(整理)基本积分方法.
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
(整理)积分基本公式.
2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6. 复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=ϕ(x)分别在点y0=ϕ(x0)与x0可导，则复合函数z=f[ϕ(x)]在x0可导，且或(f oϕ)' (x0)=f '(y0)⋅ϕ'(x0)．证．对应于自变量x0处的改变量∆x，有中间变量y在y0=ϕ(x0)处的改变量∆y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量∆z，（注意∆y可能为0）．现∆z=f'(y0)∆⋅y+v，∆y='ϕ(x0)∆x+u，且令，则v=∆αy，（注意，当∆y=0时，v=∆αy仍成立）．y在x0可导又蕴含y在x0连续，即∆y=0．于是=f '(y0)⋅ϕ '(x0)+0⋅ϕ'(x0)=f'(y0)⋅ϕ'(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2) 计算复合函数的过程：x→−y →−z复合函数求导的过程：z→−y →−x：各导数相乘例2.3.15求y=sin5x的导数．解．令u=5x，则y=sin u．于是y' ==cos u⋅5=5cos5x．例2.3.16求y=lncos x的导数．解．令u=cos x，则y=ln u．于是．y'=例2.3.17求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．解．因y=，令u=m ln x，则y=e u．y' ==e u⋅m⋅m是正整数n时，即例2.3.2．(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x→−y→−z→−u…v→−w复合函数的求导：w→−v…u→−z→−y→−x：各导数相乘(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．例2.3.18求的导数解．=．(5) 链锁法则的微分形式是：d f(ϕ(x))=f'(ϕ(x))dϕ(x)例2.3.19求函数y=的微分解．d y =dsin2x=⋅2sin x dsin x=⋅2sin x cos x d x=⋅sin2x d x．思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5. 导数与微分的四则运算设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有公式(1) (u±v)' = u'±v'，d(u±v) = d u±d v．公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = v d u+u d v．公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = c d u．公式(4)，(v≠0)．点击此处看公式(1)－(4)的证明．例2.3.11求y=tan x的导数解．(tan x)' ===sec2x．同理可得(cot x)' =-csc2x．例2.3.12求y=sec x的导数．解．(sec x)' ==sec x tan x．同理可得(csc x)' =-csc x cot x．例2.3.13求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数．解一．y' =(1+4x)'(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3)'=4(2x2-3x3)+(1+4x)(2⋅2x-3⋅3x2)=8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3解二．因y =2x2+5x3-12x4，故y' =2⋅2x+5⋅3x2-12⋅4x3=4x+15x2-48x3．例2.3.14求函数y=(x+sin x)ln x的微分．解．d y=ln x d(x+sin x)+(x+sin x)dln x=ln x(d x+dsin x)+(x+sin x)d x=ln x⋅(d x+cos x d x)+d x=d x．2. 导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果x∈X-x0，我们称∆x=x-x00(∆读作delta)为自变量的改变量，∆y=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．如果极限存在，则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作．因∆x=x-x0，x=x0+∆x，故还有．此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线方程是．注意.∆x可正可负，依x大于或小于x0而定．根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：(1)计算函数在自变量x0+∆x处的函数值f(x0+∆x)；(2)计算函数的改变量∆y=f(x0+∆x)-f(x0)；(3)写出函数的差商；(4)计算极限，即导数值．例2.3.1求常数函数y=c的导数．解．因∆y=y(x+∆x)-y(x)=c-c=0，差商=0，故=0．此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0．例2.3.2设n是正整数，求幂函数y=x n在点x处的导数．解．因y(x+∆x)=(x+∆x)n=x n+，∆y=y(x+∆x)-y(x)=，故=．特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程．解．在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y'(2)=3⋅22=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是y-8=12⋅(x-2) ⇔ 12x-y-16=0．注．(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y'(x)，x∈X ．