压杆稳定计算
《土木工程力学》第6章
φ
λ
0 20 40 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 1.000 0.981 0.927 0.842 0.789 0.731 0.669 0.604 0.536 0.466 0.401 0.349 0.306 0.272 0.243 0.218 0.197 0.180 0.164 0.151 0.139 0.129 0.120 1.000 0.973 0.895 0.776 0.705 0.627 0.546 0.462 0.384 0.325 0.279 0.242 0.213 0.188 0.168 0.151 0.136 0.124 0.113 0.104 0.096 0.089 0.082 1.00 0.91 0.69 0.44 0.34 0.26 0.20 0.16
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四、临界应力的经验公式
对于中长杆和粗短杆，临界应力可以用经验公式（抛物线公
式）：
cr ＝ 0 –k2
(6-7)
来进行计算， 0、k都是和材料有关的参数。例如：
Q235钢
cr =(235-0.0068λ２)MPa
16Mn钢
(<p=132 ) (<p=109)
cr =(343-0.00161λ２)MPa
重复二、三次便可达到目的。
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例6-2 图示一根钢管支柱，管长l=2.5m，两端铰支，承受 轴向压力F=250kN 。截面尺寸为D=102mm ， d=86mm ，材料
采用Q235钢，其容许应力[]=160MPa 。校核该柱的稳定性。 F 解 1）计算柱的长细比
材料力学_压杆稳定
π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图 大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或 压杆的柔度或长细比 欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆 中柔度压杆 中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2
压杆稳定性计算
Wz=102⨯10-6m3,A=21.5⨯10-4m2
由此得到
σmax
MmaxFN15.63⨯10321.65⨯103
=+=+-6
WzA102⨯1021.5⨯10-4
=163.2⨯106Pa=163.2MPa
Q235钢的许用应力[σ]=
σs
ns
=
235
=162MPa 1.45
临界载荷为：Fcr=σcrA=191.5⨯10⨯
3
π⨯0.022
4
=60.1kN
根据稳定条件：n=
Fcr
≥nst F
Fcr
nst
则F=1.67P≤
于是得P≤
Fcr60.1
==12.0kN
1.67nst1.67⨯3
可见托架D端的许用载荷不应超过12.0 kN。
例12-6图12-14所示的结构中，梁AB为No.14普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为d=20 mm，二者材料均为Q235钢，A、C、D三处均为球铰约束。已知F=25 kN，l1=1.25 m，l2=0.55 m，σs=235 MPa。强度安全因数ns=1.45，稳定安全因数nst=1.8。试校核此结构是否安全
可见，压杆稳定性满足要求。
例12-5油管托架如图12-13所示。杆AB直径d=20mm，长l=400 mm，材料为Q235钢。如果取稳定安全因数nst=3，试确定托架D端的许用载荷P的大小。
解：杆AB两端可简化为铰支，忽略其自重，则可视为二力杆，受轴向压力F作用。以杆CD为研究对象，由平衡方程：
∑Mc=0,P(240+80)-F⋅CE=0
?
