2016届高考数学(理)押题精练课件：专题【27】转化与化归思想(人教版)
高考数学思想04 运用转化与化归的思想方法解题(精讲精练)(解析版)
思想04运用转化与化归的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a =，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613c DE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.2．（2020·全国·统考高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=，222222()()2()4a cb d ac bd ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+ ,由已知122OZ OZ OP ==== ,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==3．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】1623【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．【解析】（1）由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）[方法一]：判别几何关系依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,3AC AE CE BE ====，由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅ ，所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于12AFC S AC EF =⋅⋅ ，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得32EF =，所以223131,2222DF BF DF ⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以34BF BD =过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==，所以34FH =，所以111332333244F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯=[方法二]：等体积转换AB BC = ，60ACB ∠=︒，2AB =ABC ∴∆是边长为2的等边三角形，BE ∴=连接EFADB CDB AF CFEF ACBED EF BD ∆≅∆∴=∴⊥∴∆⊥∆ 在中，当时，AFC面积最小222,,2,,BED EF AD CD AD CD AC E AC DE BE BD BE EDBE DE EF BD BD ⊥==∴+=∴⊥⋅⊥∆== 为中点DE=1若在中，32113222BEF BF S BF EF ∆==∴=⋅=⋅11233F ABC A BEF C BEF BEF V V V S AC ---∆∴=+=⋅=⋅【方法技巧与总结】将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．【核心考点】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题【典型例题】例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=32，cos B，∠ADB=23π．(1)求AD的长；(2)求△ADE的面积．【解析】（1）在△ABD中，∵cos B=(0,)Bπ∈，∴sin7B===，∴1sin sin()()7214 BAD B ADB∠=+∠⋅-=，由正弦定理sin sinAD BDB BAD=∠，知1·sin72sin14BD BADBAD==∠．（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，即29422cos3DC CDπ=+-⨯⨯，∴DC2-2DC-5=0，解得1DC=．∴11sin2(12222 ADCS AD DC ADC=⋅∠=⨯⨯⨯=，从而12ADE ADC S S == 例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ､F 分别是AC ､BC 的中点，60EPF ︒∠=，则球O 的表面积为____________.【答案】6π【解析】由于P -ABC 为正三棱锥，故EP FP =，从而△EPF 为等边三角形，且边长EF =1.由此可知侧面PAC 的高PE =1，故棱长PA =.的正方体可知，P -ABC，从而表面积为6π.故答案为：6π．例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a ，b 满足ab a b =+，则2a b +的最小值为____________．【答案】3+【解析】0,0a b >>，ab a b =+，则111a b+=，1122(2)()333a ba b a ba b b a +=++=++≥+=+当且仅当2a b b a =，即1a =1b =时等号成立，所以2a b +最小值是3+故答案为：3+例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且16AD BC = ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ＝，则·DM DN 的最小值为___________【答案】132【解析】16AD BC = ，则1AD = ，如图，建立平面直角坐标系，32A ⎛ ⎝⎭，52D ⎛ ⎝⎭，(),0M x ，()1,0N x +，5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，[]0,5x ∈，22531527422244DM DN x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22132x =-+，当且仅当2x =时，取得最小值132，所以DM DN ⋅ 的最小值为132.故答案为：132例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）AB ．6πC ．24πD．【答案】A【解析】设2PA PB PC x ===，E ，F 分别为PA ，AB 中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC 为边长为2的等边三角形，CF =，又90CEF ∠=︒，CE ∴=12AE PA x ==，在AEC △中，由余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，∴D 为AC中点，又1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，解得x =，PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，PA ∴，PB ，PC 两两垂直，即三棱锥-P ABC 是以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的一部分；所以球O的直径2R ==R =，则球O的体积344338V R =π=π⨯，故选：D.核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题【典型例题】例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【答案】(0【解析】如图所示，延长AD ，BC 交于E ，平行移动CD ，当C 与D 重合于E 点时，AD 最长，在ABE 中，75A B ∠=∠= ，30E ∠= ，AB =2，由正弦定理可得sin sin AB AE E B =∠∠，即o o 2sin 30sin 75AE =，()o o o o o o o sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30=+=+解得AE 平行移动CD ，到图中AF 位置，即当A 与D 重合时，AD 最短，为0.综上可得，AD长度的取值范围为(0+故答案为：(0+.例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥-P ABC 中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，-P ABC 的体积为2V ，则12V V =____________【答案】14【解析】由已知1.2EAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点D 到平面PAB 距离为12h ，所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅==例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =4，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为23，那么点P 到平面ABC 的距离为___________.【答案】22【解析】设P 在平面ABC 内的射影为O ，则OP ⊥平面ABC ，由于,,AC BC OC ⊂平面ABC ，所以,,OP AC OP BC OP OC ⊥⊥⊥，过O 作,OE AC OF BC ⊥⊥，垂足分别为,E F ，由于90ACB ∠=︒，所以四边形OECF 是矩形.由于,,OE OP O OE OP ⋂=⊂平面POE ，所以CE ⊥平面POE ，PE ⊂平面POE ，所以CE PE ⊥；同理可证得CF PF ⊥.所以()224232CE CF ==-=，222222OC =+=，()2242222OP =-=，即P 到平面ABC 的距离是22.故答案为：22例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设m ，n ，t 为正数，且345m n t ==，则（）A ．m n t <<B ．n m t <<C ．n t m <<D ．t n m <<【答案】D【解析】令345m n t k ===，则1k >，3log m k =，4log n k =，5log t k =，在平面直角坐标系中画出3log y x =，4log y x =，5log y x =的图象及直线x k =，结合图象知t n m <<．方法二令345m n t k ===，则1k >，易得31log log 3k m k ==，41log log 4k n k ==，51log log 5k t k ==，又当1k >时，函数()log k f x x =在()0,+∞上单调递增，且1345<<<，∴0log 3log 4log 5k k k <<<，∴111log 3log 4log 5k k k >>，即t n m <<．故选：D.核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题【典型例题】例10．（2023春·北京·高三校考）已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当()0,∞+时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式35()44f x x ≥+的x 的取值范围是（）A ．(](],20,1-∞-⋃B ．[)(]2,00,1-⋃C ．(](],30,1-∞-D ．[)(]3,00,1- 【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()f x 的图像关于原点对称，由此画出函数()f x 在()(),00,∞-+∞U 上的图象，在同一坐标系内画出()3544g x x =+的图象，因为()12f =，()31f =，所以()()331f f -=-=-，又()3511244g =⨯+=，()()3533144g -=⨯-+=-，所以()f x 的图象与()g x 的图象交于()1,2和()3,1--两点，如图，所以结合图像可知，35()44f x x ≥+的解集为(](],30,1-∞- .故选：C.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b - 的最小值是A 1B1C ．2D ．