高中数学竞赛_函数【讲义】
高中数学讲义 第二章 函数A (超级详细)
分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．
（1） 解： y x2 4x 2 (x 2)2 2 ， x [0,3) ，函数的值域为[2, 2] ；
（2）
解法一：由
y
x2 x2 1
1
x
1 2
1
，
0
1 x2 1
1 ，则 1
1 x2 1
0
， 0
y
1，故函
数值域为[0,1) ．
解法二：由
求函数的值域应注意新元的取值范围．
第 3页 【辅导专用】共 16页
【反馈演练】
1．函数 f(x)＝ 1 2 x 的定义域是__(____,_0_]___．
2．函数
f
(x)
1 log 2 (x 2
4x
3)
的定义域为___(_1_, _2_)___(_2_, _3_)___．
3.
函数
y
1 1 x2
它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．
例 2.求下列函数的定义域：① y 1 x 2 1 ； 2 x
② f (x)
x
；
log 1 (2 x)
2
解：（1）①
2 由题意得：
x
0, 解得 x 1且 x
2 或 x
1且 x
2，
x2 1 0,
1．设有函数组：① y x ，y
x2 ；② y x ，y 3 x3 ；③ y
x ，y
x x
；④
y
1 1
(x 0),
，
(x 0),
y x ；⑤ y lg x 1 ， y lg x ．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．
高中数学讲义：函数的图像
函数的图像一、基础知识1、做草图需要注意的信息点：做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。
在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点（1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线特点：两点确定一条直线信息点：与坐标轴的交点（2）二次函数：()2y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。
函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点（3）反比例函数：1y x=,其定义域为()(),00,-¥+¥U ，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线信息点：渐近线注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。
渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x ®+¥，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。
（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x ®+¥（或-¥）时，()f x ®常数C ，则称直线y C =为函数()f x 的水平渐近线例如：2x y = 当x ®+¥时，y ®+¥，故在x 轴正方向不存在渐近线 当x ®-¥时，0y ®，故在x 轴负方向存在渐近线0y =（3）竖直渐近线的判定：首先()f x 在x a =处无定义，且当x a ®时，()f x ®+¥（或-¥），那么称x a =为()f x 的竖直渐近线例如：2log y x =在0x =处无定义，当0x ®时，()f x ®-¥，所以0x =为2log y x =的一条渐近线。
高中数学竞赛讲义_几个初等函数的性质
几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂：n m n mn nn m nm nnaa a aa a a a1,1,,1====--。
3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R ，图象过定点（1，0）。
当0<a <1，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数。
4．对数的性质（M>0, N >0）；1）a x=M ⇔x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ；3）log a （NM）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1).5. 函数y =x +xa（a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[),a -和(]a ,0。
（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a <b , f (x )在[a , b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )=0在（a ,b ）上至少有一个实根。
二、方法与例题 1．构造函数解题。
例1 已知a , b , c ∈(-1, 1)，求证：ab +bc +ca +1>0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。
新高考高中数学函数讲义
基本初等函数一、二次函数1、解析式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ 2、求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．3、二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a =-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba -+∞上递增，当2b x a =-时，2min4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2b x a =-时，2max4()4ac b f x a-=． ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a ∆=-． 二次函数的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--4、韦达定理 设一元二次方程 中两根x ₁、x ，则有如下关系：，5、二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． １）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
高中数学竞赛专题讲座函数2：函数的图像和性质
f(998)-998，f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。
当 时，值域为 ;当 时，
值域为
例4.对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和
命题意图 本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题
（1）求证g(x)是周期函数；
（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。
解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题
（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2代换，可得 ，① ，②由①可得g(x+4)≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6)≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③由②可得g(x+6)≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④ 由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。
6、若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则f(x)的图象关于点 中心对称。
证明：设P（x,y）是图象上任一点，则y=f(x)；由中点公式得P关于点 对称的点为Q(a+b-x,c-y).设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c-f(x)=c-y,即Q在图象上。所以f(x)的图象象关于点 中心对称。
高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数
高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。
无论在高考及数学竞赛中,都具有重要地位。
熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。
一、指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。
相同因数相乘a·a……a(n个)=a n导出乘方,这里的n为正整数。
从初中开始,首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指数；最后,在实数范围内建立起指数概念。
欧拉指出：“对数源出于指数”。
一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是a b=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
a b=N与b=logaN是一对等价的式子,这里a是给定的不等于1的正常数。
当给出b求N时,是指数运算,当给出N求b时,是对数运算。
指数运算与对数运算互逆的运算。
二、指数运算与对数运算的性质1．指数运算性质主要有3条：a x·a y=a x+y,(a x)y=a xy,(ab)x=a x·b x（a>0,a≠1,b>0,b≠1）2．对数运算法则（性质）也有3条：（1）loga(MN)=logaM+logaN（2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaM n=nloga M(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)3．指数运算与对数运算的关系：X=a logax；m logan=n logam4．负数和零没有对数；1的对数是零,即loga1=0；底的对数是1,即logaa=15．对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论1：loga m N n=(n/m)logaN推论2：三、指数函数与对数函数函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数。
高中数学竞赛讲义-高斯函数
§28高斯函数数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1；}{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+ni iin i iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，].[][ba nb na ≥ （7）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][；特别地，*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.（8）]][[][nx n x=，其中*∈+∈N n R x ,.例题讲解1．求证：,2!211--=⇔k n n n 其中k 为某一自然数.2．对任意的∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和4．设M 为一正整数，问方程222}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？5．求方程.051][4042的实数解=+-x x6．.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明7．对自然数n 及一切自然数x ，求证：].[]1[]2[]1[][nx nn x n x n x x =-+++++++ .8．求出]31010[10020000+的个位数字例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为∑∞==1].2[)!(2t t n n 若∑∑∞=-=--------=-=++++====1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则故!.|21n n -反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是 ≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++由于12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s t s n n n p 则的方次数中含故则n !.这与已知矛盾，故必要性得证. 2．解：因]212[]22[11+=+++k k n n 对一切k =0,1,…成立，因此， ].