新人教版九年级上册数学教案-21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 (1)
人教版九年级上册数学教案 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)
*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系．【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现了数学推理的严密性与严谨性．【情感态度与价值观】通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力．二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系．【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P15～P16的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解下列方程，并填写表格：(1)用语言描述你发现的规律：__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项__.(2)关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，请用式子表示x1、x2与p、q的关系：__x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q __.2．解下列方程，并填写表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 2x 2－7x －4＝0 4 －12 72 －2 3x 2＋2x －5＝0 1 －53 －23 －53 5x 2－17x ＋6＝032517565(1)用语言描述你发现的规律：__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系：__x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca__.3．求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0； (2)5x －1＝4x 2； (3)x 2＝4； (4)2x 2＝3x .解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.(3)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4. (4)x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝0.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】x 1、x 2是方程2x 2－3x －5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：(1)x 1＋x 2 ； (2)1x 1＋1x 2；(3)x 21＋x 22； (4)x 21＋3x 22－3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系．【解答】(1)x 1＋x 2＝32，(2)∵x 1x 2＝－52，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－35. (3)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294. (4)x 21＋3x 22－3x 2＝(x 21 ＋x 22 ) ＋(2x 22 －3x 2 )＝1214. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积． (1)x 2－5x －3＝0； (2)9x ＋2＝x 2； (3)6x 2－3x ＋2＝0； (4)3x 2＋x ＋1＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－3. (2)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－2. (3)方程无解． (4)方程无解．2．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值． 解：另一根为2，m ＝2.【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝1代入方程先求m ，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．3．若一元二次方程x 2＋ax ＋2＝0的两根满足：x 21 ＋x 22 ＝12，求a 的值．解：a ＝±4.【教师点拨】由x 21 ＋ x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k 的值．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？【解答】∵方程两实根的积为5，∴ ⎩⎨⎧Δ＝[－(k ＋1)]2－4⎝⎛⎭⎫14k 2＋1≥0，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，∴k ≥32，k ＝±4.故当k ＝4时，方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下： x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .请完成本课时对应练习！。
人教版数学九年级上册 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教案设计
人教版九年级数学第二十一章2.4节21.2.4 一元二次方程的根与系数关系一教学目标知识与技能：1.理解一元二次方程根与系数之间关系的推导过程2.掌握一元二次方程根与系数的关系3.能够不解方程，应用根与系数关系解决问题过程与方法：1.通过学生探究、发现根与系数的关系，培养学生观察能力，思考归纳概括能力和探究精神2.通过探究学习，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的解决问题的思路。
3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的数学活动，发展推理能力，培养创新精神。
情感态度与价值观：1.通过情境教学，激发学生的求知欲望，培养积极的学习态度2.通过对根与系数之间的关系探究，体会事物之间的联系，更好的认识世界。
3.体验教学活动充满着探究和创造，享受成功快乐。
二教学重点难点重点：一元二次方程根与系数关系及应用难点：探究根与系数之间关系过程三 教学过程教师准备：多媒体课件1-4 学生准备：预习学习内容 1.新课导入课件1 完成下列表格2.新知构建 一 探究活动观察以上表格，思考问题 ⑴通过观察你发现了什么规律？ ⑵语言叙述你发现的规律？ ⑶设x ²+px+q=0的两根为x ₁，x ₂ 用式子表示发现的规律【师生活动】：小组讨论，共同探究，对有困难学生进行指导 二 探究活动 课件2 完成下列表格填表，思考下列问题：⑴上面发现的结论在这里成立吗？⑵你能发现两根之和、两根之积与方程的系数有何关系？ ⑶用语言表述你的发现。
⑷进一步猜想：方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）的根x ₁，x ₂与a ，b ，c 之间的关系 ⑸你能证明上面的猜想吗？【师生互动】：小组合作交流，公同探究，教师及时指导学生把证明过程写板书。
