核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 2.7 函数的

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解：当 0<x<π4时，0<tanx<1，f(x)＝cosxscinoxs－2x sin2x＝tanx－1 tan2x，设 t＝tanx，则 0<t<1，y＝t－1t2＝t（11－t）≥4，当且仅当 t＝1－t，即 t＝12时等号成立．故选 D.
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＝－tanπ6－α＝－
33.故填－
3 3.
解：由已知得 tanα＝12. (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaannαα－＋31＝－53. (2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sinsi2nα2＋α＋sincoαsc2oαsα＋2
＝tatna2nα2＋α＋ta1nα＋2＝121222＋＋121＋2＝153.
α
1－452＝35，∴tanα2＝ sin2α＝43；
cos2
②当α2是第三象限角时，与 sinα2＝45矛盾，舍去．
综上，tanα2＝43.故填43.
解法一：由ssiinnα2α－＋ccoossα2＝α＝12，，得 2cos2α＋2 2cosα＋1＝
0，即( 2cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－ 22.又 α∈(0，π)，∴α＝34π， tanα＝tan34π＝－1.
解：由题意知 sinθ＋cosθ＝－m2 ，sinθcosθ＝m4 ，又(sinθ＋cosθ)2
＝
1
＋
2sinθcosθ
，
∴
m2 4
＝
1
＋
m 2
，
解
得
m ＝ 1±
5.又
Δ ＝ 4m2 －
16m≥0，∴m≤0 或 m≥4，∴m＝1－ 5.故选 B.
解：∵π4＜α＜π2，∴sinα＞cosα.∵1－2sinαcosα＝

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 2.7 函数的

§2.7 函数的图象1．作函数的图象有两种基本方法： (1)利用描点法作图，其一般步骤为： ①确定函数定义域； ②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； ④描点并作出函数图象． (2)图象变换法． 2．图象变换的四种形式 (1)平移变换①水平平移：y ＝f (x )的图象向左平移a (a ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x －a )(a ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移a 个单位长度而得到．②竖直平移：y ＝f (x )的图象向上平移b (b ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x )－b (b ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移b 个单位长度而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”． (2)对称变换①y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )三个函数的图象与y ＝f (x )的图象分别关于、、对称；②若对定义域内的一切x 均有f (m ＋x )＝f (m －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线对称．(3)伸缩变换①要得到y ＝Af (x )(A >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的纵坐标伸(A >1时)或缩(A <1时)到原来的__________；②要得到y ＝f (ax )(a >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a <1时)或缩(a >1时)到原来的__________．(4)翻折变换①y ＝|f (x )|的图象作法：作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，上方的部分不变；②y ＝f (|x |)的图象作法：作出y ＝f (x )在y 轴右边的图象，以y 轴为对称轴将其翻折到左边得y ＝f (|x |)在y 轴左边的图象，右边的部分不变．自查自纠2．(1)①y ＝f (x ＋a ) 右 ②y ＝f (x )＋b 下 (2)①y 轴 x 轴原点 ②x ＝m(3)①A 倍 ②1a倍(2015·江西模拟)函数y ＝1－1x －1的图象是( )解：将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象．故选B .(2015·西安模拟)为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解：y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．故选C .(2015·北京)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解：在此坐标系内作出y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图．满足不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的x 范围是－1＜x ≤1，因此不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是{x |－1＜x ≤1}．故选C .若将函数y ＝f (x )的图象向左平移2个单位，再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则f (x )＝________.解：把y ＝lg(x ＋1)的图象沿y 轴对折得到y ＝lg(－x ＋1)的图象，再将图象向右平移2个单位得y ＝lg[－(x －2)＋1]＝lg(3－x )的图象． ∴f (x )＝lg(3－x )，故填lg (3－x )．(2015·浙江模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x ， x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a＝0有不相等的两个实根，则实数a 的取值范围是________．解：要使方程f (x )－a ＝0有两个不相等的实根，只要y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点．当x ≤0时，0＜2x≤1.作出函数图象如图，由图象可知0＜a ≤1.故填0＜a≤1.类型一作图作出下列函数的图象： (1)y ＝x 2－2|x |－1；(2)y ＝|2x －2|.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0. 其图象如图(1)．(1)(2)(2)首先作出y ＝2x的图象，再将图象向下平移2个单位，最后将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可，图(2)即为所求．【点拨】①本题中(2)的函数的图象是由基本函数通过变换得到的，因此可先作最基本的函数的图象，再根据平移、伸缩、对称等变换作出待作函数的图象；②变换法作函数的图象是经常用到的一种作图方法，在作图时，应注意先作出图象的关键点(如与x 轴、y 轴的交点等)和关键线(如对称轴、渐近线等)；③利用函数奇偶性与基本函数图象的特征作图，也是常用方法之一．作出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |；(2)y ＝2x －1x －1.解：(1)y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞1，－lg x ，0＜x ＜1，其图象如图(1)．(1) (2)(2)∵y ＝2x －1x －1＝2（x －1）＋1x －1＝2＋1x －1.定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∴把y ＝1x 的图象向右平移1个单位得y ＝1x －1的图象；再把y ＝1x －1的图象向上平移2个单位可得y ＝2＋1x －1的图象，如图(2)所示．类型二识图(2015·安徽)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0解：由f (x )＝ax ＋b （x ＋c ）2及图象可知，x ≠－c ，－c ＞0，则c ＜0；当x ＝0时，f (0)＝bc 2＞0，所以b ＞0；当y ＝0，ax ＋b ＝0，所以x ＝－ba＞0，所以a ＜0.故a ＜0，b ＞0，c ＜0.故选C .【点拨】函数图象的辨识可从以下几方面入手：(1)从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性；(4)从函数的周期性判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点判断图象的相对位置等．本题主要是通过函数解析式判断其定义域，通过定义域判断c 的正负，通过特殊点的位置判断a ，b 的正负．(2014·山东)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解：该函数是减函数，∴0<a <1.∵图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.故选D .类型三用图设a 为实数，且1＜x ＜3，试讨论关于x 的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数．解：原方程即a ＝－x 2＋5x －3.分别作出函数y ＝－x 2＋5x －3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋134(1＜x ＜3)和y ＝a 的图象，得当a ＞134或a ≤1时，原方程的实数解的个数为0；当a ＝134或1＜a ≤3时，原方程的实数解的个数为1；当3＜a ＜134时，原方程的实数解的个数为2.【点拨】①将方程的解的个数转化为函数图象的交点的个数；②通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．(2014·苏北四市期末)已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________．解：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2），x ≥2，x （2－x ），x <2，作出y ＝f (x )的大致图象如图，f (x )＝1时，x ＝1或x ＝1＋2，由f (2－x )≤f (1)得2－x ≤1＋2，从而得x ≥－1，故填{x|x≥－1}．1．涉及函数图象问题的试题形式主要有： ①知图选(求)式； ②知式选(作)图； ③图象变换； ④图式结合等．对基本初等函数，要“胸有成图”，会“依图判性”，进而达到对图“能识会用”． 2．识图与用图 (1)识图对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等．(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托．函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期等．3．图象对称性的证明(1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C 1与C 2的对称性，即证明C 1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C 2上，反之亦然．1．函数y ＝log 3x 的图象与函数y ＝log 13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y ＝x 对称解：y ＝log 13x ＝－log 3x ，y ＝log 3x 与y ＝－log 3x 关于x 轴对称．故选A .2．(2015·郑州模拟)已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数可能为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |) 解：y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ≥0，f （x ），x ＜0.故选C .3．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解：因为函数y ＝log a x 过点(3，1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，而y ＝3－x不可能过点(1，3)，排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1，1)，排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B .4．把函数y ＝log 2(x －1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的函数式为( )A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝log 2(2x ＋2)C ．y ＝log 2(2x －1)D ．y ＝log 2(2x －2)解：把函数y ＝log 2(x －1)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y ＝log 2(2x －1)的图象，再向右平移12个单位长度，所得函数的解析式为y ＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1＝log 2(2x －2)．故选D .5．(2013·四川)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解：由3x－1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x33x －1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x＝－1时，y ＝（－1）313－1＝32>0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝6480，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上单调递增，可排除选项D.故选C .6．已知f (x )＝|2x－1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a＜2cD ．1＜2a＋2c＜2解：作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，∵当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，∴结合图象可知a ，b ，c 不可能同时大于等于0，也不可能同时小于等于0.因此，这三个数的相对位置如图所示，其中a ＜0，0＜c ＜1，b 可正可负也可为0，选项A ，B 错；由图象知－a ＞c ＞0，∴2－a＞2c ，选项C 错；对于选项D ，∵0＜2a ＜1，1＜2c＜2，而f (a )＞f (c )，∴1－2a＞2c－1，得1＜2a＋2c＜2.故选D .7．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1，1)对称，则实数a ＝________．解：函数f (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1，当a ＝2时，f (x )＝2(x ≠1)，不关于点(1，1)对称，故a ≠2，其图象的对称中心为(1，a )，所以a ＝1，故填1.8．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．解：将y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象，由已知可得f (x )的图象的对称轴为x ＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f （x ）≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，f （x ）≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1，2]．故填(－∞，0]∪(1，2]．9．已知f (x )的图象如图所示，在[0，4]上是抛物线的一段，求f (x )的解析式．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ＜0，x 2－4x ＋3，0≤x ≤4，－3x ＋15，x ＞4.10．若函数y ＝mx 与函数y ＝|x |－1|x －1|的图象无公共点，求实数m 的取值范围．解：由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x －1（x <0），－1（0≤x <1），1（x >1），它的图象如图．由图可知，当－1≤m ＜m 0(m 0为直线y ＝mx 与图中曲线相切时直线的斜率)时，符合要求．将y ＝mx 与y ＝1＋2x －1联立得mx 2－(m ＋1)x －1＝0，由Δ＝0得m ＝－3＋22＝m 0.∴实数m 的取值范围为[－1，－3＋22)．11．已知函数f (x )＝ax 3－x 2＋cx (a ≠0)的图象如图所示，它与x 轴仅有两个交点O (0，0)和A (x A ，0)(x A ＞0)．(1)证明常数c ≠0；(2)如果x A ＝12，求函数f (x )的解析式．解：(1)证明：假设c ＝0，则f (x )＝x 2(ax －1)，∴x A ＝1a＞0.当x ＞x A 时，f (x )＞0；当x ＜x A 时，f (x )＜0.这与图象显示的“当0＜x ＜x A 时，f (x )＞0”矛盾，故c ≠0.(2)f (x )＝x (ax 2－x ＋c )．∵函数的图象与x 轴有且仅有两个公共点，∴ax 2－x ＋c ＝0有两个相等的实数根x ＝12.∴1a ＝12＋12＝1且Δ＝1－4ac ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14. 故所求函数为f (x )＝x 3－x 2＋14x .(2014·襄阳四中模拟)已知a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )解：由函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是奇函数得f (0)＝log a b ＝0，解得b ＝1.所以f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)，令y ＝x ＋x 2＋1，则y ′＝1＋x x 2＋1＝x 2＋1＋x x 2＋1＞|x |＋xx 2＋1≥0，∴y ＝x ＋x 2＋1是增函数，由复合函数的单调性可知a ＞1. 所以g (x )＝log a ||x |－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧log a （－x －1）（x ＜－1），log a （x ＋1）（－1＜x ＜0），log a（1－x ）（0≤x ＜1），log a（x －1）（x ＞1），当x ＜－1时，函数g (x )单调递减；当－1＜x ＜0时，函数g (x )单调递增，排除B ，C ，D ，经验证，A 适合．故选A .。

