1.1认识三角形(2)

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(浙教版)八年级数学上册课件：1.1 认识三角形第2课时

A
8．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
C
A．锐角三角形 C．直角三角形
B．钝角三角形 D．不能确定
9．如图所示．
(1)在△ABC中，BC边上的高是______；
(2)在△AEC中，AE边上的高是______； AB
(3)若AB＝CD＝3 cm，AE＝5 cm，则△AEC的面积S＝
1 解：(1)∠DAE＝20°.(2)∠DAE＝2(β －α )．(3)∠EFG ＝20°.(4)∠EFG 的大小不发生改变．理由：∵AD⊥BC，
1 FG⊥BC，∴∠GFE＝∠EAD.∵∠EAD＝2(β －α )，∴∠EFG 的大小不发生改变．
5．如图，AD是△ABC的中线2 ，且AB＝6 cm，AC＝4 cm，则△ABD 与△ACD的周长之差是_______cm.
第5题图
第6题图
6．如图，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AC 的中点．若 S△ADE＝1，则 S△ABC＝_____4___.
知识点3：三角形的高线 7．(义乌市期中)过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )
18．(浦江县月考)(例2变式)已知：在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC. (1)如图①，AD⊥BC于点D，若∠C＝70°，∠B＝30°，请你用量角器直接量出∠DAE的度数； (2)若△ABC中，∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，根据(1)中的结果大胆猜想∠DAE与α，β间的等量关系，不必说明理由；
(3)如图②所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，点 F是AE上的任意一点，过点F作FG⊥BC于点G，且∠B＝ 40°，∠C＝80°，请你运用(2)中结论求出∠EFG的度数；

初中数学精品试题：认识三角形(二)

C B A （第6题） 1.1 认识三角形（二）A 组1．如图，CD ⊥AB ，则图中直角三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在△ABC 中，∠B=60°，AD 是△ABC 的角平分线，∠DAC=31°，则∠C 的度数为（）A ．58°B ．60°C ．62°D ．92°3．在△ABC 中，D 为BC 上的一点，且S △ABD =S △ACD ，则AD 为△ABC 的（）A ．高B ．角平分线C ．中线D ．不能确定4．如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∠A =50°，则∠BOC 等于（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°5．下面四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，在△ABC 中，AB =5厘米，BC =3厘米，BM 为中线，则△ABM 与 △BCM 的周长之差是厘米．★7．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点．若S △BFC =1，则S △ABC = ． 8．如图, 在△ABC 中, 请作图：①画出△ABC 的一条角平分线CD ；②画出△ABC 中AC 边上的中线BE ；③画出△ABC 中BC 边上的高AF ．9.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15cm 和6cm 两部分，求三角形三边的长。

（第1题）（第2题）（第4题）（第7题）B 组★10.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是BC 边上任意一点，PF ⊥AB 于点F ，PE ⊥AC 于点E ，BD 为△ABC 的高线，BD ＝8，求PF ＋PE 的值．11．如图，在△ABC 中，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线．（1）若∠ABC=60°，∠ACB=50°，求∠BOC 的度数．（2）若∠A=60°，求∠BOC 的度数．（3）若∠A =α，求∠BOC 的度数（用α的代数式表示）．★12.如图，在△ABC 中，E 为BC 上一点，EC =2BE ，D 为AC 的中点．设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为,,,BEF ADF ABC S S S △△△若12=ABC S △，则BEF ADF S S △△-=_______．★13．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，AE 是△ABC 的角平分线．若α=∠B ，)(βαβ<=∠C ，用含βα，的代数式表示∠EAD ．2。

1.1 认识三角形(2课时) 教案

1.1 认识三角形（1）【教学目标】1、通过实践活动，理解三角形三个内角的和等于180o2、理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、合适用三角形的内角和外角的性质简单的几何问题4、了解三角形的分类【教学重点、难点】1．本节教学的重点是三角形三个内角和等于180o的性质是本节重点。

2．例3是立体图形，涉及的角之间的关系不易辨认，是本节难点。

【教学过程】1，合作学习：①请每个学生利用手中的三角形（已备），把三角形的三个角撕（或剪）下来，然后把这三个角拼起来，然后观察这三个角拼成了一个什么角？②请学生归纳这一结论，教师板书：三角形的三个内角的和等于180O2、三角形内角和性质的应用①口答：△ABC中，∠A=45O，∠B=60O，求∠C②△ABC中，∠A=57O18，，∠B=46O49，。

求∠C③△ABC中，∠A=∠B，∠C=110O，求∠A，∠B④△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，求这个三角形的三个内角。

3、由上题得出图中三角形的形状①②得出的三角形的三个角都是锐角，这样的三角形称之为锐角三角形③得出的三角形有一个角是钝角，这样的三角形称之为钝角三角形④得出的三角形有一个角是直角，这样的三角形称之为直角的三角形若一个三角形为Rt△，那么它的其余两个锐角互余。

4、三角形的外角：①定义：三角形的一边和另一边相邻边组成的角，叫做三角形的外角。

由图得：∠BCE+∠ACB=180O而∠A+∠B+∠ACB=180O∴∠BCE=∠A+∠B从而得到定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和②外角也并不一定绝对，要会看一个角之是内角还是外角。

5、练习：1）△ABC中，∠ACD=120O∠A=50O ，求∠B、∠ACD2）如书本例题3），已知，在△ABC 中， ∠C=Rt ∠,D 是BC 上一点，已知∠1=∠2，∠B=25O ，求∠BAD 数。

6：小结：角形的内角和性质②认识三角形的外角的概念，并能准确寻找外角和内角 7，布置作业1.1 认识三角形(2)【教学目标】1、使学生知道三角形的角平分线和中线的定义，并能熟练地画出这两种线段 2、能应用三角形的角平分线和中线的性质解决简单的数学问题【教学重点、难点】教学重点、难点：三角形的角平分线、中线的定义及画图是本节课的重点，利用三角形的角平分线和中线的性质解决有关的计算问题是本节难点。

1.1认识三角形(2)

问题导学：
直角三角形可以用符号 “Rt△”表示,直角三角形 ABC可以写成“Rt△ABC”. 把直角所对的边称为直角三角形的斜边, 夹直角的两条边称为直角边.
C
直角边A
直角边 B
直角三角形有许多性质,你能发现它的两个锐角之间有什么关系吗?
直角三角形的两个锐角互余.
自学检测：
如图，在△ABC中，D为BC上的一点， ∠ADB=90°，∠1=∠B。若按角分类，△ABC 是什么形状的三角形？为什么？
A 2
1
B
D
C
巩固练习：认一认：将下面的这些三角形进行分类
④
①
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
③⑤
① ④ ⑥
②⑦
巩固练习：
１、在△ABC中∠A：∠B：∠C＝１：２：3，则 △ABC是（ B ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
2、判断：（1）一个三角形的三个内角可以都小于 60°；（ × ）（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角；（ √ ）
1.1认识三角形(2)
温故互查：（二人小组完成）
1、三角形的定义
？？。
由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2、三角形的三个内角有什么关系
三角形三个内角的和等于180
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=1800
问题导学：
（１）下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由．
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= A B C H D G F 360 度
M
E

1.1 认识三角形(二)