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k n n n又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2([,0]2[,1201n nn S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而3．解：显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305=-n可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n ]+.304]503)503(305[=-n 故 ∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S4．解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x +⋅+=代入原方程，化简得=}]{[2x x,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数..1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mkx N m x5．解：.0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或 .2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】.,2,1,][2]2[][ =+++=k kkx x x A k 令 由于.,1],[1命题成立时则==n x A.,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k7．解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ⑴若|－2a|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|} 而f ⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2 ∴ M≥2＞21 ⑵|－2a|＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|，|－4a 2＋b|}≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4a 2＋b|) ≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4a 2＋b)] ＝)2a 2(412+≥21 综上所述，原命题正确.8．先找出3101010020000+的整数部分与分数部分.。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学第二章函数-函数及其性质(竞赛精讲)
第二章 函数§2.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。
（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。
若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。
（3） 若函数满足()(2)f x f ax =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。
（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。
2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。
判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ay x a x=+>的图像和单调区间。
3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。
若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。
（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。
（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为Ta的周期函数。
（3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。
（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。
高中数学竞赛培训资料 函数
高中数学竞赛培训资料 函数例一． 定义在R 上的函数f(x)满意:f(x －x 1)=x 2+21x 〔对全部x ≠0〕 那么f(x)的表达式是例二． 函数f(x)对随意正实数x ，y 满意f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，求f(641)之值。
例三． 设f(x)=x 4+ax 3+bx 2+cx+d ，其中a ，b ，c ，d 是常数，假设f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30，求f(10)+f(－6)例四． 对于每个实数x ，设f(x)是4x+1，x+2，－2x+4三个函数中的最小值，那么f(x)的最大值是多少？例五． 〔91年全国联赛试题〕设函数y=f(x)对一实在数x 都满意：f(3+x)=f(3－x)，方程f(x)=0恰有6个不同的实根，那么这6个实根之和为〔A 〕 18 〔B 〕 12 〔C 〕 9 〔D 〕 0例六．〔88年全国联赛试题〕设有三个函数，第一个是y=)(x ϕ，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是(A) y=)(x ϕ 〔B 〕y=－)(x -ϕ (C) y=－)(1x -ϕ (D) y=－)(1x --ϕ例七．设f(x)=，求f(10011)+f(10012)+f(10013)++ f(10011000) 之值。
例八．定义在R 上的函数y=f(x)具有以下性质1． 对任何x ∈R 都有f (x 3 ) = f 3 (x)2． 对任何x 1, x 2 ∈R 且x 1≠x 2 都有f (x 1)≠f (x 2)那么f 2〔－1〕+f 2〔0〕+f 2〔1〕=例九．假设a ＞0,a ≠1，F(x)是一个奇函数，那么G(x)=F(x)是〔A 〕奇函数 〔B 〕偶函数 〔C 〕非奇非偶函数 〔D 〕及a 的取值有关例十．函数y=f(x)，x ∈R ，f(0)≠0，且对于随意实数x 1，x 2都有f(x 1)+f(x 2)=2f()×f()，那么此函数是〔A 〕奇函数 〔B 〕偶函数 〔C 〕非奇非偶函数 〔D 〕奇偶性不确定例十一．实数 x,y 满意(3x+y)2+x 5+4x+y=0，求证：4x+y=0例十二．函数f(x)满意：1〕f(21)=1 2〕值域为[]1,1-3〕严格递减,4〕f(xy)=f(x)+f(y)试求不等式f －1(x) f －1(x -11)≤21的解集。
高中数学竞赛专题精讲6二次函数(含答案)
6二次函数(2)二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。
1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1)当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0 ①2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2）从四种情形得充要条件是：f (α)·f (β)＜0 ②3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件：（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时：∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）：当a＞0时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0当a＞0时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0两种情形合并后的充要条件是：af (α)＜0，af (β)＜0 ③（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时：∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）：当x1＜x2＜α时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＜α，af (α)＞0 ④当β＜x1＜x2时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＞β，af (β)＞0 ⑤二次函数与二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。
高中数学竞赛第六章 三角函数【讲义】
第六章 三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=y x ，正割函数se cα=xr,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学专题讲义：函数概念与基本初等函数1
高中数学专题讲义:函数概念与基本初等函数1第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念；2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数,并能简单地应用(函数分段不超过三段).知识梳理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A,B 设A,B是两个非空数集设A,B是两个非空集合对应关系f:A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数称f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x),x∈A 映射:f:A→B2.(1)在函数y＝f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数.( )(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥1}.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( )解析 (1)函数y ＝1的定义域为R ,而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0},其定义域不同,故不是同一函数.(3)由于x 2＋1≥1,故y ＝x 2＋1－1≥0,故函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时,才是相等函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2},值域为N ＝{y |0≤y ≤2},则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 A 中函数定义域不是[－2,2],C 中图象不表示函数,D 中函数值域不是[0,2]. 答案 B3.(2017·青岛一模)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞,1]B.[－1,1]C.[1,2)∪(2,＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1解析 由题意,得⎩⎨⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0.解之得－1≤x ≤1且x ≠－12. 答案 D4.(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))等于( )A.－1B.14C.12D.32解析 因为－2<0,所以f (－2)＝2－2＝14>0,所以f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12,故选C.答案 C5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4),则a ＝________. 解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上,所以4＝－a ＋2,则a ＝－2. 答案 －2考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2017·郑州调研)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( )A.(0,＋∞)B.(1,＋∞)C.(0,1)D.(0,1)∪(1,＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 017],则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________.解析 (1)要使函数f (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1,故函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为(1,＋∞).