第十五章 波与粒子
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15-9什么是康普顿效应？康普顿效应有些什么规律？经典理论是如何解释光散射的？
答：1．康普顿效应及其规律
(1)短波射线(如x射线、Y射线)经物质散射后，在散射线中除有与入射线同波长的成分外，还有比入射线波长更长的射线产生出来。这就是康普顿效应。波动论对这个效应同样无法解释，而再次陷入困难的境地。
(2)康普顿效应的核心之点就是在散射波中存在波长变长的部分。但从波动论看，入射波的散射是物质中的带电粒子在入射波的作用下发生受迫振动，而向四周发出的辐射。我们知道，稳定的受迫振动与驱动力同频率，所以散射波一定与入射波同频率，不可能发生波长变长的现象。
2．光子论对康普顿效应的解释
(1)从光子论看，入射光是能量为 的光子流，进入物质的光子将与物质粒子发生弹性碰撞，碰撞过程遵从能量守恒定律和动量守恒定律。光子与点阵离子和自由电子的弹性碰撞，将分别得到波长不变和波长变长的散射波成分，从而圆满地解释了康普顿效应。
(2)认为碰撞前自由电子是静止的，其总能量等于静能 ，碰撞后其总能量变为 ；碰撞前光子的动量为 ，碰撞后变为 。这些能量和动量的表示都是从相对论关系中得到的。由于运用了这些关系，康普顿效应才得到圆满解释，所以说，康普顿效应是一种相对论效应。
(2)对于波长为 的可见光，能量为:
动量为： ；质量为：
(3)对于波长为 的紫外线，能量为： ；
动量为： ；质量为：
(4)对于波长为 的X射线，能量为： ；
动量为： ；质量为：
(5)对于波长为 的 射线，能量为： ；
动量为： ；质量为：
15-6已知金属钨的逸出功为4.38 eV，若用波长为429 nm的紫光照射其表面，问能否产生光电子？若在钨的表面涂敷一层铯，其逸出功变为2.61 eV，结果又将如何？若能产生光电子，求光电子的最大初动能。
第十五章
15-1在恒星演化过程中，当能源耗尽时，星体将在万有引力作用下发生坍缩，而成为密度极高的星体。同时，由于先前的核燃烧，这种星体的温度仍然很高，因而发出白光，故得名为白矮星。天狼星的一个伴星，是人们发现的第一颗白矮星，如果测得其最大单色辐出度所对应的波长为 ，试根据维恩位移律估计它的表面温度。
从波动论看，作为电磁波的光波投射到金属表面上，引起金属中自由电子的受迫振动，当自由电子从入射光波中吸收到足够的能量后，就可以克服金属表面的约束而逸出，成为光电子，用这个观点解释光电效应的实验规律，所遇到的主要困难有以下几点。(1)光电子初动能问题：从上述观点看，光电子初动能应正比于入射光的强度，光强度又正比于光波振幅的平方，所以光电子的初动能应正比于入射光的振幅的平方。而实际上光电子的初动能正比于入射光的频率 ，与入射光的强度无关，与人射光的振幅无关。 (2)光电效应的红限问题：按照波动论，光强度正比于光波振幅的平方，如果入射光的频率较低，总可以用增大振幅的方法，使入射光达到足够的强度，使自由电子获得足够的能量而逸出金属表面。所以，按波动论的观点，光电效应不应该存在红限 。而实际上每一种金属都存在确定的红限值，当入射光的频率低于该金属的红限时，无论光强多大，都无电子逸出。(3)发生光电效应的时间问题：根据波动论的解释，自由电子从入射光波中获得能量需要一个积累的过程，特别是当入射光强度较弱时，更需要较长的时间积累能量。而实际上光电子出现的时间均小于 s，且与人射光的强弱无关。
15-3试由普朗克公式在短波近似情况下导出维恩公式，在长波近似情况下导出瑞利-金斯公式。
解：黑体的单色辐出度可以用普朗克公式表示： (1)
（1）在短波近似情况下，有： ,所以：
这样就可以在普朗克公式中略去1，而成为下面的形式： （2）
令： 、 ，并代入上式，得： 这正是维恩公式。
（2）在长波近似情况下，有： ，所以：
解：入射光子的能量为：
金属钨的逸出功为： 因为 ，所以不能产生光电子。
当在钨表面涂敷铯，逸出功变为：
这时， 所以能够产生光电子。根据光电效应的爱因斯坦方程：
光电子的最大出动能为：
15-7金属钾的红限为 ，若用波长为436 nm的光照射，求光电子的最大初速度。
解：根据红限的定义，可以求得金属钾的逸出功：
其中最突出的问题是：光电效应的红限问题和发生光电效应的时间问题。
15-5试求波长为下列数值的光子的能量、动量和质量：(1)波长为 的红外线；(2)波长为 的可见光；(3)波长为 的紫外线；(4)波长为 的X射线；(5)波长为 的 射线。
解：(1)对于波长为 的红外线，能量为： ；
动量为： ；质量为： .
