山东省实验中学2017-2018学年高三第一次诊断考试数学(文)试题 Word版含答案

2017-2018学年 数学试题（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}2|41A x x =≤，{}|ln 0B x x =<，则AB =（ ）A ．11(,)22-B ．1(0,)2C ．1[,1)2D ．1(0,]22.已知复数21iz i=-，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知p ：“00x ∃>，032x=”，则p ⌝是（ ）A ．00x ∃>，032x≠ B ．00x ∀>，032x≠ C ．0x ∀≤，32x=D ．0x ∀≤，32x≠4.向量(1,1)a =-，(1,0)b =，若()(2)a b a b λ-⊥+，则λ=（ ） A ．2B ．2-C ．3D ．3-5.若变量x ，y 满足0,1,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．32D ．26.执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的n 值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3-B ．0C ．1D ．38.函数()sin()6f x x π=+的图象向左平移3π个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A ．1F B ．C ．D ．9.已知直线l ：20kx y +-=（k R ∈）是圆C ：226290x y x y +-++=的对称轴，过点(0,)A k 作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为（ ）A ．2B ．C ．3D ．10.已知函数2ln ()()x x b f x x +-=（b R ∈），若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()'()f x x f x >-⋅，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．3(,)2-∞C ．9(,)4-∞D ．(,3)-∞第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知函数5log ,0,()2,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1(())25f f = ．12.在区间[]1,2-上任取一个数x ，则事件“1()12x ≥”发生的概率为 ．13.已知0m >，0n >，24m n +=，则12m n+的最小值为 ．14.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -的体积为36，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．15.已知双曲线C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别是1F ，2F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知1cos 23A =-，c =sin A C =．（1）求a 的值；（2）若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．17.某汽车公司为了考查某4S 店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访调查，每个用户在到此店或保养后可以对该店进行打分，最高分为10分．上个月公司对该4S 店的100位到店维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：第一组[0,2)，第二组[2,4)，第三组[4,6)，第四组[6,8)a ，第五组[]8,10，得到频率分布直方图如图所示．（1）求所打分值在[]6,10的客户的人数；（2）该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取6名客户进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率．18.已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项的和为n S ，等比数列{}n b 满足11b a =，24b a =，313b a =．（1）求n a ，n b 及数列{}n b 的前n 项和n B ； （2）记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ． 19．在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ，O ，F 分别为BE 、DE 的中点． （1）求证：AO CD ⊥；（2）求证：平面AOF ⊥平面ACE ．20.已知函数()ln mx f x x=，曲线()y f x =在点22(,())e f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（1）求()f x 的解析式及单调递减区间；（2）是否存在常数k ，使得对于定义域内的任意x ，()ln kf x x>+求出k 的值；若不存在，请说明理由．21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，1F，2F 为椭圆的左、右焦点．M 为椭圆上任意一点，△12MF F 面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y kx m =+(0)m ≠交椭圆C 于A ，B 两点．（i ）若直线2AF 与2BF 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（ii ）若直线l 的斜率时直线OA ，OB 斜率的等比中项，求△AOB 面积的取值范围．山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试数学试题（文科）答案一、选择题二、填空题11.14 12.13三、解答题16.