课件3：一元二次方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）a2ac 4b b x 21-+-= a 2ac 4b b x 22---=∴ x ₁+x ₂=a 2ac 4b b 2-+-+a 2ac 4b b 2--- = -abx ₁• x ₂=a 2ac 4b b 2-+- • a 2ac 4b b 2--- = ac【设计意图】：学生经历“实践、观察、发现、猜想、证明”的过程，使学生既动手、动脑又动口，教师引导启发，体现学生的主体学习特征，培养学生的创新精神。
新人教版九年级数学上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》教案
新人教版九年级数学上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》教案一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1.课本思考分析：将（x-x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0与x2+px+q=0对比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.2.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2.的和与积.x2+3x+2=0；x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=03.方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2.的和与积.13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x6.拓展练习1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b=,c=. 2已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是,k的值是.教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
人教版九年级上册数学教案设计：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(第一课时)
四、作业：
1．
六、教学板书
一元二次方程根与系数的关系：
x1
（2）已知方程一根，求另一根．
例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．
此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．
方法（二）∵2是方程5x2+kx-6=0的根，
∴5×22＋k×2-6＝0，∴k＝-7．
∴原方程可变为5x2-7x-6=0
课题名称：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（第一课时）
年级学科
九年级
教材版本
人教版
一、教学内容分析
一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．
（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；
（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；
（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0
此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．
3．一元二次方程根与系数关系的应用．
（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．
验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项
人教版九年级数学上册21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》教案
《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学目标1、掌握一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根和系数之间的关系，了解关系式的推导过程.2、会正确写出根与系数的关系式.3、会利用根与系数的关系式解题.教学重点熟练利用一元二次方程根与系数的推导过程教学难点利用一元二次方程根与系数的关系式解题教学过程一、回顾与复习1、解一元二次方程的基本策略是 ，把二次方程转化为 来解2、一元二次方程有四种解法(1)、因式分解法，方程一边是两个一次式的 的形式，另一边为 .(2)、直接开平方法，方程一边是 形式，另一边是 . (3)、配方法，通过配方配成完全平方形式来解一元二次方程的方法.(4)、公式法：关于x 的一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式为∆= 当0∆≥时，实数根可写成1,2x = ；3、在用适当方法解一元二次方程时，先考虑用 、 ；再考虑用配方法和公式法.4、一元二次方程最多有 个实数根. 二、新课讲授：(一)、解方程求出两个解12x x ，，并计算两个解的和与积，填入下表：方程1x2x12x x +12x x ⋅230x x -= 2320x x -+=2210x x ++= 2490x -= 2250x x +=22310x x -+=观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积，与原方程中的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论： .猜测：一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根12x x ，和系数a b c ，，之间的关系 (二)、推导过程.一元二次方程的一般形式为a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，根据求根公式可知，方程的两根为：221244,22b b ac b b ac x x a a-----==计算12x x += = ；因此，方程的两根12,x x 和系数,,a b c 有如下关系：用文字叙述一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的乘积等于常数项与二次项系数的比.(三)、例题和练习例一、根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根12,x x 的和与积 (1)、26150x x --= (2)、2397x x =- (3)、2514x x -= 解:(学生独立完成)1、练习：求下列方程两根12,x x 的和与积(1)、2315x x -= (2)、22514x x x -=+ (3)、2320x x -+= (4)、2550x x +-= (5)、256x x x +=+ (6)、2758x x -=+ 2、练习(1)、已知关于x 的方程20x mx n ++=的两个根为5,7-，求m n -的值. (2)、已知关于x 的方程260x kx +-=的一个根为3，求k 的值和方程的另一个根. (3)、已知关于x 的方程2240x x m ++=的两个根的和等于两个根的积，求m 的值. (4)、已知关于x 的一元二次方程220x mx --=①、若1x =-是方程的一个根，求m 的值和方程的另一根.②对于任意实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由.3、练习(1)、已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求下列式子的值(2)、已知关于x 的一元二次方程2(1)10x k x k --++=的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值.(3)、已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=，①、当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？②、设12,x x 是方程的两个实数根，且满足2211221x x x x ++=，求m 的值.。