光电子的最大初动能为：
光电子的最大初速度为：
15-8金属钠的红限为 ，求：(1)金属钠的逸出功；(2)用波长为500 nm的光照射时的遏止电势差。
解：(1)金属钠的逸出功为：
(2)因为遏止电势差表征了光电子的最大初动能，故有：
将此关系代入光电效应的爱因斯坦方程，得：
于是有：Baidu Nhomakorabea所以，遏止电势差为-0.666 V。
解根据维恩位移律： 可以计算这颗白矮星的表面温度，为：
15-2三个大小相同并可看作为黑体的球体，测得其最大单色辐出度所对应的波长分别为 、 和 ，试求它们的温度以及它们在单位时间向空间辐射的能量之比。
解根据维恩位移律可以求得它们的温度，分别为：
， ， .
根据斯特藩-玻耳兹曼定律： 和上面已经得到的温度，就可以求出它们的辐出度 。辐出度是表示该黑体在单位时间从其表面单位面积上辐射出的能量，因为三个球体大小相同，它们在单位时间向空间辐射的能量之比，就等于它们的辐出度之比，即：
于是，普朗克公式称为下面的形式： 这正是瑞利金斯公式。
15-4什么是光电效应？光电效应有哪些重要规律？在解释这些规律时经典理论遇到什么困难？在这些困难中，你认为最突出的是什么？
答：金属中的自由电子在光的照射下，吸收光能而逸出金属表面，这种现象称为光电效应。
光电效应有下列四条重要规律：（1）单位时间逸出金属表面的光电子数与入射光强成正比。（2）光电子的初动能随入射光的频率上升而线性增大，与入射光强无关。（3）如果入射光的频率低于该金属的红限，则无论入射光强多大，都不会使这种金属产生光电效应。（4）只要入射光的频率大于该金属的红限，当光照射到这种金属的表面时，几乎立即产生光电子，而无论光强多小。
答：1．康普顿效应及其规律
(1)短波射线(如x射线、Y射线)经物质散射后，在散射线中除有与入射线同波长的成分外，还有比入射线波长更长的射线产生出来。这就是康普顿效应。波动论对这个效应同样无法解释，而再次陷入困难的境地。
(2)康普顿效应的核心之点就是在散射波中存在波长变长的部分。但从波动论看，入射波的散射是物质中的带电粒子在入射波的作用下发生受迫振动，而向四周发出的辐射。我们知道，稳定的受迫振动与驱动力同频率，所以散射波一定与入射波同频率，不可能发生波长变长的现象。
2．光子论对康普顿效应的解释
(1)从光子论看，入射光是能量为 的光子流，进入物质的光子将与物质粒子发生弹性碰撞，碰撞过程遵从能量守恒定律和动量守恒定律。光子与点阵离子和自由电子的弹性碰撞，将分别得到波长不变和波长变长的散射波成分，从而圆满地解释了康普顿效应。
(2)认为碰撞前自由电子是静止的，其总能量等于静能 ，碰撞后其总能量变为 ；碰撞前光子的动量为 ，碰撞后变为 。这些能量和动量的表示都是从相对论关系中得到的。由于运用了这些关系，康普顿效应才得到圆满解释，所以说，康普顿效应是一种相对论效应。
(2)对于波长为 的可见光，能量为:
动量为： ；质量为：
(3)对于波长为 的紫外线，能量为： ；
动量为： ；质量为：
(4)对于波长为 的X射线，能量为： ；
动量为： ；质量为：
(5)对于波长为 的 射线，能量为： ；
动量为： ；质量为：
15-6已知金属钨的逸出功为4.38 eV，若用波长为429 nm的紫光照射其表面，问能否产生光电子？若在钨的表面涂敷一层铯，其逸出功变为2.61 eV，结果又将如何？若能产生光电子，求光电子的最大初动能。
第十五章
15-1在恒星演化过程中，当能源耗尽时，星体将在万有引力作用下发生坍缩，而成为密度极高的星体。同时，由于先前的核燃烧，这种星体的温度仍然很高，因而发出白光，故得名为白矮星。天狼星的一个伴星，是人们发现的第一颗白矮星，如果测得其最大单色辐出度所对应的波长为 ，试根据维恩位移律估计它的表面温度。
