画法几何制图—平面的投影及相对位置
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画法几何-投影的基本知识
第二章
投影的基本知识
画法几何-投影的基本知识
2.1 投影法概述
2.1.1 中心投影法 2.1.2 平行投影法 2.1.3 正投影法的主要投影特性 2.1.4 工程上常用的投影图
画法几何-投影的基本知识
投影法的概念
投射线
S 投射中心 A 空间点
b a 投影
投影面P B 将光线通过物体向选定的平面投射，并在该平面上得 到物体影子的方法称为投影法。
看起来自然、逼真。
如绘制效果图或建筑物的外形。
缺点：作图复杂，度量性差。
优点：能解决物体高度方向的度量 主要用于地图以及土建工程图中
问题。
表示土木结构或地形。
画法几何-投影的基本知识
2.2 基本形体的投影
按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基 本体分为平面立体和曲面立体两类。
画法几何-投影的基本知识
分 （倾斜或垂直）
类
中心投影法
投
投射线汇交于
影
投影中心
法
平行投影法
斜投影法
投射线倾斜 投影面
投射线相互平行 正投影法
投射线垂直
画法几何-投影的基本知识
投影面
共同点（产生投影必须具备的条件）
S S
S
投影中心或投射方向投影面物体来自画法几何-投影的基本知识
投影三要素
平行投影法的投影特性
不变性
等比性
积聚性
画法几何-投影的基本知识
投影法的分类
1. 中心投影法 投射线汇交于一点。 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对
投影的大小有影响。度量性较差 2. 平行投影法 投射线互相平行。 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量
性较好 （1）斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影。 （2）正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。
投影的基本知识
画法几何-投影的基本知识
2.1 投影法概述
2.1.1 中心投影法 2.1.2 平行投影法 2.1.3 正投影法的主要投影特性 2.1.4 工程上常用的投影图
画法几何-投影的基本知识
投影法的概念
投射线
S 投射中心 A 空间点
b a 投影
投影面P B 将光线通过物体向选定的平面投射，并在该平面上得 到物体影子的方法称为投影法。
看起来自然、逼真。
如绘制效果图或建筑物的外形。
缺点：作图复杂，度量性差。
优点：能解决物体高度方向的度量 主要用于地图以及土建工程图中
问题。
表示土木结构或地形。
画法几何-投影的基本知识
2.2 基本形体的投影
按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基 本体分为平面立体和曲面立体两类。
画法几何-投影的基本知识
分 （倾斜或垂直）
类
中心投影法
投
投射线汇交于
影
投影中心
法
平行投影法
斜投影法
投射线倾斜 投影面
投射线相互平行 正投影法
投射线垂直
画法几何-投影的基本知识
投影面
共同点（产生投影必须具备的条件）
S S
S
投影中心或投射方向投影面物体来自画法几何-投影的基本知识
投影三要素
平行投影法的投影特性
不变性
等比性
积聚性
画法几何-投影的基本知识
投影法的分类
1. 中心投影法 投射线汇交于一点。 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对
投影的大小有影响。度量性较差 2. 平行投影法 投射线互相平行。 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量
性较好 （1）斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影。 （2）正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。
画法几何及工程制图第二章相对位置
第 2 章几何元素的相对位置3.1 平行问题§ 2.1 平行问题§2.3 垂直问题§2.4 综合问题举例§2.2 相交问题一、直线与平面平行二、平面与平面平行§2.1 平行问题§2.2 相交问题§2.3 垂直问题§2.4 综合举例§2.1 平行问题一、直线与平面平行PCD BA♦若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。
总目录例2-1 试判断直线AB 是否平行于平面 CDE 。
g 'f 'b 'a ' bc 'd 'e dc结论：直线AB 不平行于定平面一、直线与平面平行XOfgae ' 一、直线与平面平行 二、平面与平面平行§2.1 平行问题§2.2 相交问题 §2.3 垂直问题 §2.4 综合举例分析：如果在平面内能作一条直线平行于直线AB ，则AB 平行于定平面。
总 目 录例2-2 过点K 作一水平线AB 平行于已知平面 ΔCDE 。
b ' a 'f ' fabc 'e ' d 'edk 'kcXO一、直线与平面平行§2.1 平行问题§2.2 相交问题 §2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、直线与平面平行 二、平面与平面平行分析： AB 应平行于平面 ΔCDE 内的水平线，因此，先在平面 内作一水平线，然后过点K 作该水平线的平行线。
