微分方程模型
微分方程模型(全)
第四步：了解问题中所涉及的原则或物理定律。
第五步：依据 第二、第三、第四步 建立微分 方程。 还有已知的对应某个 t 的 y 的值（可 能还有 y 的导数的值）就是求解微分方程所 需要的初始值。
第六步：求微分方程的解并给出问题的答案。 下面我们从易到难给出微分方程模型之应 用案例
例1 火车启动
例 1：火车启动
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 溶液浓度
如果有一个实际问题，要找一个量 y ， 与另一个量 t（时间或其他变量）的关系， 这种关系涉及量 y 在每个 t 时的瞬时变化率， 而且这个瞬时变化率与量 y 与 t 的关系可以 确定，那么这样的问题通常可以通过微分 方程来解决。 利用微分方程解决这样的问题的一般 步骤如下： （分为六步）
第一步:
题目：一列火车从静止开始启动，均匀地加速，
五分钟时速度达到 300 千米。问：这段时间内 该火车行进了多少路程？
例1 火车启动
解 这个问题相对比较简单，问题与“加速”、 “速度”有关，所以与导数有关； 涉及的量为： “时间”（小时），“路程”（千米），“速 度”（千米/小时），“加速度”（常数 a ）;
例2 细菌增长
解 这个问题也比较简单。 问题与“增长率”有关，所以与导数有关；
涉及的量为： “时间”（小时），“细菌总数”（个）， “速度”（个/小时）; 有（待定）函数关系的两个量定为： 细菌总数 y ，时间 t ； 涉及的原则或物理定律： 导数＝增长率.
微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
微分方程模型
微分模型课程安排一、微分模型简介二、微分静态模型1、血管分支模型2、最正确存贮模型三、微分动态模型1、水流出的时间2、CO2的吸收3、浓度变化问题4、服药问题5、人口模型四、香烟过滤嘴问题一、微分模型简介微分模型是数学模型中的最主要模型，也是应用最为广泛的数学模型。
通常微分模型可分为两类，静态模型与动态模型。
微分静态模型主要出现在解决一些简单的优化问题中。
此类问题通常可将所要解决的实际问题化简为一个一元或多元的目标函数的最值问题，只要对目标函数求导数或偏导数就可求得驻点，从而讨论问题的最优解决方案。
这种解决实际问题的方法在《高数》书中就有一定的讨论只不过当时不是学习的重点而已。
而微分动态模型，从名称上看我们就知到此方法是用来解决动态变化问题的。
当我们从实际问题中得到的目标量是一个随时间或空间在改变的量时，直接建立此目标量的动态变化方程是很困难的，通常可以先找到此问题的动态变化函数〔一般是一个微分方程或方程组〕，然后通过解方程的方法来求解出我们所需要的目标量所满足的方程。
同样在《高数》书中提到的微元法就是此方法的讨论，它是任何一项研究都必须要首先考虑和掌握的基本方法。
下边举几个例子看一下我们该怎样使用这两种方法.===================================================================== 二、微分静态模型微分静态模型的关键就是建立一个包含各个影响因素在内的目标函数。
具体分析步骤：〔1〕首先明确我们的优化目标；〔2〕明确影响这个目标的各个因素；〔3〕建立目标函数与各指标的代数关系；〔4〕对各指标变量求导数〔或偏导〕找极值点；〔5〕讨论目标的极值。
问题1血液在动物的血管中一刻不停地流动，为了维持血液循环动物的机体要提供能量。
能量的一部分用于供应血管壁以营养。
另一部分用来克服血液流动受到的阻力，消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关。
在长期的生物进化过程中，高级动物血管系统的几何形状应该已经到达消耗能量最小原则下的优化标准了。
微分方程模型方法
物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的 发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律，预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ，为政策制定者提供依据，以制定合理的 计划生育政策。例如，Logistic模型是一 种常用的人口动态模型，通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和 边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数 学基础，如线性代数、微积分、常微 分方程等。
数学建模第三章微分方程模型
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（2）
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51
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（3）
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52
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（4）
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53
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（5）
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3-7 香烟过滤嘴的作用机理（6）
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3-7 香烟过滤嘴的作用机理（7）
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39
3-6 疾病传播的机理分析模型（2）
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40
3-6 疾病传播的机理分析模型（3）
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41
3-6 疾病传播的机理分析模型（4）
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3-6 疾病传播的机理分析模型（5）
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3-6 疾病传播的机理分析模型（6）
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3-6 疾病传播的机理分析模型（7）
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3-6 疾病传播的机理分析模型（8）
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3-6 疾病传播的机理分析模型（9）
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3-6 疾病传播的机理分析模型（10）
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3-6 疾病传播的机理分析模型（11）
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3-7 香烟过滤嘴的作用机理（1）
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3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（1）
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3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（2）
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3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（3）
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微分方程(模型)
dx 2 或 x 0.03 dt 100 t 这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件 x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此 C 方程的通解：x (t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2 有初值条件可得C 9 10 4，所以容器内含盐 量x随时间t的变化规律为 9 10 4 x 0.01(100 t ) 2 (100 t )
微分方程模型
重庆邮电大学
数理学院
引言
微分方程模型
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空 间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。
在研究某些实际问题时，经常无法直接得 到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关 于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以 建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技 术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至 可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去， 其影响是广泛的。
四. 悬链线方程问题
将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为xoy 平面，设绳索最低点 为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到 l 另一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 ，绳索线密 度为 l ,则这段绳索所受重力为gl 。由于绳索是软 的，
y x 2 2.