解：在给定的结构中，梁AB承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD承受压力，属于稳定问题。应分别校核。
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
压杆稳定计算简介
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
压杆稳定
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
压杆稳定欧拉公式
压杆稳定欧拉公式首先，我们来看一下欧拉公式的表达式。
欧拉公式被记作：e^iπ+1=0e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)这个表达式将指数函数e^(ix)分解为一个实部cos(x)和一个虚部sin(x)之和。
这个等式揭示了欧拉公式与三角函数之间紧密的关系。
特别地，当x取π时，欧拉公式退化为欧拉恒等式（Euler's identity）：e^(iπ)+1=0这个等式表明，虚数单位i的指数函数e^(ix)在π这一特殊点上等于-1、这就是为什么欧拉公式通常被表达为e^(iπ) + 1 = 0。
欧拉公式在数学中的应用非常广泛，特别是在压杆稳定问题中。
压杆稳定问题是一个研究结构力学的经典难题，主要探讨物体在受外力作用下的平衡问题。
欧拉公式通过复数的指数函数形式，提供了一种简单而强大的数学工具，用于求解压杆的稳定性问题。
在压杆稳定问题中，我们可以用两个方程来描述物体的平衡条件。
第一个方程是力的平衡方程，它描述了物体在受到外力作用下的平衡状态。
第二个方程是扭矩的平衡方程，它描述了物体在受到外力作用下的旋转平衡状态。
通过这两个方程的求解，我们可以得到物体在受外力作用下的平衡状态。
欧拉公式在压杆稳定问题中的应用主要体现在力的平衡方程的求解中。
由于力是矢量，所以我们常常使用复数来表示力的方向和大小。
利用欧拉公式，我们可以将复数的指数函数形式应用到力的平衡方程中。
通过将力的分解为实部和虚部的和，我们可以方便地对力的方向和大小进行计算和求解。
另外，欧拉公式还可以在压杆稳定问题中应用于力的分析和优化。
通过对力的平衡方程进行求导和优化，我们可以得到物体受力最优的条件和方向。
这样，欧拉公式为我们提供了一种解决压杆稳定问题的数学工具和思路。
压杆稳定计算
d 2
而i
4 4 64 64 I d A 4 （此式今后可直接使用），则i
162
2 201.1cm ,I
d 4
164
=16/4=4cm。
（2）计算临界荷载 l 1 500 l1杆 : 1 1 125 P 102 图16-6 i 4 属于细长杆，故可用欧拉公式计算临界荷载。于是 2 EI z 2 2 1011 3.217 105 6 Fcr1 2 . 54 10 N 2540 kN ( l ) 2 (1 5) 2
临界压力
取图16-1所示的理想压杆做一抗侧向干扰的试验，在不同压力下用侧向干扰力使 其弯曲。结果表明，轴向压力F＜Fcr时，一但去除干扰力，压杆便迅速恢复 原状，继续保持其稳定直线平衡状态承受压力。我们称这种情况的平衡为稳 定平衡。 当F＝Fcr时，即使去除了干扰力压杆仍停留在干扰力使其弯曲的位置，无法恢复 原状，这是工程上不能容许的状况。我们称这种情况的平衡为临界平衡。F ＞Fcr时，一有微小干扰，压杆迅速向远离干扰所致的位置弯曲，随即折断。 我们称这种情况的平衡为不稳定平衡。 工程上不能容许这种情况出现。前面所谓压杆失稳，就是指F≥Fcr的情况，Fcr的 被称为临界压力。
例16-1 某压杆材料弹性模量E=200GPa，λP=100。当柱子实际柔度λ=125时， 试分别计算横截面为图示圆形和矩形截面时柱子的临界压力。
例16-1
图16-3
解： 因为柱子实际柔度λ=125＞λP=100，故知可用欧拉公式计算临界力。柱 子“上端自由、下端固定”，故长度系数μ=2。 （1）圆形截面时，惯性矩为4 4
1 250 62.5 4 i λ2< λ P=102，它属于中长杆或粗短杆。今假定用中长杆直线经验公式计算临界应力， 从表16-1中查出公式中系数a=304，b=1.12。则 l2 杆 : 2
(整理)压杆稳定计算
第16章压杆稳定16.1 压杆稳定性的概念在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。
但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。
当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。