1．1 认识三角形(二)1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠B ＝45°，AD 是△ABC 的一条角平分线，则∠ADB ＝105°．(第2题)2．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线． (1)若BC ＝6 cm ，则CD ＝3cm ； (2)若CD ＝a ，则BC ＝2a ；(3)若S △ABD ＝8 cm 2，则S △ACD ＝8cm 2.(第3题)3．(1)如图，在锐角△ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高线，且CD ，BE 交于点P.若∠A ＝70°，则∠BPC ＝110°；若∠BPC ＝100°，则∠A ＝80°；(2)在△ABC 中，AD ，CE 分别是BC ，AB 边上的高线，且BC ＝5 cm ，AD ＝3 cm ，CE ＝4 cm ，则AB ＝154cm ；(3)在△ABC 中，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，已知AB ＝7 cm ，AC ＝5 cm ，则△ABD 与△ACD 的周长之差为2cm.4．(1)一定可以把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是(A ) A ．三角形的中线 B ．三角形的角平分线 C ．三角形的高线 D ．以上说法均不正确 (2)直角三角形的三条高线所在的直线交于(C ) A ．三角形内部 B ．三角形外部 C ．三角形的边上 D ．不能确定5．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是BC 上的两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形有(A )A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对(第5题) (第6题)6．如图，在△ABC 中，AB>AC ，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，BE 是△ABD 的角平分线，有下列结论：①∠ABE ＝∠DBE ；②BC ＝2BD ＝2CD ；③△ABD 的周长等于△ACD 的周长．其中正确的个数有(C ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个(第7题)7．如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠B ，∠CAD ＝40°，∠ACE ＝120°，请判断AD 是否是△ABC 的角平分线，并说明理由．【解】 AD 是△ABC 的角平分线．理由如下： ∵∠ACE ＋∠ACB ＝180°， ∠B ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°， ∴∠B ＋∠BAC ＝∠ACE ＝120°，即∠B ＋∠BAD ＋∠CAD ＝120°. ∵∠CAD ＝40°， ∴∠B ＋∠BAD ＝120°－40°＝80°. 又∵∠B ＝∠BAD ， ∴2∠BAD ＝80°， ∴∠BAD ＝40°， ∴∠BAD ＝∠CAD ，∴AD 是△ABC 的角平分线．(第8题)8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AD 的中点，连结BE.若S △ABC ＝16 cm 2，求S △ABE . 【解】 ∵D 是BC 的中点， ∴S △ABD ＝S △ACD ＝12S △ABC ＝8 cm 2.∵E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝S △BDE ＝12S △ABD ＝4 cm 2.9．如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 是BC 边上的中线，已知△ABD 与△ACD 的周长之差为8，求AB －AC 的值．(第9题)【解】∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.∵C△ABD＝AB＋BD＋AD，C△ACD＝AC＋CD＋AD，∴AB＝C△ABD－BD－AD，AC＝C△ACD－CD－AD.∴AB－AC＝(C△ABD－BD－AD)－(C△ACD－CD－AD)＝C△ABD－C△ACD＝8.10．已知在△ABC中，∠A＝45°，高线BD和高线CE所在的直线交于点H，求∠BHC的度数．【解】(1)当△ABC为锐角三角形时，如解图①.∵BD，CE是△ABC的高线，∴∠ADB＝∠BEH＝90°.又∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，∴∠BHE＝45°，∴∠BHC＝180°－∠BHE＝135°.(第10题解)(2)当△ABC为钝角三角形时，如解图②.∵BD，CE是△ABC的高线，∴∠ADB＝∠BEH＝90°.又∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，∴∠BHC＝180°－∠ABD－∠BEH＝45°.综上所述，可知∠BHC＝135°或45°.11．在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点．(1)如图①，若P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，请探求PE，PF与BD之间的数量关系；(第11题)(2)如图②，若P是BC的延长线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，CD是△ABC的高线，请探求PE ，PF 与CD 之间的数量关系．【解】 (1)连结PA.∵S △ABC ＝S △APB ＋S △APC ， ∴12AC ·BD ＝12AB ·PF ＋12AC ·PE. ∵AB ＝AC ，∴BD ＝PE ＋PF.(2)连结PA.∵S △PAB ＝S △ABC ＋S △ACP ， ∴12AB ·PF ＝12AB ·CD ＋12AC ·PE. ∵AB ＝AC ，∴PF ＝CD ＋PE ，即PF －PE ＝CD.12．(1)如图①所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BO 与∠ACB 的平分线CO 交于点O ，试探求∠A 与∠BOC 的数量关系；(第12题)(2)如图②，在△ABC 中，D 是边AB 延长线上一点，E 是边AC 延长线上一点，∠CBD 的平分线BO 与∠BCE 的平分线CO 交于点O.试探求： ①∠A 与∠BOC 的数量关系；②按角的大小来判断△BOC 的形状．【解】 (1)∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ， ∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB)．∵∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ，∴∠OBC ＋∠OCB ＝90°－12∠A .又∵∠OBC ＋∠OCB ＝180°－∠BOC ， ∴180°－∠BOC ＝90°－12∠A ，∴∠BOC ＝90°＋12∠A .(2)①∵BO 平分∠CBD ，CO 平分∠BCE ， ∴∠CBO ＝12∠CBD ，∠BCO ＝12∠BCE ，∴∠CBO ＋∠BCO ＝12(∠CBD ＋∠BCE )．∵∠ABC ＋∠CBD ＝180°，∠ACB ＋∠BCE ＝180°，∴∠CBD ＋∠BCE ＝360°－(∠ABC ＋∠ACB )．∵∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ，∴∠CBD ＋∠BCE ＝180°＋∠A ，∴∠CBO ＋∠BCO ＝12(180°＋∠A )＝90°＋12∠A .∵∠BOC ＝180°－(∠CBO ＋∠BCO )， ∴∠BOC ＝180°－90°－12∠A ＝90°－12∠A .②∵∠CBO ＝12∠CBD ，∠BCO ＝12∠BCE ，且∠CBD <180°，∠BCE <180°，∴∠CBO <90°，∠BCO <90°.又∵∠BOC ＝90°－12∠A ，∴∠BOC <90°.∴∠BOC ，∠CBO ，∠BCO 都是锐角， ∴△BOC 为锐角三角形．。

1.1认识三角形练习

1．1 认识三角形（二）【知识提要】1．三角形三内角和为180°．2．三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；（2）三角形的三外角和为360°．3．三角形按角分类：三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形【学法指导】1．通过折叠，动手操作理解三角形三内角和为180°．2．运用三角形外角性质可以沟通三角形内、外角之间的关系．范例积累【例1】在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A与∠B的和大12°，•求这个三角形的三个内角的度数．．【例2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【例3】如图，试说明∠A+∠ABC+∠C=∠ADC．基础训练1．如图1，在△ABC中，与△ACB相邻的一个外角等于110°，∠A=40°，•则∠B的度数是（）A．30° B．50° C．60° D．70°（1） (2) (3) (4)2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定形状3．如图2，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，若∠1：∠2：∠3=4：3：2，则∠ABC等于（）（注意：三角形三内角和为180°，三外角和为360°）A．60° B．80° C．90° D．100°4．已知如图3，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E五个角的和的度数是（）（注意：五角星之和为180°）A．100° B．180° C．360° D．540°5．已知在△ABC中，∠A+∠B=107°，则∠C的外角度数为___．6．如图4，用“＜”连结∠A、∠1、∠2：_ _．7．已知在△ABC中，若∠A比∠B大20°，外角∠ACD=96°，则∠A=•_ _，•∠B=__．8．如图，在四边形ABCD中，∠B=70°，∠C=50•°，•在顶点D•的一个外角为100°，则在顶点A的一个外角∠x=__ ．（注意：四边形角度之和为360°）9．如图，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．10．如图，已知∠B=∠ACB=75°，∠BDE=3∠E，试求∠ADE的值．提高训练11．如图，△ABC中，D为△ABC内一点，已知∠BDC=100°，∠1=30•°，•∠2=20°，求∠A的度数．12．如图:（1）图甲是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数；（2）图甲中的点A 向下移到BE 上（如图乙），五个角的和有无变化？说说你的理由；（3）图乙中的点C 向上移到BD 上（如图丙），五个角的和有无变化？说说你的理由．应用拓展13．如图，△ABC 内有三个点D 、E 、F ，分别以A 、B 、C、D 、E 、F 这六个点为顶点画三角形．如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形内部，那么这些三角形的所有的内角之和为（）A ．360°B ．900°C ．1260°D ．1440°14．设A 、B 、C 、D 为平面上的任意四点，如果其中任何三点不在一条直线上，•则△ABC 、△ABD 、△ACD 、△BCD 中至少有一个三角形的某个内角满足（）A ．不超过15°B ．不超过30°C ．不超过45°D ．都不对。