总 目 录♦若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。
PSEFDACB二、平面与平面平行§2.1 平行问题§2.1 平行问题§2.2 相交问题 §2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、直线与平面平行 二、平面与平面平行总 目 录m ' n 'nr 'rss 'O 例2-3 试判断两平面是否平行f 'd 'c 'c 结论：Xa 'ab b 'fee 'md两平面平行 §2.1 平行问题§2.2 相交问题 §2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、直线与平面平行 二、平面与平面平行总 目 录例2-4 已知定平面由平行两直线AB 和CD 给定。
工程制图平面分解
一般位置平面：
★
和三个投影面均不垂直也不平行的平面。
特殊位置平面:
投影面垂直面：垂直于一个投影面而与其 它两个投影面倾斜。
★
铅垂面
★
正垂面
侧垂面
投影面平行面：平行于一个投影面且与其 它两个投影面垂直。
水平面
01:57:12
正平面
侧平面
14
东华大学机械工程学院
§2.1 平面的投影-各类平面的投影特性-例子
b c
a" YV
C A
c" a"
X
投影特性 (1) abc重影为一条线 YH (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OZ、OY的夹角反映α、β的真实大小
01:57:12 东华大学机械工程学院 8
Y a
§2.1 平面的投影-各类平面的投影特性－投影面平行面－水平面 Z a' A X b' c' B a b" a" C c" b' c Z
c b b b a a b a a c b b
b
a a c a d b b d
三点 五种类型 可相互转换
c
点和直线
c c
两相交直线
c c
a
两平行直线
01:57:12 东华大学机械工程学院
平面图形
3
§2.1 平面的投影-各类平面的投影特性
1. 一般位置平面：
★
和三个投影面均不垂直也不平行的平面。 投影面垂直面：垂直于一个投影面而与其 它两个投影面倾斜。
b
c Y a
c
YH 投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 、、 的真实角度不能直观的得到
第五讲平面上取点线平面的辅助投影;线面相对位置
AB、AD两条边的水平投影ab和ad，补全该面的水平投影。
c
b
k
分析：ABCD 既然是平面，
d
则它的对角线必相交。
作图：
a
1）连接a′、c′和b′、d′，得交点k′；
a
b
k
c
d 2）连接b、d，在bd上求
出k，并连接a、k；
3）在ak上求出c，连接b、c 和d、c，即得该平面的水平
投影；
例 完成平面的水平投影
一、直线与平面相交
A K B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
二、平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
三、特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
m
c
n a
kb
二、平面与平面平行
几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应 平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平 面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。
例题3 例题4 例题5
一、直线与平面平行
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
a'
d'
b' c'
a1(b1)
d1
a
b
c
d
c1
三、线面相对位置
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
c
b
k
分析：ABCD 既然是平面，
d
则它的对角线必相交。
作图：
a
1）连接a′、c′和b′、d′，得交点k′；
a
b
k
c
d 2）连接b、d，在bd上求
出k，并连接a、k；
3）在ak上求出c，连接b、c 和d、c，即得该平面的水平
投影；
例 完成平面的水平投影
一、直线与平面相交
A K B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
二、平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
三、特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
m
c
n a
kb
二、平面与平面平行
几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应 平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平 面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。
例题3 例题4 例题5
一、直线与平面平行
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
a'
d'
b' c'
