【文献综述】二元函数重极限和累次极限的关系及其求解

合集下载

多元函数重极限与累次极限的关系

ｘ－－￣－ＯｘＹ
，
因而ｌｉｍｌｉｍｆ（ｘ，ｙ）不存在，同理ｌｉｍ
— ｆ＿＋ｏ＿＋ｏ
ｆ（ｘｌ，ｘ２ …Ｘｎ）：Ａ
ａ竹
ｌｉａｒｆ（ｘ，Ｙ）不存在。
—
ｒ＋ｏ． ∈ Ｑ
ｌｉｍｆ（ｘ，ｙ）：０，但
（ｘ，ｙ） — （０ｐ）
由于ｘ —ａ即ｘｉ－＋ａ￣（ｉ＝１，２ …ｎ）故也可记为
ｌｉｍ
ｘ， — ａ】，＿ “
ｌｉｍｙｓｉｎ１ｓｉｎ＿１＿＿不存在
ｃｏｎｃｅｐｔｉｓａｍｕｌｔｉ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｋｅｙｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅａｎｄａｃｃｕｒａｔｅｇｒａｓｐｏｆｍｕｈｉ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｗｅｉｇｈｔｌｉｍｉｔｓａｎｄｔｈｅｌｉｍｉｔｓ
１多元函数的极限
（１）重极限。定义１：设ＱＣＲｎ，ａ是ｎ的聚点，在ｆ（ｘ）有Ｑ／｛ａ）定义，Ａ是一实数，若ｅ＞Ｏ任给存在限值随ｍ的变化而不相等，所以
ｌｉｍｆ（ｘ，
（ｘ，ｙ） — （０，０）
ｙ）不存在，但ｌｉｍｌｉｍｆ（ｘ，ｙ）＝ｌｉｍｌｉａｒｆ（ｘ，ｙ）＝０．

二元函数重极限和累次极限的关系及其求解【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学二元函数重极限和累次极限的关系及其求解1.国内外现状极限思想也是社会实践的产物。

追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。

16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,要求数学突破只研究常量的传统范围,而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具。

牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度。

他意识到极限概念的重要性试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差,则最终就成为相等”。

但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。

牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限”。

维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义。

所谓an=A，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε恒成立”。

这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。

因此,这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。

在该定义中,涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。

2．研究方向许汪涛《关于多元极限概念》中强调突出多元函数的重极限与累次极限是两个性质上不同，却又紧密相关的概念。

二重极限与累次极限的联系及应用

ｌｉａｒ
，（ｚ，）存在，则
－＋０一０
．．【ｌＪ，ｕｊ
ｌｉａｆ（ｒｘ，）一ｌｉａｒｌｉｍｆ（ｘ，）一
ｌｉａｒｌｉｍｆ（ｘ，）．
＿＿＿
— Ｏｙ＿．０
【０（ｚ一０，或 — Ｏ）．
无法决定原点附近２维小邻域的整体情况．可能这
１０，
ｙ一０．
收稿日期：２０１１－０３பைடு நூலகம்— １６；修改日期：２０１２ — ０２ — ２７
作者简介：戴中元（１９８４－－），男，上海人，硕士，讲师，从事调和分析与
小波分析研究．Ｅｍａｉｌ：ｒｉｂｂｏｎｉｆｓｈ２００２＠ｍａｔｈ．ｐｋｕ．ｅｄｕ．ｅｎ
有如下结论．
或是否定命题，或是需要很多条件的肯定命题，得出
的定理很复杂，不方便记忆．本文给出了在一般情况下，二重极限与累次极限的肯定命题，只需有界条
定理１［］卵若存在，并令
ｌｉａｒｆ（ｘ，）与ｌｉｍｆ（ｘ，）均，
证明这里仅证明第一个等式，第二个等式类似可得．由二重极限存在（设为Ａ）的定义可知，对任意￡＞０，存在＞０，使得
Ｉｆ（ｘ，）一ＡＩ＜ｓ（一 ≤ ， ≤ ）．

二重极限与累次极限的关系

类似地，定义ｆｘＹ在点（。ｙ）先对Ｙ可（，），０处
后对
注：１二重极限定义中，）（。ｙ）（）（，，０蕴涵，）
着扩。和
的同时性和任意性，同时性是指
ｙ
２
ｌｍｉ
１８５
南昌高专学报
２１００年
再求二重极限，（，）直线ｙｍ令ｚＹ沿＝ｘ趋于
（，）有００，
（
ｙｉ— ）０但ｓ＝ｎ
ｆｘｙ不存在。￣，）
塑一警＝ｌｉｍ
但这并不能说明ｆｘｙ在点（，）的极限（，）Ｏ０处
（吕梁高等专科学校数学系山西吕梁０３０）３００
摘要：文分析了二元函数的二重极限及累次极限的定义，且讨论和总结了这两种极限之间的区别和本并
内在联系。关键词：元函数：重极限：次极限二二累
８则称当ＰＰ时在Ｄ上收敛，称Ａ为厂，０厂并当时的二重极限，为ｔ厂Ｐ）记ｉ（ｍ
．
２１由定义可知，重极限与累次极限的本．．二质不同，者之间并没有蕴涵关系，且，个累二并两次极限之间也没有蕴涵关系。
个重要内容，对初学者来说，二元函数的两种极限—— 二重极限与累次极限之间的关系是他们