微分方程的几个应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。 一. 嫌疑犯问题
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
微分方程的经典模型
模型分析
问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重 （记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数， 我们就能找到一个含有的
dW 微分方程。 dt
模型假设
W0 ； 1.W ( t ) 表示 t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为 2. W ( t ) 关于 t 连续而且充分光滑；
模型建立
游击作战模型的形式：
，
(t) f (x, y) x (t) g(x, y) y x(0) x , y(0) y 0 0
, 由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为
f(x ,y ) c x y
g (x ,y )dxy
结合以上两表达式，并代入 c、d 的值，可得游击作战的数学模型
或被歼灭）的一方为败。因此，如果 K K0 ，则乙的兵力减少到
甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。同理可知， K0
K0 胜。而当
a
时
时，甲方获
时，双方战平。
2 2 bx ay 0 甲方获胜的充要条件为 0 0
代入a 、b 的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为
2 2 r p x r p y x x 0 y y 0
模型建立 根据假设得到一般的战争模型
x ( t) f( x ,y ) x u ( t) y ( t) g ( x ,y ) y v ( t) x ( 0 )x , y ( 0 )y 0 0
正规作战模型
模型假设
1.不考虑增援，并忽略非战斗减员；
得：
其解为：
i(t) i0e
k0t
模型分析与解释
这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律 无限增加，显然与实际不符
第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型)
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
模型的建立
假设2、3得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi N k Ns(t )i (t ) Ni(t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di k i(1 i ) i dt i (0) i0
模型的解：
k k 1 ( k )t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (k t 1 ) 1 k i0
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
n ln( 1) 疾病的传染高峰期 2 I0 d I 此时 计算高峰期得： t0 0 2 dt kn 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型的建立
di dt k si i ds k si dt i (0) i0 s (0) s0
微分方程与微分方程建模法
第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0． 常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1． 初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程：);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程，有降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型引言微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述自然界中的各种现象和规律。
微分方程模型是一类特定形式的微分方程，常用于解决实际问题。
本文将介绍几个常见的微分方程模型，并讨论它们在不同领域中的应用。
1. 简单增长模型简单增长模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间变化的规律。
它可以用以下形式表示：dNdt=rN其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示增长率。
这个模型可以应用于人口增长、细菌繁殖等问题。
例如，在人口学中，我们可以使用简单增长模型来预测未来人口数量的变化趋势。
2. 指数衰减模型指数衰减模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间指数衰减的规律。
它可以用以下形式表示：dNdt=−rN其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示衰减率。