九年级数学上册--解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案新版新人教版
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3．渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6,则求a及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系,这种关系比较复杂,是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝－b＋b2－4ac2a ,x2＝－b－b2－4ac2a.观察两式右边,分母相同,分子是－b＋b2－4ac与－b－b2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程,并填写表格:方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝0x2＋3x－4＝0x2－5x＋6＝0观察上面的表格,你能得到什么结论？(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p,q为常数,p2－4q≥0)的两根x1,x2与系数p,q之间有什么关系？(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1,x2与系数a,b,c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程,并填写表格:方程x1x2x1＋x2x1·x22x2－7x－4＝03x2＋2x－5＝05x2－17x＋6＝0小结:(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p,q为常数,p2－4q≥0)的两根x1,x2与系数p,q的关系是:x1＋x2＝－p,x1·x2＝q(注意:根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的方程,可以先将二次项系数化为1,再利用上面的结论．即:对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0) ∵a ≠0,∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ,x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程,写出下列方程的两根和与两根积:(1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程,检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1,x 2＝2－1) (2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734,x 2＝5－734)例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2,请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3,求另一根及k 的值．变式一:已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数,求k ；变式二:已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数,求k. 三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是:(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零． 四、作业布置1．不解方程,写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0(4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1,求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2,求另一根及b 的值.。
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册的21.2.4节，主要讲解了一元二次方程的根与系数的关系。
这一节内容是在学习了根的判别式、求根公式的基础上，进一步引导学生发现一元二次方程的根与系数之间的内在联系，培养学生的抽象概括能力。
通过这一节的学习，学生能够理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系，并能运用这一关系解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的概念、根的判别式和求根公式等知识有一定的了解。
但是，对于根与系数之间的关系，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，发现并理解根与系数之间的关系，提高他们的抽象概括能力。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数的关系，并能运用这一关系解决实际问题。
2.培养学生的抽象概括能力。
3.提高学生的合作交流能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数的关系。
2.教学难点：发现并理解根与系数之间的关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法和引导发现法进行教学。
通过提出问题，引导学生观察、思考、讨论，发现并理解根与系数之间的关系。
同时，通过合作交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关教学课件，展示一元二次方程的根与系数的关系。