浅谈二元函数极限运算的计算方法

当代教育实践与教学研究
浅谈二元函数极限运算的计算方法
湖南农业大学东方科技学院张孟吴常虹
摘要：二元函数的极限是从一元函数的极限的概念推广而来，两者既有联系又有区别，本文总结了二元函数极限计算的一些常见方法。
关键词：极限换元夹逼准则
文章编号：ＩＳＳＮ２０９５－６７１１／Ｚ０１－２０１７－０１－０１８０
，0 ≤
x2 y 2 x4 + y 2
3Hale Waihona Puke ≤x2 y 2 2x2 y
3
1 = y 2
3
x2 y 2 1 因为 lim y = 0 ，由夹逼定理 lim 4 2 = 0 x →0 x + y x →0 2 y →0 y →0
在这个题目中利用基本不等式对分母进行放缩，从而达到对整体的放大。三、利用恒等变形求二重极限在求二元函数的极限时，最常见的恒等变形有分子或分母的有理化。例： lim x →0 3 − xy + 9 y →0 和一元函数一样，遇到无理式时，有理化的过程是不可缺少的
函数的极限是高等数学中的重要内容，二元函数的极限是从一元函数的极限的概念推广而来，两者既有联系又有区别，二元函数极限的计算方法很多可以借助于一元函数的极限的计算方法来求解，然而目前大多数教材对二元函数的极限的计算方法没有深入地介绍，学生在讨论二元函数的连续、可微性时经常会涉及到二元函数的极限运算，往往会有很多的困惑，因此本文总结了二元函数极限运算的几种常见方法，以供大家参考。一、利用换元思想将二重极限化为一元函数的极限例： lim x + y − sin x + y
y →0
四、利用两个重要的极限公式求二重极限例： lim x →0

二重极限与累次极限的关系与应用论文

大理学院本科毕业论文二重极限与累次极限的关系及其应用The relationship and application of the Double limit and Repeated limit学院：数学与计算机学院项目组成员：潘逢生指导教师：王绍荣专业：数学与应用数学年级（班级）： 06级数本一班起止日期： 2009-6-25至2009-12-20制表日期：2009年 10 月 1 日[摘要]本文主要从累次极限与二重极限的定义出发，总结了累次极限与二重极限存在性的所有可能发生的情况和有关的定理，对二重极限与累次极限的关系作了一个比较完整的研究。

[关键词]二重极限；累次极限；存在性；一致趋向[Abstract] In this paper, according to definition of the repeated limita n d t h e d o ub l e limit, summed up all the possible presence of the repeated limit and thed o u b le l i m i t in existence and some related theorems, have a more complete study of thed o u b le limit and the repeated limit in existence.[Keywords] Double limit; repeated limit; existence; the same trend目录1.前言 (1)2. 二重极限与累次极限的区别与联系 (1)3.二重极限与累次极限存在性的七种情况 (3)3.1累次极限都存在且相等，但二重极限不存在 (3)3.2累次极限都不存在，二重极限存在 (4)3.3一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限存在 (4)3.4一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限不存在 (5)3.5累次极限都存在但不相等，二重极限一定不存在 (5)3.6累次极限与二重极限都存在且一定相等 (6)3.7二重极限与累次极限都不存在 (6)4.关于二重极限与累次极限的几个定理和问题 (7)4.1二重极限与累次极限存在必相等定理 (7)4.2二重极限存在时累次极限也存在的条件 (8)参考文献 (10)致谢 (11)1前言本文以二重极限与累次极限的关系为研究对象，原因在于它不仅对多元函数极限的求法和极限思想有很大的启发作用而且对多元函数的其他性质与应用也有很大的帮助，是研究多元函数的连续性，可积性，可微性的重要工具。

二重极限与累次极限及其应用

二重极限与累次极限及其应用作者：左双勇来源：《求知导刊》2015年第11期摘要：极限是研究函数的重要工具之一，二重极限是定义二元以上函数极限的基础，这里主要介绍了二重极限和累次极限的概念。

举例说明了二重极限与累次极限在存在性上相互独立的关系，最后给出了二重极限与累次极限的某些应用。

关键词：极限;二重极限;累次极限1.二重极限与累次极限的概念二元函数的极限有两种概念，它们分别是二重极限与累次极限，其定义分别如下：定义1：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域（P0可除外）有定义，若存在常数A，对∨ε>0，总;δ>0，只要点P（x，y）与P0（x0，y0）的距离ρ=√（x-x0）2-（y-y0）2< δ，恒有|f（x，y）-A|limf（x，y）=A或 limf（P）=A上面定义的二元函数的极限也称为二重极限。

[1]定义2：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域（P0可除外）有定义，若limf （x，y）=φ（y）存在，且limφ（y）=A存在，则称A为函数z=f（x，y）的先x→x0后y→y0次序的累次极限，记作：lim limf（x，y）=A。