(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1,2 017], ∴g (x )有意义,应满足⎩⎨⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016,且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016,且x ≠1}. 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016,且x ≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f (x )的定义域为[a ,b ],则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域.【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(－1,3)∪(3,6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ,则a 的取值范围为________. 解析(1)要使函数f (x )有意义,应满足⎩⎨⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎨⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4,且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4].(2)因为函数f (x )的定义域为R ,所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立,则x 2＋2ax －a ≥0恒成立.因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0,解得－1≤a ≤0. 答案 (1)C (2)[－1,0] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ,则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2,f (x ＋1)－f (x )＝x －1,则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1,则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1),则x ＝2t －1,∴f (t )＝lg 2t －1,即f (x )＝lg 2x －1(x >1).(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 由f (0)＝2,得c ＝2,f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1, 则2ax ＋a ＋b ＝x －1,∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中,将x 换成1x ,则1x 换成x , 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1,由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg 2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)构造法:已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出f (x ).(4)配凑法:由已知条件f (g (x ))＝F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式.【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ,则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时,f (x )＝x (1－x ),则当－1≤x ≤0时,f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1),则f (x )＝__________. 解析 (1)令x ＋1＝t ,则x ＝(t －1)2(t ≥1),代入原式得 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1, 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1).(2)当－1≤x ≤0时,0≤x ＋1≤1, 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1). (3)当x ∈(－1,1)时, 有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).① 将x 换成－x ,则－x 换成x , 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得,f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ),x ∈(－1,1). 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1) (3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 考点三 分段函数(多维探究) 命题角度一 求分段函数的函数值【例3－1】 (2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12解析 根据分段函数的意义,f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1 ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6, 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C命题角度二 求参数的值或取值范围【例3－2】 (1)(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4,则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ,若52－b <1,即b >32时,则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4,解之得b ＝78,不合题意舍去.若52－b ≥1,即b ≤32,则252－b ＝4,解得b ＝12. (2)当x <1时,e x －1≤2,解得x ≤1＋ln 2,所以x <1.当x ≥1时,x 13≤2,解得x ≤8,所以1≤x ≤8. 综上可知x 的取值范围是(－∞,8]. 答案 (1)D (2)(－∞,8]规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3,则f (6－a )＝( ) A.－74 B.－54 C.－34D.－14(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________.解析 (1)当a ≤1时,f (a )＝2a －1－2＝－3, 即2a －1＝－1,不成立,舍去； 当a >1时,f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3, 即log 2(a ＋1)＝3,解得a ＝7,此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.(2)当x ≤0时,由题意得x2＋1≥－1, 解之得－4≤x ≤0.当x >0时, 由题意得－(x －1)2≥－1, 解之得0<x ≤2,综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}. 答案 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}[思想方法]1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质和图象的基础.因此,我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.[易错防范]1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围,不要和f(x)的定义域相混.2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A,B若不是数集,则这个映射便不是函数.3.分段函数无论分成几段,都是一个函数,求分段函数的函数值,如果自变量的范围不确定,要分类讨论.基础巩固题组(建议用时:30分钟)一、选择题1.(2017·唐山质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A.[－3,1]B.(－3,1)C.(－∞,－3]∪[1,＋∞)D.(－∞,－3)∪(1,＋∞)解析使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3>0,解得x>1或x<－3,所以f(x)的定义域为(－∞,－3)∪(1,＋∞).答案 D2.(2017·衡水中学月考)设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下:映射f的对应法则x 123 4f(x)342 1则f [g (1)]的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 由映射g 的对应法则,可知g (1)＝4, 由映射f 的对应法则,知f (4)＝1,故f [g (1)]＝1. 答案 A3.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]＝x ＋2,则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1D.x ＋1或－x －1解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0),又f [f (x )]＝x ＋2, 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2,即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1,且kb ＋b ＝2,解得k ＝b ＝1. 答案 A4.(2017·湖南衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x （x ≤0），log 3x （x >0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝()A.－2B.－3C.9D.－9解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2,∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案 C5.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 取特殊值法,若x ＝56,则y ＝5,排除C ,D ；若x ＝57,则y ＝6,排除A ,选B.答案 B6.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2xD.y ＝1x解析 函数y ＝10lg x 的定义域、值域均为(0,＋∞),而y ＝x ,y ＝2x 的定义域均为R ,排除A ,C ；y ＝lg x 的值域为R ,排除B ,故选D. 答案 D7.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[－1,1)上,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R . 若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92,则f (5a )的值是( )A.12B.14C.－25D.18解析 由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a , f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110, ∴－12＋a ＝110,则a ＝35,故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案 C8.(2017·铜陵一模)设P (x 0,y 0)是函数f (x )图象上任意一点,且y 20≥x 20,则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x －1xB.f (x )＝e x －1C.f (x )＝x ＋4xD.f (x )＝tan x解析 对于A 项,当x ＝1,f (1)＝0,此时02≥12不成立.对于B 项,取x ＝－1,f (－1)＝1e －1,此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立.在D 项中,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1,此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立.∴A ,B ,D 均不正确.选C.事实上,在C 项中,对∀x 0∈R ,y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02有y 20－x 20＝16x 20＋8>0,有y 20≥x 20成立. 