第一讲认识三角形

第一讲认识三角形1.1认识三角形【学习目标】1. 了解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并能够证明三角形内角和定理；3. 学会三角形的分类；4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系；5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握它们的画法；并能正确应用概念解题．【基础知识】一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.语言对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．点和它对边中点的线段．与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高．2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．(或∠ADC ＝∠ADB ＝90°) 1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝BC 4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC于点D ． 3．∠1＝∠2＝∠BAC ．推理语言因为AD 是△ABC 的高，所以AD ⊥BC ．(或∠ADB ＝∠ADC ＝90°) 因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ＝BC ．因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2＝∠BAC ．用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等．角度相等．注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． —与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．【考点剖析】例1．下列每组数表示3根小木棒的长度，3根小木棒能摆成三角形的一组是( )A ．1cm ，2cm ，3cmB ．2cm ，3cm ，4cmC ．2cm ，3cm ，5cmD ．2cm ，3cm ，6cm例2．三角形的中线和角平分线都是( )A ．直线B ．射线C ．线段D ．以上都有可能例3．画ABC 中BC 边上的高，下列画法中正确的是( )．12121212A ．B ．C ．D ．例4．三角形三条高的交点一定在( )A ．三角形内部B ．三角形外部C ．三角形内部或外部D ．以上说法都不完整例5．ABC 中，它的三条角平分线的交点为O ，若∠B ＝80°，则∠AOC 的度数为（）A ．100°B ．130°C ．110°D ．150°例6．在下列条件：∠A B C ∠+∠=∠；∠2A B C ∠=∠=∠；∠12A B C ∠=∠=∠；∠::1:2:3A B C ∠∠∠=中，能确定ABC 为直角三角形的条件有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．0个例7．如图中包含的直角三角形的个数是( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个例8．如图，在∠ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法中错误的是（）A ．BF ＝CFB ．∠C ＋∠CAD ＝90° C ．∠BAF ＝∠CAFD ．ABCABF S2S=【过关检测】一、单选题1．不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．照相机的三脚架D．学校的栅栏门2．在∠ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（）A．3B．4C．2或6D．2或44．如果一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或直角三角形5．如图，若CD是∠ABC的中线，AB＝10，则AD＝（）A．5B．6C．8D．46．下列对于三角形的高、中线、角平分线的说法中正确的是（）A．都是线段B．都是直线C．都是射线D．以上都不对7．如图，已知在∠ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∠AD，∠BAD＝20°，则∠AEB的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°8．如图，在Rt∠ABF中，∠F=90°，点C是线段BF上异于点B和点F的一点，连接AC，过点C作CD∠AC交AB于点D，过点C作CE∠AB交AB于点E，则下列说法中，错误的是（）A ．∠ABC 中，AB 边上的高是CE B ．∠ABC 中，BC 边上的高是AF C ．∠ACD 中，AC 边上的高是CED ．∠ACD 中，CD 边上的高是AC9．已知ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且()()()M a b c a b c a b c =+++---那么( ) A ．0M >B ．0M ≥C ．0M =D ．0M <10．如图所示，在ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为线段BD 中点，F 为线段CE 中点，若ABD △的面积为4，则BFC △的面积为( )A ．2B ．1C ．1.5D ．0.511．已知AD 是∠ABC 的边BC 上的中线，AB=12，AC=8，则边BC 及中线AD 的取值范围是（） A ．420210BC AD ＜＜，＜＜ B ．420420BC AD ＜＜，＜＜ C ．210210BC AD ＜＜，＜＜ D ．210420BC AD ＜＜，＜＜12．如图，30AOB ∠=︒，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（）A ．60βα-=︒B ．210βα+=︒C ．230βα-=︒D ．2240βα+=︒二、填空题13．在ABC ∆中，若A B C ∠+∠=∠，则此三角形为__；若A B C ∠+∠<∠，则此三角形为___；若A B C ∠+∠>∠，则此三角形为___．（填“锐角三角形”、“钝角三角形”或“直角三角形”，可多选）14．如图，以AD 为边的三角形是__，以C ∠为一个内角的三角形是___，AED ∆的三个内角是___．15．三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为________． 16．（1）线段AD 是ABC ∆的角平分线，那么BAD ∠=∠__12=∠__．（2）线段AE 是ABC ∆的中线，那么BE =__=__BC ．17．如图，∠ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE 是∠ABD 中AD 边上的中线，若∠ABC 的面积是24，则∠ABE 的面积________．18．已知如图所示 AD 、AE 分别是∠ABC 的中线、高，且AB=5cm ，AC=3cm ，,则∠ABD 与∠ACD 的周长之差为_________，∠ABD 与∠ACD 的面积关系为_________.19．如图，将三角尺ABC 和三角尺DFF (其中906045A E C F ∠∠︒∠︒∠︒＝＝，＝，＝)摆放在一起，使得点A DB E 、、、在同一条直线上，BC 交DF 于点M ，那么CMF ∠度数等于_____．20．如图，在ABC ∆中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且24cm ABC S ∆=，则BEF S ∆=________2cm三、解答题21．如图所示，（1）图中有几个三角形？∆的边和角．（2）说出CDE∠是哪些三角形的角？（3）AD是哪些三角形的边？C22．画出如图所示的三角形的三条高．23．如图，已知：在Rt∠ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD;（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数24．已知：如图，在∠ABC 中，∠A∠∠ABC∠∠ACB=3∠4∠5，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的高，BD ，CE 相交于H ，求∠BHC 的度数．25．如图，在ABC 中，AB AC >，AD 为BC 边上的中线．（1）ABD S____________ACD S（填“>”“<”或“=”）；（2）若ABD △的周长比ACD △的周长多4，且14AB AC +=，求AB ，AC 的长；（3）ABC 的周长为27，9AB =，BC 边上的中线6AD =，ACD △的周长为19，求AC 的长．。

1.1 认识三角形第2课时浙教版数学八年级上册课件(共24张PPT)

三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点
B
和垂足之间的线段
A
∵AD是△ABC的BC上的高线.
∴AD⊥BC
D C ∠ADB=∠ADC=90°.
再见
2
3
4
5
6
7
8
9 10
01 23 4 5
D
C
新课讲解
一个三角形的高线共有几条？总的结高(三:在夹条三钝)角角形的的两外边部上. 因此必须先把它们的边
请画出下面三角形的高线,你延发长现,再了画什它么们？的高.
A
A
F E
B
D
CC
D B
B
A D
CE F
新课讲解
三角形的高线总结
高锐角三角形
直角三角形
新课讲解
一个三角形有几条角平分线？ (三条) 请画出下面三角形的角平分线,你发现了什么？
三角形的三条角平分线交于一点．称之为三角形的内心．
做一做
如图,AE是△ABC的角平分线.已知∠B=4５°, ∠ C=60°,
求下列角的大小.
C
(1) ∠BAE (2) ∠AEB
E
解（：１）∵ＡE是△ABC的角平分线
EO D
B
C
（3）当∠A= x 时，求∠BOC的度数 (用含x代数式表示）.
变式：将上体中的角平分线改为高线，∠BOC和∠A又会有什么数量关系？
做一做
A
4.如图，已知：△ABC中，BD、CE分别
是△ABC的两条高线，AC=4,BD=5,CE=3,
EOD
求AB.
B
C
一展身手
A 5.课本P9，探究活动