这个模型可以应用于放射性元素的衰变、药物的消失等问题。
例如，在医学中，我们可以使用指数衰减模型来预测药物在人体内的浓度随时间的变化。
3. 指数增长模型指数增长模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间指数增长的规律。
它可以用以下形式表示：dN dt =rN(1−NK)其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示增长率，K表示系统的容量。
这个模型可以应用于生态学中研究种群数量随时间变化的问题。
例如，在生态学中，我们可以使用指数增长模型来研究某种生物在特定环境下的种群动态。
4. 鱼类生长模型鱼类生长模型描述了鱼类体重随时间变化的规律。
它可以用以下形式表示：dW dt =rW(1−WK)其中，W表示鱼类的体重，t表示时间，r表示生长速率，K表示饱和重量。
这个模型可以应用于渔业学中研究鱼类养殖和捕捞的问题。
例如，在渔业学中，我们可以使用鱼类生长模型来预测鱼类的生长轨迹和最优捕捞量。
5. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间变化的规律。
它可以用以下形式表示：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)表示物体在位置x处、时间t时的温度，α表示热扩散系数。
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型微分方程是数学的一个重要分支，广泛应用于自然科学和工程领域。
它描述了物理现象、社会问题和自然现象的变化规律，能够帮助我们理解和预测各种现象的发展趋势。
下面将介绍一些常见的微分方程模型。
1. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是最简单且常见的微分方程之一。
它可以描述许多实际问题，比如放射性衰变、人口模型等。
一阶线性微分方程的一般形式可以写为dy/dt = f(t) * y + g(t)，其中f(t)和g(t)是已知函数，y是未知函数。
2. 指数衰减模型指数衰减模型是描述某种变化过程的常见微分方程。
它可以用来描述放射性物质的衰变、人口增长的趋势等。
指数衰减模型的一般形式是dy/dt = -ky，其中k是常数。
这个方程表示y的变化速率与y本身成比例，且反向。
3. 扩散方程扩散方程是描述物质或能量传递过程的微分方程。
它可以用来研究热传导、扩散现象等。
扩散方程的一般形式是∂u/∂t = D ∇²u，其中u是未知函数，D是扩散系数，∇²是Laplace算子。
这个方程表示u 的变化率与u的二阶导数成正比。
4. 多体问题多体问题是描述多个物体之间相互作用的微分方程模型。
它可以用来研究天体运动、分子碰撞等问题。
多体问题的方程通常包括牛顿第二定律和对应的初始条件，如F = ma和相关的速度、位置初值条件。
5. 随机微分方程随机微分方程是考虑了随机因素的微分方程模型。
它可以用来研究金融市场的波动、生态系统的不确定性等。
随机微分方程的方程形式通常会引入一个随机项，如dy/dt = f(t, y) dt + g(t, y) dW，其中dW是布朗运动，表示随机项。
以上介绍的是一些常见的微分方程模型，它们在理论和实际应用中都具有重要的地位。
通过研究这些模型，我们可以深入理解各种现象背后的数学规律，并且为实际问题提供解决方案。
微分方程模型不仅有助于推动数学的发展，还在科学研究、工程设计和技术创新等领域中发挥着重要作用。
几种重要的微分方程应用模型
生态竞争模型的解可以表现出多种动态行为，如周期振荡和混沌运动等， 取决于物种之间的竞争参数。
斐波那契序列模型
01
斐波那契序列是一个经典的数学序列，每个数字是前两个数字 的和。
02
斐波那契序列模型可以用于描述许多自然现象，如植物生长、
模型等。
02 线性微分方程模型
线性微分方程的解法
分离变量法
通过将方程中的未知函数和其导数分 离到等式的两边，从而将微分方程转 化为代数方程。
变量代换法
通过引入新的变量来简化微分方程， 例如使用积分因子或积分因子法。
参数法
当微分方程中包含参数时，可以通过 令参数等于某个特定的值来求解微分 方程。
幂级数法
拉普拉斯变换法
将高阶微分方程转化为代数方 程，适用于初值问题和具有特
定边界条件的问题。
阻尼振动模型
1 2
线性阻尼
阻尼力与速度成正比，导致振动逐渐减小并趋于 静止。
非线性阻尼
阻尼力与速度的幂函数相关，如速度的二次方、 三次方等，导致振动表现出不同的非线性行为。
3
阻尼振动应用
描述机械系统、电磁振荡器等物理系统的振动现 象，用于预测系统的稳定性和动态响应。
热传导方程的一般形式为：$frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u$，其中 $u$ 表示温度分布，$alpha$ 是热扩散系数，$nabla^2$ 表示拉普拉斯算子。
波动方程模型
01
波动方程是描述波动现象的偏微分方程，如声波、光波和水 波等。
02
它的一般形式为：$frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u$，其中 $u$ 表示波动场，$c$ 是波速。
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
微分方程模型案例库
微分方程模型案例库一、经济学模型人口增长模型：人口增长可以用微分方程描述，最简单的模型是人口增长速率与人口数量成正比，即dP/dt=kP。
