1.7.1~1.7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积【高中数学(北师大版必修2)同步作业】
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的面积和体积 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、
2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7 简单几何体的面积和体积1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案（无答案）北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7 简单几何体的面积和体积1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案（无答案）北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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柱体、椎体、台体的体积姓名：___________________________【学习目标】准确掌握柱体、椎体、台体的体积公式及应用【重点难点】准确理解和掌握柱体、椎体、台体的体积公式及应用【知识链接】S圆柱侧=__________________________；S圆柱表=__________________________S圆锥侧=__________________________；S圆锥表=__________________________S圆台侧=__________________________; S圆台表=__________________________【学习过程】一、新课引入：柱体的体积公式______________________________________________________________注：通过学习柱体的体积公式,试分析公式中的h，对于棱柱来说是否就是棱柱的长度？锥体的体积公式______________________________________________________________注：由1V Sh3锥体,那么三棱锥的任何一个面都可以作底面吗?台体的体积公式______________________________________________________________(其中S上，S下_________________________________)注：柱体，锥体，台体的体积公式是适用于特殊的柱体，锥体，台体,还是适用于一般的柱体,锥体和台体？二、例题应用:例1、看课本例4并做练习1、2于导学案知识链结：直线方程的几种形式学习过程：直线的一般式方程把关于,x y 的二元一次方程__________________________________叫做直线方程的一般式.过点00(,)x y 的倾斜角为90或0的直线方程是什么？是不是关于,x y 的二元一次方程？例1、看课本例6，例8并做练习第3题,第4题,第5题，第6题，第9题于导学案上.例2、做练习第7题，第8题于导学案上.例3、看课本例7并做练习第2题于导学案上.例2、已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。
1.7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 教案 (高中数学必修二北师大版)
7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式．(2)熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积．2．过程与方法通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者的体积关系，培养空间想象能力和思维能力．3．情感、态度和价值观通过学习，感受几何体积的求解过程，对自己空间思维能力影响，从而增强学习的积极性．●重点难点重点：柱体、锥体、台体的体积计算公式．难点：体积公式的应用．(教师用书独具)●教学建议通过阅读教材，自主学习、思考、交流，讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而熟练体积的计算公式，完成本节课的教学目标．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解体积公式⇒通过例1及变式训练，使学生掌握柱体的体积问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握锥体的体积问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握如何求台体体积问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正长方体的体积公式是什么？长方体能否分为两个全等的三棱柱？其体积与长方体体积有什么关系？【提示】 V ＝Sh ，能，12Sh .已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 cm 2 3 cm 2，侧棱长为2 cm ，求其体积．【思路探究】 设出底面菱形的两条对角线长，表示出两个对角面的面积，然后利用两条对角线表示底面菱形的面积，代入棱柱的体积公式即可．【自主解答】 如图所示，设底面菱形的对角线AC ，BD 长分别为x cm ，y cm ，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x ×2＝2，y ×2＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，底面菱形的面积S ＝12xy ＝32(cm 2)，所以该棱柱的体积为V ＝Sh ＝32×2＝3(cm 3)．1．本题中巧用了菱形的对角线求出底面面积．2．求柱体的体积关键是求底面积和高，而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理．熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．【解】 设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝πr 2， ①2πrh ＝4a 2， ②由①得r ＝ππa ，由②得πrh ＝2a 2，∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3， ∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶(2ππa 3)＝π2∶1＝π∶2.如图1－7－7所示是一个几何体的主视图和俯视图． (1)试判断这个几何体的形状；(2)请画出它的左视图，并求该平面图形的面积； (3)求该几何体的体积．图1－7－7【思路探究】 解答本题可先根据主视图、俯视图判断这个几何体的形状，再画出左视图，求几何体的体积．【自主解答】 (1)根据几何体的主视图和俯视图，可知该几何体是一个底面是正六边形，侧棱都相等的六棱锥．(2)该几何体的左视图为△ABC(如图所示)，其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC ＝3a ， AD 是六棱锥的高，根据主视图易知AD ＝3a ， ∴该左视图的面积为 123a ·3a ＝32a 2. (3)设六棱锥的底面积是S ，体积为V ，则S ＝6×34a 2＝332a 2， ∴V ＝13×332a 2×3a ＝32a 3.1．求棱锥的体积关键在于求棱锥的底面积和高，往往在求高时，需用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度．2．求解锥体体积时，要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥，三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可以当作底面来处理，这一方法又叫作等体积转移法(或等体积法)．。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积高效测评 北师大
圆柱、圆锥、圆台的体积高效测评北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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台和圆柱、圆锥、圆台的体积高效测评北师大版必修2 一、选择题(每小题5分,共20分)1．半径为r的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ）A.错误!πr3B.错误!πr3C.错误!πr3D。
错误!πr3解析：设底面半径为r′，则2πr′＝πr，∴r′＝r2。
∴圆锥的高h＝错误!＝错误!r.∴V锥＝错误!πr′2×h＝错误!π×错误!×错误!r＝错误!πr3.答案：C2．在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( ）A。
错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!解析: V正方体－8V三棱锥＝1－8×错误!×错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!,故选D.答案：D3．一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形，主视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( ）A．45,8 B．4错误!，错误!C．4（错误!＋1），错误!D．8,8解析: 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝错误!,所以S侧＝4×错误!＝4错误!，V＝错误!×22×2＝错误!.答案：B4．如图，三棱台ABC－A1B1C1中,AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为（）A ．1∶1∶1B ．1∶1∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶4解析： 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ， 则S △A 1B 1C 1＝4S .∴VA 1－ABC ＝错误!S △ABC ·h ＝错误!Sh .VC －A 1B 1C 1＝错误!S △A 1B 1C 1·h ＝错误!Sh 。
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
思考交流
柱体、锥体、台h
S 0 V 1 (S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 年，其形状为正四棱锥，金字塔高146.6m， 底面边长230.4m.问：这座金字塔的侧面积 和体积各是多少？
A
B ﹒C
例2 已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底 边长为8cm，高为3cm.求其体积。
O
O′
课后作业 习题1—7 A组 第3、8题
知识小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体 V 1 (S SS S)h 3
S' 0
锥体 V 1 Sh 3
1
V锥体
Sh 3
其中，S为锥体的底面积，h为锥体的高.