高考复习《核按钮新课标(理)数学教师用书》【564页含答案】

目录第一章集合与常用逻辑用语 (1)§1.1集合 (1)§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 (7)§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (13)单元测试卷 (18)第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 (21)§2.1函数及其表示 (21)§2.2函数的单调性与最大(小)值 (28)§2.3函数的奇偶性与周期性 (35)§2.4二次函数 (41)§2.5基本初等函数(Ⅰ) (47)§2.6函数与方程 (55)§2.7函数的图象 (60)§2.8函数模型及其应用 (66)单元测试卷 (74)第三章导数 (78)§3.1导数的概念及运算 (78)§3.2导数的应用(一) (83)§3.3导数的应用(二) (88)§3.4定积分与微积分基本定理 (92)单元测试卷 (97)第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) (100)§4.1弧度制及任意角的三角函数 (100)§4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式 (107)§4.3三角函数的图象与性质 (112)§4.4三角函数图象的变换 (121)§4.5三角函数模型的应用 (129)§4.6三角恒等变换 (136)§4.7正弦定理、余弦定理及其应用 (144)单元测试卷 (152)第五章平面向量 (157)§5.1平面向量的概念及线性运算 (157)§5.2平面向量的基本定理及坐标表示 (164)§5.3平面向量的数量积 (169)§5.4平面向量的综合应用 (176)单元测试卷 (183)第六章数列 (187)§6.1数列的概念与简单表示法 (187)§6.2等差数列 (194)§6.3等比数列 (201)§6.4数列求和及应用 (207)单元测试卷 (214)第七章不等式 (218)§7.1不等关系与不等式 (218)§7.2一元二次不等式及其解法 (223)§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (231)§7.4基本不等式及其应用 (239)单元测试卷 (244)第八章立体几何 (248)§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图 (248)§8.2空间几何体的表面积与体积 (255)§8.3空间点、线、面之间的位置关系 (261)§8.4空间中的平行关系 (268)§8.5空间中的垂直关系 (275)§8.6空间向量及其加减、数乘和数量积运算 (283)§8.7空间向量的坐标表示、运算及应用 (290)单元测试卷 (302)第九章平面解析几何 (308)§9.1平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程 (308)§9.2两条直线的位置关系 (314)§9.3圆的方程 (320)§9.4直线、圆的位置关系 (325)§9.5曲线与方程 (332)§9.6椭圆 (338)§9.7双曲线 (345)§9.8抛物线 (351)§9.9直线与圆锥曲线的位置关系 (357)单元测试卷 (366)第十章算法初步 (370)§10.1算法与程序框图 (370)§10.2基本算法语句 (378)单元测试卷 (383)第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布 (388)§11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (388)§11.2排列与组合 (393)§11.3二项式定理 (400)§11.4随机事件的概率 (406)§11.5古典概型 (411)§11.6几何概型 (416)§11．7离散型随机变量及其分布列 (425)§11．8独立事件与二项分布及其应用 (431)§11．9离散型随机变量的均值与方差 (439)§11．10正态分布 (447)单元测试卷 (453)第十二章统计 (458)§12.1随机抽样 (458)§12.2用样本估计总体 (463)§12.3变量间的相关关系与线性回归方程 (471)§12.4统计案例 (478)单元测试卷 (487)第十三章推理与证明 (492)§13.1合情推理与演绎推理 (492)§13.2直接证明与间接证明 (497)§13.3数学归纳法 (501)单元测试卷 (505)第十四章数系的扩充与复数的引入 (509)§14.1数系的扩充和复数的概念 (509)§14.2复数代数形式的四则运算 (513)单元测试卷 (516)第十五章选考内容 (519)§15.1几何证明选讲 (519)§15.2坐标系 (527)§15.3参数方程 (533)§15.4不等式选讲 (540)单元测试卷 (547)第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．从近几年高考来看，集合的运算考查比较频繁，新课标强调用韦恩图表达集合的关系及运算，高考试卷中的相应内容也明显增加，应引起足够的重视．1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，_______.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集正整数集自然数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系：表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集⊆A， B(B≠) 结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个．4．两个集合A与B之间的运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A的补集记为________ Venn图表示(阴影部分)意义5.集合的运算(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝_______；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________；⑥∁U(A∩B)＝(∁U A)________(∁U B)；⑦∁U(A∪B)＝(∁U A)________(∁U B)．(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.【自查自纠】1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N*(N＋)N Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A⇐B B⇑A非空集合2n4．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②∅③U④∅⑤U⑥∪⑦∩(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(2013·重庆)已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝() A．{1，3，4} B．{3，4}C．{3} D．{4}解：∵A∪B＝{1，2，3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．故选D.已知全集U＝R，集合M＝{x|||x－1≤2}，则∁U M＝()A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1≤x≤3}C．{x|x＜－1或x＞3} D．{x|x≤－1或x≥3}解：可以解得集合M＝{x|－1≤x≤3}，又知全集是R，所以∁U M＝{x|x＜－1或x＞3}，故选C.设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝()A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解：∵∁R S＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．故选C.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A＝______________．解：因为全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A＝{x|0<x<1}，故填{x|0<x<1}．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.解：∵3∈B，a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.故填1.类型一集合的概念(2013·河南调考)已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，求a的值．解：由于－3∈A，故a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－32.当a＝－1时，A＝{－3，－3，12}，不符合集合中元素的互异性，舍去；当a＝－32时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，12满足题意，故a＝－32.【评析】对于集合中含有参数的问题，要注意将得到的参数的值代回集合中，对解出的元素进行检验，判断是否满足集合中元素的互异性．已知全集S＝{1，3，x3－x2－2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果∁S A＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，说明理由.解：由题意得x3－x2－2x＝0，∴x(x＋1)(x－2)＝0，解得x＝0，或x＝－1，或x＝2.当x＝0时，集合A不满足元素的互异性，故舍去；当x＝－1或x＝2时，经检验满足条件．∴实数x存在，且x＝－1或x＝2.类型二集合间的关系已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}.(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m 的取值范围；(2)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m 的取值范围；(3)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m 的取值范围.解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，(1)因为B⊆A，所以，①若B＝Ø，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B⊆A；②若B≠Ø，则⎩⎪⎨⎪⎧m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈Ø，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆ B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.所以m 的取值范围为[3，4]．【评析】本例主要考查了集合间的关系，当B ⊆ A 时，B 可能为空集很容易被忽视，要注意这一“陷阱”.(1)已知集合A ＝{x |x ＞1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}.若B ⊆ A ，求m 的取值范围.解：若B ⊆ A ，当B ＝Ø时，则m ＞m ＋3，不成立；当B ≠Ø时，则有m ＞1，故m 的取值范围为(1，＋∞)．(2)(2012·全国大纲)已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆ BB ．C ⊆ B C ．D ⊆ CD ．A ⊆ D解：∵正方形是特殊的矩形，矩形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的菱形，菱形是特殊的平行四边形，∴C ⊆ B ⊆ A ，C ⊆ D ⊆ A .故选B.类型三集合的运算设集合M ＝{y |y ＝||cos 2x －sin 2x，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ||x －1i |<2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1] 解：y ＝||cos 2x －sin 2x ＝||cos2x ∈[0，1]，所以M ＝[0，1]；因为⎪⎪⎪⎪x －1i <2，||x ＋i <2，又因为x ∈R ，根据复数模的定义，x 2＋1<2，即x 2<1，所以－1<x <1，从而N ＝(－1，1)，所以M ∩N ＝[0，1)．故选C.【评析】某些基本概念(公式或性质)与集合运算的简单综合题是高考考查的热点题型．本题确定出集合的元素是关键，通过集合M 考查三角函数的倍角公式和三角函数的性质；通过集合N 考查复数的基本性质和模的定义以及简单不等式的解法．(2012·辽宁)已知全集U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B ＝{2，4，5，6，8}，则 (∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5，8}B ．{7，9}C ．{0，1，3}D ．{2，4，6}解：A ∪B ＝{0，1，2，3，4，5，6，8}．由集合运算的性质知(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7，9}．故选B.类型四 Venn 图及其应用设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A ．PB ．M ∩PC ．M ∪PD ．M解：作出Venn 图．当M ∩P ≠Ø时，由图知，M －P 为图中的阴影部分，则M －(M －P )显然是M ∩P .当M ∩P ＝Ø时，M －(M －P )＝M －M ＝{x |x ∈M ，且x ∉M }＝Ø＝M ∩P .故选B .【评析】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M －P ”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn 图将问题简单化．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x <3}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x ≤2}解：图中阴影部分的集合表示∁U M 与集合N 的交集，又∁U M ＝{x |x ≤2}，故可知(∁U M )∩N ＝{x |1＜x ≤2}．故选C.类型五和集合有关的创新试题设S 为复数集C 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集，下列命题：①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集； ④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集.其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)解：①对，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y 时，0∈S ；③错，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S ＝{0}⊆T ，T ＝{0，1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②.故填①②.【评析】本题具有高等数学背景，这些新的定义是我们平时学习中很难碰到的．对此，我们可以利用特例和熟知的内容进行分析，看结果是否符合题意，从而得出正确的判断．总之，化陌生为熟悉，化非常规为常规是解决这类问题的基本方法．定义A ⊗B ＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B ，设A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，则A ⊗B 中所有元素的和为( )A ．1B ．3 C．9D ．18解：当x ＝0，y ＝1或x ＝0，y ＝2时，xy ＋xy＝0；当x ＝2，y ＝1时，xy ＋xy＝4；当x ＝2，y ＝2时，xy＋x y ＝5，∴A ⊗B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B ＝{0，4，5}，0＋4＋5＝9，故选C .1.解集合问题注意“三化”(1)代表元素“意义化”：代表元素反映了集合中元素的特征.解题时要紧紧抓住代表元素及其属性，可通过列举元素，直观发现或通过元素特征，求同存异，定性分析.应做到“意义化”，即分清集合的类型(数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等).(2)元素组成“具体化”：有些集合中的元素所满足的条件是可以化简的，如果先化简再研究其关系，则可使问题变得简单明了，易于解决.(3)数形结合“直观化”：结合数轴、坐标系(包括函数图象、平面区域等)及韦恩(Venn)图可使问题直观化，更便于求解．2.正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题.例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围.这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，⇒58≤a ＜3，a ＞4a －9从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.3.两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词且、或、非对应，但不能等同和混淆.4.五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝Ø是两两等价的.5.空集与全集是两个特殊的集合，应了解其含义，解题时要特别注意对含空集情况的分析.1.已知集合M ＝{1，2，3}，N ＝{2，3，4}，则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ∩N ＝{2，3} D ．M ∪N ＝{1，4} 解：由已知得M ∩N ＝{2，3}，则C 正确，易知A ，B ，D 错误．故选C.2．(2012·湖南)设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1}解：∵N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{－1，0，1}， ∴M ∩N ＝{0，1}．故选B.3.已知三个集合U ，A ， B 及元素间的关系如图所示，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{5，6}B ．{3，5，6}C ．{3}D ．{0，4，5，6，7，8}解：易知U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，5，6}，∴∁U A ＝{0，4，5，6，7，8}．∴(∁U A )∩B ＝{5，6}．故选A.4.(2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A.()0，1B.(]0，2C.()1，2D.(]1，2 解：易知A ＝{}x |1<x <4，∴A ∩B ＝(]1，2.故选D.5.(2013·山东)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：由题意知，x －y ＝0，－1，－2，1，2.所以B 中元素个数为5，故选C.6.(2013·上海)设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解：当a ＞1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝ [a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1＜a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a ＜1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又∵a －1≤a ，∴A ∪B ＝R ，故a ＜1满足题意，综上知a ∈(－∞，2]．故选B.7.已知集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤1}，则A ∪B ＝______.解：∵A ＝{x |lg x ≤0}＝(0，1]，B ＝{x |2x ≤1}＝(－∞，0]，∴A ∪B ＝(－∞，1]．故填(－∞，1]．8.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝⎛⎭⎫121－x >1，N ＝{x |||x －1≤2}，则N ∩(∁R M )＝______________. 解：集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝⎛⎭⎫121－x >1＝(1，＋∞)，N ＝{x |||x －1≤2}＝[－1，3]，N ∩(∁R M )＝[－1，1]．故填[－1，1]．9．记关于x 的不等式x －ax ＋1＜0的解集为P ，不等式||x －1≤1的解集为Q .(1)若a ＝3，求P ；(2)若Q ⊆P ，求正数a 的取值范围.解：(1)由x －3x ＋1＜0，得P ＝{x |－1＜x ＜3}．(2)∵Q ＝{x |||x －1≤1}＝{x |0≤x ≤2}，∴由a ＞0，得P ＝{x |－1＜x ＜a }，又Q ⊆P ，∴a ＞2，即a 的取值范围是(2，＋∞)．10．已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1≥1，集合B ＝{x |x 2－2x －m ＜0}.(1)当m ＝3时，求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}，求m 的值.解：∵6x ＋1≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，6≥x ＋1⇔－1＜x ≤5，∴A ＝{x |－1＜x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1＜x ＜3}， ∴∁U B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)由A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}可知x ＝4是方程x 2－2x －m ＝0的一个根，∴42－2×4－m ＝0，∴m ＝8；x ＝－1可能是方程x 2－2x －m ＝0的另一根， ∴(－1)2－2×(－1)－m ＝0，∴m ＝3. 当m ＝8时，B ＝{x |－2＜x ＜4}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}符合题意；当m ＝3时，B ＝{x |－1＜x ＜3}，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜3}不合题意．综上知，m ＝8.11.已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}.(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝Ø，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的值.解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}． (1)当a ＝0时，B ＝Ø，不合要求．当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4⇒43≤a ≤2，当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，解集为Ø.∴当43≤a ≤2时，A ⊆B .(2)要满足A ∩B ＝Ø，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2，∴0<a ≤23或a ≥4.当a <0时，显然A ∩B ＝Ø.∴a <0时成立．验证知当a ＝0时也成立．综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝Ø.(3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然当a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3<x <9}，而A ∩B ＝{x |3<x <4}，故所求a 的值为3.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解：易知A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：①当B＝Ø时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1；②当Ø≠B⇐A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＞0，－2（a＋1）＝－4，a2－1＝0.解得a＝1.综上所述，a的取值范围为{}a|a≤－1或a＝1.§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.本节内容多以选择题与填空题的形式出现，是高考热点内容之一，一般以高中数学知识为载体，考查学生的逻辑推理能力，掌握本节内容的关键是深刻理解相关概念.1.命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题.(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________.(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________.(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________.(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么______________________就叫做原命题的逆命题；______________________就叫做原命题的否命题；__________________就叫做原命题的逆否命题.2.四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系图(请你补全)(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.3.充分条件和必要条件(1)如果p⇒q，则称p是q的________，q是p 的_________.(2)如果________，且________，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的__________，记作________.(3)如果p⇒q，但q p，那么称p是q的______________条件.(4)如果________，但________，那么称p是q的必要不充分条件.(5)如果________，且________，那么称p是q的既不充分也不必要条件.【自查自纠】1.(1)判断真假判断为真判断为假(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题(5)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2.(1)(2)①相同②没有关系3.(1)充分条件必要条件(2)p⇒q q⇒p充要条件p⇔q(3)充分不必要(4)p q q⇒p(5)p q q p下列语句为命题的是()A．对角线相等的四边形B．a＜5C．x2－x＋1＝0D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形解：只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D .(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：“a ＝3” ⇒ “A ⊆B ”，反之，A ⊆B ⇒a ＝2或3.故选A.(2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，tan α≠1B ．若α＝π4，tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解：“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”.故选C.已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________.解：∵“＝”的否定为“≠”，“≥”的否定为“<”，∴ 命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”.故填若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.已知下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若m ≤1，则方程x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题.其中真命题的是_________(填写对应序号即可). 解：对于①，“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”为真命题；对于②，“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不等的三角形不全等”为真命题；对于③，“若m ≤1，则方程x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题的真值即为原命题的真值，当m ≤1时，Δ＝4－4m ≥0，∴方程x 2－2x ＋m ＝0有实根，原命题为真，故③为真；对于④，“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题的真值即为原命题的真值，由于A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，故原命题为假，故④为假．故填①②③.类型一四种命题及其相互关系写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数； (2)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B ； (3)若x 2－2x －3＞0，则x ＜－1或x ＞3. 解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数．逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数．逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．(2)逆命题：在△ABC 中，若∠C ＞∠B ，则AB ＞AC .否命题：在△ABC 中，若AB ≤AC ，则∠C ≤∠B . 逆否命题：在△ABC 中，若∠C ≤∠B ，则AB ≤AC . 这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x ＜－1或x ＞3，则x 2－2x －3＞0. 否命题：若x 2－2x －3≤0，则－1≤x ≤3. 逆否命题：若－1≤x ≤3，则x 2－2x －3≤0. 这里，四种命题都是真命题．【评析】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p 与结论q ，将原命题写成“若p ，则q ”的形式．在(2)中，原命题有大前提“在△ABC 中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．(3)中“x ＜－1或x ＞3”的否定形式是“x ≥－1且x ≤3”，即“－1≤x ≤3”.写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零； (2)若a ＋b ＝0，则a ，b 中最多有一个大于零； (3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数.解：(1)否定形式：若xy ＝0，则x ，y 都不为零．否命题：若xy ≠0，则x ，y 都不为零． (2)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． (3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．(4)否定形式：有理数不都能写成分数．否命题：非有理数不都能写成分数．类型二定义法判定充要条件在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝csin A ，由正弦定理可得a b ＝b c ＝ca＝k .∴⎩⎨⎧a ＝kb ，b ＝kc ，⇒a ＝b ＝c .c ＝ka则q ：△ABC 是正三角形成立．反之，若a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A . 因此p ⇒q 且q ⇒p ，即p 是q 的充要条件．故选C .【评析】判断p 是q 成立的什么条件，就是根据充分条件与必要条件的定义，判断“若p ，则q ”与“若q ，则p ”是否成立，若只有一个成立，则p 是q 的充分不必要条件或必要不充分条件，若两个命题同时成立，则p 是q 的充要条件．(2013·福建)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为点P (2，－1)满足直线l 的方程，所以它在直线l 上，反之不能推出点P 的坐标必为(2，－1)，故选A.类型三集合法判定充要条件“sin α＝12”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：令A ＝{α|p (α)}，B ＝{α|q (α)}，则可得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|sin α＝12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|cos2α＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|1－2sin 2α＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|sin α＝±12.显然，A ⇐B ，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.【评析】利用集合的观点来判断充要条件的问题，就是把命题p ，q 与集合的特征性质结合起来，即p ，q 是集合A ，B 的特征性质，A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，再由集合A ，B 之间的关系就可以得到命题p ，q 之间的关系．这里用数形结合的思想方法，能使问题的解答直观、简捷．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2， B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≥4}，通过画草图可知A ⇐B ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分而不必要条件，故选A.注：此题也可采用定义法来判断．类型四充要条件的证明与探求数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B是常数)是数列{a n }是等差数列的什么条件？解：当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝2An ＋B －A ；当n ＝1时，a 1＝S 1＝A ＋B 适合a n ＝2An ＋B －A . 所以a n ＝2An ＋B －A ，显然{a n }是等差数列，故充分性成立．反之，若{a n }是等差数列，则有S n ＝na 1＋n （n －1）2d (d 为公差)，即S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 设A ＝d 2，B ＝a 1－d2，即得S n ＝An 2＋Bn ，因此，必要性成立．所以S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)是数列{a n }是等差数列的充要条件．【评析】在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：①张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；②证明充分性或必要性时，没有把“p ”(或“q ”)分别作为条件，推出“q ”(或“p ”)．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________.解：x ＝4±16－4n2＝2±4－n ，因为x 是整数，即2±4－n 为整数，所以4－n 为整数，且n ≤4，又因为n ∈N ＋，取n ＝1，2，3，4，验证可知n ＝3，4符合题意；反之，n ＝3，4时，可推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．故填3或4.类型五充要条件的应用设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.解：p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ，p q . 设A ＝{x |p (x )}＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0}＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |q (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧x |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0＝{}x |2＜x ≤3，则B ⇐A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，3a ＞3⇒1＜a ＜2，又当a ＝2时也满足B ⇐A .∴1＜a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1，2]．【评析】此题和变式5难度都不大，但“拐弯抹角”，易于出错．应注意：①充分运用充要条件的定义；②条理清晰，细心作答；③借助数轴，准确运算．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.解：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a }，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x >2}．∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件， ∴A ⇐B . ∴a ≤－4或3a ≥2. 又a <0，∴a 的取值范围是(－∞，－4]．1.命题及命题真假的判断(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.只有这两个条件都具备的语句才是命题.(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论，只有将条件与结论分清，才有可能正确地判断其真假.2.四种命题的相互关系及应用(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提.(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可应用互为逆否命题的等价性来判断：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.(4)分清“否命题”与“命题的否定”的区别.“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”是否定原命题，只否定命题的结论.3.充要条件的判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假；第三步，下结论.(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题.一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假.(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若A ⇐B ，则p 是q 的充分不必要条件； ③若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件； ④若B ⇐A ，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；⑥若A ∨B 且B ∨A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解：根据互为逆命题的概念，结论与条件互换位置，易得答案．故选B .2.若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( ) A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：当a＝2时，(a－1)(a－2)＝0；反之，若(a－1)(a－2)＝0，则a可以为1.故选A.3．(2013·上海)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件解：条件p：货便宜，q：货不好．“便宜没好货”可以表示成“若p，则q”，所以它的逆否命题“若綈q，则綈p”，即“好货不便宜”成立，因此“不便宜”是“好货”的必要条件．故选B.4.(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：φ＝π⇒曲线y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x过坐标原点，反之，曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点时，φ还可以取其他值．故选A.5.(2013·山东)给定两个命题p，q，若⌝p是q的必要而不充分条件，则p是⌝q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为⌝p是q的必要而不充分条件，可得⌝q 是p的必要而不充分条件，从而得出p是⌝q的充分而不必要条件，故选A.6.(2013·上海春季高考)已知a，b，c∈R，“b2－4ac<0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴上方”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当b2－4ac＜0时，若a＜0，则f(x)的图象在x轴的下方，充分性不成立；反之，当f(x)的图象在x 轴的上方，则b2－4ac＜0或a＝b＝0，c＞0，必要性不成立．故选D.7.(2012·山东改编)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的______________条件.解：由“函数f(x)＝a x在R上是减函数”知0＜a＜1；∵y＝x3在R上为增函数，2－a＞0，∴g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数；反之，若a＜20＜a＜1.故填充分不必要．8.已知a，b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：||a＋b>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3；p2：||a＋b>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π；p3：||a－b>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3；p4：||a－b>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π.其中真命题的是____________.解：p1：||a＋b>1⇔a2＋2a·b＋b2>1⇔1＋2cosθ＋1>1⇔cosθ>－12⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3.p4：||a－b>1⇔a2－2a·b＋b2>1⇔1－2cosθ＋1>1⇔cosθ<12⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π.故填p1，p4.9．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a ＞0).若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.解：p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0(a＞0) ⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，q p，∴{}x|－2≤x≤10⇐{x|1－a≤x≤1＋a}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－a＜－2，1＋a＞10，a＞0解得a＞9.又当a＝9时，也满足条件．因此，所求实数a的取值范围为[9，＋∞)．10.已知p：⎪⎪⎪⎪1－x－13≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若⌝p是⌝q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.解：⌝p：⎪⎪⎪⎪1－x－13＞2，即x＜－2，或x＞10，取A＝{x|x＜－2，或x＞10}，⌝q：x2－2x＋1－m2＞0，解得x＜1－m，或x＞1＋m，取B＝{x|x＜1－m，或x ＞1＋m}，∵⌝p是⌝q的必要非充分条件，∴B⇐A，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m＜－2，1＋m＞10，解得m＞9.当m＝9时，B＝{x|x＜-8或x＞10}也满足条件，所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．11.求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.解：(1)当a＝0时，方程为一元一次方程，其根。

核按钮高考数学专题复习课件导数的概念与运算

最大值和最小值
函数的极值是最大值和最小值的统称，可以通过导数和二阶导数计算。
拐点和凸凹性
函数的拐点是凸凹性转换的点，可以通过导数和二阶导数计算。
最优化问题
最优化问题是实际应用中常见的问题类型，可以通过导数方法求解。
总结
导数是数学和物理中的基础概念，具有广泛的应用和深刻的理论意义。希望通过本课程的学习，大家能够深入理解导数的概念和计算方法，掌握导数分析的基本技能，从而在数学和科学领域更加自信和成功。
核按钮高考数学专题复习课件导数的概念与运算
导数是高中数学和微积分的基本概念之一。导数用于描述函数在给定点处的变化率，是许多数学和物理问题的核心概念。在本课程中，我们将深入了解导数的概念、性质和计算方法。
导数的定义和几何意义
切线
导数是曲线在给定点处的切线的斜率。
斜率
导数是函数在给定点处的斜率，表示函数值的变化率。
隐函数
隐函数是复杂曲面的显式函数表示，导数需数
向量代数和微积分
向量函数是高维空间中的映射，导数描述了向量场的局部性质。
偏导数和全导数
高维函数的导数需要使用偏导数和全导数等更复杂的计算方法。
导数的应用
导数广泛应用于科学工程与实际问题，如最值问题和最优化问题等。
函数的导数和反函数的导数
1
一阶导数
函数的导数可以表示为函数的初等函数或数学公式的形式。
2
高阶导数
函数的导数也可以求二阶导、三阶导等高阶导数，揭示函数的更多性质。
3
反函数的导数
反函数的导数可以通过求导链式法则和反函数公式获得。
参数方程的导数和隐函数的导数
参数方程
参数方程描述曲线的参数关系，导数需要通过参数求导法则计算。

最新高考数学(理)核按钮：第二章《基本初等函数(Ⅰ)》(含解析)