其中，P是人口数量，t是时间，k是一个常数。
这个模型可以体现人口增长速度与人口数量的关系，可以用来预测未来的人口增长趋势。
供求模型：供求模型是经济学中常用的模型，可以用微分方程描述。
设商品的需求函数为Qd=f(p)（商品需求量与价格的关系），供给函数为Qs=g(p)（商品供给量与价格的关系）。
则供求平衡点满足p和Qs、Qd的交点，即f(p)=g(p)。
通过求解这个方程组，可以得到经济体中的均衡价格和交易量。
二、物理学模型自由落体模型：自由落体是一个常见的物理现象，可以用微分方程描述。
设物体下落的速度为v，物体的质量为m，重力加速度为g，则质量与速度之间的关系为m(dv/dt)=mg。
通过求解这个微分方程，可以得到物体下落的速度随时间的变化。
阻尼振动模型：阻尼振动是另一个常见的物理现象，可以用微分方程描述。
设物体的位移为x，阻尼系数为b，弹簧常数为k，则质量、阻尼和弹簧之间的关系为m(d^2x/dt^2)+b(dx/dt)+kx=0。
通过求解这个微分方程，可以得到物体振动的特性，包括振幅、周期等。
三、生物学模型物种竞争模型：物种竞争是生物学中一个重要的研究问题，也可以用微分方程模型来描述。
设两个物种的数量分别为x和y，它们的增长速率分别为dx/dt和dy/dt，竞争系数为a和b，资源可持续利用的速率为r，则物种数量的变化满足dx/dt=a*x*(1-(x+y)/r)-b*x*y和dy/dt=b*x*y-a*y*(1-(x+y)/r)。
通过求解这个方程组，可以得到两个物种数量随时间的变化，从而研究它们之间的竞争关系。
病毒传播模型：病毒传播是流行病学中的重要问题，也可以用微分方程模型来描述。
设感染者的数量为I，易感者的数量为S，恢复者的数量为R，感染率为β，康复率为γ，则感染者、易感者和恢复者的变化满足dS/dt=-β*S*I，dI/dt=β*S*I-γ*I，dR/dt=γ*I。
微积分的应用-微分方程模型
t* 0.54 1 540(s) 9(min) 0.001
例3 追线问题
我缉私舰雷达发现距 c km处有一艘走私船正 以匀速 a 沿直线行驶。缉私舰立即以最大的 速度 b 追赶，若用雷达进行跟踪，保持舰的 瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰 追逐路线和追上的时间。
1.模型假设：
为
，求在任一时刻的水面高度（设
v 2gh
开始时水池水的高度为 ）和将水放空的时
间.
h0
等量关系：
t 时间的
水池减少的水量 = 出水量 。
A[h(t t) h(t)] BS
A[h(t t) h(t)] B S
t
t
A dh Bv A dh B 2gh
dt
dt
初始条件
h(0) h0
1
dx
c
y
y
2
dy
1
令
y c
y
2
tant
从而，y c sin2 t ,dy 2c sin t cos tdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos 2tdt
积分后得到
x
c 2
2t
sin
2t
c1
这曲线过原点，故由上面第一式得，t 0 时，x y 0
于是，c1 0。这样
dx
0
2gy
这是泛函的极值问题，令
f y, y 1 y2
2gy
由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足
的欧拉方程为：
f y
y
f
c1
即
y2
y 1 y2
1 y2
y
c1
这可化简为
微分方程模型的优点和不足
微分方程模型是一种用于描述动态系统演化过程的数学模型，它可以预测和分析系统的行为。
微分方程模型的优点和不足如下：
优点：
准确性：微分方程模型可以准确地描述系统的内部规律和事物的内在关系，因此能够提供比较精确的预测结果。
适用性广：微分方程模型适用于多种类型的问题，包括物理、几何、生物、经济等领域。
可解释性强：微分方程模型的建立基于相关原理的因果预测法，因此其解释性比较强，能够提供关于系统行为的深入理解。
不足：
建立困难：微分方程模型的建立需要深厚的数学基础和专业知识，因此对于一些非专业人士来说可能比较困难。
求解困难：微分方程模型的求解过程可能比较复杂，需要使用数值方法或近似方法进行求解，这可能会增加模型的复杂性和计算成本。
局限性：微分方程模型主要适用于连续型问题，对于离散型问题可能不太适用。
此外，微分方程模型的预测结果也可能受到一些假设条件和参数的影响，因此需要注意其适用范围和局限性。
总之，微分方程模型具有优点和不足，需要根据具体问题进行选择和应用。
在使用微分方程模型时，需要注意其适用范围和局限性，并结合实际情况进行模型的建立和改进。
微分方程模型
微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。
通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。
本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。
基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。
微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。
通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。
常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。
