高中数学直线、平面垂直的判定及其性质
高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习
教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。
直线、平面垂直的判定及其性质
例6、如图所示，在矩形ABCD 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、 AB= BC， 分别为线段AB、 AB CD的中点，EP⊥平面ABCD. CD的中点，EP⊥平面ABCD. 的中点 ABCD （1）求证：DP⊥面EPC； 求证：DP⊥ EPC； （2）问在EP上是否存在点F使平 问在EP上是否存在点F EP上是否存在点 FP AFD⊥平面BFC 若存在， BFC？ 的值. 面AFD⊥平面BFC？若存在，求出 的值. AP
D
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新
内的射影， 连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影， ∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1 取AB的中点D，连结CD、B1D， 则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影 ∵B1 D⊥A1 B，∴A1 B⊥B1 C
（1）求证:平面 ABM⊥平面 PCD; 求证: ABM⊥
(2)求直线 所成的角的正弦值 正弦值; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值;
的距离. （3）求点 N 到平面 ACM 的距离.
四、两个平面垂直的性质
如果两个平面垂直， 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面． 直线垂直于另一个平面．
一、三垂线定理和三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂 直.
高一数学必修2线、面垂直的判定与性质
α β a A 线、面垂直的判定与性质一、线、面垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直3.（1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直α⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = ]90,0[0[]]0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b αa bl a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α⇒⊥二、例题解析题型一、判断问题例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( )A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能变式：下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线b 的位置关系是( )A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直；④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是()①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1题型二：求角问题（线面角、面面角）例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．例2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BC －A 1的平面角是( )A ．∠ABCB ．∠ABB 1C ．∠ABA 1D ．∠ABC 1变式：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，求二面角P －CD －B 的大小．题型三：证明问题例1、如图，在三棱锥 A-BCD 中，AD ，BC ，CD 两两互相垂直，M ，N分别为 AB ，AC 的中点．(1)求证：BC ∥平面 MND ；(2)求证：平面 MND ⊥平面 ACD .变式： 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.BC A B C D P三、巩固练习1．在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，则下列结论一定成立的是( )A ．VA ⊥BCB ．AB ⊥VCC ．VB ⊥ACD ．VA ⊥VB2．若A ∈α，B ∈α，A ∈l ，B ∈l ，P ∈l ，则( )A ．P ⊂αB ．P αC ．l αD ．P ∈α3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.2 65C.155D.1055．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x ，y 是平面；④x ，y ，z 均为平面．其中使“x ⊥z ，且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于__________．7如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则二面角C 1-BD -C 的正切值为________．8.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .。
直线、平面垂直的判定及其性质
2.如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线 段 AB 上一点，且 3AD＝DB，点 C 为圆 O 上一 点，且 BC＝ 3AC，PD⊥平面 ABC，PD＝DB. 求证：PA⊥CD. 证明：因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC⊥BC. 在 Rt△ABC 中，由 BC＝ 3AC，得∠ABC＝30°. 设 AD＝1，由 3AD＝DB 得，DB＝3，BC＝2 3. 由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3， 所以 CD2＋DB2＝BC2，即 CD⊥AB. 因为 PD⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC，所以 PD⊥CD. 因为 PD∩AB＝D，所以 CD⊥平面 PAB， 又 PA⊂平面 PAB，所以 PA⊥CD.
找 共 性
[过关训练] 1．如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面
ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
证明：(1)∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.又 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，∴AE⊥平面 PCD. 又 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD， 又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考点一 线面垂直的判定与性质 [全析考法过关]
高考数学第一轮知识点总复习 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
(2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、 MN……..5′ ∵四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形,…………………………………..6′ ∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,…………………………………..7′ 即DM⊥AM.又∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥DM,∴DM⊥面PAM，得PM⊥DM,………………………………………..9′ 故(3当)设aM=4是时B,CBC边边上的符中合点题M设使的P点MM⊥, DM. ∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM………………………………………………11′ 因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点,则AD≥2AB,即a≥4为所 求…………….12′
ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t，则t的
取值范围是
.
解析: 如图2，过K作KM⊥AF于M点，连接DM，
由平面ABD⊥平面ABC易得DM⊥AF，与折前的图
1对比，可知在折前的图形中D、M、K三点共线且
DK⊥AF，于是△DAK∽△FDA,
AK DA
AD ， t DF 1
分析 （1）本题第(1)问是寻求BD⊥平面PAC的条件,即BD垂直于平面 PAC内两相交直线,易知BD⊥PA,问题归结为a为何值时,BD⊥AC,从而知 ABCD为正方形. （2）若PM⊥DM,易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM,由AB=2，a=4知， M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DM⊥AM.
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质)
第五节 直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言 图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线❷，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥PABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法]证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用) [口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点， 面外还有一直线，垂直两线是条件. [题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD .(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A BCB 1的体积． 解： (1)证明：如图，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A BCB 1＝V B 1ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16.2.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质[典例](2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解题技法] 证明面面垂直的2种方法 定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ， ∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF∥平面PEC.(2)∵P A＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AF⊂平面P AD，∴CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[课时跟踪检测]A级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：317．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABCA1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．解：(1)证明：连接BD.∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝12×3×3＝32.∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ， ∴V P NBM ＝V M PNB ＝23V C PNB ＝23×13×32×2＝23.10.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ， 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ， 又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴AD ∥BE ，又BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(2)∵AB ⊥AD ，∴四边形ABED 为矩形， ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD ， ∵E ，F 分别是CD ，PC 的中点， ∴PD ∥EF ，∴CD ⊥EF ，又EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .。
直线、平面垂直的判定与性质
2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2.3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二教材改编2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β。
高考数学第七章立体几何第五节直线平面垂直的判定及其性质教案高三全册数学教案
第五节直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α(1)线面角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是直角．(2)二面角以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．[小题体验]1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m解析：选A ∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．2．(2019·嘉兴质检)已知两个平面垂直，给出下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．其中错误命题的序号是( )A．①② B．①③C．②③ D．①②③解析：选B 在①中，根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理可知，只有当这个平面的已知直线垂直于交线时，这条直线才垂直于此平面内的任意一条直线，故①错误；在②中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，另一个平面内与交线垂直的直线有无数条，这些直线都与已知直线垂直，故②正确；在③中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，只有这个平面内的直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，故③错误．故选B.3．(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC，共7对．答案：71．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．[小题纠偏]1．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为( )A．b⊂α B．b∥αC．b⊂α或b∥α D．b与α相交解析：选C 因为a⊥b，a⊥α，所以可知b⊂α或b⊄α，当b⊄α时，有b∥α.2．(教材习题改编)设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是( )A．若m⊥α，α⊥β，则m∥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n解析：选B 对于A，m可以在β内，故A错；对于C，n可以在α内，故C错误；对于D，m与n可以平行，故D错．考点一直线与平面垂直的判定与性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有(1)证明直线与平面垂直；(2)利用线面垂直的性质证明线线垂直．[题点全练]角度一：证明直线与平面垂直1.如图所示，在四棱锥P ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD中AD 边上的高．求证：(1)PH ⊥平面ABCD ； (2)EF ⊥平面PAB .证明：(1)因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB . 因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图，取PA 的中点M ，连接MD ，ME .因为E 是PB 的中点， 所以ME 綊12AB .又因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD . 因为PD ＝AD ，所以MD ⊥PA . 因为AB ⊥平面PAD ，所以MD ⊥AB . 因为PA ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面PAB ， 所以EF ⊥平面PAB .