定理：等底等高锥体的体积相等
三、棱台和圆台
我们知道，用一个平行于底面的平面去 截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台， 所以，棱台的体积可用两个棱锥的体积的差 来计算。实际上，圆台的体积也可以这样计 算。计算公式如下：
V台体 13（S上+S下+ S上 S下）h.
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、圆台的体积
一、棱柱和圆柱
我们知道，长方体的体积等于它的底面 即乘高，类似地，棱柱和远处的体积和等于 它的底面即乘高.即
V柱体=Sh
其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高.
等底等高柱体的体积相等吗？
定理：等底等高柱体的体积相等
1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积1.7.3 球的表面积和体积教案 (高中数学必修2北师大版)
7.3 球的表面积和体积1．柱、锥、台体的体积V 柱体＝Sh(S 为柱体的底面积，h 为柱体的高)．V 锥体＝13Sh(S 为锥体的底面积，h 为锥体的高)．V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h(S 上，S 下分别为棱台的上，下底面积，h 为高)．预习交流1柱体、锥体、台体的体积公式有何联系？提示：台体的体积公式中，如果设S 上＝S 下，就得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ；如果设S 上＝0，就得到锥体的体积公式V 锥体＝13Sh.因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示如下．由上可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例． 预习交流2(1)正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12，则它的体积是原来的( )．A.14B.18C.116D.132(2)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________． 提示：(1)B (2)283 2．球的表面积和体积S 球面＝4πR 2，V 球＝43πR 3(其中R 为球的半径)．预习交流3(1)若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的表面积变为原来的________倍，体积变为原来的________倍．(2)若一个球的体积为43π，则它的表面积为______． 提示：(1)4 8 (2)12π1．柱体的体积如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是棱BC 的中点．正三棱柱的主视图如图②.求正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积．思路分析：由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱长．解：由三视图可知：在正三棱柱中，AD ＝3，AA 1＝3，从而在底面即等边△ABC 中，AB ＝AD sin 60°＝332＝2，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝12×BC ×AD ×AA 1＝12×2×3×3＝3 3.1．圆柱的底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________． 解析：设圆柱的底面半径为r ， 则S ＝πr 2，∴r ＝S π， 则圆柱的母线长l ＝2πr ＝2πS ， 即圆柱的高h ＝2πS ， ∴V 圆柱＝S·h ＝2S πS.答案：2S πS2．根据图中物体的三视图(单位：cm)，求此几何体体积．解：该几何体上方是底面半径为12，母线长为1的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4,1,1的长方体，从而V ＝4×1×1＋π·⎝⎛⎭⎫122·1＝π4＋4.1.求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解．2．求组合体的体积应据其结构特征分析求解，如迁移与应用题2中为长方体上放一圆柱，故几何体体积为两体积之和．2．锥体的体积(2011辽宁高考，文18)如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD.(1)证明PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q-ABCD 的体积与棱锥P-DCQ 的体积的比值． (1)证明：由条件知PDAQ 为直角梯形． 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC. 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD. 所以PQ ⊥平面DCQ. (2)解：设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q-ABCD 的高，所以棱锥Q-ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P-DCQ 的高．而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P-DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q-ABCD 的体积与棱锥P-DCQ 的体积的比值为1.1．(2011陕西高考，理5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )．A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD.2π3解析：由几何体的三视图可知，原几何体是一个棱长为2的正方体且内部去掉一个底面与正方体上底面内切，高等于正方体棱长的圆锥．正方体的体积为8，圆锥的体积为13πr 2h＝2π3，∴所求几何体的体积为8－2π3. 答案：A2．下图是一个正方体，H ，G ，F 分别是棱AB ，AD ，AA 1的中点．现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的部分的体积是原正方体体积的几分之几？解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是Rt △AGF ，而∠FAG为90°，G ，F 分别为AD ，AA 1的中点，所以AF ＝AG ＝12a .所以△AGF 的面积为12×12a ×12a ＝18a 2.又AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以AH ＝12a .所以锯掉的部分的体积为13×12a ×18a 2＝148a 3.又148a 3÷a 3＝148，所以锯掉的部分的体积是原正方体体积的148.(1)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥．(2)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫做等积法．3．台体的体积如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，那么V 1∶V 2＝__________.思路分析：V 1对应的几何体AEF-A 1B 1C 1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面积的14；V 2对应的是一个不规则几何体，显然V 2无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V 1来表示．。
高中数学第一章立体几何初步1.7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积1.7.3球的表面积和体
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).知识点一 柱、锥、台体的体积公式简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 提示 表面积变大了，体积不变. 知识点二 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 【预习评价】球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面.题型一 柱体、锥体、台体的体积【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3). 答案 83π(2)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解 如图，设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点， 所以V M －ABCD ＝12V .所以V E －MBC ＝12V －V E －MDC .而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ， 所以V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1h 2. 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32.所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V .规律方法 (1)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解. (2)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫作等积法.(4)台体的体积计算公式是V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ，其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面的面积.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 【训练1】 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案 A【训练2】 四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.解 ∵C (2，1)，D (0，3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π. ∵B (1，0)，C (2，1)，∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1. ∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.