答案 C 二、填空题9.(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 解析 要使函数有意义,则3－2x －x 2≥0, ∴x 2＋2x －3≤0,解之得－3≤x ≤1. 答案 [－3,1]10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1.∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.答案 －211.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |,则f (x )的解析式是________.解析 根据题意知x >0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ,则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .答案 f (x )＝－log 2 x12.设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________.解析 由题意知,若x ≤0,则2x＝12,解得x ＝－1；若x >0,则|log 2x |＝12,解得x ＝212或x ＝2－12,故x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22能力提升题组 (建议用时:15分钟)13.(2015·湖北卷)设x ∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则()A.|x |＝x |sgn x |B.|x |＝x sgn|x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析 当x >0时,|x |＝x ,sgn x ＝1,则|x |＝x sgn x ； 当x <0时,|x |＝－x ,sgn x ＝－1,则|x |＝x sgn x ； 当x ＝0时,|x |＝x ＝0,sgn x ＝0,则|x |＝x sgn x . 答案 D14.设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D.[1,＋∞)解析 由f (f (a ))＝2f (a )得,f (a )≥1.当a <1时,有3a －1≥1,∴a ≥23,∴23≤a <1. 当a ≥1时,有2a ≥1,∴a ≥0,∴a ≥1. 综上,a ≥23. 答案 C15.函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.解析要使函数f (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0,1].答案 (0,1]16.(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋2x－3，x≥1，lg（x2＋1），x<1，则f(f(－3))＝________,f(x)的最小值是________.解析∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1,∴f(f(－3))＝f(1)＝0,当x≥1时,f(x)＝x＋2x－3≥22－3,当且仅当x＝2时,取等号,此时f(x)min＝22－3<0；当x<1时,f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0,当且仅当x＝0时,取等号,此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为22－3.答案022－3第2讲函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I,使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I,使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D 上是增函数.()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).()(3)对于函数y＝f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1,＋∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,＋∞).()解析(2)此单调区间不能用并集符号连接,取x1＝－1,x2＝1,则f(－1)＜f(1),故应说成单调递减区间为(－∞,0)和(0,＋∞).(3)应对任意的x1＜x2,f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x,f(x)在[1,＋∞)上为增函数,但y＝f(x)的单调递增区间可以是R.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(2017·合肥调研)下列函数中,在区间(0,＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－x B.y＝x2－xC.y＝ln x－xD.y＝e x－x解析对于A,y1＝1x在(0,＋∞)内是减函数,y2＝x在(0,＋∞)内是增函数,则y＝1x－x在(0,＋∞)内是减函数；B,C选项中的函数在(0,＋∞)上均不单调；选项D中,y′＝e x－1,而当x∈(0,＋∞)时,y′＞0,所以函数y＝e x－x在(0,＋∞)上是增函数.答案 A3.如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞,1)上是减函数,那么()A.a＝－2B.a＝2C.a≤－2D.a≥2解析二次函数的对称轴方程为x＝－a－1 3,由题意知－a－13≥1,即a≤－2.答案 C4.函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________.解析f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),y＝lg u在(0,＋∞)上为增函数,u＝x2在(－∞,0)上递减,在(0,＋∞)上递增,故f(x)在(－∞,0)上单调递减.答案(－∞,0)5.(2016·北京卷)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________.解析易得f(x)＝xx－1＝1＋1x－1,当x≥2时,x－1>0,易知f(x)在[2,＋∞)是减函数,∴f(x)max＝f(2)＝1＋12－1＝2.答案 2考点一确定函数的单调性(区间)【例1】(1)函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为() A.(0,＋∞) B.(－∞,0) C.(2,＋∞) D.(－∞,－2)(2)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性.(1)解析由x2－4>0,得x>2或x<－2.∴f(x)的定义域为(－∞,－2)∪(2,＋∞).令t＝x2－4,则y＝log12t(t>0).∵t＝x2－4在(－∞,－2)上是减函数,且y＝log12t在(0,＋∞)上是减函数,∴函数f(x)在(－∞,－2)上是增函数,即f(x)单调递增区间为(－∞,－2).答案 D(2)解 法一 设－1<x 1<x 2<1, f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1, f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）,由于－1<x 1<x 2<1,所以x 2－x 1>0,x 1－1<0,x 2－1<0,故当a >0时,f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时,f (x 1)－f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),函数f (x )在(－1,1)上递增. 法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(－1,1)上递增.规律方法 (1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如例1(1). (2)函数单调性的判断方法有:①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (3)函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.【训练1】 判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0,＋∞)上的单调性,并给出证明. 解 f (x )在(0,a ]上是减函数,在[a ,＋∞)上是增函数. 证明如下:法一 设x 1,x 2是任意两个正数,且0<x 1<x 2, 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a ).当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,又x 1－x 2<0, 所以f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数. a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,又x 1－x 2<0,所以f (x 1)－f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,＋∞)上是增函数.综上可知,函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0,a ]上是减函数,在[a ,＋∞)上为增函数. 法二 f ′(x )＝1－a x 2,令f ′(x )>0,则1－ax 2>0, 解得x >a 或x <－a (舍).令f ′(x )<0,则1－ax 2<0,解得－a <x <a . ∵x >0,∴0<x <a .∴f (x )在(0,a ]上为减函数,在[a ,＋∞)上为增函数. 考点二 确定函数的最值【例2】 (1)(2017·丽水一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1，则f (f (3))＝________,函数f (x )的最大值是________.(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ,x ∈[1,＋∞)且a ≤1.①当a ＝12时,求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1,＋∞),f (x )>0恒成立,试求实数a 的取值范围. (1)解析 ①由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1.所以f (3)＝log 133＝－1,则f (f (3))＝f (－1)＝－3,②当x >1时,f (x )＝log 13x 是减函数,得f (x )<0.当x ≤1时,f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在(－∞,1]上单调递增,则f (x )≤1,综上可知,f (x )的最大值为1. 答案 －3 1(2)解 ①当a ＝12时,f (x )＝x ＋12x ＋2,设1≤x 1＜x 2,则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2, ∵1≤x 1＜x 2,∴x 2－x 1＞0,2x 1x 2＞2, ∴0＜12x 1x 2＜12,1－12x 1x 2＞0,∴f (x 2)－f (x 1)＞0,f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x )在区间[1,＋∞)上为增函数,∴f (x )在区间[1,＋∞)上的最小值为f (1)＝72. ②当x ∈[1,＋∞)时,x 2＋2x ＋ax >0恒成立.则x 2＋2x ＋a >0对x ∈[1,＋∞)上恒成立. 即a >－(x 2＋2x )在x ∈[1,＋∞)上恒成立. 令g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1,x ∈[1,＋∞), ∴g (x )在[1,＋∞)上是减函数,g (x )max ＝g (1)＝－3.又a ≤1,∴当－3<a ≤1时,f (x )>0在x ∈[1,＋∞)上恒成立.故实数a 的取值范围是(－3,1]. 规律方法 (1)求函数最值的常用方法:①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法.(2)利用单调性求最值,应先确定函数的单调性,然后根据性质求解.若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上是增函数,则f (x )在[a ,b ]上的最大值为f (b ),最小值为f (a ).若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上是减函数,则f (x )在[a ,b ]上的最大值为f (a ),最小值为f (b ).【训练2】 如果函数f (x )对任意的实数x ,都有f (1＋x )＝f (－x ),且当x ≥12时,f (x )＝log 2(3x －1),那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( ) A.2 B.3 C.4D.