a1(b1)
d1
a
b
c
d
c1
三、线面相对位置
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
画法几何制图—平面的投影及相对位置
平面投影的实际应用
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影
相交（或交 叉）成直角 的两直线， 只要其中有 一条直线平 行于某投影 面，则它们 在该投影面 上的投影仍 反映直角
水平线
Ｂ
b a
Ａ Ｃ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面 上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相 交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4） （
1
b
判断重影点重 合投影的可见性 时，要在其他投 影中比较它们坐 标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影 面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即 求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α
画法几何与机械制图-第1章-投影法和点、线、面的投影-1.1 投影的基本知识&1.2 点的投影
a
Y
点A在点B的： 左边、前边、 上边。
X坐标大的在左边；Y坐标大的在前边；Z坐 坐标大的在左边； 坐标大的在前边； 标大的在上边。 标大的在上边。
Z V
a' A a' a" B b a H a XA- XB b' O Y b Y ZA- ZB b" Z a'' b" YA- YB
X
O b'
W
X
Y
a′● ′ ax a●
az
●
a″ ″
点的投影到投影轴的距离， 点的投影到投影轴的距离，等于点的相应坐标
Z V
Bb' b" b'
Z b''
X
b
c'
D d，d'
O
d" c"
W
X
b c'
d' d c
O d"
c" YW
H
Cc
YH
Y
面上， 点在 面上， 点在 点在H面上 点在OX轴上 轴上。 Β点在V面上， C点在 面上， D点在 轴上。 点在 面上
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A 作投影面P 过空间点A，作投影面P的正 投射线与投影面P交于a 点,a’即 投射线与投影面P交于a’点,a 即 为点A 面上的投影。 为点A在P面上的投影。 点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。 间位置。
解决办法？ 解决办法？
A
●
P
●
a′ ′
P B1 B2
●
B3
●
●
b′ ′
●
采用多面投影。
画法几何与工程制图第三章(投影变换)
ax1
X1 H V1
a1'
6
06
第三章 投影变换
点的换面投影作 图(换H面）： 换 面
1、选适位置作新投 、 影轴X 影轴 1。 2、作a1a’⊥X1 。 、 3、截取a1 aX1 = 、
2、点的换面投影作图（换H面） 、点的换面投影作图（ 面
H1 H1 X1 V X1 V
a1
ax1 a' V X H ax
第三章 投影变换
第三章 投影变换 1
当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们在该投影 当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时， 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、平面对投影面的倾角等特 而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时， 性。而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时，它们在该投影面上的投影 就不具有这些特性。 就不具有这些特性。 投影变换---把一般位置的几何要素变换成特殊位置 解决其定位和度量问题。 把一般位置的几何要素变换成特殊位置， 投影变换 把一般位置的几何要素变换成特殊位置，解决其定位和度量问题。 线段实长 平面的实形
aaX得a1 。
注意： 注意： 在作点的换面投 影时， 影时，新投影面 的位置可以任取。 的位置可以任取。
O
a
7
07
第三章 投影变换
3、点的两次换面投影 、
根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。 如图所示） 根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。（如图所示） 在一次换面V 投影体系中再设一个新投影面 投影体系中再设一个新投影面H 求得点A在 在一次换面 1/H投影体系中再设一个新投影面 2，求得点 在H2面上的新投 称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作X 影a2 ，称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作 2 。
画法几何与机械制图课件第二章点、直线和平面的投影