2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾一元二次方程的求解方法，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用课件，展示一元二次方程的根与系数的关系，引导学生观察、思考，发现其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些有关根与系数的问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生运用根与系数的关系解决问题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：在实际问题中，如何运用根与系数的关系来求解问题？让学生发挥潜能，提高解决问题的能力。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标【知识与技能】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.一元二次方程的求根公式是什么？（出示课件2）学生口答：2(40).2b b ac x b ac a-±=-≥2.如何用判别式b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？学生口答：对一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a≠0).b 2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b 2-4ac<0时,方程无实数根.想一想：方程的两根x 1和x 2与系数a、b、c 还有其他关系吗？（二）探索新知探究根与系数的关系填表，观察、猜想（出示课件4）方程x 1,x 2x 1+x 2x 1·x 2x 2-2x +1=0x 2+3x -10=0x 2+5x +4=0你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.出示课件5：若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？教师引导：归纳结论：（出示课件6）如果关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则:x1+x2=-p,x1·x2=q.教师问：如果方程二次项系数不为1呢?（出示课件7）方程x1,x2x1+x2x1·x22x2-3x-2=03x2-4x+1=0上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.①用语言叙述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.师生共同归纳：（出示课件8）一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=-ba ,x1·x2=ca.这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.请同学用求根公式证明.（一生板演）教师问：在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？强调：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.出示课件9,10：例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0.学生思考后，共同解答如下：解：⑴这里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1·x2=6.⑵这里a=2,b=-3,c=-2.Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=32,x1·x2=-1.出示课件11：不解方程，求方程两根的和与两根的积：①x2+3x-1=0；②2x2-4x+1=0.学生自主思考并解答.解：⑴x1+x2=-3,x1·x2=-1.⑵原方程可化为：2122=+-xxx1+x2=2,x1·x2=1 2 .出示课件12：例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.学生思考后，共同解答如下：解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2.所以：x1·x2=2x2=6, 5-即：x2=3, 5-由于x1+x2=2+3 ()5-=,5k-得：k=－7.答：方程的另一个根是3,5-k=－7.出示课件13：已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.学生自主思考并解答.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0.解这方程，得k=-2.由根与系数关系，得x1·2＝3k,即2x1＝－6.∴x 1＝－3.答：方程的另一个根是－3,k 的值是－2.出示课件14：例3不解方程，求方程2x 2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.师生共同分析：将所求代数式分别化为只含有x 1+x 2和x 1·x 2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.师生共同解答如下：解：根据根与系数的关系可知：121231,.22+=-⋅=-x x x x ()()22212112212,∵+=++x x x x x x ∴()2221212122+=+-x x x x x x 21331;4222⎛⎫⎛⎫=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212121132.2312+⎛⎫⎛⎫+==-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭x x x x x x 出示课件15：设x 1,x 2为方程x 2-4x+1=0的两个根，则:⑴x 1+x 2=,(2)x 1·x 2=,(3)=-221)(x x ,(4)=+2221x x .学生自主解答后，口答：⑴4；⑵1；⑶12；⑷14.出示课件16：例4设x 1，x 2是方程x 2-2(k-1)x+k 2=0的两个实数根，且x 12+x 22=4，求k 的值.教师分析：将x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2，代入x 12+x 22=4可求出k 值.此时需用Δ=b 2-4ac 来判断k 的取值，这是本例的关键.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k -1）2-4k 2≥0即-8k +4≥0.∴.21≤k 由根与系数的关系得x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2.∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4(k -1)2-2k 2=2k 2-8k +4.由x 12+x 22=4，得2k 2-8k+4=4,解得k 1=0,k 2=4.经检验，k 2=4不合题意，舍去.师生共同总结归纳如下：（出示课件17）12111.x x +=1212;x x x x +2221212122.()2;x x x x x x +=+-12213.x x x x +221212x x x x +=2121212()2;x x x x x x +-=124.(1)(1)x x ++=1212()1;x x x x +++125.x x -==教师强调：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.出示课件18：当k 为何值时，方程2x 2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.学生自主思考并解答.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2，由根与系数的关系得x1+x2=12k+，x1x2=32k+.∴（12k+）2-4×32k+=1.解得k1=9,k2=-3.当k=9或-3时，由于Δ＞0，∴k的值为9或-3.（三）课堂练习（出示课件19-25）1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．﹣2B．1C．2D．02.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=,q=.4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.6.