3.2 边际分布与条件分布
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概率论-第三章-3.2 边缘分布
缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究.
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
条件分布和边缘分布的关系
条件分布和边缘分布的关系条件分布和边缘分布是概率论和数理统计学中两个重要的概念，它们之间有一定的联系和关系。
下面我会具体介绍条件分布和边缘分布的概念，并且解释它们之间的关系。
首先，我们来介绍条件分布的概念。
在概率论中，条件分布是指在已知某些条件下，随机变量的分布情况。
换句话说，条件分布是指在已知某个条件时，所关心的随机变量的分布情况。
条件分布通常用P(Y|X)来表示，其中X是所关心的条件变量，Y是需要得到其分布的随机变量。
P(Y|X)表示在已知X的条件下，Y的分布情况。
举个例子来说明条件分布的概念。
假设我们研究一个班级的学生，X表示学生的年龄，Y表示学生的身高。
如果我们对条件分布P(Y|X)感兴趣，那么我们可以根据学生的年龄来推测学生的身高分布。
例如，当X为10岁时，Y的分布可能是一个正态分布，而当X为20岁时，Y的分布可能是另一个不同的正态分布。
接下来，我们来介绍边缘分布的概念。
在概率论中，边缘分布是指随机变量的分布情况，而不考虑其他变量的情况。
换句话说，边缘分布是指所关心的随机变量的分布情况，而不考虑其他随机变量的影响。
边缘分布通常用P(X)或P(Y)来表示，表示随机变量X或Y的分布情况。
继续以上面的例子来说明边缘分布的概念。
假设我们对边缘分布P(Y)感兴趣，表示学生的身高分布情况，而不考虑学生的年龄。
我们可以直接统计班级中学生的身高分布，而不需要考虑他们年龄的影响。
在条件分布和边缘分布之间存在一定的关系。
具体来说，边缘分布可以通过条件分布来计算得到。
这是因为边缘分布是在不考虑其他变量的情况下计算得到的，而条件分布是在已知某个条件下计算得到的。
通过概率论中的乘法规则，我们可以得到边缘分布的公式：P(X) = ∑ P(X, Y)。
这个公式表示随机变量X的边缘分布可以通过将随机变量X和Y的联合分布P(X, Y)在所有可能的取值情况下求和得到。
我们可以通过条件分布来计算边缘分布。
假设我们已知条件分布P(Y|X)，我们可以通过边缘分布的公式，将Y积分掉，得到边缘分布P(X)。
3.2 边际分布与条件分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
§3.2
边际分布与条件分布
一、二维离散型随机变量的边际分布 二、二维连续型随机变量的边际分布 三、条件分布*
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
对于二维随机变量 ( , ) ,我们可以对其中的任何
一个变量 或 进行个别研究,而不管另一个变量取 什么值,这样得到的分布,称为 ( , ) 的边际概率分布.
x 0; 其它 .
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
( 2) 当 y 0 时, fY ( x) 0;
y
y
yx
当 y 0 时，
fY ( y) f ( x, y)d x
y y
0
y y e . e dx
O
y
x
从而
y e y , y 0 ; fY ( y ) 其它 . 0,
解：(1) 当 x 0 或 x 1 时，
0 x 1,0 y x； 其它.
y
x
O
yx
当 0 x 1 时， x f X ( x) f ( x, y)d y f ( x, y )d y
f X ( x) f ( x, y)d y 0;
x
p ( y j )
0
5 /12
1
7 / 12
将它们写在联合分布表上，即得下表：
0
1/ 12
1
1/ 6
5 /12
7 / 12
p ( xi )
0
1/ 4
1
p ( y j )
§3.2
边际分布与条件分布
一、二维离散型随机变量的边际分布 二、二维连续型随机变量的边际分布 三、条件分布*
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
对于二维随机变量 ( , ) ,我们可以对其中的任何
一个变量 或 进行个别研究,而不管另一个变量取 什么值,这样得到的分布,称为 ( , ) 的边际概率分布.
x 0; 其它 .
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
( 2) 当 y 0 时, fY ( x) 0;
y
y
yx
当 y 0 时，
fY ( y) f ( x, y)d x
y y
0
y y e . e dx
O
y
x
从而
y e y , y 0 ; fY ( y ) 其它 . 0,
解：(1) 当 x 0 或 x 1 时，
0 x 1,0 y x； 其它.
y
x
O
yx
当 0 x 1 时， x f X ( x) f ( x, y)d y f ( x, y )d y
f X ( x) f ( x, y)d y 0;
x
p ( y j )
0
5 /12
1
7 / 12
将它们写在联合分布表上，即得下表：
0
1/ 12
1
1/ 6
5 /12
7 / 12
p ( xi )
0
1/ 4
1
p ( y j )
概率统计与数理统计第二节 边缘分布与条件分布
p21 p22 p2 j
pi 1 pi 2 pij
j 1
P{ X xi } pij , i 1,2,;
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
例1
已知下列分布律求其边缘分布律.