【训练3】 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知PDAQ 为直角梯形. 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D .所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高. 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.题型二 球的表面积和体积【例2】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.规律方法 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练4】 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________.(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.解析 (1)设圆锥的底面半径为R ， 由题意知球的半径为R2，V 圆锥＝13πR 2h (h 为圆锥的高)，V 球＝43π(R 2)3＝16πR 3，∴13πR 2h ＝16πR 3，h ＝12R ，则圆锥的母线l ＝R 2＋h 2＝52R ， 圆锥的侧面积为π×R ×52R ＝52πR 2. 球的表面积为4π×(R2)2＝πR 2. ∴圆锥的侧面积与球面面积之比为5∶2.(2)由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S ＝2π×32＋π×3×5＝33π. 答案 (1)52(2)33π【例3】 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为( )A.3172B.210C.13D.310解析 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直.△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，因为AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，BC 1＝52＋122＝13，所以球的直径为13.答案 C【迁移1】 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 【迁移2】 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 6＝63π. 【迁移3】 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为（32）2－（12×6）2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解(其R为球的半径).课堂达标1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.答案 C2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34解析 S 底＝12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以V 三棱锥B 1－ABC ＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.答案 D3.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即12×4π＋π＝3π.答案 3π4.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.解析 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18(m 3).答案 9π＋185.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. 解 如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt△AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.基础过关1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 答案 B2.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24D.48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x (x >0)，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2，∴三条棱长分别为2、4、6，∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D3.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π＋2 3B.4π＋2 3C.2π＋233D.4π＋233解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.答案 C4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2，3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm. 答案 45.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱挖掉一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的边长a ＝2，半圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，所以正四棱柱的体积V 1＝a 2h ＝22×3＝12，半圆锥的体积V 2＝12×π3r 2h ＝π6×12×3＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1－V 2＝12－π2. 答案 12－π26.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a . 7.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝（6）2＋（3）2＝9＝3(cm)，r ＝ 3 (cm).故几何体的表面积为 S ＝πrl ＋πr 2＋2πrAD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为 V ＝V 圆柱－V 圆锥＝πr 2AD －13πr 2AD＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).能力提升8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3cm 3 解析 作出该球的轴截面图如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3). 答案 A10.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2. 所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4， 即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.答案 8 411.已知三棱锥A－BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________.解析 如图，构造正方体ANDM －FBEC .因为三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM －FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A －BCD 的外接球就是正方体ANDM －FBEC 的外接球，所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π. 答案 3π12.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积.解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B＝90°.∵球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC 的外接圆的圆心，∴斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示).设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ，在Rt△O ′CO 中，由题设知sin∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， ∴∠O ′CO ＝30°，∴rR ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，① 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入①得R ＝10 3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V ＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π. 13.(选做题)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .。
1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