2【答案】A【解析】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1 1.选A.例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数()e x f x x ax a =-+，其中1a >，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（）A ．(21,2e ⎤⎦B ．33e 1,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．343e 4e ,23⎛⎤⎥⎝⎦D ．323e 2e ,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】令()e ,()x g x x h x ax a ==-，1a >，显然直线()h x ax a =-恒过点(1,0)A ，则“存在唯一的整数0x ，使得()00f x <”等价于“存在唯一的整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方”，(1())e x x g x +'=，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，则当=1x -时，min 1()(1)e g x g =-=-，当0x ≤时，1()[,0]eg x ∈-，而()(0)1h x h a ≤=-<-，即当0x ≤时，不存在整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，当0x >时，过点(1,0)A 作函数()e x g x x =图象的切线，设切点为(,e ),0t P t t t >，则切线方程为：e (1)e ()t t y t t x t -=+-，而切线过点(1,0)A ，即有e (1)e (1)t t t t t -=+-，整理得：210t t --=，而0t >，解得(1,2)t =∈，因(1)e 0(1)g h =>=，又存在唯一整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点(2,(2))g 在直线()h x ax a =-下方，因此有23(2)(2)2e (3)(3)3e 2g h a g h a <⎧<⎧⇔⎨⎨≥≥⎩⎩，解得323e 2e 2a <≤，所以a 的取值范围是323e(2e ,]2.故选：D核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形ABCD ,1AB =,2BC =,将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中A ．存在某个位置,使得直线AB 和直线CD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AC 和直线BD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 和直线BC 垂直D ．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直【答案】A【解析】如图所示：作CF BD ⊥于F ，AE BD ⊥于E翻折前AC =AC =222AC AB BC AC AB +=∴⊥，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面ACD ，⊆CD 平面ACD AB CD ∴⊥，故A 正确D 错误；若AC 和BD 垂直，BD CF BD ⊥∴⊥ 平面ACF ，AF ⊆平面ACF BD AF ∴⊥，不成立，故B 错误；若AD 和BC 垂直，BC CD ⊥故BC ⊥平面ACD ，AC ⊆平面ACD ，AC BC ∴⊥，因为AB BC <，故AC BC⊥不成立，故C 错误；故选：A例14．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d ，2d =≤即3k 2≤4k ，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.例15．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.【答案】0.728【解析】因为1A ，2A 同时不能正常工作的概率为(10.7)(10.7)0.09--=，所以1A ，2A 至少有一个正常工作的概率为10.090.91-=，所以系统正常工作的概率为0.80.910.728⨯=，故答案为：0.728例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统1N ，2N ．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N 1正常工作的概率为___________，系统2N 正常工作的概率为___________．【答案】0.6480.792【解析】分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件()080P A =．，()0.90P B =，()0.90P C =．因为事件A 、B 、C 是相互独立的，系统N 1正常工作的概率为()()()0.800.900.900.6)48(P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=⋅⋅．系统2N 正常工作的概率()1(()1()()P A P B C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅-⋅⎣⎦⎣⎦08010.100.100.800.990.7[92]=⨯-⨯=⨯=．．故答案为：0.648；0.792.【新题速递】一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知,x y R ∈满足()()()()3312021113202131x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，若存在实数0t >，使得不等式kt x y t-≤+成立，则实数k 的最小值为（）A ．-4B ．-1C ．1D ．4【答案】A【解析】构造函数()32021f x x x =+，()f x 为奇函数，且在R 上单调增，由已知可知()()()1133f x f y f y -==--=-+，13x y -=-+，即4x y +=，所以，存在实数0t >，使得不等式4kt t-≤成立，24,k t t ≥-又244t t -≥-，4k ∴-≥.故选：A.2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，G 是椭圆C 的左顶点，点M 在过G12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．13C．111+D【答案】D【解析】由题知(),0G a -，所以直线GM的方程为()9y x a =+，因为12150F F M ∠=，所以直线2MF 的倾斜角为30 ，所以直线2MF的方程为)3y x c =-．联立))y x a y x c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得32a c x +=，)6a c y +=．),.623a c a c M ⎛⎫++∴ ⎪ ⎪⎝⎭因为12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=，所以2212MF F F c ==，即)2223426a c a c c c ⎤++⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得：1)a c =．所以椭圆C的离心率为c e a ==故选：D.3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数||1||22()21x x x f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于（）A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】依题意()||||1||||||22122()2212121x x x x x x x f x x +++++===++++，故令||()()221x xg x f x =-=+，所以||||()()2121x x x x g x g x ----===-++，所以函数()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，故max min ()2()20f x f x -+-=，所以max min ()()4f x f x +=.故选：C.4．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列{}n a 是公比不等于1±的等比数列，若数列{}n a ，{(1)}n n a -，2{}n a 的前2023项的和分别为m ，6m -，9，则实数m 的值（）A ．只有1个B ．只有2个C ．无法确定有几个D ．不存在【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由11(1)(1)n n nn a q a ++-=--，2212n na q a +=可得：{(1)}n n a -为等比数列，公比为q -，2{}n a 为等比数列，公比为2q ，则()2023111a q m q-=-①，()()202320231111611a q a q m qq⎡⎤----+⎣⎦==-++②，()2404612191a q q -=-③，①×②得：()24046122161a q m m q --=--④，由③④得：2690m m -+=，解得：3m =，故实数m 的值只有1个.故选：A5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（）①已知点()()()4,00,00,3A B C ､､，则ABC 外接圆的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；②已知点()()1,01,0A B -､，动点P 满足2PA PB =，则动点P 的轨迹方程为2210103x y x +-+=；③已知点M 在圆22:9O x y +=上，()9,0P ，且点N 满足12MN NP =，则点N 的轨迹方程为22(3)4x y -+=.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】对于①，线段AB 的中垂线的直线方程为2x =，线段BC 的中垂线的直线方程为32y =，故圆心为32,2⎛⎫⎪⎝⎭52=，即圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故①正确；对于②，设(),P x y ，由2PAPB ==，整理可得2210103x y x +-+=，故②正确；对于③，设(),N x y ，()00,M x y ，则()9,NP x y =-- ，()00,MN x x y y =--，由12MN NP = ，则()()0019212x x x y y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即00392232x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M 在229x y +=上，223939222x y ⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得()2234x y -+=，故③正确.故选：D.6．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A．2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥（当且仅当122,2e e ==故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2100,δ.若X 在()85,115内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（）A ．2764B ．964C ．34D ．