设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2).2112xxxx+7.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.8.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=1求m的值.参考答案：1.D2.32；-33.1；-24.解：将x =1代入方程中：3-19+m=0.解得m=16,设另一个根为x 1,则：1×x 1=16.3c a =∴x 1=16.35.解：(1)根据根与系数的关系12,x x k +=-121.2k x x -=得(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=1()14,2k k -+-+=解得：k=-7；（2）因为k=-7,所以127,x x +=12 4.x x =-则：222121212()()474(4)65.x x x x x x -=+-=-⨯-=6.解:根据根与系数的关系得：12124, 1.3b c x x x x a a +=-=-⋅==-（1）(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=44(-1)1;33-++=-（2）222211212121212123492x x x x x x x x x x x x x x +++===-（）-.7.解：设方程两根分别为x 1,x 2(x 1>x 2)，则x 1-x 2=1,由根与系数的关系，得,221k x x =+,2121=∙x x ∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1,∴1,21422=⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k ∴3,22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k ∵△＞0,∴=±k 8.解：(1)方程有实数根，24b acD =-＝（-2m ）2-4m （m -2）22448m m m=-+＝8m ≠0∴m 的取值范围为m＞0.(2)∵方程有实数根x 1,x 2，∴.22,2121mm x x x x -=⋅=+∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，∴1.2422=-⨯-m m 解得m=8.经检验m=8是原方程的解．（四）课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.（五）课前预习预习下节课（21.3）第1课时的相关内容。
人教版九年级上册数学教案：21.2.4一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2、过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
3、情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用教学难点：根与系数关系的发现及运用。
教学过程：一创设情境，激发探究欲望温故知新：1一元二次方程的一般式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)2一元二次方程的求根公式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0，则x=a acb b24 2-±-它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？导入：一元二次方程根与系数的关系二、合作交流，探究新知： 先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？猜想：如果：一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，那么：1x +2x = - ba 1x . 2x =c a一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =c a小试牛刀：下列方程中两根之和与两根之积各是多少？ 1 2 3 4强调.应注意的问题：1. 先化成一般形式，在确定a,b,c .2.当且仅当b 2-4ac ≥0时，才能应用根与系关系.3.要注意比的符号：两个根的和1x +2x = - ba比前面有负号，01522=--x x 05322=-+x x 0732=-x x 522=x两个根的积1x . 2x =c a比前面没有负号。
人教版九年级数学上册教案-21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1带教学反思
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系 【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－12D ．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n＝n ＋m mn ＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )A ．x 2－6x ＋8＝0B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014·山东烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.~。
人教版数学九年级上册教案21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》
人教版数学九年级上册教案21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版数学九年级上册第21.2章的一部分。
这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义和根的判别式的基础上进行学习的。
通过这部分内容的学习，学生将能够理解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这一关系来解决问题。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经具备了一定的数学基础，能够理解和运用方程的解法、一元二次方程的定义和根的判别式。
但是，对于一些学生来说，可能对于根与系数之间的关系还有一定的困惑，需要通过实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.能够运用根与系数之间的关系来解决问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：理解和运用根与系数之间的关系来解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导学生的思考，通过案例让学生理解和运用根与系数之间的关系，通过小组合作学习法培养学生的合作和沟通能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考一元二次方程的根与系数之间的关系。
例如，设计一个问题：一个农夫有一块土地，他想要种植两种作物，一种需要阳光充足，另一种需要阴凉的环境。
如果土地的一边是阳光充足的地方，另一边是阴凉的地方，那么如何分配这两种作物的种植区域呢？2.呈现（15分钟）通过PPT课件呈现一元二次方程的根与系数之间的关系。