第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用§2.1函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).从近几年高考来看，函数的概念、分段函数的解析式和求函数值是重点考查的内容之一，主要以选择、填空题的形式出现.1.函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有________f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________.2.函数的表示方法(1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法.3.构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且完全一致，则称这两个函数相等.4.分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数.5.映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于A中的________元素x，在集合B中都有________元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.6.映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_____________.(2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集．．.7.复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.【自查自纠】1.唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2.(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3.(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系5.任意一个唯一确定的6.(1)映射(2012·江西)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sin x B．y＝ln xxC．y＝x e x D．y＝sin xx解：函数y＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y＝1sin x的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，y＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.(2012·江西)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139解：f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139.故选D.下列各表示两个变量x ，y 的对应关系，则下列判断正确的是()A ．都表示映射，都表示y 是x 的函数B ．仅③表示y 是x 的函数C ．仅④表示y 是x 的函数D ．都不能表示y 是x 的函数解：根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________________.解：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，解得－4≤x ＜0或0＜x ≤1.故填[－4，0)∪(0，1]．规定记号“*”表示一种运算，且a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k ＝3.(1)正实数k 的值为____________；(2)在(1)的条件下，函数f (x )＝k *x 的值域是___________.解：∵1*k ＝k ＋k ＋1＝3，∴k ＝1；k *x ＝1*x ＝x＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋34>1，∴函数f (x )＝k *x 的值域是(1，＋∞)．故填1；(1，＋∞)．类型一函数和映射的定义下列对应是集合P 上的函数的是________.①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；②P ＝{－1，1，－2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应.解：由于①中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，而③中集合P 不是数集，所以①和③都不是集合P 上的函数．由题意知，②正确．故填②.【评析】函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y 与之对应；③集合P ，Q 是否为非空数集．(2013·南昌模拟)给出下列四个对应： ①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1x ＋1；②A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12a ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b |b ＝1n ，n ∈N *，对应关系f ：a →b ，b ＝1a；③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ； ④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆.其中是从A 到B 的映射的为________.解：对于①，当x ＝－1时，y 值不存在，所以①不是从A 到B 的映射；对于②，A ，B 两个集合分别用列举法表述为A ＝{2，4，6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，…，由对应关系f ：a →b ，b ＝1a知，②是从A 到B 的映射；③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B 中两个元素±1；④是从A 到B 的映射．故填②④.类型二判断两个函数是否相等已知函数f (x )＝|x －1|，则下列函数与f (x )相等的函数是( )A ．g (x )＝|x 2－1||x ＋1|B ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|，x ≠－1，2，x ＝－1C ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，1－x ，x ≤0D ．g (x )＝x －1解：∵g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|＝|x －1|，x ≠－1，2，x ＝－1，与f (x )的定义域和对应关系完全一致，故选B . 【评析】两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断．(2013·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3B ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0C ．f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1，n ∈N * D ．f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x （x ＋1）解：对于A ，f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝3x 3＝x ，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g (x )的定义域为R ，所以不是同一函数；对于C ，当n ∈N *时，2n ±1为奇数，则f (x )＝2n +1x 2n +1＝x ，g (x )＝(2n －1x )2n -1＝x ，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D ，f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数．故选C.类型三求函数的定义域(1)求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域.(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[－1，1)，求y ＝f (x 2－3)的定义域.解：(1)要使函数有意义须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，x －4≠0.解得x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2.∴函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2}，用区间表示为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，4)∪(4，＋∞)．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3≥－1，x 2－3＜1，解得⎩⎨⎧x ≤－2或x ≥2，－2＜x ＜2.∴函数的定义域为(－2，－2]∪[2，2)．【评析】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y ＝f (x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．若已知函数y ＝f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数y ＝f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 解出．(1)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (x )的定义域.(2)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (2x )的定义域.解：(1)∵函数f (2x －1)的定义域为[1，4]， ∴1≤x ≤4，1≤2x －1≤7，故函数f (x )的定义域是[1，7]． (2)由(1)知，函数f (x )的定义域为[1，7]，令1≤2x ≤7，得0≤x ≤log 27，故所求函数的定义域为[0，log 27]．类型四求函数的值域求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2； (2)y ＝2x ＋1－x ；(3)y ＝2x ＋1－x 2； (4)y ＝x 2－2x ＋5x －1；(5)y ＝a 2＋16（a －b ）b(a ＞b ＞0)；(6)若x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求函数z ＝x 2＋y 2的值域；(7)f (x )＝||2x ＋1－||x －4. 解：(1)解法一：(反解)由y ＝1－x 21＋x 2，解得x 2＝1－y 1＋y， ∵x 2≥0，∴1－y1＋y≥0，解得－1＜y ≤1，∴函数值域为(－1，1]．解法二：(分离常数法)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又∵1＋x 2≥1，∴0＜21＋x 2≤2，∴－1＜－1＋2x 2＋1≤1，∴函数的值域为(－1，1]． (2)(代数换元法)令t ＝1－x (t ≥0)，∴x ＝1－t 2，∴y ＝2(1－t 2)＋t ＝－2t 2＋t ＋2＝－2⎝⎛⎭⎫t －142＋178.∵t ≥0，∴y ≤178，故函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，178. (3)(三角换元法)令x ＝cos t (0≤t ≤π)，∴y ＝2cos t ＋sin t ＝5sin(t ＋φ) ⎝⎛⎭⎫其中cos φ＝15，sin φ＝25.∵0≤t ≤π，∴φ≤t ＋φ≤π＋φ， ∴sin (π＋φ)≤sin(t ＋φ)≤1. 故函数的值域为[－2，5]． (4)解法一：(不等式法)∵y ＝x 2－2x ＋5x －1＝（x －1）2＋4x －1＝(x －1)＋4x －1，又∵x ＞1时，x－1＞0，x ＜1时，x －1＜0，∴当x >1时，y ＝(x －1)＋4x －1≥24＝4，且当x ＝3，等号成立；当x <1时，y ＝－⎣⎡⎦⎤－（x －1）＋4－（x －1）≤－4，且当x ＝－1，等号成立．∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．解法二：(判别式法)∵y ＝x 2－2x ＋5x －1，∴x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0，又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∴方程x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0有不等于1的实根．∴Δ＝(y ＋2)2－4(y ＋5)＝y 2－16≥0，解得y ≤－4或y ≥4.当y ＝－4时，x ＝－1；y ＝4时，x ＝3.故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． (5)∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0.y ＝[(a －b )＋b ]2＋16b （a －b ）≥[2（a －b ）b ]2＋16b （a －b ）＝4(a －b )b ＋16b （a －b ）≥264＝16.当⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝b ，4（a －b ）b ＝16b （a －b ），即⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2时上式中两处等号均成立，故所求函数(二元函数)的值域为[16，＋∞)．(6)(单调性法)∵3x 2＋2y 2＝6x ，∴2y 2＝6x －3x 2≥0，解得0≤x ≤2.z ＝x 2＋y 2＝x 2＋3x －32x 2＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92.∵对称轴为x ＝3＞2，即z 在x ∈[0，2]上单调递增．∴当x ＝0时，z 有最小值0，当x ＝2时，z 有最大值4，故所求函数的值域为[0，4]． (7)(图象法)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是⎣⎡⎭⎫－92，＋∞. 【评析】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(6)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(7)；对于二元函数的值域问题(如(5)，(6))，其解法要针对具体题目的条件而定，(6)可以将二元函数化为一元函数求值域，而(5)只能用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋x －1； (2)f (x )＝x 2＋5x 2＋4. 解：(1)函数的定义域为[1，＋∞)，在[1，＋∞)上y ＝x 和y ＝x －1都是增函数， ∴y ＝x ＋x －1也是增函数，∴当x ＝1时取得最小值1，∴函数的值域是[1，＋∞)．(2)f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4.令f (x )＝t ＋1t ，而t ＋1t 在[2，＋∞)上是增函数．∴t ＋1t ∈⎣⎡⎭⎫52，＋∞. ∴f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫52，＋∞. (说明：此题易错写成f (x )＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2.∴f (x )的值域为[2，＋∞)．请同学们想一想，错在哪里？)类型五求函数的解析式求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，并且f [f (x )]＝4x ＋3，求f (x )；(2)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋8x ＋3，求f (x )；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2－3，求f (x )； (4)已知f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋2，求f (x ). 解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3. 故所求的函数为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设2x ＋1＝t ，则x ＝12(t －1)，∴f (2x ＋1)＝f (t )＝4⎣⎡⎦⎤12（t －1）2＋8⎣⎡⎦⎤12（t －1）＋3＝t 2＋2t ，所以f (x )＝x 2＋2x .(3)∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2－3＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－5，∴f (x )＝x 2－5.(4)令t ＝1x ，则x ＝1t ，∴f ⎝⎛⎭⎫1t －2f (t )＝3t ＋2，即f ⎝⎛⎭⎫1x －2f (x )＝3x＋2，与原式联立得⎩⎨⎧f （x ）－2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋2，f ⎝⎛⎭⎫1x －2f （x ）＝3x ＋2，解得f (x )＝－x －2x－2，故所求函数的解析式为f (x )＝－x －2x－2(x ≠0)．【评析】由y ＝f [g (x )]的解析式求函数y ＝f (x )的解析式，应根据条件，采取不同的方法：①若函数g (x )的类型已知，则用待定系数法；②已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；③函数方程法(即解方程组法)，如(4)，将f (x )作为一个“未知数”来考虑，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到f (x )的解析式，含f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的类型都可用此法．(2013·武汉模拟)(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求f (x ). 解：(1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由题意得3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7. ∴f (x )＝2x ＋7. (3)∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，② ①×2－②，得3f (x )＝6x －3x，所以f (x )＝2x －1x(x ≠0)．类型六分段函数定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则f (2 013)的值为________.解：∵x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，∴f (x ＋3)＝－f (x )，f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6，因此，f (2 013)＝f (6×335＋3)＝f (3)．又f (－1)＝log 22＝1，f (0)＝log 21＝0，f (1)＝f (0)－f (－1)＝－1，f (2)＝f (1)－f (0)＝－1，f (3)＝f (2)－f (1)＝0，∴f (20xx)＝0，故填0.【评析】求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．(2013·武汉调研)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0. 若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1) 解法一：作出f (x )的图象，由图可知，若f (a )＞f (－a )，则有a ＞1或－1＜a ＜0.解法二：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12（－a ）＞log 2（－a ）⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12（－a ）＞0.解之可得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C.类型七创新问题对实数a 与b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2) ⊗ (x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，32 B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34 C .⎝⎛⎭⎫－1，14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D .⎝⎛⎭⎫－1，－34∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解：令y ＝f ()x －c ＝0，则问题等价于方程f ()x ＝c 有两个实数根，即y ＝f ()x 与y ＝c 的图象有两个交点．根据定义，f ()x ＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32.在同一坐标系里画出函数y ＝f ()x 与y ＝c 的图象，由图可知，要使y ＝f ()x 与y ＝c 的图象有两个交点，则y ＝c 的活动范围是在l 1与l 2之间，或者是在l 3下方，所以实数c 的取值范围是(]－∞，－2∪⎝⎛⎭⎫－1，－34.故选B.【评析】这里“⊗”是新定义的一种运算符号，这种新运算的运算法则，题设条件已给出，按此运算法则进行运算即可求解．解关于定义、概念、法则的创新问题，关键是深刻理解新定义、新概念、新法则的内涵与外延．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x（x ⊗2）－2的解析式为( )A ．f (x )＝4－x 2x ，x ∈[－2，0)∪(0，2]B ．f (x )＝x 2－4x，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f (x )＝－4－x 2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]解：∵2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝（x －2）2＝|x －2|，∴f (x )＝4－x 2|x －2|－2.又∵函数的定义域为{x |－2≤x ＜0或0＜x ≤2}，∴f (x )＝－4－x 2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]．故选D .1.对应、映射和函数三者之间的关系对应、映射和函数三个概念的内涵是依次丰富的.对应中的唯一性形成映射，映射中的非空数集形成函数.也就是说，函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应.2.判断两个函数是否相等判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只须判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关，两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同.3.函数的表示法函数的三种表示方法在一定条件下可以互相转化，且各有优点，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，在通过解析式解决问题时，图象的直观性不容忽视.4.函数的定义域给出函数定义域的方式有两种，一种是只给定了函数的解析式(对应关系)而没有注明定义域，此时，函数定义域是指使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；一种是由实际问题确定的或预先限定了自变量的取值范围(称为实际定义域).需要注意的是：(1)若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而成的，则它的定义域是各基本初等函数定义域的交集；(2)对于含有参数的函数求定义域，或已知其定义域求参数的取值范围，需要对参数的情况进行讨论；(3)若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子域(集).5.求函数解析式的主要方法待定系数法、换元法、方程(组)法等.如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；若已知复合函数f [g (x )]的表达式时，可用换元法；若已知抽象函数的表达式时，则常用解方程(组)法.6.函数的值域求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用.常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、导数法、数形结合法等.求函数值域的基本原则有：(1)当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合.(2)当函数y ＝f (x )用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合.(3)当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定.(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定.1.设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，M ＝{y |0≤y ≤2}，则下列表示从P 到M 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝23xB ．f ：x →y ＝x 2－x2x －2C ．f ：x →y ＝13(x －3)2D ．f ：x →y ＝x ＋5－1解：对于A ，当x ＝4时，y ＝83∉M ；对于B ，当x ＝1时，函数无意义，而1∈P ；对于C ，当x ＝0时，y ＝3∉M ； D 符合映射定义，故选D .2.(2013·唐山一模)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解：∵3x ＋1＞1，∴f (x )＝log 2(3x ＋1)＞log 21＝0.故选A.3.(2012·福建)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．π解：因为g (π)＝0，所以f (g (π))＝f (0)＝0.故选B. 4.若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)解：∵f (x )的定义域为[0，2]，∴令⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解此不等式组得0≤x <1.故选B.5．下面四个命题，其中正确的有( ) ①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0的图象是抛物线.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：命题①，函数是一种特殊的映射，是正确的；命题②，定义域是空集，错误；命题③，y ＝2x (x ∈N )的图象是一些孤立的点，故③不对；命题④的图象关于原点对称，不是抛物线．只有①正确，故选A .6.(2013·厦门质检)若一列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1，3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以为{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1，3}的同族函数有 3个．故选C.7.(2013·安徽)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为____________.解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒x∈(0，1]．故填(0，1]．8.有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0 表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是____________.解：对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎫12＝f (0)＝1.综上可知，②③正确．故填②③.9.设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x ).解：由f (0)＝1，f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，令y ＝x ，得f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，∴f (x )＝x 2＋x ＋1.10．已知f (x )＝bx ＋12x ＋a(a ，b 为常数，ab ≠2)，且f (x )·f ⎝⎛⎭⎫1x ＝k 为定值，求k 的值.解：∵f (x )·f ⎝⎛⎭⎫1x ＝bx ＋12x ＋a ·b x ＋12x＋a＝（bx ＋1）（b ＋x ）（2x ＋a ）（2＋ax ）＝bx 2＋（b 2＋1）x ＋b 2ax 2＋（a 2＋4）x ＋2a. 又由条件知当x ≠0时，恒有：f (x )·f ⎝⎛⎭⎫1x ＝bx 2＋（b 2＋1）x ＋b 2ax 2＋（a 2＋4）x ＋2a＝k (常数)．则f (1)·f (1)＝f (2)·f ⎝⎛⎭⎫12＝k . 即b 2＋2b ＋1a 2＋4a ＋4＝2b 2＋5b ＋22a 2＋10a ＋8，亦即2ab 2＋2a ＝a 2b ＋4b ，∴(ab －2)(a －2b )＝0. ∵ab ≠2，∴a －2b ＝0，即a ＝2b ，∴k ＝f 2(1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＋22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋12（b ＋1）2＝14.11.已知函数f (x )＝（1－a 2）x 2＋3（1－a ）x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围.解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(i )当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ii )当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数，∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≤0⇒－511≤a ＜1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≥0⇒－1＜a ≤－511.当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－511.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1，g (x )是二次函数，若f [g (x )]的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 解：画出f (x )的图象，由f [g (x )]的值域为[0，＋∞)，得g (x )的值域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，且g (x )为二次函数，其值域应不包含(－∞，－1]，得g (x )的值域为[0，＋∞). 故选C .§2.2 函数的单调性与最大(小)值1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.掌握简单函数单调性的判断和证明方法.3.能将函数单调性、最大(小)值的定义、图象、求导等紧密结合，并能综合应用，解决函数单调性问题.函数的单调性、最值一直是高考的热点.1.函数的单调性 (1)增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ：①如果对于定义域I 内某个区间D 上的自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是 .②如果对于定义域I 内某个区间D 上的自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是.(2)单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的) ，区间D 叫做y ＝f (x )的 .2.函数的最值 (1)最大值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有； ②存在x 0∈I ，使得 .那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值. (2)最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x ∈I ，都有； ②存在x 0∈I ，使得 .那么我们称m 是函数y ＝f (x )的最小值.【自查自纠】1.(1)①任意两个增函数 ②任意两个减函数 (2)单调性单调区间2.(1)①f (x )≤M ②f (x 0)＝M (2)①f (x )≥m ②f (x 0)＝m(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x D ．y ＝x ＋1x解：易知选项中4个函数均在区间(0，＋∞)上有意义，由y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)可知：y ＝ln(x ＋2)在(0，＋∞)上是增函数．故选A.若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是()A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解：当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，a＋1－(2a ＋1)＝2，即a ＝－2，所以a ＝±2.故选C.下列区间中，函数f (x )＝||ln （2－x ）在其上为增函数的是( )A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43 C.⎣⎡⎫0，32D ．[1，2)解：f (x )的定义域为(－∞，2)，f (1)＝0，当x ∈[1，2)时，f (x )＝－ln(2－x )，由复合函数的单调性特征知f (x )为增函数．故选D.函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是____________.解：f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. ∵u ＝2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，且u ∈(0，＋∞)，y ＝log 5u 在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增．故填⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2012·上海)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数).若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________.解：图象法，根据函数f (x )＝e |x -a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x -a ，x ≥a ，e -x +a ，x ＜a .画出函数f (x )的图象如图所示，由图象知当x ≥a 时，函数f (x )为增函数，而已知函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a 的取值范围为(－∞，1]．故填(－∞，1]．类型一判断函数的单调性，求函数的单调区间(1)(2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间：①y ＝－x 2＋2|x |＋3； ②y ＝1－x 2－3x ＋2； ③y ＝x 3－3x .解：①依题意，可得当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4. 由二次函数的图象知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．②由x 2－3x ＋2≥0，得x ≥2或x ≤1，设u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝1－u ，当x ∈(－∞，1]时，u 为减函数，当x ∈[2，＋∞)时，u 为增函数，而u ≥0时，y ＝1－u 为减函数．∴y ＝1－x 2－3x ＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[2，＋∞)．③y ′＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令y ′＞0，得x ＞1或x ＜－1，由y ′＜0，得－1＜x ＜1，∴y ＝x 3－3x 的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1，1)．(2)证明f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上为单调增函数.证法一：(定义法)设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－x 22－1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 因为1＜x 1＜x 2，x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞2，x 1x 2＞1，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．证法二：(导数法)因为f (x )＝x 2＋1x(x ＞1)，所以f ′(x )＝2x －1x 2＝2x 3－1x2.又x ＞1，所以2x 3－1＞0且x 2＞0，所以f ′(x )＞0，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．【评析】求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f (g (x ))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集．(1)下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是________.①f (x )＝sin x; ②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝log 12(x ＋3); ④f (x )＝|x ＋1|.解：结合函数性质及图象分析可知：①，④不满足题意．对于②，f ′(x )＝1－1x2，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，1)上递减；对于③，令u ＝x ＋3，在(0，1)上递增，而y ＝ log 12u 为减函数，由复合函数单调性知，f (x )＝log 12(x ＋3)在(0，1)上单调递减．综上可知，②③在(0，1)上为减函数．故填②③.(2)求证：函数f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数.证法一：(定义法)任取x 1<x 2，则x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2)＝(x 31－x 32)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋12x 22＋34 x 22＋1＜0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．证法二：(导数法)因为f ′(x )＝3x 2＋1>0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．类型二函数单调性的应用若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围.解：设u ＝x 2－ax ＋3a >0，且函数u 在⎣⎡⎭⎫a 2，＋∞上是单调增函数．又y ＝log 2u 是单调增函数，根据复合函数的单调性，要使函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧[2，＋∞）⊆⎣⎡⎭⎫a 2，＋∞，u ＝x 2－ax ＋3a >0（x ∈[2，＋∞））恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u min ＝u （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，4－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4.所以实数a 的取值范围是(－4，4]．【评析】利用函数单调性讨论参数的取值范围一般要弄清三个环节：(1)考虑函数的定义域，保证研究过程有意义．本题中，不能忽视u ＝x 2－ax ＋3a >0； (2)弄清常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的关系．如本题中，⎣⎡⎭⎫a2，＋∞是单调增区间，[2，＋∞)是它的子集；(3)注意恒成立不等式的等价转化问题．是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2，4]上是单调增函数？证明你的结论.解：设u ＝ax 2－x >0.假设符合条件的a 存在．当a >1时，由复合函数的单调性知，只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调增函数，所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u min ＝u （2）＝4a －2＞0. 解得a >12，于是a >1；当0<a <1时，由复合函数的单调性知，只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调减函数，所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u min ＝u （4）＝16a －4＞0，解得a ∈∅.综上，当a ∈(1，＋∞)时，函数f ()x ＝log a (ax 2－x )在区间[]2，4上是单调增函数．类型三抽象函数的单调性已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值.解：(1)证法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．证法二：在R 上任取x 1，x 2且x 1>x 2，则x 1－x 2＞0.则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3，3]上也是减函数，∴f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为 f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2. 【评析】对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f （x 1）f （x 2）与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．另外，深挖已知条件，也是求解此类题的关键．(2013·南昌模拟)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x ＜2.解：(1)f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0. (2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1，∵x 2x 1＞1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (6)＝f ⎝⎛⎭⎫366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1， ∴f (36)＝2，原不等式化为：f (x 2＋3x )＜f (36)，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0，1x ＞0，x 2＋3x ＜36，解得0＜x ＜317－32.1.证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法.注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，那么 (1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0 ⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0 ⇔f (x )在(a ，b )内是减函数.(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0 ⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0 ⇔f (x )在(a ，b )内是减函数.需要指出的是(1)的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率恒大于(或小于)零.2.函数单调性的判断(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；(4)复合函数的单调性：如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相同，那么y ＝f [g (x )]是增函数；如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相反，那么y ＝f [g (x )]是减函数.在应用这一结论时，必须注意：函数u ＝g (x )的值域必须是y ＝f (u )的单调区间的子集.(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程.3.函数最值的重要结论(1)设f (x )在某个集合D 上有最小值，m 为常数，则f (x )≥m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )min ≥m ；(2)设f (x )在某个集合D 上有最大值，m 为常数，则f (x )≤m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )max ≤m .4.自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即若f (x )是增(减)函数，则f (x 1)＜f (x 2) ⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2).在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号f ”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行.1.函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．[－1，＋∞) 解：由x 2＋2x －3≥0得x ≥1或x ≤－3. 则单调递减区间为(－∞，－3]，故选A .2.(2013·北京)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解：利用偶函数定义f (－x )＝f (x )，排除选项A ，B ，由y ＝－x 2＋1的图象知C 正确．故选C.3.(2013·西安调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为正值B ．恒等于零C ．恒为负值D ．无法确定正负解：∵f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，∴f (x )在R 上单调递减．又x 1＋x 2＞0，则x 1＞－x 2， ∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，从而有f (x 1)＋f (x 2)＜0.故选C.4.设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ）. 则f (x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 解：令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，f ⎝⎛⎭⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)．故选D.5．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋6)在(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[4，5)D ．[4，5]解：令u ＝x 2－ax ＋6，则f (x )＝log 2u 在(0，＋∞)上是增函数，若f (x )在(－∞，2]上是减函数，则u ＝x 2－ax ＋6在(－∞，2]上是减函数且恒大于0，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥2，u min ＝22－2a ＋6＞0，解得4≤a ＜5.故选C.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解：f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.∵f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )≥0， ∴f (x )在[－2，0]上也是增函数，且f (x )≤0，又x ∈[2，4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数．同理f (x )在[4，6]上为减函数且f (x )≤0，大致图象如图所示．∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0.∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D .7.(2012·安徽)若函数f (x )＝||2x ＋a 的单调递增区。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理习题理