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0，y=x的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．(2)关于改变量的记号∆，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sin x 中的sin一样，绝不能把∆x看成∆与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(∆x)2来表示∆x的平方而不写∆x2 ．从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)例2.3.4y=sin x的导数是(sin x)' =cos x，y=cos x的导数是(cos x)' =-sin x ．例2.3.5 y=log a x(0<a≠1)的导数是(log a x)' =．特别，(ln x)' =1/x．例2.3.6指数函数y=a x(0<a≠1)的导数是(a x)' =a x ln a ．特别，(e x)' =e x．8. 导数的导数--二阶导数一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]' ，称为y=f(x)的二阶导数，记作y'' =f '' (x)，或=．如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n，n阶导数被定义为y(n)=(y(n-1))' ，n=2，3，…统称为函数y的高阶导数．例2.3.22求y=sin x的n阶导数．解．y' =cos x =sin，用归纳法不难求出y(n)=sin．例2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)=v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t)则是运动的加速度．例2.3.24求y =arc tan x的二阶导数y'' ．解．y' =，y'' =-(1+x2)-2(1+x2)' =．思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么f '' (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响.7. 基本初等函数的导数与微分公式求导公式求微分公式(1) c' =0(2) ( x m)' =mx m-1(3) (a x)' =a x ln a(e x )' =e x d c=0d x m=mx m-1d x，m∈R d a x=a x ln a d x，0 <a≠1 de x=e x d x(4) (loga x )' =(ln x )' =(5) (sin x )' =cosx (6) (cos x )' =-sin x (7) (tan x )' =sec2x (8) (cotx )' =-csc 2x (9) (sec x )' =sec x tanx(10) (cscx )' = -csc x cot x (11) (arc sinx )' =(12) (arccosx )' =-(13) (arctanx )' =(14) (arccot x )' =-d log a x =，0<a ≠1dln x=dsin x=cos x d x dcos x=-sin x d xdtan x=sec 2x d xdcot x=-csc 2x d x dsec x=sec x tan x d x dcsc x=-cscx cot x d x darc sinx=darc cosx=darc tan x=darccot x=例2.3.20 求y=arcsin 的微分．解．．例2.3.21求y=+arctan e x的导数．解．．12.二元函数的导数与微分(选学）设z=f(x，y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是=，同理，z关于变量y的偏导数是=．我们也记．若z=f(x，y)有连续的偏导数f'x(x，y)，f'y(x，y)，则自变量x与y的改变量∆x与∆y 的线性表达式f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于∆x，∆y的全微分，记作d z=f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y．由于自变量的微分等于自变量的改变量：d x=∆x，d y=∆y，于是二元函数的微分公式是d z=．例2.3.30设f(x，y)=xy+x2-2 y3，求．解．=y+2x (把y看作常数，对x求导数)．=x-6y2(把x看作常数，对y求导数)．例2.3.31求z=e x sin y的全微分．解．d z=sin y d e x+e x dsin y=sin y e x d x+e x cos y d y=e x(sin y d x+cos y d y)．例2.3.32设x+2y+2z-2=0确定二元函数z=z(x，y)，求．解．对方程x+2y+2z-2=0两边求微分，则左端得d x+2d y+2d z-2d右端的微分是0，于是解得d z =，由此得，．13.分段函数的导数(选学）我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数y=f(x)在点x0的导数被定义为极限，这等价于=0 ，记，则=0，由此f(x0+∆x)-f(x0)=[u(∆x)+f’(x0)]∆x，于是[f(x0+∆x)-f(x0)]=[u(∆x)+f’(x0)]∆x=0 ，即f(x0+∆x) = f(x0)．如果记x=x0+∆x，则得f(x)= f(x0) ．这表明函数f(x)在x0连续．因此有定理．若函数y=f(x)在x0可导，则f(x)在x0连续．因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例2.3.33 讨论函数在点x=0的连续性与可导性．解．因,,故,且f(0)=e0=1．由此可见f(x)在x=0连续．其次，为讨论f '(0)，我们需计算极限．为方便计，用x代替 x，为此我们研究极限．现在，，．由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0定义．