1.1认识三角形(2)

是△ABC的角平分线.已知∠BAC=82°∠C=40°，与
求∠DAE的大小。
高
解： ∵
AE是BC边上的角平分线, 且∠BAC=82°
1
∴ ∠EAC= ∠BAC=41°
2
Hale Waihona Puke ∵ AD是△ABC的高,B
A DE
线有关 C的
例∴ 1∠你ADC=还90°有其他解法吗?
计
算 ∵ ∠DAC+ ∠ADC+ ∠C =180° ((三根角形据三什内角么的?和)等于180°)
直角三角形的三条高
A
F
交于直角顶点。
议一议：
DB
C
钝角三角形的三条高
交于一点吗？
E
它们所在的直线交于一点吗？ O
钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
12
高条数
位置
锐角三角形
3
都在三角形内部
垂足交点
在相应顶点的对边上
在三角形内部
图形
A
B
C
直角三角形 3
直角边上的高分别与另一条直角边重合，还有一条高在三角形内部
三角形的三条中线会交于同一点，称之为三角形的重心．
如图，过△ABC的顶点A，
你能画它对边BC的垂线吗？
A
通过两个问题的引出，教师
引导学生回忆过一个已知点
画已知直线的垂线的方法，
B
并总结画图的规律：
D
C
一落，二靠，三画。
记垂足为D，线段AD即为：三角形的高。
在三角形中，过一个顶点作它对边的垂线段，
①是直角的顶点 ②在斜边上
在直角顶点

1.1(2)OK

三角形的三个内角有什么关系
三角形三个内角的和等于180º。小学里，用什么方法得到三角形内角和的结论的？
“你还有没你还有没有其它的方法” 有其它的方法” 吗? 想一想
三角形内角和性质定理
三角形三个内角和等于180° 三角形三个内角和等于 °。内角和等于
A
B
C
即：△ABC中， ∠A +∠B +∠C=180 ° 中 ∠ ∠
第一章第二节
认识三角形（2）
复习：
a
三角形三边的关系
b
c
三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。
A
B
C
1、三条线段的长度分别为：、三条线段的长度分别为：（1）2、8、10 （2）5、3、7 ）、、）、、（3）5、5、4 （4）13、12、20 ）、、）、、能组成三角形的有（ B ）组。能组成三角形的有（ A、1 B、2 C、3 D、4 、、、、 2在△ABC中，AB=7 BC=3，在中，并且AC为奇数，那么△ 并且为奇数，那么△ABC的周长为为奇数的周长为 15，17，19 。，，
50 ∠1=________
A 3 2 B 1 C
通过本节课的学习,我的收获是…… 通过本节课的学习,我的收获是……
三角形三个内角的和等于
180
B
1.四边形的内角和等于多少度? 1.四边形的内角和等于多少度? 四边形的内角和等于多少度
A
C
D
1.完成作业本1.1{2} 2、下节课前准备两个剪好的三角形，预习1.2 下节课前准备两个剪好的三角形，预习1.2
三角形
直角三角形
（有一个内角是直角。）

认识三角形(共27张PPT)数学八年级上册

三角形的中线
等底同高的两个三角形面积相等
【议一议】
（1）在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流．
锐角三角形的三条中线交于一点.
钝角三角形和直角三角形的三条中线也交于一点.
（2）钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流．
1
2
三角形的角平分线
P7做一做第1题
结论：任意三角形的三条角平分线交于同一点.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三角形的角平分线
【议一议】
在纸上画出一个三角形，并画出它的三条角平分线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流．
议一议：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别和联系？
A
B
F
E
O
C
A
B
E
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；它们的联系是都是平分角。
课本P9作业讲评
1. 如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线,则:
DC BC ∠ECB ∠ACB.
2.如图，在△ABC中,∠ACB＝90°,CD是斜边上的高线,CE是△ABC的角平分线,且∠CEB＝105°.求∠ECB,∠ECD的大小.
3.如图,AD是△ABC的中线,DE⊥AC，DF⊥AB，E，F 分别是垂足.已知AB＝2AC，求DE与DF的长度之比.
1.1 认识三角形
第2课时三角形的三线
智慧课堂精品课件
知识与技能： 1.了解三角形的角平分线、中线、高线的概念. 2.会利用量角器、刻度尺画三角形的角平分线、中线和高线. 3.会利用三角形的角平分线、中线和高线的概念，解决有关角度、面积计算等问题.过程与方法：经历三个概念的生成过程，体验锐角、直角、钝角三角形的高线的位置差异.情感态度与价值观：感受分类讨论的数学思想

1.1 认识三角形第2课时三角形的角平分线、中线与高线浙教版数学八年级上册课件

问题1：如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ A
你能用同样的方法画
C
出任意一个三角形的
O
B
一个内角的平分线吗？
新课讲解
问题2：画出△ABC中∠A的平分线，试说明什么是三角
形的角平分线？
在三角形中，一个内角的角平分
线与它的对边相交，这个角的顶
点与交点之间的线段叫做三角形
的角平分线．
B
A C
B
A DC
新课讲解
问题2：由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB=∠ADC=90°
高的叙述方法：
A
①AD是△ABC的高；
②AD⊥BC，垂足为D；
③点D在BC上，且
∠BDC=∠CDA=90°
B
D
C
合作学习
用三角尺分别作如下锐角三角形,直角三角形和钝角三角形的各边上的高.
观察你所作的图形,比较三个三角形中三条高的位置,与三角形之间有什么关系?
1.1 认识三角形
第2课时三角形的角平分线、中线与高线
学习目标
1.了解三角形的高线、中线、角平分线的概念. 2.会利用量角器、刻度尺画三角形高线、中线、角平分线. 3.会利用三角形的高线、中线、角平分线的概念，解决有关角度、面积计算等问题.
情景导入
你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
新课导入
课下练习
数学趣味题：要栽7棵树，请你来帮忙，每行栽3棵，恰好成6行.（提示：排成三角形形状）
感谢观看！
想一想三角形的角平分线与角的角平分线相同吗？相同点：都是将一个角分成了两个相等的角. 不同点：前者是线段，后者是射线.
合画作一探画究观察锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又发现了什么规律？

浙教版数学八年级上册1.1《认识三角形》教案2

浙教版数学八年级上册1.1《认识三角形》教案2一. 教材分析《认识三角形》是浙教版数学八年级上册第一章的第一节内容。

本节课主要让学生了解三角形的定义、性质和分类，掌握三角形的基本概念，为后续学习三角形的判定和计算打下基础。

教材通过丰富的实例和图片，引导学生探究和发现三角形的性质，培养学生的观察、思考和动手能力。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本概念，对图形的认识有一定的基础。

但是，对于三角形的定义和性质，学生可能还存在模糊的认识。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过实例和引导，让学生逐步理解和掌握三角形的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形的定义、性质和分类，掌握三角形的基本概念。

2.过程与方法：培养学生的观察、思考和动手能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.重点：三角形的定义、性质和分类。

2.难点：三角形性质的推导和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和图片，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究和发现，培养学生的解决问题的能力。

3.合作学习法：分组讨论和展示，培养学生的团队协作精神和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关实例和图片，用于引导学生观察和思考。