角度二：利用线面垂直的性质证明线线垂直2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC⊂平面B1AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.[通法在握]判定直线和平面垂直的4种方法(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[演练冲关]1．(2018·长兴中学适应性考试)设α，β，γ是不同的平面，m，n是不同的直线，则由下列条件能得出m⊥β的是( ) A．n⊥α，n⊥β，m⊥αB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．m⊥n，n⊂β D．α⊥β，α∩β＝n，m⊥n解析：选A 由垂直于同一直线的两个平面平行可知α∥β.因为m⊥α，所以m⊥β.2.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.[由题悟法]1．证明面面垂直的2种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．2．三种垂直关系的转化线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直[即时应用](2018·杭州七校联考)如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为a，侧面B1C1CB⊥底面ABC，O是BC的中点，且AC1⊥BC.(1)求证：AC1⊥A1B；(2)求直线B1A与平面AOC1所成角的正切值．解：(1)证明：连接A 1C，因为四边形ACC1A1是菱形，所以AC1⊥A1C.又AC1⊥BC，A1C∩BC＝C，所以AC1⊥平面A1BC，又A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥A1B.(2)因为AO是正三角形ABC的中线，所以BC⊥AO.又AC1⊥BC，AO∩AC1＝A，所以BC⊥平面AOC1.所以B1C1⊥平面AOC1，所以∠B1AC1就是所求的线面角．所以BC⊥C1O，又因为侧面B1C1CB⊥底面ABC，侧面B1C1CB∩底面ABC＝BC，所以C1O⊥底面ABC.因为C1O＝AO＝32a，所以AC1＝62a.所以在Rt△AB1C1中，tan∠B1AC1＝a6a2＝63.故直线B1A与平面AOC1所成角的正切值为6 3 .考点三空间角的综合问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′CDB的平面角为α，则( ) A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤α D．∠A′CB≥α解析：选B∵A′C和BC都不与CD垂直，∴∠A′CB≠α，故C，D错误．当CA＝CB时，容易证明∠A′DB＝α.不妨取一个特殊的三角形，如Rt△ABC，令斜边AB＝4，AC＝2，BC＝23，如图所示，则CD＝AD＝BD＝2，∠BDC＝120°，设沿直线CD将△ACD折成△A′CD，使平面A′CD⊥平面BCD，则α＝90°.取CD中点H，连接A′H，BH，则A′H⊥CD，∴A′H⊥平面BCD，且A′H＝3，DH＝1.在△BDH中，由余弦定理可得BH＝7.在Rt△A′HB中，由勾股定理可得A′B＝10.在△A′DB中，∵A′D2＋BD2－A′B2＝－2＜0，可知cos∠A′DB＜0，∴∠A′DB为钝角，故排除A.综上可知答案为B.2．(2018·温州5月高三测试)如图，斜三棱柱ABCA1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝2AC，B1C⊥A1C1，且△A1B1C为等边三角形．(1)求证：平面A1B1C⊥平面ABC；(2)求直线BB1与平面ABC所成角的正弦值．解：(1)证明：∵AC∥A1C1，B1C⊥A1C1，∴AC⊥B1C，∵∠BAC＝90°，∴AC⊥BA，∴AC⊥B1A1.又∵B1A1∩B1C＝B1，∴AC⊥平面A1B1C，∵AC⊂平面ABC，∴平面A1B1C⊥平面ABC.(2)∵平面A1B1C⊥平面ABC，∴平面A1B1C⊥平面A1B1C1.取A1B1的中点D，∵△A1B1C为等边三角形，∴CD⊥平面A1B1C1，∴CD⊥平面ABC.取AB的中点E，连接DE 则BB 1∥DE ，∴∠DEC 为直线BB 1与平面ABC 所成角的平面角．令AB ＝2AC ＝2，∵AC ⊥平面A 1B 1C ，∴∠ACA 1＝90°，∴AA 1＝5，即DE ＝5，∵△A 1B 1C 为等边三角形，∴DC ＝3，∴sin ∠DEC ＝DC DE ＝155， ∴直线BB 1与平面ABC 所成角的正弦值为155. [由题悟法]1．立体几何中动态问题的关键点对于立体几何中的动态问题，关键是抓住变化过程中不变的位置关系和数量关系，事实上动静是相对的，以静制动是处理立体几何中动态元素的良策．2．求直线与平面所成角的步骤(1)一作：即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键；(2)二证：即证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的定义；(3)三求：一般借助于解三角形的知识求解．[即时应用]1.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，1 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤63，1 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤63，223 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤223，1 解析：选B 连接A 1O ，PA 1，易知∠POA 1就是直线OP 与平面A 1BD 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为2，则A 1O ＝ 6.当P 点与C 点重合时，PO ＝2，A 1P ＝23，则cos ∠A 1OP ＝6＋2－122×6×2＝－33，此时∠A 1OP 为钝角，所以sin α＝1－cos 2α＝63；当P 点与C 1点重合时，PO ＝A 1O ＝6，A 1P ＝22，则cos ∠A 1OP ＝6＋6－82×6×6＝13，此时∠A 1OP 为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝223；在∠A 1OP 从钝角到锐角逐渐变化的过程中，CC 1上一定存在一点P ，使得∠A 1OP ＝90°，此时sinα＝1.又因为63＜223，所以sin α的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤63，1，故选B.2.(2018·温州模拟)在四面体ABCD 中，二面角A BC D 为60°，点P 为直线BC 上一动点，记直线PA 与平面BCD 所成角为θ，则( )A．θ的最大值为60°B．θ的最小值为60°C．θ的最大值为30°D．θ的最小值为30°解析：选A 过A作AM⊥BC，AO⊥平面BCD，垂足为O，连接OM，则∠AMO为二面角ABCD的平面角，∴∠AMO＝60°，在直线BC上任取一点P，连接OP，AP，则∠APO为直线AP与平面BCD所成的角，即∠APO＝θ，∵AP≥AM，AM·sin 60°＝AO，AP·sin θ＝AO，∴sin θ≤sin 60°，即θ的最大值为60°.故选A.3．(2018·宁波五校联考)如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，连接EF，A′B.(1)求证：A′D⊥EF；(2)求直线A′D与平面EFD所成角的正弦值．解：(1)证明：在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF,则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F, 又A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，又EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF.(2)连接BD交EF于点G，连接A′G∵在正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点， ∴BE ＝BF ，DE ＝DF ，∴点G 为EF 的中点， 且BD ⊥EF .∵正方形ABCD 的边长为2，∴A ′E ＝A ′F ＝1，∴A ′G ⊥EF ，EF ⊥平面A ′GD ，∴A ′在面EFD 的射影在BD 上，则∠A ′DG 直线A ′D 与平面EFD 所成角，由(1)可得A ′D ⊥A ′G,∴△A ′DG 为直角三角形∵正方形ABCD 的边长为2,∴BD ＝22，EF ＝2， ∴BG ＝22，DG ＝22－22＝322， 又A ′D ＝2，∴A ′G ＝DG 2－A ′D 2 ＝92－4＝22， ∴sin ∠A ′DG ＝A ′G DG ＝22322＝13， ∴直线A ′D 与平面EFD 所成角的正弦值为13. 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设α，β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.2．(2018·东阳模拟)下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于βD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β解析：选C 由平面与平面垂直的性质可知，若该垂线不在平面α内，则此垂线与平面β不一定垂直．故排除C.3．(2019·绍兴一中模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中正确命题的序号是( )A．①③B．①④C．②③ D．②④解析：选A 对于①，若α∥β，α∥γ，根据面面平行的性质容易得到β∥γ，故①正确；对于②，若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行、相交或m ⊂β，故②错误；对于③，若m⊥α，m∥β，则可以在β内找到一条直线n与m平行，所以n⊥α，故α⊥β，故③正确；对于④，若m∥n，n⊂α，则m与α可能平行或m⊂α，故④错误．故选A.4．已知在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有( )A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC解析：选C ∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BDC，又AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDC.5．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是________．解析：由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行．再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出两个平面垂直相交．答案：垂直相交二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·青岛质检)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C 对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b ⊥β，得a⊥b，故选C.2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中直角三角形的个数为( ) A．4 B．3C．2 D．1解析：选A 由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC ⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体PABC 中共有4个直角三角形．3．(2018·湖州模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β( ) A．不存在 B．有且只有一对C．有且只有两对 D．有无数对解析：选D 过直线a 的平面α有无数个，当平面α与直线b 平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α，当平面α与b 相交时，过交点作平面α的垂线与b 确定的平面β⊥α.故选D.4．(2018·吉林实验中学测试)设a ，b ，c 是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥βB ．当b ⊂α时，若b ⊥β，则α⊥βC ．当b ⊂α，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当b ⊂α，且c ⊄α时，若c ∥α，则b ∥c解析：选B A 的逆命题为：当c ⊥α时，若α∥β，则c ⊥β.由线面垂直的性质知c ⊥β，故A 正确；B 的逆命题为：当b ⊂α时，若α⊥β，则b ⊥β，显然错误，故B 错误；C 的逆命题为：当b ⊂α，且c 是a 在α内的射影时，若a ⊥b ，则b ⊥c .由三垂线逆定理知b ⊥c ，故C 正确；D 的逆命题为：当b ⊂α，且c ⊄α时，若b ∥c ，则c ∥α.由线面平行判定定理可得c ∥α，故D 正确．5．(2019·杭州模拟)在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.255B.223C.55D.13解析：选D ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，即∠PAB ＝∠PAC ＝90°，又∵AB ＝AC ，PA ＝PA ，∴△PAB ≌△PAC ，∴PB ＝PC .取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，∴PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，又∵PD ∩AD ＝D ，∴BC ⊥平面PAD ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC ，过A 作AO ⊥PD 于O ，易得AO ⊥平面PBC ，∴∠APD 就是直线PA 与平面PBC 所成的角．在Rt △PAD 中，AD ＝12，PA ＝2，则PD ＝PA 2＋AD 2＝32，则sin ∠APD ＝AD PD ＝13.故选D.6.如图，已知∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ，△PAC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有____________；与AP 垂直的直线有________．解析：∵PC ⊥平面ABC ， ∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， ∴AB ⊥平面PAC ， 又∵AP ⊂平面PAC ，∴AB ⊥AP ，与AP 垂直的直线是AB . 答案：AB ，BC ，AC AB7.如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ， ∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD . 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ， ∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC )8.如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt△AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h ×22＋22，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt△DB 1E 中，B 1E ＝ ⎝⎛⎭⎪⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝66.由面积相等得66×x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＝22x ，得x ＝12.即线段B 1F 的长为12.答案：129．(2019·杭州十校联考)如图，已知四棱锥S ABCD 是由直角梯形ABCS 沿着CD 折叠而成的，其中SD ＝DA ＝AB ＝BC ＝1，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，且二面角S CD A 的大小为120°.(1)求证：平面ASD ⊥平面ABCD ；(2)设侧棱SC 和底面ABCD 所成的角为θ，求θ的正弦值． 解：(1)证明：由题意可知CD ⊥SD ，CD ⊥AD . ∵AD ∩SD ＝D ，∴CD ⊥平面ASD .又∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面ASD ⊥平面ABCD .(2)如图，过点S 作SH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，连接CH . ∵平面ASD ⊥平面ABCD ， 平面ASD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴SH ⊥平面ABCD ，∴∠SCH 为侧棱SC 和底面ABCD 所成的角， 即∠SCH ＝θ.由(1)可知∠ADS 为二面角S CD A 的平面角， 则∠ADS ＝120°.在Rt △SHD 中，∠SDH ＝180°－∠ADS ＝180°－120°＝60°，SD ＝1，则SH ＝SD sin 60°＝32.在Rt △SDC 中，∠SDC ＝90°，SD ＝CD ＝1，∴SC ＝ 2.在Rt △SHC 中，sin θ＝SH SC ＝322＝64，即θ的正弦值为64.10.如图，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1是菱形，∠A 1AC ＝60°.在底面ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，过A 1，B 1，M 三点的平面交AC 于点N .