设函数y =f(x)定义在区间(a,b)内，x0(a,b)，如果极限存在，则称此极限为f(x)在点x0处的右导数，记作f+'(x0)=．类似地，f(x)在点x0的左导数是f-'(x0)=.只有f+'(x0)与f-'(x0)都存在且相等时，f(x)在点x0才可导，且f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0)．即有定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0(a,b)．则f '( x0)存在f-'( x0)与f+'( x0)都存在且相等．左导数与右导数统称为单侧导数.例2.3.34讨论函数在x=0的可导性．解．首先讨论f(x)在x=0 的连续性．因，，f(0)=0，故f(x)在x=0连续．其次，因，，故f(x)在x=0可导，且f'(0)=-1．注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数：g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上, 上图中的原点并不属于函数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数是不存在的．1. 曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线, 除P点外还交曲线于Q点．为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．说明：点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点．点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右侧时x>x0；在左侧时x<x0．动直线PQ是曲线的割线．如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限则称PT为曲线在P点的切线．为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定其斜率．由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率的极限, 极限过程是由Q→P产生的．而Q→P即x→x0．设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为α, PT的斜率为k=tanα．现在割线PQ的斜率为：．而切线PT的斜率为：(PQ的斜率)=,由此得切线PT的方程是：y-f(x0)=k( x-x0)．。
(整理)常用积分公式
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax b Cb x +-+ 6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax bC bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b ++++8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )bax b b ax b C a ax b +-+-++9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax bC b ax b b x +-++的积分10．x⎰C11．x ⎰＝22(3215ax b C a -+12．xx ⎰＝22232(15128105a x abx b C a -+13．x＝22(23ax b Ca -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+15．＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．⎰＝2a b - 17．x＝b 18．x＝2a + （三）含有22x a ±的积分19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a +20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰ 21．22d x x a -⎰=1ln 2x a Ca x a -++（四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d xax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a ++24．22d x x ax b +⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b ++26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d xax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c aa ax bx c ++-++⎰(0)a >的积分31．⎰＝1arshx C a +＝ln(x C ++ 32．C+33．xC34．x＝C+35．2x2ln(2a x C -++36．2x ⎰＝ln(x C+++37．⎰1lnaCa x-+38．⎰2Ca x-+39．x2ln(2ax C++40．x＝2243(25ln(88xx a a x C++++41．x⎰C42．x x⎰＝422(2ln(88x ax a x C+++43．d xx⎰＝a C+44．x＝ln(x C+++(0)a>的积分45．＝1archxxCx a+=ln x C+46．⎰C+47．xC+48．x＝C+49．2x2ln2ax C+++50．2x＝ln x C+++51．⎰1arccos a Ca x+52．⎰C+53．x2ln2ax C++54．x⎰＝2243(25ln88xx a a x C-++55．x⎰C56．x x⎰＝422(2ln88x ax a x C-++57．xx⎰＝arccosaa Cx+58．2d x x ⎰＝ln x C x -+++(0)a >的积分59．⎰＝arcsinx C a + 60．⎰C+61．x＝C62．xC+63．2x＝2arcsin 2a x Ca +64．2xarcsinxC a-+65．⎰1C a +66．⎰2Ca x -+67．x2arcsin 2a x C a +68．