1.7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 导入新课被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物．在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的，真是一个十分难解的谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230.4米，塔高146.6米，假如知道每块石块的体积，你能计算出建此金字塔用了多少石块吗？新知探究提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体＝Sh (S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体＝13Sh (S 为底面积，h 为锥体的高)；V 台体＝13(S S ′)h (S ′，S 分别为上、下底面积，h 为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式．②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V ＝a 3＝a 2a ＝Sh ；长方体的长、宽和高分别为a ，b ，c ，其体积为V ＝abc ＝(ab )c ＝Sh ；底面半径为r 、高为h 的圆柱的体积是V ＝πr 2h ＝Sh .可以类比，一般的柱体的体积也是V ＝Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高．圆锥的体积公式是V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的13. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的13，即棱锥的体积V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)． 由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的13. 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ，其中S ′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台(棱台)高．注意：不要求推导公式，也不要求记忆．②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体．因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．当S ′＝0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式；当S ′＝S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如图1：图1应用示例例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．金字塔高146.6 m ，底面边长230.4 m ．问这座金字塔的侧面积和体积各是多少？图2解：如图2，AC 为高，BC 为底面的边心距，则AC ＝146.6，BC ＝115.2，底面周长c ＝4×230.4.S 侧面积＝12c ·AB ＝12×4×230.4×115.22＋146.62≈85 916.2(m 2)， V ＝13S ·AC ＝13×230.42×146.6≈2 594 046.0(m 3)． 答：金字塔的侧面积约是85 916.2 m 2，体积约是2 594 046.0 m 3.点评：本题主要考查多面体的侧面积和体积.变式训练1．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是( )A ．1∶2∶3B ．1∶7∶19C ．3∶4∶5D ．1∶9∶27分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3.于是自上而下三个圆锥的体积之比为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3r 2h ∶⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(2r )2·2h ∶⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(3r )2·3h ＝1∶8∶27.所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶(8－1)∶(27－8)＝1∶7∶19.答案：B2．三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是( )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶6D ．1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4.将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B例2 已知一正四棱台的上底边长为4 cm ，下底边长为8 cm ，高为3 cm.求其体积．解：V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ＝13(42＋82＋42×82)×3＝112(cm 3)． 答：正四棱台的体积为112 cm 3.点评：本题主要考查正四棱台的体积.变式训练如图3，有个水平放置的圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米、4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)图3解：如图4，设水面的半径为r ，则EH ＝r －2分米，BG ＝2分米．在△ABG 中，∵EH ∥BG ，∴AH AG ＝EH BG .∵AH ＝2分米，∴25＝r －22.∴r ＝145分米．∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水＝13π·3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1452＋145×4＋42＝876π25(立方分米)．图4 ∴所用的时间为876π253＝292π25≈36.69(秒)． 答：所用的时间为36.69秒.变式1 如图5所示，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为()图5A ．1 B.12 C.13 D.16活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.图6分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图6所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥AC .则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V ＝13S △ABC PA ＝13×12×1＝16. 答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积．给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得．此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.变式训练2如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为( ) A.3π3 B.23π3 C.3π D.π3分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V ＝13×π×12×3＝3π3. 答案：A课堂练习：P46课堂小结：本节学习了：1．简单几何体的体积公式．2．解决有关计算问题．课后作业：P48习题1-7 A 组3，4，5，8。
【数学】1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 课件 (北师大版必修2)
例4埃及胡夫金字塔建于公元2580年，其形状是正四棱台, 高约146.6m底长约230.4m，求其侧面积和体积.
1 1 ' 解：S测 = c h 4 230.4 115.22 146.62 85916.2 m 2 2 2 1 1 V S h 230.42 14606 2594046.0 m3 3 3 2 3 答：胡夫金字塔侧面积和体积分别为85916.2m 和2594046m
第一章 立体几何初步
7.2
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、圆台的体积
一、学习目标：1、知识与技能：（1）通过对柱、锥、台体的 研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。（2）能运用公式求解， 柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的 转换关系。（3）培养空间想象能力和思维能力。2、过程与方 法：（1）经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。 （2）通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者的面积和体 积的关系。3、情感与价值：通过学习，感受几何体体积的求 解过程，对自己空间思维能力影响，从而增强学习的积极性。 二、学习重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的体积计算。 难点：台体体积公式的推导。 三、学法：通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概 括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成 本节课的教学目标。
空间几何体的表面积与体积
表面积： 几何体表面的面积； 体积：
几何体所占空间的大小；
1--正方体和长方体的表面积
正方体表面积： 长方体的表面积：
a a
c
b
S 6a
2
S 2(ab ac bc)
柱体、锥体与台体的体积
正方体
长方体
圆柱
一般柱体
北师大版数学必修二课件：1.7.2柱、锥、台的体积
柱ABCD-A1B1C1D1.
这个直四棱柱可以看成以ABB1A1为底面的四棱柱DCC1D1ABB1A1,所以点C到AB的距离即为C到底面ABB1A1的距离,
1
2
1
2
故 V 直三棱柱= V 直四棱柱= ×8×3=12(cm2).
1
2
3
7 .2
柱、锥、台的体积
-1-
课 标
阐 释
1.掌握柱体、锥体、台体的体
积公式.
2.会求几何体的体积.
思 维
脉 络
柱体、锥体、台体的体积公式
名称
体积(V)公式
棱柱
V=Sh
圆柱
V=πr2h
=Sh
柱体
棱锥
1
V= Sh
3
1
锥体
圆锥
V= πr2h
1
3
= Sh
3
备注
h 为棱柱的高,
S 为棱柱的底面面积
r 为圆柱的底面半径,
1
1
于是棱锥 P-DCQ 的体积 V2=VQ-CDP= ×a×a2= a3.
3
3
于是V1∶V2=1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
方法二:因为QA⊥平面ABCD,QA⫋平面PDAQ,
所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.
又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,
所以DC⊥平面PDAQ.
于是得PQ⊥DC.