从波动论看，作为电磁波的光波投射到金属表面上，引起金属中自由电子的受迫振动，当自由电子从入射光波中吸收到足够的能量后，就可以克服金属表面的约束而逸出，成为光电子，用这个观点解释光电效应的实验规律，所遇到的主要困难有以下几点。(1)光电子初动能问题：从上述观点看，光电子初动能应正比于入射光的强度，光强度又正比于光波振幅的平方，所以光电子的初动能应正比于入射光的振幅的平方。而实际上光电子的初动能正比于入射光的频率 ，与入射光的强度无关，与人射光的振幅无关。 (2)光电效应的红限问题：按照波动论，光强度正比于光波振幅的平方，如果入射光的频率较低，总可以用增大振幅的方法，使入射光达到足够的强度，使自由电子获得足够的能量而逸出金属表面。所以，按波动论的观点，光电效应不应该存在红限 。而实际上每一种金属都存在确定的红限值，当入射光的频率低于该金属的红限时，无论光强多大，都无电子逸出。(3)发生光电效应的时间问题：根据波动论的解释，自由电子从入射光波中获得能量需要一个积累的过程，特别是当入射光强度较弱时，更需要较长的时间积累能量。而实际上光电子出现的时间均小于 s，且与人射光的强弱无关。
15-3试由普朗克公式在短波近似情况下导出维恩公式，在长波近似情况下导出瑞利-金斯公式。
解：黑体的单色辐出度可以用普朗克公式表示： (1)
（1）在短波近似情况下，有： ,所以：
这样就可以在普朗克公式中略去1，而成为下面的形式： （2）
令： 、 ，并代入上式，得： 这正是维恩公式。
（2）在长波近似情况下，有： ，所以：
解：入射光子的能量为：
金属钨的逸出功为： 因为 ，所以不能产生光电子。
当在钨表面涂敷铯，逸出功变为：
这时， 所以能够产生光电子。根据光电效应的爱因斯坦方程：
光电子的最大出动能为：
15-7金属钾的红限为 ，若用波长为436 nm的光照射，求光电子的最大初速度。
解：根据红限的定义，可以求得金属钾的逸出功：
其中最突出的问题是：光电效应的红限问题和发生光电效应的时间问题。
15-5试求波长为下列数值的光子的能量、动量和质量：(1)波长为 的红外线；(2)波长为 的可见光；(3)波长为 的紫外线；(4)波长为 的X射线；(5)波长为 的 射线。
解：(1)对于波长为 的红外线，能量为： ；
动量为： ；质量为： .
光电子的最大初动能为：
光电子的最大初速度为：
15-8金属钠的红限为 ，求：(1)金属钠的逸出功；(2)用波长为500 nm的光照射时的遏止电势差。
解：(1)金属钠的逸出功为：
(2)因为遏止电势差表征了光电子的最大初动能，故有：
将此关系代入光电效应的爱因斯坦方程，得：
于是有：Baidu Nhomakorabea所以，遏止电势差为-0.666 V。
解根据维恩位移律： 可以计算这颗白矮星的表面温度，为：
15-2三个大小相同并可看作为黑体的球体，测得其最大单色辐出度所对应的波长分别为 、 和 ，试求它们的温度以及它们在单位时间向空间辐射的能量之比。
解根据维恩位移律可以求得它们的温度，分别为：
， ， .
根据斯特藩-玻耳兹曼定律： 和上面已经得到的温度，就可以求出它们的辐出度 。辐出度是表示该黑体在单位时间从其表面单位面积上辐射出的能量，因为三个球体大小相同，它们在单位时间向空间辐射的能量之比，就等于它们的辐出度之比，即：
于是，普朗克公式称为下面的形式： 这正是瑞利金斯公式。
15-4什么是光电效应？光电效应有哪些重要规律？在解释这些规律时经典理论遇到什么困难？在这些困难中，你认为最突出的是什么？
答：金属中的自由电子在光的照射下，吸收光能而逸出金属表面，这种现象称为光电效应。
光电效应有下列四条重要规律：（1）单位时间逸出金属表面的光电子数与入射光强成正比。（2）光电子的初动能随入射光的频率上升而线性增大，与入射光强无关。（3）如果入射光的频率低于该金属的红限，则无论入射光强多大，都不会使这种金属产生光电效应。（4）只要入射光的频率大于该金属的红限，当光照射到这种金属的表面时，几乎立即产生光电子，而无论光强多小。