安徽省合肥市高中数学第三章函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1

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高中数学第三章《函数的应用》3.1.1方程的根与函数的零点教学设计高一数学教案

3.1.1方程的根与函数的零点教学设计课题：3.1.1方程的根与函数的零点教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修1（人民教育出版社A版）第三章函数的应用一、教学目标二、教学重点与难点三、教学的方法与手段四、教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标教师活动：用屏幕显示第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。

通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。

为此，我们还要做一些基本的知识储备。

方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。

教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。

【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）2230x x --=；（2）062ln =-+x x .学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。

对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。

教师活动：用屏幕显示函数223y x x =--的图象。

学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。

用屏幕显示表格，让学生填写2230x x --=的实数根和函数图象与x 轴的交点。

学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x 轴交点的横坐标的结论。

高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1

《方程的根与函数的零点》精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

人教版高中数学必修1第三章函数的应用-《3.1.1方程的根与函数的的零点》教案(5)

§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程之间的关系，（2）掌握零点存在的判定条件及判定方法的简单应用．（3）在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点（1）使学生体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。

（2）函数零点存在性的判定三、教学难点（1）理解函数零点与方程的根之间的联系；（2）探究发现函数存在零点的判定方法；【教学方法】采用以学生活动为主，自主探究，师生互动的教学方法。

四、教学过程1、提出问题、分析问题请观察下图，这是桐庐气象局测得桐庐特殊一天的一张气温变化模拟函数图（即一个连续不间断的函数图象），由于图象中有一段被墨水污染了，现在我想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？上述实际问题的解决依赖于函数图象与x 轴是否有交点的问题，即若知道函数解析式),(x f 令,0)(=x f 转化为解方程的问题.回顾所学知识,即一元二次方程与二次函数的问题.设计说明：创设情境，激发同学们的学习兴趣，自然引入新课问题1:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的存在性是如何判断的?请同学们作函数32)(2--=x x x f 的图象。

设计说明：通过图象初步建立方程的根与函数交点间的联系。

我们把使函数32)(2--=x x x f 的值等于零的实数(3；1-)叫做函数32)(2--=x x x f 的零点. 问题2：函数122+-=x x y 的零点是什么？函数322+-=x x y 的零点又是什么？引导探究：推广一般的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠与相应的二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y 的关系？设计说明：由特殊到一般，符合学生的认知规律。

2、初步探究、形成概念函数零点的概念：对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点．（教师提问：方程()0f x =与函数()()y f x x D =∈的零点有何关系？）方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．设计说明：教师趁热打铁组织学生加强对定义的理解，并回顾总结函数零点的探索过程和体验加深对函数零点的认识和理解，教师继续引导学生探究，使认真理解函数零点的意义3、简单应用、探索新知（Ⅰ）利用二次函数53)(2++-=x x x f 的图象，回答下列问题？①函数532++-=x x x f ）（有零点吗？有几个？②观察下面函数)(x f y =的图象，问有零点吗？有几个？思考：函数零点所对应的函数值为零，那零点附近的函数值呢？问题3：由以上两步探索，你又可以得出什么样的结论？归纳总结：函数的零点存在性的结论如果函数()y f x =在区间a [，]b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且满足)(a f ·)(b f 0<，那么函数)(x f y =在区间(a ，)b 内有零点，即存在(c a ∈，)b ，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。

人教版高中数学必修1第三章函数的应用-《3.1.1方程的根与函数的的零点》教案(4)

§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握函数零点存在的判定条件．情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的数形结合思想，转化思想和近似思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。

二、教学重点（1）对函数零点的概念理解；（2）函数零点存在性的判定三、教学难点函数零点的存在性的确定【教学过程】一、创设情景：1.引导学生阅读课本P86-P87的内容：阅读教材回答：①:一元二次方程与相应的二次函数的图像之间有怎样的关系？②:什么是函数的零点？设计意图：这部分内容比较简单，学生自学基本能看懂，可以培养学生的自学能力和抽象概括能力，领会从特殊到一般的数学思想。