线长. (
)
(4)在三棱柱 A1B1C1-ABC 中有-1 = 1 -1 1 = 1 -1 成
立. (
)
答案:(1)
高中数学第一章立体几何初步7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案北师大版
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积[学习目标] 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式及公式之间的联系． 2.会运用柱体、锥体、台体的体积公式进行有关体积的计算.【主干自填】柱、锥、台的体积公式1．思考下列问题(1)仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？ 提示：①底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是：V 圆柱＝πr 2h . ②如果圆锥的底面半径是r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆锥＝13πr 2h .③如果圆台上、下底面半径分别是r ′、r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)．(2)柱、锥、台体的体积公式之间有什么关系吗？ 提示：其中S 上，S 下分别为台体的上、下底面面积，h 为高，S 为柱体或锥体的底面面积． 2．正方体的表面积为96，则正方体的体积是( ) A ．48 6 B ．64 C ．16 D ．96 提示：B 设正方体棱长为a 则6a 2＝96，a ＝4，V 正方体＝a 3＝64.3．圆锥的高扩大为原来的n 倍，底面半径缩小为原来的1n，那么它的体积变为原来的______倍．( )A ．1B ．nC ．n 2D.1n提示：D 由锥体的体积公式V ＝13πr 2h ，可知锥体的体积与高成正比，与底面半径的平方成正比．4．长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是( ) A ．6 3 B ．3 6 C ．11 D ．12提示：A 设长方体长、宽、高分别为a ，b ，c ，不妨令ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.例1 如图(1)是一个水平放置的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 是棱BC 的中点．正三棱柱的主视图如图(2)．求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．[解] 由三视图可知：在正三棱柱中，AD ＝3，AA 1＝3，从而在底面即等边△ABC 中，AB ＝ADsin60°＝332＝2，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝12×BC ×AD ×AA 1＝12×2×3×3＝3 3.类题通法求柱体体积的方法规律求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高考常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解．[变式训练1] (1)圆柱的底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________．(2)如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，则A 到平面A 1BD 的距离d ＝________.答案 (1)2S πS (2)33a 解析 (1)设圆柱的底面半径为r ， 则S ＝πr 2，∴r ＝Sπ，则圆柱的母线长l ＝2πr ＝2πS ， 即圆柱的高h ＝2πS ， ∴V 圆柱＝S ·h ＝2S πS .(2)在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .例2 一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积．[解] 如图所示，正三棱锥S －ABC .设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AH ⊥BC .∵△ABC 是边长为6的正三角形， ∴AE ＝32×6＝3 3.∴AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3. ∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.类题通法求锥体体积常用的方法求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝13Sh 进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法．(1)割补法：求一个组合体的体积可以将这个组合体分割成几个柱体、锥体(或补成一个柱体或锥体)，求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．求体积时，可选择容易计算的方法来计算．[变式训练2] 如图，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高．若VM ＝4 cm ，AB ＝4 cm ，VC ＝5 cm ，求锥体的体积．解 ∵VM 是棱锥的高，∴VM ⊥MC .在Rt △VMC 中，MC ＝VC 2－VM 2＝52－42＝3(cm)， ∴AC ＝2MC ＝6(cm)． 在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝62－42＝25(cm)．S 底＝AB ·BC ＝4×25＝85(cm 2)，∴V 锥＝13S 底h ＝13×85×4＝3253(cm 3)．∴棱锥的体积为3253cm 3.例3 圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[解] 首先，圆台的上底的半径为4 cm ， 于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 其次，如图，圆台的高h ＝BC ＝BD 2－OD －AB2＝102－－2＝46(cm)，所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝3046π3(cm 3)． 类题通法台体体积常见解题方法台体的体积计算公式是V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ，其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面面积，这一公式较为复杂，要求记准．计算体积的关键是求出上、下底面面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形．另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算．[变式训练3] 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163 D ．6答案 B解析 由四棱台的三视图可知，此棱台的上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.易错点⊳割补法运用不熟练导致无法解答[典例] 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 、F 分别是棱AA 1和CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积．[错解] ∵EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝52a ， 且EB ∥FD 1，ED 1∥BF ，∴四边形EBFD 1为菱形，连接BD 1, 则S 菱形EBFD 1＝12EF ×BD 1＝12×2a ×3a ＝62a 2，但锥体的高无法求解，所以体积不可求．[错因分析] 不能利用等体积转化法求解不便直接求解几何体的体积． [正解] ∵EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝52a ，且EB ∥FD 1，ED 1∥BF ，∴四边形EBFD 1为菱形．又△EFB ≌△EFD 1，且三棱锥A 1－EFB 和A 1－EFD 1等高， ∴V A 1－EFB ＝V A 1－EFD 1 ，∴V A 1－EBFD 1 ＝2V A 1－EFB ＝2V F －EA 1B . 而S △EA 1B ＝12·a 2·a ＝a24，F 到面EA 1B 的距离为a ，∴V F －EA 1B ＝13·a 24·a ＝a 312，∴V A 1－EBFD 1 ＝a36.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ――→S ′＝SV 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2.对于多面体的体积问题往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，因此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用.3.