916【答案】A【解析】因为学生成绩服从正态分布()2100,δ，且()851150.5P X <<=，所以()851000.25P X <<=，()850.25P X <=，()3850.754P X ≥==，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是34，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是2233127C 4464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知M 为圆C ：()2212x y ++=上的动点，P 为直线l ：40x y -+=上的动点，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |D ．|PM |【答案】BD【解析】圆C ：()2212x y ++=得圆心()1,0C -,半径r =∵圆心()1,0C -到直线l ：40x y -+=得距离2d r ==>∴直线l 与圆C 相离A 不正确，B 正确；2PM PC r d r ≥-≥-=C 不正确，D 正确；故选：BD ．9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<，()f x 图像一个最高点是(,2)3A π，距离点A 最近的对称中心坐标为(,0)4π，则下列说法正确的有()A ．ω的值是6B ．(,1212x ππ∈-时，函数()f x 单调递增C ．1312x π=时函数()f x 图像的一条对称轴D ．()f x 的图像向左平移φ(0)φ>个单位后得到()g x 图像，若()g x 是偶函数，则φ的最小值是6π【答案】AD【解析】由题意可知，2A =±，134124T πππ-==，即3T π=，其中T 为()f x 的最小正周期，又因为2T πω=，所以6ω=，故A 正确；当2A =时，()2sin(6)233f ππϕ=⨯+=，由0ϕπ<<，可得2ϕπ=，此时()2sin(62cos 62f x x x π=+=，3(2cos 042f ππ==，满足题意；当2A =-时，()2sin(6)233f ππϕ=-⨯+=，由0ϕπ<<，则ϕ无解，综上所述，()2cos 6f x x =，从而()f x 是一个偶函数，故()f x 在(,1212ππ-上不单调，故B 错误；又因为1313(2cos(6021212f A ππ=⨯=≠=，所以1312x π=不是函数()f x 图像的一条对称轴，故C 错误；对于选项D:由题意可得，()2cos 6()2cos(66)g x x x φφ=+=+，若()g x 是偶函数，则6k φπ=，Z k ∈，即16k φπ=，Z k ∈，又因为0φ>，所以φ的最小值是6π，此时1k =，故D 正确.故选：AD.10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数32()23f x x x x =-+-，若过点(1,)P m -（其中m 是整数）可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的所有可能取值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】ABCD【解析】由题知'2()343f x x x =-+-，设切点为00(,())x f x ，则切线方程为32200000023(343)()y x x x x x x x +-+=-+--，将=1x -，y m =代入得32000243m x x x =+-+；令32()243g x x x x =+-+，则'2()6242(1)(32)g x x x x x =+-=+-，23x ∴>或1x <-时，'()0g x >；213x -<<时，'()0g x <，()g x ∴的极大值为(1)6g -=，极小值为237(327g =，由题意知37627m <<，又m 为整数，2,3,4,5m ∴=.故选：ABCD.11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知1F 、2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点，点A 是椭圆C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．1210AF AF +=B ．椭圆C 的离心率为45C ．存在点A 使得12AF AF ⊥D ．12AF F △面积的最大值为12【答案】AD【解析】由椭圆的标准方程，得5a =，4b =，3c =，且1(3,0)F -，2(3,0)F ；对于A ：由椭圆的定义，知12210AF AF a +==，即选项A 正确；对于B ：椭圆C 的离心率35c e a ==，即选项B 错误；对于C:设(,)A m n ，则2212516m n +=，若12AF AF ⊥，则210F A A F ⋅= ，则2(3)(3)0m m n -++=，即229m n +=，联立2222912516m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得21759m =-（舍）即该方程组无解，即不存在点A 使得12AF AF ⊥，即选项C 错误；对于D ：当点A 为上、下顶点时，12AF F △的面积取得最大值，即()12max 12122AF F S c b bc =⨯⨯==△，即选项D 正确.故选：AD.12．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①,()()x R f x f x ∀∈-=；②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-；③(1)0f -=，下列选项成立的是（）A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(3)f x f -<，则(4,)x ∈+∞C ．若()0xf x <，(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞D ．,x R M R ∀∈∃∈，使得()f x M【答案】ACD 【解析】由①x ∀∈R ，()()f x f x -=，得()f x 为偶函数，②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-，得()f x 在(0,)+∞上单调递减，(4)(4)(3)f f f ∴-=<，故A 正确；(1)(3)f x f -<即13x ->或13x -<-，解得4x >或<2x -，故B 错误；由(1)0f -=，得(1)0f =，若()0xf x <，则()00f x x >⎧⎨<⎩或()00f x x <⎧⎨>⎩，解得(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞，故C 正确；由()f x 为R 上的偶函数，在(0,)+∞单调递减，在(,0)-∞单调递增，又因为函数()f x 的图象是连续不断的，所以(0)f 为()f x 的最大值，所以x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M ，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥A BCD -中，底面边长与侧棱长均为a ，点M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且2=MB AM ，12CN ND =，则MN 的长为______．【答案】3a 【解析】 三棱锥A BCD -底面边长与侧棱长均为a ，∴三棱锥A BCD -各个面均为等边三角形，MN MB BC CN =++ ()()2133AB AC AB AD AC =+-+- 112333AB AD AC =-++ ，22112333MN AB AD AC ∴=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 222124414999999AB AD AB AB AC AC AD AD AC =-⋅-⋅+⋅++ 222222112214999999a a a a a a =--+++259a =，3MN a ∴= ，即MN =．.14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）若函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m 的值可以是__________（写出一个满足题意m 的值即可）．【答案】6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.【解析】因为函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，令3z x π=+，由0x m ≤≤，得，333x m πππ≤+≤+，即33z m ππ≤≤+，原命题等价于，函数sin y z =的图像在,33m ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上恰好有一个点的纵坐标为1，所以5,322m πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，即5232m πππ≤+<，解得1366m ππ≤<.故答案为：6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.15．（2023春·河北石家庄·高三石家庄外国语学校校考）已知定义域为R 的函数()11221x f x =-++则关于t 的不等式()()222210f t t f t +<－－的解集为________.【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】函数()11221x f x =-++的定义域为R.因为()1112221221x x x f x --=-+=-+++，所以()()1111110221221x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-+=-++-+=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数.因为2x y =为增函数，所以121x y =+为减函数，所以()11221x f x =-++在R 上为减函数.所以()()222210f t t f t －＋－＜可化为()()()22222112f t t f t f t －＜－－＝－.所以22212t t t －＞－，解得：1t ＞或13t ＜－.故答案为：()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.16．（2023春·湖南长沙·高三宁乡一中校考）过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】设切点坐标为(),e t t a ，e ,e x x y a y a '==，故斜率为e t a ，切线方程为()e e t t y a a x t -=-，代入()2,e P 得()e e e 2t t a a t -=-，整理得()e 3e t t a-=-，构造函数()()3e t f t t =-，()()2e t f t t '=-⋅，所以()f t 在区间()()(),2,0,f t f t '-∞<递减；在区间()()()2,,0,f t f t '+∞>递增.所以()f t 在2t =时取得极小值也即是最小值()22e f =-，当3t <时，()0f t <，当3t >时，()0f t >，要使过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则2e 1e 0,ea a --<<>，所以a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭17．（2023春·黑龙江绥化·高三校考）已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(2,1)，则||||PQ PF +的最大值为________．【答案】4【解析】由22:143x y C +=可知2a =，设椭圆右焦点(1,0)F '，则24PQ PF PQ a PF QF ''+=+-≤+44==当且仅当P ，Q ，F '共线时且当P 在QF '的延长线上时等号成立．||||PQ PF ∴+的最大值为4故答案为：4+。
【高优指导】2016届高考数学二轮复习 22 转化与化归思想课件 文
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
特殊与一般的转化
思考:什么情况下进行特殊与一般的转化?