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理习题理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )作和式∑=-ni i f n ab 1)(ξ．当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作__________，即⎠⎛abf (x )d x ＝∑=∞→-ni i n f nab 1)(limξ．其中f(x)称为________，x 称为__________，f(x)dx 称为__________，[a ，b]为__________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、___________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝____________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝____________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作__________，即⎠⎛ab f (x )d x＝__________＝__________.4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f(x)在区间[a ，b]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f(x)在区间[a ，b]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________.(3)当x∈[a，b]有f(x)＞g(x)＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛abf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f(x)是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)；若f(x)是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝____________(其中a >0)．5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b]上所经过的路程S ＝____________.(2)在变力F ＝F(x)的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b(a ＜b)，则力F 对物体所做的功W ＝____________.(3)在变力F ＝F(x)的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b(a ＜b)，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠1．(1)⎠⎛ab f (x )d x 被积函数积分变量被积式积分区间(2)分割取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F(b)－F(a) F(x)|b a F(b)－F(a) F(x)|ba 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋1)＝e.故选C .已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ＜1，2，1≤x ≤2. 则⎠⎛02f (x )dx ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛011d x ＋⎠⎛122d x ＝x |10＋2x |21＝(1－0)＋(4－2)＝3.故选D .(2014·江西)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解：⎠⎛01f (x )d x 为常数，不妨设a ＝⎠⎛01f (x )d x . 则f (x )＝x 2＋2a ，∴a ＝⎠⎛01(x 2＋2a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2ax |10，∴a ＝13＋2a ，∴a ＝－13.故选B .(2015·天津)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解：由题意画出图形如图，得到积分上限为1，积分下限为0，因此直线y ＝x 与曲线y ＝x 2所围图形的面积S＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝12－13＝16.故填16.从平衡位置开始，如果1 N 能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，需做功________ J. 解：设F (x )＝kx ，又F (0.01)＝1，∴k ＝100，W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝100×12x 2|0.060＝0.18 J ，故填0.18.类型一计算简单函数的定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ；(3)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x .解：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x ) |3－1＝24.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x |21＝32－ln2.(3)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2.【点拨】求定积分的步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；④利用牛顿一莱布尼兹公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值．计算下列定积分：(1)⎠⎛02x (x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ； (3)⎠⎛0π(1－cos x )d x .解：(1)⎠⎛02x (x ＋1)d x ＝⎠⎛02(x 2＋x )d x＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛02x d x ＝13x 3|20＋12x 2|20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－0＝143. (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ＝⎠⎛12e x d x ＋⎠⎛121xd x ＝e x |21＋ln x |21 ＝e 2－e ＋ln2.(3)⎠⎛0π(1－cos x )d x ＝⎠⎛0π1d x －⎠⎛0πcos x d x＝x |π0－sin x |π0 ＝π.类型二计算分段函数的定积分求⎠⎛－22|x 2－2x |d x .解：∵|x 2－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2|20＝8. 【点拨】对分段函数f(x)求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cbf (x )d x 求解．求函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x|≤2，1＋x 2，2＜x≤4 在区间[－2，4]上的定积分．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x ) |2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三利用定积分求平面图形的面积(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ＝________.解：根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.故填π4.(2)由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1，0)．所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2.故填2. 【点拨】用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(2013·北京)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2C.83D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1，得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3|20＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－812＝83.故选C .类型四定积分在物理中的简单应用一质点在直线上从时刻t ＝0开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)做减速运动，则质点初次减速到0时经过的路程为________ m.解：由v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)＝0，得t ＝1或3(舍去)．所以路程s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t |10＝43(m)．故填43.【点拨】物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．(2015·杭州模拟)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．解：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |101＝342(J)．故填342.1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．1．定积分⎠⎛013x d x 的值为( )A ．3B ．1C.32 D.12解：⎠⎛013x d x ＝32x 2|10＝32.故选C .2.⎠⎛－21|x |d x 等于( )A ．－1B ．1C.32D.52解：⎠⎛－21|x |d x ＝⎠⎛－20(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝－12x 2|0－2＋12x 2|1＝2＋12＝52.故选D .3．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围成图形的面积为( )A.154B.174 C.12ln2 D ．2ln2解：因为所围图形在x 轴的上方，所以S ＝∫2121x d x ＝ln x |212＝ln2－ln 12＝2ln2.故选D .4．(2015·大庆检测)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v (t )＝5－t ＋551＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是( )A ．55ln10 mB ．55ln11 mC ．12＋55ln7 mD ．12＋55ln6 m解：令5－t ＋551＋t ＝0，注意到t >0，得t ＝10，即经过的时间为10 s ；行驶的距离s ＝⎠⎛010⎝ ⎛⎭⎪⎫5－t ＋551＋t d t ＝[5t －12t 2＋55ln(t ＋1)]|100＝55ln11，即紧急刹车后火车继续行驶的路程为55ln11 m ．故选B .5．若y ＝⎠⎛0x (sint ＋costsint)d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．0解：y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t ＝⎠⎛0x sin t d t ＋12⎠⎛0x sin2t d t ＝(－cos t ) |x0＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos2t |x 0＝－cos x ＋1－14cos2x ＋14＝－12(cos x ＋1)2＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.故选B .6．(2015·衡水调研)在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k >0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机投一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为( )A.13B.23C.12D.34解：令x －x 2＝0得x ＝0或x ＝1，令kx ＝x －x 2得x ＝0或x ＝1－k .∴M 的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16，A 的面积为⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝(12x 2－13x 3－k 2x 2)|1－k 0＝16(1－k )3，∴16（1－k ）316＝827，∴k ＝13.故选A . 7．(2014·河南月考)设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛03f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0＝________.解：因为⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛03(ax 2＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋bx |30＝9a ＋3b ，3f (x 0)＝3ax 20＋3b ，所以9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，所以x 20＝3，x 0＝± 3.故填±3.8.⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝________. 解：⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以计算结果是π＋14.故填π＋14. 9．计算下列定积分的值：(1)⎠⎛－111－x 2d x ；(2)⎠⎛－12|x 2－x |d x .解：(1)被积函数y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1，y ≥0.根据定积分的几何意义，所围成的图形如图所示，⎠⎛－111－x2d x ＝π2.(2)⎠⎛－12|x 2－x |d x＝⎠⎛－10(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22|21 ＝56＋16＋56＝116. 10．有一动点P ，在时间t 时的速度为v(t)＝8t －2t 2(m /s )．求从t ＝0到t ＝4时，点P 经过的路程．解：由v(t)＝8t －2t 2＝2t(4－t)，可知当0≤t≤4时，v (t)≥0.因此，路程S ＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3|40＝643(m)． 11．在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解：如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S 曲边△AOB ＝⎰02x x d x ＝13x 3x ＝13x 30， S △ABC ＝12||BC ·||AB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点A (1，1)，切线方程为y ＝2x －1.抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．解：如图所示，所求面积S ＝S A ＋S B ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，得交点坐标为(2，2)，(8，－4)．A 部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以：S A ＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x＝22·23x 32|20＝163.B 部分：S B ＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －12x 2＋223x 32|82＝383.于是S ＝163＋383＝18.故填18.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(教材习题改编题)函数f (x )＝cos π2x ，则f ′(1)＝( )A ．－π2B ．－π4C ．0 D.π2解：f ′(x )＝－sin π2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ′＝－π2sin π2x .∴f ′(1)＝－π2.故选A .2．已知曲线y ＝x 24－ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解：y ′＝x 2－1x ，令x 2－1x ＝－12，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)．故选C .3．(2015·皖南八校联考)函数f (x )＝x e x－e x ＋1的单调递增区间是( )A ．(－∞，e)B ．(1，e)C ．(e ，＋∞)D ．(e －1，＋∞)解：f ′(x )＝e x＋x e x－e x ＋1＝e x(1＋x －e)，由f ′(x )>0得x >e －1.故选D .4．(教材习题改编题)函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或2.∴f (x )在[－1，0)上是增函数，在(0，1]上是减函数．∴f (x )在区间[－1，1]上的最大值为f (0)＝2.故选C .5．(2014·湖北八校第二次联考)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )解：f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，令g (x )＝f ′(x )，则g (x )为奇函数，排除B ，D ；由g ′(x )＝12－cos x 知g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，排除C.故选A .6．定积分⎠⎛04π(16－x 2)d x 的值等于( )A ．半径为4的球的体积B ．半径为4的四分之一球的体积C ．半径为4的半球的体积D ．半径为4的球的表面积解：⎠⎛04π(16－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x －x 33π|40＝128π3，等于半径为4的半球的体积，故选C . 7．(2015·韶关联考)设a∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R ，有大于－1的极值点，则( ) A ．a <－1B ．a >－1C ．a <－1eD ．a >－1e解：由y ′＝e x ＋a ＝0得e x ＝－a ，∵函数有大于－1的极值点，∴a ＝－e x<－1e .故选C .8．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2xf ′(2)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)＞f (1) C ．f (－1)＜f (1)D ．以上答案都不对解：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，得f ′(2)＝－4， ∴f (x )＝x 2－8x ，∴f (－1)＝9，f (1)＝－7，f (－1)＞f (1)．故选B .9．一质点运动时速度(v )与时间(t )的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点直线运动，则此质点在时间[1，2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解：质点在时间[1，2]内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t |21＝176.故选A .10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解：因为函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(－2＜b ＜0)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.所以函数y ＝xf ′(x )在x ∈(a ，－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )内的函数值为负，由排除法可得只有选项C 符合，故选C .11．(2015·福建)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误．．的是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1解：令h (x )＝f (x )－kx ＋1，则h ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，即h (x )在R 上单调递增，而h (0)＝0，1k －1＞0，∴h ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1，∴C 项一定错误．也可用特值法(如令f (x )＝2x －1及f (x )＝10x －1等排除A ，B ，D)．故选C . 12．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1解：由a ＜1，易知存在整数x 0＝0，使得e x 0(2x 0－1)＜ax 0－a .设g (x )＝e x(2x －1)，h (x )＝ax －a ，则g ′(x )＝e x(2x ＋1)．可得g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，若存在唯一整数x 0，使得f (x 0)＜0，还须满足⎩⎪⎨⎪⎧h （0）＞g （0），h （－1）≤g （－1），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，－2a ≤－3e ， ∴32e ≤a ＜1.故选D .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2015·江西检测)已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．解：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a＝2，解之得a ＝ln22.故填ln22.14．(2014·抚顺联考)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )＞0的解集为________．解：由y ＝f (x )的图象可得y ＝f ′(x )的大致图象如图．f ′(x )＞0⇔x ＞1或x ＜－1； f ′(x )＜0⇔－1＜x ＜1.而x 2－2x －3＞0的解为x ＞3或x ＜－1；x 2－2x －3＜0的解为－1＜x ＜3. ∴原不等式的解为x ＞3或x ＜－1或－1＜x ＜1. 故填(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)．15．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1，0)，函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解：根据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12＜x ≤1，从而得到y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12＜x ≤1，所以函数y ＝xf (x )与x 轴围成的图形面积为S ＝∫12010x 2d x ＋∫112(－10x 2＋10x )d x＝103x 3|120＋⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3|112＝54.故填54.16．(2015·福州质量检测)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是____________．解：若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0或f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，易得y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 上有极值点，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.故填⎝⎛⎭⎪⎫2，103.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)函数f (x )＝x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为12，求实数a 的值；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，求实数a 的值．解：(1)f ′(x )＝2x （x ＋1）－x 2－a （x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2，若f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为12，则f ′(1)＝12.所以f ′(1)＝3－a 4＝12，得a ＝1.(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，则f ′(1)＝0，即3－a4＝0，得a ＝3，经检验，合题意．18．(12分)已知函数y ＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线斜率为－3. (1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差．解：(1)∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，由题意得y ′|x ＝2＝12＋12a ＋3b ＝0，y ′|x ＝1＝3＋6a ＋3b ＝－3，解得a ＝－1，b ＝0，所以y ＝x 3－3x 2＋c ，y ′＝3x 2－6x . 令y ′＞0，得x ＜0或x ＞2，∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；单调递减区间是(0，2)．(2)由(1)可知函数在x ＝0处取得极大值c ，在x ＝2处取得极小值c －4，∴函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4.19．(12分)(2015·重庆)设函数f (x )＝3x 2＋axex(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）ex（e x ）2＝－3x 2＋（6－a ）x ＋a ex， ∵f (x )在x ＝0处取得极值，∴f ′(0)＝0，解得a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6xex， ∴f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化为3x －e y ＝0.(2)解法一：由(1)可得f ′(x )＝－3x 2＋（6－a ）x ＋ae x，令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，此时函数f (x )为增函数；当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，可知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 解法二：由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在[3，＋∞)上恒成立，可得a ≥－3x 2＋6xx －1，在[3，＋∞)上恒成立．令u (x )＝－3x 2＋6x x －1，u ′(x )＝－3[（x －1）2＋1]（x －1）2＜0，∴u (x )在[3，＋∞)上单调递减，a ≥u (x )max ＝u (3)＝－92，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 20．(12分)某景区为提高经济效益，现对景区进行升级改造，经过市场调查，旅游收入增加y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝20万元时，y ＝35.7万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点升级改造后利润增加的最大值(利润增加值＝旅游收入增加值－投入)．解：(1)由条件⎩⎪⎨⎪⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×202＋10150×20－b ln2＝35.7.解得a ＝－1100，b ＝1.则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)设T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)．则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－（x －1）（x －50）50x.令T ′(x )＝0，得x ＝1(舍)或x ＝50.T (x )在[10，50)上是增函数；在(50，＋∞)上是减函数，∴x ＝50为T (x )的极大值点．即该景点改造升级后利润T (x )的最大值为T (50)＝24.4万元．21．(12分)(2015·北京)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立，求k 的最大值．解：(1)由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1.因此f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .(2)证明：令g (x )＝f (x )－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x41－x2，因为g ′(x )＞0(0＜x ＜1)，所以g (x )在区间(0，1)上单调递增．所以g (x )＞g (0)＝0，x ∈(0，1)，即当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.(3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立．当k ＞2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－（k －2）1－x2，所以当0＜x ＜4k －2k时，h ′(x )＜0，因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，4k －2k 上单调递减．当0＜x ＜4k －2k 时，h (x )＜h (0)＝0，即f (x )＜k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.所以当k ＞2时，f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33并非对x ∈(0，1)恒成立．综上可知，k 的最大值为2.22．(12分)(2015·宜昌模拟)已知函数f (x )＝x ＋1ex(e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解：(1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)假设存在x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min <[φ(x )]max (x ∈[0，1])．∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋（1－t ）x ＋1ex， ∴φ′(x )＝－x 2＋（1＋t ）x －tex＝－（x －t ）（x －1）ex. ①当t ≥1时，在[0，1]上φ′(x )≤0，φ(x )在[0，1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1.②当t ≤0时，在[0，1]上φ′(x )≥0，φ(x )在[0，1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0.③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减；若x ∈(t ，1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t ，1]上单调递增，所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e ，(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et 在[0，1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，所以不等式(*)无解．综上所述，t 的取值范围是(－∞，3－2e )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞.第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2．三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．3．解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． (2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．。

高三数学一轮复习教案：第二章第一节函数概念.doc

第二章函数【知识导读】表示方法概念一般化定义域值域图像单调性奇偶性幂函数特殊化具体化基本初等指数映射指数函数函数函数Ⅰ互逆对数函数对数二次函数函数与方程应用问题【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微” ．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重” ．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第 1 课函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．【基础练习】1．设有函数组： ① yx ，yx 2 ；② y x ，y3x 3；③ yx ，yx 1 (x 0),；④ y (x，x10),x lg x 1 ， y lgx．其中表示同一个函数的有___②④⑤ ___．y ；⑤ yx102. 设集合 M { x 0 x 2} ， N{ y 0 y 2} ，从 M 到 N 有四种对应如图所示：yy y y 2222O 1 2 xO 1 2 xO 1 2xO1 2 x①②③④其中能表示为M 到 N 的函数关系的有 _____②③ ____．3.写出下列函数定义域：(1) f (x)1 3x 的定义域为R；(2) f (x)1{ x x1}x 2的定义域为 ______________ ；11[ 1,0)(0,)( x 1)0(3) f ( x) x 1的定义域为 (,1) ( 1,0) ．的定义域为 ______________； (4) f ( x)xxx4．已知三个函数 :(1) yP( x)2 nP( x) (nN *) ； (3) ylog Q ( x) P( x) ．写出使各函数式有意； (2) yQ( x)义时， P( x) ， Q( x) 的约束条件：Q( x) 0P(x) 0Q( x) 0 且P( x) 0 且Q( x) 1(1)______________________ ； (2)______________________ ；(3)______________________________ ．5.写出下列函数值域： (1) f ( x) x 2 x ， x {1,2,3} ；值域是 {2,6,12} ．(2) f ( x)x 22x 2 ；值域是 [1,) ．(3) f ( x) x 1， x (1,2] ．值域是 (2,3] ．【范例解析】例 1. 设有函数组：①f (x)x 21， g( x) x 1 ；② f ( x) x 1 x 1 ， g(x)x 2 1 ；③x1f (x)x 2 2x 1 ， g( x)x 1 ；④ f ( x) 2x 1 ， g(t) 2t 1 ．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中， f (x) 的定义域为 { x x 1} ， g( x) 的定义域为 R ，故不是同一函数；在②中， f ( x) 的定义域为 [1, ) ， g(x) 的定义域为 ( , 1] [1,) ，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例 2.（ 1）求下列函数的定义域：①y1 x2 1 ；② f (x)x ； 2 xlog 1 (2 x)2（ 2）设函数 f ( x) ln1 x，则函数 g( x) f ( x) f ( 1) 的定义域为 _____________．1 x2 x分析：（ 2）先求 f (x) 的定义域，得不等式组求解．解：（ 1）① 由题意得：2 x0,1 且 x2 或 x 1且x2x 2 1 解得 x，0,故定义域为 (, 2) ( 2, 1] [1,2)(2,) ．② 由题意得： log 1 (2 x)0，解得 1x 2，故定义域为 (1,2) ．21x1 x1,2 x 2,（ 2）由 0 ，解得 1 x 1，则21 x1 x 1或 x 1.11.x故 g(x) 的定义域为 ( 2, 1) (1,2) ．点评：（ 1）确定函数的定义域主要根据是使式子有意义，列出不等式（组）求解；（ 2）已知函数 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ，求函数 f [ g( x)] 的定义域问题，由 a g( x) b 解出 x 的范围．例 3.若函数 y( a 2 1)x 2 (a 1)x2 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围．a 1分析：化归为恒成立问题．解：由 ( a 21)x 2 (a 1)x21 0 对任意 x R 恒成立，a当 a 1时， 1 0 成立；当 a1 时，不成立；当 a 21 0 时，(a 1)2 4( a 2 1) 2 0 ，解得 1 a 9 ．a 1综上，实数 a 的取值范围是 [1,9] ．2点评：注意讨论二次项系数a 1 0 的情况．（ 1） yx 2 4x 2 ， x [0,3) ；（ 2）yx 2( x R) ；x 21（ 3） y x 2 x 1 ．分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．（ 1）解： yx 2 4x 2( x 2) 2 2， Q x [0,3) ，函数的值域为 [ 2,2] ；（ 2）解法一：由 y x 21 ，Q 01 1，则 Q 1 1 0 ， 0 y 1 ，故函x 2 1 1 1 xx 2 1[0,1) x 2 2 1数值域为．解法二：由 yx 2 ，则 x2y ，Q x20 ，y，0 y 1，故函数值域为 [0,1) ．x 2 11 y1 y（ 3）解：令x1 t (t 0) ，则 x t2 1， y t 22t 1 (t1)2 2 ，当 t 0 时， y 2 ，故函数值域为 [ 2, ) ．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】1．函数 f(x)＝ 1 2 x的定义域是( ,0]．2．函数 f ( x)1的定义域为(1,2) (2,3)log 2 ( x 2 4 x 3) _________________．3. 函数 y12 ( xR) 的值域为(0,1]．1x4. 函数 y2x 313( , 4]4x 的值域为 _____________．5．函数 ylog 0.5 (4x 23x) 的定义域为 [1,0) (3,1]44．6 ．若函数 f x2 x22ax a1 的定义域为，则实数 a 的取值范围 [ 1,0] ．R ______________7．设 fxlg2 x ，则 fx f2 的定义域为 4, 11,4 ．2x 2x8．设 a1，函数 f (x) log a x 在区间 [ a,2 a] 上的最大值与最小值之差为1，则 a ____4___．29. 设集合 P { m | 1 m0}, Q { m R | mx 2 4mx 40 对任意实数 x 恒成立 }，则下列结论中：① P üQ ；② Q üP ；③ P=Q ；④ P Q= ．其中正确结论的序号有 ______① ______． 10. 已知函数 f ( x) 与 g( x) 分别由下表给出：x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 x 1 2 3 4 g(x)2143(1) 求 g ( f (3)) 的值； (2)若 g( f (x)) 2 时，求 x 的值；(3)求满足 f g x g f x 的 x 的值．解：（ 1） g ( f (3)) 3 ；（2） 4 ；（3）1， 411. 记函数 f(x)= 2x 3的定义域为 A ， g(x)=lg[(x － a － 1)(2a － x)](a<1) 的定义域为 B ．x 1(1) 求 A ；(2) 若 B A ，求实数 a 的取值范围．解： (1)由 2－x3 ≥0，得 x 1 ≥0， x<－1 或 x ≥1，即 A=(－ ∞，－ 1)∪ [1， + ∞)． x 1 x 1(2) 由 (x － a － 1)(2a － x)>0，得 (x － a － 1)(x －2a)<0． ∵ a<1， ∴ a+1>2a ，∴ B=(2a ， a+1) ． ∵ B1A ， ∴2a ≥1或 a+1 ≤－1，即 a ≥或 a ≤－ 2，而 a<1，121 ∴A 时，实数 a 的取值范围是 (－ ∞,－2]∪ [≤a<1 或 a ≤－2，故当 B,1)．2212. 对定义域分别是 D f ， D g的函数 y f (x) ， yg ( x) ，规定：函数f ( x) g( x),当 x D f 且 x Dg , h(x)f ( x), 当 x D f 且 x Dg ,g(x),当 x D f 且 x D g .（ 1）若函数 f ( x)x 1， D f( , 2] ， g( x)2 x ， D g [1,) ，写出函数 h(x) 的解析式；（ 2）求问题（ 1）中函数 h( x) 的值域．(x 1)(2 x),1x 2,解：（ 1） h( x)x 1, x 1,2x,x 2.（ 2）当1 x2 时，1h(x)[0,]；当 x1h(x)；当 x 2 时， h( x) 0；4时，1综上可知， h( x) (, ] ．4。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、

某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y(单位：10 万元)与营运年数 x(x∈N)满足如图所示的二次函数关系，则每辆客车营运________年，其营运的年平均利润yx最大．
解：由图象知，营运总利润 y＝－(x－6)2＋11. ∴营运的年平均利润yx＝－x－2x5＋12.
(2013·南京模拟)有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为 V m3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为 r m3.现假设下雨和蒸发
(2014·湖南)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为
p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
p＋q A. 2
（p＋1）（q＋1）－1
B.
2
C. pq
D. （p＋1）（q＋1）－1
解：设年平均增长率为 x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得 x ＝（1＋p）（1＋q）－1.故选 D.
规定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f(m)＝ 1.06(0.50×[m]＋1)(单位：元)给出，其中 m>0，记[m]为大于或等于 m 的最小整数，如[4]＝4，[2.7]＝3，[3.8]＝4，则从
甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的话费为________元．
解：∵f(5.5)＝1.06(0.50×[5.5]＋1)＝1.06(0.50×6＋1)＝ 4.24.故填 4.24.
接近平行接近平行
y＝xn(n＞ 0)
单调____ 函数
相对平稳
随 n 值变化而不同
2.函数建模
(1)函数模型应用的两个方面：
①利用已知函数模型解决问题；
②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋

核按钮(新课标)2017高考数学一轮复习第二章函数的概念基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 2.