解：（1）在△ABC 中，因为c =sin A C =，由正弦定理sin sin a c A C=，解得a =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=， 解得5b =或3b =-（舍），所以1sin 2ABC S bc A ∆==17.解：（1）由直方图知，所打分值在[]6,10的频率为0.17520.15020.65⨯+⨯=， 所以所打分值在[]6,10的客户的人数为0.6510065⨯=人．（2）由直方图知，第二、三组客户人数分别为10人和20人，所以抽出的6人中，第二组有2人，设为A ，B ；第三组有4人，设为a ，b ，c ，d ．从中随机抽取2人的所有情况如下：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种，其中，两人来自不同组的情况有：Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd 共有8种， 所以，得到奖励的人来自不同组的概率为815． 18．解：（1）因为等差数列{}n a 的公差2d =，由题知：2213b b b =， 所以2111(24)(6)a a a +=+，解得13a =， 得3(1)221n a n n =+-⨯=+， 设等比数列{}n b 的公比为q ，则24113b a q b a ===，所以3n n b =． 于是3(13)3(31)132n nn S ⨯-==--． （2）由（1）得(2)n S n n =+，所以11111()(2)22n S n n n n ==-++， 因此1111111111(1)()()()()232435112n T n n n n ⎡⎤=⨯-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦…1111(1)2212n n =⨯+--++ 32342(1)(2)n n n +=-++． 19．证明：（1）因为△ABE 为等边三角形，O 为BE 的中点， 所以AO BE ⊥．又因为平面ABE ⊥面BCDE ，平面ABE 面BCDE BE =，AO ⊂平面ABE ，所以AO ⊥平面BCDE ， 又因为CD ⊂平面BCDE ， 所以AO CD ⊥．（2）连接BD ，因为四边形BCDE 为菱形， 所以CE BD ⊥．因为O ，F 分别为BE ，DE 的中点， 所以//OF BD ，所以CE OF ⊥． 由（1）可知，AO ⊥平面BCDE ，因为CE ⊂平面BCDE ，所以AO CE ⊥． 因为AOOF O =，所以CE ⊥平面AOF ．又因为CE ⊂平面ACE ， 所以平面AOF ⊥平面ACE ．20．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,1(1,)+∞，2(ln 1)'()(ln )m x f x x -=， 又由题意有：21'()42m f e ==，所以2m =，故2()ln x f x x=． 此时，22(ln 1)'()(ln )x f x x -=，由'()0f x <，解得01x <<或1x e <<， 所以函数()f x 的单调递减区间为(0,1)和(1,)e ．（2）要()ln k f x x >+恒成立，即2ln ln x k x x >+2ln ln k x x x<-①当()0,1x ∈时，ln 0x <，则要2ln k x x >-恒成立，令()2ln g x x x =-，则'()g x =令()ln 2h x x =-，则'()h x 10x=< 所以()h x 在(0,1)内递减，所以当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h >=，故'()0g x=>， 所以()g x 在()0,1内递增，()(1)2g x g <=，故2k ≥．②当(1,)x ∈+∞时，ln 0x >，则要2ln k x x <-恒成立， 由①可知，当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以()h x 在(1,)+∞内递增，所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h >=，故'()0g x=>， 所以()g x 在(1,)+∞内递增，()(1)2g x g >=，故2k ≤． 综合①②可得：2k =，即存在常数2k =满足题意．21．解：（1）由抛物线的方程24y x =得其焦点为()1,0，所以椭圆中1c =，当点M 为椭圆的短轴端点时，△12MF F 面积最大，此时1212S c b =⨯⨯=，所以1b =． 1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上任意一点，△12MF F 面积的最大值为1，所以椭圆的方程为2212x y +=． （2）联立221,2,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=，222222164(21)(22)8(21)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，得2212k m +>（*）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，（i ）1111111y kx m k x x +==--，2222211y kx mk x x +==--，由120k k +=，得1212011kx m kx m x x +++=--， 所以12122()()20kx x m k x x m +-+-=，即2222242()()201212m kmk m k m k k -⋅+---=++， 得2m k =-，所以直线l 的方程为(2y k x =-），因此直线l 恒过定点，该定点坐标为(2,0)．（ii ）因为直线l 的斜率是直线OA ，OB 斜率的等比中项，所以2OA OB k k k ⋅=，即21212y y k x x =，得21212()()kx m kx m k x x ++=，得212()0km x x m ++=，所以22224012k m m k -+=+，又0m ≠，所以212k =， 代入（*），得202m <<．12|||AB x x =-=设点O 到直线AB 的距离为d，则d ==， 所以1||2AOB S AB d ∆=⋅==2≤=，当且仅当222m m =-，即21(0,2)m =∈时，△AOB 面积取最大值2．故△AOB 面积的取值范围为．。