－1解析 根据f (1＋x )＝f (－x ),可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称.又函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增,故f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减,则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 答案 C考点三 函数单调性的应用(典例迁移)【例3】 (1)如果函数f (x )＝⎩⎨⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.(2)(2017·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0,＋∞)上递增,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,则不等式f (log 19x )>0的解集为________. 解析 (1)对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.所以y ＝f (x )在(－∞,＋∞)上是增函数.所以⎩⎨⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.(2)∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数,且y ＝f (x )在(0,＋∞)上递增. ∴y ＝f (x )在(－∞,0)上也是增函数, 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12,∴log 19x >12或－12<log 19x <0,解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3. 答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3【迁移探究1】 在例题第(1)题中,条件不变,若设m ＝f (－12),n ＝f (a ),t ＝f (2),试比较m ,n ,t 的大小.解 由例题知f (x )在(－∞,＋∞)上是增函数, 且32≤a <2,又－12<a <2, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (a )<f (2),即m <n <t .【迁移探究2】 在例题第(2)题中,若条件改为:“定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0,＋∞)上单调递减”,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,则不等式f (log 19x )>0的解集是________.解析 因为f (x )在R 上为偶函数,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 19x ＞0等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 19x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,又f (x )在[0,＋∞)上为减函数,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 19x ＜12,即－12＜log 19x ＜12,解得13＜x ＜3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3规律方法 (1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是:根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.(2)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解,此时应特别注意函数的定义域.【训练3】 (2016·天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2),则a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )在R 上是偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增, ∴f (x )在(0,＋∞)上是减函数, 则f (2|a －1|)>f (－2)＝f (2), 因此2|a －1|<2＝212, 又y ＝2x 是增函数, ∴|a －1|<12,解得12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32[思想方法]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤: (1)取值 ；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法:定义法、导数法、复合函数法、图象法,也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法:单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到. [易错防范]1.区分两个概念:“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.例如,函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数,在(0 ,1)上是减函数,但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数,如函数f (x )＝1x .基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3,＋∞),则a 的值为( ) A.－2B.2C.－6D.6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2,＋∞),令－a2＝3,∴a ＝－6. 答案 C2.(2016·北京卷)下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x解析 ∵y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数,且y ＝cos x 在(－1,1)上不具备单调性.∴A ,B ,C 不满足题意.只有y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1,1)上是减函数.答案 D3.定义新运算“⊕”:当a ≥b 时,a ⊕b ＝a 2；当a <b 时,a ⊕b ＝b 2,则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x ),在区间[－2,2]上的最大值等于( ) A.－1B.1C.6D.12解析 由已知得当－2≤x ≤1时,f (x )＝x －2, 当1<x ≤2时,f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2,f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数. ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案 C4.已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称,且在(1,＋∞)上单调递增,设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12,b ＝f (2),c ＝f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.b <a <c C.b <c <aD.a <b <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称,∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,又y ＝f (x )在(1,＋∞)上单调递增,∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3),即b <a <c .答案 B5.f (x )是定义在(0,＋∞)上的单调增函数,满足f (xy )＝f (x )＋f (y ),f (3)＝1,当f (x )＋f (x －8)≤2时,x 的取值范围是( ) A.(8,＋∞) B.(8,9] C.[8,9]D.(0,8)解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9),由f (x )＋f (x －8)≤2,可得f [x (x －8)]≤f (9),因为f (x )是定义在(0,＋∞)上的增函数,所以有⎩⎨⎧x >0，x －8>0，x （x －8）≤9，解得8<x ≤9.答案 B 二、填空题6.(2017·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1),则函数g (x )的递减区间是________.解析 由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2 （x >1），0 （x ＝1），－x 2 （x <1），函数的图象如图所示的实线部分,根据图象,g (x )的减区间是[0,1). 答案 [0,1)7.(2017·石家庄调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________.解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减,y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增,所以f (x )在[－1,1]上单调递减,故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 38.(2017·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ,a ＋1)上单调递增,则实数a 的取值范围是________.解析 作出函数f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在(a ,a ＋1)上单调递增,需满足a ≥4或a ＋1≤2,即a ≤1或a ≥4.答案 (－∞,1]∪[4,＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0,x >0). (1)求证:f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,求a 的值.(1)证明 设x 2>x 1>0,则x 2－x 1>0,x 1x 2>0,∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0,∴f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(0,＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12,f (2)＝2,易知a ＝25.10.已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0,1](a 为实数). (1)当a ＝1时,求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数f (x )取得最值时x 的值. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝2x －1x ,任取1≥x 1＞x 2＞0, 则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.∵1≥x 1＞x 2＞0,∴x 1－x 2＞0,x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2),∴f (x )在(0,1]上单调递增,无最小值,当x ＝1时取得最大值1,所以f (x )的值域为(－∞,1].(2)当a ≥0时,y ＝f (x )在(0,1]上单调递增,无最小值, 当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a ＜0时,f (x )＝2x ＋－ax , －a2≥1,即a ∈(－∞,－2]时,y ＝f (x )在(0,1]上单调递减,无最大值,当x ＝1时取得最小值2－a ； －a 2＜1,即a ∈(－2,0)时,y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增,无最大值,当x ＝－a2时取得最小值2－2a .能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.(2017·郑州质检)若函数f (x )＝a x (a >0,a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0,＋∞)上是增函数,则a ＝( )A.4B.2C.12D.14解析 当a >1,则y ＝a x 为增函数,有a 2＝4,a －1＝m ,此时a ＝2,m ＝12, 此时g (x )＝－x 在[0,＋∞)上为减函数,不合题意. 当0<a <1,则y ＝a x 为减函数, 有a －1＝4,a 2＝m ,此时a ＝14,m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0,＋∞)上是增函数.