x⎰＝2243(52arcsin88x xa x a Ca-++69．x⎰＝C70．x x⎰＝422(2arcsin88x a xx a Ca-++71．x＝lnaa Cx-+72．x＝arcsinxCa-+(0)a>的积分73．2ax b C++74．x22ax b C++++75．x2ax b C-+++76．＝C+77．x＝2C+78．x＝C++79．x＝((x b b a C--+80．x＝((x b b a C-+-81．⎰＝2arcsin C()a b<82．x⎰2()4b aC-()a b<（十一）含有三角函数的积分83．sin d x x⎰＝cos x C-+84．cos d x x⎰＝sin x C+85．tan d x x⎰＝ln cos x C-+86．cot d x x⎰＝ln sin x C+87．sec d x x⎰＝ln tan()42xCπ++＝ln sec tanx x C++88．csc d x x⎰＝ln tan2xC+＝ln csc cotx x C-+89．2sec d x x⎰＝tan x C+90．2csc d x x⎰＝cot x C-+91．sec tan dx x x⎰＝sec x C+92．csc cot dx x x⎰＝csc x C-+93．2sin d x x⎰＝1sin224xx C-+94．2cos d x x⎰＝1sin224xx C++95．sin dn x x⎰＝1211sin cos sin dn nnx x x xn n----+⎰96．cos dn x x⎰＝1211cos sin cos dn nnx x x xn n---+⎰97．dsin nxx⎰＝121cos2d1sin1sinn nx n xn x n x----⋅+--⎰98．dcos nxx⎰＝121sin2d1cos1cosn nx n xn x n x---⋅+--⎰99．cos sin dm nx x x⎰＝11211cos sin cos sin dm n m nmx x x x xm n m n-+--+++⎰＝11211cos sin cos sin dm n m nnx x x x xm n m n+----+++⎰100．sin cos dax bx x⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x Ca b a b-+--++-101．sin sin dax bx x⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x Ca b a b-++-++-102．cos cos dax bx x⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x Ca b a b++-++-103．dsinxa b x+⎰tanxa bC++22()a b>104．dsinxa b x+⎰＝C+22()a b<105．dcosxa b x+⎰)2xC+22()a b>106．dcosxa b x+⎰＝C+22()a b<107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )b x C ab a +108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++ 111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a +-+ （十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a +114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++ 116．arccos d x x a ⎰＝arccos x x C a117．arccos dxx xa⎰＝22()arccos24x a xCa--118．2arccos dxx xa⎰＝3221arccos(239x xx a Ca-+119．arctan dxxa⎰＝22arctan ln()2x ax a x Ca-++120．arctan dxx xa⎰＝221()arctan22x aa x x Ca+-+121．2arctan dxx xa⎰＝33222arctan ln()366x x a ax a x Ca-+++（十三）含有指数函数的积分122．d x a x⎰＝1lnxa Ca+123．e dax x⎰＝1e ax Ca+124．e daxx x⎰＝21(1)e axax Ca-+125．e dn axx x⎰＝11e e dn ax n axnx x xa a--⎰126．d xxa x⎰＝21ln(ln)x xxa a Ca a-+127．d n xx a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a --⎰ 128．e sin d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b +++ 130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n --+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax nbx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n -++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n --++⎰（十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln dnx x x⎰＝111(ln)11nx x Cn n+-+++135．(ln)d nx x⎰＝1(ln)(ln)dnnx x n x x--⎰136．(ln)dm nx x x⎰＝111(ln)(ln)d11m n m nnx x x x xm m+--++⎰（十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x⎰＝ch x C+138．ch d x x⎰＝sh x C+139．th d x x⎰＝lnch x C+140．2sh d x x⎰＝1sh224xx C-++141．2ch d x x⎰＝1sh224xx C++（十六）定积分142．cos dnx xπ-π⎰＝sin dnx xπ-π⎰＝0143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d nx x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n --1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅-L （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-L （n 为正偶数），0I ＝2π。