同样的方法可以定义相反次序的累次极限lim limf（x，y）=A。

[2]2.二重极限与累次极限的关系举例二重极限与累次极限是分别独立定义的两个概念，下面举例说明它们在存在性上是相互独立的，没有必然的联系。

（1）二重极限存在，两种不同次序的累次极限也存在，且相等。

例如，—，x2+y2≠0f（x，y）=0， ; ; ; ; x2+y2=0二重极限lim—=0存在。

这是因为对∨ε>0，取δ=ε，只要ρ=√x2+y2两种不同次序的累次极限lim lim—=0，lim lim—=0存在且相等。

（2）二重极限存在，两种不同次序的累次极限都不存在。

例如，xsin—+ysin—，x≠0，y≠0f（x，y）=0， ; ; ; ; ; ; ; ; ;x=0，y=0二重极限lim（xsin—+ysin—）=0存在。

浅议二元函数重极限与累次极限的关系

浅议二元函数重极限与累次极限的关系
极限是数学里的一个重要的概念，通过极限的研究也可以更好的研究和解决方程。

特别是二元函数重极限和累次极限的关系更加复杂，研究这种关系对于理解二元函数方程里一些复杂问题具有特殊的重要性。

从数学角度来分析，二元函数重极限基本上是累次极限的一种简写形式，即$lim_{x→x_0 } f(x)=lim_{x→x_0,y→y_0}f(x, y)$ 。

当我们考虑一个二元函数f(x, y)时，如果y=y0，即函数中的第二项y的值是一个常量，f(x, y)就可以被
简单的替换成一元函数$ f(x)=f(x,y_0 ) $，这就意味着二元函数重极限和累次极限的情况是一致的，这就是它们之间的关系。

同样，累次极限也可以被简化为重极限，即当累次极限的变量维度只有一个时，就可以简单地使用重极限代表，这也意味着累次极限和重极限之间也有一定的相互关系。

可以发现，当极限变量维度只有一个时，重极限和累次极限之间具有一定的等
价性，并且当变量维度更高时，它们之间也有类似的关系，累次极限也可以被简化为重极限。

因此，重极限和累次极限之间基本上是等价的，他们之间存在一定的相互转换关系。

关于二重极限与累次极限的研究

关于二重极限与累次极限的研究二重极限与累次极限是微积分学中重要的研究内容，用于描述多元函数的性质。

在本文中，我们将探讨二重极限与累次极限的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

首先，我们先来定义二重极限。

设有二元函数$f(x,y)$，当$x$和$y$的取值在其中一区域中变化时，如果当$(x,y)$趋近于其中一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$无限接近于常数$L$，则称$L$为$f(x,y)$当$(x,y)$趋近于$(a,b)$时的二重极限，记作：$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$$接下来，我们来看一些二重极限的性质。

首先，在计算二重极限时常用的方法有直接代入法、夹逼法和极坐标转化法等。

其次，对$f(x,y)$的二重极限不存在的情况，通常表明函数在$(a,b)$处没有定义或者存在其中一种不连续性。

最后，对于其中一点$(a,b)$，若存在不同的趋近方式使得二重极限的值不同，则二重极限不存在。

然后我们来介绍一下累次极限。

设有二元函数$f(x,y)$，如果对于每个$x$，当$y$趋近于其中一点$b$时，有$\lim_{y\to b}f(x,y)=g(x)$，则称$g(x)$为$f(x,y)$当$y$趋近于$b$时的累次极限，记作：$$\lim_{y\to b}(\lim_{x\to a}f(x,y))= g(x)$$类似地，如果对于每个$y$，当$x$趋近于其中一点$a$时，有$\lim_{x\to a}f(x,y)=h(y)$，则称$h(y)$为$f(x,y)$当$x$趋近于$a$时的累次极限。

累次极限与二重极限的关系是：如果当$(x,y)$趋近于$(a,b)$时，存在$L$使得$f(x,y)$的二重极限等于$L$且$f(x,y)$的累次极限存在，则二重极限和累次极限相等。

接下来，我们来看一些关于二重极限和累次极限的例子。

以函数$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$为例，当我们计算$f(x,y)$在$(0,0)$处的二重极限时，可以使用极坐标转化法，令$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则有：$$f(x,y)=\frac{r\cos\theta\cdotr\sin\theta}{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=\frac{\cos\theta\sin\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\frac{1}{2}\sin(2\theta)$$当$(x,y)$趋近于$(0,0)$时，$r$趋近于零，而$\theta$可以取任意值。

二元函数极限证明

二元函数极限证明)in1y?ysin1x, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 .二重极限与累次极限的关系:（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。

例函数 f(x,y)?x?y?x?yx?y22的两个累次极限是 y?yyx?xx22limlimx?y?x?yx?yx?y?x?yx?yy?0x?0?limy?0?lim(y?1)??1y?0?lim(x?1)?1x?0limlimx?0y?0?limx?0（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例f(x,y)?xyx?yxyx?y，两个累次极限都存在limlimy?0x?0?0,limlimxyx?yx?0y?0?0但二重极限却不存在，事实上若点p(x,)沿直线 y?kx趋于原点时，kxf(x,y)?x?(kx)?k1?k二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)?xsin1y?ysin1x由|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,( x ,y)?(0,0).可见二重极限存在 ,但1xlimsinx?0和limsiny?01y不存在，从而两个累次极限不存在。

