《统计分析方法及应用》PPT(第十二章)

行轮廓矩阵
r1 r 1 2 R Dr P rp p11 p1 p21 p2 p p1 p p p12 p1 p22 p2 pp2 p p p1q p1 p2 q p2 p pq p p
i 1
其中U=(u1,u2,⋯,uk),V=(v1,v2,⋯,vk),Λ=diag(λ1,λ2,⋯, λk) ，这里u1,u2,⋯,uk是一组p维正交单位向量， v1,v2,⋯,vk是一组q维正交单位向量，即有，λ1,λ2,⋯,λk 12 , 22 ,, k2 是 ZZ 的正特 是Z的k个奇异值。于是， 征值。因此 2 p q pij pi p j tr ZZ k 2 总惯量= i pi p j i 1 j 1 i 1 2=45.594>21.026= 2 12 , 0.05 例12.2.1 例12.1.1中，χ 故拒绝心理健康状况与社会经济状况相互独立的原 假设（p=8.15×10-6）。

r P1 p1 , p2 , , p p 其中 1 1,1,,1 是元素均为1的q维向量，最后一行 用 c表示，即 c 1 P p1 , p2 ,, pq 其中 1 1,1,,1是元素均为1的p维向量，向量r和c


的元素有时称为行和列密度（masses）。
列轮廓矩阵为
0.239 0.371 C PDc1 0.221 0.170
两个马赛克图
对心理健康的每一种状况，A、B、C、D、E五个小 方块的宽度显示了行轮廓，0、1、2、3四种心理健 康状况的小方块高度显示了行密度。
对社会经济的每一种状况，0、1、2、3四个小方块 的高度显示了列轮廓，A、B、C、D、E五种社会经 济状况的小方块宽度显示了列密度。
第十二章 对应分析
§12.1
行轮廓和列轮廓 §12.2 独立性的检验和总惯量 §12.3 行、列轮廓的坐标 §12.4 对应分析图
§12.1 行轮廓和列轮廓
一、列联表 二、对应矩阵 三、行、列轮廓

表9.1.1
p×q列联表
一、列联表
表12.1.1
列 行 1 2 ⋮ p 合 计 1 n11 n21 ⋮ np1 n∙1

第j列轮廓：
p1 j p2 j n1 j n2 j p pj n pj cj , , , , , , p p n n p j j j n j j j 其各元素之和等于1，即1c j 1, j 1, 2,, q 。
第十二章 对应分析


对应分析（correspondence analysis）是用于寻求列联表的行 和列之间联系的一种低维图形表示法，它可以从直觉上揭示 出同一分类变量的各个类别之间的差异，以及不同分类变量 各个类别之间的对应关系。 对应分析是由法国人Benzecri于1970年提出的，起初在法国 和日本最为流行，然后引入美国。 在对应分析中，列联表的每一行对应（通常是二维）图中的 一点，每一列也对应同一图中的一点。本质上，这些点都是 列联表的各行各列向一个二维欧式空间的投影，这种投影最 大限度地保持了各行（或各列）之间的关系。

总惯量的分解

对 P rc 构造标准化矩阵 Z Dr1 2 P rc Dc1 2 其元素为 pij pi p j zij pi p j
记k=rank(Z)，有k≤min(p-1,q-1)，因为 P rc 1 P1 rc1 r r 0 对Z进行奇异值分解，得 k Z UΛV i ui vi
q q
q
p1q p2q ppq p∙q
合 计
p1∙ p2∙ pp∙ 1
p
这里，pij
p i 1
nij n
, pi pij
j 1 j 1
nij n
, p j pij
i 1 i 1
p
nij n
。
显然有 pi p j 1。
j 1
q

称 P pij nij n 为对应矩阵。将对应矩阵表中的 最后一列用r表示，即
二、总惯量
总惯量
2
n

i 1 j 1
p
q
p
ij
pi p j pi p j
2
总惯量还可以行轮廓和列轮廓的形式表达如下：
总惯量 pi
i 1 j 1 p q
p
ij
pi p j p j
2
pi ri c Dc1 ri c
三、行、列轮廓