微积分笔记整理
微积分笔记整理以下是一份微积分笔记整理的示例，涵盖了微积分的一些关键概念和公式：一、导数（Derivative）1. 定义：函数在某一点的切线斜率。
2. 公式：$(f(x+h)-f(x))\div h$（当$h$趋近于$0$时）。
3. 导数的意义：- 函数的变化率。
- 曲线的切线斜率。
- 判断函数的单调性。
二、微分（Differential）1. 定义：函数在某一点的切线增量。
2. 公式：$df=f^\prime(x)dx$。
3. 微分的意义：- 切线的近似值。
- 函数的增量。
三、积分（Integral）1. 定义：函数在某个区间上的面积。
2. 公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx$。
3. 积分的意义：- 函数的面积。
- 函数的平均值。
- 求导的逆运算。
四、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）1. 牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）：若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。
2. 不定积分（Indefinite Integral）：函数的原函数族。
3. 定积分（Definite Integral）：函数在某个区间上的确定积分值。
五、常见函数的导数和积分1. 常数函数：导数为$0$，积分为$cx$（$c$为常数）。
2. 线性函数：导数为常数，积分为$cx+d$（$c$、$d$为常数）。
3. 指数函数：导数为指数本身，积分为指数加$1$的反函数。
4. 对数函数：导数为$\frac{1}{x}$，积分为$x\ln|x|+c$。
5. 三角函数：正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数；积分根据不同的三角函数有不同的公式。
积分常用公式(最新整理)
积分常用公式一．基本不定积分公式：1． C x dx +=⎰2． ) 3．111++=⎰αααx dx x 1(-≠αC x dx x+=⎰ln 14．5．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a C e dx e xx+=⎰6． 7．C x xdx +-=⎰cos sin C x xdx +=⎰sin cos 8．9．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22Cx dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210． 11．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec Cx xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．（或）C x dx x+=-⎰arcsin 11212arccos 11C x dx x+-=-⎰13．（或）C x dx x +=+⎰arctan 11212cot 11C x arc dx x +-=+⎰14．15．C x xdx +=⎰cosh sinh Cx xdx +=⎰sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法：1．2．C x xdx +-=⎰cos ln tan Cx xdx +=⎰sin ln cot 3．4．C axa x a dx +=+⎰arctan 122C a x ax a ax dx ++-=-⎰ln 21225． 6．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．8．C axx a dx +=-⎰arcsin22Ca x x a x dx +±+=±⎰2222ln 9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．Ca x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：Cx F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ为为为为为为为为为为为为12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：Cx F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ为注：要求代换单调且有连续的导数，且“换元须还原”)(t ϕ13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vduuv udv 14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。
积分常用公式
积分常用公式积分是微积分中的一个重要概念，它在求解曲线的面积、曲线的长度、曲线的弧长、函数的定积分等数学问题中起着重要的作用。
在实际应用中，积分也经常出现，因此掌握积分的基本公式是很有必要的。
下面是一些常用的积分公式的整理。
1.基本积分公式(1) ∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为常数项。
(2) ∫x^ndx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1，C为常数。
(3) ∫e^xdx = e^x + C。
(4) ∫a^xdx = (1/lna)a^x + C，其中a为正实数，C为常数。
(5) ∫sinxdx = -cosx + C。