提示:对特殊情况或简单情形进行观察、 分析,发现问题中特殊的数 量或关系结构或部分元素,然后推广到一般情形,以完成从特殊情形的 研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.有的具有特 殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题.
专题25 转化与化归思想
-2能力目标解读 热点考题诠释
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离 不开转化与化归,如未知向已知的转化、 新知识向旧知识的转化、 复杂问题 向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题 的转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透 到所有的数学教学内容和解题过程中.高考中主要考查以下几方面: (1)常量与变量的转化:如分离变量,求范围等. (2)数与形的互相转化:若解析几何中斜率、函数中的单调性等. (3)数学各分支的转化:函数与立体几何、向量与解析几何等的转化.
所以,g(0)=t+3 是 g(x)的极大值,g(1)=t+1 是 g(x)的极小值.
-9能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3 4
当 g(0)=t+3≤0,即 t≤-3 时,此时 g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别 至多有 1 个零点,所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(1)=t+1≥0,即 t≥-1 时,此时 g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别 至多有 1 个零点,所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(0)>0,且 g(1)<0,即-3<t<-1 时,因为 g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0, 所以 g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有 1 个零点.由于 g(x)在 区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以 g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有 1 个零点. 综上可知,当过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时,t 的取值 范围是(-3,-1).
高考数学复习 专题一 第四讲 转化与化归思想课件
|AB| |MN|
＋
|MN| |AB|
的
范围是________．
[思路点拨] (1)由于条件中△ABC的三边只需满足a＋c＝3b
即可，因此可对a，b，c取特值，即选择特殊的三角形处理．
(2)由于题目条件中过点P(－1,1)可作无数对互相垂直的直
线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题．
ppt精选
8
[解析] (1)取边长a，b，c分别为4,3,5的直角三角形，易求tan
A2＝12，tan C2＝1，所以tan A2·tan C2＝12.
(2)设
|AB| |MN|
＝t，考虑特殊情况：当AB垂直OP时，MN过O，
|AB|最小，|MN|最大，所以t最小＝
2 2
，t最大＝
2
.所以t∈
22，
2
.
又因为t＋1t ≥2
t·1t ＝2，所以t＋1t ∈2，322.
[答案]
(1)C
本问题．
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形
式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，
以达到化归的目的．
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证
明特殊化后的问题的结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于
[答案]
(1)2
10 5
(2)(－∞，－8]
ppt精选
15
等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
高考数学复习考点知识讲解与专项练习26---转化与化归思想
热点题型探究
热点 1 特殊与一般的转化
例 1 (1)(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若 ak＋1＋ak＋2＋ ＋ak＋10＝ 215－25，则 k＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 C
解析 在等式 am＋n＝aman 中，令 m＝1，可得 an＋1＝ana1＝2an，∴aan＋n 1＝2，∴数列{an} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n.∴ak＋1＋ak＋2＋ ＋ak＋10＝
时，g(x)>0.h(x)＝kx－2，恒过(0，－2)，要想在(a，b)内，g(x)>h(x)，且(a，b)中恰有两个整
6 / 14
g（2）＞h（2）， 数，必须要满足以下两个条件： g（3）≤h（3） ⇒
kk≥＜ee1132＋＋231，⇒e13＋23≤k＜e12＋1，故选
C.
－x3＋3x2＋2，x≥0，
1．已知函数 f(x)＝x＋(2－kx)ex(x>0)，若 f(x)>0 的解集为(a，b)，且(a，b)中恰有两个整
数，则实数 k 的取值范围为( ) A． －∞，e12
B．
1112 e4＋2，e3＋3
C． e13＋23，e12＋1
D． e12＋1，1e＋2
答案 C 解析 f(x)＝x＋(2－kx)ex>0⇒x>(kx－2)ex⇒exx>kx－2，设 g(x)＝exx(x>0)，h(x)＝kx－2，问
→
→
→→
所示的平面直角坐标系．则 M(12，6)，N(8，8)，所以AM＝(12，6)，NM＝(4，－2)，所以AM·NM
＝12×4＋6×(－2)＝36，故选 C.
专题七讲分类讨论思想、转化与化归思想课件理
物理中的应用实例
分类讨论思想
在物理学中，分类讨论思想同样有着广泛的应用。例如，在研究物体的运动时， 可以根据物体的运动状态（静止、匀速直线运动、变速运动）进行分类讨论；在 研究电路时，可以根据电路的连接方式（串联、并联）进行分类讨论。
转化与化归思想
在物理学中，转化与化归思想的应用也很多。例如，在研究能量守恒定律时，可 以将复杂的能量转化过程转化为简单的能量计算；在研究力学问题时，可以将复 杂的受力分析转化为简单的力矩平衡问题。
在分类讨论中，需要明确分类的标准 和原则，将问题划分为具有相同性质 的子问题，然后逐一分析、解决。
分类讨论思想的重要性
分类讨论思想能够使问题更加清 晰、具体，有助于深入理解问题
的本质。
通过分类讨论，可以将复杂问题 分解为简单问题，降低问题的难
度，提高解决问题的效率。
分类讨论有助于发现新的解题思 路和方法，促进数学思维的发展
在物理、化学等学科中，转化与化归思想同样适用，如将复杂物理现象转化为数学 模型，化学反应方程式的配平等。
在生活中，转化与化归思想也有很多应用，如将复杂问题分解为多个简单问题，将 繁琐事务整理为有序的工作流程等。
如何培养转化与化归思想
培养转化与化归思想需要多做练习， 通过不断尝试和总结，提高自己的思 维能力和解决问题的能力。
04 分类讨论思想与转化与化 归思想的综合应用
综合应用的步骤和方法
明确问题
首先需要明确问题的类型和涉 及的知识点，确定是否需要采 用分类讨论或转化与化归思想
。
制定策略
根据问题的特点，制定合适的 分类标准或转化途径，将复杂 问题分解为若干个简单问题或 等价问题。
实施解决
对分类后的子问题进行逐一解 决，或对转化后的等价问题进 行求解，注意保持逻辑严密和 推理准确。
高考数学(理)二轮专题复习课件专题一第2讲热点2转化与化归思想
[变式训练] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，则1c＋oscAos＋AccoossCC ＝________．(导学号 54850008)
解析：令 a＝b＝c，则△ABC 为等边三角形， 且 cos A＝cos C＝12，
代入所求式子，得1c＋oscAos＋AccoossCC＝1＋12＋12×12 12＝45. 答案：45
则 h′(x)＝1－1x＝x－x 1，
当 h′(x)＜0 时，0＜x＜1；当 h′(x)＞0 时，x＞1， 故 h(x)在(0，1)上是减函数，在(1＋∞)上是增函数， 故 h(x)min＝h(1)＝1. 又 F(x)max＝1e＋12＜1， 故 F(x)＜h(x)，即f（xx）＋12＜x－f(x)．
A.－5，－130 C．(－5，－2)
B.－337，－5 D．(－5，＋∞)
(2)对于满足 0≤p≤4 的所有实数 p，使不等式 x2＋ px>4x＋p－3 成立的 x 的取值范围是________．
解析：(1)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若 g(x)在区间(t，
点
C
到
AB
的距离
|2－2－3| d＝ 5 ＝
35，
则阴影部分 D 的面积为 2×12× 5× 35＝3.