2.准备三角形模型或教具，用于展示和操作。

3.准备练习题和拓展题，用于巩固和提高学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例和图片，引导学生观察和思考，提出问题：“你们知道什么是三角形吗？三角形有哪些性质呢？”让学生回忆和复习已学的知识，为新课的学习做好准备。

2.呈现（10分钟）讲解三角形的定义、性质和分类。

通过PPT或板书，展示三角形的基本概念和性质，引导学生理解和记忆。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，观察和分析给出的三角形实例，判断它们的类型，并说明理由。

1.1认识三角形(第二课时)教案2024-2025学年鲁教版(五四制)七年级数学上册

题目：一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，求这个三角形的面积。
解答：这个三角形的面积是6平方厘米。根据直角三角形的性质，直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半。所以面积 = (3厘米 × 4厘米) / 2 = 6平方厘米。
例题5：拓展题
题目：已知一个三角形的内角分别是45度、45度和90度，求这个三角形的类型。
解答：这个三角形是直角三角形。因为其中一个内角是90度，所以其他两个内角必须是45度，这是一个特殊的直角三角形，也称为等腰直角三角形。
4. 数据分析：通过探究三角形的性质，培养学生收集、处理和分析数据的能力，从而提高学生的数据分析素养。
5. 数学运算：在学习三角形的相关知识过程中，运用数学运算解决实际问题，提高学生的数学运算能力。
6. 直观表达：让学生能够用简洁明了的方式表达三角形的性质和特点，培养学生的直观表达能力。
教学难点与重点
二、新课讲解（15分钟）
1. 三角形的分类：首先，向学生介绍锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义和特点。通过展示相关图片和实例，让学生更好地理解这些概念。
2. 三角形的内角和：讲解三角形内角和定理，让学生明白任意三角形的三个内角之和总是180度。可以通过一些简单的几何图形来演示这一定理。
3. 三角形的对边和对角：讲解三角形中相对的两边称为对边，相对的两个角称为对角。通过实际操作和示例，让学生理解这一概念。
3. 三角形的分类：根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
4. 三角形的内角和：三角形的三个内角之和等于180度。
5. 三角形的对边和对角：三角形中，相对的两边称为对边，相对的两个角称为对角。
6. 三角形的底和高：在直角三角形中，直角边称为底，另一直角边称为高。

鲁教版数学七年级上册1.1《认识三角形》教学设计2

鲁教版数学七年级上册1.1《认识三角形》教学设计2一. 教材分析《认识三角形》是鲁教版数学七年级上册第一章第一节的内容。

本节课的主要内容是让学生了解三角形的定义、性质和分类，以及三角形的三条高的概念。

通过本节课的学习，学生能够掌握三角形的基本知识，为后续学习三角形的相关内容打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的认识有一定的基础。

但是，对于三角形的定义和性质，以及三角形的高的概念，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出三角形的概念，并通过实例让学生理解三角形的高的含义。

三. 教学目标1.知识与技能：理解三角形的定义，掌握三角形的性质和分类，理解三角形的三条高的概念。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的抽象思维能力和空间想象力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：三角形的定义、性质和分类，三角形的三条高的概念。

2.难点：三角形的高的含义和求法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体的问题情境，引导学生从实际问题中抽象出三角形的概念。

2.直观演示法：利用实物模型和多媒体动画，让学生直观地理解三角形的高的含义。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队合作意识。

4.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。

六. 教学准备1.教具：三角形模型、直尺、三角板、多媒体设备。

2.学具：练习本、笔、剪刀、胶水。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的三角形图形，如自行车的三角形车架、三角形的屋顶等，引导学生关注三角形在日常生活中的应用。

提问：你们对这些三角形有什么认识？学生回答后，教师总结并板书三角形的定义。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，介绍三角形的性质和分类。

如：三角形的内角和为180度，三角形可以根据边长分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形等。