但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。
我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。
此时，F1可能远小于F s(或F b)。
可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。
图16－1失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。
本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。
实际上它是指平衡状态的稳定性。
我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。
第一种状态，小球在凹面的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。
先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。
因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。
第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。
当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。
压杆的稳定计算
③ 确定该支架的许可荷载。
根据外力 F 与 BD 杆所承受压力之间的关系，只要考虑 AC 杆的平衡即可。
由 求得
M A 0,
FBD
l 2
F
3l 2
0
1 F 3 FBD
于是该支架能承受的最大荷载为
Fmax
1 3
FBDmax
1 47.0 103 3
15.7 103
N
最后确定该支架的许可荷载 [F] =15.7 kN。
3. 进行截面设计
已知压杆的长度、所用材料、支承条件以及承受的压力F，按照稳定条件计 算压杆所需的截面尺寸。由于在稳定条件式 (7-12) 中，折减系数 φ 是根据压杆的 柔度 λ 查表得到的，而在压杆的截面尺寸尚未确定之前，压杆的柔度 λ 不能确定， 所以也就不能确定折减系数 φ。因此，这类问题一般采用试算法。
为了计算方便，将临界应力的许用应力写成如下形式
cr
cr kst
(7-10)
式中：[σ] 为强度计算时的许用应力；φ 为折减系数，其值小于1。
由式(7-10) 可知，φ 值为
cr
kst
(7-11)
由式(7-11) 可知， 当[σ] 一定时，φ 取决于σcr 与kst。由于临界应力σcr值随 压杆的柔度而改变，而不同柔度的压杆一般又规定不同的稳定安全系数，所以
【例7-2】如图7-5a 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢， 直径 d = 20 mm，材料的许用应力 [σ] = 170 MPa，已知 h = 0.4 m，作用力 F = 15 kN。 试校核两杆的稳定。
图7-5a 解：① 计算各杆承受的压力。 取结点 A 为研究对象，画受力分析图，如图7-5b 所示，根据平衡条件列方程
压杆稳定性计算
2500m m2
从型钢表中查得16号工字钢的横截面面积
A=2610mm2，最小惯性半径iy=18.9mm.所以
l 2 2000 211.6
iy
18.9
查表用插值公式算得1为
1
0.164
0.151 0.164 10
1.6
0.162
1和原来假定的1=0.5相差较大，必须
重新计算。
返回
得 P
φ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ]>[σw]，故φ<1。
W
lj
nw
lj () nw ()[
]
( )
二、压杆的稳定计算
1. 稳定计算：由P、A、I、l、μ，求λ，查φ，校核σ。
2. 确定许可荷载：由A、I、l、μ、E，求[P]=φ[σ].A。
3. 设计截面：由P、l、μ，求A、I。因A、φ均未知，故用试算法计算；
1.85% 工字钢符合稳定
性要求。
(5)强度校核：因截面有局部削弱，应对削弱截面进行强度校核。从型 钢表中查得25a号工字钢腹板厚mm,所以横截面C处的净面积为
c A d 4850 8 70 4290mm2
该截面上的工 作应力为
c
P Ac
200103 4290
46.6MPa
可见立柱强度也符合要求。
P A
50000 4
200 2
1.59MPa
[ ];
木柱稳定。