§2.5 基本初等函数(Ⅰ)(一)指数函数 1．根式(1)n 次方根：如果x n＝a ，那么x 叫做a 的，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个数，负数的n 次方根是一个数，这时a 的n 次方根用符号表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有个，这两个数互为．这时，正数a 的正的n 次方根用符号表示，负的n 次方根用符号表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成．③负数没有偶次方根．④0的n (n ∈N *)次方根是，记作．(2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做，a 叫做． (3)根式的性质：n 为奇数时，na n＝；n 为偶数时，na n ＝ .2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (2)负整数指数幂：a －n＝ (a ≠0，n ∈N *)．(3)正分数指数幂：a mn ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(4)负分数指数幂：a -m n ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(5)0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂． (6)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝________（a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝________（a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝________（a ＞0，b >0，r ∈Q ）.(二)对数函数 1．对数(1)对数：如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的，记作x ＝ .其中a 叫做对数的，N 叫做．(2)两类重要的对数①常用对数：以为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记作； ②自然对数：以为底的对数称为自然对数，并把log e N 记作．注：(i)无理数e ＝2.718 28…； (ii)负数和零没有对数；(iii)log a 1＝，log a a ＝ . (3)对数与指数之间的关系当a ＞0，a ≠1时，a x ＝N x ＝log a N . (4)对数运算的性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (MN )＝； ②log a M N＝； ③log a M n＝；一般地，na M m log ＝； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：Na alog ＝；②换底公式：log a b ＝_________ (a ＞0且a ≠1；c ＞0且c ≠1；b ＞0)．特别地，log a b＝_________.3.对数函数与指数函数的关系对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)互为反函数；它们的图象关于直线________对称．(三)幂函数1．幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．几个常用的幂函数的图象与性质自查自纠(一)1．(1)n 次方根 ①正负 na②两相反数 na －n a ±na④0n0＝0(2)根指数被开方数 (3)a |a | 2．(1)1 ≠ (2)1an (3)n a m(4)1na m(5)0 没有意义 (6)a r ＋sa rs a rb r3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数减函数 (二)1．(1)对数 log a N 底数真数 (2)①10 lg N ②e ln N (iii)0 1 (3)⇔(4)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M nmlog a M (5)①N ②log c b log c a 1log b a2．(0，＋∞) R (1，0) 增函数减函数 3．y ＝x(三)1．y ＝x α2．(1)(0，0)和(1，1) (1，1) (2)增函数减函数log 29×log 34＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4解：log 29×log 34＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.故选D .(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：由3a ＞3b＞3知，a ＞b ＞1，则log a 3＜log b 3；反过来，设0＜a ＜1，b ＞1，依然有log a 3＜log b 3，但此时3a ＜3b.故选B .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解：当x ≤1时，21－x≤2⇔1－x ≤1⇔x ≥0，∴0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2⇔log 2x ≥－1⇔x ≥12，∴x >1.综上可知x 的取值范围是[0，＋∞)．故选D .函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为____________．解：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－2log 6x ≥0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 6x ≤12⇒⎩⎨⎧x ＞0，x ≤6 ⇒0＜x ≤ 6. 故填(0，6]．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解：由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.故填0；22－3.类型一指数幂的运算(2013·济宁测试)化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b a 3322×a ×3a 25a ×3a. 解：(1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫64100015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1 ＝0.(2)原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a ×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15＝a 13(a 13－2b 13)×a a 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23 ＝a 2.【点拨】指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；(2)化负数指数幂为正数指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数．计算：(1)823×100－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34；(2)0.75－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3212×⎝ ⎛⎭⎪⎫63414＋10(3－2)－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1300－12＋1614.解：(1)原式＝(23)23×(102)－12×(2－2)－3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＝22×10－1×26×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝28×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝8625.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫312212×⎝ ⎛⎭⎪⎫27414＋10×13－2＋30012＋(24)14＝43×314212×334212－10(3＋2)＋103＋2 ＝43×32－103－20＋103＋2＝－16. 类型二指数型复合函数的定义域和值域求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x ＋1|； (2)y ＝2x2x ＋1；(3)y ＝4322+--x x .解：(1)定义域为R .因为－|x ＋1|≤0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x ＋1|≥⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，所以值域为[1，＋∞)． (2)定义域为R .又因为y ＝2x 2x ＋1＝1－12x ＋1，而0＜12x ＋1＜1，所以－1＜－12x ＋1＜0，则0＜y ＜1，所以值域为(0，1)．(3)令－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x ≤1，所以函数y ＝4322+--x x 的定义域为[－4，1]．设u ＝－x 2－3x ＋4(－4≤x ≤1)，易得u 在x ＝－32时取得最大值52，在x ＝－4或1时取得最小值0，即0≤u ≤52.所以函数y ＝2u 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，252，即函数y ＝4322+--x x 的值域为[1，42]．【点拨】指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的定义域为R ，所以y ＝a f (x )的定义域与f (x )的定义域相同；值域则要用其单调性来求，复合函数的单调性要注意“同增异减”的原则．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝812x －1； (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17. 解：(1)因为2x －1≠0，所以x ≠12，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠12.令t ＝12x －1，则t ∈R 且t ≠0，所以由y ＝8t(t ∈R ，t ≠0)得y ＞0且y ≠1.所以，原函数的值域是{y |y ＞0且y ≠1}． (2)定义域为R ，因为y ＝4x＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2，且2x＞0.所以y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为{y |y ＞1}．(3)设u ＝x 2－6x ＋17，由于函数u ＝x 2－6x ＋17的定义域是(－∞，＋∞)，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17的定义域为(－∞，＋∞)．又函数u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12u＞0，故原函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256. 类型三指数函数的图象及其应用已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能．．．成立的关系有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解：作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，然后作直线y ＝m ，y ＝n (0＜m ＜1＜n )．我们很容易得到a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0，即可能成立的为①②⑤，不可能成立的为③④.故选B .【点拨】与指数函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的“陡峭”程度，也就是函数f (x )增(减)的快慢．(2013·合肥模拟)函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解：由图象知f (x )是减函数，∴0＜a ＜1，又由图象在y 轴的截距小于1可知a －b＜1，即－b ＞0，∴b ＜0.故选D .类型四指数函数的综合问题(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．解：(1)a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ＜1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x ＜1时，f (x )∈(－1，1)，f (x )无最小值；当x ≥1时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞为增函数，当x ＝32时，f (x )取得最小值为－1.(2)①若函数g (x )＝2x－a 在x <1时与x 轴有一个交点，则a >0，并且当x ＝1时，g (1)＝2－a >0，则0<a <2；此时函数h (x )＝4(x －a )(x －2a )与x 轴只有一个交点，所以2a ≥1且a <1，则12≤a <1.综合得12≤a ＜1.②若函数g (x )＝2x－a 与x 轴有无交点，则函数h (x )＝4(x －a )(x －2a )与x 轴有两个交点．当a ≤0时，g (x )与x 轴无交点，h (x )＝4(x －a )(x －2a )在[1，＋∞)与x 轴也无交点，不合题意；当g (1)＝2－a ≤0时，a ≥2，h (x )与x 轴有两个交点，其横坐标为x ＝a 和x ＝2a ，由于a ≥2，两交点横坐标均满足x ≥1，符合题意．综合①②可得a 的取值范围为12≤a <1或a ≥2.故填－1；⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．【点拨】解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R 上单调，过定点等．本题是指数函数与二次函数的综合问题，由于涉及分段函数的零点个数，故以分段函数在各段上的零点个数为标准，借助函数图象，分类讨论求解．已知函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x .由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x＝1± 2.∵2x ＞0，∴2x＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，∵2t ＞0，两边同乘以2t ，即得m (22t －1)≥－(24t－1)． ∵22t－1＞0，∴m ≥－(22t＋1)．∵t ∈[1，2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．类型五对数的化简与求值(1)计算log 535＋2log 122－log 5150－log 514的值．(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 1258＋log 254＋log 52)的值．(3)(2015·江苏模拟)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg z4lg x＋lg zlg y的最小值为________．解：(1)原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝133log 25×3log 52＝13. (3)因为x ，y ，z 均为大于1的实数，所以lg x >0，lg y >0，lg z >0，又由z 为x 和y 的等比中项，可得z 2＝xy .lg z 4lg x ＋lg z lg y ＝lg z ×4lg x ＋lg y 4lg x ×lg y ＝12lg xy ×4lg x ＋lg y 4lg x ×lg y＝()lg x ＋lg y ()4lg x ＋lg y 8lg x ×lg y ＝4()lg x 2＋5lg x ×lg y ＋()lg y 28lg x ×lg y ≥9lg x ×lg y 8lg x ×lg y ＝98.故填98.【点拨】对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同．(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值；(2)计算(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)的值；(3)(2015·河南模拟)设函数f 1(x )＝x ，f 2(x )＝log 2015x ，a i ＝i2015(i ＝1，2，…，2015)，记I k ＝|f k (a 2)－f k (a 1)|＋|f k (a 3)－f k (a 2)|＋…＋|f k (a 2015)－f k (a 2014)|，k ＝1，2，则( )A ．I 1＜I 2B ．I 1＝I 2C ．I 1＞I 2D ．I 1与I 2的大小关系无法确定解：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2 ＝3lg22lg3×5lg36lg2＝54. (3)∵f 1(a i ＋1)－f 1(a i )＝i ＋12015－i 2015＝12015，∴I 1＝|f 1(a 2)－f 1(a 1)|＋|f 1(a 3)－f 1(a 2)|＋…＋|f 1(a 2015)－f 1(a 2014)|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12015×2014＝20142015.∵f 2(a i ＋1)－f 2(a i )＝log 2015i ＋12015－log 2015i 2015＝log 2015i ＋1i＞0，∴I 2＝|f 2(a 2)－f 2(a 1)|＋|f 2(a 3)－f 2(a 2)|＋…＋|f 2(a 2015)－f 2(a 2014)| ＝log 2015⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×…×20152014＝log 20152015＝1.∴I 1＜I 2.故选A .类型六对数函数图象的应用(2015·河北模拟)已知函数f (x )＝|log 2x |，0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若函数f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m 2＝( )A.14B. 2C.32D.12解：作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图．由题意可得0＜m ＜1＜n ，∴0＜m 2＜m ，结合图象可知函数f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)，则有－log 2m 2＝2，m 2＝2－2＝14.故选A .【点拨】先画出对数函数y ＝log 2x 的图象，再利用图象变换得到函数f (x )＝|log 2x |的图象，通过分析函数图象对应的函数性质，比较函数值大小．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)解：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的大致图象(易判断0＜a ＜1)．由图可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上log a x ＞log 22x (0＜a ＜1)即可，易得22＜a ＜1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.故选B . 类型七对数函数性质的应用(2013·全国课标Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解：a ＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，所以a －1＝1log 23，b －1＝1log 25，c －1＝1log 27，∵y ＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数．∴0<log 23<log 25<log 27，∴1log 23>1log 25>1log 27，∴a －1>b －1>c －1>0，故a >b >c >1.故选D . 【点拨】比较大小问题是高考的常考题型，应熟练掌握比较大小的基本方法：①作差(商)法；②函数单调性法；③介值法(特别是以0和1为媒介值)．利用对数函数单调性比较大小的基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b解：∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5<⎝ ⎛⎭⎪⎫340＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4>⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， log 34(log 34)<log 34(log 33)＝0，即0＜a ＜1，b ＞1，c ＜0， ∴c <a <b .故选C .类型八对数型复合函数的有关问题已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数f (x )在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (4)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值．解：(1)由f (x )的定义域为R ，知x 2－2ax ＋3＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－12＜0，解得－3＜a ＜ 3. ∴a 的取值范围为(－3，3)．(2)函数f (x )的值域为R 等价于u ＝x 2－2ax ＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要u min＝3－a 2≤0⇒a ≤－3或a ≥ 3.所以实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (3)由f (x )在[－1，＋∞)内有意义，知u (x )＝x 2－2ax ＋3＞0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，因为y ＝u (x )图象的对称轴为x ＝a ，所以当a ＜－1时，u (x )min ＝u (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1，2a ＋4＞0，解得－2＜a ＜－1；当a ≥－1时，u (x )min ＝u (a )＝3－a 2＞0，即－3＜a ＜3，所以－1≤a ＜ 3. 综上可知，a 的取值范围为(－2，3)．(4)因为y ＝f (x )≤－1，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3的值域为[2，＋∞)，又u (x )＝(x －a )2＋3－a 2≥3－a 2，则有u (x )min ＝3－a 2＝2，解得a ＝±1.【点拨】(1)首先要在函数定义域内研究函数的单调性；(2)此题中定义域为R 的问题实质上与值域为R 的问题正好相反，都是利用对数函数的定义域和值域进行分析．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，∴a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3)．令u (x )＝－x 2＋2x ＋3.则u (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，又y ＝log 4u 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值是0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，显然a ≠0，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a ×3－224a＝3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.类型九对数函数的综合问题已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1是奇函数(a ＞0，a ≠1)．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性；(3)当a ＝12时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f (x )＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋b 恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )在其定义域内恒成立，即log a 1＋mx －x －1＝－log a 1－mxx －1，∴1－m 2x 2＝1－x 2恒成立，∴m ＝－1或m ＝1(舍去)，即m ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a ＞0，a ≠1)，令u ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，则u 在(1，＋∞)上为减函数．∴当a ＞1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数；当0＜a ＜1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f (x )＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋b 恒成立⇔f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞b 在[3，4]上恒成立．令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由(2)知，g (x )在[3，4]上是单调递增函数，所以b ＜g (x )min ＝g (3)＝－98，即b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－98. 【点拨】解第(1)问时要特别注意“脱去”对数符号后恒成立的等式只是f (x )为奇函数的必要条件，而不是充要条件，所以要检验；第(2)问也可用单调函数的定义来判断，但很复杂；第(3)问利用函数与方程思想对恒成立问题进行了等价转化．已知f (x )＝lg 2x ax ＋b ，f (1)＝0，当x >0时，恒有f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝lg x . (1)求f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝lg(m ＋x )的解集是∅，求实数m 的取值范围．解：(1)∵当x >0时，f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝lg x 恒成立，∴lg2x ax ＋b －lg 2bx ＋a＝lg x ，即(a －b )x 2－(a －b )x ＝0. ∵x ≠0，∴上式若恒成立，则只能有a ＝b ，又f (1)＝0，即a ＋b ＝2，从而a ＝b ＝1，∴f (x )＝lg 2x 1＋x.(2)由lg 2xx ＋1＝lg(m ＋x )知⎩⎪⎨⎪⎧2xx ＋1＝m ＋x ，2xx ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（m －1）x ＋m ＝0，x <－1或x >0，由于方程的解集为∅，故有如下两种情况： ①方程x 2＋(m －1)x ＋m ＝0无解，即Δ<0，解得3－22<m <3＋22；②方程x 2＋(m －1)x ＋m ＝0有解，两根均在区间[－1，0]内，令g (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，g （－1）≥0，g （0）≥0，－1≤1－m2≤0，即⎩⎨⎧m ≤3－22或m ≥3＋22，1≤m ≤3，无解．综合①②知，实数m 的取值范围是{m |3－22<m <3＋22}．类型十幂函数的图象与性质如图，曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取2，3，12，－1四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为．解法一(数形结合法)：如图，作直线x ＝t (t >1)，由于函数y ＝x n的图象与直线x ＝t 的交点为(t ，t n)，可见指数n 的大小与图象交点的“高低”是一致的，结合图象，可得答案．解法二(特殊值法)：当x ＝2时，y 1＝23＝8，y 2＝22＝4，y 3＝20.5＝2，y 4＝2－1＝12，∵8>4＞2＞12，∴y 1＞y 2＞y 3＞y 4，故填3，2，12，－1.【点拨】(1)利用幂函数的性质比较大小，往往伴随着指数函数单调性的应用，此题应用了y ＝a x(a ＞1)的单调递增的性质．当然在利用指数函数的单调性比较大小时，也会伴随着幂函数单调性质的应用．(2)当两个幂的底数和指数都不相同时，可以寻找一个中间量，以它作为桥梁，分别构造指数函数和幂函数，通过比较它们和这个中间量的大小解决问题．(2014·天门、仙桃、潜江期末)在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y ＝x ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1的部分图象，则函数y ＝2x的图象通过的阴影区域是( )解：函数y ＝2x 的图象位于函数y ＝x 与y ＝x 2的图象之间，对比各选项中的阴影区域，知C 正确．故选C .1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．3．熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径．4．作指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)和对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象应分别抓住三个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a ，(0，1)，(1，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，(1，0)，(a ，1)．5．比较两个对数的大小的基本方法(1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论．(2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．6．幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x ＝2或x ＝12的交点纵坐标的大小反映．一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x 轴(不包括幂函数y ＝x 0)．7．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性．函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．8．判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数，一定要根据三种函数定义给出的“标准”形式．如f (x )＝2x 2不是指数函数，而f (x )＝23x是指数函数，因为f (x )＝23x＝8x，此时a ＝8，同样f (x )＝2x ＋1也不是指数函数，因为f (x )＝2x ＋1＝2·2x ，不是f (x )＝a x(a＞0，且a ≠1)的形式．1．(2013·江西九校联考)若点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3解：由题意知3a＝9，解得a ＝2，则tana π6＝tan π3＝ 3.故选D . 2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解：两图象均不可能过点(0，1)，A 错；B 选项中f (x )＝x a中a 满足a ＞1，而g (x )＝log a x 中a 满足0＜a ＜1，矛盾，B 错；类似B 选项的判断方法知C 错；D 正确．故选D .3．(2015·广东模拟)已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a >1bB ．log 2(a －b )>0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．2a －b<1解：因为log 2a >log 2b ，所以a >b >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.故选C .4．(2013·北京)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解：图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的函数是y ＝e －x，再向左平移一个单位，即得到函数y ＝f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.故选D .5．(2015·山东模拟)已知函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(其中a ＞0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)＜0，则f (x )，g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )解：因为f (4)·g (－4)＝a 2×log a 4＜0，所以0＜a ＜1，则根据函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数可否定C ，D ，根据f (x )为减函数可否定A.故选B .6．(2013·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0. 若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]解：数形结合：作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图．当|f (x )|≥ax 恒成立时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，因为y ′＝2x －2，所以y ′|x ＝0＝－2，k ＝－2.所以a 的取值范围是[－2，0]．故选D .7．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6， x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解：当x ≤2时，－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2.故填(1，2]．8．(2015·湖南模拟)给机器人输入一个指令(m ，2m＋48)(m >0)，则机器人在坐标平面上先面向x 轴正方向行走距离m ，接着原地逆时针旋转90°再面向y 轴正方向行走距离2m＋48，这样就完成一次操作．机器人的安全活动区域是：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤6，y ∈R .开始时机器人在函数f (x )＝2x图象上的点P 处且面向x 轴正方向，经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点Q 处，且点Q 恰好也在函数f (x )图象上，则向量PQ →的坐标是________．解：设P (x 0，2x 0)，则Q 为(x 0＋m ，2x 0＋m )在安全区域， ∴x 0＋m ≤6，∴x 0≤6－m ，∴2x 0≤26－m，2x 0＋m ＝2x 0＋2m＋48，∴2x 0(2m－1)＝2m＋48，则26－m (2m －1)≥2m ＋48.整理可得：2m＋642m ≤16.又因为2m ＋642m ≥264＝16，当且仅当2m ＝642m 成立时取等号，此时22m＝64，m ＝3，PQ →＝(x 0＋m ，2x 0＋2m＋48)－(x 0，2x 0)＝(3，56)．故填(3，56)．9．解答下列各题：(1)若2.4a ＞2.5a，求a 的取值范围； (2)若a －2＞3－2，求a 的取值范围．解：(1)2.4a和2.5a可视为幂函数y ＝x a的两个函数值，由于2.5＞2.4＞0，且f (2.5)＜f (2.4)．所以y ＝x a 在(0，＋∞)上为减函数，因此a 的取值范围为{a |a ＜0}．另解：也可由⎝ ⎛⎭⎪⎫2.42.5a＞1及0＜2.42.5＜1得a ＜0. (2)由a －2＞3－2，得1a 2＞132，所以0＜a 2＜32，由于幂函数y ＝x 2是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又|a |2＜32，∴0＜|a |＜3，解得－3＜a ＜3且a ≠0.因此a 的取值范围是{a |－3＜a ＜0或0＜a ＜3}．另解：由⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＞1得3a ＞1或3a＜－1，可获解．10．已知f (x )＝lg 1＋2x ＋4x·a3，其中a ∈R ，若x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a的取值范围．解：原题等价于当x ∈(－∞，1]时，1＋2x ＋4x·a 3＞0恒成立，即a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ≤1时恒成立．设⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，∵x ≤1，∴t ≥12，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，在t ≥－12时递减，而⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， ∴当t ＝12，即x ＝1时，函数－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上取得最大值－34，故a >－34.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ＞－34. 11．设a ＞1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a ，2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝c ，求a 的值．解：∵log a x ＋log a y ＝log a (xy )＝c (a ＞1)，∴y ＝a cx.∵a ＞1，∴y ＝a cx 在x ∈[a ，2a ]上单调递减，∴y max ＝a c a ＝a c －1，y min ＝a c 2a ＝12a c －1，⎩⎪⎨⎪⎧a c －1≤a 2⇒c ≤3，12a c －1≥a ⇒a c －2≥2⇒c ≥log a 2＋2. ∵log a 2＋2≤c ≤3且c 值只有1个， ∴log a 2＋2＝c ＝3，即log a 2＝1，故a ＝2.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件： ①m ＞n ＞3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为x ∈[－1，1]，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 设⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a ＜13时，h (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2；当a ＞3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ＜13，3－a 2， 13≤a ≤3，12－6a ， a ＞3.(2)假设存在满足条件的实数m ，n .因为m ＞n ＞3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m ＞n ，所以m －n ≠0，得m ＋n ＝6，但这与“m ＞n ＞3”矛盾，故不存在满足条件的实数m ，n .。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习(课时精讲+课时检测+单元检测)第四章三角函数基本初等函数Ⅱ(7课