2.学生回答，老师引导点拨。

二、引导探究：1.函数的零点函数的零点：对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点．加深对概念的理解：零点是平时说的点吗？巩固练习：求下列函数的零点①：1+=x y ； ②：xy 1=； ③：x y 2=； ④：x y 2log =；设计意图：使学生熟悉零点的两种求法（代数法和几何法）。

2.归纳小结函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．问：函数533+--=x x y 的零点存在吗？若存在，求出零点的大致区间，若不存在，请说明理由。

设计意图：在不能用代数法求零点时，势必要想到用函数的图像和性质来解决，引导学生思考如何判断函数是否存在零点以及如何求出函数的零点。

教师引导学生结合函数32)(2--=x x x f 图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．学生结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．三、归纳应用：1.函数的零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间a [，]b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且满足)(a f ·)(b f 0<，那么函数)(x f y =在区间(a ，)b 内有零点，即存在(c a ∈，)b ，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。

高中数学第三章函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1

《方程的根与函数的零点》教学要求一、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定条件.教学重点二、体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件.教学难点恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.教学过程：(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y根据函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标有何关系？上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数的关系：一元二次方程2ax +bx+c=o(a ≠0)的根就是相应二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点横坐标.（二）互动交流研讨新知1．函数零点的概念：2.函数零点的意义：3．练习：求下列函数的零点 244y x x =-+；243y x x =-+小结：二次函数零点情况（由一元二次次方程的判别式去确定）4．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,．)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）．② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）．③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？定理： -----------------------------------------------------------------------------------------------------。