(6) ∫cosxdx = sinx + C。
(7) ∫sec^2xdx = tanx + C。
(8) ∫csc^2xdx = -cotx + C。
(9) ∫secxdxtanxdx = secx + C。
(10) ∫cscxcotxdx = -cscx + C。
2.三角函数、反三角函数积分公式(1) ∫sin(mxdx) = -1/mcos(mx) + C，其中m为常数，C为常数项。
(2) ∫cos(mxdx) = 1/msin(mx) + C。
(3) ∫tan(mxdx) = -1/mln，cos(mx)， + C。
(4) ∫cot(mxdx) = 1/mln，sin(mx)， + C。
(5) ∫sec^2(mxdx) = mtan(mx) + C。
(6) ∫csc^2(mxdx) = -mcot(mx) + C。
(7) ∫sin^2xdx = (1/2)(x - sinx*cosx) + C。
(8) ∫cos^2xdx = (1/2)(x + sinx*cosx) + C。
(9) ∫sin^3x dx = -(1/3)cos^3x + (1/3)cosx + C。
(10) ∫cos^3xdx = (1/3)sin^3x + (1/3)sinx + C。
高中数学中的积分与定积分公式整理
高中数学中的积分与定积分公式整理在高中数学中，积分与定积分是一个非常重要的概念和工具。
它们在微积分学中起着至关重要的作用，帮助我们解决各种数学问题。
本文将对高中数学中常用的积分与定积分公式进行整理和总结，以帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、不定积分公式不定积分是积分的一种形式，它表示函数的原函数。
常见的不定积分公式有以下几种：1. 基本积分公式基本积分公式是积分中最基础的公式，它是我们进行积分运算的起点。
常见的基本积分公式包括：（1）幂函数的不定积分公式∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中C为常数，n≠-1（2）指数函数的不定积分公式∫a^x dx = (1/lna) * a^x + C，其中C为常数，a>0且a≠1（3）三角函数的不定积分公式∫sinx dx = -cosx + C∫cosx dx = sinx + C∫sec^2x dx = tanx + C∫csc^2x dx = -cotx + C2. 分部积分公式分部积分法是积分中一种常用的方法，它可以将一个复杂的积分问题转化成一个简单的积分问题。
分部积分公式的表达式为：∫u dv = uv - ∫v du其中u和v是函数，du是u的微分，dv是v的微分。
3. 代换积分公式代换积分法是积分中另一种常用的方法，它通过引入一个新的变量来简化积分运算。
代换积分公式的表达式为：∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du其中u = g(x)，du = g'(x) dx。
二、定积分公式定积分是积分的一种形式，它表示函数在一个区间上的累积。
常见的定积分公式有以下几种：1. 基本定积分公式基本定积分公式是定积分中最基础的公式，它是我们进行定积分运算的起点。
常见的基本定积分公式包括：（1）幂函数的定积分公式∫[a, b] x^n dx = (1/(n+1)) * (b^(n+1) - a^(n+1))，其中n≠-1（2）指数函数的定积分公式∫[a, b] a^x dx = (1/lna) * (a^b - a^a)，其中a>0且a≠1（3）三角函数的定积分公式∫[a, b] sinx dx = -cosx |_[a, b] = -cosb + cosa∫[a, b] cosx dx = sinx |_[a, b] = sinb - sina∫[a, b] sec^2x dx = tanx |_[a, b] = tanb - tana∫[a, b] csc^2x dx = -cotx |_[a, b] = -cotb + cota2. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分与不定积分之间的重要联系，它表示定积分和不定积分之间的关系。
微积分的基本公式一定看精心整理
微积分的基本公式一定看精心整理微积分是数学的一个重要分支，研究变化的量与变化率，并通过极限、导数和积分等概念来描述和计算。
一、导数的求法公式1.基本导数公式：（1）常数函数的导数为0。
（2）幂函数的导数：设y=x^n，则y'=n*x^(n-1)。
（3）指数函数的导数：设y=a^x，则y' = ln(a) * a^x。
（4）对数函数的导数：设y=log_a(x)，则y' = 1 / (x * ln(a))。
2.基本求导法则：（1）和差法则：设f(x)和g(x)是可导函数，则(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'。
（2）常数倍法则：设f(x)是可导函数，c是常数，则(c*f)'=c*f'。
（3）乘积法则：设f(x)和g(x)是可导函数，则(f*g)'=f'*g+f*g'。
（4）商法则：设f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，则(f/g)'=(f'*g-f*g')/g^2（5）复合函数法则：设f(x)和g(x)是可导函数，则(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
二、常见函数的积分公式1.基本积分公式：（1）幂函数的积分：设n≠-1，则∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中C为常数。
（2）指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数。
（3）对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中C为常数。
2.基本初等函数的积分：（1）正弦函数与余弦函数的积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数。
（2）正切函数的积分：∫tan(x) dx = ln，sec(x)， + C，其中C为常数。