第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .⑤了解函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2．三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．3．解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．§4.1 弧度制及任意角的三角函数1．任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与____________重合，角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ；②α是第二象限角可表示为； ③α是第三象限角可表示为；④α是第四象限角可表示为． (3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }；②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作 _______________；③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作 ________________________；④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作 _______________________；⑤终边在x 轴上的角的集合可记作_______________________；⑥终边在y 轴上的角的集合可记作； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作． (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad ≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝__________；扇形面积公式S 扇＝＝．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝ (x ≠0)．※cot α＝xy (y ≠0)，sec α＝r x(x ≠0)，csc α＝ry(y ≠0)． (2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域 sin α ① cos α ② tan α ③ (3)三角函数值在各象限的符号sin α cos α tan α 4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P .过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A (1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T .根据三角函数的定义，有OM ＝x ＝________，MP ＝y ＝________，AT ＝＝________.像OM ，MP ，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，AT ，分别叫做角α的_______、_______、_______，统称为三角函数线．5．特殊角的三角函数值角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 角α的弧度数 sinα cosα tanα※sin15°＝6－2，sin75°＝6＋2，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．自查自纠：1．(1)射线逆时针顺时针零角 (2)原点非负半轴 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或 {α|2k π－π2<α<2k π，k ∈Z } (3)坐标轴 ②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ⑤{α|α＝k π，k ∈Z }⑥⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ⑦⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z(4){β|β＝α＋2k π，k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }2．(1)半径长 l r (2)2π π π180⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° (3)||αr12||αr 2 12lr 3．(1)y r x ryx(2)①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z4．cos α sin α y xtan α 正弦线余弦线正切线5.角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°角α的弧度数0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2π sin α0 12 22 32 1 32 22 12 0 －1 0cos α1 32 22 12 0 －12－22 －32－1 0 1tan α0 33 1 3 不存在－3 －1 －330 不存在如果sin α＞0，且cos α＜0，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解：∵sin α＝yr ＞0, cos α＝x r＜0，∴x ＜0，y ＞0.∴α是第二象限角．故选B .与－463°终边相同的角的集合是( ) A.{}α|α＝k ·360°＋463°，k ∈Z B.{}α|α＝k ·360°＋103°，k ∈Z C.{}α|α＝k ·360°＋257°，k ∈Z D.{}α|α＝k ·360°－257°，k ∈Z解：显然当k ＝－2时，k ·360°＋257°＝－463°.故选C.给出下列命题：①小于π2的角是锐角；②第二象限角是钝角；③终边相同的角相等；④若α与β有相同的终边，则必有α－β＝2k π(k ∈Z )．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：①锐角的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故不正确；②钝角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，而第二象限角为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，故不正确；③若α＝β＋2k π，k ∈Z ，α与β的终边相同，但当k ≠0时，α≠β，故不正确；④正确．故选B.若点P ()x ，y 是30°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为________．解：y x ＝tan30°＝33.故填33. 半径为R 的圆的一段弧长等于23R ，则这段弧所对的圆心角的弧度数是____________．解：圆心角的弧度数α＝23R R＝2 3.故填2 3.类型一角的概念若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置．解：∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )．(1)∵180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°(k ∈Z )，故2α的终边在第三或第四象限或y 轴的负半轴上．(2)∵45°＋k ·180°＜α2＜90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°＜α2＜90°＋n ·360°，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°＜α2＜270°＋n ·360°，∴α2的终边在第一或第三象限．(3)∵30°＋k ·120°＜α3＜60°＋k ·120°(k ∈Z )，当k ＝3n (n ∈Z )时，30°＋n ·360°＜α3＜60°＋n ·360°，当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，150°＋n ·360°＜α3＜180°＋n ·360°，当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，270°＋n ·360°＜α3＜300°＋n ·360°，∴α3的终边在第一或第二或第四象限．点拨：关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解此类题一般步骤为先写出α的范围→求出2α，α2，α3的范围→分类讨论求出2α，α2，α3终边所在位置．已知角2α的终边在x 轴的上方(不与x 轴重合)，求α的终边所在的象限．解：依题意有2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k ＝0时，0＜α＜π2，此时α是第一象限角；当k ＝1时，π＜α＜32π，此时α是第三象限角．综上，对任意k ∈Z ，α为第一或第三象限角．故α的终边在第一或第三象限．类型二扇形的弧长与面积问题如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求：(1)AB ︵的长；(2)弓形ACB 的面积．解：(1)∵∠AOB ＝120°＝2π3，R ＝6，∴lAB ︵＝2π3×6＝4π.(2)S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12lAB ︵R －12R 2sin ∠AOB＝12×4π×6－12×62×32＝12π－9 3.点拨：①直接用公式l ＝|α|R 可求弧长，利用S 弓＝S 扇－S △可求弓形面积．②关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．③弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用．扇形AOB 的周长为8 cm.若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小．解：设扇形半径为r ，则弧长为8－2r ，∴S ＝12·(8－2r )·r ＝3，解得r ＝1或3.∴圆心角θ＝弧长半径＝8－2r r ＝6或23.类型三三角函数的定义已知角α的终边经过点P (a ，2a )(a＞0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)， ∴r ＝5a ，x ＝a ，y ＝2a .∴sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a5a ＝55， tan α＝y x ＝2aa＝2.点拨：若题目中涉及角α终边上一点P 的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求解．已知角α的终边经过点P (3m －9，m＋2)．(1)若m ＝2，求5sin α＋3tan α的值； (2)若cos α≤0且sin α＞0，求实数m 的取值范围．解：(1)∵m ＝2，∴P (－3，4)，∴x ＝－3，y ＝4，r ＝5.∴sin α＝y r ＝45，tan α＝y x ＝－43.∴5sin α＋3tan α＝5×45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0. (2)∵cos α≤0且sin α＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －9≤0，m ＋2＞0. ∴－2＜m ≤3.类型四三角函数线的应用用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知0≤α＜2π，求证：|sin α|＋|cos α|≥1.证明：作平面直角坐标系xOy 和单位圆． (1)当角α的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox 轴，设它交单位圆于A 点，如图1，显然sin α＝0，cos α＝OA ＝1，所以|sin α|＋|cos α|＝ 1.图1(2)当角α的终边不在坐标轴上时，不妨设为OP ，设它交单位圆于A 点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，如图2，则sin α＝BA ，cos α＝OB .图2在△OAB 中，|BA |＋|OB |＞|OA |＝1，所以|sin α|＋|cos α|＞1.综上所述，|sin α|＋|cos α|≥1.点拨：三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性．求证：当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin α<α<tan α.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ，过P 作PM ⊥OA 于M ，连接AP ，则在Rt △POM 中，sin α＝MP ，在Rt △AOT 中，tan α＝AT ，又根据弧度制的定义，有AP ︵＝α·OP ＝α，易知S△POA <S 扇形POA <S △AOT ，即12OA ·MP <12AP ︵·OA <12OA ·AT ，即sin α<α<tan α.1．要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2k π＋30°(k ∈Z )，β＝k ·360°＋π2(k ∈Z )的写法都是不正确的．3．一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷．4．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论．5．牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．2k π＋α表示与α终边相同的角，其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和，是π的整数倍时，要分类讨论．如：(1)sin(2k π＋α)＝sin α；(2)sin(k π＋α)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α（k 为偶数），－sin α（k 为奇数）＝(－1)ksin α.7．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．1．若sin θcos θ<0，则角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第二或第四象限角解：∵sin θcos θ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ<0，cos θ>0.∴角θ是第二或第四象限角．故选D. 2．(2014·全国)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45解：cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.故选D . 3．已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( )A ．－25B .25C ．0D .25或－25解：∵x ＝－4a ，y ＝3a ，a <0，∴r ＝－5a ，∴sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.故选A. 4．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{－1，1}B ．{1，3}C ．{1，－3}D ．{－1，3}解：(1)当x 的终边落在第一象限时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，∴y ＝1＋1＋1＝3；(2)当x 的终边落在第二象限时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，∴y ＝1－1－1＝－1；(3)当x 的终边落在第三象限时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，∴y ＝－1－1＋1＝－1；(4)当x 的终边落在第四象限时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，∴y ＝－1＋1－1＝－1.又依题意知角x 的终边不可能落在坐标轴上， ∴上述函数的值域为{－1，3}．故选D.5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin1C .2sin1D ．sin2解：∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝||αR ＝2sin1.故选C.6．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1＜cos1＜tan1 B ．tan1＜sin1＜cos1 C ．cos1＜tan1＜sin1 D ．cos1＜sin1＜tan1解：如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad ＞π4rad ，∵OM ＜22＜MP ＜AT ，∴cos1＜sin1＜tan1.故选D. 7．点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为__________．解：由三角函数的定义知点Q (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 23π＝－12，y ＝sin 23π＝32.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.8．若一扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角各为________cm 和________rad 时，扇形的面积最大．解：设该扇形的半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝60，∴l ＝60－2r .∴S ＝12lr ＝12(60－2r )r ＝－r 2＋30r＝－(r －15)2＋225.∴当r ＝15时，S 最大，最大值为225cm 2.此时，θ＝l r ＝3015＝2rad .故填15；2. 9．若α是第三象限角，则2α，α2分别是第几象限角？解：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z . ∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z .∴2α是第一、二象限角，或角的终边在y 轴非负半轴上．又k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，∴当k ＝2m (m ∈Z )时，2m π＋π2<α2<2m π＋34π(m ∈Z )，则α2是第二象限角；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，2m π＋32π<α2<2m π＋74π(m ∈Z )，则α2是第四象限角．故α2是第二、四象限角．10．已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．解：设扇形半径为r ，则弧长为10－2r ，∴S ＝12·(10－2r )·r ＝4，解得r ＝1或4.当r ＝1时，α＝8＞2π，舍去；当r ＝4时，α＝10－2×44＝12.因此，α＝12.11．已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝36x ，求sin α＋tan α的值．解：∵P (x ，－2)(x ≠0)，∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2.又cos α＝x x 2＋2＝36x ，∴x ＝±10，r ＝2 3.当x ＝10时，点P (10，－2)，由三角函数定义知sin α＝－66，tan α＝－210＝－55.∴sin α＋tan α＝－66－55＝－56＋6530. 当x ＝－10时，同理可求得sin α＋tan α＝65－5630. 求sin15°，cos15°，tan15°的值．解：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，延长CA 到D 使AD ＝AB ，则△ABD 是等腰三角形且∠D ＝15°.设|BC |＝1，则|AD |＝|AB |＝2，|AC |＝3，因此|CD |＝|AD |＋|AC |＝2＋ 3.利用勾股定理|BD |2＝|CD |2＋|BC |2，代入得|BD |2＝(2＋3)2＋12＝8＋43＝2(3＋1)2，开平方得|BD |＝2(3＋1)．故sin15°＝|BC ||BD |＝12（3＋1）＝6－24，cos15°＝|CD ||BD |＝2＋32（3＋1）＝6＋24，tan15°＝|BC ||CD |＝12＋3＝2－ 3.§4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①____________________； ② ．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．2．三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容：x函数sin x cos x tan x－α －sin α cos α －tan α π2±α∓cot α ※ π±α 3π2±α ∓cot α ※ 2π±α(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝ ⎛⎭⎪⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin (360°＋120°)＝sin120°，sin (270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．(3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：任意负角的三角函数――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数――→化锐（把角化为锐角）锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的关系(sin α＋cos α)2＝________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________.自查自纠：1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1) x 函数 sin x cos x tan x－α －sin α cos α－tan απ2±αcos α ∓sin α ∓cot α π±α ∓sin α －cos α±tan α3π2±α－cos α ±sin α ∓cot α 2π±α ±sin α cos α±tan α(2)不变锐角象限 (3)锐角3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D.1tan x解：⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.故选D. 已知sin θ＜0，tan θ＞0，则1－sin 2θ的化简结果为( )A ．cos θB ．－cos θC ．±cos θD ．以上都不对解：∵sin θ＜0，tan θ＞0，∴cos θ＜0，1－sin 2θ＝cos 2θ＝－cos θ.故选B.(2014·全国)设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解：∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°，∴c ＞b ＞a .故选C .已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan (π－α)＝________.解：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， ∴cos α＝－25 5.∴tan α＝sin αcos α＝－12.∴tan (π－α)＝－tan α＝12.故填12.若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝________.解：由sin θ＝－45＜0且tan θ＞0，知角θ为第三象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.故填－35.类型一利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)已知sin α＝13，且α为第二象限角，求tan α；(2)已知sin α＝13，求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求tan α.解：(1)∵sin α＝13，且α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223. ∴tan α＝sin αcos α＝－24.(2)∵sin α＝13，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，∴tan α＝sin αcos α＝24；当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)∵sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，∴cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时，tan α＝m1－m2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m1－m2.点拨：解题时要注意角的取值范围，分类讨论，正确判断函数值的符号．设sin α2＝45，且α是第二象限角，求tan α2的值．解：∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限角．(1)当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， ∴tan α2＝sinα2cosα2＝43；(2)当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.类型二诱导公式的运用(1)化简错误!；(2)已知α是第三象限角，且f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan ()α＋πtan （－α－π）sin （－α－π）.①若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； ②若α＝－1860°，求f (α)的值．解：(1)原式＝（－sin α）（－cos α）（－sin α）（－sin α）（－cos α）·sin α·sin α·cos α＝－tan α.(2)f (α)＝sin α·cos α·tan α（－tan α）·sin α＝－cos α. ①∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15. ∵α是第三象限的角， ∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.f (α)＝－cos α＝256. ②f (α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－12.点拨：①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．化简： (1)sin 2(π＋α)－cos (π＋α)·cos(－α)＋1；(2)cos （π＋α）·sin 2（3π＋α）tan 2α·cos 3（－π－α）. 解：(1)原式＝sin 2α－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.(2)原式＝（－cos α）·sin 2αtan 2α·（－cos 3α）＝sin 2αtan 2α·cos 2α＝tan 2αtan 2α＝1. 类型三关于sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值． (1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135. 点拨：(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos n α(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．已知tan α＝3，求sin 2α－3sin αcos α＋1的值．解法一：sin 2α－3sin αcos α＋1 ＝sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－3tan αtan 2α＋1＋1 ＝32－3×332＋1＋1＝1. 解法二：∵tan α＝3＞0， ∴α是第一、三象限角．由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝3cos α，有⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010(α为第一象限角)，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－31010，cos α＝－1010(α为第三象限角)．∴sinαcosα＝3 10 .∴sin2α－3sinαcosα＋1＝910－3×310＋1＝1.1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解．(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sinα，cosα的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cos nα(n∈N*)，这样可以将被求式化为关于tanα的式子．※(2)巧用“1”进行变形，如1＝sin2α＋cos2α＝tanαcotα＝tan45°＝sec2α－tan2α等．(3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)理解sin α±cosα，sinαcosα的内在联系，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可知一求二．1．sin585°的值为( )A．－22B.22C．－32D.32解：sin585°＝sin()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A.2．(2013·全国)已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝( )A．－1213B．－513C.513D.1213解：∵α是第二象限角，sinα＝513，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.故选A.3．下列关系式中正确的是( )A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°解：∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin()180°－12°＝sin12°，∴sin11°<sin168°<cos10°.故选C.4．已知f(cos x)＝cos2x，则f(sin15°)的值等于( )A.12B．－12C.32D．－32解：f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－32.故选D.5．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，则sin⎝⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αtan2（2π－α）cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin（π＋α）＝( )A.35B.53C.45D.54解：由5x2－7x－6＝0得x＝－35或x＝2.∴sinα＝－35.∴原式＝cosα（－cosα）·tan2αsinα·（－sinα）·（－sinα）＝1－sinα＝53.故选B.6．已知sinα－cosα＝2，α∈()0，π，则tanα＝( )A．－1 B．－22C.22D．1解：将sinα－cosα＝2两端平方，整理得2sinαcosα＝－1，∴2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝－1，即(tanα＋1)2＝0，解得tanα＝－1.故选A.7．已知sinαcosα＝18，且π4＜α＜π2，则cosα－sinα的值是________．解：∵π4＜α＜π2，∴sinα＞cosα.∵1－2sinαcosα＝(cosα－sinα)2＝34，∴cosα－sin α＝－32.故填－32. 8．f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2015)＝6，则f (2016)＝________.解：f (2015)＝a sin(2015π＋α)＋b cos (2015π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝－2，∴f (2016)＝a sin (2016π＋α)＋b cos (2016π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝2.故填2.9．已知sin (3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：∵sin (3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13. ∴原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ·（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18. 10．已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ；(2)sin 3θ－cos 3θ；(3)sin 4θ＋cos 4θ.解：(1)将sin θ－cos θ＝12两边平方得：1－2sin θcos θ＝14，sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116. (3)sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332. 11．(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．解：(1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14tan 2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58. (2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57. 若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵A ＋B ＞π2，且A ，B 为锐角，∴π2＞A ＞π2－B ＞0，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， cos A ＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝sin B ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限．故选B.§4.3 三角函数的图象与性质1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．(2)在确定余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．2．周期函数的定义对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的________________．3．三角函数的图象和性质函数性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 ①________ ②________③_______ 图象值域④________ ⑤________ R 对称性对称轴： ⑥________；对称中心： ⑦__________对称轴： ⑧________；对称中心： ⑨__________ 无对称轴；对称中心： ⑩_______最小正周期⑪__________ ⑫__________ ⑬_______单调性单调增区间⑭_________；单调减区间⑮__________单调增区间⑯_________；单调减区间 ⑰__________单调增区间 ⑱_______ 奇偶性⑲__________⑳__________ ○21_______自查自纠：1．(1)(0，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1(2π，0)(2)(0，1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 (π，－1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0 (2π，1)2．f (x ＋T )＝f (x ) 最小正周期3．①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ④[－1，1]⑤[－1，1] ⑥x ＝k π＋π2(k ∈Z ) ⑦(k π，0)(k ∈Z )⑧x ＝k π(k ∈Z ) ⑨⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) ⑩⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) ⑪2π ⑫2π ⑬π ⑭⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) ⑮⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z ) ⑯[2k π－π，2k π](k ∈Z ) ⑰[2k π，2k π＋π](k ∈Z )⑱⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) ⑲奇函数 ⑳偶函数 ○21奇函数函数f (x )＝sin2x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解：∵f (－x )＝－sin2x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数，最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的一个单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，7π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4解：由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )．因此，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间为[2k π－π4，2k π＋3π4](k ∈Z )．故选B. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，则函数f (x )的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解：令x －π3＝π2＋k π，得x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，观察各选项知，故选A .函数y ＝cos x －12的定义域为________．解：∵cos x －12≥0，∴cos x ≥12，2k π－π3≤x≤2k π＋π3，k ∈Z .故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________________.解：∵函数f ()x ＝sin x ＋φ3()φ∈[]0，2π是偶函数，∴φ3＝π2＋k π，φ＝3π2＋3k π，k ∈Z .又∵φ∈[]0，2π，∴φ＝3π2.故填3π2.类型一三角函数的定义域、值域(1)求y ＝lg(sin x －cos x )的定义域．解：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ＞0. 解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示：在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π内sin x ＞cos x ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z }．解法二：利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x＞cos x ，只须π4＜x ＜5π4(在[0，2π]内)．∴定义域为{x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z }．解法三：sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π＜x －π4＜π＋2k π，解得2k π＋π4＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .点拨：①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．(2)求y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．解：原式＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.∴当cos x ＝－12，即x ＝23π时，y 有最大值154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y 有最小值－14.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154. (3)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值和最小值．解：∵－π2≤x ≤0，∴－34π≤2x ＋π4≤π4，∴当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1；当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max ＝2，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－1，最大值为 2.点拨：求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )，可直接求出ωx ＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．、(1)求函数y ＝lgsin x2sin x －3的定义域；(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(3)求y ＝cos x －2cos x －1的最小值．解：(1)∵y ＝lgsin x2sin x －3，∴⎩⎨⎧sin x ＞0，2sin x －3≠0.∴原函数的定义域为{x |2k π＜x ＜2k π＋π，且x ≠2k π＋π3，x ≠2k π＋23π，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数f (x )有最小值－12；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )有最大值1.(3)解法一：∵y ＝cos x －2cos x －1＝cos x －1－1cos x －1＝1＋11－cos x，∴当cos x ＝－1时，y min ＝1＋12＝32.解法二：由y ＝cos x －2cos x －1，得cos x ＝y －2y －1，又∵－1≤cos x ＜1，∴－1≤y －2y －1＜1.∴y ≥32.∴函数的最小值为32.类型二三角函数的周期性(2014·全国课标Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 解：可分别求出各个函数的最小正周期．①y ＝cos|2x |＝cos2x ，T ＝2π2＝π；②由图象知，函数的最小正周期T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.综上知，最小正周期为π的所有函数为①②③.故选C .点拨：①求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．②注意带绝对值的三角函数的周期是否减半，可用图象法判定，y ＝|cos x |的图象即是将y ＝cos x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴的上方去．求下列函数的最小正周期．(1)y ＝(a sin x ＋cos x )2(a ∈R )；(2)y ＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ；(3)y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3. 解：(1)y ＝[a 2＋1sin(x ＋φ)]2＝(a 2＋1)sin 2(x ＋φ)＝(a 2＋1)·1－cos （2x ＋2φ）2(φ为辅助角)，所以此函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)y ＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x cos x＝sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，该函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.(3)y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小正周期是y ＝2sin(4x －π3)的最小正周期的一半，即T ＝12×2π4＝π4. 类型三三角函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x.解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝(－sin2x )(－cos x ) ＝cos x sin2x .∵f (－x )＝cos(－x )sin2(－x )＝－cos x sin2x ＝－f (x )，x ∈R ，∴f (x )是奇函数．(2)∵1＋sin x ＋cos x ＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 2≠0，∴x ≠π＋2k π且x ≠－π2＋2k π，k ∈Z .∴f (x )的定义域不关于原点对称．故f (x )是非奇非偶函数．点拨：判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用－x 取代x ，再化简判断，还可利用f (－x )±f (x )＝0是否成立来判断其奇偶性．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2sin x －1；(2)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解：(1)∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，此区间不关于原点对称．∴f (x )是非奇非偶函数．(2)由题意知函数f (x )的定义域为R .f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2（－x ）]＝lg ()－sin x ＋1＋sin 2x＝lg 11＋sin 2x ＋sin x ＝－lg(1＋sin 2x ＋sin x ) ＝－f (x )．∴函数f (x )是奇函数．类型四三角函数的单调性(1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间；(2)求y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的最小正周期及单调区间．解：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )． (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， T ＝π||ω＝π14＝4π. 由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2，解得4k π－43π<x <4k π＋83π(k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫4k π－43π，4k π＋83π(k ∈Z )．点拨：若函数y ＝sin(ωx ＋φ)中ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－sin(－ωx －φ)的形式(目的是将x 的系数变为正)，将“－ωx －φ”视为一个整体，那么y ＝－sin(－ωx －φ)的增区间为y ＝sin(－ωx －φ)的减区间，其减区间为y ＝sin(－ωx －φ)的增区间．对于函数y ＝cos(ωx ＋φ)，y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＜0)等的单调性的讨论同上．(2014·四川)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，求f (x )的单调递增区间．。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))4.1弧制及任意角的三角函数课件