Y
X
0 1
0
16 49 12 49
记为 FX ( x ) F ( x , ). 同理令 x ,
FY ( y ) F (, y ) P{ X ,Y y } P{Y y }
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
2.离散型随机变量的边缘分布律
( 定义 设二维离散型随机变量 X ,Y )的联合分布 律为 P { X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,. 记 pi pij P { X xi }, i 1,2,,
x
因而得
6( x x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 其他. 0,
当 0 y 1 时,
y y x
(1,1)
fY ( y )
y
f ( x, y) d x
6d x
O
y
y x2
x
6( y y ).
当 y 0 或 y 1时, fY ( y )
dy ,
1 y μ2 x μ1 , 令 t ρ 2 σ1 1 ρ σ2
则有
1 f X ( x) e 2πσ1
( x μ1 )2 2 2 σ1
t2 2
概率论与数理统计3.2 边缘分布与独立性
p·
j
p2 j . . . pij . . . p· j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个， 抽取两次，定义随机变量X、Y如下
1, 第一次抽取的产品是正品 X 0, 第一次抽取的产品是次品
1, 第二次抽取的产品是正品 Y 0, 第二次抽取的产品是次品
2 R2 x2 , R x R 2 R 0y R 2 fY ( y ) R 0, 其它
1 2 f (0, 0) , f X (0) fY (0) 2 R R
因此， X与Y不独立。
随机变量的独立性
如果二维随机变量(X,Y)满足, 对任意x,y, 有
P( X x, Y y ) P ( X x ) P (Y y ) 即 F ( x, y ) FX ( x) FY ( y )
则称X与Y相互独立 .
连续型 离散型
f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
1y 1 2dx ,0 y0 1,x 1 2 dx , 0 y fY ( y ) f ( x, y )dx 其它 0, 其它 0, 2( y2 y1), 0 1y 1 2 , 0 y , 0, 其它 其它 0,
对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取； (2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。
(1) 有放回抽取
Y XY 0 X 0 4 0 1
(2) 无放回抽取
pi· 2/5 3/5 1
X X Y
01
1
Y 0 0 X
01 1
1pi·
46 6 25 25 25 25 69 9 1 6 25 25 25 25
边际分布与条件分布
fY
y y e y dx ye y 0
y
故
fY
y
ye 0,
将它们写在联合分布表上，即得下表：
0
1
p ( y j )
0
1/12
1/ 3
5 /12
1
1/ 6
5 /12 7 /12
p (xi )
1/ 4 3/4
1
18
2021/3/7
盐城工学院概率论与数理统计课题么组么么么方面
• Sds绝对是假的
盐城工学院概率论与数理统计课题组
三、连续型随机变量的边际概率密度
解：P( 0) 1 1 1 ; P( 1) 1 5 3 .
12 6 4
3 12 4
则 的边缘分布表为：
p (xi )
0
1
14
34
17
2021/3/7
§2.10 二维随机变量的边际分布 盐城工学院概率论与数理统计课题组
类似可得 的边际分布表为：
p ( y j )
0
5 /12
1
7 /12
R2
3 . 设 G 是 xOy 平面上的区域 , 则有
PX ,Y G f x, ydxdy ;
G
4 . 在 f (x,y)的连续点 , f (x, y) 2F (x, y) xy
2
2021/3/7
盐城工学院概率论与数理统计课题组
例1. 设二维随机变量( X ,Y )的联合概率密度为
f
(x,
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盐城工学院概率论与数理统计课题组
四、课堂练习
设(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
e y , x 0,
3.2.1,2(边际分布,条件分布)
r
y
y
2 r 2 − y2 , | y |≤ r 2 ϕY ( y ) = π r 0, | y |> r
-r −
r 2 − y2
r 2 − y2
r x
-r
说明： ( X ,Y) 的联合分布是均匀分布， 说明： 的联合分布是均匀分布， 但边缘分布都不是均匀分布。 但边缘分布都不是均匀分布。
2× 2 P (ξ1 = 1, ξ 2 = 1) = = 0.16 5× 5
ξ1
ξ2
0 1
0 0.36 0.24 0.6
1 0.24 0.6 0.16 0.1 0.4
边际分布相同 联合分布却不相同
联合分布可决定边际分布 边际分布不能决定联合分布
−1 0 1 X ~ 1 1 1 ， 例 已知 X ,Y 的分布分别为 4 2 4
∴ pη |ξ ( y | x ) =
pξη ( x , y )
pξ ( x ) 称 pη|ξ ( y | x) 为在 ξ = x 条件下， 连续随机变量 η 条件下 ，
的条件概率密度函数。 的条件概率密度函数 。
Fη|ξ
∫ ( y | x) =
y −∞
pξη ( x , v )dv pξ ( x )
解： 1） 不放回”取球方式 ） 不放回” “
3× 2 P (ξ1 = 0, ξ 2 = 0) = = 0.3 5× 4 3× 2 P (ξ1 = 0, ξ 2 = 1) = = 0.3 5× 4
2× 3 P (ξ 1 = 1, ξ 2 = 0) = = 0.3 5× 4
2×1 P (ξ1 = 1, ξ 2 = 1) = = 0.1 5× 4
p12 L p22 L M pm 2 L p•2 L
概率论与数理统计课件3-2边际分布和条件分布
解
由上述分布律的表格可得
P{ X 1,Y 0} 0.030 , P{Y 0 X 1} 0.045 P{ X 1} P{ X 1,Y 1} 0.010 , P{Y 1 X 1} 0.045 P{ X 1} P{ X 1,Y 2} 0.005 , P{Y 2 X 1} 0.045 P{ X 1}
Y 的条件概率密度为 1 , 0 x y 1, fY X ( y x ) 1 x 0, 其它.