第i行轮廓（profile）：
piq ni1 ni 2 niq pi1 pi 2 ri , ,, , , , pi ni ni ni pi pi 其各元素之和等于1，即 ri1 1, i 1, 2,, p 。
n j=1,2,⋯,q ； i nij 为第i行的频数之和，i=1,2,⋯,p；
p
j 1
n ni n j nij 为所有类别组合的频数总和。

二、对应矩阵
表12.1.2
列 行 1 2 p 合 计
对应矩阵
1
p1∙2
心理健康状况
0（好） 1（轻微症状形成）
2（中等症状形成）
3（受损）
112
86
65
60
77
94
54
78
54
71
将表12.1.3中的数据除以n，得到对应矩阵，列于表 12.1.4中。表12.1.4给出的行密度和列密度向量为
0.185 0.363 , c 0.305,0.173,0.231,0.160,0.131 r 0.218 0.234
其中 Dc diag p1 , p2 ,, pq 。
可见， r可以表示成各列轮廓的加权平均。类似地，
c 1 P 1 Dr D P piri
1 r p i 1
p1 p q 1 2 r P 1 PDc Dc 1 c1 , c2 ,, cq p j c j j 1 pq
即 c可以表示成各行轮廓的加权平均。
例12.1.1

将由n=1660个人组成的样本按心理健康状况与社会 经济状况进行交叉分类，分类结果见表12.1.3。
心理健康状况-社会经济状况数据
社会经济状况 A（高） 121 188 B 57 105 C 72 141 D 36 97 E（低） 21 71
表12.1.3
从表12.1.3算得的对应矩阵
合 计 0.185 0.363 0.218 0.234 1.000
行轮廓矩阵为
0.394 0.312 R Dr1 P 0.309 0.221 0.186 0.235 0.117 0.068 0.174 0.234 0.161 0.118 0.180 0.213 0.149 0.149 0.154 0.242 0.201 0.183 0.199 0.188 0.136 0.097 0.366 0.367 0.366 0.327 0.226 0.201 0.204 0.249 0.209 0.245 0.294 0.327
总惯量为零的等价情形
总惯量为零与以下三种情形的任一种等价： (1) pij pi p j , i 1, 2,, p, j 1, 2,, q ，或表示 为 P rc； (2)所有的行轮廓相等，即 r1 r2 rp c； (3)所有的列轮廓相等，即 c1 c2 cq r。 所以，如果行变量与列变量相互独立，则我们可以 期望（由样本数据构成的）列联表中所有的行有相 近的轮廓，所有的列亦有相近的轮廓。
45.594 总惯量 0.0275 n 1660
2
§12.3 行、列轮廓的坐标
D
1 2 r
Dc1 2 Z UΛV P rc
k i 1
1 1 P rc Dr 2UΛV Dc 2 AΛB i ai bi
其中 1 1 A a1 , a2 ,, ak Dr 2U , B b1 , b2 ,, bk Dc 2V
q
2
称为第i行轮廓ri到行轮廓中心c的卡方（χ2）距离， 它可看作是一个加权的平方欧氏距离。同样，
c
j
r D

1 r
c
j
r
p i 1
p
ij
p j pi pi
2
是第j列轮廓cj到列轮廓中心r的卡方距离。故总惯量 可看成是行轮廓到其中心的卡方距离的加权平均， 也可看成是列轮廓到其中心的卡方距离的加权平均。 它既度量了行轮廓之间的总变差，也度量了列轮廓 之间的总变差。
其中Dr diag p1 , p2 ,, p p 。
列轮廓矩阵
1 C PDc c1 , c2 , , cq p11 p1 p21 p1 p p1 p1 p12 p2 p22 p2 pp2 p2 p1q pq p2 q pq p pq pq
表12.1.4
社会经济状况 心理健康状况 0（好） 1（轻微症状形成） 2（中等症状形成） 3（受损） 合 计 A（高） 0.073 0.113 0.067 0.052 0.305 B 0.034 0.063 0.039 0.036 0.173 C 0.043 0.085 0.046 0.057 0.231 D 0.022 0.058 0.033 0.047 0.160 E（低） 0.013 0.043 0.033 0.043 0.131