故a ＝14. 答案 D12.(2017·枣阳第一中学模拟)已知函数f (x )＝e x －1,g (x )＝－x 2＋4x －3,若存在f (a )＝g (b ),则实数b 的取值范围为( ) A.[0,3]B.(1,3)C.[2－2,2＋2]D.(2－2,2＋2)解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1,g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1, 若f (a )＝g (b ),则g (b )∈(－1,1], 即－b 2＋4b －3>－1,即b 2－4b ＋2<0, 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2,2＋2). 答案 D13.对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3,g (x )＝log 2x ,则函数h (x )＝min{f (x ),g (x )}的最大值是________. 解析 依题意,h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时,h (x )＝log 2x 是增函数, 当x >2时,h (x )＝3－x 是减函数, ∴h (x )在x ＝2时,取得最大值h (2)＝1. 答案 114.已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2),其中a 是大于0的常数.(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围. 解 (1)由x ＋ax －2＞0,得x 2－2x ＋a x＞0,当a ＞1时,x 2－2x ＋a ＞0恒成立,定义域为(0,＋∞), 当a ＝1时,定义域为{x |x ＞0且x ≠1},当0＜a ＜1时,定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }. (2)设g (x )＝x ＋ax －2,当a ∈(1,4),x ∈[2,＋∞)时, ∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0. 因此g (x )在[2,＋∞)上是增函数, ∴f (x )在[2,＋∞)上是增函数. 则f (x )min ＝f (2)＝ln a2.(3)对任意x ∈[2,＋∞),恒有f (x )>0. 即x ＋ax －2>1对x ∈[2,＋∞)恒成立. ∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2,x ∈[2,＋∞).由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2,＋∞)上是减函数,∴h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时,恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2,＋∞).第3讲 函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.(1)周期函数:对于函数y＝f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么就称函数y＝f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数y＝x2在x∈(0,＋∞)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数,则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数,则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y＝x2在(0,＋∞)上不是偶函数,(1)错.(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0,(2)错.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(2017·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是()A.y＝xB.y＝e xC.y＝cos xD.y＝e x－e－x解析A,B中显然为非奇非偶函数；C中y＝cos x为偶函数.D中函数定义域为R,又f(－x)＝e－x－e x＝－(e x－e－x)＝－f(x),∴y＝e x－e－x为奇函数.答案 D3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数,那么a＋b的值是()A.－13 B.13 C.12 D.－12解析依题意b＝0,且2a＝－(a－1),∴a＝13,则a＋b＝13.答案 B4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[－1,1)时,f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析 ∵f (x )的周期为2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12, 又∵当－1≤x <0时,f (x )＝－4x 2＋2, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.答案 15.(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称,f (3)＝3,则f (－1)＝________. 解析 ∵f (x )为偶函数,∴f (－1)＝f (1). 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称, ∴f (1)＝f (3).∴f (－1)＝3. 答案 3考点一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3,解得x ＝±3,即函数f (x )的定义域为{－3,3}, 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x ), ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1),关于原点对称.∴x－2<0,∴|x－2|－2＝－x,∴f(x)＝lg（1－x2）－x.又∵f(－x)＝lg[1－（－x）2]x＝－lg（1－x2）x＝－f(x),∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称.∵当x<0时,－x>0,则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时,－x<0,则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(－x)＝－f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.规律方法判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.【训练1】(1)(2017·佛山质检)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y＝x＋sin 2xB.y＝x2－cos xC.y＝2x＋12x D.y＝x2＋sin x(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析(1)对于A,定义域为R,f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x),为奇函数；对于B,定义域为R,f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x),为偶函数；对于C,定义域为R,f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x),为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数,故选D.(2)依题意得对任意x∈R,都有f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x),因此,f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)],f(x)g(x)是奇函数,A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B 错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|],f(x)|g(x)|是奇函数,C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D错.答案(1)D(2)C考点二函数奇偶性的应用【例2】(1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1,则f(1)＋g(1)等于()A.－3B.－1C.1D.3(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数,则a＝________.解析(1)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f(x)为偶函数,则ln(x＋a＋x2)为奇函数,所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0,则ln(a＋x2－x2)＝0,∴a＝1.答案(1)C(2)1规律方法(1)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住在已知区间上的解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式或函数值.【训练2】(1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A.(－∞,－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,＋∞)(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)＝x2－4x,则f(x)＝________.解析(1)易知f(－x)＝2－x＋12－x－a＝2x＋11－a2x,由f(－x)＝－f(x),得2x＋11－a2x＝－2x＋12x－a,即1－a2x＝－2x＋a,化简得a(1＋2x)＝1＋2x,所以a＝1,f(x)＝2x＋12x－1,由f(x)>3,得0<x<1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数,∴f (0)＝0. 又当x <0时,－x >0,∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数,∴f (－x )＝－f (x ), 则f (x )＝－x 2－4x (x <0),∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.答案 (1)C(2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.考点三 函数的周期性及其应用【例3】 (2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )＝4x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. 解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数, ∴f (0)＝0,又f (x )在R 上的周期为2, ∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.答案 －2规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时,应根据周期性或奇偶性,由待求区间转化到已知区间.(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数,且a ≠0),则2a 为函数f (x )的一个周期. 【训练3】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x ＋2)＝－1f （x ）,当2≤x ≤3时,f (x )＝x ,则f (105.5)＝______.解析 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f (x ).故函数的周期为4.。
高中数学竞赛教案讲义(2)二次函数与命题
第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-ab2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
2 二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=a b 2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=a b ac 442-,若a <0，则当x =x 0=ab2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
高中数学竞赛讲义-高斯函数
是以1为周期的周期函数，如图I－4－5－2.