解释根的判别式、根与系数之间的关系，并通过示例来说明。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些实际问题，运用根与系数之间的关系来解决问题。
例如，设计一些关于土地分配、投资收益等问题，让学生分组讨论和解决。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题来巩固学生对一元二次方程的根与系数之间的关系的理解。
人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计
一元二次方程的根与系数的关系【教材分析】：本课是新人教版九上第15页，前面已经学习了一元二次方程的解法和根的判别式，是继续研究方程的根与系数的关系，这节知识对后续学习二次函数有很大的帮助，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用。
它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时，让学生体会公式基本内容，在头脑中形成积极印象很关键。
教学目标：1、理解根与系数关系的推导过程；2、掌握不解方程，应用根与系数关系解题的方法；3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路 教学重点：应用根与系数关系解决问题； 教学难点：根与系数关系的推导过程教学流程：预习，探究新知，分组讨论，矫正反馈，当堂测评，反思 教学过程： 一、预习：1、求出下列方程的两根，计算两根的和与两根的积，并观察两根的【设计意图】通过学生解方程求出方程的根，进一步熟悉一元二次方程的解法，同时，三个一元二次方程系数都为1,让学生从特殊的方程中观察两根的和、两根的积与方程的各项系数的关系。
让学生有一个初步的认识。
二、探究新知：x 1和x 2 是一元二次方程 ax 2 +bx +c =0 (a ≠0 )的两根，根据求根公式可知：a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=请同学们求出21x x +与21x x •的值，并观察它们与方程各项系数有何关系。
方程的两根与系数的关系：ab x x -=+21，ac x x =21分组讨论：1、两根的和与两根的各相同点与不同点是什么？ 2、特别要注意什么？【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x 1和x 2的值，接下来将字母系数表示的x 1和x 2的值代入相应的代数式x 1+x 2 和x 1x 2 得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀. 例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：（1）01562=--x x ；（2）09732=-+x x ；（3）2415x x =-学生分组讨论：怎样求出两根的和与积，分别是多少？最后教师板书过程。
人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程根与系数的关系教案
一元二次方程根与系数的关系教案教材出处：义务教育课程标准实验教科书（人教版版）23.3实践与探索第2课时根与系数的关系。
教学目标：1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。
2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。
3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。
教学重点：根与系数的关系的推导、运用。
教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。
教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。
教学过程：一、问题情境，导入新课： 解下列方程，并填写表格：观察上面的表格，你能得到什么结论？（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 之间有什么关系？（2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？二、探究新知： 1、根与系数关系：（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 的关系是：12x x p +=-， 12x x q =。
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。
并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？（2）形如20(0)ax bx c a ++=≠的方程，如果240b ac -≥，两根为1x ，2x ，引导学生利用上面的结论猜想1x ，2x 与各项系数a 、b 、c 之间有何关系。
然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程20(0)ax bx c a ++=≠ ∵0a ≠∴20b cx x a a++=∴12b x x a +=-，12cx x a=对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。
人教版九年级上册数学21.2.4《解一元二次方程的根与系数的关系》 教 案
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1．理解并掌握根与系数的关系：1212b c x x x x a a+=-⋅=，． 2．会用根与系数的关系、根的判别式解决问题． 二、教学重点及难点重点：一元二次方程根与系数关系的推导过程．难点：利用一元二次方程根与系数的关系解题．三、教学用具：多媒体课件。
四、相关资源《小明与小青悄悄话》动画，。
五、教学过程【创设情景，提出问题】前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下：小明：小青，我有一个秘密，你想听吗？小青：什么秘密？小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？小青：哦？小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程212350x x -+=的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄还是方程2352000x x --=的两根的和呢．【合作探究，形成知识】问题1 从因式分解法可知，方程（x －x 1）（x －x 2）＝0（x 1，x 2为已知数）的两根为x 1，x 2，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式，你能看出x 1，x 2与p ，q 之间的关系吗？ 师生活动：让学生分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现：（1）用语言叙述规律：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．（2）把方程（x －x 1）（x －x 2）＝0的左边展开，化成一般形式，得方程x －（x 1＋x 2）x ＋x 1x 2＝0这个方程的二次项系数为1，一次项系数p ＝－（x 1＋x 2），常数项q ＝x 1x 2.于是，上述方程两根的和、积与系数的关系为：（x 1＋x 2）＝－p ，x 1x 2＝q ．问题2 一般的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？你能利用求根公式推导根与系数的关系吗？