有关旋转体的体积计算要充分利用其轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答.1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.2．已知一个正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为( ) A ．6 3 B. 3 C ．2 3 D ．2 答案 B解析 因为正六棱锥的高h ＝52－12＝2，所以V ＝13Sh ＝13×6×34×2＝ 3.3．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 A解析 设圆台的体积为V ，高为h .由题意，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，∴h ＝3.4．如下图所示，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )答案 C解析 解法一：由题意可知当俯视图是A 时，该几何体是正方体，显然体积为1，注意到题目要求体积是12，知其是正方体的一半，可知选C.解法二：当俯视图是A 时，该几何体是正方体，体积是1；当俯视图是B 时，该几何体是圆柱，底面积S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝π4，高为1，则体积是π4；当俯视图是C 时，该几何体是直三棱柱，其体积V ＝12×1×1×1＝12；当俯视图是D 时，该几何体由圆柱切割而成，其体积V＝14π×12×1＝π4.故选C.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积训练案 北师大版必修2
1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积[A.基础达标]1．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为( )A ．3π B.33πC.3πD.32π 解析：选B.设圆锥的底面半径为R ，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h ＝32·2R ＝3R ，所以12·2R ·3R ＝3，解得R ＝1.所以V ＝13×π×12×3＝33π.2．将两个棱长为10 cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm 的正四棱柱，则该四棱柱的高为( )A ．8 cmB ．80 cmC ．40 cm D.165cm解析：选B.设正四棱柱的高为h cm ，依题意得5×5×h ＝2×103，解得h ＝80(cm)．3.一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为( ) A.12 B.32C ．1 D.13解析：选A.由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22×1×1＝12. 4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是( ) A.839 B.439C.239D.439或839解析：选D.当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ＝23，底面面积S ＝34a 2＝39，正三棱柱的高h ＝4，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝439；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ′＝43，底面面积S ′＝34a ′2＝439，正三棱柱的高h ′＝2，所以正三棱柱的体积V ′＝S ′h ′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839. 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3解析：选A.由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是V ＝23－13×π×12×2＝8－2π3.6．如图，在棱长为1的正方体中，Q 为棱C 1C 的中点，则三棱锥C 1BD 1Q 的体积为________．解析：三棱锥C 1BD 1Q 也可以写成三棱锥B C 1D 1Q .底面积S 棱锥△C 1D 1Q ＝14，高BC ＝1，则V 棱锥C 1BD 1Q ＝V 棱锥B C 1D 1Q ＝13×14×1＝112.答案：1127．如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为2的等腰梯形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知此几何体为一圆台，上底半径为2，下底半径为1，不难求出此圆台的高，如图，h ＝（2）2－12＝1，故体积V ＝13π(22＋2×1＋12)×1＝7π3. 答案：7π38．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的__________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析：圆柱的体积公式为V 圆柱＝πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍时，其体积也变为原来的4倍；高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．答案：4 169．四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，将四边形绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：因为C (2，1)，D (0，3)，所以圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2.所以V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π.因为B (1，0)，C (2，1)，所以圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1.所以V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， 所以V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π. 10．一几何体的三视图如图：(1)画出它的直观图； (2)求该几何体的体积． 解：(1)其直观图如下(2)这个几何体是一个三棱锥． 由三视图知：AC ＝5 cm ，作BD ⊥AC 于D ，则BD ＝125cm ，得S 底＝5×125×12＝6(cm 2)，高h ＝6 cm ，得V ＝13×6×6＝12(cm 3)．[B.能力提升]1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A.3523cm 3 B ．144 cm 3C.2243 cm 3D.1603cm 3 解析：选B.该几何体是一个组合体，上面是一个正四棱柱，其底面是边长为4的正方形，且高为2，下面是一个正四棱台，其高为3，下底面是边长为8的正方形，所以V ＝4×4×2＋13×3×(64＋16＋64×16)＝144(cm 3)． 2．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的体积是( )A ．112 cm 3B.2243cm 3C ．99 cm 3D ．224 cm 3解析：选B.由三视图可知该几何体上面是四棱锥，下面是个正方体，则体积V ＝13Sh ＋a 3＝13×4×4×2＋43 ＝323＋64＝2243(cm 3)． 3．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由三视图可知，这是由下面是一个长方体，上面是一个平躺着的四棱柱构成的组合体，长方体的体积为：3×4×2＝24(m 3)，四棱柱的体积为（1＋2）2×1×4＝6(m 3)，所以该几何体的体积为24＋6＝30(m 3)． 答案：304．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为 13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π(a 2)2h . 根据题意，有13πR 2h ＝π(a 2)2h ，解得R ＝32a .再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a＝ha ，所以h ＝32a . 答案：32a 5．如图1，一个正四棱柱形(底面是正方形，侧棱和底面垂直)的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形(顶点在底面的射影是底面的中心)实心装饰块，容器内盛有2升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P .