（4）二重极限极限lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存x?x0y?y0在 , 则必相等.( 证 )（5）累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等第三篇：二元函数极限的研究二元函数极限的研究作者：郑露遥指导教师：杨翠摘要函数的极限是高等数学重要的内容，二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的，本文讨论了二元函数极限的定义、二元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。

二元函数极限存在的判别法

编号学士学位论文二元函数极限存在的判别法学生姓名：古丽加玛丽·图拉克学号：20080101049系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2008-3班指导教师：木台力甫·努尔完成日期：2013 年05 月10 日I摘要极限方法是研究函数的主要方法之一。

极限理论，思想方法在许多领域有着广泛应用，函数的极限是高等数学的重点，难点的内容，二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展的，二者之间即有联系也有区别，一元函数和二元函数的四则运算是相同的，但是随着变量的个数的增加，二元函数的极限比一元函数极限变得复杂得多，本文先介绍二元函数极限的定义，二重极限与累次极限的定义，讨论了二重极限与累次极限之间的关系，并且利用二重极限与累次极限的关系给出有关二重极限存在性的一些结论，二元函数极限存在的充分条件，主要讨论不可约有理分式函数极限存在的判别法，以及齐次有理分式函数极限存在的判别法。

关键词：二元函数极限，二重极限，累次极限。

II目录摘要 ............................................................... I 引言 ............................................................... 1 1.二元函数极限的基本概念 ........................................... 1 2.二重极限与累次极限之间的关系 . (4)2.1关系1 ...................................................... 4 2.2关系2 ...................................................... 4 2.3关系3 （定理1） ............................................ 5 3.二元函数极限存在的充要条件 ....................................... 6 4.有关极限存在的结论 .. (9)4.1结论1 ...................................................... 9 4.2结论2. ..................................................... 9 4.3结论3 ..................................................... 11 4.4结论4 ..................................................... 15 总结 .............................................................. 19 参考文献 .......................................................... 20 致谢 .. (21)1引言二元函数的极限是在一元函数的极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。

重极限与累次极限.

2
5
下面我们对例2和例3中的过程作一个比较.
对例2，用 “ ” 语言表示为：
对 0, 0,当0 r 时,
|f(rcos,rsin)|<
[0,2 ), 恒有
对例3，用 “ ” 语言可表示为：对 [0,2 ), 对 0, 0,当0 r 时, |f(rcos,rsin)|<
则有:
( x , y ) ( 0 , 0 )
y
O
x
lim
f ( x, y )不存在，
但仍然有
lim lim f ( x, y ) lim lim f ( x, y ) 1.
x 0 y 0
y 0 x 0
此时，两个累次极限存在且相等，但重极限不存在.
12
例5
讨论函数
1 1 f ( x, y) x sin y sin , y x
( x , y ) ( 0 , 0 )
图像
证明： lim
证
f ( x, y ) 0
作极坐标变换 x= rcos , y= rsin . 由于
x2 y2 | f ( x, y) 0 | xy 2 x y2 1 2 r | sin 4 | 1 r 2 4 4
因此，对 0, 取＝2 ,当0 r 时, 不论取
( x ) lim f ( x , y).
y y0
0 * 在(*)式中令y→y0, 则当 x U ( x0 , ), 时,
| ( x) A | .
这就说明了
x x 0 y y0
lim lim f ( x , y) lim ( x ) =A.
x x 0
16

二重极限与累次极限的关系

二重极限与累次极限的关系在我院所用的《工科高等数学》教材中，有这样一道思考题：若f（x，y）存在，则f（x，y）=［f（x，y）］对吗？反之，是否成立?参看教材，我们发现，教材只对二元函数的极限（即二重极限）做了简单，对累次极限并未涉及，所以学生无法解答此题。

由于教学内容及课时的安排，教师也不可能对累次极限及二重极限和累次极限的关系作详细。

下面，我从二者的定义谈起，力求在定义和定理的正确灵活运用方面，对读者有所帮助。

一、二重极限与累次极限的概念1.二重极限定义1：设f为定义在D?奂R上的二元函数，P为D的一个聚点，A是一个确定的实数。

若对任给的正数ε，总存在某正数δ，使得当P∈U（P;δ）∩D时，都有｜f（P）-A｜<ε，则称f在d上当p→p 时，以a为极限，记作f（p）=a。

在对于p∈d不致产生误解时，也可简单写作f（p）=a。

当p，p分别用坐标（x，y），（x，y）表示时，上式也常写作f（x，y）=a。

></ε，则称f在d上当p→p时，以a为极限，记作f（p）=a。

在对于p∈d不致产生误解时，也可简单写作f（p）=a。

当p，p分别用坐标（x，y），（x，y）表示时，上式也常写作f（x，y）=a。

>在研究的极限f（x，y）中，两个自变量x、y同时以任何方式趋于x、y，这种极限也称为重极限。

如果x与y依一定的先后顺序相继趋于x与y时f的极限，这种极限称为累次极限。

2.累次极限定义2：设E，E?奂R，x是E的聚点，y是E的聚点，二元函数f在集合D=E×E上有定义。

若对每一个y∈E，y≠y存在极限f（x，y），由于此极限一般与y有关，因此记作φ（y）=f（x，y），而且进一步存在极限L=φ（y），则称此极限为二元函数f先对x（→x）后对y（→y）的累次极限，并记作L=f（x，y）或记作L=f（x，y）。