(1)求证：A 1N ⊥AC ；(2)若B 1M ⊥BC ，求直线B 1C 与平面A 1B 1MN 所成角的大小． 解：(1)证明：由题意，因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，平面A 1B 1MN ∩平面ABC ＝MN ，平面A 1B 1MN ∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，所以MN ∥A 1B 1.因为AB ∥A 1B 1，所以MN ∥AB . 又M 为BC 的中点， 所以N 为AC 的中点．又四边形A 1ACC 1是菱形，∠A 1AC ＝60°， 所以A 1N ⊥AC .(2)由(1)知，AC ⊥A 1N .因为∠BAC ＝90°，所以AB ⊥AC . 又MN ∥AB ，所以AC ⊥MN .因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂平面A 1B 1MN ，A 1N ⊂平面A 1B 1MN ， 所以AC ⊥平面A 1B 1MN .连接B 1N ，则∠CB 1N 即为直线B 1C 与平面A 1B 1MN 所成的角． 设A 1A ＝2a ，则CN ＝a ，因为B 1M ⊥BC ，M 为BC 的中点，所以B 1B ＝B 1C ＝2a ，在△B 1NC 中，sin ∠CB 1N ＝CN B 1C ＝a 2a ＝12，所以∠CB 1N ＝30°，故直线B 1C 与平面A 1B 1MN 所成角的大小为30°. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·杭州高三检测)已知三棱锥S ABC 的底面ABC 为正三角形，SA ＜SB ＜SC ，平面SBC ，SCA ，SAB 与平面ABC 所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则( )A ．α1＜α2B ．α1＞α2C ．α2＜α3D ．α2＞α3解析：选A 如图①，作SO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，BO ，CO .由SA ＜SB ＜SC ，得OA ＜OB ＜OC .过点O 分别向BC ，AC ，AB 作垂线，垂足记为D ，E ，F ，连接SD ，SE ，SF ，则tan α1＝SOOD ，tan α2＝SO OE ，tan α3＝SOOF.由于OA ＜OB ＜OC ，且△ABC 为正三角形，故点O 所在区域如图②中阴影部分(不包括边界)所示，其中G 为△ABC 的重心．由图②可得OE ＜OD ，OF 与OE 的大小不确定，所以tan α2＞tan α1，tan α2与tan α3的大小不确定，又α1，α2，α3均为锐角，所以α2＞α1，α2与α3的大小不确定．故选A.2．(2019·台州三区联考)如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ACD ⊥平面ABC ，若点N 是BD 上的动点，当线段ON 最短时，二面角N AC B 的余弦值为( )A ．0 B.12 C.22D.32解析：选C 易知OB ＝OD ，所以当N 为BD 的中点时，线段ON 最短，因为AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，OB ∩OD ＝O ，所以AC ⊥平面BOD ，所以ON ⊥AC ，又OB ⊥AC ，所以∠BON 即为二面角N AC B 的平面角．因为平面ACD ⊥平面ABC ，OD ⊥AC ，所以OD ⊥OB ，所以△BOD 为等腰直角三角形，所以∠BON ＝45°，所以二面角N AC B 的余弦值为22. 3.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP ＝90°，AB ＝AC ＝PA ＝4，E 为BC 的中点，点M 在线段PD 上．(1)若ME ∥平面PAB ，确定M 的位置并说明理由；(2)若直线EM 与平面PBC 所成的角和直线EM 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值．解：(1)当M 为PD 的中点时，EM ∥平面PAB . 理由如下：因为M 为PD 的中点， 设F 为AD 的中点，连接EF ，MF .所以MF ∥PA .又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以MF ∥平面PAB .同理，可得EF ∥平面PAB .又因为MF ∩EF ＝F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面MEF ∥平面PAB .又因为ME ⊂平面MEF ，所以ME ∥平面PAB . (2)设PM ＝a ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，∠BAP ＝90°， 所以PA ⊥平面ABCD ，又AB ＝AC ＝AP ＝4，∠BCD ＝135°， 所以AB ⊥AC ，BC ＝AD ＝42，PD ＝43， 过点M 作MF ⊥AD 于点F ， 则MF ⊥平面ABCD ，连接EF ， 则EF 为ME 在平面ABCD 上的射影，所以∠MEF 为ME 与平面ABCD 所成的角α. 在Rt △PAD 中，PD ＝43，MF ＝43－a3，得sin α＝MF ME ＝12－3a3ME.又设ME 与平面PBC 所成的角为β，过点M 作MN ⊥PA 于点N ，则MN ∥平面PBC ，∴M ，N 到平面PBC 的距离相等，设为d ，由V N PBC ＝V C PBN ，得S △PBC ×d ＝S △PBN ×4，即34×(42)2×d ＝12×a 3×4×4，解得d ＝a 3，所以sin β＝d ME ＝a3ME.由sin α＝sin β，得12－3a ＝a ，解得a ＝63－6，∴PM PD ＝3－32. 命题点一 空间几何体的三视图及表面积与体积 1．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选 C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，∴该几何体的体积为V ＝12×(2＋1)×2×2＝6.2.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．217B ．25C ．3D ．2解析：选B 先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M ，N 的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中MN 即为M 到N 的最短路径．∵ON ＝14×16＝4，OM ＝2，∴MN ＝OM 2＋ON 2＝22＋42＝2 5.3．(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由三视图得到空间几何体的直观图如图所示， 则PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，PA ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1，所以PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，PA ⊥BC . 又BC ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ， 所以BC ⊥平面PAB . 所以BC ⊥PB .在△PCD 中，PD ＝22，PC ＝3，CD ＝5， 所以△PCD 为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB ，△PAD ，△PBC ，共3个． 4．(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．60B ．30C ．20D ．10解析：选D 如图，把三棱锥A BCD 放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD 为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A BCD 的高为4，故该三棱锥的体积V ＝13×12×5×3×4＝10.5.(2018·天津高考)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为______．解析：连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC ，因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC ，所以EH∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形，又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M EFGH 的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222×12＝112.答案：1126．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA 与底面成45°角，∴△SAO 为等腰直角三角形． 设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r . 在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158， ∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin∠ASB＝12×(2r )2×158＝515， 解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×210×45＝402π. 答案：402π命题点二 组合体的“切”“接”问题1．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．183C ．24 3D ．543解析：选B 由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.2．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 3. 设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，所以这个球的体积为43πR 3＝4π3×278＝9π2.答案：9π23．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.答案：32命题点三 直线、平面平行与垂直的判定与性质 1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． 解：(1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，又DM ⊂平面CMD ，所以BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且CD 为直径， 所以DM ⊥MC .又BC ∩MC ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .因为DM ⊂平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC .(2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD .证明如下：连接AC 交BD 于O .因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为AC 的中点． 连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP . 又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD .2．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为PA ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)如图，作CH ⊥OM ，垂足为H ， 又由(1)可得PO ⊥CH ，且PO ∩OM ＝O ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC ＝12AC ＝2，MC ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.3．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB . 因为PD ⊂平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .4.(2018·江苏高考)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明：(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.命题点四空间角度问题1．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.22B.32C.52D.72解析：选C 如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角为∠EAB 或其补角．在Rt △ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52.2．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．62C ．8 2D ．83解析：选C 如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4.在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 21－AC 2＝42－22＋22＝22，∴V 长方体＝AB ·BC ·CC 1＝2×2×22＝8 2.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334B.233C.324D.32。
高考数学一轮复习直线、平面垂直的判定及其性质
第5节直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲i.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.口归敦材，夯寳基础知识梳理1 .直线与平面垂直(1) 直线和平面垂直的定义如果一条直线I与平面a内的任意直线都垂直，就说直线I与平面a互相垂直.2.平面与平面垂直(1) 平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.［常用结论与微点提醒］1. 垂直关系的转化判定判定判定I线线曜頁普堰血匝巫器面画垂宜f 性踰性険性质2. 直线与平面垂直的五个结论(1) 若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2) 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行.(4) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.诊断自测1. 思考辨析(在括号内打“V”或“X”)(1) 直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则1丄口()(2) 垂直于同一个平面的两平面平行.()(3) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. ()(4) 若平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线，则a丄3( )解析(1)直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则有I丄a或I与a斜交或I? a或I // a,故⑴错误.(2) 垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3) 若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.（4）若平面a内的一条直线垂直于平面B内的所有直线，则aL B,故（4）错误. 答案（1）X ⑵X ⑶X ⑷X2. （必修2P56A组7T改编）下列命题中错误的是（）A .如果平面a丄平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面BB. 如果平面a不垂直于平面B,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面BC. 如果平面a丄平面Y平面肚平面Y aG A l，那么I丄平面丫D. 如果平面a丄平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面B解析对于D,若平面a丄平面B,则平面a内的直线可能不垂直于平面B,即与平面B的关系还可以是斜交、平行或在平面B内，其他选项易知均是正确的. 答案D3. （2016浙江卷）已知互相垂直的平面a, B交于直线I,若直线m , n满足m// a, n LB,则（）A. m/ IB. m / nC. n丄I D . m丄n解析因为an片I，所以I? B ,又n丄B,所以n丄I,故选C.答案C4. （2017全国川卷）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A. A1E L DC1 B . A1E L BDC. A1E L BC1 D . A1E L AC解析如图，由题设知，A1B1丄平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，从而A1B1L BC1,又B1C L BC1,且A1B1G BQ= B1,所以BC1 丄平面A1B1CD,又A1E? 平面A1B1CD，所以A1E L BC1.答案C5. （2017浙江名校协作体联考）已知矩形ABCD, AB= 1, BC= 2.将厶ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（）A •存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B. 