人教版高中数学必修1第三章函数的应用-《3.1.1方程的根与函数的零点》教案(2)_002

第2课时方程的根与函数的零点复习提出问题①已知函数f(x)=mx 2+mx+1没有零点，求实数m 的范围. ②证明函数f(x)=x 2+6x+10没有零点. ③已知函数f(x)=2mx 2-x+21m 有一个零点，求实数m 的范围. ④已知函数f(x)=2(m+1)x 2+4mx+2m-1有两个零点，求实数m 的范围.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果：①因为Δ=m 2-4m<0或m=0,∴0≤m<4. ②因为Δ=36-40=-4<0,∴没有零点. ③Δ=1-4m 2=0或m=0,∴m=21或m=21或m=0. ④Δ=16m 2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0且2(m+1)≠0,∴m<1且m≠-1. 导入新课思路1.(情景导入)歌中唱到：再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义. 请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x 轴的？学生思考或讨论回答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)<0. 思路2.(直接导入)教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律. 推进新课新知探究提出问题①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出,怎样讨论其零点? ②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①在闭区间［a,b ］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”应用示例思路1例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0，及函数单调性.解：利用计算机作出x，f(x)的对应值表：由表和图3-1-1-15可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.图3-1-1-15 图3-1-1-16变式训练证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.证明:如图3-1-1-16,因为f(1)=-7,f(10)=3,∴f(1)f(10)<0.∴函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.∵y=lgx为增函数，y=x-8是增函数，∴函数f(x)=lgx+x-8是增函数.∴函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.点评：判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性. 例2已知函数f(x)=3x +12+-x x , (1)判断函数零点的个数. (2)找出零点所在区间. 解：(1)设g(x)=3x ,h(x)=12+-x x , 作出它们的图象(图3-1-1-17)，两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数. 所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3x +12+-x x 有且仅有一个零点.图3-1-1-17(2)因为f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点x ∈(0,1). 变式训练证明函数f(x)=2x +4x-4有且仅有一个零点. 证明:利用计算机作出x ，f(x)的对应值表：图3-1-1-18由表和图3-1-1-18可知，f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数. 设x 1,x 2∈(-∞,+∞),且x 1<x 2，f(x1)-f(x2)=21x+4x1-4-(22x+4x2-4)=21x-22x+4(x1-x2)=22x(21x-x2-1)+4(x1-x2). ∵x1<x2，∴x1-x2<0,21x-x2-1<0,22x>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.则函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.思路2例1证明函数y=2|x|-2恰有两个零点.图3-1-1-19证明:如图3-1-1-19,∵f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2,∴f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.∴函数y=2|x|-2有两个零点.要证恰有两个零点,需证函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为单调的. ∵在(0，+∞)上，函数y=2|x|-2可化为y=2x-1,下面证明f(x)=2x-1在(0，+∞)上为增函数.证明：设x1,x2为(0，+∞)上任意两实数，且0<x1<x2,∵f(x1)-f(x2)=21x-2-(22x-2)=21x-22x=22x(21x-x2-1),∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,21x-x2<1.∴22x>0,21x-x2-1<0.∴22x(21x-x2-1)<0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2).∴函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为增函数.同理可证函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为减函数. ∴函数y=2|x|-2恰有两个零点. 变式训练证明函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上恰有两个零点. 证明:∵f(31)=31,f(1)=-1,f(3)=31,∴f(31)f(1)<0,f(1)f(3)<0.∴函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上有两个零点.要证恰有两个零点, 需证函数f(x)=x+x 1-3在(0，1)上为单调的，函数f(x)=x+x1-3在(1，+∞)上为单调的. 证明：设x 1,x 2为(0，1)上的任意两实数，且x 1<x 2. ∵f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -3-(x 2+21x -3)=(x 1-x 2)+(11x 21x -) =(x 1-x 2)+2112x x x x -=(x 1-x 2)(21211x x x x -),∵0<x 1<x 2<1，∴x 1-x 2<0,2112x x x x -<0.∴(x 1-x 2)(21211x x x x -)>0.∴f(x 1)-f(x 2)>0.∴函数f(x)=x+x 1-3在(0，1)上为减函数. 同理函数f(x)=x+x 1-3在(1，+∞)上为增函数.∴函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).图3-1-1-20点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n 个零点，先找出有n 个，再利用单调性证明仅有n个.例2已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 有三个零点，分别是0、1、2,如图3-1-1-21，求证:b<0.图3-1-1-21活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示: 方法一：把零点代入，用a 、c 表示b. 方法二：用参数a 表示函数. 证法一：因为f(0)=f(1)=f(2)=0, 所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.所以a=3b -,c=32- b.所以f(x)=3b -x(x 2-3x+2)=3b-x(x-1)(x-2).当x<0时，f(x)<0，所以b<0.证法二：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b<0. 变式训练函数y=ax 2-2bx 的一个零点为1，求函数y=bx 2-ax 的零点. 答案:函数y=bx 2-ax 的零点为0、2.点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题. (1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题. (2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化. 知能训练1.函数f(x)=lgx-2x 2+3的零点一定位于下列哪个区间?( ) A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)2.若函数f(x)=2mx+4在［-2,1］上存在零点，则实数m 的取值范围是( )A.［254］ B.(-∞,-2］∪［1,+∞) C.［-1,2］ D.(-2,1) 3.已知函数f(x)=－3x 5－6x ＋1,有如下对应值表：函数y ＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？答案:1.B 2.B 3.(0，1),因为f(0)·f(1)<0.点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握. 拓展提升方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.图3-1-1-22解：(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点. (2)通过证明函数的单调性,知f(x)=lnx+2x+3有一个零点x ∈(1,2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣. 课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数. (2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想. 作业课本P 88练习2.。

高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1

【正解】函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}，当 x>0 时，f(x)>0；当 x<0 时，f(x)<0，所以函数没有零点，故选 A．
【警示】零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上的图象是连续不断的一条曲线；二是 f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.如本例 f(x)＝x＋1x在[－1,1]上不连续，故不能在区间[－1,1]上直接使用零点存在性定理.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点坐标.( ) (2)函数y＝f(x)的零点即为对应方程f(x)＝0的根.( ) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内满足f(a)·f(b)>0，则该函数在区间(a，b)内可能没有零点.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)√
【方法规律】求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程 f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
1.判断下列说法是否正确. (1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)； (2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1. 【解析】(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错. (2)虽然f(1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.
两个函数的图象有两个不同的交点，
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点.