二、二重极限与累次极限间的关系1.二者间没有必然关系累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在没有必然的蕴含关系。

(黄梦莉)研析二重极限与累次极限的关系教学教材

(黄梦莉)研析二重极限与累次极限的关系通化师范学院本科生毕业论文（ 2016 届）题目研析二重极限与累次极限的关系学院数学学院专业数学与应用数学班级12级01班作者姓名黄梦莉学号201206010104指导教师王宏志职称副教授学位硕士论文成绩2016年5月目录摘要 (1)关键词 (1)中文摘要 (1)英文关键词 (1)1 引言 (1)2 预备知识 (1)3 二重极限与累次极限之间的联系 (3)3.1二重极限与累次极限没有必然的联系 (3)3.2二重极限与累次极限在一定条件下的联系 (5)3.3利用累次极限求解二重极限 (5)3.4数列的二重极限与累次极限的关系 (6)4 结束语 (6)5 参考文献 (7)研析二重极限与累次极限的关系数学学院1201 黄梦莉摘要：二元函数极限概念是多元函数微积分学的一个重要内容，本文利用二重极限与累次极限的概念，讨论它们的本质性区别，归纳总结了二重极限与累次极限存在性之间的内在联系.关键词：多元函数；二重极限；累次极限；关系Research on the Relationship between Double Limit and Repeated Limit Class1201 School of Mathematics HUANG MengliAbstract: The concept of limit of two elements function is an important content of multivariate function differential calculus, using the concept of double limit and the repeated limit, discussed their essential differences, summarizes the inner relation between the double limit and double limit.Key words: multivariate;double limit; repeated limit; relationship1 引言二元函数的两种极限——二重极限和累次极限，二重极限在多元函数微积分中占有突出地位，对于二重极限与累次极限的正确理解和求解是研究多元函数微分学的基础，而二重极限与累次极限的关系是其重要内容．对于初学者，很容易对两者之间的关系产生疑问及误解，甚至分不清这两种极限的概念．为了正确认识这两种极限之间的关系，首先要掌握这两种极限的概念，清楚理解这两种极限实质性的区别，其次深入研究这两种极限存在性的联系．掌握二重极限与累次极限的概念及其关系有利于研究多元函数微积分及多元函数极限的计算．在本文中还将介绍二重极限与累次极限的关系同样适用于数列中——数列的二重极限与累次极限的关系，在这里的数列是指二重数列，而二重数列可以看成二元函数.2 预备知识（1）二重极限与累次极限的概念定义1 设f 为定义在上的2R D 二元函数，0P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数.若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当D P U P I ο);(0δ∈ 时，都有 ε＜A P f -)(.则称f 在D 上当0P P →时以A 为极限，记作 A P f DP P P =∈→)(lim 0. 在对于D P ∈不致产生误解时，也可以简单地写作 ()A P f P P =→0lim . 当 0,P P 分别用坐标()y x ,，()00,y x 表示时，上式也常写作 ()()()A y x f y x y x =→,lim 00,,. 在所研究的极限 ()()()y x f y x y x ,lim 00,,→ 中，两个自变量y x ,同时以任何方式趋于0x ，0y ．这种极限也称为二重极限．定义2 设()x,y f ,()D y x ∈,,D 在x 轴、y 轴上的投影分别为X ，Y ．即 {}D y x x X ∈=),(,{}D y x y Y ∈=),(.0x ，0y 分别是X ，Y 的聚点．若对每一个()0y y Y y ≠∈，存在极限 ()y x f x x ,lim 0→，它一般与y 有关，故记作 ),(lim )(0y x f y x x →=ϕ，如果进一步还存在极限)(lim 0y L y y ϕ→=，则称此极限L 为()y x f ,先对()0x x →，后对()0y y →的累次极限记作),(lim lim 00y x f L x x y y →→=. 类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限),(lim lim 00y x f K y y x x →→=.（2）二重数列及其极限的定义定义3 用D 来表示下面的点集：{}都是自然数n m n m D ,:),(=.(每个点的坐标都是由两个自然数组成的．)在点集D 上定义的函数()y x f ,，通常写成数列的形式：),2,1,)(,(Λ==n m y x f a mn .这叫做二重数列．这种数列也可以写成“无穷阶矩阵”的形式：ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212222111211m m n n a a a a a a a a当m ,n 以任意的方式无限增大时，这个二重数列的极限定义为()y x f y x D y x mna n m ,,lim lim +∞→+∞→∈=∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛3 二重极限与累次极限的关系3.1二重极限与累次极限没有必要的联系累次极限与二重极限是两个独立的不同概念，它们的存在性没有必然的包含关系．由此开始将逐一进行分类并说明二重极限与累次极限没有什么关联．3.1.1二重极限存在，而两个累次极限不存在例1 ()()yx y x y x f 1sin 1sin ,+= . 解 ()()y x y x y x y x f +≤+=≤1sin 1sin,0，()()()0lim 0,0,=+→y x y x ，由两边夹定理可知：()()()0,lim 0,0,=→y x f y x ，但是，对任意给定的0≠y ，由于01sin 1sin lim 0=→yx x x ，而y x y x 1sin 1sin lim 0→不存在，所以 ()yx y x x 1sin 1sin lim 0+→ 不存在，即 ()y x f x y ,lim lim 00→→ 不存在，同理，()y x f y x ,lim lim 00→→ 也不存在．由例1发现二重极限的存在并不能保证累次极限的存在．3.1.2二重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在由例1知道二重极限存在，两个累次极限不存在，但一个二元函数的两个累次极限不一定相等，虽然只是对两个不同变量求极限的次序不同，但结果并不一定总是相等的，有时甚至会出现一个累次极限存在而另一个不存在的情形．例2 函数()x y y x f sin 1,=满足00lim 1sin lim lim 000==→→→x y x x y ，x y x y 1sin lim lim 00→→不存在. 又 01sin →≤y x y ()()()0,0,→y x ，故()()01sin lim 0,0,=→xy y x . 3.1.3二重极限与累次极限都不存在以上例1与例2都是说明二重极限存在时，累次极限的存在性无法保证，由下面例3与例4可以看到二重极限与累次极限都可以不存在.