图Ⅰ—4—5—1图Ⅰ—4—5—2
（5） .其中 .
（6） ；特别地，
（7） ，其中 ；一般有 ；特别地，
.
（8） ，其中 .
例题讲解
1．求证： 其中k为某一自然数.
2．对任意的
3．计算和式
4．设M为一正整数，问方程 ，在[1，M]中有多少个解？
≥ (|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－ ＋b|＋|－ ＋b|)
≥ [(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－ ＋b)－(－ ＋b)]
＝
≥
综上所述，原命题正确.
8．先找出 的整数部分与分数部分.
5．求方程
6．
7．对自然数n及一切自然数x，求证：
.
8．求出 的个位数字
例题答案：
1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为
若
故
反之，若n不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2sp，其中p>1为奇数，这时总可以找出整数t，使
由于 n!.这与已知矛盾，故必要性得证.
2．解：因 对一切k=0,1,…成立，因此，
§28高斯函数
数论函数 ，称为高斯函数，又称取整函数.它是数学竞赛热点之一.
定义一：对任意实数 是不超过 的最大整数，称 为 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数
由 、 的定义不难得到如下性质：
（1） 的定义域为R，值域为Z； 的定义域为R，值域为
（2）对任意实数 ，都有 .
（3）对任意实数 ，都有 .
|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4
则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2
高中数学竞赛辅导课件——函数全套PPT
4.( 教程 P86 17)设 f (x) x2 2tx t, x 1,1
1 求 f ( x)max min .
4
6
2答案
3,4答案
2.［分析］这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复赛试题，
是一个四次函数的最值问题.表面上看起来很难.但借助于配方
法、换元法及二次函数极（最）值性质,可得结果.
a a2 ≤ 0 解得 a ≤ 4 或 a ≥0 . 4
[评注]：解法一运用转化思想把对数函数转化为指数 形式（关于 x 的二次方程）获得解答；解法二运用对数 函数和二次函数的性质获得思路.
5
练习一: 函数的值域(最值)及其求法
1.(教程 P44 9)函数 y x 2x 1 的值域是( A)
竞赛辅导(三)函数(上)
函数的定义域、值域、图象与性质是 历届高中数学联赛中的重点和热点内容， 通常出现在一试的题目中，并以二次函数 问题为最，作为代数解决问题的工具，也 时常需运用函数思想来解决一些更有挑战 的竞赛试题.
1
函数 1.函数的值域(最值)及其求法
主要方法有单调性法、换元法、判别式法、不 等式法、配方法. 2.函数的性质与图象
数根，那么所有实数根的和为( )
(A)150 (B) 303 (C)152
(D) 305
2
291答案2答案3答案1.解:(1)设y = f (a－x) = f ( b+ x )则点P (a－x，y)，
Q ( b + x， y) 都在函数y = f (x)的图像上．
t
2
t
t
1
(1 t (t ≥1)
1)
不难得到
f
(
x)max
min
高中数学讲义：函数的极值
函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点Þ导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
高中数学竞赛专题-函数2
【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a) 说明“两个自变数相差a，则函数值互 为相反数”，于是相差2a时，函数值 相等：
f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a)
∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数， 且2a是周期；
考查（2），f ( x )=f (a－x)表明函 数f ( x )的图像关于直线 x a 对称，这
故选（C）．
【解法2】设x∈(1，2)
则－1＜x－2＜0 且 f ( x ) = f (x－2)，
∵ －1＜x－2＜0,
∴ 0＜2－x＜1
于是， f (2 x) log 2
1 1 (2 x)
log 2
1 x1
∵ f (x) 是奇函数，
∴ f (2－x)＝－f (x－2)，
∴
f ( x) log 2
2
不一定能使其为周期函数； 考查（3），f (a－x)= f (b－x)表明
自变数相差a－b时， 函数值相等， 即 f ( x ) = f (a－b+x)
∴ 等式（3）使f (x)是周期函数， 且a－b是周期．
考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表 明自变数相差a－b时，函数值互为相 反数，于是相差2（a－b）时，函数值 相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为 周期函数，且 2（a－b）是周期．
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第三章 函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。
定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。
定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。
定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。
定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。
A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。
集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。
通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7 函数的性质。
（1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)<f (x 2)(f (x -)>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的x ∈D ，都有f (-x )=-f (x )，则称f (x )是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f (-x )=f (x )，则称f (x )是偶函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
（3）周期性：对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内每一个数时，f (x +T )=f (x )总成立，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T 0，则这个正数叫做函数f (x )的最小正周期。