例10-6 求钢柱的许可荷载[P]。已知钢柱由两根10号槽钢组成，l＝10m,两端
固定，[σ]＝140MPa。
解：查型钢表，A=12.74cm2， Iy=25.6cm4, Iz＝ 198.3cm4, iz=3.95cm， zo=1.52cm;
压杆稳定性计算公式例题
压杆稳定性计算公式例题在工程结构设计中，压杆是一种常见的结构元素，用于承受压力和稳定结构。
在设计过程中，需要对压杆的稳定性进行计算，以确保结构的安全性和稳定性。
本文将介绍压杆稳定性计算的基本原理和公式，并通过一个例题进行详细说明。
压杆稳定性计算的基本原理。
压杆稳定性是指压杆在受压力作用下不会发生侧向屈曲或失稳的能力。
在进行压杆稳定性计算时，需要考虑压杆的材料、截面形状、长度、支座条件等因素，以确定其稳定性。
一般来说，压杆的稳定性可以通过欧拉公式或约束条件来计算。
欧拉公式是描述压杆稳定性的经典公式，其表达式为：Pcr = (π^2 E I) / (K L)^2。
其中，Pcr表示压杆的临界压力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，K表示约束系数，L表示压杆的有效长度。
这个公式是基于理想的弹性理论，适用于较长的细杆，但在实际工程中，压杆的稳定性计算可能还需要考虑其他因素。
除了欧拉公式外，压杆稳定性计算还需要考虑约束条件。
约束条件是指压杆在受力时的支座和边界条件，对压杆的稳定性有重要影响。
在实际工程中，约束条件可以通过有限元分析等方法来确定，以获得更精确的稳定性计算结果。
压杆稳定性计算的例题分析。
下面我们通过一个例题来说明压杆稳定性计算的具体步骤和方法。
假设有一根长度为2m的钢质压杆，截面形状为矩形，截面尺寸为100mm ×50mm，弹性模量为2.1 × 10^5 N/mm^2。
现在需要计算在这根压杆上施加的最大压力，使得其不会发生侧向屈曲或失稳。
首先，我们需要计算压杆的有效长度。
对于简支压杆，其有效长度可以通过以下公式计算：Le = K L。
其中，K为约束系数，对于简支压杆，K取1。
所以，这根压杆的有效长度为2m。
接下来，我们可以使用欧拉公式来计算压杆的临界压力。
根据欧拉公式，可以得到：Pcr = (π^2 E I) / L^2。
其中，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
根据矩形截面的惯性矩公式，可以计算得到I = (1/12) b h^3 = (1/12) 100mm (50mm)^3 = 5208333.33mm^4。
压杆的稳定计算
故稳定安全因数nst一般大于强度安全因数n。
二、稳定性计算步骤
(a)、确定压杆的长度因数、截面的惯性半径i， 计算杆件的柔度；
μ, i = I λ = μl
A
i
(b)、确定压杆的材料系数s以及p；
λp
π2E σp
λs
a
- σs b
(c)、根据杆件的与材料的常数p和s比较，确定
杆件的类型，并选择对应公式计算临界应力，并确定
σ
=
F A
σcr nst
= [σcr ]
n=
Fcr F
[nst ]
注意：对于局部有截面削弱的压杆，按没削弱的截面 尺寸计算稳定性，对削弱截面进行强度校核。
三、三类问题的分析计算
(a)、临界压力的计算：先确定柔度，判断属于哪 一类压杆，选择合适的公式计算临界压力。切忌乱用 公式，否则结果偏于危险。
σ = F 80103 63.66MPa
A π 0.042
4 螺杆的工作稳定安全因数为
n
=
σcr σ
=
218.88 =3.44 63.66
nst
=
3
故千斤顶的螺杆是稳定的。
(b)、稳定性计算：对于结构，首先确定压杆压力， 计算工作安全系数，由稳定条件判断是否满足稳定性 设计准则。
(c)、设计压杆横截面尺寸：采用试算法，先由欧 拉公式确定截面尺寸，再检查是否满足欧拉公式的适 用条件。
例：一螺旋式千斤顶，材料为Q235钢。若螺杆旋出的
最大长度l=38cm，内径d0=4cm。最大起重量F=80kN， 规定的稳定安全系数nst=3，试校核螺杆的稳定性。
临界载荷。
p：大柔度杆，欧拉公式：
π2E σcr = λ2
压杆稳定性计算范文
压杆稳定性计算范文
首先，我们需要确定压杆的受力情况。
根据受力情况的不同，压杆可
以分为受弯杆、压弯杆和压缩杆。
其中，受弯杆在一端受到的是单向弯矩，压弯杆在两端受到相等大小的对称弯矩，压缩杆在两端受到相等大小的压力。
受弯杆的稳定性计算可以根据欧拉公式进行，即：
Pcr = (π^2 * E * I) / L^2
其中，Pcr为压弯杆的临界载荷，E为材料的弹性模量，I为截面的
惯性矩，L为杆的长度。
压弯杆的稳定性要求：
P < Pcr
其中，P为实际作用在杆上的载荷。