例3 设()xyy x f 1,=，则其在()0,0重极限与累次极限都不存在. 例4 设()xye e y xf y x sin ,-=在()0,0点的累次极限 xy e e y x y x sin lim lim 00-→→不存在，xy e e y x x y sin lim lim 00-→→也不存在，即函数()y x f ,的两个累次极限均不存在，当动点()y x ,沿x 轴正向趋于()0,0时，()()xye e yx y x sin lim 0,0,-→不存在，故函数()y x f ,的二重极限也不存在． 3.1.4 两个累次极限存在且相等时，二重极限不存在由例5开始说明累次极限的存在也不能保证二重极限的存在性．例5 ()()()0,0,,22≠+=y x yx xy y x f ，,()y x f ,在()0,0处的两个累次极限都存在且相等，()()0,lim ,lim lim 000==→→→y x f y x f y y x ，再求二重极限，当动点()y x ,沿着直线mx y =而趋于定点()0,0时，由于此时()()21,,m m mx x f y x f +==，因而有()()()22220220,0,11lim lim m m m x mx y x xy x y x mxy +=+=+→→=，这一结果说明动点沿着不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在．3.1.5 两个累次极限存在且不相等时，二重极限不存在同样的，当两个累次极限结果不同时，也不能保证二重极限的存在性．例6设()222,y x xy y x y x f ++-=，它关于原点的两个累次极限分别为： ()11lim lim lim lim 0202200=+=+=+++-→→→→x xx x y x y x y x x x y x . ()11lim lim lim lim 0202200-=-=-=+++-→→→→y yy y y x y x y x x y x y . 当沿斜率不同的直线mx y =，()()0,0,→y x 时，对应的极限值也不同，因此该函数的二重极限不存在．3.2 二重极限与累次极限在一定条件下的联系通过以上的五个情形以及例题，已清楚地了解到累次极限与二重极限之间的存在性并没有什么关联，那么在它们之间是否真的毫无关系可寻的呢？并非如此．定理1 若()y x f ,在点()00,y x 存在重极限()()()y x f y x y x ,lim 00,,→与累次极限()y x f y y x x ,lim lim 00→→，则它们必相等．由定理1可导出如下两个便于应用的推论．推论1 若累次极限 ()y x f y y x x ,lim lim 00→→，()y x f x x y y ,lim lim 00→→ 和重极限()()()y x f y x y x ,lim 00,,→都存在，则三者相等．推论2 若累次极限()y x f y y x x ,lim lim 00→→ 与 ()y x f x x y y ,lim lim 00→→ 存在但不相等，则重极限()()()y x f y x y x ,lim 00,,→必不存在．但是，定理1保证了在二重极限与其中一个累次极限都存在时，它们必相等，但它们对另一个累次极限的存在性却不能得出什么结论．推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可用于否定重极限的存在性.3.3 利用累次极限求解二重极限求二重极限的方法大致可归纳为如下几种：（1）利用二重极限的“δε-”定义；（2）利用有界变量替换与无穷小量的乘积仍为无穷小量及等价无穷小的代换；（3）利用两边夹定理；（4）利用变量替换，将二重极限转化为已知极限或一元函数极限．本文将重点分析如何利用累次极限求解二重极限．二重极限与累次极限虽然没有必要的联系，但是仍然可以通过累次极限和二重极限的一些关系来求解二重极限．例7 ()()()()().,lim ,0,1sin ,0,0,222222y x f y x yx y x y x f y x →≠+++=求解先求累次极限，()0,lim lim 00=→→y x f y x ，再利用定义验证也是二重极限的值．事实上，对于任意的()()0,0,≠y x ，都有()()2222221sin 1,y x y x y x y x f +≤++=-，0＞ε∀，取2εδ=，当δ＜＜x 0时，有()()ε＜11sin 1,2222-++=-yx y x y x f ，即()()()0,lim 0,0,=→y x f y x ． 3.4 数列的二重极限与累次极限的关系考虑二重数列()Λ,2,1,=n m a mn ，这个数列的二重极限和累次极限分别表示为mn m a n →∞∞→lim ，mn m n a ∞→∞→lim lim ，mn n m a ∞→∞→lim lim ．已经知道，二重数列可以看成二元函数 ()()Λ,2,1,,==n m a n m f mn ，这样就有下面的结论．定理2 假设(1)二重极限mn m a n →∞∞→lim 存在；(2)对于所有充分大的n ，极限mn m a ∞→lim 存在；那么先m 后n 的累次极限一定存在，并且等于二重极限：mn m n mn m a a n ∞→∞→∞→=→∞lim lim lim .说明：关于先n 后m 的累次极限mn n m a ∞→∞→lim lim ，也有类似的结论．定理3 对于数列()Λ,2,1,=n m a mn .假设（1）二重极限mn m a n →∞∞→lim 存在；（2）对于所有充分大的n ，极限mn m a ∞→lim 存在；对于所有充分大m ，极限mn n a ∞→lim 也存在；那么两个累次极限都存在，并且都等于二重极限mn m mn n m mn m n a a a n →∞∞→∞→∞→∞→∞→==lim lim lim lim lim . 由此就可以看出，二重数列的累次极限与二重极限的关系与上文所提的关系存在相似，所以累次极限与二重极限的关系同样适用于数列中，这也便于记忆和了解累次极限与二重极限的关系．4 结束语在前文中可以知道二重极限与累次极限的存在性彼此不能等价．也就是说，二重极限的存在不能保证累次极限的存在；两个累次极限存在且相等，也不能保证二重极限的存在，更不用说三个极限能相等了．二重数列的极限也符合这样的规律．参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2002.[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].上海:同济大学出版社,2004.[3]赵丽琴,白云芬.累次极限与二重极限的关系研究[J].石家庄学院学报,2005,7(3):19-20.[4]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003.[5]戴中元.二重极限与累次极限的联系及应用[J].高等数学研究,2013,16(2):24-27.[6]董建伟.数学分析中的非蕴含关系[J].高师理科学刊,2012,32(2):43-45.[7]许汪涛.关于多元函数极限概念[J].陕西师范大学教育学报,2003,20(3):98-99.[8]齐小忠.浅谈二元函数中六大重要概念间的关系[J].喀什师范学院学报,2013,34(3):24-26.[9]王爱国.二重极限存在的一个充分必要条件[J].襄樊学院学报,2005,26(5):10-11.[10]张雅平.二重极限的几种求法[J].雁北师范学院学报,2005,21(2):65-67.[11]房明磊,许峰.关于二重极限与累次极限的研究[J].吉林教育学院学报,2015,12(2):153-154.[12]张同琦.浅议二元函数重极限与累次极限的关系[J].渭南师范学院学报,2000,12(3):69-70.精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。