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§2 基本积分方法一、换元积分法⎩⎨⎧第二类换元积分法第一类换元积分法换元积分法◆ 1．第一类换元积分法：设f (u )，)(x ϕ为连续函数，)(x ϕ可导，且C u F du u f +=⎰)()(，则C x F C u F du u f dx x x f +=+=========⎰⎰)]([)()()(')]([ϕϕϕ常见的凑微分形式： ① ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f ② ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f nadx b ax f n n n③ ⎰⎰=)(ln )(ln 1)(ln x d x f dx x x f④ ⎰⎰=)(ln )(ln 1)(ln x d x f dx xx f⑤⎰⎰=)(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f ⑥⎰⎰-=)(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ⑦⎰⎰=)(tan )(tan sec )(tan 2x d x f xdx x f⑧ ⎰⎰=-)(arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2x d x f dx xx f例2.1计算dx x x x⎰+)1(arctan 22解:令t x =arctan ，tdt dx 2sec =，则2cot )1(csc sec tan sec )1(arctan 2222222t t td dt t t dt tt t t dx x x x --=-==+⎰⎰⎰⎰=2cot cot 2t dt t t t -+-⎰=C t t t t +-+-2|sin |ln cot 2=C x x x x x +-++-22)(arctan 211||ln arctan 。
例2.2计算下列积分：（1）)1ln(x x e e +⎰； （2）⎰+-dx xxcos 1cos 1解：（1）⎰⎰++=+)1()1ln()1ln(x x x x e d e e e)(x u ϕ=C e e e dx ee e e e xx x xx xxx+-++=+⋅+-+⋅+=⎰)1ln()1(1)1()1()1ln( （2）dx xxx dx x x x dx x x ⎰⎰⎰--=-+-=+-222sin cos 2sin 2)cos 1)(cos 1()cos 1(cos 1cos 1 C x x x xx d dx xdx ++--=--=⎰⎰⎰sin 2cot 2sin sin 2csc 222◆ 2．第二类换元积分法：)(t ϕ单调、可导且0)(≠'t ϕ，又)()]([t t f ϕϕ'有原函数)(t G 。
则C x G C t G dt t t f dx x f +=+===-⎰⎰)]([)()(')]([)(1ϕϕϕ第二类换元法中常用的变量代换：① 三角代换：变根式积分 ⇒ 三角有理式积分注意：辅助三角形可为变量还原提供方便。
② 倒数代换tx 1=：可消去分母中的变量x 。
③ 指数代换： 适用被积函数由a x 或e x 构成的代数式。
例2.3计算积分解：令dt tdx t x t e x6,ln 66==⇒=例2.4计算积分⎰-+21xx dx。
⎰+++6321x x xe e e dxdtt t t t dt tt t t )113136(611223++-+-=⋅⋅+++=⎰⎰原式Ct t t t +-+-+-=arctan 3)1ln(23|1|ln 3ln 62Ce e e x x x x +-+-+-=636arctan 3)1ln(23|1|ln 3解：dt t t t tx x x dx ⎰⎰+=-+cos sin cos sin 12=dt tt tt t t ⎰+-++=cos sin sin cos cos sin 21C t t t +++=|cos sin |ln 2121 C x x x +-++=|1|ln 21arcsin 212 例2.5计算积分dx x x x ⎰-+1122 解：令tx 1=，则⎰⎰⎰⎰⎰--+--=-+-=--+=-+22222222212)1(1111)1(1111111tt d dt tdt tt dt t t t t dx x x x=C xx x C t t +--=+-+-1arcsin 11arcsin 22二、分部积分法分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv◆分部积分法条件： u ，v 具有连续导数。
选取u ，v 的原则：⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰容易求出比要易于求出udv vdu v◆ 可用分部积分法求积分的类型：dx axax e dx x x x x dx e ax ax x ax ax ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰⎰cos sin ,arccos arctan ln )(P ,cos sin )(P n n例2.6 计算积分⎰xdx x ln 。
解：原式=C x x x xdx x x x xd +-=-=⎰⎰4ln 221ln 22ln 2222 例2.7 计算积分⎰dx e e xx2arctan dvu (x )dvu (x )u ，v 可任选解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰⎰⎰--)1(arctan 21)(arctan 21arctan 22222x x x xx x x x x e e de e e e d e dx e eC e e e e x x x x +++-=-)arctan arctan (212。
例2.7设xx x f )1ln()(ln +=，计算⎰dx x f )(。
解：，设x t ln =，则te x =，tt ee tf )1ln()(+=。
⎰dx x f )(=dx ee e e d e dx e e xxx x x x x ⎰⎰⎰+++-=+-=+--11)1ln()()1ln()1ln( C e e x dx ee e e x x xx xx +++-=+-++-=--⎰)1ln()1()11()1ln(。
三、几种特殊类型的积分：1．有理函数的积分 ⇒ 部分分式之和的积分对于任意有理函数，存在一个固定的代数算法，可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。