师生活动：学生探讨，试写推导过程，教师巡视后给出规范推导过程．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根是：12x x =．由此可得122222b b b b x x a a a a---+-+=+==-，22122()(4)224b b b b ac c x x a a a a---+---===． （1）用语言叙述规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．（2）()200ax bx c a ++=≠的两根是12x x ，，用式子表示规律：1212b c x x x x a a+=-=，．归纳总结：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．3．例题分析：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12x x ，的和与积：（1）26150x x --=；（2）23+790x x -=；（3）2514x x -=．师生活动：让学生根据根与系数的关系，独立解决上述问题．教师巡视学生的掌握情况，指导困难学生．解：（1）()12126615x x x x +=--==-，．（2）121279333x x x x -+=-==-，．（3）方程化为24510x x -+=．1212551444x x x x -+=-==，． 教师引导：只要把一元二次方程化成一般式，找对a ，b ，c ，代入韦达定理即可求解． 例2 已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一个根及k 的值．师生活动：找一名学生上黑板解答，其他同学交流做法，老师巡视辅导．针对在黑板上解答的学生出现的问题，进行讲解．解：设已知方程的另一个根是x 1，由题意可得19(3)2x --⋅=． 所以132x =．故方程的另一个根为32． 所以133322k x --+=-+=． 解得k =3．教师引导：本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根与系数的关系应该掌握的内容．此外，还可以让学生应用多种方法解决问题，进一步培养学生的发散思维．【练习巩固，综合应用】1．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程230x x a -+=的两个解,若(m －1)(n －1)=－6,则a 的值为（ ）．A ．－10B ．4C ．－4D ．102．设a b ，是方程220150x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）． A ．2 012 B ．2 013 C ．2 014 D ．2 0153．若方程2310x x --=的两个根为12x x ，，则1211x x +的值为（ ）． A ．3 B ．－3 C ．13 D ．13- 4．已知x =1是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为 ，a = ．5．求下列方程两个根x 1，x 2的和与积：（1）23210x x -+=； （2）2550x x +-=；（3）256x x x +=+； （4）2758x x -=+．6．已知关于x 的方程260x x k -+=的两个根是m 和n ，且3m ＋2n =20，求k 的值．7．已知12x x ，是一元二次方程2310x x --=的两个实数根,求22121240x x x x ++=的值．目标检测答案1．C 2．C 3．B 4．2，-35．解：（1）方程化为2380x x --=．1212(3)38x x x x +=--==-，．（2）121215155x x x x -+=-==-，． （3）方程化为2460x x --=．1212(4)46x x x x +=--==-，．（4）方程化为27130x x --=．12121113777x x x x -+=-==-，． 6．解：∵m ，n 是方程的两个根， ∴6 3220 m n mn k m n +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，①，②．③①×2－③，得－m =－8．∴m =8．将m =8代入①，得n =－2．将m =8，n =－2代入②，得k =8×(－2)=－16．∵当k =－16时，∆=36－4k =100＞0，∴k =－16．7．根据一元二次方程根与系数的关系可知121231x x x x +==-，．所以222121212124()2927x x x x x x x x ++=++=-=．六、课堂小结1．一元二次方程根与系数的关系两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．2．数学语言表述若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是12x x ，，则 1212b c x x x x a a+=-=，．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计21.2解一元二次方程——21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1．一元二次方程根与系数的关系2．数学语言表述。
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的相关要求，本学期所学教材所涉猎 的基础知识、基本技能为切入点，贯 彻 “以学生为本， 关注每一位学生的成长” 的教育思想，旨在全面培养学生的数 学素养。 二、命题出发点： 面向全体学生，关 注不同层面学生的认知需求，以激励、 呵护二年级学生学习数学的积极性， 培养学生认真、严谨、科学的学习习 惯，促进学生逐步形成良好的观察能 力、分析能力及缜密的逻辑思维能力， 培养学生学以致用的实践能力为出发 点。 三、命题原则： 以检验学生基础知 识、基本技能，关注学生的情感为主 线，紧密联系生产、生活实际，强调 数学知识来源于生活，又回馈于生活； 有效收猎学生已有的数学记忆，引发 学生的创新意识，不出“偏”、“怪”题， 努力让不同层面学生的思维均不同程 度的发展。
系和根的情况的综合应用 已知 x1、x2 是一元二次方程(a－ 2 6)x ＋2ax＋a＝0 的两个实数根． (1)是否存在实数 a， 使－x1＋x1x2＝4＋ x2 成立？若存在，求出 a 的值；若不存在， 请你说明理由； (2)求使 (x1＋ 1)(x2＋ 1)为负整数的实 数 a 的整数值． 解 ： (1)根据题意， 得Δ＝(2a)2－4×a(a －6)＝24a≥0.解得 a≥0.又∵a－6≠0， ∴a 2a ≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－ ， a－6
教学过程中， 强调一元二次方程的根与系数 的关系是通过求根公式得到的， 在利用此关 系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0 这 个前提条件.
数学质量检测试题命题说明 一、命题指导思想： 依据《小学数学 课程标准》及《小学数学教学大纲》
x1x2＝
a a－6
.由－x1＋x1x2＝4＋x2 得 x1＋x2＋
2a a ＋4＝ ，解得 a＝24. a－6 a－6 2a a 经 检 验 a＝ 24 是 方 程 － ＋ 4＝ 的 a－6 a－6 解．即存在 a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2 成 立． 2a (2)原式＝ x1＋ x2＋ x1x2＋ 1＝－ ＋ a－6 a 6 ＋1＝ 为负整数，则 6－a 为－1 或 a－6 6－a －2，－3，－6.解得 a＝7 或 8，9，12. 三、板书设计 4＝x1x2，∴－