解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。
解析解是指能够用数学公式精确表示的解。
解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。
一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。
数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。
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四 古尸年代鉴定问题
1972年发掘长沙市马王堆一号汉墓时，对 其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它的 碳-C14的蜕变次数为29.78次/min，而新烧成的
同种木材中的-C14原子蜕变次数为38.37次/min。
已知碳-C14的半衰期为5730年，据此，推断此女
尸下葬的年代？
背景
C14年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比 （W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代 的重要手段之一。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对 函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现 象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复
杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，
建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上 求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际 情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际 现象。
讨论
如图，正方形ABCD的四个顶点各有一个人，在某 一时刻，四人同时出发一匀速v=1m/s按顺时针方向 追逐下一个人，如果他们始终保持对准目标，试求 四人的运动轨迹。
A B
D
C
k F ( R s)2
求比例系数k
k 0
因为当物体在地面上时 s＝0, F=－mg
所以
k mgR2
R2 F m g ( R s) 2
由牛顿第二定律：F=ma
R2 d 2s mg m 2 2 ( R s) dt
d 2s gR 2 2 2 dt ( R s)
问题分析
先求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线 来确定狼是否能够追上兔子。
引入变量
v1：兔子的速度 v2：狼的速度，显然有v1= 2v2 t：狼追击兔子的时刻(t =0时，表示狼开始追兔子) s1：在时刻t，兔子跑过的路程s1=s1(t) s2：在时刻t，狼跑过的路程s2=s2(t) Q(x1, y1)：时刻t，兔子的坐标 P(x,y) ：时刻t，狼的坐标
三、物体达到的最大高度
问题：在地面上以初速度 v 0 铅直向上射一物 体，设地球引力与物体到地心距离平方成反比， 求物体可能达到的最大高度。若物体脱离太阳 v0 系，则 应为多少？ 解：已知地球半径R＝6370公里，假设空气阻力不 计（仅讨论此简单情况）。 设在t 时刻物体的高度为s＝s( t )， 所以物体受地球的引力为：
100
x
1 y2 dx 2(y xy)
两边求导得
1 y 2 y 2x 初始条件 y x100 0, y x100 0.
求解上述初值问题，判断狼是否追上兔子
当x＝0,如果计算求解得到 y 60 , 则视为没有追上； 当x＝0,如果计算求解得到 y 60, 则视为兔子被追上； 用Matlab模拟追击曲线
模型求解
解微分方程
x(t ) x0e (t t0 )
1 当t - t0=T 时 x(t ) 2 x0 代入上式得 1 ln 2 T x0 x0e 2 T
从而
x(t ) x0e
ln 2 (t t0 ) T
x0 T t t0 ln ln 2 x(t )
初始条件
s ( 0) 0 s(0) v 0
二阶微分方程
ds v 令 dt
d 2 s dv dv ds dv 2 v dt dt ds dt ds
dv gR2 则有 v ds ( R s) 2
分离变量 积分得
gR 2 vdv ds 2 ( R s)
v0 R 2 gR v02
2
因此物体的最大高度为
smax
如果物体脱离太阳系，必须
2
s→+∞，
当 而由上式知， 2 gR v0 0时， s→+∞
所以应取 v0 2 gR 将g＝9.8米／秒2 R＝6370 km代入上式
v0 2 gR ≈11.2公里／秒
—第二宇宙速度
思考题：若有空气阻力，如何建立其数学模型？
生物体死亡后，动植物的尸体停止了吸收C14， 其体内的C14将由于衰变不断减少。
模型建立
设 t 时刻生物体内C14含量为x( t )，放射性物质 的半衰期为T，生物体死亡的时刻为t0，则
dx x dt x(t0 ) x0
0 为衰变系数，由放射性物质所决定，x0为生物 体死亡时刻t0的C14含量。
a dx 2 v (d x) 1 p
2
dp
a arshp ln(p 1 p ) ln(d x)+C1 v