定义8 如果实数a <b ，则数集{x |a <x <b , x ∈R}叫做开区间，记作（a ,b ），集合{x |a ≤x ≤b ,x ∈R}记作闭区间[a ,b ]，集合{x |a <x ≤b }记作半开半闭区间（a ,b ]，集合{x |a ≤x <b }记作半闭半开区间[a , b )，集合{x |x >a }记作开区间（a , +∞），集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间（-∞,a ]. 定义9 函数的图象，点集{(x ,y )|y =f (x ), x ∈D}称为函数y =f (x )的图象，其中D 为f (x )的定义域。
通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ,b >0)；（1）向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象；（2）向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象；（3）向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象；（4）与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对称；（5）与函数y =-f (-x )的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称；（7）与函数y =-f (x )的图象关于x 轴对称。
定理3 复合函数y =f [g (x )]的单调性，记住四个字：“同增异减”。
例如y =x-21, u=2-x 在（-∞,2）上是减函数，y =u 1在（0，+∞）上是减函数，所以y =x-21在（-∞,2）上是增函数。
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。
这里不做严格论证，求导之后是显然的。
二、方法与例题 1．数形结合法。
例1 求方程|x -1|=x1的正根的个数.【解】 分别画出y =|x -1|和y =x1的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。
例2 求函数f (x )=113632424+--+--x x x x x 的最大值。
【解】 f (x )=222222)0()1()3()2(-+---+-x x x x ，记点P (x , x -2)，A （3，2），B（0，1），则f (x )表示动点P 到点A 和B 距离的差。
因为|P A |-|P A |≤|AB |=10)12(322=-+,当且仅当P 为AB 延长线与抛物线y =x 2的交点时等号成立。
所以f (x )m ax =.10 2.函数性质的应用。
例3 设x , y ∈R ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(1997)1(1)1(1997)1(32y y x x ，求x +y . 【解】 设f (t )=t 3+1997t ，先证f (t )在（-∞，+∞）上递增。
事实上，若a <b ，则f (b )-f (a )=b 3-a 3+1997(b -a )=(b -a )(b 2+ba +a 2+1997)>0，所以f (t )递增。
由题设f (x -1)=-1=f (1-y )，所以x -1=1-y ，所以x +y =2.例4 奇函数f (x )在定义域（-1，1）内是减函数，又f (1-a )+f (1-a 2)<0，求a 的取值范围。
【解】 因为f (x ) 是奇函数，所以f (1-a 2)=-f (a 2-1)，由题设f (1-a )<f (a 2-1)。
又f (x )在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-a <a 2-1<1，解得0<a <1。
例5 设f (x )是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k ∈Z , 用I k 表示区间(2k -1, 2k +1]，已知当x ∈I 0时，f (x )=x 2，求f (x )在I k 上的解析式。
【解】 设x ∈I k ，则2k -1<x ≤2k +1， 所以f (x -2k )=(x -2k )2.又因为f (x )是以2为周期的函数， 所以当x ∈I k 时，f (x )=f (x -2k )=(x -2k )2. 例6 解方程：(3x -1)(15692++-x x )+(2x -3)(131242+-x x +1)=0. 【解】 令m=3x -1, n =2x -3，方程化为m(42+m +1)+n (42+n +1)=0. ①若m=0，则由①得n =0，但m, n 不同时为0，所以m ≠0, n ≠0.ⅰ)若m>0，则由①得n <0，设f (t )=t (42+t +1),则f (t )在（0，+∞）上是增函数。
又f (m)=f (-n )，所以m=-n ，所以3x -1+2x -3=0，所以x =.54ⅱ)若m<0，且n >0。
同理有m+n =0,x =54,但与m<0矛盾。
综上，方程有唯一实数解x =.543.配方法。
例7 求函数y =x +12+x 的值域。
【解】 y =x +12+x =21[2x +1+212+x +1]-1 =21(12+x +1)-1≥21-1=-21. 当x =-21时，y 取最小值-21，所以函数值域是[-21，+∞）。
4．换元法。
例8 求函数y =(x +1+x -1+2)(21x -+1),x ∈[0,1]的值域。
【解】令x +1+x -1=u ，因为x ∈[0,1]，所以2≤u 2=2+221x -≤4,所以2≤u ≤2,所以222+≤22+u ≤2，1≤22u ≤2，所以y =22+u ,u 2∈[2+2，8]。
所以该函数值域为[2+2，8]。
5．判别式法。
例9 求函数y =434322+++-x x x x 的值域。
【解】由函数解析式得(y -1)x 2+3(y +1)x +4y -4=0. ① 当y ≠1时，①式是关于x 的方程有实根。
所以△=9(y +1)2-16(y -1)2≥0，解得71≤y ≤1. 又当y =1时，存在x =0使解析式成立， 所以函数值域为[71，7]。
6．关于反函数。
例10 若函数y =f (x )定义域、值域均为R ，且存在反函数。
若f (x )在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y =f -1(x )在(-∞,+ ∞)上也是增函数。
【证明】设x 1<x 2, 且y 1=f -1(x 1), y 2=f -1(x 2)，则x 1=f (y 1), x 2=f (y 2)，若y 1≥y 2，则因为f (x )在(-∞,+ ∞)上递增，所以x 1≥x 2与假设矛盾，所以y 1<y 2。
即y =f -1(x )在(-∞,+ ∞)递增。
例11 设函数f (x )=42314++x x ，解方程：f (x )=f -1(x ).【解】 首先f (x )定义域为（-∞，-32）∪[-41，+∞）；其次，设x 1, x 2是定义域内变量，且x 1<x 2<-32;231422++x x 231411++-x x =)23)(23()(51212++-x x x x >0, 所以f (x )在（-∞，-32）上递增，同理f (x )在[-41，+∞）上递增。
在方程f (x )=f -1(x )中，记f (x )=f -1(x )=y ，则y ≥0，又由f -1(x )=y 得f (y )=x ，所以x ≥0,所以x ,y ∈[-41，+∞）.若x ≠y ，设x <y ，则f (x )=y <f (y )=x ，矛盾。
同理若x >y 也可得出矛盾。
所以x =y . 即f (x )=x ，化简得3x 5+2x 4-4x -1=0, 即(x -1)(3x 4+5x 3+5x 2+5x +1)=0,因为x ≥0，所以3x 4+5x 3+5x 2+5x +1>0，所以x =1. 三、基础训练题1．已知X ={-1, 0, 1}, Y ={-2, -1, 0, 1, 2}，映射f ：X →Y 满足：对任意的x ∈X ，它在Y 中的象f (x )使得x +f (x )为偶数，这样的映射有_______个。