答案：(1)C (2)B
[规律方法] 1．一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特 殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的 一般规律，从而达到成批处理问题的效果． 2．对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目 提供的信息暗示答案是一个定值时，把题中变化的量用特 殊值代替，即可得到答案．
角度 1 特殊与一般的转化
[例 4] (1)过抛物线 y＝ax2(a＞0)的焦点 F，作一直
3-27转化与化归思想
数学（理） 第25页
新课标· 高考二轮总复习
3π 10 【探究 2】 已知 <α<π，tanα＋cotα＝－ . 4 3 (1)求 tanα 的值； α α 2α 5sin ＋8sin cos ＋11cos －8 2 2 2 2 (2)求 的值． π 2sin α－ 2 分析： (1)将已知的 tanα 与 cotα 表示的等式转化为用 tanα 表示的式子；(2)中转化为用 tanα 表示的式子． 求出tanα → 转化为用tanα表示的式子 → 得2式的值
→ PP ∴P1P2·→ 3＝6，P→ 2·→ 4＝4，P→ 2·→ 5＝0， 1 1P P1P 1P P1P P→ 2·→ 6＝－2. 1P P1P → PP ∴P1P2·→ 3＝6 最大，故选 A. 1
答案：A
数学（理） 第20页
新课标· 高考二轮总复习
点评：(1)本题采用的解析法是将平面几何问题转化 为解析几何问题的方法．其一般步骤是：①建立坐标系； ②设点的坐标与曲线方程； ③运算与推理； ④返回几何结 论． (2)解决此类问题常见的思路有两种：一是由数量积 公式求解；二是转化为坐标运算．
数学（理） 第28页
新课标· 高考二轮总复习
点评： 本题属于三角恒等变形求值问题， 将解题目标 向 tanα 转化，减少了变量个数，降低了次数，半角化为 了单角，即使目标简单化．
数学（理） 第29页
新课标· 高考二轮总复习
类型三
换元转化
【例 3】 已知 a∈R，求函数 y＝(a－sinx)(a－cosx) 的最小值． [分析] y＝(a－sinx)(a－cosx)＝a2－a(sinx＋cosx)＋
数学（理） 第23页
新课标· 高考二轮总复习
高三高考数学《转化与化归思想》专题复习PPT课件
(7) 类比法：类比是根据两个对象或两类事物间存在着相同或不同 的属性，联想到另一类事物也可能具有某种属性的思想方法， 一般由特 殊向一般类比，抽象向具体类比，低维向高维类比，平行类比； (8) 特殊化法：将一般问题特殊化，从特殊问题的解决中，寻找一 般问题的解题策略； (9) 一般化方法：有时问题的本质特征可能被具体问题所掩盖，这 时应把特殊问题一般化，寻找解题思路； (10)加强命题法：即把命题结论加强为原命题的充分条件； (11)正与反的转化； (12)函数与方程、不等式之间的转化； (13)空间与平面之间的转化； (14)整体与局部的转化等等．
2
2
1 x 3 又 ( x 2 ) 1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
12 11 函数 t ( x ) 在 [ 1 ， 3 ] 上单调递 2 4
当 x 1 时，取得最大值 3
三、数与形的转化
1、几何问题代数化
• 立体几何中用向量法求角求距离等
山东12高考18题
在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠ DAB=60°，FC⊥平面 ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF
3． 常见的化归方法 (1)换元法：例如利用“换元”将无理式化为有理式，高次 问题化为低次问题； (2) 数形结合法：把形 (数 ) 转化为数 (形 )，数形互补、互换 获得问题的解题思路； (3)向量法(复数法 )：把问题转化为向量 (复数 )问题； (4)参数法：通过引入参数，转化问题的形式，易于解决； (5)建模法：构造数学模型，把实际问题转化为数学问题或 把一类数学问题转化为另一类数学问题； (6)坐标法：以坐标为工具，实现“数”、“形”的对应、 转化；
二、多元向少元转化
转化与化归的思想
转化与化归的思想「思想方法解读」 转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1 特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB ．12a C ．4a D ．4a答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)．焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q ＝4a .(2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM→＝( ) A ．20 B ．15 C ．36 D ．6答案 C解析 解法一：由BM→＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM→＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →2－916AD →2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C.解法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．(2019·甘青宁高三3月联考)若函数f (x )＝1＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4答案 A解析 ∵f (x )＝1＋x 3，∴f (－x )＋f (x )＝2，∵lg 12＝－lg 2，∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2，故选A.2．(2019·济南市高三3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－12x 2，x ＜0，e x ，x ≥0，则f (3－x 2)>f (2x )的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－3,1)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3) 答案 B解析 当x <0时，f (x )＝13x 3－12x 2，f ′(x )＝x 2－x ，∵x <0，∴f ′(x )>0，f (x )单调递增，且x →0时，f (x )→0，∴f (x )<0；当x ≥0时，f (x )＝e x 单调递增，且f (x )≥f (0)＝1.因此可得f (x )在整个定义域上单调递增，∴f (3－x 2)>f (2x )可转化为3－x 2>2x .解得－3<x <1，故选B.热点2 函数、方程、不等式间的转化例2 (1)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3时，f (x )≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(2)(2019·河南十所名校高三第二次联考)已知函数f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，方程f [f (x )]＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，∴f ′(x )＝3ax 2＋(1－a )．若a ≤1，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，此时方程f [f (x )]＝b 不可能有9个不等实根，故a >1.令f ′(x )＝0，得x ＝±a －13a ，不妨令x 1＝－a －13a ，x 2＝a －13a .∵当a >1时，a －1<3a ，∴－1<x 1<0，0<x 2<1.f (－x )＝a (－x )·[(－x )2－1]＋(－x )＝－[ax (x 2－1)＋x ]＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，又函数f (x )过定点(1,1)，(－1，－1)和(0,0)，则作出函数f (x )的大致图象如图所示．令f (x )＝t ，方程f (t )＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，即方程f (x )＝t 1，f (x )＝t 2，f (x )＝t 3，一共有9个不等实根，∴f (x )在极小值点处的函数值小于－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫a －13a ＝23(1－a )a －13a <－1，即(a －4)(2a ＋1)2>0，解得a >4，故实数a 的取值范围为(4，＋∞)．故选D.函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．(2019·安徽马鞍山二次质检)已知函数f (x )＝x ＋(2－kx )e x (x >0)，若f (x )>0的解集为(a ，b )，且(a ，b )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e 2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 4＋12，1e 3＋23C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 3＋23，1e 2＋1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2＋1，1e ＋2答案 C解析 f (x )＝x ＋(2－kx )e x >0⇒x >(kx －2)e x ⇒xe x >kx －2，设g (x )＝xe x (x >0)，h (x )＝kx －2，问题就转化为在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数．先研究函数g (x )的单调性，g ′(x )＝1－xe x (x >0)，当x >1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝1e .注意到g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0.h (x )＝kx －2，恒过(0，－2)，要想在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：⎩⎨⎧g (2)＞h (2)，g (3)≤h (3)⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＜1e 2＋1，k ≥1e 3＋23⇒1e 3＋23≤k ＜1e 2＋1，故选C.2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 答案 B解析 a ＝13ln 94＝13ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，c ＝f (2)．