a y x0 p x0 0, 得 C1 lnd 代入初始条件 v a a ln(p 1 p 2 ) ln(d x)+lnd v v d x a p 1 p2 ( ) v d 1 d x a d x a y p ( ) v ( )v 2 d d
变量分离，积分
1 (d x) dy 2 a d v
a v
dx
(d x) d
a v
a v
dx
1 (d x)1(a / v ) 1 (d x)1(a / v ) 1 y a / v a / v C2 2 1 (a / v) d 1 (a / v) d
va
以缉私舰发现走私船是的位臵为O，走私船行驶的 方向为y轴方向建立坐标系。
设缉私舰的追踪轨迹为y=y(x)，经过时间t缉私舰 位于P(x,y), 走私船到达Q(d,at)。 由于缉私舰始终指向走私船， 所以PQ就是追踪曲线在P处 的切线，故
y
y
(d x)y y at
由于用时相等，则弧OP的长度 与AQ之比为v/a，即 x v 0 1 ydx a at a x y 1 y 2 dx (d x)y v 0
将t=1972，T=5730，x0=38.37，x(1972)=29.78代入 上式，得
5730 38.37 1972 t0 ln 2095 ln 2 29.78
t0 1972 2095 123(年)
即马王堆墓入葬的年代大约在公元前123年左右 的西汉中期，这与马王堆出土文物的考证结果相 一致。
五 追踪问题
问题
在南海海域我缉私舰雷达发现在距舰艇d n mile处 有一艘走私船正以匀速a n mile/h朝垂直方向逃窜， 缉私舰立即以最大速度v n mile/h追赶。在雷达向导 下，缉私舰的速度方向始终指向走私船，试求缉私 舰的追踪轨迹及追上所用的时间。
模型建立
下面考虑
v a 缉私舰不可能追上走私船。
1 2 gR 2 v c 2 Rs
1 2 s ( 0) 0 c v 0 gR 由初始条件 2 s(0) v0 2 1 2 gR 1 2 v v0 gR 故 2 Rs 2
又因为当物体达到最大高度时 v＝0,
令 v＝0，
gR 2 1 2 v0 gR 0 Rs 2
dt
3、配备物理单位： 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位．
4、确定条件：
这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确 定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。
二 建立微分方程模型的方法
（1）根据变化规律列方程 利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科 中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射 规律等。对某些实际问题直接列出微分方程．
第五节 微分方程模型(I)
• 微分方程解题步骤 • 建立微分方程模型的方法 • 物体达到的最大高度
• 古尸年代鉴定问题
• 追踪问题
一、微分方程模型建模步骤
1、翻译或转化：
实际问题中许多表示导数的词，如 “速 率”、“增长”(在生物学以及人口问题研究中)， “衰变” (在放射性问题中)，以及“边际 的”(在经济学中)等． 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变△t 时，因变量的增 量△w，建立起在时段△t上的增量表达式，令 dw △t →0，即得到 的表达式．
y x100 0
y
PQ为追击曲线在P点的切线
y1 y y xy vt y x
由于狼的速度是兔子的2倍，则 狼跑过的路程s2
s2 2s1 2vt
Q P O
Ｂ
x
又狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分得
s2
100 x
1 y2 dx
联立得
模型假设
1. 狼在追击过程中始终朝向兔子； 2. 狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即 将动点P(x,y)的轨迹看作一条曲线，曲线方程表 示为y=y(x)。
模型建立
以t=0时，兔子的位臵作为直角坐标原点O，兔子 朝向狼的方向为x轴正向建立坐标系；则t=0时， x1=0，y1=0；x=100，y=0。由于刚开始时狼的奔 跑方向朝向兔子，故有
在y*处缉私舰追上走私船，所用时间
y* vd t* 2 a v a2
狼追击兔子的问题
问题
狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物 达。芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它 的洞穴南面60m处觅食时，一只恶狼出现在兔子正 东的100m处。当两只动物同时发现对方以后，兔子 奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔 子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲 线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？
avd y x 0 0, 得 C 2 2 代入初始条件 v a2
v d a / v da/v avd 1 (a / v ) 1 (a / v ) y (d x) (d x) v2 a2 2va va