因此 X 和 Y 的联合概率密度为 f ( x , y ) fY X ( y x ) f X ( x )
1 , 0 x y 1, 1 x 0, 其它. 际 故得Y 的边缘概率密度
P { X xi , Y y j } P {Y y j }
pij p j
, i 1, 2,
为在给定Y y j 条件下 X 的条件分布列.
同理，对于一切使P{ X xi } pij pi 0的 xi , 则称
j 1
p j i P{Y y j X xi }
边际分布 联合分布 条件分布 联合分布
设( X , Y ) 在圆域 x 2 y 2 1 上服从均匀分布, 求条 例3 件概率密度 f X Y ( x y ).
解 由题意知随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 y 2 1, f ( x, y) 0, 其它,
二
1.边际分布
边际分布和条件分布
问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 X 和 Y 各自的分布？
边际分布函数
已知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
3.2边缘分布
对于二维离散型随机变量( X , Y )，已知其联合分布律为
Pij P X xi ， Y y j
i，j 1， 2，
现求随机变量 X 的边缘分布律为：
P{ X xi } pij ,
j 1
i 1, 2,
同理，随机变量Y 的边缘分布律为：
P{Y y j } pij ,
则分量 X的边缘分布函数为
lim F x， y F x，
y
同理，分量Y的边缘分布函数为
FY y P Y y P X ， Y y
lim F x， y
x
F ， y
三、离散型随机变量的边缘分布律
已知联合分布律求边缘分布律
X 以及Y 的边缘分布律也可以由 下表表示
Y X x1
x2 y1 p11 p21 y2 p12 p22
… … … … …
yj p1 j p2 j
… … … … …pip1 p 2
xi
p j
pi1
p1
pi 2
p2
pij
p j
pi
例 1
例3 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f ( x, y ) 1 2π 1 2 1 ( x 1 ) 2 exp 2 2 2 1 2(1 ) 1
( y 2 )2 2 , 2 1 2 2 x , y , ( x 1 )( y 2 )
从 1，，， 2 3 4 这4个数中随机取出一个，记所取的数为 X ，再从1到 X 中随机地取出一个数，记所取的数为 Y，试求 X ， Y 的联合分布密度与X 及Y 各自的边缘 分布律．
Pij P X xi ， Y y j
i，j 1， 2，
现求随机变量 X 的边缘分布律为：
P{ X xi } pij ,
j 1
i 1, 2,
同理，随机变量Y 的边缘分布律为：
P{Y y j } pij ,
则分量 X的边缘分布函数为
lim F x， y F x，
y
同理，分量Y的边缘分布函数为
FY y P Y y P X ， Y y
lim F x， y
x
F ， y
三、离散型随机变量的边缘分布律
已知联合分布律求边缘分布律
X 以及Y 的边缘分布律也可以由 下表表示
Y X x1
x2 y1 p11 p21 y2 p12 p22
… … … … …
yj p1 j p2 j
… … … … …pip1 p 2
xi
p j
pi1
p1
pi 2
p2
pij
p j
pi
例 1
例3 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f ( x, y ) 1 2π 1 2 1 ( x 1 ) 2 exp 2 2 2 1 2(1 ) 1
( y 2 )2 2 , 2 1 2 2 x , y , ( x 1 )( y 2 )
从 1，，， 2 3 4 这4个数中随机取出一个，记所取的数为 X ，再从1到 X 中随机地取出一个数，记所取的数为 Y，试求 X ， Y 的联合分布密度与X 及Y 各自的边缘 分布律．
3.2.边缘分布_条件分布
2、连续型r.v.边缘分布
设(X, Y)～f (x, y),(x, y)R2,F(x, y)为分布 函数,则
FX ( x) F ( x, )
称
x
f ( x, y)dydx
f X ( x) f ( x, y)dy
为(X, Y )关于X 的边缘密度函数；
同理，称
例8 (X,Y)~ N(1, 12, 2, 22, ),求 fY | X ( y | x)
1 1 f X ( x) exp{ ( x 1 ) 2 } 解、由Ex3知， 2 12 2 1
f ( x, y ) fY | X ( y | x ) f X ( x)
1 2 2
二、条件分布
1. 离散型随机变量的条件分布律 例6.已知(X,Y)的分布律为 X \Y -1 0 pi.