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C. 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D. 对任意位置，三对直线“ AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析若AB丄CD，BC丄CD，则可得CD丄平面ACB，因此有CD丄AC.因为AB=1，BC= AD= 2，CD= 1，所以AC= 1，所以存在某个位置，使得AB丄CD. 答案B 6. (必修2P67练习2改编)在三棱锥P —ABC中，点P在平面ABC中的射影为点0，(1)若PA= PB= PC,则点0 是厶ABC 的________ 心.⑵若PA丄PB，PB丄PC，PC丄PA，则点0是厶ABC的______ 心.解析(1)如图1,连接OA, OB，OC，0P，在Rt A POA、Rt△ POB 和Rt△ POC 中，PA= PC= PB，所以OA= OB = OC，即卩O ABC的外心.(2)如图2，T PC丄PA，PB丄PC，PA A PB= P，••• PC丄平面FAB，AB?平面PAB，••• PC丄AB,又AB丄PO，PO A PC= P，••• AB 丄平面PGC，又CG?平面PGC，二AB丄CG，即CG ABC边AB的高.同理可证BD，AH分别为△ ABC边AC，BC上的高，即O ABC的垂心.答案(1)外⑵垂图1I考点突破丨分类讲练■、以例求试考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P —ABCD中，FA丄底面ABCD,AB丄AD, AC 丄CD,/ ABC= 60° PA=AB= BC, E 是PC 的中点.证明：（1）CD 丄AE;（2）PD丄平面ABE.证明（1）在四棱锥P —ABCD中，v PA 丄底面ABCD , CD?平面ABCD,：PA 丄CD,又••• AC丄CD, 且FA P AC = A,••• CD丄平面PAC.而AE?平面PAC,••• CD 丄AE.（2）由PA=AB= BC ,Z ABC = 60° 可得AC = PA.v E是PC的中点，二AE丄PC.由（1）知AE丄CD , 且PC P CD = C,••• AE丄平面PCD.而PD?平面PCD,：AE 丄PD.v PA丄底面ABCD , AB?平面ABCD ,:PA丄AB.又v AB丄AD ,且PA P AD = A ,:AB丄平面PAD ,而PD?平面PAD ,:AB丄PD.又v AB P AE= A, : PD 丄平面ABE.规律方法（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性（a// b , a丄a b± a ）；③面面平行的性质（a丄a, all B ? a X p ）；④面面垂直的性质（a丄B, aA a, I丄a, I? B ?l丄a ）.（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】如图所示，已知AB为圆0的直径，点D为线段AB上一点，且AD 1=3DB，点 C 为圆0 上一点，且BC= 3AC，PD 丄平面ABC, PD= DB.求证：PA X CD.证明因为AB为圆0的直径，所以AC X CB.在Rt A ABC 中，由3AC = BC 得，/ ABC= 30°设AD = 1,由3AD = DB 得，DB = 3，BC = 2 3.由余弦定理得CD2= DB2+ BC2—2DB BCcos 30= 3, 所以CD2+ DB2= BC2,即CD 丄AB.因为PD丄平面ABC, CD?平面ABC,所以PD丄CD，由PD A AB= D得，CD丄平面PAB,又PA?平面PAB,所以PA X CD.考点二面面垂直的判定与性质【例2】（2017江苏卷）如图，在三棱锥A—BCD中，AB X AD, BC丄BD,平面ABD X 平面BCD,点E, F（E与A, D不重合）分别在棱AD, BD上，且EF X AD.求证：（1）EF //平面ABC;(2)AD 丄AC.证明(1)在平面ABD内，AB X AD, EF丄AD , 贝U AB // EF.••• AB?平面ABC, EF?平面ABC,••• EF//平面ABC.(2)v BC丄BD，平面ABD G平面BCD = BD，平面ABD丄平面BCD, BC?平面BCD，二BC丄平面ABD.••• AD?平面ABD，二BC 丄AD.又AB丄AD，BC，AB?平面ABC，BC G AB= B，••• AD丄平面ABC，又因为AC?平面ABC,：AD丄AC.规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】(2017 山东卷)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C i-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，0为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E丄平面ABCD.(1)证明：A1O //平面B1CD1；⑵设M是0D的中点，证明：平面A1EM丄平面B1CD1. 证明(1)取B1D1的中点01，连接CO1, A1O1，由于ABCD —A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1 // 0C，A1O1 = 0C，因此四边形A10C01为平行四边形，所以A1O// 01C，又01C?平面B1CD1，A10?平面B1CD1，所以A10 //平面B1CD1.(2)因为AC丄BD , E, M分别为AD和OD的中点，所以EM丄BD,又A I E丄平面ABCD, BD?平面ABCD,所以A i E丄BD,因为B i D i // BD，所以EM丄B i D i, A i E丄B i D i,又A I E, EM?平面A i EM , A i E A EM = E,所以B i D i丄平面A i EM ,又B i D i?平面B i CD i,所以平面A i EM丄平面B i CD i.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度i多面体中平行与垂直关系的证明【例3-U 如图，在直三棱柱ABC —A i B i C i中，D, E分别为AB, BC的中点, 点F 在侧棱B i B上，且B i D丄A i F, A i C i丄A i B i.求证：(1) 直线DE //平面A i C i F;⑵平面B i DE丄平面A i C i F.证明(i)在直三棱柱ABC—A i B i C i中，A i C i / AC.在厶ABC中，因为D, E分别为AB, BC的中点，所以DE // AC,于是DE// A i C i.又因为DE?平面A i C i F, A i C i?平面A i C i F,所以直线DE //平面A i C i F.(2) 在直三棱柱ABC—A i B i C i中，A i A丄平面A i B i C i.因为A i C i?平面A i B i C i，所以A i A丄A i C i.又因为A i C i丄A i B i, A i A?平面ABB i A i, A i B i?平面ABB i A i, A i A A A i B i= A i, 所以A i C i 丄平面ABB i A i.因为B i D?平面ABB i A i,所以A i C i丄B i D.又因为B i D 丄A i F, A1C1?平面A i C i F, A i F?平面A i C i F, A1C1 A A i F = A i,所以B i D丄平面A iC i F.因为直线B i D?平面B i DE，所以平面B i DE丄平面A i C i F.规律方法(i)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度2平行垂直中探索性问题【例3-2】如图所示，平面ABCD丄平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC= CE，点F为CE的中点.(i)证明：AE//平面BDF.⑵点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P,使得PM丄BE?若存在, 确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(i)证明图①连接AC交BD于0,连接0F，如图①.•••四边形ABCD是矩形，二0为AC的中点，又F为EC的中点, •••0F ACE的中位线，••• OF / AE, 又OF?平面BDF, AE?平面BDF ,••• AE//平面BDF.⑵解当P为AE中点时，有PM丄BE,证明如下：取BE 中点H , 中占I 八、、，••• PH // AB ,又 AB // CD ，二 PH // CD ,： P , H , •••平面 ABCD 丄平面 BCE ，平面 ABCD A 平面 CD 丄 BC.••• CD 丄平面 BCE , 又 BE?平面 BCE ,••• CD 丄 BE ,v BC = CE , H 为 BE 的中点，二 CH 丄BE ,又 CD A CH = C ,： BE 丄平面 DPHC ，又 PM?平面 DPHC , ••• BE 丄 PM ，即 PM 丄 BE.规律方法 （1）求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给 出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件， 再证明充分性.（2）涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索 点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.【训练3】（2018嘉兴七校联考）在如图所示的几何体中，面 CDEF 为正方形, 面 ABCD 为等腰梯形，AB // CD , AC = . 3, AB = 2BC = 2, AC 丄FB.⑴求证：AC 丄平面FBC.⑵求四面体FBCD 的体积.⑶线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ?若存在，请说明其位置，并加 以证明；若不存在，请说明理由.⑴证明在厶ABC 中，因为 AC = 3, AB = 2, BC = 1,所以 AC 2 + BC 2= AB 2,••• P 为AE 的中点，H 为BE 的C ,D 四点共面.BCE = BC , CD?平面 ABCD ,所以AC丄BC.又因为AC丄FB, BC G FB = B,所以AC丄平面FBC.⑵解因为AC丄平面FBC , FC?平面FBC，所以AC丄FC. 因为CD丄FC, AC A CD = C,所以FC丄平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CB= DC = 1,所以FC = 1.所以△ BCD的面积为S^43.1 U3所以四面体FBCD的体积为V F—BCD = 3S FC = 12.⑶解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA//平面FDM.证明如下:连接CE，与DF交于点N,取AC的中点M，连接MN.因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点.所以EA // MN.因为MN?平面FDM , EA?平面FDM ,所以EA//平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA//平面FDM成立.I课乍业分层训练■，提升能力基础巩固题组一、选择题1. （2018绍兴检测）已知平面辽平面B,且aA b, a? a ,贝a丄b”是“ a丄0'的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析平面a丄平面0且aA 0= b, a? a ,若a丄b,则a丄0充分性成立；平面a丄平面B,因为aA b,所以b? B,若a丄B,则a丄b,必要性成立，所以“a丄b”是“ a丄B的充要条件，故选C.答案C2. （2015浙江卷）设a, B是两个不同的平面，I, m是两条不同的直线，且I? a , m?B （）A .若I丄B,贝U aXB B .若a丄B,则I丄mC.若I // B,贝U all B D .若all B,则I // m解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，I与m可能平行；C选项中，a与B可能相交；D选项中，I与m可能异面.答案A3.若平面a, B满足a丄B, aA B= I ,P€ a , P?I，则下列命题中是假命题的为（）A .过点P垂直于平面a的直线平行于平面BB. 过点P垂直于直线I的直线在平面a内C. 过点P垂直于平面B的直线在平面a内D. 过点P且在平面a内垂直于I的直线必垂直于平面B解析由于过点P垂直于平面a的直线必平行于平面B内垂直于交线的直线，因此也平行于平面B,因此A正确.过点P垂直于直线I的直线有可能垂直于平面a,不一定在平面a内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C , D正确.答案B4. 如图,在正四面体P-ABC中,D , E , F分别是AB , BC , CA的中点,下面四个结论不成立的是（）A. BC//平面PDFB. DF丄平面FAEC. 平面PDF丄平面PAED.平面PDE丄平面ABC 解析因为BC// DF, DF?平面PDF,BC?平面PDF,所以BC //平面PDF ,故选项A正确.在正四面体中，AE丄BC, PE丄BC, AE G PE= E,••• BC丄平面PAE, DF // BC,贝U DF丄平面PAE, 又DF?平面PDF，从而平面PDF丄平面PAE.因此选项B, C均正确.答案D5. （2017丽水调研）设l是直线，a, B是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A .若I // a, I // B,贝u all PB .若I // a, I 丄B,贝U a丄B C.若a丄B, I丄a,则I // P D .若a丄P I // a,则I丄P解析A中，all P或a与P相交，不正确.B中，过直线I作平面Y设aG尸I ；贝U I'//1 ,由I丄B知I'丄B从而a丄B B正确.C中，I //p或I? p , C不正确.D 中，I与P的位置关系不确定.答案B6. 如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把厶ABD和厶ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD丄AC;②厶BAC是等边三角形；③三棱锥D —ABC是正三棱锥；④平面ADC丄平面ABC.其中正确的是（）A. ①②④ B .①②③C.②③④ D .①③④解析由题意知,BD丄平面ADC ,且AC?平面ADC ,故BD丄AC ,①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD丄平面ACD ,所以AB = AC= BC , △ BAC是等边三角形,②正确；易知DA = DB = DC ,又由②知③正确；由①知④错.答案B二、填空题7. _______________________________________________________________ 如图，已知PA丄平面ABC, BC丄AC,则图中直角三角形的个数为 _____________ .解析T PA丄平面ABC, AB, AC, BC?平面ABC,••• PA丄AB, PA丄AC, PA丄BC,则厶PAB, △ PAC为直角三角形.由BC丄AC, 且AC n PA= A, ••• BC丄平面PAC,从而BC丄PC,因此△ ABC, △ PBC也是直角三角形.答案48. （2018杭州质检）设a, B是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m l a, m? B ,贝U a± B；②若m // a , a丄B，贝U m± B其中真命题是__________ 填序号）.解析由面面垂直的判定定理可知①是真命题；若m// a, a丄B,则m, B的位置关系不确定，可能平行、相交或m? B，则②是假命题.答案①9. 如图所示，在四棱锥P- ABCD中，PA丄底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________ 寸，平面MBD丄平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）.解析由题意可知，BD丄PC.•••当DM丄PC（或BM丄PC）时，有PC丄平面MBD.又PC?平面PCD, •平面MBD丄平面PCD.答案DM丄PC（或BM丄PC等）10. （2016全国U卷改编）a, B是两个平面，m, n是两条直线.⑴如果m l a, n// a,那么m, n的位置关系是 ____________ ;(2)如果m/ n, all B,那么m与a所成的角和n与B所成的角的大小关系是解析(1)由线面平行的性质定理知存在直线I? a , n// I, m l a，所以m l l, 所以m l n.⑵因为m// n,所以m与a所成的角和n与a所成的角相等.因为all B,所以n 与a所成的角和n与B所成的角相等，所以m与a所成的角和n与B所成的角相等.答案(1)垂直(2)相等三、解答题11. 如图，在三棱锥P —ABC中，平面FAB丄平面ABC, PA丄PB, M , N分别为AB, PA的中点.(1) 求证：PB//平面MNC;(2) 若AC= BC,求证：PA丄平面MNC.证明(1)因为M , N分别为AB, PA的中点，所以MN // PB.又因为MN?平面MNC, PB?平面MNC，所以PB//平面MNC.(2)因为FA X PB, MN // PB,所以FA X MN.因为AC= BC, AM = BM，所以CM X AB.因为平面PAB X平面ABC,CM?平面ABC，平面PAB A平面ABC = AB.所以CM丄平面PAB.因为PA?平面PAB,所以CM丄PA.又MN A CM = M，所以PA丄平面MNC.12. (2016北京卷)如图，在四棱锥P —ABCD中，PC X平面ABCD, AB// DC, DC 丄AC.⑴求证：DC 丄平面FAC ;(2)求证：平面FAB 丄平面PAC ;⑶设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ,使得PA //平面CEF ?说明理由.