求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理

求⼆元函数极限的⼏种⽅法⼆元函数极限定理1 / 151.⼆元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ?上有定义,0P 是D 的聚点,A 是⼀个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限⼜称为⼆重极限．２.⼆元函数极限的求法2.1 利⽤⼆元函数的连续性命题若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解：因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代⼊求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 1500x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()() 22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()()231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利⽤等价⽆穷⼩代换⼀元函数中的等价⽆穷⼩概念可以推⼴到⼆元函数．在⼆元函数中常见的等价⽆穷⼩((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,);(,)1(,)u x ye u x y-；同⼀元函数⼀样,等价⽆穷⼩代换只能在乘法和除法中应⽤.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2x→→→→+=+=这个例⼦也可以⽤恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→==2.4 利⽤两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是⼀元函数中两个重要极限的推⼴．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→??+=+，⽽ 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→??+x y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利⽤极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例⼦也可以⽤等价⽆穷⼩代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin() xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利⽤⽆穷⼩量与有界量的乘积仍为⽆穷⼩量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是⽆穷⼩量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量，故可知，0011lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--?--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-??-+-?? 是有界量，⼜ 32lim(3)0x y x →→-= 是⽆穷⼩量，所以， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ．虽然这个⽅法计算实际问题上不那么多⽤,但计算对⽆穷⼩量与有界量的乘积形式的极限的最简单⽅法之⼀ .２.６利⽤变量替换法通过变量替换可以将某些⼆元函数的极限转化为⼀元函数的极限来计算,6 / 15从⽽使⼆元函数的极限变得简单.但利⽤时⼀定要满⾜下⾯的定理。

论文二重极限计算方法

论文二重极限计算方法包头师范学院本科毕业论文题目：二重极限的计算方法学生姓名：王伟学院：数学科学学院专业：数学与应用数学班级：应数一班指导教师：李国明老师二〇一四年四月摘要函数极限是高等数学中非常重要的内容。