第二章点、直线和平面的投影§2—1 点的投影§2-2 直线的投影§2-3 平面的投影返回§2—1 点的投影一、点在三投影面体系中的投影二、点的投影和坐标三、两点的相对位置返回HVXO Z YWa'aa"Aa xa za y点的正面投影：a ’、b b ’’、c c ’’……点的水平投影：a 、b 、c c …………点的侧面投影：a "、b b "" 、c c "" ……一、点在三投影面体系中的投影1. 点的三面投影HVXO ZWa'aa"Aa xa z a yHa'a a"VWX OZY WY H2.2.点的三面投影的展开Ha'aa"VW XOZY WY Ha xaya za yHVXOZWa'a a"Aa xa z a y1. 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX 轴（aa aa’’⊥OX)2. 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ 轴（aa aa””⊥OZ)3. 点的水平投影到OX 轴的距离等于侧面投影到OZ 轴的距离（aax=a aax=a””az)3. 点在三投影面体系中的投影ZY HXY WOa'a"a已知点A 的正面投影a ’和水平投影a ，求其侧面投影a ”。
1. a 1. a’’a ⊥OX ;2. a OX ; 2. a’’a ” ⊥OZ ;3. OZ ; 3. aax=a aax=a aax=a””az 例：Ha'aa"VW XOZ Y WY Ha xaya za y(x A ,z A )(x A ,y A )(y A ,z A )HV XO ZYWa'a a"a ya xa zxyzA1.点的坐标X A (Oax) = Aa (Oax) = Aa”” ————点到W 投影面的距离；Y A (Oay (Oay) = Aa ) = Aa ) = Aa’’ ——————点到V 投影面的距离；Z A (Oaz (Oaz) = Aa ) = Aa ) = Aa ——————点到H 投影面的距离。
画法几何及工程制图第一章点线面的投影
§1.3 直线的投影 一、各种直线投影 二、直线实长倾角 三、直线上的点 四、直线的迹点 五、直线相对位置
§1.4 平面的投影
1．投影面垂直线
(2) 正垂线
总目录
一、各种位置直线的投影
点击看投影图
§1.1 投影的基本 知识
§1.2 点的投影
§1.3 直线的投影 一、各种直线投影 二、直线实长倾角 三、直线上的点 四、直线的迹点 五、直线相对位置
点；当平行图形平行于投射方向S 时，其投影为 直线。
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
7.真实性
三、平行投影的基本性质
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
总目录
♦当线段平行于投影面时，其投射反映实长 ♦当平面平行于投影面时，其投影反映实形
总目录
4. 简比不变
三、平行投影的基本性质
♦直线上三个点的简单比是平行投影的不变量。 即AC:BC = ac:bc
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
5. 相仿性
三、平行投影的基本性质
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
四、形体的三面投影图
1．三面投影体系的建立
§1.1 投影的基本知识
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
总目录
（a) 结构不同的两形体在同一投 影面上的投影相同，这表明，一 个投影面不能表达立体的结构和 形状。
§1.4 平面的投影
1．投影面垂直线
(2) 正垂线
总目录
一、各种位置直线的投影
点击看投影图
§1.1 投影的基本 知识
§1.2 点的投影
§1.3 直线的投影 一、各种直线投影 二、直线实长倾角 三、直线上的点 四、直线的迹点 五、直线相对位置
点；当平行图形平行于投射方向S 时，其投影为 直线。
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
7.真实性
三、平行投影的基本性质
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
总目录
♦当线段平行于投影面时，其投射反映实长 ♦当平面平行于投影面时，其投影反映实形
总目录
4. 简比不变
三、平行投影的基本性质
♦直线上三个点的简单比是平行投影的不变量。 即AC:BC = ac:bc
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
5. 相仿性
三、平行投影的基本性质
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
四、形体的三面投影图
1．三面投影体系的建立
§1.1 投影的基本知识
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
总目录
（a) 结构不同的两形体在同一投 影面上的投影相同，这表明，一 个投影面不能表达立体的结构和 形状。
画法几何第3章 平面
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3.2.2 一般位置平面 空间平面对三个投影面都倾斜的平面称为一般位置 平面，如图 3.6（ a）所示。图 3.6（ b）为一般位置平 面的投影图，三个投影均为小于实形的三角形，即三个 投影具有类似性，平面图形的投影图，是该平面图形各 点同名投影的连线。
17