列出如下：(1) C a x A dx a x A+-=-⎰||ln (2) C a x Aa x a x d A dx a x A k k k +--=--=--⎰⎰1)()()()((3)C pq p x p q pP q q px x P dx q px x Q Px +----+++=+++⎰222242arctan 42)ln(2(4)⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+++dt a t Pp Q dt a t Pt P dt a t PpQ Pt dx q px xQPx kk k k)(1)2()(2)()2()(2222222其中2px t +=；d t =d x ；42p q a -=。
可以很容易地求出（4）中的第一个积分为12222))(1(1)((2-+--=+⎰k k a t k dt a t t t 。
而对于第二个积分式，我们可以得到递推公式n n n I a n n a t t na I ⋅⋅-++⋅=+222211212)(21，其中：C a t a a t dt I +=+=⎰arctan 1221。
【注意】从理论上讲，任意有理函数的积分都可以被积出来，但要分析被积函数的特点，灵活选择解法，常用的方法中有凑微分法和变量替换法。
例2.8 计算积分⎰+-+dx x x x 13652。
解：dx x dx x x x dx x x x dx x x x ⎰⎰⎰⎰+-++--=+-+-=+-+222222)3(18136622113616)62(211365 =C x x x +-++-23arctan 4)136ln(212 例2.9 计算下列积分（1）dx x x ⎰-+1003)1(12； （2）⎰+210)1(x x dx 解：（1）令u x 11=-，则dx udx 21-=，于是原式=⎰⎰⎰+++-=-++=-+du u u u u du uu u u dx x x )2663()1](1)1(2[)1(122395231001003 =C u u u u +----96979899481976493331=C x x x x +--------96979899)1(481)1(976)1(493)1(331 （2）令u x =10，则dx x du 910=，于是 原式=du u u u du u u u u u u du ⎰⎰⎰+-+=+-+=+])1(1)1(1[101)1(1101)1(101222=C u u u du u u u ++++-=+-+-⎰)11|1|ln ||(ln 101])1(1111[10122．三角函数有理式的积分 ⇒有理函数的积分由x sin ，x cos 及常数，经过有限次四则运算所得到的函数称为三角函数有理式，记作：)cos ,(sin x x R ，积分⎰dx x x R )cos ,(sin 称为三角函数有理式积分。
【解题方法】① 尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，把分母化成 sin k x 或 cos k x 的单项式，或将分母整个看作一项。
② 尽量使 R (cos x ，sin x ) 的幂降低，常用倍角公式或积化和差公式。
常用积化和差公式：])sin()[sin(21cos sin x x x x βαβαβα-++=])cos()[cos(21sin sin x x x x βαβαβα+--=])cos()[cos(21cos cos x x x x βαβαβα-++=倍角公式：x x x 2sin 21cos sin =，)2cos 1(21sin 2x x -=，)2cos 1(21cos 2x x +=③ 在积分的过程中注意“x x 22cos sin 1+=”的妙用。
例2.10 计算下列积分（1）⎰xx dx 53cos sin ；（2）dx x xx ⎰++cos 1sin ；（3）⎰xdx x 42cos sin 。
解：xx x x x x x x x x 335532253cos sin 1cos sin 1cos sin cos sin cos sin 1+=+= xx x x x x x x x x x x x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin cos sin 1cos sin cos sin cos sin cos sin 33533322522+++=+++= x x xx x x x x cos sin cos sin cos sin cos sin 232253+++=x x x x x x x x x x cos sin 1sin cos cos sin cos sin )cos (sin 235322++++=x x xx x x x x x x cos sin 1sin cos cos sin cos sin 2cos sin 2353++++= xxx x x x x x 353sin cos cos sin cos sin 3cos sin 2+++= 故 原积分=dx x xx x x x x x )sin cos cos sin cos sin 3cos sin 2(353+++⎰C x x x x x +-+-+=|2cot 2csc |ln 3sin 21cos 1cos 41224 （2）⎰⎰⎰+++=++dx xxdx x x dx x x x cos 1sin cos 1cos 1sin=⎰⎰+-=+-)cos 1ln(2tan )cos 1ln(2cos 22x xxd x dx x x=⎰+--)cos 1ln(2tan 2tan x dx xx x=C x xx x ++-+)cos 1ln(|2cos |ln 22tan（3）24cos 1)2cos 1(8122cos 12sin 41cos sin 242xx x x x x -+=+⋅= =)4cos 2cos 4cos 2cos 1(161x x x x --+=)6cos 212cos 214cos 2cos 1(161x x x x ---+ 故 原积分=dx x x x x )6cos 212cos 214cos 2cos 1(161---+⎰=C x x x x +--+6sin 19214sin 6412sin 6411613．无理函数的积分⇒有理函数的积分无理函数的积分，一般是通过选择变量替换，化为有理函数的积分来进行。