-2 0 1/10 3/10 2/5 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 求X|Y = -1的条件分布律。
P{ X xi , Y 1} P{ X xi | Y 1} P{Y 1}
2 exp{ [ y2 2 ( x 1 )]2 } 2 2 2 2 1 1
1
2 Y | X N ( 2 ( x 1 ), 2 2 (1 2 )) 1
三、随机变量的相互独立性
定义 如果对任意实数x, y, F(x, y)=FX(x)FY(y)
其分量X及Y的分布函数为二维随机变量(X, Y) 关于X及关于Y的边缘分布函数, 分别记作 FX(x), FY(y), 边缘分布函数可以由(X ,Y)的分 布函数F(x, y)来确定.
定义
FX ( x) P{ X x} F ( x, ) lim F ( x, y )
条件分布概率和边际概率
条件分布概率和边际概率概率论是一门研究随机现象的数学分支，其中条件分布概率和边际概率是重要的概念。
条件分布概率指的是在给定某些条件下，事件发生的概率；而边际概率是指在不考虑其他条件的情况下，事件发生的概率。
条件分布概率是通过考虑其他条件来计算事件的概率。
例如，考虑一个骰子的例子，我们想要计算在投掷骰子时出现6的概率。
如果我们知道骰子是均匀的，那么在没有任何其他条件的情况下，出现6的概率是1/6。
然而，如果我们知道在投掷骰子时，只有前面一半的数字是可见的，那么在这个条件下出现6的概率将会有所不同。
这就是条件分布概率的概念，它考虑了其他条件对事件发生的影响。
边际概率与条件分布概率相反，它是在不考虑其他条件的情况下计算事件的概率。
继续上面的骰子例子，如果我们知道在投掷骰子时只有前面一半的数字是可见的，那么我们可以计算在这个条件下每个数字出现的概率。
这些概率将是边际概率，因为它们不考虑其他条件。
条件分布概率和边际概率在许多领域都有应用，特别是在统计学和机器学习中。
在这些领域中，我们经常需要计算事件发生的概率，并根据条件来进行推断和预测。
例如，在医学领域中，我们可能需要根据患者的年龄、性别和病症来计算他们患某种疾病的概率。
这就是条件分布概率的应用。
另一方面，边际概率在统计学中被广泛应用，例如计算某个事件在总体中发生的概率。
为了更好地理解条件分布概率和边际概率，我们可以考虑一个更复杂的例子。
假设我们有一组数据，包括人们的年龄、性别和收入水平。
我们想要计算在给定某个年龄段和性别的条件下，人们的收入水平的概率分布。
这就是条件分布概率的应用。
同时，我们还可以计算不考虑年龄和性别的条件下，人们的收入水平的概率分布。
这就是边际概率的应用。
总结起来，条件分布概率和边际概率是概率论中重要的概念。
条件分布概率是在给定某些条件下计算事件概率的方法，而边际概率是在不考虑其他条件的情况下计算事件概率的方法。
它们在统计学和机器学习中有广泛的应用，并帮助我们进行推断和预测。
3.2,3.4边缘分布及独立性
称维二维随机变量xy关于x和关于y的边缘分布函数二边缘分布律边缘概率密度一般地对二维离散型随机变量关于的边缘分布律为关于的边缘分布律为我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上由此得出边缘分布这个名词
3.2， 3.2，3.4 边缘分布及独立性
一、边缘分布函数 设二维随机变量（ , ) 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函 数为F( , ) 数为 (x,y)
分布相互立。 成立， 成立，所以 X 与 Y 分布相互立。
例3 已知
Y X
0
−1
1 / 4
0
0
0
p 22
1
1 / 4
0
2
求未知 pij , 并判断 X与Y是否独立 .
对二维连续型随机变量 密度为 f (x, y) 如果 与 ， X
， ( X , Y ) 若联合概率 相互独立， 相互独立，则： Y
( x−µ1 )2 ( y−µ2 )2 − − 2 2 2σ1 2σ2
1 f X (x) = e 2πσ1
( x−µ1 )2 − 2 2σ1
,
1 fY ( y) = e 2πσ2
( y−µ2 )2 − 2 2σ2
所以
f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y ) .
反过来， 如果 X 与 Y 相互独立，则 相互独立， 反过来， f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y ) . 即对任何 x, y 都成立
FX ( x) = P{ X ≤ x} = P{ X ≤ x,Y < +∞} F ( x,+∞) ＝ FY ( y ) = P{Y ≤ y }
= P{ X < +∞ , Y ≤ y } F ( +∞ , y ) ＝
3.2， 3.2，3.4 边缘分布及独立性
一、边缘分布函数 设二维随机变量（ , ) 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函 数为F( , ) 数为 (x,y)
分布相互立。 成立， 成立，所以 X 与 Y 分布相互立。
例3 已知
Y X
0
−1
1 / 4
0
0
0
p 22
1
1 / 4
0
2
求未知 pij , 并判断 X与Y是否独立 .