|α|＝________，l 是半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长．
(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad，180°＝________rad， 1°＝_____rad≈0.01745rad，反过来 1rad＝____≈57.30°＝57°18′.
(3)若圆心角 α 用弧度制表示，则弧长公式 l＝__________；扇形面
22
3 2
135°
3π 4
2 2
150° 180° 270° 360°
5π 6
π
3π 2
2π
1 2
0 －1 0
cosα
1
3 2
2 2
1 2
0
－21
tanα 0 3 1
3
不
3存在
－3
－
2 2
－1
－
3 2
－1
0
1
－
3 3
不 0存 0
在
第十二页，共33页。
如果 sinα＞0，且 cosα＜0，那么 α 是( )
如图所示，已知扇形 AOB 的圆心角∠AOB＝120°，半径 R ＝6，求：
︵ (1)AB的长；
(2)弓形 ACB 的面积．
第二十二页，共33页。
解：(1)∵∠AOB＝120°＝23π，R＝6， ∴lA︵B＝23π×6＝4π. (2)S 弓形 ACB＝S 扇形 OAB－S△OAB ＝12lA︵BR－12R2sin∠AOB ＝12×4π×6－12×62× 23＝12π－9 3.
运用．
第二十四页，共33页。
扇形 AOB 的周长为 8 cm.若这个扇形的
面积为 3 cm2，求圆心角的大小．
解：设扇形半径为 r，则弧长为 8－2r， ∴S＝12·(8－2r)·r＝3，解得 r＝1 或 3. ∴圆心角 θ＝弧半长径＝8－r 2r＝6 或23.

2019版一轮复习理数通用版第二单元函数的概念及其性质

第二单元函数的概念及其性质教材复习课“函数”相关基础知识一课过函数的基本概念1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．3．表示函数的常用方法列表法、图象法和解析法．4．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案：B2．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是()A．y＝x2x B．y＝(3x2)32C．y＝lg 10x D．y＝2log2x解析：选C A ．y ＝x 2x ＝x (x ≠0)与y ＝x 的定义域不同，故不是相同的函数；B ．y ＝(3x 2)32＝|x |与y ＝x 的对应关系不相同，故不是相同的函数；C ．y ＝lg 10x ＝x 与y ＝x 的定义域、值域与对应关系均相同，故是相同的函数；D ．y ＝2log 2x 与y ＝x 的对应关系不相同，故不是相同的函数． 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >1，2＋16x ，x ≤1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－1解析：选A 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >1，2＋16x ，x ≤1，所以f ⎝⎛⎭⎫14＝2＋1614＝4，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)＝log 124＝－2. 4．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.[清易错]1．解决函数有关问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射便不是函数．1．(2018·合肥八中模拟)已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：选B 因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．2．下列对应关系：①A ＝{1,4,9}，B ＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f ：x →x 的平方根； ②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数； ③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2；④A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方．其中是A 到B 的映射的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④D ．②③解析：选C 由映射的概念知①中集合B 中有两个元素对应，②中集合A 中的0元素在集合B 中没有对应，③④是映射．故选C.函数定义域的求法函数y ＝f (x )的定义域1.函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]2．函数y ＝lg(1－2x )＋x ＋3的定义域为________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，x ＋3≥0，求解可得－3≤x <0，所以函数y ＝lg(1－2x )＋x ＋3的定义域为[－3,0)．答案：[－3,0)[清易错]1.求复合型函数的定义域时，易忽视其满足内层函数有意义的条件.2.求抽象函数的定义域时，易忽视同一个对应关系后的整体范围. 1．(2018·辽宁锦州模拟)已知函数f (x 2－3)＝lgx 2x 2－4，则f (x )的定义域为________．解析：设t ＝x 2－3(t ≥－3)，则x 2＝t ＋3，所以f (t )＝lgt ＋3t ＋3－4＝lg t ＋3t －1，由t ＋3t －1>0，得t >1或t <－3，因为t ≥－3，所以t >1，即f (x )＝lg x ＋3x －1的定义域为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)2．已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋8－2x的定义域为________．解析：因为函数f(x)的定义域为[0,2]，所以对于函数f(2x)，0≤2x≤2，即0≤x≤1，又因为8－2x≥0，所以x≤3，所以函数g(x)＝f(2x)＋8－2x的定义域为[0,1]．答案：[0,1]函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值A．y＝2－x B．y＝xC．y＝log2x D．y＝－1 x解析：选B由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.作出函数f (x )的图象如图，则结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2018·长春质量检测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 4．已知定义在R 上的函数f (x )为增函数，当x 1＋x 2＝1时，不等式f (x 1)＋f (0)>f (x 2)＋f (1)恒成立，则实数x 1的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1，＋∞)解析：选D 若f (x 1)＋f (0)>f (x 2)＋f (1)，则f (x 1)－f (x 2)>f (1)－f (0)．又由x 1＋x 2＝1，则有f (x 1)－f (1－x 1)>f (1)－f (0)．又由函数f (x )为增函数，则不等式f (x 1)＋f (0)>f (x 2)＋f (1)恒成立可以转化为⎩⎪⎨⎪⎧x 1>1，1－x 1<0，解得x 1>1.5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：2[清易错]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝1 x.1．函数f(x)＝x1－x在()A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝x1－x＝11－x－1，根据函数y＝－1x的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7]函数的奇偶性1．定义及图象特征奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．1．下列函数中的偶函数是()A．y＝2x－12x B．y＝x sin xC．y＝e x cos x D．y＝x2＋sin x解析：选B 因为f (－x )＝(－x )si n (－x )＝x sin x ＝f (x )，即函数f (x )是偶函数，故选B. 2．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝3x －1，则f (9)＝( )A ．－2B ．2C ．－23D.23解析：选D 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x ∈[0,2]时，f (x )＝－f (－x )＝－3－x＋1；设x －2＝t ，则x ＝t ＋2，则f (x －2)＝f (x ＋2)可化为f (t )＝f (t ＋4)，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则f (9)＝f (1)＝23.3．(2018·绵阳诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选A ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)，∴f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A. 4．若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则( ) A ．函数f (x )－g (x )是奇函数 B ．函数f (x )·g (x )是奇函数 C ．函数f [g (x )]是奇函数 D ．函数g [f (x )]是奇函数解析：选B 因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，所以f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，故f (x )·g (x )是奇函数．[清易错]1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断分段函数奇偶性时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．1．已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则( )A ．f (m )<f (1)B ．f (m )>f (1)C ．f (m )＝f (1)D ．f (m )与f (1)大小不能确定解析：选A 由题意可知－3－m ＋m 2－m ＝0，所以m ＝3或m ＝－1，又因为函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，所以2－m 是奇数，且2－m >0，所以m ＝－1，则f (x )＝x 3，定义域为[－2,2]且在[－2,2]上是增函数，所以f (m )<f (1)．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 2(－x )，x <0的奇偶性为________．解析：∵x ≠0，故f (x )的定义域关于原点对称．当x >0时，－x <0， ∴f (－x )＝log 2x ＝f (x )．当x <0时，－x >0， f (－x )＝log 2(－x )＝f (x )．故f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．答案：偶函数函数的周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．3．重要结论周期函数的定义式f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的x 是恒成立的，若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则函数f (x )的周期为T ＝|a －b |.若在定义域内满足f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f (x )，f (x ＋a )＝－1f (x )(a >0)．则f (x )为周期函数，且T ＝2a 为它的一个周期．4．对称性与周期的关系(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(2)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(3)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x 4π，x >0，f (x ＋2)，x ≤0，则f (－5)的值为( )A ．0 B.22C ．1D. 2解析：选B 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x 4π，x >0，f (x ＋2)，x ≤0，可得f (－5)＝f (1)＝si n π4＝22.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x ＋1)＝f (1－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (31)＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选C 由f (－x )＝－f (x )可得函数f (x )是奇函数，所以f (x ＋1)＝f (1－x )＝－f (x －1)．令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，所以f (t ＋2)＝－f (t )，则f (t ＋4)＝－f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的最小正周期为4.又因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，所以f (31)＝f (31－4×8)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1.3．(2018·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 017)＝________.解析：∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)， ∴当x ＝－3时，有f (3)＝f (－3)＋f (3)＝0， ∴f (－3)＝0，f (3)＝0， ∴f (x ＋6)＝f (x )，周期为6. 故f (2 017)＝f (1)＝2. 答案：2[清易错]在利用周期性定义求解问题时，易忽视定义式f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)的使用而致误.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解析：由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数f (x )的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3， ∴f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. 答案：2.5 一、选择题1．函数f (x )＝lg(x －1)－4－x 的定义域为( ) A ．(－∞，4] B ．(1,2)∪(2,4] C ．(1,4]D ．(2,4]解析：选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4－x ≥0，解得1<x ≤4，所以函数f (x )的定义域为(1,4]．2．(2017·唐山期末)已知f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3解析：选A ∵f (a )＝a ＋1a －1＝2，∴a ＋1a ＝3.f (－a )＝－a －1a－1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 的值为( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D 当a ≥0时，f (a )＝a ，由已知得a ＋1＝2，得a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ，由已知得－a ＋1＝2，得a ＝－1，综上，a ＝±1.故选D.4．下列几个命题正确的个数是( )(1)若方程x 2＋(a －3)x ＋a ＝0有一个正根，一个负根，则a <0；(2)函数y ＝x 2－1＋1－x 2是偶函数，但不是奇函数； (3)函数f (x ＋1)的定义域是[－1,3]，则f (x 2)的定义域是[0,2]；(4)若曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a (a ∈R )的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B (1)由根与系数的关系可知，(1)正确；(2)函数y ＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}，值域为{0}，显然该函数既是奇函数也是偶函数，(2)错误；(3)函数f (x ＋1)的定义域是[－1,3]，所以0≤x ＋1≤4，则函数f (x )的定义域是[0,4]，对于函数f (x 2)可得0≤x 2≤4，则－2≤x ≤2，即f (x 2)的定义域是[－2,2]，(3)错误；(4)由二次函数的图象，易知曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a (a ∈R )的公共点个数可能是0,2,3,4，(4)正确．故选B.5．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：选C 函数f (x )的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2.6．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝l n (x ＋1)解析：选C 根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝l n (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.7．已知函数f (x )＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－12，2 D.⎝⎛⎦⎤－12，2解析：选D 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知y ＝log 13t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －－a 2≤1，g (1)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2. 8．(2018·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23C.43D ．－43解析：选C f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43，故选C.二、填空题9．f (x )＝a si n x －b log 3(x 2＋1－x )＋1(a ，b ∈R )，若f (lg(log 310))＝5，则f (lg(lg 3))＝________.解析：令g (x )＝a sin x －b log 3(x 2＋1－x )，因为g (－x )＝－a sin x －b log 3(x 2＋1＋x ) ＝－a sin x －b log 31x 2＋1－x＝－a sin x ＋b log 3(x 2＋1－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，因为lg(log 310)＋lg(lg 3)＝lg1lg 3＋lg(lg 3)＝0，即lg(log 310)与lg(lg 3)互为相反数，f (lg(lg 3))＝g (lg(lg 3))＋1＝－g (lg(log 310))＋1＝－[f (lg(log 310))－1]＋1＝－3.答案：－310．设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7，若f (x )≥a＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为________．解析：因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0，则0≥a ＋1，所以a ≤－1，又设x >0，则－x <0，所以f (x )＝－f (－x )＝－⎣⎡⎦⎤9(－x )＋a 2－x ＋7＝9x ＋a 2x －7.由基本不等式得9x ＋a 2x －7≥29x ·a 2x －7＝－6a －7，由f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，只需－6a －7≥a ＋1，即a ≤－87，结合a ≤－1，所求a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－87. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－87 11．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)．解析：因为f (－x )＝－x 3＋log 2(－x ＋x 2＋1)＝－x 3＋log 21x ＋x 2＋1＝－x 3－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，易知函数f (x )在R 上是增函数，因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，所以f (a )≥f (－b )＝－f (b )，即f (a )＋f (b )≥0，反之亦成立，因此，对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的充要条件．答案：充要12．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝212－1＋20－1 ＝2－1. 答案：2－1 三、解答题13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图所示：14．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. 高考研究课(一)函数的定义域、解析式及分段函数 [全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度函数的概念 5年1考函数定义问题分段函数 5年3考分段函数求值及不等式恒成立问题函数的定义域问题[典例] (1)(2018·长沙模拟)函数y ＝lg (x ＋1)x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)(2)若函数f (x )＝22+2-x ax a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] (1)由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0，x ＋1>0，即－1<x <2或x >2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.[答案] (1)C (2)[－1,0] [方法技巧]函数定义域问题的3种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． [即时演练]1．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，解得2<x <3或3<x ≤4，所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．2．已知函数f (2－x )＝4－x 2，则函数f (x )的定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,16] C ．[0,4]D ．[0,2]解析：选B 由4－x 2≥0可得－2≤x ≤2，令2－x ＝t ，则0≤t ≤4，函数f (2－x )＝4－x 2可化为函数f (t )＝4－(2－t )2，0≤t ≤4，所以函数f (x )满足0≤x ≤4，则0≤x ≤16，即函数f (x )的定义域为[0,16]．函数解析式的求法函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，以选择题、填空题的形式出现.知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2018·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)用“待定系数法”解题设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)用“代入法”解题∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)＝－12x 2－12x .(3)用“函数方程法”解题令1x 代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1，∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18.[答案] (1)A (2)－12x 2－12x(3)f (x )＝1516x －916x ＋18[方法技巧]求函数解析式的常见方法待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可换元法已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可构造法已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理构造成只含h (x )的式子，用x 将h (x )替换函数方程法已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f (－x )，f ⎝⎛⎭⎫1x ，则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )1．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1解析：选B 令1x ＝t ，得x ＝1t (t ≠1)， ∴f (t )＝1t1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.2．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. 答案：2x ＋7分段函数分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题或中档题.常见的命题角度有： (1)分段函数求值问题；(2)求参数值或自变量的取值范围； (3)研究分段函数的性质.1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥1，e x －1，x <1，则f [f (l n 2)]＝________.解析：由题意知，f (l n 2)＝e l n2－1＝1，所以f [f (l n 2)]＝log 22＝1. 答案：1角度二：求参数或自变量的取值范围2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x，x ≤1，log 22x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，log 22x ，x >1，所以f (x )≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，log 22x≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x≤4，即0≤x ≤1或x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x |，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1，若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2,2]∪[4，＋∞)C ．[－2,2＋2]D ．[－2,2＋2]∪[4，＋∞)解析：选D 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3.由1－|x |＝－1得，x ＝2或x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1得，x ＝2±2，由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝0或x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞)．角度三：研究分段函数的性质4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x ) 在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D.5．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0， f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)． [方法技巧]分段函数问题的3种类型及求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．(3)研究分段函数的性质可根据分段函数逐段研究其性质，也可根据选项利用特殊值法作出判断． 1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 解析：选C ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.3．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A 由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.4．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：选D 当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝l n (x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，故选D.一、选择题1．(2018·广东模拟)设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )A.21＋xB.21＋x 2C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：选A 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，即f (x )＝21＋x，故选A.2．函数f (x )＝1ln (2x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：选B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得－12<x <0或x >0.3．(2018·福建调研)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( )A ．0B ．1C ．2 017D ．2 018解析：选D 令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ② 联立①②得f (1)＝2.5．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .6．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝2的x 的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B.{}1，4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4解析：选A 由题意可知，f (x )＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝2，x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |＝2，x >0，解得x ＝14或4，故选A.7．(2018·莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝f (2x )log 12(2－x )的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫12，2解析：选B 要使函数y ＝f (2x )log 12(2－x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12(2－x )>0，2－x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，2－x <1，2－x >0⇒32≤x <2.故选B. 8．(2018·武汉调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值为( )A ．1或－22B ．－22 C ．1D ．1或22解析：选A ∵f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2， ∴f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝si n (πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1. 故a ＝－22或1. 二、填空题9．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]10．已知函数y ＝lg(kx 2＋4x ＋k ＋3)的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝lg(kx 2＋4x ＋k ＋3)的定义域为R ， ∴kx 2＋4x ＋k ＋3>0对任意实数x 恒成立，若k ＝0，不等式化为4x ＋3>0，即x >－34，不合题意；若k ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，16－4k (k ＋3)<0，解得k >1.∴实数k 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)11．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．答案：①③12．(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤a 时，由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象． ①若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. ②当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >(x 3－3x )max ，所以a <－1.答案：①2 ②(－∞，－1) 三、解答题 13．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2；当－1<x <1时，f (x )<0，故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.14．水库的储水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1240(－t 2＋15t －51)e t ＋50，0<t ≤9，4(t －9)(3t －41)＋50，9<t ≤12.(1)该水库的储水量小于50的时期称为枯水期，问：一年内哪几个月份是枯水期？ (2)求一年内该水库的最大储水量． (取21的值为4.6计算，e 3的值为20计算) 解：(1)当0<t ≤9时，v (t )＝1240(－t 2＋15t －51)e t ＋50<50，即t 2－15t ＋51>0. 解得t >15＋212或t <15－212，从而0<t <15－212≈5.2.当9<t ≤12时，v (t )＝4(t －9)(3t －41)＋50<50，即(t －9)(3t －41)<0，解得9<t <413，所以9<t ≤12.综上，0<t <5.2或9<t ≤12，故枯水期分别为：1月，2月，3月，4月，5月，10月，11月，12月．(2)由(1)知，水库的最大蓄水量只能在6～9月份． v ′(t )＝1240(－t 2＋13t －36)e t ＝－1240e t (t －4)(t －9)，令v ′(t )＝0，解得t ＝9或t ＝4(舍去)，又当t ∈(6,9)时，v ′(t )>0，v (t )单调递增；当t ∈(9,10)时，v ′(t )<0，v (t )单调递减．所以当t ＝9时，v (t )的最大值v (9)＝1240×3×e 9＋50＝150(亿立方米)，故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x >1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[0,2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为( )A.n (n ＋1)2B ．22n －1＋2n －1C.(1＋2n )22D ．2n －1解析：选B 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x >1在定义域[0，＋∞)上单调递增，所以m ≥1.又因为对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，且函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x >1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且图象连续，所以m ＝1. 如图所示，函数g (x )＝f (x )－x 在区间[0,2n](n ∈N *)上的所有零点分别为0,1,2,3， (2)，所以所有的零点的和等于2n (1＋2n )2＝22n －1＋2n －1.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.5]＝－2，[2.5]＝2，若直线y ＝k (x －1)(k <0)与函数y ＝f (x )的图象只有三个不同的交点，则k 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，－13 B.⎝⎛⎭⎫－12，－13 C.⎝⎛⎦⎤－1，－12 D.⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析：选C 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0的图象如图所示．因为直线y ＝k (x －1)(k <0)与函数y ＝f (x )的图象只有三个不同的交点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k (0－1)<1，k (－1－1)≥1，解得－1<k ≤－12.高考研究课(二)函数的单调性、奇偶性及周期性 [全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度函数的单调性 5年4考利用单调性解不等式、比较大小、求最值函数的奇偶性 5年5考奇偶性的判断及应用求值函数的周期性未考查函数的单调性高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.,常见的命题角度有：(1)确定函数的单调性； (2)求函数的值域或最值； (3)比较两个函数值； (4)解函数不等式；(5)利用单调性求参数的取值范围.1．(2018·昆明调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝l n x －xD ．y ＝e x －x解析：选A 对于选项A ，y ＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y ＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；B 、C 选项中的函数在(0，＋∞)内的单调性不确定；对于选项D ，y ′＝e x －1>0在(0，＋∞)内恒成立，故y ＝e x －x 在(0，＋∞)上单调递增，故选A.2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5x解析：选A y ＝x2在区间(0，＋∞)上为增函数，A 项符合题意；y ＝(x －1)2在(0,1)上为减函数，y ＝2－x ，y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上都是减函数，故B 、C 、D 选项都不符合题意．3．(2018·广东佛山联考)讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在(－1,1)上的单调性．解：法一：(定义法) 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，故函数f (x )在(－1,1)上为减函数．法二：(导数法)f ′(x )＝(ax )′(x 2－1)－ax (x 2－1)′(x 2－1)2＝a (x 2－1)－2ax 2(x 2－1)2＝a (－x 2－1)(x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2.∵a >0，x ∈(－1,1)， ∴f ′(x )<0.∴f (x )在(－1,1)上是减函数． [方法技巧]确定函数单调性的常用方法定义法先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论图象法若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性导数法先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．角度二：求函数的值域或最值 4．函数y ＝2x 2＋2x 的值域为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[2，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 因为x 2＋2x ≥－1，且y ＝2t 是增函数，所以y ＝2x 2＋2x ≥12，因此函数y ＝2x 2＋2x 的值域是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.5．(2016·北京高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．解析：f ′(x )＝(x －1)－x (x －1)2＝－1(x －1)2，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.答案：2 [方法技巧]利用单调性求函数的最值的关键是准确判断其单调性，而判断方法常用定义法及导数法．角度三：比较两个函数值6．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))4.3三角函数的图象与性质课件文