人教版高中数学必修1第三章函数的应用-《3.1.1方程的根与函数的的零点》教案(2)

课题：3.1.1方程的根与函数的零点（一）教学目标1.本节课学生通过函数零点概念的形成过程，能初步认识到函数零点与相应方程根的关系，会用零点存在性判定条件判断函数在指定区间是否存在零点；2. 在探究函数零点的存在性判定过程中，让学生感悟、体验由特殊到一般，一般到特殊，数形结合和转化的思想方法，培养学生敢于想象，善于联想的思维品质.3.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.（二）教学重点理解函数的零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.（三）教学难点函数零点存在性定理的理解及初步应用（四）教学方式发现、合作、讲解、演练相结合（五）教学过程1.问题引入：某天的气温随时间变化图象是一个近似抛物线(如图所示)，但是图象中间被一段墨迹遮挡．现想了解当天12时至24时具体哪个时刻的温度为0℃，你能帮助解决这个问题吗？这个问题实际求什么？（师生交流）预答：求二次函数使函数值为0的x的值．教师引导学生回答：（1）求二次函数图象与x轴交点的横坐标，（2）求一元二次方程的根．二次函数与一元二次方程能建立联系，这种联系就是一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它能使二次函数的函数值为0．这个数能起一个桥梁作用，它能连结二次函数与一元二次方程，很重要，我们今天来专门研究它．既然专门研究，就可以给他起个名字，它能使二次函数的函数值为0，于是就叫做函数的零点．那么这节课我们就来研究方程的根与函数的零点．（板书本节课课题）回到例子，这是某一天温度与时间的变化图象．如果从某天开始计算的0-36时温度随时间的变化图象是近似三次函数图象（如下图所示），那哪个时刻温度为0℃呢？预答：所求时刻是图象与x轴交点的横坐标，也是三次方程的根．同样的，这个值能使函数值为0，是这个三次函数的零点．对于二次函数和三次函数，我们发现函数与对应方程有关系，函数的零点建立了函数与对应方程根的关系．这种联系能否推广到一般情况呢？2.师生交流过程中不断完善学生提出的定义．函数零点：对于函数 y=f (x ) ，我们把使 f (x )=0的实数 x 叫做函数 y=f (x )的零点．函数y=f (x )的零点⇔方程f (x )=0的实数根⇔函数y=f (x )图象与x 轴交点的横坐标．问题1：你能根据定义的双重功能（判定功能和性质功能），来出两个练习吗？（1）函数f (x )=x 3-8x 的一个零点是（）．A ．（0，0）B ．（-，0） C ．（0， D．（2）若函数 f (x )=x 2+ax +b 的零点是2和-4,求a ,b 的值．（3）函数f (x )= x 2-2x -3有个零点；问题2：可以有些什么方法？预答：a 解方程，b 求判别式，… 问题3：如何判断二次函数零点个数？当△>0时，有两个零点；△=0时，有一个零点；△<0时，没有零点.（4）函数 f (x )= x 2-2x +a 的零点位于区间(-2,0)和区间(0,3)之间,则a 的取值范围是．师生交流：(2)0(0)030(3)0f f a f ->⎧⎪<⇒-<<⎨⎪>⎩(2)0(0)0f f ->⎧⇒⎨<⎩()20f x 在(-,)内有零点 (0)0(3)0f f <⎧⇒⎨>⎩()03f x 在(,)内有零点发现：二次函数在区间端点函数值异号，则在区间里一定存在零点．图象上表现在区间里一定穿过x 轴．对于三次函数y=x 3-3x 2+2x ，观察图象，我们发现，在零点附近左右两侧的函数值是异号的．问题4：对于一般的函数，我们如何判断在某一区间上一定零点存在呢？猜想：f(a )·fy = f (x )在区间(a,b )上存在零点数学语言：函数y = f (x)在区间[a,b]上有f (a)·f (b)<0，那么函数y = f (x)在区间(a,b)上存在零点．猜想对吗？演示反例修改猜想通过比较下列两组情况：修改猜想：通过比较下列两组情况：修改猜想：零点存在性判定：函数 y = f (x )在区间[a,b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a ) · f (b )<0 ，那么，函数 y = f (x )在区间(a,b )内存在零点．初步认识判定方法：零点存在性判定表明定理能判断存在零点，只存在1个零点吗？零点个数有规律吗？演示各种零点存在情况：3.应用例求函数ln 26y x x =+-的零点个数？探究解法法1：图象法法2：存在性判定+单调性法3：函数图象交点问题ln 26y xy x =⎧⎨=-+⎩总结：判断存在唯一零点的方法：存在性判定+单调性4.课堂小结：函数图象连续不断 f (a )·f (b )<0y = f (x )在区间[a,b ]上存在唯一的零点y = f (x )在 [a,b ]上是严格单调的yooab a b y o yoa ba b 函数图象连续不断f(a )·fy = f (x )在区间(a,b )上存在零点同学们通过这节课的学习在知识上、方法上、思想上有些什么收获？知识上：函数的零点，函数的零点与方程根的关系，如何判断函数零点存在，有几个？方法思想上：数形结合，函数思想，从特殊到一般，转化思想. （六）课后作业 1.填空题：（1）若方程210x ax --=在(1,2)内恰有一解，则实数a 的取值范围是．（2）若函数2()f x x ax b =--的两个零点是2和3，则函数2()1g x bx ax =--的零点是．（3）二次函数2,()y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是． 2.解答题（4）函数2()2(3)214f x x m x m =++++有两个零点，且都在[0,4)内，求实数m 的取值范围．答案：（1）302a <<．（2）11,23--．（3）(,2)(3,)-∞-+∞．三、解答题（4）解：142)3(2)(2++++=m x m x x f . 对称轴)3(+-=m x ，画图象可知5527735277510}]3([40)]3([00)4(0)0(0-<≤-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-<-≥-≥-<>⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+--<+--≥≥>∆m m m m m m m m m f f 或.。