对二维连续型随机变量 密度为 f (x, y) 如果 与 ， X
， ( X , Y ) 若联合概率 相互独立， 相互独立，则： Y
( x−µ1 )2 ( y−µ2 )2 − − 2 2 2σ1 2σ2
1 f X (x) = e 2πσ1
( x−µ1 )2 − 2 2σ1
,
1 fY ( y) = e 2πσ2
( y−µ2 )2 − 2 2σ2
所以
f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y ) .
反过来， 如果 X 与 Y 相互独立，则 相互独立， 反过来， f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y ) . 即对任何 x, y 都成立
FX ( x) = P{ X ≤ x} = P{ X ≤ x,Y < +∞} F ( x,+∞) ＝ FY ( y ) = P{Y ≤ y }
= P{ X < +∞ , Y ≤ y } F ( +∞ , y ) ＝
概率统计和随机过程课件3.2二维随机变量的边缘分布和条件分布
1 2 C3 3 3
i i 3i
1 1 C3 1 3 3
j
j
3 j
i, j 0,1,2,3
见下表
13
pij X
Y 0 1
8
0
8 4
1
8 2
2
8 1
3
8
p• j
8
2
3 pi•
27 27 8 4 27 9 8 2 27 9 8 1 27 9 8 27
7
联合概率分布(联合分布律)
设( X ,Y )的所有可能的取值为
( xi , y j ), i, j 1,2, i, j 1,2, i, j 1,2,
则
P( X xi , Y y j ) pij ,
显然， pij 1
i 1 j 1
pij 0,
B
2
,C
2
,A
1
x
2
(2) FX ( x) F ( x,)
1 2 arctan , 2 1 x ,
5
FY ( y ) F (, y )
1 2 1
arctan
y 2
,
y ,
(3) P( X 2) 1 P( X 2)
（1 ） 利 用 联 合 分 布 ， 令 其 他 变 量 为 , 如 ： F ( x , ), F ( , y )求 得 x , y的 边 缘 分 布
（ 2） 利 用 边 缘 密 度 积 分 。
§3.2 二维随机变量的 条件分布
—— 将条件概率的概念推广到随机变量
i i 3i
1 1 C3 1 3 3
j
j
3 j
i, j 0,1,2,3
见下表
13
pij X
Y 0 1
8
0
8 4
1
8 2
2
8 1
3
8
p• j
8
2
3 pi•
27 27 8 4 27 9 8 2 27 9 8 1 27 9 8 27
7
联合概率分布(联合分布律)
设( X ,Y )的所有可能的取值为
( xi , y j ), i, j 1,2, i, j 1,2, i, j 1,2,
则
P( X xi , Y y j ) pij ,
显然， pij 1
i 1 j 1
pij 0,
B
2
,C
2
,A
1
x
2
(2) FX ( x) F ( x,)
1 2 arctan , 2 1 x ,
5
FY ( y ) F (, y )
1 2 1
arctan
y 2
,
y ,
(3) P( X 2) 1 P( X 2)
（1 ） 利 用 联 合 分 布 ， 令 其 他 变 量 为 , 如 ： F ( x , ), F ( , y )求 得 x , y的 边 缘 分 布
（ 2） 利 用 边 缘 密 度 积 分 。
§3.2 二维随机变量的 条件分布
—— 将条件概率的概念推广到随机变量
§3.2 边际分布与独立性
i 3
pj
3 5
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j C ） ） C3 ） ） （ （ （ （ 3 3 3 3
i 3
i, j 0,1, 2,3.
1 i 2 3-i Pi P(Ｘ i) C ） ） （ （ i 0， 2 3 1，，。 3 3 j 1 j 2 3-j Pj =P(Ｙ j) C3 ） ） （ （ j 0， 2 3。 1，， 3 3
FX ( x)
xi x
j1
i=1
P(X xi , Y y j )
xi x
j1
yj y
Pij
Pij
同理：Y ( y) F
yj y
P(X xi , Y y j )
i=1
2、已知(X,Y)的密度函数，求边际分布函数。
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j （ （ （ （ P(Ｘ i)P(Ｙ j) C ） ） C3 ） ） 3 3 3 3 i j 1 i j 2 6 i j i, j 0,1, 2,3. C3C3 ( ) ( )
i 3
由上面的4个例题可以看出：
1、求(X,Y)的联合分布列的方法，是按照乘法公式进行的， P(X=xi，Y=y j ) P(X=xi )P(Y=y j | X=xi )
-2y
同理
1-e FY(y)= 0
y0 y0
2e-2y y 0 PY ( y ) y0 0
4
P(（X+Y） 1 )
1 1 y
x +y）1
P( x, y )dxdy
pj
3 5
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j C ） ） C3 ） ） （ （ （ （ 3 3 3 3
i 3
i, j 0,1, 2,3.