压缩杆的稳定性计算可以使用欧拉公式或安全系数法进行。
欧拉公式
可以描述为：
Pcr = (π^2 * E * A) / (K * L)^2
其中，Pcr为压缩杆的临界载荷，E为材料的弹性模量，A为截面的
面积，K为杆的有效长度系数，L为杆的长度。
压缩杆的稳定性要求：
P < Pcr
P < Pallow = Pcr / S
其中，P为实际作用在杆上的载荷，Pallow为允许的压缩载荷，S为
材料的安全系数。
此外，压杆的相对稳定性也需要考虑。
相对稳定性是指杆的截面形状
与载荷作用方向之间的关系。
如果载荷作用方向与截面形状的对称轴垂直，压杆将具有较大的稳定性；如果载荷作用方向与截面形状的对称轴平行或
接近平行，压杆将具有较小的稳定性。
总之，压杆稳定性计算是确保结构安全性的重要环节。
通过合理选择
杆材、计算受力状况和结构参数，可以预测并满足压杆的稳定性要求，从
而保证结构的工作正常和安全。
材料力学压杆稳定公式
材料力学压杆稳定公式材料力学是物理学的一个分支，研究物质的力学性质和物理性质以及它们之间的相互作用。
材料力学中的压杆稳定性问题，在工程中应用非常广泛，是一种典型的应用力学问题。
本文将对压杆稳定公式进行详细解析，并探讨它在实际应用场景中的应用。
一、压杆稳定公式的原理当压力作用于杆的轴向时，可能会导致杆件翻转或折断，这种失稳现象称为压杆稳定性。
压杆稳定性是压力元素设计过程中必须考虑的关键问题。
压杆稳定公式是工程师计算杆件失稳情况的重要工具。
压杆稳定公式由欧拉公式和Johnson公式组成。
欧拉公式是描述简单结构（如棒杆）失稳所必需满足的基本条件，它给出了压杆稳定的临界条件。
欧拉公式的表达式为：Pcr = π²EI/l²Pcr为极限荷载（稳定负荷），E为杨氏模量，I为惯性矩，l为杆的长度。
Johnson公式是实际应用中采用的压杆稳定公式，它考虑了杆的附加载荷和杆的弯曲刚度对稳定性的影响。
Johnson公式的表达式为：Pcr= σcA/{1+(σs/σc)[(A/A0)^2-1]}Pcr为极限荷载，σc为杆的材料弹性极限，σs为附加载荷产生的应力，A为杆的横截面积，A0为杆的理论横截面积。
Johnson公式是以欧拉公式为基础的，可以用于计算矩形截面、圆形截面和其他截面形状的杆件的极限稳定荷载。
二、压杆稳定公式的实际应用场景1.结构设计压杆稳定公式在结构设计中是至关重要的。
当设计师有多种杆件形状和材质可供选择时，可以利用压杆稳定公式计算每种形状和材质的极限荷载，以找到最适合的材质和形状。
2.建筑施工压杆稳定公式在建筑施工中也有广泛的应用。
在桥梁、塔和钢构建筑的建设中，压杆稳定公式可以帮助工程师确定结构的稳定性。
它们还可以检查杆件的尺寸和重量是否适当。
3.飞机制造在飞机制造中，压杆稳定公式可以用来计算气动稳定性问题，以确保飞机在不同高度和气压下的稳定性。
这对于飞行安全至关重要。
4.交通工程压杆稳定公式在交通工程中也有广泛应用。
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16.2 两端铰支细长压杆的临界力
图 16-7a 为一两端为球形铰支的细长压杆，现推导其临界力公式。
-2-
图 16-7 根据前节的讨论，轴向压力到达临界力时，压杆的直线平衡状态将由稳定转变为不稳定。在微小 横向干扰力解除后，它将在微弯状态下保持平衡。因此，可以认为能够保持压杆在微弯状态下平衡的 最小轴向压力，即为临界力。 选取坐标系如图 l6-7a 所示，假想沿任意截面将压杆截开，保留部分如图 16-7b 所示。由保留部 分的平衡得 M (x ) = − Fcr v (a) 在式(a)中，轴向压力 Fcr 取绝对值。这样，在图示的坐标系中弯矩 M 与挠度 v 的符号总相反，故式(a) 中加了一个负号。当杆内应力不超过材料比例极限时，根据挠曲线近似微分方程有 (b) dx 由于两端是球铰支座，它对端截面在任何方向的转角都没有限制。因而，杆件的微小弯曲变形一定发
⎛l⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
2
等于两端铰支长为
16.3.3 一端固定另一端铰支细长压杆的临界力
-5-
在这种杆端约束条件下，挠曲线形状如图 16-11 所示。在距铰支端 B 为 0.7l 处，该曲线有一个拐 点 C。因此，在 0.7l 长度内，挠曲线是一条半波正弦曲线。所以，对于一端固定另一端铰支且长为 l 的 压杆，其临界力等于两端铰支长为 0.7l 的压杆的临界力，即
d 2v dx
2
=
M (x ) ，而这个方程是建立在材 EI