三角形的初步知识

第1章三角形的初步知识1．1 认识三角形①一、参考答案【学习准备】1．三角形，长方形，圆等． 2．三角形三个内角的和等于180°等．【课本导学】『思考一』1.不在同一直线上，首尾顺次．2. AD 是△ABD 、△ADE 、 △ADC 的边 C ∠是△ABC 、△ADC 、△EDC 的角．『练习』第4页做一做．(1)△ABD ,边：,,AB AD BD ；角：,,A ABD ADB ∠∠∠；△ABC ,边：,,AB AC BC ；角：,,A ABC C ∠∠∠； △DBC ,边：,,DC DB BC ；角：,,CDB DBC C ∠∠∠． (2)∠ABC =80°.第6页作业题1．(1)有5个．分别是△ABC 、△BCD ．△ABD 、△BCE 、△DCE . (2) ∠A =55°.『归纳』通常先固定一个顶点，变换另两个顶点，这样就能做到不重不漏．『思考二』还可以按边的大小进行分类．『练习』第5页课内练习1 ．锐角三角形：△ADE ；直角三角形：△ACD ；钝角三角形：△ACB ， △CDB ．『归纳』．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．『思考三』1．（1）,B C ；（2）,A B ；（3）,A C ．2．因为三条线段的长度都已给出，且a b c <<，则显然,a c b b c a +>+>，故只需验证a b c +>． 3．方案一：（作图法）任画一个三角形，先利用直尺和圆规画出任意两边之差，再把这个差与第三边作比较．方案二：（度量法）任画一个三角形，先用刻度尺度量三边的长度，再计算任意两边之差，并把这个差与第三边作比较．结论：三角形任何两边的差小于第三边．『练习』第5页课内练习2 ．(1) 最长线段是3.5cm ，而12 3.5+<，∴这三条线段不能组成三角形； (2) 最长线段是9cm ，而459+=，∴这三条线段不能组成三角形； (3)最长线段是13cm ，而6813+>，∴这三条线段能组成三角形．第6页课内练习3．(1)<（三角形任何两边之和大于第三边）；(2)>（三角形任何两边之和大于第三边）．第6页作业题2． (1)最长线段是20cm ，而15820+>，∴这三条线段能组成三角形；(2) 最长线段是15cm ，而7815+=，∴这三条线段不能组成三角形； (3)最长线段是15cm ，而5815+<，∴这三条线段不能组成三角形．作业题3．能．先利用直尺和圆规画出线段AB =a +c ，比较AB 与b ，可知a c b +>，即a 、b 、c 能组成三角形．（也可用刻度尺度量）『归纳』．1．大于，小于．2．(1)比较三条线段的长度，确定最长的一条．如果三条线段等长，那么其中任何一条都可以看做最长的一条；(2)把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较，如果大于，则可以组成三角形，否则不能组成．【学习检测】1．D ． 2．4，6，0． 3．C ．4．5个．1,6,6;2,5,63,4,63,5,54,4,5；；；．【拓展提高】 1．21+3+5+7++21)n n -=（．2．如图1，P 即为所求作的点．理由：如图2，在直线a 上任取一点'P (不与P 点重合)，连结'',P M P N ，则有：''PM PN MN P M P N -=+＞，即PM PN -最大．二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，“思考二”和“思考三”可先让学生独立思考、再交流讨论，最后由老师引导小结，相应的练习配置及检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）三角形的基本概念．（2）三角形按内角大小的分类．（3）三角形三边的关系． 2．思想方法方面数三角形的个数，将三角形按内角大小进行分类，从多条线段中任选三条拼接三角形，这些活动都体现了数学分类思想方法．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．在进行分类讨论时，要遵循的基本原则：不重不漏．4．需要进一步研究的问题：直角三角形是一种很特殊的三角形，它具有哪些独特的性质？三角形如果按边的大小进行分类，又该如何分类？1．1 认识三角形②一、参考答案【学习准备】1．略． 2．略．【课本导学】『思考一』1．三角形的角平分线和角的平分线均将已知角二等分，但三角形的角平分线为线段而角的平分线为射线．2．垂线段，垂线段，距离． 3．(1)EC ，12，12S ，等底同高的三角形面积相等； (2) FC ，12，14S ； (3) 14S ，14S ，14S ．『练习』课本第7页做一做．1．发现三条角平分线相交于三角形内部一点．课本第7页做一做．2．发现三条中线相交于三角形内部一点．课本第7页做一做．3．(1)略；(2)锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形斜边上的高在三角形的内部，某一条直角边上的高即另一条直角边；钝角三角形钝角所对边上的高在三角形的内部，其他两条边上的高都在三角形的外部．课本第8页课内练习1．(1)略，(2)略．课本第8页课内练习2．(1) 有；(2)相等，因为等底同高的三角形面积相等．课本第9页作业题1．,DC BC ；,BCE ACB ∠∠．课本第9页作业题3．发现：△ABD 和△ACD 的公共边AD 上的高相等．理由：分别以BD 和DC 为底，易知△ABD 和△ACD 等底同高，所以△ABD 和△ACD 面积相等.以公共边AD 为底，则由面积相等易知公共边AD 上的高相等.『归纳』．1．锐角，直角，钝角． 2．相等．『思考二』1．(1)略， (2) ①01402EAC EAB BAC ∠=∠=∠=，三角形角平分线的性质； ②090ADC ADB ∠=∠=，三角形高的性质；③DAE DAC EAC ∠=∠-∠或DAE BAE BAD ∠=∠-∠． 2．由∠DAE =∠BA E －∠BAD 亦可求解．『练习』课本第9页作业题2．0045,15．『归纳』．(1) 角平分线；(2) 直角；(3)内角和为180°；（4）和差．【学习检测】1．025． 2．3． 3．如下左图． 4．如下右图．HEDCBA【拓展提高】1．111111,,81622n n ++⎛⎫=⎪⎭⎝． 2．答案：如右图，连结BD ，,E F 分别为,AD BC 的中点，ABE DBE S S ∆∆∴=，BDF CDF S S ∆∆∴=1122S S ∴==四边形DEBF 四边形ABCD ．二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”的内容可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，以及“思考二”的学习和讨论，检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）三角形的角平分线、中线和高的概念．（2）三角形的角平分线、中线和高的性质及其相关计算． 2．思想方法方面将三角形的角平分线与角的平分线，三角形的中线与线段的中垂线，三角形的高和垂线进行类比，这体现了类比的数学思想方法．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．经历三角形的角平分线、中线和高等概念的形成过程，积累一定的数学活动经验．困惑：在1.1的第一课时，无论从教学内容，还是从课后的习题配备，编写教材的人似乎都在回避三角形内角和的性质，但在1.1的第二课时的例2和课后的习题中，似乎又默认了三角形内角和的性质，这着实让人有些费解．1．2 定义与命题（一）一、参考答案【学习准备】1．角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．相同点：把一个角分成相等的两部分；不同点：角的平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段． F ABCDE如图，射线AD 是∠BAC 的平分线，线段AD 是△ABC 的一条角平分线． 2.∠B =∠B ′，∠B +∠B′=180º如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 【课本导学】『思考一』1．北约、华约、卓越联盟.2．举例：①一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．②角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．③单项式：t 100，p 8.0，mn ，h a 2，n 这些式子都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式．定义的一般形式为：前半部分为描述部分，能清楚地规定某一名称或术语的意义，后半部分一般为固定模式，定义的形式为：“……的 ……叫做××”． [练习]课本第10页“做一做”（1）无理数：像2这种无限不循环小数叫做无理数；（2）直角三角形：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形；(3)角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线(4)抽样调查：人们在研究某个自然现象或社会现象时，往往会遇到不方便、不可能或不必要对所有的对象作调查的情况，于是从中抽取一部分对象作调查分析，这种调查方法叫做抽样调查．课本第11页课内练习1：（1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；（2）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；（3）梯形：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．课本第12页作业题1：剪切力，张力，压力，地壳应力. 课本第12页作业题2：略.『归纳』要学会找定义中的关键字词，掌握它们的属性以及相互之间的联系，避免出现概念混淆，要学会区分某些相近的概念，如角平分线与三角形的角平分线，三角形的高线与垂线的等概念之间的联系．『思考二』1.命题由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项．一般地，把命题统一改写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开头的部分是条件，“那么”后面的部分是结论．2.