1 i 2 3-i Pi P(Ｘ i) C ） ） （ （ i 0， 2 3 1，，。 3 3 j 1 j 2 3-j Pj =P(Ｙ j) C3 ） ） （ （ j 0， 2 3。 1，， 3 3
FX ( x)
xi x
j1
i=1
P(X xi , Y y j )
xi x
j1
yj y
Pij
Pij
同理：Y ( y) F
yj y
P(X xi , Y y j )
i=1
2、已知(X,Y)的密度函数，求边际分布函数。
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j （ （ （ （ P(Ｘ i)P(Ｙ j) C ） ） C3 ） ） 3 3 3 3 i j 1 i j 2 6 i j i, j 0,1, 2,3. C3C3 ( ) ( )
i 3
由上面的4个例题可以看出：
1、求(X,Y)的联合分布列的方法，是按照乘法公式进行的， P(X=xi，Y=y j ) P(X=xi )P(Y=y j | X=xi )
-2y
同理
1-e FY(y)= 0
y0 y0
2e-2y y 0 PY ( y ) y0 0
4
P(（X+Y） 1 )
1 1 y
x +y）1
P( x, y )dxdy
3.2边缘分布
1 1 x ∈[a, b] b − a d − c y ∈[c, d] f X (x) = fY ( y) = 0 x ∉[a, b] 0 y ∉[c, d]
上题中X 上题中X和Y都是服从均匀分布的随机变 但对于其它(不是矩形)区域上的均匀分布, 量.但对于其它(不是矩形)区域上的均匀分布,不 一定有上述结论 有上述结论. 一定有上述结论.
2 0
∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞
f ( x, y)dxdy =1
确定C 确定
= c∫ [x (2 − x) / 2]dx =5c/24=1,
c ⇒=24/5
22
24 y(2 − x)dy (2) f X (x) = ∫−∞ f (x, y)dy =∫ 0 5
x
+∞
y
12 2 = x (2 − x), 0 ≤ x ≤ 1 5 y=x
x
注意积分限
注意取值范围
0 1
24 fY ( y) = ∫ f (x, y)dx =∫ y(2 − x)dx −∞ y 5 2 24 3 y = y( − 2 y + ), 0 ≤ y ≤ 1 5 2 2
1
23
+∞
即
12 2 x (2 − x), 0 ≤ x ≤ 1 f X (x) = 5 0, 其它
2
注意
X和Y的边缘分布函数,本质上就是一维随 的边缘分布函数,本质上就是一维随 机变量X 的分布函数. 机变量X和Y的分布函数.之所以称其为边缘分 布是相对于(X,Y)的联合分布而言的. (X,Y)的联合分布而言的 布是相对于(X,Y)的联合分布而言的. 同样地,联合分布函数F(x,y) F(x,y)就是二维随 同样地,联合分布函数F(x,y)就是二维随 机向量(X,Y)的分布函数, (X,Y)的分布函数 机向量(X,Y)的分布函数,之所以称其为联合分 布是相对于其分量X 的分布而言的. 布是相对于其分量X或Y的分布而言的.
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f y
当 f x 0 时，
f x, y x f x
其中 f x , f y 分别是 , 的边际概率密度。
盐城工学院概率论与数理统计课题组
f x
f x, y dy
4 x 3x 2 ,0 x 1 f x 其它 0,
2
1 2 1
2
2 v u
2 1 2
dv
1 e 2 1
u2 2
1 e 2 1
x 1 2
212
， 即
~ N (1 , 1 ).
同理
f y 1 2 2 e
y 2 2
2 22
，即
1
1/ 6
求 与 的边际分布.
5 /12
1 1 1 1 5 3 解：P( 0) ; P( 1) . 3 12 4 12 6 4
则 的边缘分布表为：
p ( xi )
0 14
1 34
§2.10 二维随机变量的边缘分布
类似可得 的边际分布表为：
盐城工学院概率论与数理统计课题组
则边际分布分别为：
0
4 25 6 25
1
6 25 9 25
p
0
1
3 5
0
2 5 5
2 5
盐城工学院概率论与数理统计课题组
（2） 不放回地抽取的 , 联合分布表为
0
2 20
6 20
1
6 20
0
1
则边际分布分别为：
p
0
2 5
6 20
1
3 5
p
0
2 5
1
3 5
§2.10 二维随机变量的边缘分布
0
x
1
x
4.8 y (2 x)d y 2.4 x2 (2 x). 0
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
从而
2.4 x 2 (2 x), 0 x 1; f X ( x) 其它 . 0,
y
( 2) 当 y 0 或 y 1 时,
fY ( y) f ( x, y)d x 0;
1
yx
y y
当0 y 1 时,
1
fY ( y) f ( x, y)d x f ( x, y )d x
4.8 y (2 x)d x
y
O
1
x
1
y
2.4 y(3 4 y y 2 ).
盐城工学院概率论与数理统计课题组
二、二维连续随机变量的边际分布
设二维连续随机变量 ( , ) 的联合分布函数为
F ( x, y ), 联合密度函数为 f ( x, y ) .
[ 的边缘分布函数]
F ( x) P( x) P( x, )
F ( x,)
x
2
e
2 1
1
2
u 2 2 ruv v2
dv
盐城工学院概率论与数理统计课题组
1 e 2 1
u2 2
1 2 1
2
e
e
2 1
1
2
2u 2 2 uv v 2
dv
u 1 e 2 2 1
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
从而
2.4 y (3 4 y y 2 ), 0 y 1; fY ( y ) 其它 . 0,
盐城工学院概率论与数理统计课题组
例4.