(1)证明 因为PC 丄平面ABCD ,所以PC 丄DC.又因为AC 丄DC ,且PC n AC = C ,所以DC 丄平面PAC.(2)证明 因为AB / DC , DC 丄AC ,所以AB 丄AC.因为PC 丄平面ABCD ，所以PC 丄AB.又因为pe n AC = C ,所以AB 丄平面PAC.又AB?平面PAB ,所以平面PAB 丄平面PAC.⑶解 棱PB 上存在点F ,使得PA //平面CEF.理由如下：取PB 的中点F ，连接EF , CE , CF ,又因为E 为AB 的中点，所以 EF / PA.又因为PA?平面CEF ，且EF?平面CEF , 所以PA //平面CEF.能力提升题组13. (2018舟山调研)在三棱锥P - ABC 中，已知PA 丄底面ABC , AB 丄BC ,E, A. 当AE 丄PB 时，△ AEF 一定为直角三角形B. 当AF 丄PC 时，△ AEF 一定为直角三角形F 分别是线段PB , PC 上的动点，则下列说法错误的是(C •当EF //平面ABC 时，△ AEF —定为直角三角形D •当PC 丄平面AEF 时，△ AEF 一定为直角三角形解析 因为AP I 平面ABC , BC?平面ABC ，所以AP I BC ,又AB 丄BC ,且PA 和AB 是平面PAB 内两条相交直线，则 BC 丄平面PAB ,又AE?平面FAB ,所以 BC 丄AE ,当AE 丄PB 时，AE 丄平面PBC ,又EF?平面PBC ,贝U AE 丄EF , △ AEF 一定是直角三角形，A 正确；当EF //平面ABC 时，EF 在平面PBC 内，平面PBC 与平面ABC 相交于BC ,则EF // BC ,则EF 丄AE , △ AEF 一定是直角三角形， C 正确；当PC 丄平面AEF 时，AE 丄PC ,又AE 丄BC , J 则AE 丄平面PBC ,又EF?平面PBC ，所以AE 丄EF , △ AEF 一定是直角三角形，D 正确；B 中结论无法证 明. 答案 B14. （2017诸暨调研）如图，在正方形ABCD 中，E , F 分别是BC , CD 的中点, 沿AE , AF , EF 把正方形折成一个四面体，使 B , C , D 三点重合，重合后的点 记为P , P 点在△ AEF 内的射影为O ,则下列说法正确的是（ ）解析 由题意可知PA , PE , PF 两两垂直,所以PA 丄平面PEF ,从而PA 丄EF ,而PO 丄平面AEF ，贝U PO 丄EF ，因为POP PA = P ,所以EF 丄平面PAO ,••• EF 丄AO ,同理可知 AE 丄FO , AF 丄EO ,•••O AEF 的垂心.A . O 是厶AEF 的垂心 C. O 是厶AEF 的外心B . O 是厶AEF 的内心D . O 是厶AEF 的重心答案A15. 如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA丄平面ABC, PA= 2AB, 则下列结论中：①PB丄AE;②平面ABC丄平面PBC;③直线BC//平面PAE;④/ PDA=45°其中正确的有________ (把所有正确的序号都填上)•解析由PA丄平面ABC, AE?平面ABC, 得PA丄AE,又由正六边形的性质得AE丄AB, PA A AB = A,得AE丄平面FAB,又PB?平面FAB, A AE丄PB,①正确；又平面PAD丄平面ABC,二平面ABC丄平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC/ AD，又AD?平面PAD , BC?平面PAD , A BC//平面PAD , A直线BC//平面PAE也不成立，③错；在Rt △ PAD中，PA =AD= 2AB, A / PDA = 45° A④正确.答案①④16. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 丄CD , AD // BC,/ ADC=Z PAB= 90°BC = CD = 1AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM //平面PAB,并说明理由.⑵证明：平面PAB丄平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M €平面PAD),点M即为所求的一个点，理由如下:因为AD // BC, BC= 2AD.所以BC / AM , 且BC= AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM // AB.又AB?平面PAB.CM?平面PAB.所以CM //平面PAB.(说明：取棱PD 的中点N ,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)证明 由已知，PA 丄AB , FA X CD.因为 AD // BC , BC = 1A D ,所以直线AB 与CD 相交，所以PA 丄平面ABCD.又BD?平面ABCD ,从而PA X BD.1因为 AD // BC , BC = 2AD ,M 为AD 的中点，连接BM ,所以 BC / MD , 且 BC = MD.所以四边形BCDM 是平行四边形，1所以BM = CD = 2AD ，所以BD 丄AB.又AB A AP = A ,所以BD 丄平面PAB.又BD?平面PBD ,所以平面PAB X 平面PBD.17. 如图，三棱台DEF — ABC 中，AB = 2DE , G , H 分别为AC ,BC 的中点. (1)求证：BD //平面FGH ;证明 (1)连接DG , CD ，设CD A GF = M ,连接MH.(2)若 CF 丄BC , AB X BC ,求证：平面 BCD 丄平面EGH.在三棱台DEF－ABC 中，AB= 2DE, G 为AC 中点，可得DF // GC,且DF = GC, 则四边形DFCG 为平行四边形．从而M 为CD 的中点，又H为BC的中点，所以HM / BD, 又HM?平面FGH , BD?平面FGH, 故BD //平面FGH.(2)连接HE，因为G, H分别为AC, BC的中点，所以GH // AB.由AB丄BC,得GH丄BC.又H为BC的中点，所以EF // HC , EF = HC , 因此四边形EFCH 是平行四边形,所以CF // HE.又CF丄BC,所以HE丄BC. 又HE, GH?平面EGH , HE A GH = H , 所以BC丄平面EGH.又BC?平面BCD，所以平面BCD丄平面EGH.。
直线、平面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直.我们就说直线与平面互相垂直.记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。
要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”.这与“无数条直线”不同.注意区别。
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。
(3)若.则。
2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线与此平面垂直。
符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语.不可忽视。
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直.至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点.则无关紧要。
知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交.但不和这个平面垂直.这条直线叫做这个平面的斜线。
过斜线上斜足外的一点向平面引垂线.过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.叫做这条直线和这个平面所成的角。
要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直.直线在平面的射影是一条直线。
(2)直线与平面垂直射影是点。
(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
(4)一条直线垂直于平面.它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内.它们所成的角是0°的角。
知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分.这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面。
表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便.也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点.将这个二面角记作二面角.如果棱记作.那么这个二面角记作二面角或。
直线与平面垂直的判定和性质
直线与平面垂直的判定和性质
性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另
一个平面（面面垂直线面垂直）。
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么
这两个平面互相垂直（线面垂直面面垂直）。
判定定理：1.如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相
互垂直；2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；3.如果
一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。
定理1
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
定理2
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在
第一个平面内。
定理3
如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
推断
三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4
如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1
的逆定理）。
推断
如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。
（判定
定理推论2的逆定理）。
直线与平面垂直的判定及其性质
课题 直线与平面垂直的判定及其性质知识点一：直线与平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直的判定定理和性质定理2.直线与平面所成的角（线面所成的角关键：过斜线上一点作平面的垂线）(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.(2)线面角θ的取值范围:0°≤θ≤90°.规律总结1. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.知识点二：平面与平面垂直的判定与性质1.平面与平面垂直的判定定理与性质定理2. 二面角 平面与平面垂直的定义:一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角:.AOB l αβ∠--即为二面角的平面角 题型一：线面垂直的判定与性质证明直线与平面垂直的方法:(1)利用判定定理(a ⊥b,a ⊥c,b ∩c=M,b ⊂α,c ⊂α⇒a ⊥α);(2)利用面面平行的性质(a ⊥α,α∥β⇒a ⊥β);(3)利用面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=l,a ⊥l,a ⊂β⇒a ⊥α);(4)利用面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l ⊥γ).例1：如图，已知P 是菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ＝PC ，求证：AC ⊥平面PBD .【证明】 设AC ∩BD ＝O ，由题意知O 为AC 的中点，连接PO ，因为PA ＝PC ，所以PO ⊥AC ，又因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，而PO ∩BD ＝O ，PO ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD .变式1：题型二：面面垂直的判定与性质证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算平面角为90°);(2)利用面面垂直的判定定理(a ⊥β,a ⊂α⇒α⊥β).2.空间垂直关系之间的转化例2：如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，1111=A B AC ，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且⊥AD DE F ，为11B C 的中点．求证：平面⊥ADE 平面11BCC B ．证明：因为111ABC -A B C 是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC .又因为⊂AD 平面ABC ，所以1⊥CC AD .又因为⊂1AD⊥DE，CC ，DE 平面111BCC B ，CC ∩DE =E ，所以AD⊥平面11BCC B . 又因为⊂AD 平面ADE ，所以平面⊥ADE 平面11BCC B ． 变式2：如图,在四面体ABCD 中,平面BAD ⊥平面CAD,∠BAD=90°.M,N,Q 分别为棱AD,BD,AC 的中点.(1)求证:CD ∥平面MNQ; (2)求证:平面MNQ ⊥平面CAD.一、选择题1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( )A ．A 1E ⊥DC 1B ．A 1E ⊥BDC ．A 1E ⊥BC 1D ．A 1E ⊥AC如图，∵A 1E 在平面ABCD 上的投影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，∴B ，D 错；∵A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1， ∴A 1E ⊥BC 1，故C 正确；(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面CEA 1B 1.又A 1E 平面CEA 1B 1，∴A 1E ⊥BC 1)∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错．故选C.]1 2 3 42．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG ⊥平面EFHB ．AH ⊥平面EFHC ．HF ⊥平面AEFD ．HG ⊥平面AEF[根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.]3.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；与AP垂直的直线是________．答案：AB，BC，AC；AB[∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB.]4．如图7412所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC) [连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.5．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)②③④[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]6.如图7416，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.a或2a[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]7.如图7413，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．[解] (1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC .又因为BD 平面ABC ，所以PA ⊥BD .(2)证明：因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC .由(1)知，PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC ，所以平面BDE ⊥平面PAC .(3)因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，所以PA ∥DE .因为D 为AC 的中点，所以DE ＝12PA ＝1，BD ＝DC ＝ 2. 由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以三棱锥E BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13.] 8.如图7414，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB .又因为EF ⊆/平面ABC ，AB 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC 平面BCD ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD . 因为AD 平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB 平面ABC ，BC 平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .又因为AC 平面ABC ，所以AD ⊥AC .9. 如图，三棱柱ABC －A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1，D 是棱AA1的中点.(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC.（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.。