讲解定义、命题的含义时，要突出语句的作用．句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断，跟判断的正确与否没有关系． [练习]课本第11-12页课内练习2：（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题；课本第11-12页课本练习3：（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；（2）如果两个角是直角三角形的两个锐角，那么它们互余．课本第11-12页课内练习4：略课本第12页作业题3：（3）、（4）是命题，（1）、（2）不是命题. 课本第12页作业题4：略.『归纳』可以将命题改写成“如果．．．，那么．．．”的形式，并注意命题的语句要符合语言的表达习惯与逻辑．【学习检测】1.像问题中的逃逸塔、助推器、一二级、整流罩等名词的含义必须有明确的规定，即需要给出定义． 2．（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．3. (1)条件：有两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等.(2)条件：一个点在线段的垂直平分线上，结论：这个点到线段的两个端点距离相等如果一个点在线段的垂直平分线上，那么它到线段的两个端点距离相等. 4．特征：这些整数都能被2整除偶数：能被2整除的整数叫做偶数．【巩固提高】 1．（1）①③是奇异三角形，②不是；（2）设三边为a ，b ，c ，且c b a <<，则满足2222b c a =+即可.2．（1）2012a 的差倒数2013a = 4 ；（2）差倒数数列是一组循环的数，每三个数为一循环，分别是11,,434-. 二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，“思考二”可先让学生独立思考、尝试完成后，再由老师引导小结，挖掘拓展.相应的练习和作业题及检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）定义和命题的概念和意义．（2）命题的基本构成． 2．思想方法方面学会数学语言的转化思想，引导规范化的几何语言描述，加强文字语言与结合图形的数学语言的互译.3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．（1）提高分析能力，学会寻找数学名词的定义中的关键字词；（2）困惑：学生对文字语言的理解、表述和句式的变换（简单句变换为复合句）感到困难，应加强训练学生克服文字语言与结合图形的符号语言之间的转化能力.4．需要进一步研究的问题：找出命题的条件和结论是本节课的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．1．2 定义与命题（二）一、参考答案【学习准备】 1.条件：直线a ,b 被c 所截，∠1=∠2结论：a ∥b 2．（1）不正确，举例说明：33-≠，但33-=（2）不正确．因为线段可以度量，而射线和直线不可度量，所以它们不能比较．（3）正确．如图，a ⊥b ，c ⊥b ，可以说明直线a ∥c ． ac 12a b理由：由已知a ⊥b ，c ⊥b ，根据垂直的意义，得∠1=∠2=90º ∴a ∥c （同位角相等，两直线平行）【课本导学】『思考一』1.判定一个命题是真命题，常用推理的方式，根据已知事实来判断未知事实；也有一些经过长期实践公认为正确的命题；判断假命题，常用举反例的方法． 2.（1）假命题，反例：若两个角为30 º，45 º，但30 º+45 º<90º （2）钝角的一半是锐角．真命题.理由：设钝角为α，则︒<<︒18090α，则︒<<︒90245α[练习]课本第15页课内练习1：略；课本第15页作业题3：略.『思考二』1. 反例要符合命题的条件，但不满足命题的结论．假命题的反例不一定唯一. 假命题：（1）对于任何实数ｘ，0>x ；（2）a a >2（1）的反例是唯一的，只有0=x ；（2）的反例是：满足0a ≤的所有实数 2.0a ≥ [练习]课本第14页做一做：（1）真.可由度量或观察得到.（2）真.是人类经过长期实践后公认为正确的命题.（3）真.根据同位角相等，两直线平行可以判断.（4）假.反例：蝙蝠会飞，但不是鸟类. 课本第15页作业题1：（1）是真命题；（2）（3）（4）是假命题.理由略. 课本第15页作业题2：是假命题，理由：当3=x 时，原方程无意义『归纳』判断一个命题是假命题，通常用举反例的方法，说明一个命题是真命题，需要严密的逻辑推理．『思考三』1.基本事实和定理都是真命题，都可以作为判断其他命题的依据．定理是用推理的方法判断为正确的命题，基本事实是经过长期实践公认为正确的命题，已经学过的几个基本事实：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．已经学过的定理：三角形任何两边的和大于第三边.2.课本里只选择部分最基本、最常用的命题作为定理，用它们为依据来推证其他命题.3.区别：性质定理是根据两条直线平行，去证角的相等或互补，判定定理是根据两角相等或互补，去证两条直线平行．联系：它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提；它们的条件和结论是互逆的． [练习]课本第15页课内练习2：理由如下：∵∠2+∠3=180º，又∵∠1+∠2=180º∴∠1=∠3 ∴a ∥b 课本第15页作业题4：∵∠1=∠2，∴1l ∥2l∴∠3=∠4『归纳』略.【学习检测】1．C 2．0=x ．3．（1）假命题；反例：如图，点M 在线段AB（2）真命题4．解：DE ∥BC .理由如下：∵BD ⊥AC ，FG ⊥AC ，∴BD ∥FG , ∴∠1＝∠DBC ∵∠1＝∠2∴∠2＝∠DBC ，∴DE ∥BC . 【巩固提高】1. ∠B =∠C . 理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠EAD ＝∠B , ∠DAC ＝∠C ∵AD 平分∠EAC , ∴∠EAD ＝∠DAC ∴∠B ＝∠C2．真命题：①②⇒④理由：∵BD 是∠ABC 的平分线；∴∠DBC ＝21∠ABC ∵CE 是∠ACB 的平分线；∴∠EC B ＝21∠ACB∵∠A +∠ABC +∠ACB ＝180º， ∴12(∠A +∠ABC +∠ACB )＝90º，即∠DBC +∠ECB =90º－12∠A 又∵∠BFC +∠DBC +∠ECB ＝180º ∴∠BFC =180º －（90º－12∠A ）=2190+︒∠A∵∠A =α ∴∠BFC =α2190+︒真命题：①③⇒⑤理由：∵BD 、CE 是ΔABC 的两条高 ∴∠ADB =∠BEC =90º ∴∠A +∠ABD =90º，∠EFB +∠ABD =90º ∵∠EFB =∠A =α ∴∠BFC =α-︒180.二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，“思考二”可先让学生独立思考、尝试完成后，再由老师引导小结，挖掘拓展，相应的练习配置及检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结：A1．知识技能方面（1）理解真命题、假命题和定理的概念；（2）会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分基本事实、定理和命题；（3）理解反例的意义和作用，掌握在简单情况下利用反例说明一个命题是错误的 2．思想方法方面通过对真假命题的判断，培养学生科学严谨的学习方法. 3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．（1）让学生理解真命题常常通过推理的方式即根据已知事实来推断未知事实，也有一些命题是人们经过长期实践后而公认为正确的命题；（2）困惑：反例有助于加深学生对命题的条件和结论之间关系的认识，但是构造反例是困难的. 4．需要进一步研究的问题：进一步学会用推理的方法来判断真命题的成立.1.3 证明（1）【学习准备】1. 图1、图2中的直线看上去并不平行，而实际上是互相平行的.2. 视觉上是左边的小圆小于右边的小圆.【课本导学】『思考一』1.可以用推平行线法或利用平行线的判定方法找相等的同位角或内错角、互补的同旁内角．2.如：n =6时，代数式的值是25，不是质数．『练习』第16页“合作学习”：2. “对于自然数n ，代数式237n n -+的值都是质数”是个假命题.如：n =6时，代数式的值是25，不是质数.『归纳』1.说明一个命题是真命题，我们往往需要进行证明．说明一个命题不是真命题，我们只需要举出相应的反例即可.2. 在以往的学习中，我们已经学习过简单的说理过程.比如学习平行线性质运用的时候. 『思考二』1．说明∠1=∠2的过程中∠E 起着桥梁作用.2．要想证明BE 平分∠ABC ，只要证明∠1=∠2.而已知∠1=∠E ，由DE ∥BC 可知 ∠2=∠E ，从而∠1=∠2可证.从而原命题可证. 『练习』课本第17页课内练习1：证明：∵∠1=∠2 （已知），∴DE ∥BC （内错角相等，两直线平行）， ∴∠ADE =∠B （两直线平行，同位角相等）. 课本第17页课内练习2：证明：∵CE 平分∠ACD （已知），∴∠ACD =2∠ECD （角平分线的意义）. 又∵∠ACD =2∠B （已知）， ∴∠ECD =∠B （等量代换），∴CE ∥AB （同位角相等，两直线平行）. 课本第18页作业题2：∠B+∠C1802A-∠1802A-∠同角（等角）的余角（补角）性质等.『思考三』1．例2的结论还可以有：∠EPF=90°，EP⊥FP.命题：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直.2. 由平行线性质，将同旁内角之间的位置关系转化为“和为180°”这个数量关系；由角平分线转化为两角相等.『练习』第17页作业题1 ：已知，GH，180°，两直线平行同旁内角互补，垂直的意义，垂直的定义．『归纳』1．两直线平行同旁内角互补．2．对顶角相等；若两直线相交成90度角，那么这两条直线互相垂直；若两线垂直，则相交成90度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；同（等）角的余（补）角相等；角平分线分得的角相等；三角形内角和为180度；等等．【学习检测】1．70°.2．证明：∵a∥b，∠1=50°（已知），∴∠3=50°（两直线平行，内错角相等），∵c∥d（已知），∴∠4=∠3=50°（两直线平行，内错角相等）.