高中数学第三章函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点讲义教案新人教A版必修1

学习资料3.1 函数与方程3.1。

1 方程的根与函数的零点学习目标核心素养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点） 2．会求函数的零点．（重点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．（难点)1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点同方程根的关系,提升直观想象的数学素养。

1．函数的零点对于函数y ＝f （x ),把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数y ＝f （x )的零点．思考1：函数的零点是函数与x 轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数,该数是函数图象与x 轴交点的横坐标． 2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f （x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f （x )有零点． 3．函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x ）在区间［a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f （b )<0，那么，函数y ＝f (x ）在区间(a ,b )内有零点，即存在c ∈（a ,b )，使得f （c )＝0，这个c 也就是方程f （x )＝0的根．思考2：该定理具备哪些条件？提示:定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；②f （a )·f (b )〈0.1．下列各图象表示的函数中没有零点的是（）A B C DD ［结合函数零点的定义可知选项D 没有零点．］ 2．函数y ＝2x －1的零点是( ） A.12 B.错误! C.错误!D.2A［由2x－1＝0得x＝错误!.]3．函数f（x）＝3x－4的零点所在区间为()A．(0，1）B．(－1,0)C．(2，3) D．(1,2)D［由f（－1）＝－错误!〈0，f(0)＝－3〈0，f（1）＝－1<0，f（2)＝5〉0，f(3）＝23>0,得f（x）的零点所在区间为（1,2)．]4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0,则函数有________个零点．2[由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．］求函数的零点(2）已知函数f（x)＝ax－b（a≠0)的零点为3，求函数g(x）＝bx2＋ax的零点．[解](1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0,解得x＝－3；当x〉0时,令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.所以函数f（x)＝错误!的零点为－3和e2。