高中数学线面、面面垂直的判定与性质
线面、面面垂直的判定与性质知识回顾1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案：A例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．题型二例4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例5、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON12CD 12AB ， ∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．题型三例6、直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )A ．40°B ．50°C ．90°D ．150°答案：B例7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案：(1)45° (2)30° (3)90° 题型四例6、在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．32答案：B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角． ∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]例7、过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案：45° 题型五例8、下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案：C例9、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．9．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．题型六例10、平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能答案：D例11、如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．11．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24． ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．跟踪训练1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )A ．33B ．22C ． 2D ． 3答案：C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1AAO＝2，∴选C.2．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在答案：C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 答案：A[解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C. 又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C.而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C.又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C.故选A. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．答案：90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________.答案： 4[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β，∴V ＝13S △A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.6. 如图所示，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .7．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE.证明 取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF. ∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.则GF ∥AB. 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB.则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF. 又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴AF ⊥平面CDE.∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D是45°的二面角．6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，且BC1⊥A1C．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)若D、E分别是A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.11解析： (1)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ， ∴ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC 1.(2)如图，取AA 1的中点F ，连接DF 、EF.∵D 、E 、F 分别为A 1C 1、BB 1、AA 1的中点， ∴DF ∥AC 1，EF ∥AB ，DF∩EF ＝F ， ∴平面DEF ∥平面ABC 1， ∴DE ∥平面ABC 1.。
直线、平面垂直的判定及其性质解析
直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。
要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别。
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。
(3)若，则。
2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视。
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要。
知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。
过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直，直线在平面的射影是一条直线。
(2)直线与平面垂直射影是点。
(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角。
知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或。
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
互动课堂疏导引导一、直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直.疑难疏引 (1)定义中的“任意一条直线”这一词组，它与“所有直线”是同义语，但与无数条直线不同，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.但不能说一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，它就和这个平面垂直.(2)和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但在直线和平面垂直时，却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如若a ⊥α,b ⊂α,则a ⊥b ，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时，经常使用的一种重要方法.画直线和水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如果直线l 和平面α垂直，则记作l ⊥α.(4)在平面几何中，我们有命题：经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节，也有类似的命题.命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.2.直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面.用符号表示为ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l B n m n m ,,.疑难疏引 关于定理的理解必须注意以下几点：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要抓牢.(2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面. 命题2：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面.以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无数条直线可以是一簇平行线，并不一定具备有两条相交直线和已知直线垂直，因此，也就不一定得出这一直线垂直于这个平面这一结论.(3)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.(4)直线与平面垂直的判定与证明方法：①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面.②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直. ③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面. ⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面. 这六条线面垂直的判定方法其实质仍是转化思想，它们是线线、线面、面面垂直的转化. 案例1 如图，正方体有8个顶点和12条棱，每条棱上均有一个中点，于是有棱的中点12个，顶点与中点合起来共有20个〔图(1)〕.过其中的两点可作一条直线；过其中不在同一直线上的三点可作一个平面.现在考虑这些直线与平面的垂直关系.(1)试举出一直线与一平面相互垂直的例子(不少于4例)；(2)若一直线与一平面相互垂直，我们就说这条直线与这个平面构成了一个“垂直关系组”，两个“垂直关系组”当且仅当其中两条直线和两个平面不全同一时称为相异的(或不同的).试求与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数.【探究】在正方体中，所有的棱都和与它相交的面垂直，利用中点也可产生与棱垂直的面.(1)例如AB⊥平面BCKJ〔如图(1)〕；例如EF⊥平面MPON〔如图(1)〕；例如NF⊥平面ADKJ〔如图(2)〕；例如IC⊥平面AJL〔如图(3)〕.(2)正方体的棱有12条，而每一条棱都与3个平面垂直，如图(1)中棱IJ与平面ID、平面NP 与平面JC都垂直，所以与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数是12×3=36.【规律总结】挖掘正方体本身潜藏的特征，将每一条棱的情况分析清楚，做到不重不漏.案例2 如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC.【探究】根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H 是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.证明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC.①∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC 平面PBC，PA⊥BC，②由①②知，BC⊥PH，同理，AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC.【规律总结】根据所求证的结论，寻求所需的已知条件，看题目是否已经直接给出，或者从题目所给条件，经过推理能够得出，这是分析问题的重要方法，称为执果索因；也可从条件出发，将这一条件可能得出的结论一一列出，从中选出我们证题所需要的结论，这种分析问题的方法称为由因导果，发散性较强.二、平面与平面垂直的判定1.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.疑难疏引 (1)二面角的平面角，则是用来刻画二面角大小的一个概念.它和两条异面直线所成的角以与直线和平面所成的角一样，都化归为用平面内两条相交直线所成的角来表示.但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内.而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a 上的位置无关.(2)二面角的计算方法①用定义作二面角的平面角——在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角.利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱与棱上的特殊点.学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用.②用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.③面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则cosθ=原多边形面积射影多边形面积S S .案例3 已知四边形PABC 为空间四边形，∠PCA=90°，△ABC 是边长为32的正三角形，PC=2，D 、E 分别是PA 、AC 的中点，BD=10.试判断直线AC 与平面BDE 的位置关系，并且求出二面角P-AC-B 的大小.解：∵D 、E 分别是PA 、AC 的中点，∴DE ∥PC 且DE=21PC=1. ∵∠PCA=90°,∴AC ⊥DE.∵△ABC 是边长为32的正三角形，并且E 是AC 的中点，∴AC ⊥BE ，并且BE=3.∵DE∩BE=E ，∴直线AC 与平面DEB 垂直.∴∠DEB 为二面角P-AC-B 的平面角.在△BDE 中，由DE=1，BE=3，BD=10得DE 2+BE 2=BD 2，∴∠DEB=90°.综上所述，直线AC 与平面BDE 垂直，二面角P-AC-B 的大小为90°.【规律总结】 与二面角的棱垂直的平面和二面角的两个面相交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.利用作与棱垂直的平面得到二面角的方法称为“垂面法”.案例4 已知△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=AB=a ，求二面角A-PC-B 的正切值.【探究】 要求二面角的正切值，首先要在图形中构造出二面角的平面角，利用其平面角度量二面角的大小，过棱上一点，分别在两个面内作或证棱的垂线，即可产生二面角的平面角，充分利用三角函数定义求得正切值.解：取AC 的中点M ，连结BM ，作MN ⊥PC 于N ，连结BN.∵PA ⊥平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC.易证BM ⊥AC ，AC=平面PAC∩平面ABC.∴BM ⊥平面PAC(面面垂直的性质).∵MN ⊥PC ，∴NB ⊥PC.∴∠MNB 是二面角A-PC-B 的平面角.易知MN=a 42，BM=a 23. ∴tan ∠MNB=64223==a a MN BM . ∴二面角的正切值为6【规律总结】 度量二面角的大小是通过其平面角进行，所以在图形中构造出二面角的平面角，就能将空间问题转化为平面问题，利用直角三角形中锐角三角函数定义，有些问题也可用斜三角形中的直角三角形加以处理.2.两个平面互相垂直的判定常用的判定方法有：(1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.疑难疏引 两平面垂直的判定定理的特征：线面垂直面面垂直.它说明了线面垂直与面面垂直的密切关系，用符号表示为：若l ⊥α,l β,则α⊥β.利用判定定理证明两个平面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找另一平面的垂线.案例5 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC.【探究】 本题可以用两种方法来证明，一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内(证法一)；二是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直(证法二).证法一：作AD ⊥平面BSC ，D 为垂足.∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC ，则AS=AB=AC ，∴D 为△BSC 的外心.又∠BSC=90°，∴D 为BC 的中点，即AD 在平面ABC 内.∴平面ABC ⊥平面BSC.证法二：取BC 的中点D ，连结AD 、SD ，易证AD ⊥BC.又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD=SD.∴AD 2+SD 2=AD 2+BD 2=AB 2=AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD ，∴AD ⊥平面BSC.又AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC.【规律总结】 本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”的问题转化为证明“线面垂直”的问题.三、直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质有：(1)一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行；(3)两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；(4)垂直于同一直线的两个平面平行.对于性质定理，它提供了一种证明线线平行的方法，揭示了“平行”与“垂直”的内在联系. 案例6 如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，若点M 为棱B 1B 上的一点，当MBM B 1的值为多少时，能使D 1M ⊥平面EFB 1？并给出证明. 【探究】 本题属开放型问题，一般先猜后证.由于E 、F 为中点，所以猜想M 也是中点. 解：当11=MBM B 时，能使D 1M ⊥平面EFB 1，证明如下： 当M 为B 1B 中点时，在平面AA 1B 1B 内有△A 1MB 1≌△B 1EB ，∴∠B 1A 1M=∠BB 1E.而∠B 1MA 1+∠B 1A 1M=90°,∴∠B 1MA 1+∠BB 1E=90°.∴A 1M ⊥B 1E.∵D 1A 1⊥平面AA 1B 1B ，B 1E ⊂平面AA 1B 1B,∴D 1A 1⊥B 1E.由于A 1M∩D 1A 1=A 1,∴B 1E ⊥平面A 1MD 1.∵D 1M ⊂平面A 1MD 1,∴B 1E ⊥D 1M.同理，连结C 1M ，可证明B 1F ⊥D 1M.∵B 1E∩B 1F=B 1,∴D 1M ⊥平面EFB 1.【规律总结】 (1)猜想要和题目中的点的性质相联系.(2)平面内证两线垂直的方法可通过三角形中某两个角的和为直角来判断.四、两个平面垂直的性质两个平面垂直的性质有：(1)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；(2)两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 疑难疏引 性质定理(1)成立要有两个条件：一是线在面内，二是线垂直于交线，才能线面垂直，这一定理也可简述为“面面垂直，则线面垂直”，它反映了面面垂直与线面垂直的密切关系；对于第二条性质，只要在其中一个平面内通过一点作另一平面垂线，那么这条垂线必在这个平面内，对点的位置，它既可以在交线上，也可以不在交线上.(2)运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.案例7 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. 已知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证：l ⊥γ.【探究一】在γ内取一点P ，作PA 垂直α与γ的交线于A ，PB 垂直β与γ的交线于B ，则PA ⊥α,PB ⊥β.∵l=α∩β,∴l ⊥PA,l ⊥PB.∵α与β相交，∴PA 与PB 相交.又PA ⊂γ,PB ⊂γ,∴l ⊥γ.【探究二】在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ,β⊥γ,∴m ⊥γ,n ⊥γ.∴m ∥n.又n ⊂β,∴m ∥β.∴m ∥l,∴l ⊥γ.【探究三】在l 上取一点P ，过点P 作γ的垂线l′,l l l l l P P P l l P '=⋂⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧⊂'⊂'⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=''∈⊥⊥⎩⎨⎧∈∈⇒⎭⎬⎫=⋂∈βαβαγγβγαβαβα. 但α∩β=l,∴l 与l′重合.∴l ⊥γ.【规律总结】 探究一、探究二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是两种证法的关键.探究三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是关键.通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法.五、几种转化关系1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.线线垂直、线面垂直、面面垂直是立体几何中的核心内容之一.首先由线面垂直的定义可知，若线面垂直则线和面内任何直线都垂直；根据线面垂直判定定理，若线垂直于面内的两条相交直线，则线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，我们可以简证为，线面垂直则面面垂直；同样根据面面垂直的性质定理，我们还可证得，若面面垂直则线面垂直.由上可得，利用线面垂直，可以证明线线垂直，也可以实现面面垂直的证明.因此，我们可以说线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直.2.空间直线、平面的平行与垂直的相互转化(1)线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定与证明是考查空间想象能力、逻辑推理能力的重点，这是我们作进一步的比较、串联、综合、力求达到巩固、提高的目的.(2)理解线线、线面、面面关系的转化.①不同层次的平行关系的转化.②不同层次的垂直关系的转化③平行与垂直的转化案例8 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA=45°,求证：MN⊥平面PCD.【探究】(1)要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线.注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可，证明如下：证明：取PD的中点E，连结AE 、EN.则EN 21CD 21AB AM ， 故AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE.∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD.(2)要证MN ⊥CD ，可证MN ⊥AB.由问(1)知，需证AE ⊥AB.∵PA ⊥平面ABCD.∴PA ⊥AB ，又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN.又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD.(3)由问(2)知，MN ⊥CD ，即AE ⊥CD ，再证AE ⊥PD 即可.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD.又∠PDA=45°,E 为PD 的中点.∴AE ⊥PD,即MN ⊥PD.又MN ⊥CD.∴MN ⊥平面PCD.【规律总结】 本题是涉与线面垂直、线面平行、线线垂直诸知识点的一道综合题.题(1)的关键是选取PD 的中点E ，所作的辅助线使问题处理方向明朗化.线线垂直←线面垂直←线线垂直是转化规律.活学巧用1.判断题：正确的在括号内打“√”,不正确的打“×”.(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行.()(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.()(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.()(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内.()(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.()解析：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行②异面，因此应打“×”.(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系.若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”,正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内这无数条直线的位置关系，则该命题应打“×”.(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必须垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”.(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”.(5)三条共点直线两两垂直，设为a,b,c 有a,b,c 共点于O.∵a ⊥b,a ⊥c,b∩c=o,且b 、c 确定一平面，设为α，则a ⊥α.同理可知b 垂直于由a 、c 确定的平面，c 垂直于a 、b 确定的平面，∴该命题应打“√”.答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则有()A.l 和m 异面B.l 和m 相交C.l ∥mD.l 不平行于m解析：直线l ⊥平面α,则l 和平面α有且只有一个交点即垂足P ，平面α内任一直线m 经过P 时，l 和m 相交，直线m 不经过P 时，由异面直线的判定定理知,l 和m 异面，故l 和m 不会平行.答案：D3.如图(1)，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 与EF 把这个正方形折成一个几何体如图(2)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是( )A.SG ⊥平面EFGB.SD ⊥平面EFGC.GF ⊥平面SEFD.GD ⊥平面SEF解析:(1)(直接法)在图(1)中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ，右图(2)中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，∴SG ⊥平面EFG.(2)(排除法)GF 即G 3F 不垂直于SF ，∴可以否定C ；在△GSD 中，GS=a(正方形边长)，GD=a 42,SD=a 423, ∴SG 2≠SD 2+GD 2,∠SDG≠90°,从而否定B 和D.答案：A4.已知m 、n 为异面直线，m ∥平面α,n ∥α,直线l ⊥m,l ⊥n,则( )A.l ⊥αB.l 和α不垂直C.l 可能与α垂直D.以上都不对解析：在α内取一点P ，则m 和P 确定一个平面β，设β∩α=m′.∵m ∥α,∴m ∥m′.∵l ⊥m,∴l ⊥m′.n 和P 确定一个平面γ，设γ∩α=n′,∵n ∥α,∴n ∥n′. ∵l ⊥n,∴l ⊥n′.∵m 和n 是异面直线，∴m′和n′相交于P.∴l ⊥α.答案：A5.如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，AP ⊥平面ABC ，连结PB 、PC ，作PD ⊥BC 于点D ，连结AD ，则图中共有直角三角形__________个.解析：Rt △PAB 、Rt △PAC 、Rt △ABC 、Rt △ADP.可证BC ⊥平面APD ，由BC ⊥AD ，BC ⊥PD可证Rt △PBD 、Rt △PDC 、Rt △ADB 、Rt △ADC 共8个.答案：86.如图，α∩β=CD,EA ⊥α,垂足A ，EB ⊥β，垂足B.求证：CD ⊥AB.解析：∵EA ⊥α,CD ⊆α,根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA.同样∵EB ⊥β，CD ⊆β,则有EB ⊥CD.又EA∩EB=E ，根据直线和平面垂直判定定理，则有CD ⊥平面AEB.又∵AB ⊆平面AEB ， ∴CD ⊥AB.7.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥平面PAC.解析：使B 1O 垂直于平面PAC 中的两条相交直线.证明：连结AB 1、CB 1，设AB=1.因为AB 1=CB 1=2，AO=CO ，所以B 1O ⊥AC.连结PB 1.因为OB 12=OB 2+BB 12=23，PB 12=PD 12+B 1D 12=49，OP 2=PD 2+DO 2=43， 所以OB 12+OP 2=PB 12.所以B 1O ⊥PO.所以B 1O ⊥平面PAC.8.(1)二面角指的是( )A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角(2)下列说法错误的是( )A.过二面角的棱上某一特殊点，分别在两个半平面内引垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角即为二面角的平面角B.和二面角的棱垂直的平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角C.在二面角的一个面内引棱的垂线，该垂线与其在另一面内的射影所成的角是二面角的平面角D.二面角的平面角可以是一个锐角、一个直角或一个钝角解析：(1)根据二面角的定义讨论，故选C.(2)一一判断，可以发现应该选C.因为按C 中所给的方法，当二面角是一个锐角时，得到的确实是二面角的平面角；但当二面角是一个直二面角时，得到的是一个零度角；当二面角是一个钝角时，得到的是二面角平面角的一个补角.即C 中方法不具有普遍适用性.答案：(1)C (2)C9.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是( )A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不确定解析：如下图答案：C10.已知D 、E 分别是正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1上的点，且A 1D=2B 1E=B 1C 1.求过D 、E 、C 1的平面与棱柱的下底面A 1B 1C 1所成的二面角的大小.解析：如图，在平面AA 1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于点F ，则F 是面DEC 1与面A 1B 1C 1的公共点，C 1F 为这两个平面的交线，∴所求二面角就是D C 1F A 1的平面角.∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D=2B 1E ，∴E 、B 1分别为DF 和A 1F 的中点.∵A 1B 1=B 1C 1=A 1C 1，∴FC 1⊥A 1C 1.又面AA 1C 1C ⊥A 1B 1C 1，FC 1⊂面A 1B 1C 1,∴FC 1⊥面AA 1C 1C ，而DC 1⊂面AA 1C 1C ，∴FC 1⊥DC 1.∴∠DC 1A 1是二面角D-FC 1-A 1的平面角，由已知A 1D=B 1C 1=A 1C 1，∴∠DC 1A 1=4π. 故所求二面角的大小为4π. 11.河堤斜面与水平面所成的二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤脚的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走1033 m 时人升高了_________米( ) B.5.5 C解析：取CD 上一点E ，设CE=103 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.作EF ⊥AB 于F ，则EG=EFsin60°=CE·sin30°sin60° =5.72152321310==⨯⨯ (m).答案：D12.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：在平面PAB中，∵AD⊥AB,AD⊥PA且AB，PA⊂面PAB∴AD⊥面PAB∴面PAD⊥面PAB∵BC∥AD∴BC⊥面PAB∴面PBC⊥面PAB答案：A13.已知m、l是直线，a、β是平面，给出下列命题：(1)若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α;(2)若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；(3)若m⊂α，l⊂β,且l⊥m,则α⊥β；(4)若l⊂β，且l⊥α,则α⊥β；(5)若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则l∥m.其中正确的命题的序号是( )解析：本题考查线与线、线与面、面与面的位置关系.命题(1)是线面垂直的判定定理，所以正确；命题(2)，l∥α,但l不能平行于α内所有直线；命题(3)，l⊥m,不能保证l⊥α，即分别包含l与m的平面α、β可能平行也可能相交而不垂直；命题(4)，为面面垂直的判定定理，所以正确；命题(5)，α∥β,但分别在α、β内的直线l与m可能平行，也可能异面.答案：(1)、(4)14.在空间，下列哪些命题是正确的( )①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于同一个平面的两条直线互相平行A.仅②不正确B.仅①④正确C.仅①正确D.四个命题都正确解析：①该命题就是平行公理，因此该命题是正确的.②如图(1)，直线a⊥平面α,b⊆α,c⊆α,且b∩c=A,则a⊥b,a⊥c,即平面α内两条相交直线b,c都垂直于同一条直线a,但b,c的位置关系并不是平行，另外，b,c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面α外，此时，与a的位置关系仍是垂直，但此时b,c的位置关系是异面.③如图(2)，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，易知A1B1平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，但A1B1∩A1D1=A1，因此该命题是错误的，④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的.综上可知①、④正确.(1) (2)答案：B15.课本在证明直线与平面垂直的性质定理时采用的方法是反证法.请思考在什么情况下我们要使用反证法，它的步骤是什么?答：反证法一般用于从正面入手很难考虑的时候，如题目中有“不可能”、“没有”、“至少”、“至多”等词语时，很难直接应用定理或公式，这时它们的反面往往只有一种情况，只要将这一种情况否定了，命题便得到证明.反证法的证题步骤是：(1)假设命题结论的反面成立;(2)从这个假设出发，一步步推导出与某个定理、公式或已知条件相矛盾的结论；(3)肯定原命题结论正确.16.判断下列命题的真假①两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；②两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；③两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直.解析：①若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图(1)，正方体AC1中，平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1=AD，在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内.可以看出：线在面内这一条件的重要性.②该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图(2)，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1⊆平面ADD1A1,AB⊆平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；③如图(2)，正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1⊆平面ADD1A1，AC⊂平面ABCD，AD1与AC所成的角为60°，即AD1与AC不垂直.答案：①假②假③假17.在下列命题中，假命题是( )A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB.若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥βC.若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α,则必有l⊥βD.若平面α∥平面β,任取直线l⊂α,则必有l∥β解析：A中，直线l⊥β,l⊂α,所以α⊥β，A为真命题；B中，在α内取两相交直线，则此二直线平行于β，则α∥β，B为真命题；D为两平面平行的性质，为真命题；C为假命题，l。