如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．判断下列四种说法的正误．(1)正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；(2)将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P ；(3)任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P ； (4)若往容器内再注入2升水，则容器恰好能装满．解：以图1中，过P 的水面为截面，将棱柱分成2部分，上部分的容积为2升，下部分的容积为2升，整个容器的容积为4升．点P 在容器的中心，故(2)(4)是对的．正四棱锥形装饰块所占的容积为1升，则正四棱锥的高等于正四棱柱高的35，故(1)错误．(3)显然是错误的．6．(选做题)如图，有个水平放置的圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米、4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)解：如图，设水面的半径为r 分米，则EH ＝(r －2)分米，BG ＝2分米，在△ABG 中，因为EH ∥BG ，所以AH AG ＝EH BG.因为AH ＝2分米，所以25＝r －22.所以r ＝145(分米)．所以当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水＝13π·3[(145)2＋145×4＋42]＝876π25(分米3)．所以所用的时间为876π253＝292π25≈36.69(秒)．所以所用的时间约为36.69秒．。
1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 课件(北师大必修2)
12 1 1 48 2 2 ∴V 锥＝ · AB·πr ＝ ×5×π× 5 ＝ π. 3 3 5
[研一题]
[例3]
圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为
6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积 各是多少？
[自主解答] 首先，圆台的上底的半径为 4 cm， 于是 S 圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)． 其次，如图，圆台的高 h＝BC ＝ BD2－OD－AB2 ＝ 102－6－42＝4 6(cm)， 1 所以 V 圆台＝ h(S＋ SS′＋S′) 3 1 ＝ × 6× 4 (16π＋ 16π× 36π＋36π) 3 304 6π ＝ (cm3)． 3
得四棱柱的体积(间接求解)．
[通一类]
1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，
且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
解：设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，
a2＝πr2， 则有 2πrh＝4a2，
① ②
π 由①得 r＝ a， π 2 π 3 由②得 πrh＝2a ，∴V 圆柱＝πr h＝ a， π
[悟一法] 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台 体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的 轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系．因为台体
是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它
的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．
[通一类] 3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm和12 cm， 侧面积为180 cm2，求棱台的体积． 解：如图，分别过正四棱台的底面中心 O1，
法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱 ADD′A′－BCC′B′，设它的底面 ADD′A′的面积为 S，高为 h， 则它的体积为 V＝Sh. 1 而棱锥 C－A′DD′的底面面积为 S，高是 h， 2 因此，棱锥 C－A′DD′的体积 1 1 1 VC－A′DD′＝ × Sh＝ Sh. 3 2 6 1 5 故余下的体积是 Sh－ Sh＝ Sh. 6 6 1 ∴棱锥 C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为 6 5 Sh∶ Sh＝1∶5. 6
柱、锥、台的体积课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
例2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重6kg.已 知毛坯底面正六边形的边长是12mm，高是10mm，内 孔直径是10mm.那么这堆毛坯约有多少个？(铁的密度 是7.8g/cm3)
【解析】 因为 V ＝ 六棱柱 43×122×6×10≈3 741(mm3)， V圆柱＝π×52×10≈785(mm3)， 所以V螺帽＝3 741－785＝2 956(mm3)＝2.956(cm3)， 2.96560×007.8≈260(个)， 故这堆毛坯约有260个．
内容索引
注意：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向 另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离． 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面 作垂线，这点与垂足之间的距离．
内容索引
思考2 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式 V 棱柱＝Sh，V 棱锥＝13Sh，V 棱台＝13h(S′ ＋ S′S＋S)，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征 来解释这种关系吗？
【解析】 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系 V 棱柱＝Sh S′＝S V 棱台＝13h(S′＋ S′S＋S) S′＝0V 棱锥＝13Sh.
内容索引
V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)； V 锥体＝13Sh(S 为底面积，h 为锥体高)； V 台体＝13(S′＋ S′S＋S)h(S′，S 分别为上、下底面面积，h 为台体高)． 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公 式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公 式．
内容索引
柱、锥、台体积的计算
例1 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四 棱锥，两部分的高都是 0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那 么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)?
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
例2、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg.已知底面 六边形的边长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm,那么约有 毛坯多少个?(铁的比重是7.8g/cm3)
O P N
分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆 柱的体积的差.
数学是上帝描述自然的符号
O P
长方体体积公式是计算其他几何体体积的基础. （2）柱、锥、台体积的计算公式及它们之间的联系
数学是上帝描述自然的符号
锥体截面性质
平行于底面的截面与底面相似，且
S1
S截 S底
h 1 2 S 小棱锥侧 ( ) ＝ h S 原棱锥侧
S
当平行于底面的截面过棱锥高 S中截 的中点时，这个截面常被称为 中截面，思考： S底
——这两个棱柱的体积怎么求？
数学是上帝描述自然的符号
长方体的体积
D1 C1
A1 D
A
d
B1
c
C
V长 方 体 = abc 或 V = S底h
S
a
B
b
d= a+ b+ c
2
2
2
2
数学是上帝描述自然的符号
1、柱体的体积
等底等高柱体 的体积相等吗？
数学是上帝描述自然的符号
等底等高柱体的体积相等
h
S
底
h
解:如图,AC为高,BC为底面的边 心距,则AC=146.6,BC=115.2,
底面周长 c=4×230.4.
1 S侧面积 c AB 2
1 2 2 42 3 0 . 4 1 1 5 . 2 1 4 6 . 6 2
2 8 5 9 1 6 .2 (m ).
