交轨迹M于A，B两点，连结OA，OB，射线OA，OB交椭圆N于C，D两点，求△OCD面积的最小值．（3）附加题（本题额外加5分）：过椭圆N上一动点P作圆x2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点分别为G，H，求的取值范围．2015-2016学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（3分）复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：因为===，是纯虚数，所以a=2．故选：C．2．（3分）椭圆x2+=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴a2=1，b2=m，则a=1，b=，又长轴长是短轴长的两倍，∴2=，即m=．故选：A．3．（3分）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：由椭圆可得椭圆的焦点坐标为（，0）设F点的坐标为（﹣，0）所以点P的坐标为（﹣，），所以=．根据椭圆的定义可得，所以．故选：C．4．（3分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，∴c==5，可得a2+b2=25…①又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=上，∴=…②，①②联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程故选：C．5．（3分）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣1【解答】解：由题意作图如右图，点P到直线l：2x﹣y+3=0为PA；点P到y轴的距离为PB﹣1；而由抛物线的定义知，PB=PF；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1；而点F（1，0）到直线l：2x﹣y+3=0的距离为=；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值为﹣1；故选：D．6．（3分）过点A（﹣2，3）作直线与抛物线y2=8x在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2m，又导数y′=2••，则在切点处的斜率为，∴=即m+2=2m﹣3，解得=2（﹣舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为=，故选：D．7．（3分）双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线上任意一点P到两个焦点的距离之差的绝对值与2a的大小关系为（）A．恒等于2a B．恒大于2a C．恒小于2a D．不确定【解答】解：取坐标原点（0，0），可得P到两个焦点的距离之差的绝对值为0＜2a，故选：C．8．（3分）已知F1、F2分别是双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，3]B．（0，3]C．（1，2]D．（1，+∞）【解答】解：设|PF1|=n，（n≥c﹣1）则：根据双曲线的定义：|PF2|=2+n，则：=≥8，当且仅当n=2时成立．所以：c﹣1≤2，即1＜c≤3即解得：1＜e≤3双曲线的离心率的取值范围为：（1，3]，故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分．9．（4分）复数z=（3+4i）2的虚部为24，z的共轭复数=﹣7﹣24i．【解答】解：z=（3+4i）2=﹣7+24i，其虚部为24，z的共轭复数=﹣7﹣24i．故答案分别为：24；﹣7﹣24i．10．（4分）双曲线的焦距是2，渐近线方程是．【解答】解：双曲线可得a=1，b=，双曲线的焦距是2c=2=2．双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．11．（4分）已知点P（x，y）在椭圆C：2x2+y2=4上，则2x+y的取值范围是，椭圆C上的点到M（1，0）的距离的最大值为．【解答】解：由2x2+y2=4，得，∵动点P（x，y）在椭圆上，∴可设x=co sθ，y=2sinθ，θ∈[0，2π]．∴2x+y=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+φ）（tanφ=）．∴2x+y∈；===．当cosθ=﹣时，（|PM|2）max=6，∴椭圆C上的点到M（1，0）的距离的最大值为．故答案为：．12．（4分）抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则=9．【解答】解：抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，它的焦点F（，0）．过A作AM⊥准线，BN⊥准线，PK⊥准线，M、N、K分别为垂足，则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|=|AF|+|BF|．再根据P为线段AB的中点，（|AM|+|BN|）=|PK|=，∴|AF|+|BF|=9，故答案为：．13．（3分）如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C 1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴，即x2+y2=（2c）2=12，②由①②得，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，则2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c′=2，∴C2的离心率是e==．故答案为：．14．（3分）已知椭圆的弦AB过点（﹣1，0），则弦AB中点的轨迹方程是x2+x+3y2=0．【解答】解：设直线l交椭圆与A（x 1，y1），B（x2，y2）两点，AB的中点为（x0，y0），则代入，作差得：+2y0（y1﹣y2）=0，①∵k AB=②，①②整理得：x02+x0+3y02=0，即x2+x+3y2=0．∴弦的中点的轨迹方程x2+x+3y2=0．故答案为：x2+x+3y2=0．15．（3分）设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为y2=4x或y2=16x．【解答】解：因为抛物线C方程为y2=3px（p＞0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AF⊥AMRt△AOF中，|AF|=，所以sin∠OAF==因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，因为|MF|=5，|AF|=，所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案为：y2=4x或y2=16x．三、解答题：本大题共5小题，共51分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（10分）已知复数，（1）求|z|；（2）若z（z+a）=b+i，求实数a，b的值．【解答】解：（1）；（2）（3﹣i）（3﹣i+a）=（3﹣i）2+（3﹣i）a=8+3a﹣（a+6）i=b+i，可得．17．（10分）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为，右焦点F（4，0），左右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线x=1交于M，N两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证：为定值，并求此定值．【解答】解：（1）（2），所以，所以．18．（10分）已知抛物线y2=4x，作斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，交x轴于点M，弦AB的中点为P（1）若M（2，0），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）设M（m，0），若点P满足，求m的值．【解答】解：（1）直线方程为：y=x﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，所以中点为所以圆的方程：（x﹣4）2+（y﹣2）2=24．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程为：y=x﹣m，，，可得，所以，解得：，19．（10分）已知椭圆方程C：+=1（a＞b＞0），经过点（1，），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆于M，N两点，试问：直线MN是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．