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3.3 平面上的直线和点
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20
例 3.1 已知相交两直线 AB 与 BC 的两面投影，在 由该相交直线确定的平面上取属于该平面上的任意的一 条直线（图 3.8）。
解：取属于直线 AB 的任意点 D 及取属于直线 BC 的任意点 E，即用直线上取点的投影特性求取，并将两 点 D、E 的同名投影以连接即得。
21
22
例3.2 已知△ABC内一点M 的正面投影m′，求点M 的水平投影m。（图3.9） 解：（1）分析：若在△ABC内作一辅助直线，则M 点的两面投影必在此辅助直线的同名投影上。 （2）作图： ①在△a′b′c′上过m′作辅助直线1′2′； ②在△abc上求出此辅助直线的水平投影12； ③从m′向下引投影连线与辅助直线的水平投影的交 点，该点即为点M 的水平投影m。
第3章 平面
3.1 平面的表示法
平面的投影法表示有两种：一种是用点、线和平面 的几何图形的投影来表示，称之为平面的几何元素表示 法；另一种是用平面与投影面的交线来表示，称之为迹 线表示法。 3.1.1 用几何元素表示平面 根据初等几何可以知道，决定一个平面的最基本的 几何要素是在同一直线上的三点。因此，在投影图中， 可以利用这一组几何元素的组合的投影来表示平面的空 间位置（图 3.1）。
1
（1）不属于同一直线的三点（图 3.1（a））； （2）一条直线和该直线外的一点（图 3.1平行二直线（图 3.1（d））； （5）任意平面图形（图 3.1（e））。
画法几何与土木建筑制图 第4章 平面的投影
第4章 平面的投影
▲重点：掌握平面在第一分角中各种位置的投影特性和作图方 法；掌握在平面上作点、作直线的方法。 ◆一般理解：平面上最大坡度线的作图方法及意义。 ●难点：作平面上最大坡度线的投影。
4.1 平面的表示法
4.2 各种位置平面的投影特性
4.3 平面内的点和直线
4.1、平面的表示方式：迹线表示、几何元素表示
c
(b)直线和直 线外一点
a'
c'
b' X
a
b
c
(e)任意平面图形
4.2、各种位置平面的投影特性
水平面（平行H面）
投影面平行面 正平面（平行V面）
平行某一投影面
侧平面（平行W面）
统称特殊位置平面 铅垂面（只垂直于H面）
投影面垂直面 正垂面（只垂直于V面）
侧垂面（只垂直于W面）
垂直于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
迹线表示平面
Z
正面迹 线
正面迹
Z 侧面迹线
线
PV
PW
PV
PW
X
YW O
X
O
PH
侧面迹线 PH
YH
(a)立体图
水平迹线
(b)投影图
几何元素 表示平面
a'
c'
b'
X
a
b
c
(c)相交两直线
a'
c' b' X
a
b
c
(a)不属于同一
直线上的三点
a'
c'
b'
d'
X
a
b
c d
(d)平行两直线
a'
▲重点：掌握平面在第一分角中各种位置的投影特性和作图方 法；掌握在平面上作点、作直线的方法。 ◆一般理解：平面上最大坡度线的作图方法及意义。 ●难点：作平面上最大坡度线的投影。
4.1 平面的表示法
4.2 各种位置平面的投影特性
4.3 平面内的点和直线
4.1、平面的表示方式：迹线表示、几何元素表示
c
(b)直线和直 线外一点
a'
c'
b' X
a
b
c
(e)任意平面图形
4.2、各种位置平面的投影特性
水平面（平行H面）
投影面平行面 正平面（平行V面）
平行某一投影面
侧平面（平行W面）
统称特殊位置平面 铅垂面（只垂直于H面）
投影面垂直面 正垂面（只垂直于V面）
侧垂面（只垂直于W面）
垂直于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
迹线表示平面
Z
正面迹 线
正面迹
Z 侧面迹线
线
PV
PW
PV
PW
X
YW O
X
O
PH
侧面迹线 PH
YH
(a)立体图
水平迹线
(b)投影图
几何元素 表示平面
a'
c'
b'
X
a
b
c
(c)相交两直线
a'
c' b' X
a
b
c
(a)不属于同一
直线上的三点
a'
c'
b'
d'
X
a
b
c d
(d)平行两直线
a'
画法几何与土木建筑制图 第5章 直线与平面、平面与平面的相对位置
一、特殊平面与一般直线相交 二、特殊直线与一般平面相交 三、特殊平面与一般平面相交
直线与平面不 平行时即相交， 交点是直线与平 面的共有点；
两平面不平行 时必相交，其交 线是两平面的共 有线。
一、特殊平面与一般位置直线相交
例3 求铅垂面ABC与直线DE的交点K
分析: 利用平面H面投影的积聚性确定交点的一个投 影，根据点在线上求出交点的另一投影。
几何条件 如果一条直线和一个平面内的两条相
交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
L
A
D
C
B
1、 特殊位置的直线与平面的垂直关系
c' d' r'
X c
RH
水平线 d
a' 正平线
PV
b' X
p
b
a
2、 一般位置的直线与平面的垂直关系
●由于直线和平面处于一般位置时，其垂线也处于一 般位置，此时，线面的垂直关系（直角）不能直接反 映出来，因此要利用平面内的水平线和正平线确定垂 直线的投影方向。
二、平面与平面平行的的投影特性
几何条件：当一平面内的相交两直线对应地平行另一 平面内的相交两直线，则两平面平行。
V
A
E
X
B
F
C
G