关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。

二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。

本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。

关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性AbstractThe limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist.keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity目录序言 (1)1二重极限的计算方法小结 (2)1.1利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (2)1.2由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)1.3采用对数法求极限 (3)1.4利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)1.5等价无穷小代换 (4)1.6利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)1.7多元函数收敛判别方法 (4)1.8变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)1.9极坐标代换法 (6)1.10用多元函数收敛判别的方法 (6)1.11利用连续性求极限 (6)1.12利用洛必达法则求极限 (7)1.13利用单调有界准则求极限 (7)1.14利用导数的定义求极限 (7)1.15变量代换法 (8)1.16复合函数求极限的方法 (8)1.17无穷大分除法( 或叫抓大头的方法) (8)1.18取倒数方法 (9)1.19利用微分中值定理求极限限求极限 (9)1.20利用定积分的定义及性质求极限 (9)1.21利用麦克劳林展开式求极限 (10)1.22利用级数收敛必要条件求极限 (10)1.23利用幂级数的和函数求极限 (11)1.24利用matlab求二重极限 (11)2、证明二重极限不存在的几种方法 (11)总结 (14)参考文献 (15)致谢 (16)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。

二重极限与累次极限及其应用

二重极限与累次极限及其应用极限是研究函数的重要工具之一，二重极限是定义二元以上函数极限的基础，这里主要介绍了二重极限和累次极限的概念。

举例说明了二重极限与累次极限在存在性上相互独立的关系，最后给出了二重极限与累次极限的某些应用。

标签：极限;二重极限;累次极限1.二重极限与累次极限的概念二元函数的极限有两种概念，它们分别是二重极限与累次极限，其定义分别如下：定义1：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域（P0可除外）有定义，若存在常数A，对∨ε>0，总δ>0，只要点P（x，y）与P0（x0，y0）的距离ρ=√（x-x0）2-（y-y0）20，取δ=ε，只要ρ=√x2+y2<δ，恒有|—-0|≤—=|x|<√x2+y2<ε成立。

两种不同次序的累次极限lim lim—=0，lim lim—=0存在且相等。

（2）二重极限存在，两种不同次序的累次极限都不存在。

例如，xsin—+ysin—，x≠0，y≠0f（x，y）=0，x=0，y=0二重极限lim（xsin—+ysin—）=0存在。

而累次极限lim lim（xsin—+ ysin—）=0和lim lim（xsin—+ ysin—）=0都不存在。

（3）二重极限存在，一种次序的累次极限存在，而另一种次序的累次极限不存在。

例如，xsin—，x∈R，y≠0f（x，y）=0，x∈R，y=0二重极限limxsin—=0存在。

累次极限lim limxsin—=0存在，而相反次序的累次极限lim limxsin—=0不存在。

（4）二重极限不存在，两种不同次序的累次极限都存在，且相等。

例如，f（x，y）=—累次极限lim lim—=0和lim lim —=0存在且相等。

而二重极限lim—=0不存在。

（5）二重极限不存在，两种不同次序的累次极限都存在，但不相等。

例如，f（x，y）=—累次极限lim lim—=-1和lim lim—=1存在且不相等。

求二元函数极限的几种方法-二元函数极限定理之欧阳育创编

欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.041.二元函数极限概念分析定义1设函数f 在2D R ⊂上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得0(;)P U P D δ∈时，都有()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0lim ()P P P Df P A→∈=.上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性命题若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=.例1求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限.解：因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→．解：因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04()()221,1,21limy x y x +→=31．2.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.例3 求00x y →→解：00x y →→例4()()22220,0,321)31)(21(limy x y x y x +-++→．解：原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →-=++11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y ；2(,)1cos (,)2u x y u x y -；[]ln 1(,)(,)u x y u x y +；tan (,)(,)u x y u x y ；arcsin (,)(,)u x y u x y ；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn ；(,)1(,)u x ye ux y-；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5求00x y→→解：当x→，0y→时，有x y+→11()2x y+，所以这个例子也可以用恒等变形法计算，如：1.2xyxyxy→→→→→→===2.4 利用两个重要极限(,)0sin(,)lim1(,)u x yu x yu x y→=，[]1(,)(,)0lim1(,)u x yu x yu x y e→+=它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6求极限21lim(1)xx yxy axy+→∞→+.解：先把已知极限化为欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.0422()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xyxy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211lim lim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x →∞→∞→→==++当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xyx y a e xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy x y a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例7 求0sin()limx y axy x →→极限.解：因为 sin()sin().xy xy y xxy =，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()1xy xy →，再利用极限四则运算可得：000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如：当 0x →，y a →时，0xy → ，sin()xy xy .所以，00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8求0011)sin cos x y y x y →→解:因为00)0x y y →→= 是无穷小量， 11sin cos 1x y ≤ 是有界欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04量，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求22232(3)(2)lim(3)(2)x y x y x y →→---+-解原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以， 22232(3)(2)lim 0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- .虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 . 2.6利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。