第四节： 空间直线、平面垂直的判定及其性质
第四节：空间直线、平面垂直的判定及其性质知识梳理1．直线与平面垂直的定义如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 垂直于平面α，记作a ⊥α，直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．2.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．4．与线面垂直有关的重要结论(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线．(2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．5．两平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．6．两平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．7．两平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．8.空间角(1)直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角；当直线在平面内或直线与平面平行时，它们所成的角是0°的角．故线面角θ的范围：θ∈[0，π2]．(2)二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ．②二面角的平面角如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角．设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．9.垂直关系的转化判定定理转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直性质定理转化：面面垂直 线面垂直 线线垂直用图形表示为：同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直 线面垂直 线线平行 线面平行典例剖析题型一 垂直问题有关的命题判定例1 (浙江高考)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α变式训练 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n .其中所有正确的命题是( )A ．①④B ．②④C ．①D ．④解题要点 1.对于这类命题的判断问题，借助模型法是常见策略，一般地，对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.2.还可以通过画图判断，作图时仍然遵循先作面后作线的原则，用面衬托线，从而利于判断．题型二线面垂直的判定与性质例2如图，已知P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.解题要点利用判定定理证明线面垂直时，必须证明一条直线垂直于平面内的两条相交直线，这里相交必须要体现出来．题型三面面垂直的判定和性质例3如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．变式训练如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．解题要点(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．当堂练习1．下列命题中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β3. 在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面P AE ⊥平面ABC4．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( )A ．a ⊥βB ．a ∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能5．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， 给出下列四个命题：①若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α； ②若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β；③若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α或m ⊂α； ④若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．课后作业一、 选择题1．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① }m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α； ② }m ⊥α，n ⊥α⇒M ∥n ；③ }m ⊥α，n ∥α⇒M ⊥n; ④ }m ∥α，m ⊥n ⇒n ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，则PD 与平面ABCD 所成的角为图中的()A ．∠P ADB ．∠PDAC ．∠PDBD ．∠PDC3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )A ．0个B ．1个C ．无数个D ．1个或无数个4．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()5．已知a，b，c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c;②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c;③若a∥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个6．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则( )A．n⊥βB．n∥βC．n⊥αD．n∥α或n⊂α7．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β8．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直二、填空题9．空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为________．10．下列四个命题中，正确的序号有________．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ．11．在三棱锥P－ABC中，若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．三、解答题12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，求证平面PBE⊥平面P AB．13．如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E．求证AE⊥平面PBC．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5讲直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A.若l⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥mC.若l∥β，则α∥βD.若α∥β，则l∥m解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中，α与β可能相交；D选项中，l与m可能异面.答案 A2.(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为()A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确.答案 B3.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面P AEC.平面PDF⊥平面P AED.平面PDE⊥平面ABC解析因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确.在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，∴BC⊥平面P AE，DF∥BC，则DF⊥平面P AE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B，C均正确.答案 D4.(2017·西安调研)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l⊥β，则α⊥βC.若α⊥β，l⊥α，则l∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析A中，α∥β或α与β相交，不正确.B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确.C中，l∥β或l⊂β，C 不正确.D中，l与β的位置关系不确定.答案 B5.(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD 为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④解析由题意知，BD⊥平面ADC，且AC⊂平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC ＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错.答案 B二、填空题6.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.解析∵P A⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形.答案 47.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误.对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确.对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点.又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确.对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等.因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确.答案②③④三、解答题9.(2017·青岛质检)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D －BCG 的体积.(1)证明 由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BCG .又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图由平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BDC ＝BC ，AO ⊂平面ABC ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半.在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h ＝13×12BD ·BC · sin 120°·32＝12.10.(2016·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(1)求证：DC ⊥平面P AC ；(2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由.(1)证明 因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥DC .又因为AC ⊥DC ，且PC ∩AC ＝C ，所以DC ⊥平面P AC .(2)证明因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面P AC.又AB⊂平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AC.(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF∥P A.又因为P A⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，所以P A∥平面CEF.11.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.则下列说法正确的是()A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误.答案 C12.(2017·贵阳模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心解析由题意可知P A，PE，PF两两垂直，所以P A ⊥平面PEF ，从而P A ⊥EF ，而PO ⊥平面AEF ，则PO ⊥EF ，因为PO ∩P A ＝P ，所以EF ⊥平面P AO ，∴EF ⊥AO ，同理可知AE ⊥FO ，AF ⊥EO ，∴O 为△AEF 的垂心.答案 A13.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面P AE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).解析 由P A ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，得P A ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，∴AE ⊥PB ，①正确；又平面P AD ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，∴BC ∥平面P AD ，∴直线BC ∥平面P AE 也不成立，③错；在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确.答案 ①④14.(2016·四川卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由；(2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .又AB ⊂平面P AB .CM ⊄平面P AB .所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明由已知，P A⊥AB，P A⊥CD.因为AD∥BC，BC＝12AD，所以直线AB与CD相交，所以P A⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD，从而P A⊥BD.因为AD∥BC，BC＝12AD，M为AD的中点，连接BM，所以BC∥MD，且BC＝MD.所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面P AB. 又BD⊂平面PBD，所以平面P AB⊥平面PBD.。