高考数学总复习 第8章 第5讲 椭 圆配套练习 理 新人教A版

第八章 第5讲

(时间：45分钟 分值：100分)

一、选择题

1. [2013·海淀模拟]2

m －2＋

y 2

6－m

＝1表示椭圆的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 答案：B

解析：若x 2

m －2＋y

2

6－m

＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧

m －2>0，6－m >0，

m －2≠6－m ，

∴2

x 2

m －2＋

y 2

6－m

＝1表示椭圆的必要不充分条件．

2. [2013·汕头检测]已知椭圆x 225＋y 2

9＝1，F 1、F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M

到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

答案：D

解析：由题意知，|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝1

2|MF 2|＝

4.

3. [2013·韶关调研]椭圆x 2

＋my 2

＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )

A. 1

4 B. 12 C. 2 D. 4

答案：A

解析：将原方程变形为x 2

＋y 21

m

＝1，

由题意知a 2＝1m

，b 2

＝1，

∴a ＝

1

m

，b ＝1.∴

1m ＝2，∴m ＝14

. 故应选A.

4. 已知椭圆x 2

4＋y 2

＝1，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的最大

值为( )

A. 6

B. 4

C. 2

D. 8

答案：B

解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ＝4，|PF 1|·|PF 2|＝mn ≤(m ＋n

2

)2

＝4(当且

仅当m ＝n ＝2时，等号成立)．故选B.

5．[2013·湖南郴州]设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(1

2

，1)，则实数k 的取值

范围是( )

A ．(0,3)

B ．(3，16

3)

C ．(0,3)∪(16

3，＋∞)

D ．(0,2)

答案：C

解析：当k >4时，c ＝k －4，由条件知14

k <1，

解得k >16

3

；

当0

由条件知14<4－k

4

<1，解得0

6. [2013·福建调研]若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2

3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆

上的任意一点，则OP →·FP →

的最大值为( )

A. 2

B. 3

C. 6

D. 8

答案：C

解析：由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP →·FP →

＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 2

0＋

x 0＋y 20.

∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 20

3

＝1.

∴OP →·FP →＝x 2

0＋x 0＋3(1－x 204

)

＝x 20

4＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2

＋2. ∵－2≤x 0≤2，

∴OP →·FP →

的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.

二、填空题

7. [2013·临汾模拟]椭圆x 2

2＋y 2＝1的弦被点(12，12)平分，则这条弦所在的直线方程是

________．

答案：2x ＋4y －3＝0

解析：设该弦与椭圆相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由点(12，1

2)平分弦AB 可得x 1

＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，再将点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入椭圆方程后作差可得k AB ＝－1

2，然后

根据点斜式方程可求得直线AB 的方程为2x ＋4y －3＝0.

8. [2013·上饶调研]已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b

2＝1(a >b >0)的两个焦点，若椭圆上存在一

点P 使得∠F 1PF 2＝π

3

，则椭圆的离心率e 的取值范围为________．

答案：[1

2

，1)

解析：设椭圆的短轴的一个端点为B ，则∠F 1BF 2≥

π3，在△BF 1F 2中，sin ∠OBF 2＝c a

＝e ≥sin π6＝12，故12

≤e <1.

9. [2013·金版原创]已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为

F .设线段AB 的中点为M ，若2MA →·MF →＋BF →

2≥0，则该椭圆离心率的取值范围为________．

答案：(0，3－1]