∴∠2=180°－∠4=130°.3．证明：∵AB∥DC（已知），∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AD∥BC（已知），∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A=∠C（同角的补角相等）.4．证明：∵AB∥DE（已知），∴∠AGF=∠E（两直线平行，同位角相等），∵BC∥EF（已知），∴∠AGF=∠B（两直线平行，同位角相等）∴∠B=∠E（等量代换）.【巩固提高】1.可得到结论：∠ABC=∠DEF，AB∥ED.ab c21d34第2题A BCE F D GH证明：∵AC ∥FD （已知），∴∠C =∠F （两直线平行，内错角相等），∵∠A =∠D （已知），∠ABC =180°－∠A －∠C ，∠DEF =180°－∠D －∠F (三角形内角和为180°）， ∴∠ABC=∠DEF∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）.2．不是真命题.223n n ++=(2)3n n ++，当n 为正整数时，n 与(2)n +同奇或同偶，(2)n n +的结果可奇可偶，那么加上3，结果也是可奇可偶.当n 为偶数时，223n n ++都是奇数.二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考1”及练习的学习可以在课前进行，使学生自主回顾已学习的相关知识.课堂上进行“思考2、3”的学习和讨论．各部分相应设置的课本中练习可以酌情选做.本节课的关键在于使学生学会分析证明思路和书写简单的证明过程，在书写过程中强调步步有依据.三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）学会简单的证明过程的书写，掌握书写格式. （2）知道用举反例的方法说明一个命题是假命题．（3）学会简单的分析方法，并能口述分析问题的思路.2．思想方法方面在证明过程中体会数与形的互相转化，渗透转化思想；在分析和书写过程中，加强逻辑性、条理性的训练，提高学生的思维能力；在解题后的反思中，引导学生归纳几何中常见的方法和模型.3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等：经验有：证明角相等的方法归类；数形互相转化的途径等．困惑的地方有：第18页作业题2中必须用到三角形内角和的性质，这里的理由书写是否直接沿用小学的知识就可以了.1.3 证明（2）【学习准备】如图，将∠A 沿过AB 、AC 中点的直线EF 对折，则点A 恰好落在边BC 的点D 上.根据对折知AE =ED ，AF =FD .从而有BE =ED ，DF =CF ，所以沿EG 、FH 对折，可以得到B 、D 两点重合，C 、D 两点重合.因此，∠BAC +∠B +∠C =∠BDE +∠EDF +∠FDH =180°.【课本导学】『思考一』1．（1）都是将原三角形的三个内角拼成一个平角来验证. （2）有.如图所示：图3ABCED图1ABCE图2DA BFE2.(1)三角形外角的性质，描述的是三个角之间的关系，并且是将一个大角写成了两个较小的角的和.这种形式，是以往的定理中没有出现过的.（2）∠B=55°.『练习』(1) 课本第20页作业题1：已知，高线的意义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．课本第20页作业题3：解：∵∠3=∠1+∠2=100°，∴∠1=∠2=50°．（2）课本第19页课内练习1：证明：在△ACD中，∠CAD=180°－90°－72°=28°.又∠DAB=∠CDA－∠B=72°－54°=28°.∴∠CAD=∠DAB，即AD平分∠BAC.课本第20页作业题2：证明：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠BDC=75°，∠A=40°,∴∠ABD=35°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=35°，∠ABC=70°.∴在△BCD中，∠C=180°－35°－75°=70°.『归纳』1.最后一步“∠BOC=∠BEC+∠AC F”的理由是“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．2. 运用了三角形的内角和定理、三角形外角的性质定理、角平分线的性质与判定.『思考二』1．内错角相等，两直线平行.同位角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.∴∠BOC=∠BOD +∠COD=（∠BAO+∠1）+（∠CAO+∠2）=∠BAC+∠1+∠2.『归纳』1.都构造了三角形的外角．2.三角形外角的性质可以将一个角转化为两个角的和；可以已知两个角，求第三个角．【学习检测】1．31°. 2．55°，80°. 3．C .4．证明：∵∠EAC=∠B+∠C，∠EAC=∠EAD+∠DAC又AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，∴∠EAC =2∠EAD =2∠B，∴∠EAD =∠B，∴AD∥BC.【巩固提高】1．80°.2.（1）∠A +∠ACD +∠D =360°. 证明：连结AD ， ∵A B ∥DE ，∴∠BAD +∠ADE =180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵∠CAD +∠ACD +∠CDA =180°（三角形的内角和为180°），∴∠BAD +∠ADE +∠CAD +∠ACD +∠CDA =∠BAC +∠ACD +∠CDE =360°. (2) ∠ACD =∠BAC +∠CDE . 证明：连结AD ， ∵A B ∥DE ，∴∠BAD +∠ADE =180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵∠CAD +∠ACD +∠CDA =180°（三角形的内角和为180°）， ∴∠BAD +∠ADE =∠CAD +∠ACD +∠CDA ，即（∠BAC +∠CAD ）+（∠CDA +∠CDE ）=∠CAD +∠ACD +∠CDA ， ∴∠ACD =∠BAC +∠CDE .或延长AC 交DE 于点F ，应用三角形外角性质也可推得结论.二、《学习导航》使用建议“学习准备”的自主学习可以在课前进行，作为对小学知识的回顾.课堂上对“思考1”进行分段自主学习，先讨论三角形内角和定理的证明思路和方法，然后学习三角形外角性质.“思考2”的学习和讨论，侧重于对辅助线添法的交流探讨.三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）掌握三角形内角和定理和三角形外角性质的证明方法. （2）进一步规范证明的表述格式. （3）初步体会辅助线的添加思路. 2．思想方法方面通过例3、例4中辅助线的添加方法探讨，体会数学中的构造思想和转化思想；通过辅助线的多样添加方法，体会数学解决问题策略的多样化.3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等：辅助线的添加思路是要将条件密集，构造出需要的图形，便于转化未知为已知.1.4 全等三角形【学习准备】图案标记略.【课本导学】『思考一』1．从形状和大小两个方面进行考虑.C A2. 生活中常见的全等图形有：国旗上的小五角星；相同的邮票、照片等等.3. 半径相等的圆，等等.图形略.[练习]课本第22页做一做．1.（1）是全等图形.大小形状都一样.（2）不是.形状相同，大小不等. 课本第22页２．是全等图形.可以叠合图形，看是否重合.课本第24页作业题2.（1）（2）正确.因为图形的形状大小相同.（4）正确.因为全等三角形大小相等，所以面积相等.（3）不正确.因为面积相等的三角形形状不一定相同.『归纳』1.叠合时可以将三角形的三个顶点逐一叠合；或将对应的角或边叠合.2.需要两个条件：形状相同，大小相等.『思考二』填空：完全重合；≌.1. 用符号“≌”表示两个三角形全等，书写时要注意对应顶点的字母写在对应的位置上.2. 若已知两个全等三角形的对应顶点，以对应顶点为顶点的三角形内角即所找的对应角，对应点连结的线段即对应边；知道对应角，则对应角的顶点即对应顶点，对应角所对的边即对应边，或对应顶点连结而成的线段即对应边；知道对应边，则对应边所对的角即对应角，对应角的顶点即对应顶点.[练习]课本第24页课内练习1 ：是全等图形；因为这样的两个圆大小相等，能够互相重合.课本第24页课内练习2：对应边：AO和DO，OC和OB，AC和DB；对应角：∠A和∠D，∠C和∠B，∠AOC和∠BOD.课本第24页作业题1：对应角：∠D和∠C，∠AOD和∠BOC；对应边：AO和BO，OD和OC，AD和BC；△OAD≌△OBC.『归纳』1. 全等三角形的对应顶点、对应角、对应边之间的联系：对应角的顶点是对应顶点；对应角所对的边是对应边；两组对应边所夹的角是对应角，两组对应角所夹的边是对应边.2. 用符号“≌”连接的一对全等三角形，在找对应顶点、对应边、对应角的过程中，对应位置上的两个字母表示的是对应顶点，字母对应两两组合成的字母对表示对应的边，字母三三组合成的字母组合表示对应的角.『思考三』1. 例2 中判断两个三角形全等的依据是图形全等的定义.2. 关键是判断点B和点C是否重合.分两个步骤进行：先判断两点所在的射线AB、AC对折后能重合，然后判断由线段相等判断射线上的点B和点C能重合.3. BD=CD，∠B=∠C，也可以直接应用“全等图形”的定义进行判断.题中已经说明了将图形沿AD对折后，点B、点C可以互相重合，因此线段DB、DC可以互相重合，所以BD=CD.而∠B与∠C的顶点及其两边分别可以重合，所以∠B=∠C.[练习]课本第24页作业题3：∠ADC，重合，C，重合，≌，全等三角形的对应角相等.『归纳』1. 本节课学习的全等图形的判定依据是全等图形的定义：能够互相重合的图形叫全等图形.。

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初中数学精品试题：认识三角形(二)

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1.1认识三角形练习

第一讲认识三角形

1.1 认识三角形 第2课时 浙教版数学八年级上册课件(共24张PPT)

1.1认识三角形(2)

1.1(2)OK

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