1.7.2__棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
P
D
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的， 因此可以利用两个锥体的体积差得到圆 A 台(棱台)的体积公式．
h
A
S上
B
C
V VP ABCD VP A ' B 'C ' D ' 1 ( S上 S上 S下 S下 )h 3
D
S下
C
B
数学是上帝描述自然的符号
数学是上帝描述自然的符号
b
d =a +b +c
数学是上帝描述自然的符号
1、柱体的体积
等底等高柱体 的体积相等吗？
数学是上帝描述自然的符号
等底等高柱体的体积相等
h
S底 S底
h
S底
V柱 = S底h
数学是上帝描述自然的符号
2、锥体的体积
等底等高锥体的体积相等
h
1 V锥 = S底 h 3
数学是上帝描述自然的符号
3、台体体积
O P N
分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆 柱的体积的差.
数学是上帝描述自然的符号
O
P N
解:V正六棱柱=3×122×
3 2
×10≈3.74×103(mm3)
V圆柱=3.14×52×10≈0.785×103(mm3) 毛坯的体积V=3.74×103-0.785×103
≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3)
天天向上
7.2 棱柱、棱锥、棱台和
圆柱、圆锥、圆台的体积
数学是上帝描述自然的符号
天天向上
复习回顾 1、柱、锥、台的侧面展开图； 2、对应的面积公式
S圆柱侧 2rl
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§7 简单几何体的面积和体积
7．1 简单几何体的侧面积
7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
【课时目标】 1．了解柱体、锥体、台体的侧面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的侧面积与体积公式解决一些简单的实际问题．
1
2S 直棱柱侧＝______(c 为底面周长，h 为高) S 正棱锥侧＝______(c 为底面周长，h ′为斜高)
S 正棱台侧＝1
2
(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高)
3．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______． (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______．
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝1
3(S ′＋S ′S ＋S)h ．
一、选择题
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
A ．8
B ．8π
C ．4π
D ．2
π
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )
A ．1＋2π2π
B ．1＋4π4π
C ．1＋2ππ
D ．1＋4π2π
3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( ) A ．11∶8 B ．3∶8 C ．8∶3 D ．13∶8
4．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )
A ．a ∶b
B ．b ∶a
C ．a 2∶b 2
D ．b 2∶a 2
5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm )，则该几何体的表面积和体积分别为( )
A ．24π cm 2,12π cm 3
B ．15π cm 2,12π cm 3
C ．24π cm 2,36π cm 3
D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )
A ．7＋ 2
B ．11
2＋ 2
C ．7＋ 3
D ．3
2
二、填空题
7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．
8．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm 3． 9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，可得这个几何体的体积是________．
三、解答题
10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm ．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)
11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．
能力提升
12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．2π＋2 3
B ．4π＋2 3
C ．2π＋233
D ．4π＋23
3
13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．
1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13h(S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0
V 锥体＝13
Sh ．
4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量
关系．
§7 简单几何体的面积和体积 7．1 简单几何体的侧面积
7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
答案
知识梳理 1．
2．ch 12ch ′ 3．(1)Sh (2)1
3
Sh
作业设计
1．B [易知2πr ＝4，则2r ＝4
π
，
所以轴截面面积＝4π×2＝8
π
．]
2．A [设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π
2π．]
3．A [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，
则2πr ＝34πl ，则l ＝8
3r ，所以
A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，
B ＝8
3πr 2，
得A ∶B ＝11∶8．]
4．B [以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝1
3
πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线
旋转得到圆锥体积V ＝1
3
πa 2b ．]
5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm 2，12π cm 3．]
6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝1
2
(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．] 7．3
解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3．
8．288π或192π
解析 (1)12为底面圆周长，则2πr ＝12，所以r ＝6π
，
所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫6π2·8＝288π
(cm 3
)． (2)8为底面圆周长，则2πr ＝8，所以r ＝4
π
，
所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫4π2·12＝192π (cm 3
)． 9．8 0003
cm 3
解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S ＝400，高h ＝20，
V ＝13Sh ＝8 0003 (cm 3)．
10．解
如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°， 故c ＝π·SA ＝2π×10，
所以SA ＝20，同理可得SB ＝40， 所以AB ＝SB －SA ＝20， ∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm 2)．
故圆台的表面积为1 100π cm 2． h ＝
AB 2－(OB －O 1A )2＝
202－102＝103，
V ＝13πh (r 21＋r 1r 2＋r 22) ＝1
3
π×103×(102＋10×20＋202) ＝7 00033π (cm 3)．
即圆台的表面积为1 100π cm 2， 体积为7 00033
π cm 3．
11．
解 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O
为正四棱台的高，则O 1O ＝12．
连接OE 、O 1E 1，则OE ＝1
2
AB
＝12×12＝6，O 1E 1＝1
2
A 1
B 1＝3． 过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ， 则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3．
在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32 ＝32×42＋32＝32×17，
所以E 1E ＝317．
所以S 侧＝4×1
2×(B 1C 1＋BC )×E 1E
＝2×(12＋6)×317＝10817．
12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝23
3
，所以该几何体的体积为2π＋
23
3
．] 13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1．
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．
∴S 表＝2S 下＋S 侧
＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36． ∴该几何体的表面积为36．。