因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx 2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，e]上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54＜32＜2＜e ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f (2)，即b ＜a ＜c ，故选B. 热点3 正难则反的转化例3 (1)(2019·湖南邵阳高三10月大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－1,2)答案 C解析 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则命题等价于∀x∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0⇒－1≤m ≤2.故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18解析 f ′(x )＝2ax －1＋1x .(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞.所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞答案 D解析 当k ＝0时，显然符合题意．当k ≠0时，设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3＝－6k ＋12，所以中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k，－6k ＋12.由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上不存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称．所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.故选D.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32解析 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0，因为Δ＝36p 2≥0恒成立， 则⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3＜p ＜32， 即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.热点4 形体位置关系的转化例4 (1)(2019·延安市高考模拟)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π答案 B解析 根据题意可知四面体ABCD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面△BDC 是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，在三棱柱底面△BDC 中，BD ＝CD ＝1，BC ＝3，∴∠BDC ＝120°，∴△BDC 的外接圆的半径为12×3sin120°＝1，由题意可得，球心到底面的距离为12AD ＝32，∴球的半径为r ＝34＋1＝72.故外接球的表面积为4πr 2＝7π，故选B.(2)(2019·天津市滨海新区高三摸底考试)如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________．答案 4解析 解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2，V三棱柱BEF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABHI －DEKG ＝23＝8，故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝12×8＝4.形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1. (2019·东北三省三校高三第二次模拟)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是棱B1C1的中点，AB＝AC＝2，BC＝BB1＝2.(1)求证：AC1∥平面A1BD；(2)求点D到平面ABC1的距离．解(1)证明：连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点，连接OD，又D是B1C1的中点，∴OD∥AC1，∵OD⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，∴AC1∥平面A1BD.(2)由已知，AB＝AC，取BC的中点H，则BC⊥AH，∵BB1⊥平面ABC，AH ⊂平面ABC，∴BB1⊥AH，∵BC∩BB1＝B，∴AH⊥平面BCC1B1.又AB＝AC＝2，BC＝2，∴AH＝1，∵BB1⊥C1D，∴S △BC 1D ＝12C 1D ·BB 1＝12×1×2＝1，∴V D －ABC 1＝V A －BC 1D ＝13S △BC 1D ·AH ＝13×1×1＝13. ∵AC 1＝2＋4＝6，BC 1＝4＋4＝22，∴AC 21＋AB 2＝BC 21，∴△ABC 1是直角三角形，∴S △ABC 1＝12×2×6＝3，设点D 到平面ABC 1的距离为h ，则13×3×h ＝13，得h ＝33，即点D 到平面ABC 1的距离为33.2．(2019·山东师范大学附属中学高三上学期二模)已知等腰梯形ABCE (图1)中，AB ∥EC ，AB ＝BC ＝12EC ＝4，∠ABC ＝120°，D 是EC 的中点，将△ADE 沿AD 折起，构成四棱锥P －ABCD (图2)．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)当平面P AD ⊥平面ABCD 时，求三棱锥C －P AB 的体积． 解 (1)证明：取AD 的中点K ，连接PK ，BK ，BD ，∵P A ＝PD ，K 为AD 的中点，∴PK ⊥AD ，又AD ＝AB ，∠DAB ＝60°，∴△ADB 为等边三角形，则AB ＝BD ，则BK ⊥AD ，又PK ∩BK ＝K ，∴AD ⊥平面PBK ，又PB ⊂平面PBK ，则AD ⊥PB .(2)由平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PK ⊂平面P AD ，PK ⊥AD ，得PK ⊥平面ABCD ，由已知AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝120°，得S △ABC ＝43，又PK＝23，∴V C－P AB ＝V P－ABC＝13×43×23＝8.。
转化与化归思想精品PPT课件高考数学二轮专题复习
思想篇•素养升华
第4讲 转化与化归思想
1 思想方法 • 解读 2 思想方法 • 应用
• 转化与化归思想是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段 将问题通过变换使之等价转化，进而成为解决问题的一种思想．其 应用包括以下三个方面：
• (1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
• (2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题．
【名校课堂】获奖PPT-转化与化归思 想课件 （共PPT ）推荐 高考数 学二轮 专题复 习（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-转化与化归思 想课件 （共PPT ）推荐 高考数 学二轮 专题复 习（最 新版本 ）推荐
【解析】 (1)∵(a，b)是不等式 mx2－2x＋1＜0 的解集， ∴a，b 是方程 mx2－2x＋1＝0 的两个实数根且 m＞0， ∴a＋b＝m2 ，ab＝m1 ， ∴a＋ abb＝1a＋1b＝2；且 a>0，b>0； ∴3a＋2b＝12·(3a＋2b)·1a＋1b＝21·5＋2ab＋3ba≥215＋2 2ab·3ba ＝12(5＋2 6)，
• (3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
应用一 特殊与一般的转化
典例1 (2020·葫芦岛模拟)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝
3，点 M 在对角线 AC 上，点 N 在边 CD 上，且A→M＝41A→C，D→N＝13D→C，
则M→N·A→C＝
( C)
A．12
B．4
C．73
D．136
【名校课堂】获奖PPT-转化与化归思 想课件 （共PPT ）推荐 高考数 学二轮 专题复 习（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-转化与化归思 想课件 （共PPT ）推荐 高考数 学二轮 专题复 习（最 新版本 ）推荐
2016届高考数学理仿真押题专题24分类与整合思想、化归与转化思想(解析版)
1．已知集合A ＝{1，3，zi}(其中i 为虚数单位)，B ＝{4}，A ∪B ＝A ，则复数z 的共轭复数为( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i【答案】D【解析】A ∪B ＝A 等价于B ⊆A ，所以zi ＝4，所以z ＝－4i ，所以z 的共轭复数为4i.2．已知tan α＝2，则sin 2αcos 2α的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝4.3．如图所示，在半径为1的圆内有四段相等的弧(弧所在的圆的半径为1)，现向圆内投掷一颗豆子(假设豆子不落在线上)，则这颗豆子恰好落在阴影部分的概率为( )A.4－ππB.1πC.2πD.π－2π【答案】A4．定义函数y ＝f(x)，x ∈D ，若存在常数c ，对任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f （x 1）＋f （x 2）2＝c ，则称函数f(x)在D 上的均值为c.已知f(x)＝lg x ，x ∈[10，100]，则函数f(x)＝lg x 在[10，100]上的均值为( )A.32B.34C.710 D ．10【答案】A【解析】由题意可知x 1x 2＝1000，所以x 2＝1x 1∈[10，100]，所以函数f(x)＝lg x 在[10，100]上的均值为lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 22＝lg 10002＝32. 5．