二元正态分布函数
1 2 1 2 1 2 e
2 x 2 x 1 y 2 y 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2
例7.
已知 , 的概率密度为
6 xy 2 x y , 0 x 1, 0 y 1 f x, y 0, 其它
试求
f x
y 与 x
f y
解： 由条件密度公式知，当f y 0 时，
f x
f x, y y f y
[ 的边缘概率密度]
dx f ( x, y) d y.
d F ( x ) f ( x) f dx
( x, y ) d y.
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
同理可得,
[ 的边缘分布函数]
F ( y) F (, y ) d y f ( x, y) d x.
x 0; 其它 .
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
( 2) 当 y 0 时, fY ( x) 0;
y
y
yx
当 y 0 时，
fY ( y) f ( x, y)d x
y y
0
y y e . e dx
O
y
x
从而
y e y , y 0 ; fY ( y ) 其它 . 0,
f x
f x, y dx
4 y 3 y 2 , 0 y 1 f y 0, 其它
盐城工学院概率论与数理统计课题组
所以，当 0 y 1 时，f y 0
6x 2 x y ,0 x 1 f x, y f x 4 3 y y f y 0, 其它
盐城工学院概率论与数理统计课题组
若对于连续型随机变量，f x, y , f x 及 f y 分别是
, , 及 的密度函数，若 f x, y 在点 x, y 处连续，
且 f x 0, f y 0 ，则分别称
f y f x
P( xi , y j )
j 1
p( xi , y j ),
j 1
i 1, 2, , m, .
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
于是 的边缘分布表为：
P( xi )
x1 p ( x1 )
x2
p ( x2 )
F y
f x, y 为在条件 x f x
x 下 的条件密度；
x
f x, y y f y
为在条件 y下 的条件密度；
y
f x, v dv
x 为在条件 的条件分布函数； 下 f x
为在条件 y下 的条件分布函数。
p ( y j )
0
5 /12
1
7 / 12
将它们写在联合分布表上，即得下表：
0
1/ 12
1
1/ 6
5 /12
7 / 12
p ( xi )
0
1/ 4
1
p ( y j )
1/ 3
5 /12
3/ 4
1
盐城工学院概率论与数理统计课题组
例2.
求出3.1节中的例2的两个边际分布。 解：(1)有放回地抽取的联合分布表为右表
解：(1) 当 x 0 或 x 1 时，
0 x 1,0 y x； 其它.
y
x
O
yx
当 0 x 1 时， x f X ( x) f ( x, y)d y f ( x, y )d y
f X ( x) f ( x, y)d y 0;
x
p 1 p , 1 1 2 1 2 p 1
解：由条件概率公式知，
1 3 x y dxdy 7 1 2 1 0 1 3 x y dxdy 16
1 2 2 0 1
盐城工学院概率论与数理统计课题组
盐城工学院概率论与数理统计课题组
一、二维离散型随机变量的边际分布
设 ( , ) 表示二维离散随机变量.联合发布为：
1, 2, , m, ; p ( xi , y j ) P( xi , y j ), i j 1, 2, , n, .
[ X ]的边际概率函数
p ( xi ) P( xi ) P ( xi , y j ) j 1
F x
y
x
f u, y du f y
盐城工学院概率论与数理统计课题组
例6. 设 , 的联合密度为
1 x y ,0 x 1,0 y 2 f x, y 3 0, 其它
求
1 p 1 2
F x ， 设 , 的分布函数 F x, y ，的分布函数为
的分布函数为F y ，则
F x lim F x, y
y
F y lim F x, y
x
问题：已知联合分布,求边际分布.
§2.10 二维随机变量的边缘分布
0 x y； 其它.
y
x x
当 f x 0 时，
f x, y x f x
其中 f x , f y 分别是 , 的边际概率密度。
盐城工学院概率论与数理统计课题组
f x
f x, y dy
4 x 3x 2 ,0 x 1 f x 其它 0,
2
1 2 1
2
2 v u
2 1 2
dv
1 e 2 1
u2 2
1 e 2 1
x 1 2
212
， 即
~ N (1 , 1 ).
同理
f y 1 2 2 e
y 2 2
2 22
，即
1
1/ 6
求 与 的边际分布.
5 /12
1 1 1 1 5 3 解：P( 0) ; P( 1) . 3 12 4 12 6 4
则 的边缘分布表为：
p ( xi )
0 14
1 34
§2.10 二维随机变量的边缘分布
类似可得 的边际分布表为：
盐城工学院概率论与数理统计课题组
则边际分布分别为：
0
4 25 6 25
1
6 25 9 25
p
0
1
3 5
0
2 5 5
2 5
盐城工学院概率论与数理统计课题组
（2） 不放回地抽取的 , 联合分布表为
0
2 20
6 20
1
6 20
0
1
则边际分布分别为：
p
0
2 5
6 20
1
3 5
p
0
2 5
1
3 5
§2.10 二维随机变量的边缘分布
0
x
1
x
4.8 y (2 x)d y 2.4 x2 (2 x). 0
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
从而
2.4 x 2 (2 x), 0 x 1; f X ( x) 其它 . 0,
y
( 2) 当 y 0 或 y 1 时,
fY ( y) f ( x, y)d x 0;
1
yx
y y
当0 y 1 时,
1
fY ( y) f ( x, y)d x f ( x, y )d x
4.8 y (2 x)d x
y
O
1
x
1
y
2.4 y(3 4 y y 2 ).