料服从虎克定律基础上的。试验已证实，当临界应力不超过材树比例极限 σ p 时，由欧拉公式得到的 理论曲线与试验曲线十分相符，而当临界应力超过 σ p 时，两条曲线随着柔度减小相差得越来越大(如 图 16-12 所示)。这说明欧拉公式只有在临界应力不超过材料比例极限时才适用，即
图 16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借
-1-
助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的 O 点处于平衡状态，如图 16-5a 所示。先用外加干扰力使其偏离原 有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳 定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5c 所示。当用外加干扰力使其偏离原 有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定 平衡。 第三种状态，小球在平面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5b 所示，当用外加干扰力使其偏离原 有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置 O1 再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也 没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。
vmax 图 16-8 在以上讨论中，假设压杆轴线是理想直线，压力 F 是轴向压力，压杆材料均匀连续。这是一种理 想情况，称为理想压杆。但工程实际中的压杆并非如此。压杆的轴线难以避免有一些初弯曲，压力也 无法保证没有偏心， 材料也经常有不均匀或存在缺陷的情况。 实际压杆的这些与理想压杆不符的因素，
-4-
第 16 章
压杆稳定
16.1 压杆稳定性的概念
在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正 常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结 论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的 另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图 16-1a)，在压力 F 由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形 式，直到压力 F 达到屈服强度载荷 Fs (或抗压强度载荷 Fb)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用 相同的材料，做一根与图 16-1a 所示的同样粗细而比较长的杆件(图 16-1b)，当压力 F 比较小时，这 一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力 F 逐渐增大至某—数值 F1 时，杆件将突然变弯，不 再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定 或失稳。此时，F1 可能远小于 Fs (或 Fb)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。
Fcr = π 2 EI
(2l )2
图 16-9 16.3.2 两端固定细长压杆的临界力
图 16-10
图 16-11
在这种杆端约束条件下， 挠曲线如图 16-10 所示。 该曲线的两个拐点 C 和 D 分别在距上、 下端为 处。居于线。所以，对于两端固定且长为 l 的压杆，其临界力 2 l 的压杆的临界力，即 2 Fcr = π 2 EI
式中 C1 、 C 2 为积分常数。由压杆两端铰支这一边界条件
x =0，v =0 x =l，v =0
将式(f)代入式(e)，得 C 2 = 0 ，于是
v = C1sinkx
式(g)代入式(h)，有 (i) 在式(i)中，积分常数 C1 不能等于零，否则将使有 v ≡ 0 ，这意味着压杆处于直线平衡状态，与事先假
图 16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线 的扭转(图 16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图 16-3)； 圆 环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图 16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图 16-5