∴a=b，∴+=1，又∵椭圆经过点P（1，），代入可得b=1，∴a=，故所求椭圆方程为+y2=1；（2）直线MN过定点（0，0），证明：设过椭圆右顶点A（，0）的直线l1的方程为y=k1（x﹣），代入椭圆方程，消去y，得（1+2k12）x2﹣4k12x+4k12﹣2=0，则x M=，y M=k1x M﹣k1=﹣，则M（，﹣），由于l2的方程为y=k2（x﹣），且k1•k2=﹣，代入椭圆方程，则将上面的k1换成﹣，有N（﹣，），则有M，N两点关于原点对称，连接MN，必过原点（0，0）．故直线MN恒过定点（0，0）．20．（11分）已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线y=1相切；椭圆N的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点O，F是其一个焦点，又点（0，2）在椭圆N上．（1）求动圆圆心Q的轨迹M的方程和椭圆N的方程；（2）过点（0，﹣4）作直线l交轨迹M于A，B两点，连结OA，OB，射线OA，OB交椭圆N于C，D两点，求△OCD面积的最小值．（3）附加题（本题额外加5分）：过椭圆N上一动点P作圆x2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点分别为G，H，求的取值范围．【解答】解：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：x2=﹣4y，依题意可设椭圆N的标准方程为+=1（a＞b＞0），显然有c=1，a=2∴b=，∴椭圆N的标准方程为：；轨迹；（2）所以x1x2+y1y2=0⇒OA⊥OB设，所以，同理可得：，所以，令t=1+k2（t≥1），，所以当（3）（附加题）设∠GPH=2α，圆x2+（y﹣1）2=1的圆心为E，如图：当P在椭圆上顶点时PE最小为1，在椭圆下顶点时，|PE|的最大值为3，PE∈[1，3]，PEcosα=PG，sinα=．∴==，当且仅当|PE|=时取等号．因为|PE|∈[1，3]，所以．。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
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2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高二（上）期中数学试卷一．选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x+1=0的倾斜角是（）A．0°B．90°C．45°D．不存在2．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣33．（5分）如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行于同一平面的两条直线平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行6．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．8．（5分）过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9．（5分）若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，则点P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能10．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，直线l：y=﹣x，则圆C上有几个点到直线l的距离为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m=．12．（4分）圆x2+y2=20的弦AB的中点为P（2，﹣3），则弦AB所在直线的方程是．13．（4分）若点p（m，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为4，且点p在不等式2x+y ＜3表示的平面区域内，则m=．14．（4分）如果两条直线l1：x+a2y+6=0与l2：（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则实数a 的值是．15．（4分）过点P（1，1）的直线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为．16．（4分）已知线段PQ两端点的坐标分别为P（﹣1，1）和Q（2，2），若直线l：mx+y﹣m=0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是．17．（4分）设m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β④若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β 其中正确的命题的序号是．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P（1，1）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求点A（3，4）关于直线l的对称点A′的坐标．19．（15分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（3）设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．20．（15分）如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=CD=1，分别为AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．21．（15分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）作出该不等式组所确定的平面区域试，并求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，满足CA⊥CB，求直线l的方程．22．（15分）已知圆C：与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M、N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x+1=0的倾斜角是（）A．0°B．90°C．45°D．不存在【解答】解：直线x+1=0的倾斜角是90°．故选：B．2．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选：B．3．（5分）如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为y=﹣x﹣，又AB＜0，BC＜0∴AB＞0，∴﹣＞0，﹣＞0，∴直线过一、二、三象限，不过第四象限．故选：D．4．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B为等边三角形故∠A1C1B=60°故选：C．5．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行于同一平面的两条直线平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解答】解：平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故A错误；平行于同一直线的两个平面平行或相交，故B错误；垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故C错误；由直线与平面垂直的性质得：垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．6．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选：D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时z最大，最大值为9，故选：A．8．（5分）过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：当直线经过原点时，满足条件，其方程为：y=﹣2x．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为：x+y=a，代入点（﹣2，4）可得a=2，此时直线方程为x+y=2．综上可得：满足条件的直线有两条．故选：B．9．（5分）若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，则点P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能【解答】解：∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，∴，∴，∴点P（a，b）到圆心的距离小于半径，∴点在圆内，故选：C．10．