a'
e'
b' c'
f' g'
a e
b
f
立体图
c
g
投影图
例2：判断两平面（四边形与AB×AC）是否平行
c' c1'
a1' b'
b1' X
b b1
a1 c
工程制图第二章平面
交线。
（投影面垂直面与一般位置 平面相交）
重庆交通大学 画法几何与工程制
2019/10/9
图
44
2.3.2.2 辅助平面法
针对一般位置直线和一般位置平面与一般位置平面 相交的情况，通常采用辅助平面法，其作步骤如下： 1、含直线作辅助平面（通常是投影面垂直面）； 2、求辅助平面与已知平面的交线； 3、求交线与已知直线的交点； 4、然后判断可见性。
图
6
投影面垂直面投影特点：投影在某一平面内积聚为一直线，且该 直线与投影轴的夹角反映了空间平面与投影面的夹角，在另两个平 面的投影为类似形，
重庆交通大学 画法几何与工程制
2019/10/9
图
7
铅垂面
动画
投影特性 ：(1) 水平投影积聚为一条直线； (2) 正面投影和侧面投影为原形的类似形；
(3) 水平投影与OX、 OY 的夹角反映β 、 角的真实大小；
求作平面(即BF )的γ
γ
2019/10/9
重庆交通大学 画法几何与工程制 图
返回
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2.3 直线、平面与平面的相对位置
2.3.1 平行 2.3.2 相交 2.3.3 垂直
重庆交通大学 画法几何与工程制
2019/10/9
图
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2.3.1.1 直线与平面平行 若平面外一直线平行于平面上的一条直线，则直线与该平面平行。
e’
n’
c’
d
a
2019/10/9
m’ f’
b’
g’
g
b
m
f
c
n e
重庆交通大学 画法几何与工程制 图
2-7(1)
62
点、线、面综合题解法
解题步骤： 1、审题 分清已知条件和所求问题，所求问题是思考方向。应注意已 知问题中的关键词，如平行、相交、垂直，实长、倾角、等腰三角形、 矩形等。 2、作空间分析 分析已知条件和所求问题之间的相对位置关系。常用 的方法有：可假设问题已求出，寻找在已知条件中可利用的条件；还 可采用轨迹法，利用平行、垂直、相交等手段求解。 3、利用所学的知识（如求实长、倾角、交点、交线、垂直、平面取 点、平面取线等）作投影图。 4、检查结果是否合理，讨论结果是否唯一。
（投影面垂直面与一般位置 平面相交）
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图
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2.3.2.2 辅助平面法
针对一般位置直线和一般位置平面与一般位置平面 相交的情况，通常采用辅助平面法，其作步骤如下： 1、含直线作辅助平面（通常是投影面垂直面）； 2、求辅助平面与已知平面的交线； 3、求交线与已知直线的交点； 4、然后判断可见性。
图
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投影面垂直面投影特点：投影在某一平面内积聚为一直线，且该 直线与投影轴的夹角反映了空间平面与投影面的夹角，在另两个平 面的投影为类似形，
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图
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铅垂面
动画
投影特性 ：(1) 水平投影积聚为一条直线； (2) 正面投影和侧面投影为原形的类似形；
(3) 水平投影与OX、 OY 的夹角反映β 、 角的真实大小；
求作平面(即BF )的γ
γ
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2.3 直线、平面与平面的相对位置
2.3.1 平行 2.3.2 相交 2.3.3 垂直
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图
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2.3.1.1 直线与平面平行 若平面外一直线平行于平面上的一条直线，则直线与该平面平行。
e’
n’
c’
d
a
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m’ f’
b’
g’
g
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f
c
n e
重庆交通大学 画法几何与工程制 图
2-7(1)
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点、线、面综合题解法
解题步骤： 1、审题 分清已知条件和所求问题，所求问题是思考方向。应注意已 知问题中的关键词，如平行、相交、垂直，实长、倾角、等腰三角形、 矩形等。 2、作空间分析 分析已知条件和所求问题之间的相对位置关系。常用 的方法有：可假设问题已求出，寻找在已知条件中可利用的条件；还 可采用轨迹法，利用平行、垂直、相交等手段求解。 3、利用所学的知识（如求实长、倾角、交点、交线、垂直、平面取 点、平面取线等）作投影图。 4、检查结果是否合理，讨论结果是否唯一。
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