盐城工学院概率论与数理统计课题组
二、二维连续随机变量的边际分布
设二维连续随机变量 ( , ) 的联合分布函数为
F ( x, y ), 联合密度函数为 f ( x, y ) .
[ 的边缘分布函数]
F ( x) P( x) P( x, )
F ( x,)
x
2
e
2 1
1
2
u 2 2 ruv v2
dv
盐城工学院概率论与数理统计课题组
1 e 2 1
u2 2
1 2 1
2
e
e
2 1
1
2
2u 2 2 uv v 2
dv
u 1 e 2 2 1
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
从而
2.4 y (3 4 y y 2 ), 0 y 1; fY ( y ) 其它 . 0,
盐城工学院概率论与数理统计课题组
例4.
二元正态分布函数
1 2 1 2 1 2 e
2 x 2 x 1 y 2 y 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2
例7.
已知 , 的概率密度为
6 xy 2 x y , 0 x 1, 0 y 1 f x, y 0, 其它
试求
f x
y 与 x
f y
解： 由条件密度公式知，当f y 0 时，
f x
f x, y y f y
[ 的边缘概率密度]
dx f ( x, y) d y.
d F ( x ) f ( x) f dx
( x, y ) d y.
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
同理可得,
[ 的边缘分布函数]
F ( y) F (, y ) d y f ( x, y) d x.
x 0; 其它 .
§2.10 二维随机变量的边缘分布
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( 2) 当 y 0 时, fY ( x) 0;
y
y
yx
当 y 0 时，
fY ( y) f ( x, y)d x
y y
0
y y e . e dx
O
y
x
从而
y e y , y 0 ; fY ( y ) 其它 . 0,
f x
f x, y dx
4 y 3 y 2 , 0 y 1 f y 0, 其它
盐城工学院概率论与数理统计课题组
所以，当 0 y 1 时，f y 0
6x 2 x y ,0 x 1 f x, y f x 4 3 y y f y 0, 其它
盐城工学院概率论与数理统计课题组
若对于连续型随机变量，f x, y , f x 及 f y 分别是
, , 及 的密度函数，若 f x, y 在点 x, y 处连续，
且 f x 0, f y 0 ，则分别称
f y f x
P( xi , y j )
j 1
p( xi , y j ),
j 1
i 1, 2, , m, .
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
于是 的边缘分布表为：
P( xi )
x1 p ( x1 )
x2
p ( x2 )
F y
f x, y 为在条件 x f x
x 下 的条件密度；
x
f x, y y f y
为在条件 y下 的条件密度；
y
f x, v dv
x 为在条件 的条件分布函数； 下 f x
为在条件 y下 的条件分布函数。
p ( y j )
0
5 /12
1
7 / 12
将它们写在联合分布表上，即得下表：
0
1/ 12
1
1/ 6
5 /12
7 / 12
p ( xi )
0
1/ 4
1
p ( y j )
1/ 3
5 /12
3/ 4
1
盐城工学院概率论与数理统计课题组
例2.
求出3.1节中的例2的两个边际分布。 解：(1)有放回地抽取的联合分布表为右表
解：(1) 当 x 0 或 x 1 时，
0 x 1,0 y x； 其它.
y
x
O
yx
当 0 x 1 时， x f X ( x) f ( x, y)d y f ( x, y )d y
f X ( x) f ( x, y)d y 0;
x
p 1 p , 1 1 2 1 2 p 1
解：由条件概率公式知，
1 3 x y dxdy 7 1 2 1 0 1 3 x y dxdy 16
1 2 2 0 1
盐城工学院概率论与数理统计课题组
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一、二维离散型随机变量的边际分布
设 ( , ) 表示二维离散随机变量.联合发布为：
1, 2, , m, ; p ( xi , y j ) P( xi , y j ), i j 1, 2, , n, .
[ X ]的边际概率函数
p ( xi ) P( xi ) P ( xi , y j ) j 1
F x
y
x
f u, y du f y
盐城工学院概率论与数理统计课题组
例6. 设 , 的联合密度为
1 x y ,0 x 1,0 y 2 f x, y 3 0, 其它
求
1 p 1 2
F x ， 设 , 的分布函数 F x, y ，的分布函数为
的分布函数为F y ，则
F x lim F x, y
y
F y lim F x, y
x
问题：已知联合分布,求边际分布.
§2.10 二维随机变量的边缘分布
0 x y； 其它.
y
x x