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，直线l：y=﹣x，则圆C上有几个点到直线l的距离为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：圆C的方程是x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，圆心为（2，2），r=3．又因为（2，2）到直线y=﹣x的距离d=＜3．所以圆与直线相交，而到直线l的距离为的点应在直线两侧，且与已知直线平行的直线上．两平行线与圆相交的只有一条．故满足条件的点只有两个．故选：B．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m=或．【解答】解：∵将圆x2+y2﹣2x﹣2=0化成标准方程，得（x﹣1）2+y2=3，∴圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心为C（1，0），半径r=．∵直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，∴点C到直线的距离等于半径，即=，解之得m=或．故答案为：或12．（4分）圆x2+y2=20的弦AB的中点为P（2，﹣3），则弦AB所在直线的方程是2x﹣3y﹣13=0．【解答】解：由于弦AB的中点为P（2，﹣3），故直线OP的斜率为=﹣，∴弦AB的斜率为，故弦AB所在直线的方程是y+3=（x﹣2），即2x﹣3y﹣13=0，故答案为：2x﹣3y﹣13=0．13．（4分）若点p（m，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为4，且点p在不等式2x+y ＜3表示的平面区域内，则m=﹣3．【解答】解：∵点M（m，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为4，∴，解得：m=7或m=﹣3．当m=7时，2×7+3＜3不成立；当m=﹣3时，2×（﹣3）+3＜3成立．综上：m=﹣3．故答案为：﹣3．14．（4分）如果两条直线l1：x+a2y+6=0与l2：（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则实数a 的值是0或﹣1．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=﹣6，x=0，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故有斜率相等，∴﹣=，解得：a=﹣1，综上，a=0或﹣1，故答案为：0或﹣1．15．（4分）过点P（1，1）的直线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为4．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心坐标为（2，3），半径为3．点P （1，1）在圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9内部．∵圆心到直线的距离的最大值为|CP|==，∴|AB|有最小值2=4，故答案为：4．16．（4分）已知线段PQ两端点的坐标分别为P（﹣1，1）和Q（2，2），若直线l：mx+y﹣m=0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是m≤﹣2或m≥．【解答】解：直线mx+y﹣m=0等价为y=﹣m（x﹣1）则直线过定点A（1，0），作出对应的图象如图：则由图象可知直线的斜率k=﹣m，满足k≥k AQ或k≤k AP，即﹣m≥=2或﹣m≤=﹣，则m≤﹣2或m≥，故答案为：m≤﹣2或m≥．17．（4分）设m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β④若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β 其中正确的命题的序号是②③．【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，也可能平行，故①错误；对于②，因为由m⊥α，m⊥β，可得出α∥β，故命题正确；对于③，若α∩β=a，则因为m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，所以m∥a，n∥a，∴m∥n，这与m、n是异面直线矛盾，故结论正确对于④，α∩β=a，m⊂α，n⊂β，m∥a，n∥a，∴m∥n，故结论不正确故正确的命题为：②③故答案为：②③三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P（1，1）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求点A（3，4）关于直线l的对称点A′的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率k=tan135°=﹣1，由此可得l直线l的方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），化简得x+y﹣2=0；（Ⅱ）设点A（3，4）关于直线l的对称点为A'（a，b），∵AA'与直线l相互垂直，且AA'的中点（，）在直线l上，∴，解得，可得A'的坐标为（﹣2，﹣1）．19．（15分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（3）设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．【解答】解：（1）证明：连接AB1与A1B相交于M，则M为A1B的中点，连接MD，又D为AC的中点，∴B1C∥MD，又B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．（4分）（2）∵AB=BB1，∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，又在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1．（8分）（3）当点E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，∵D、E分别为AC、CC1的中点，∴DE∥AC1，∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD，又DE⊂平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE．（14分）20．（15分）如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=CD=1，分别为AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC．∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC，∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）过A作AH⊥BE于H，连接HF，由（1）可得AH⊥平面BEF，∴∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．在Rt△ABC中，为AC中点，∴∠ABE=30°，∴．在Rt△BCD中，BC=CD=1，∴．∴在Rt△ABD中，∴．∴在Rt△AFH中，，∴AD与平面BEF所成角的正弦值为．21．（15分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）作出该不等式组所确定的平面区域试，并求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，满足CA⊥CB，求直线l的方程．【解答】解：（1）、作平面区域如下，，结合图象可知，点C（2，1），r==，故圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；（2）由题意作图如右图，结合图象可知，CB∥x轴，故由（x﹣2）2+（1﹣1）2=5解得，x=2+或x=2﹣；故B（2+，1）或B（2﹣，1）；故l的方程为y﹣1=x﹣2﹣或y﹣1=x﹣2+；即x﹣y﹣1﹣=0或x﹣y﹣1+=0．22．（15分）已知圆C：与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M、N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．【解答】解：（1）由题意知A（2t，0），∴，所以△OAB的面积为定值．（2）∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN．∵k MN=﹣2，∴，∴直线OC的方程是．又因为圆心C（t，），所以，解得：t=2或t=﹣2．①当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4相交于两点．②当t=﹣2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4不相交，∴t=﹣2不符合题意舍去．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．。