已知g(x)＝ax ＋a ，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x≤2，－x 2＋1，－2≤x<0，对∀x 1∈[－2，2]，∃x 2∈[－2，2]，使g(x 1)＝f(x 2)成立，则a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，1]C ．(0，1]D ．(－∞，1]【答案】B6．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x ＋y≥2，x≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值时的点}，则T 中的点最多能确定的三角形的个数为( )A ．15B ．25C ．28D ．32【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线z ＝x ＋y 与直线x ＋y ＝4，x ＋y ＝2平行，所以当直线z ＝x ＋y 过直线x ＋y ＝4上的整数点(4，0)，(3，1)，(2，2)，(1，3)，(0，4)时，z 最大；当直线z ＝x ＋y 过直线x ＋y ＝2上的整数点(0，2)，(1，1)时，z 最小．所以满足条件的点共有7个，则集合T 中的点最多能确定的三角形的个数为C 37－C 35＝35－10＝25.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝2sin2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A.3 34 B.7 36C.213D.3 34或7 36【答案】B8．已知a ∈R ，则函数f(x)＝acos ax 的图像不可能是( )【答案】D【解析】若a ＝0，则f(x)＝0，故可以是选项A 中的图像；若0<a<1，则f(x)的最大值为a ，最小正周期为2πa >2π，对于C ，D 两个选项的图像，选项D 中图像的最小正周期小于2π，故f(x)的图像不可能是选项D 中的图像．9．已知α为钝角，且cos(π2＋α)＝－35，则sin 2α＝________．【答案】－2425【解析】cos(π2＋α)＝－35，即sin α＝35，又α为钝角，∴cos α＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425.10．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥外接球的表面积等于________cm 2.【答案】14π【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥A - BCD.把该三棱锥补成长方体，可得外接球的直径2r ＝14，故外接球的表面积为14π.11．若不等式x 2＋2xy≤a(x 2＋y 2)对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为________． 【答案】5＋1212．如图所示，已知△ABC 是等腰直角三角形，CA ＝1，点P 是△ABC 内一点，过点P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)．当点P 在△ABC 内运动时，以P 为顶点的三个三角形面积和取最小值时，以CP 为半径的球的表面积为________．【答案】8π913．若实数x ，y 满足4x 2＋2x ＋y 2＋y ＝0，则2x ＋y 的取值范围是________．【答案】[－2，0]【解析】∵实数x ，y 满足4x 2＋2x ＋y 2＋y ＝0，∴(2x ＋12)2＋(y ＋12)2＝12，即2(2x ＋12)2＋2(y ＋12)2＝1， 令2(2x ＋12)＝cos θ，2(y ＋12)＝sin θ，则x ＝24cos θ－14，y ＝22sin θ－12，∴2x ＋y ＝22cos θ＋22sin θ－1＝sin(θ＋π4)－1∈[－2，0]，故2x ＋y 的取值范围是[－2，0]．14．如图所示，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，PA ＝PD ＝AD ＝2BC ＝2，CD ＝3，PB ＝6，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 上的点，且PM ＝3MC.(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角M - BQ - C 的大小．(2)由(1)知PQ ⊥AD ，PQ ⊥BQ.又QD ∥BC ，∠ADC ＝90°，所以BQ ⊥AD.如图所示，以Q 为原点，QA ，QB ，QP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则Q(0，0，0)，P(0，0，3)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)．易知平面BQC 的一个法向量为n ＝(0，0，1)．设M(x ，y ，z)，则PM →＝(x ，y ，z －3)，MC →＝(－1－x ，3－y ，－z)．因为PM →＝3MC →，所以⎩⎨⎧x ＝3（－1－x ），y ＝3（3－y ），z －3＝3（－z ），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－34，y ＝3 34，z ＝34，所以M(－34，3 34，34)， 则QB →＝(0，3，0)，QM →＝(－34，3 34，34)． 设平面MBQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧QB →·m ＝0，QM →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 1＝0，－34x 1＋3 34y 1＋34z 1＝0，令x 1＝1，得z 1＝3，所以m ＝(1，0，3)，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|n·m |n|·|m||＝32，所以二面角M - BQ - C 的大小为30°.15．如图所示，抛物线C 1：y 2＝2px 与椭圆C 2：x 216＋y 212＝1在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，△OAB 的面积为8 63. (1)求抛物线C 1的方程．(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶77？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．(2)假设存在直线l 符合条件，显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为x ＝my ＋4， 将其代入y 2＝8x ，得y 2－8my －32＝0.设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1·y 2＝－32，所以S 2S 1＝12|OC||OD|sin ∠COD 12|OE||OF|sin ∠EOF ＝|OC||OD||OE||OF|＝|y 1||y 2||y E ||y F |＝32|y E y F |. 由直线OC 的斜率为y 1x 1＝8y 1，故直线OC 的方程为y ＝8y 1x ，与x 216＋y 212＝1联立得y 2(y 2164×16＋112)＝1，所以y 2E (y 2164×16＋112)＝1，同理y 2F (y 2264×16＋112)＝1， 所以y 2E ·y 2F (y 2164×16＋112)(y 2264×16＋112)＝1.可得y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 2S 1＝773，只需322（121＋48m 2）36×256＝⎝⎛⎭⎫7732， 即121＋48m 2＝49×121，解得m ＝±11，所以存在直线l ：x±11y －4＝0符合条件．16．已知函数f(x)＝x －1－aln x(a>0)．(1)若对任意x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值集合；(2)证明：(1＋1n )n <e<(1＋1n )n ＋1(其中n ∈N *，e 为自然对数的底数)(2)证明：要证明(1＋1n )n <e<(1＋1n )n ＋1，只需证nln(1＋1n )<1<(n ＋1)ln(1＋1n )，即证1n ＋1<ln(1＋1n )<1n .令x ＝1＋1n (1<x≤2)，则只需证1－1x <ln x<x －1.由(1)可知，当a ＝1时，f(x)＝x －1－ln x 在(1，2]上单调递增，因此f(x)>f(1)＝0，即ln x<x －1.令φ(x)＝ln x ＋1x －1，则φ′(x)＝1x －1x 2＝x －1x 2>0，所以φ(x)在(1，2]上单调递增，因此φ(x)>φ(1)＝0，即ln x ＋1x －1>0.综上可知原不等式成立．。
2016届高考数学理命题猜想专题24分类与整合思想、化归与转化思想(解析版)
【命题热点突破一】分类与整合思想例1、(1)[2015·湖北卷] 设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．①张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求P 0的值；②若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】 (1)B[t 5]＝5，则5≤t 5<6，即 515≤t<615，⑤因为615<313，所以515≤t<615与313≤t <514的交集为空集．所以n 的最大值是4.(2)解：①由已知得，张三中奖的概率为23，李四中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”为事件A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”．因为P(X ＝5)＝23P 0，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝1－23×P 0＝79，所以P 0＝13.若E(2X 1)<E(3X 2)，则83<6P 0，即49<P 0<1； 若E(2X 1)＝E(3X 2)，则83＝6P 0，即P 0＝49.综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案甲进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当49<P 0<1时，他们都选择方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当P 0＝49时，他们选择方案甲或方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望相等．【特别提醒】分类与整合思想是最重要的数学思想方法之一，是高考考查的重点，涉及的试题各类题型均有．从2015年高考看，在部分选择题、填空题中也需要分类讨论才能解决问题，高考中的分类与整合思想的考查已经不仅仅局限在函数导数、概率的解答题中．