图 16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡 位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于直线平衡状态的压杆偏离原有的 位置，如图 16-6a 所示。当轴向压力 F 由小变大的过程中，可以观察到： 1)当压力值 F1 较小时，给其一横向干扰力，杆件偏离原来的平衡位置。若去掉横向干扰力后，压 杆将在直线平衡位置左右摆动，最终将恢复到原来的直线平衡位置，如图 16-6b 所示。所以，该杆原 有直线平衡状态是稳定平衡。 2)当压力值 F2 超过其一限度 Fcr 时， 平衡状态的性质发生了质变。 这时， 只要有一轻微的横向干扰， 压杆就会继续弯曲，不再恢复原状，如图 16-6d 所示。因此，该杆原有直线平衡状态是不稳定平衡。 3)界于前二者之间，存在着一种临界状态。当压力值正好等于 Fcr 时，一旦去掉横向干扰力，压杆 将在微弯状态下达到新的平衡，既不恢复原状，也不再继续弯曲，如图 16-6c 所示。因此，该杆原有 直线平衡状态是随遇平衡，该状态又称为临界状态。 临界状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。压杆处于临界状态时的轴向压力称为 临界力或临界载荷，用 Fcr 表示。 由上述可知，压杆的原有直线平衡状态是否稳定，与所受轴向压力大小有关。当轴向压力达到临 界力时，压杆即向失稳过渡。所以，对于压杆稳定性的研究，关键在于确定压杆的临界力。
C1sinkl = 0
设压杆处于微弯状态相矛盾，所以只能有
sinkl = 0
(j)
-3-
由式(j)解得 kl = nπ (n = 0， 1， 2， ⋯)
k＝
nπ l Fcr EI n 2 π 2 EI
(k)
则
k2 = n 2π 2 l
2
=
或 (l) (n = 0， 1， 2， ⋯) l2 因为 n 可取 0，1，2， …中任一个整数，所以式(1)表明，使压杆保持曲线形态平衡的压力，在理论上
(m)
l 代入式 2
可见， 两端铰支细长压杆在临界力作用下处于微弯状态时的挠曲线是条半波正弦曲线。 将x= (m)，可得压杆跨长中点处挠度，即压杆的最大挠度
v
l 2
x=
= C1 sin
πx l = C1 = v max l 2
C1 是任意微小位移值。 C1 之所以没有一个确定值，是因为式(b)中采用了挠曲线的近似微分方程式。
Fcr =
是多值的。而这些压力中，使压杆保持微小弯曲的最小压力，才是临界力。取 n=0，没有意义，只能 取 n=1。于是得两端铰支细长压杆临界力公式
π 2 EI Fcr = 2 l
式(16-1)又称为欧拉公式。 在此临界力作用下， k＝
π ，则式(h)可写成 l
(16-1)
v = C1 sin
πx l
2
d 2v
=
F v M (x ) = − cr EI EI
生于抗弯能力最弱的纵向平面内，所以上式中的 I 应该是横截面的最小惯性矩。令
k2 = Fcr EI
(c)
式（b）可改写为
d 2v dx 2 + k 2v = 0
(d)
此微分方程的通解为
v = C1sinkx + C 2 coskx
(e) (f) (g) (h)
就相当于作用在杆件上的压力有一个微小的偏心距 e。试验结果表明，实际压杆的 F 与 v max 的关系如 图 16-8 中的曲线 OD 表示，偏心距愈小，曲线 OD 愈靠近 OAB。
16.3 不同杆端约束细长压杆的临界力
压杆临界力公式(16-1)是在两端铰支的情况下推导出来的。 由推导过程可知， 临界力与约束有关。 约束条件不同，压杆的临界力也不相同，即杆端的约束对临界力有影响。但是，不论杆端具有怎样的 约束条件，都可以仿照两端铰支临界力的推导方法求得其相应的临界力计算公式，这里不详细讨论， 仅用类比的方法导出几种常见约束条件下压杆的临界力计算公式。 16.3.1 一端固定另一端自由细长压杆的临界力 图 16-9 为—端固定另一端自由的压杆。当压杆处于临界状态时，它在曲线形式下保持平衡。将挠 曲线 AB 对称于固定端 A 向下延长，如图中假想线所示。延长后挠曲线是一条半波正弦曲线，与本章第 二节中两端铰支细长压杆的挠曲线一样。所以，对于—端固定另一端自由且长为 l 的压杆，其临界力 等于两端铰支长为 2l 的压杆的临界力，即
(a)
引入截面的惯性半径 i (16-3)