【变式探究】(1)[2015·广东卷] 若集合E ＝{(p ，q ，r ，s)|0≤p<s ≤4，0≤q<s ≤4，0≤r<s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中元素的个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．50(2)已知函数f (x )＝m ln x ＋2m x －e x x 2.①若m ≤0，求函数f (x )的单调区间；②若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求m 的取值范围．【答案】(1)A【解析】当s ＝4时，p ，q ，r 都可取0，1，2，3中的一个，有4×4×4＝64(种)；当s ＝3时，p ，q ，r 都可取0，1，2中的一个，有3×3×3＝27(种)；当s ＝2时，p ，q ，r 都可取0，1中的一个，有2×2×2＝8(种)；当s ＝1时， p ，q ，r 都取0.所以card (E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t ＝0时，u 可取1，2，3，4中的一个；当t ＝1时，u 可取2，3，4中的一个；当t ＝2时，u 可取3，4中的一个；当t ＝3时，u 取4.所以t ，u 的取值共有1＋2＋3＋4＝10(种)，同理v ，w 的取值也有10种，所以card (F)＝10×10＝100，所以card (E)＋card (F)＝100＋100＝200.(2)解：①函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝m x －2m x 2－e x ·x 2－e x ·2x x 4＝（mx －e x ）（x －2）x 3. 当m≤0时，mx －e x <0，所以当x ∈(0，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)．(ii )当m>1时，g′(x)＝m －e x ＝e ln m －e x ，所以当x ∈(0，ln m)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x ∈(ln m ，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以函数g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(ln m)＝m(ln m －1)． 若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （0）<0，g （ln m ）>0，g （2）<0，0<ln m<2，解得e <m<e22.综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，m 的取值范围为(e ，e 22)． 【命题热点突破二】化归与转化思想例2、(1)[2015·四川卷] 已知函数f(x)＝2x ，g(x)＝x 2＋ax(其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．(2)P ，Q 为△ABC 内不同的两点．若3PA →＋2PB →＋PC →＝0，3QA →＋4QB →＋5QC →＝0，则S △PAB ∶S△QAB＝________．【答案】(1)①④ (2)2∶5(2)如图所示，以A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，建立直角坐标系．设△ABC 的面积为S ，P(x 1，y 1)，B(m ，0)，C(a ，b)，则3(x 1，y 1)＋2(x 1－m ，y 1)＋(x 1－a ，y 1－b)＝(0，0)，解得y 1＝b 6，即△PAB 的高为△CAB 的高的16，故△PAB 的面积为16S.设Q(x 2，y 2)，则3(x 2，y 2)＋4(x 2－m ，y 2)＋5(x 2－a ，y 2－b)＝(0，0)，解得y 2＝512b ，即△QAB 的高为△CAB 的高的512，故△QAB 的面积为512S.所以S △PAB ∶S △QAB ＝16∶512＝2∶5.【特别提醒】化归与转化思想的实质是把已知问题化为更容易解决的问题，如把数的问题转化为形的问题、把空间问题转化为平面问题、把立体几何问题转化为空间向量问题等．在数学方法中，换元法、割补法、坐标法等都是化归与转化思想的具体体现．【变式探究】(1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则a 的取值范围为( )A ．a ≥1B ．a ≤－1C ．－1≤a ≤1D ．a ≥1或a ≤－1(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．9B ．10C ．11D .232【答案】(1)C (2)C【解析】(1)已知不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，其顶点坐标分别为(－3，3)，(3，－3)，(3，9)．根据已知，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3≤－3a ＋3≤3a ＋9，3a －3≤3a －3≤3a ＋9，3a －3≤3a ＋9≤3a ＋9.解得－1≤a≤1.(2)该几何体的直观图如图所示，其体积为2×2×3－13×12×2×1×3＝12－1＝11. 【高考真题解读】1．[2015·安徽卷] 已知数列{a n }是递增的等比数列．a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【答案】2n －12．[2015·福建卷] 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1，2]【解析】函数f(x)的大致图像如图所示．∵当x≤2时，f(x)∈[4，＋∞)， ∴要使f(x)在R 上的值域是[4，＋∞)， 只需当x >2时，f (x )∈[4，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a 2≥4， 解得1<a ≤2.3．[2015·山东卷] 若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 【答案】1【解析】∵y ＝tan x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，∴y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为tan π4＝1.又∵“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.4．[2015·四川卷] 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个．【答案】120【解析】由题意知，万位上排4时，有2×A 34个大于40 000的偶数，万位上排5时，有3×A 34个，故共有5×A 34＝120(个)．5．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．【答案】－146．[2014·陕西卷改编] 设函数f(x)＝ln x ＋mx ，m ∈R .若对任意b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a <1恒成立，则m 的取值范围是________．【答案】[14，＋∞) 【解析】对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a<1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx －x (x >0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立，∴m ≥14⎝⎛⎭⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立，∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 7．[2015·湖北卷改编] 已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则AB 中元素的个数为________．【答案】45方法二：x1的取值为－1，0，1，x2的取值为－2，－1，0，1，2，x1＋x2的不同取值为－3，－2，－1，0，1，2，3；同理y1＋y2的不同取值为－3，－2，－1，0，1，2，3.当x1＋x2＝－3时，y1只能等于零，此时y1＋y2≠±3，多出2个，同理，x1＋x2＝3时，y1只能等于零，此时y1＋y2≠±3，多出2个，共多出4个．所以A⊕B中元素的个数为7×7－4＝45.。
高考数学复习 数学思想领航 四、转化与化归思想课件 理
A.－13，15 C.－∞，－13∪15，＋∞
√B.－13，1
D.－∞，－
13∪[1，＋∞)
解析 答案
方法二 数与形的转化问题
模型解法 数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面.由数到形就是把问题的 数量信息转换为图形信息，由形到数就是把图形信息进行代数化处理，用 数量关系刻画事物的本质特征，从而得解.破解此类题的关键点： ①数形转化，确定需要等价转化的数量关系(解析式)与图形关系. ②转化求解，通过降维等方式合理转化，使问题简单化并进行分析与求解. ③回归结论，回归原命题，得出正确结论.
数学思想领航二轮复习
四、 转化与化归思想
方法一 一般与特殊的转化问题 方法二 数与形的转化问题 方法三 形体位置关系的转化问题
转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问 题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题 通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的 问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
方法一 一般与特殊的转化问题
模型解法 一般和特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处 理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法.此方法多用于选择题和填 空题的解答.破解此类题的关键点： ①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象. ②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由 特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”. ③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系， 将其转化为新的需要解决的问题. ④得出结论，求解新问题，根据所得结论求解原问题，得出结论.
√D.是常数
解析 答案
第四章 生态工程