类型三三角函数的奇偶性
(1)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝cosπ2＋2xcos(π＋x)；
②f(x)＝11＋＋ssiinnxx＋－ccoossxx.
解：①f(x)＝cosπ2＋2xcos(π＋x)
＝(－sin2x)(－cosx) ＝cosxsin2x. ∵f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝－cosxsin2x＝－f(x)，x∈R，∴f(x)是奇函数．
②∵1＋sinx＋cosx＝2cos2xsin2x＋cos2x≠0，
∴x≠π＋2kπ 且 x≠－2π＋2kπ，k∈Z. ∴f(x)的定义域不关于原点对称．故 f(x)是非奇非偶函数．
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(2)已知函数 f(x)＝2sinx＋θ＋3π θ∈－π2，π2 是偶函数，
则 θ 的值为( )
①y＝cos|2x|＝cos2x，T＝22π＝π； ②由图象知，函数的最小正周期 T＝π； ③T＝22π＝π； ④T＝π2. 综上知，最小正周期为 π 的所有函数为①②③.故选 C.
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点拨： ①求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后
围，然后根据单调性求解．
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(1)求函数 y＝2silngxs－inx
的定义域； 3
(2)已知函数 f(x)＝sin2x－π6，x∈R，求 f(x)在0，π2上的最大值和最小值；
(3)求函数 y＝ccoossxx－－21的最小值；
(4)求函数 y＝sinx－cosx＋sinxcosx 的值域．
借助于常见三角函数的周期来求解．②注意带绝对值的
三角函数的周期是否减半，可用图象法判定，y＝|cosx| 的图象即是将 y＝cosx 的图象在 x 轴下方部分翻折到 x

【核按钮】(新课标)高考数学一轮复习(课时精讲+课时检测+单元检测)第四章三角函数基本初等函数

第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2．三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．3．解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．§4.1 弧度制及任意角的三角函数1．任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与____________重合，角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ；②α是第二象限角可表示为； ③α是第三象限角可表示为；④α是第四象限角可表示为． (3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }；②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作 _______________；③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作 ________________________；④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作 _______________________；⑤终边在x 轴上的角的集合可记作_______________________；⑥终边在y 轴上的角的集合可记作； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作． (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad ≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝__________；扇形面积公式S 扇＝＝．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝ (x ≠0)．※cot α＝xy (y ≠0)，sec α＝rx(x ≠0)，csc α＝ry(y ≠0)． (2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域 sin α ① cos α ② tan α ③ sin α cos α tan α 4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P .过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A (1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T .根据三角函数的定义，有OM ＝x ＝________，MP ＝y ＝________，AT ＝＝________.像OM ，MP ，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，AT ，分别叫做角α的_______、_______、_______，统称为三角函数线．5．特殊角的三角函数值角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 角α的弧度数 sinα cosα tanα※sin15°＝6－2，sin75°＝6＋2，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．自查自纠：1．(1)射线逆时针顺时针零角 (2)原点非负半轴 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或 {α|2k π－π2<α<2k π，k ∈Z } (3)坐标轴 ②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ⑤{α|α＝k π，k ∈Z }⑥⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ⑦⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z(4){β|β＝α＋2k π，k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }2．(1)半径长lr(2)2πππ180⎝⎛⎭⎪⎫180π°(3)||αr12||αr212lr3．(1)yrxryx(2)①R②R③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠kπ＋π2，k∈Z4．cosαsinαyxtanα正弦线余弦线正切线5.角α°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角α的弧度数π6π4π3π22π33π45π6π3π22πsinα12223213222120 －1 0cosα13222120 －12－22－32－1 0 1tanα331 3不存在－3－1－33不存在如果sinα＞0，且cosα＜0，那么α是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解：∵sinα＝yr＞0, cosα＝xr＜0，∴x＜0，y＞0.∴α是第二象限角．故选B.与－463°终边相同的角的集合是( )A.{}α|α＝k·360°＋463°，k∈ZB.{}α|α＝k·360°＋103°，k∈ZC.{}α|α＝k·360°＋257°，k∈ZD.{}α|α＝k·360°－257°，k∈Z解：显然当k＝－2时，k·360°＋257°＝－463°.故选C.给出下列命题：①小于π2的角是锐角；②第二象限角是钝角；③终边相同的角相等；④若α与β有相同的终边，则必有α－β＝2kπ(k∈Z)．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解：①锐角的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故不正确；②钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，而第二象限角为⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π2，2kπ＋π，k∈Z，故不正确；③若α＝β＋2kπ，k∈Z，α与β的终边相同，但当k≠0时，α≠β，故不正确；④正确．故选B.若点P()x，y是30°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解：yx＝tan30°＝33.故填33.半径为R的圆的一段弧长等于23R，则这段弧所对的圆心角的弧度数是____________．解：圆心角的弧度数α＝23RR＝2 3.故填2 3.类型一角的概念若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置．解：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)．(1)∵180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，故2α的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上．(2)∵45°＋k·180°＜α2＜90°＋k·180°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°＜α2＜90°＋n·360°，当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°＜α2＜270°＋n·360°，∴α2的终边在第一或第三象限．(3)∵30°＋k·120°＜α3＜60°＋k·120°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°＜α3＜60°＋n ·360°，当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，150°＋n ·360°＜α3＜180°＋n ·360°，当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，270°＋n ·360°＜α3＜300°＋n ·360°，∴α3的终边在第一或第二或第四象限．点拨：关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解此类题一般步骤为先写出α的范围→求出2α，α2，α3的范围→分类讨论求出2α，α2，α3终边所在位置．已知角2α的终边在x 轴的上方(不与x 轴重合)，求α的终边所在的象限．解：依题意有2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k ＝0时，0＜α＜π2，此时α是第一象限角；当k ＝1时，π＜α＜32π，此时α是第三象限角．综上，对任意k ∈Z ，α为第一或第三象限角．故α的终边在第一或第三象限．类型二扇形的弧长与面积问题如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求：(1)AB ︵的长；(2)弓形ACB 的面积．解：(1)∵∠AOB ＝120°＝2π3，R ＝6，∴lAB ︵＝2π3×6＝4π.(2)S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12lAB ︵R －12R 2sin ∠AOB＝12×4π×6－12×62×32＝12π－9 3.点拨：①直接用公式l ＝|α|R 可求弧长，利用S 弓＝S 扇－S △可求弓形面积．②关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．③弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用．扇形AOB 的周长为8 cm.若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小．解：设扇形半径为r ，则弧长为8－2r ，∴S ＝12·(8－2r )·r ＝3，解得r ＝1或3.∴圆心角θ＝弧长半径＝8－2r r ＝6或23.类型三三角函数的定义已知角α的终边经过点P (a ，2a )(a＞0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)， ∴r ＝5a ，x ＝a ，y ＝2a .∴sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a5a ＝55， tan α＝y x ＝2aa＝2.点拨：若题目中涉及角α终边上一点P 的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求解．已知角α的终边经过点P (3m －9，m＋2)．(1)若m ＝2，求5sin α＋3tan α的值； (2)若cos α≤0且sin α＞0，求实数m 的取值范围．解：(1)∵m ＝2，∴P (－3，4)，∴x ＝－3，y ＝4，r ＝5.∴sin α＝y r ＝45，tan α＝y x ＝－43.∴5sin α＋3tan α＝5×45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0. (2)∵cos α≤0且sin α＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －9≤0，m ＋2＞0. ∴－2＜m ≤3.类型四三角函数线的应用用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知0≤α＜2π，求证：|sin α|＋|cos α|≥1.证明：作平面直角坐标系xOy 和单位圆． (1)当角α的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox 轴，设它交单位圆于A 点，如图1，显然sin α＝0，cos α＝OA ＝1，所以|sin α|＋|cos α|＝1.图1(2)当角α的终边不在坐标轴上时，不妨设为OP ，设它交单位圆于A 点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，如图2，则sin α＝BA ，cos α＝OB.图2在△OAB 中，|BA |＋|OB |＞|OA |＝1，所以|sin α|＋|cos α|＞1.综上所述，|sin α|＋|cos α|≥1.点拨：三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性．求证：当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin α<α<tan α.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ，过P 作PM ⊥OA 于M ，连接AP ，则在Rt △POM 中，sin α＝MP ，在Rt △AOT 中，tan α＝AT ，又根据弧度制的定义，有AP ︵＝α·OP ＝α，易知S△POA <S 扇形POA <S △AOT ，即12OA ·MP <12AP ︵·OA <12OA ·AT ，即sin α<α<tan α.1．要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2k π＋30°(k ∈Z )，β＝k ·360°＋π2(k ∈Z )的写法都是不正确的．3．一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷．4．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论．5．牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．2k π＋α表示与α终边相同的角，其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和，是π的整数倍时，要分类讨论．如：(1)sin(2k π＋α)＝sin α；(2)sin(k π＋α)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α（k 为偶数），－sin α（k 为奇数）＝(－1)ksin α.7．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．1．若sin θcos θ<0，则角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第二或第四象限角解：∵sin θcos θ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ<0，cos θ>0.∴角θ是第二或第四象限角．故选D. 2．(2014·全国)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45解：cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.故选D . 3．已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( )A ．－25B .25C ．0D .25或－25解：∵x ＝－4a ，y ＝3a ，a <0，∴r ＝－5a ，∴sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.故选A. 4．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{－1，1}B ．{1，3}C ．{1，－3}D ．{－1，3}解：(1)当x 的终边落在第一象限时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，∴y ＝1＋1＋1＝3；(2)当x 的终边落在第二象限时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，∴y ＝1－1－1＝－1；(3)当x 的终边落在第三象限时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，∴y ＝－1－1＋1＝－1；(4)当x 的终边落在第四象限时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，∴y ＝－1＋1－1＝－1.又依题意知角x 的终边不可能落在坐标轴上， ∴上述函数的值域为{－1，3}．故选D.5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin1C .2sin1D ．sin2解：∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝||αR ＝2sin1.故选C.6．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1＜cos1＜tan1 B ．tan1＜sin1＜cos1 C ．cos1＜tan1＜sin1 D ．cos1＜sin1＜tan1解：如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad ＞π4rad ，∵OM ＜22＜MP ＜AT ，∴cos1＜sin1＜tan1.故选D. 7．点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为__________．解：由三角函数的定义知点Q (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 23π＝－12，y ＝sin 23π＝32.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.8．若一扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角各为________cm 和________rad 时，扇形的面积最大．解：设该扇形的半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝60，∴l ＝60－2r .∴S ＝12lr ＝12(60－2r )r ＝－r 2＋30r＝－(r －15)2＋225.∴当r ＝15时，S 最大，最大值为225cm 2.此时，θ＝l r ＝3015＝2rad .故填15；2.9．若α是第三象限角，则2α，α2分别是第几象限角？解：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z . ∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z .∴2α是第一、二象限角，或角的终边在y 轴非负半轴上．又k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，∴当k ＝2m (m ∈Z )时，2m π＋π2<α2<2m π＋34π(m ∈Z )，则α2是第二象限角；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，2m π＋32π<α2<2m π＋74π(m ∈Z )，则α2是第四象限角．故α2是第二、四象限角．10．已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．解：设扇形半径为r ，则弧长为10－2r ，∴S ＝12·(10－2r )·r ＝4，解得r ＝1或4.当r ＝1时，α＝8＞2π，舍去；当r ＝4时，α＝10－2×44＝12.因此，α＝12.11．已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝36x ，求sin α＋tan α的值．解：∵P (x ，－2)(x ≠0)，∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2.又cos α＝x x 2＋2＝36x ，∴x ＝±10，r ＝2 3.当x ＝10时，点P (10，－2)，由三角函数定义知sin α＝－66，tan α＝－210＝－55.∴sin α＋tan α＝－66－55＝－56＋6530. 当x ＝－10时，同理可求得sin α＋tan α＝65－5630. 求sin15°，cos15°，tan15°的值．解：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，延长CA 到D 使AD ＝AB ，则△ABD 是等腰三角形且∠D ＝15°.设|BC |＝1，则|AD |＝|AB |＝2，|AC |＝3，因此|CD |＝|AD |＋|AC |＝2＋ 3.利用勾股定理|BD |2＝|CD |2＋|BC |2，代入得|BD |2＝(2＋3)2＋12＝8＋43＝2(3＋1)2，开平方得|BD |＝2(3＋1)．故sin15°＝|BC ||BD |＝12（3＋1）＝6－24，cos15°＝|CD ||BD |＝2＋32（3＋1）＝6＋24，tan15°＝|BC ||CD |＝12＋3＝2－ 3.§4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①____________________； ② ．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．2．三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝ ⎛⎭⎪⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin (360°＋120°)＝sin120°，sin (270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．(3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：任意负角的三角函数――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数――→化锐（把角化为锐角）锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的关系(sin α＋cos α)2＝________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________.自查自纠：1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1)(2)不变锐角象限 (3)锐角3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D.1tan x解：⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.故选D. 已知sin θ＜0，tan θ＞0，则1－sin 2θ的化简结果为( )A ．cos θB ．－cos θC ．±cos θD ．以上都不对解：∵sin θ＜0，tan θ＞0，∴cos θ＜0，1－sin 2θ＝cos 2θ＝－cos θ.故选B.(2014·全国)设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解：∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°，∴c ＞b ＞a .故选C .已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan(π－α)＝________.解：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， ∴cos α＝－25 5.∴tan α＝sin αcos α＝－12.∴tan(π－α)＝－tan α＝12.故填12.若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝________.解：由sin θ＝－45＜0且tan θ＞0，知角θ为第三象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.故填－35.类型一利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)已知sin α＝13，且α为第二象限角，求tan α；(2)已知sin α＝13，求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求tan α.解：(1)∵sin α＝13，且α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223. ∴tan α＝sin αcos α＝－24.(2)∵sin α＝13，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，∴tan α＝sin αcos α＝24；当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)∵sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，∴cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时，tan α＝m1－m2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m1－m2.点拨：解题时要注意角的取值范围，分类讨论，正确判断函数值的符号．设sin α2＝45，且α是第二象限角，求tan α2的值．解：∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限角．(1)当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，∴tan α2＝sinα2cosα2＝43；(2)当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.类型二诱导公式的运用(1)化简错误!；(2)已知α是第三象限角，且f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan ()α＋πtan （－α－π）sin （－α－π）.①若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； ②若α＝－1860°，求f (α)的值．解：(1)原式＝错误!＝－tan α.(2)f (α)＝sin α·cos α·tan α（－tan α）·sin α＝－cos α.①∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15. ∵α是第三象限的角，∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.f (α)＝－cos α＝256.②f (α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－12.点拨：①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．化简：(1)sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1；(2)cos （π＋α）·sin 2（3π＋α）tan 2α·cos 3（－π－α）. 解：(1)原式＝sin 2α－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.(2)原式＝（－cos α）·sin 2αtan α·（－cos α）＝sin 2αtan 2α·cos 2α＝tan 2αtan 2α＝1. 类型三关于sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.点拨：(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos n α(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．已知tan α＝3，求sin 2α－3sin αcos α＋1的值．解法一：sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－3tan αtan 2α＋1＋1＝32－3×332＋1＋1＝1.解法二：∵tan α＝3＞0， ∴α是第一、三象限角．由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝3cos α，有⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010(α为第一象限角)，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－31010，cos α＝－1010(α为第三象限角)．∴sin αcos α＝310.∴sin 2α－3sin αcos α＋1＝910－3×310＋1＝1.1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解．(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧 (1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin α，cos α的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *)，这样可以将被求式化为关于tan α的式子．※(2)巧用“1”进行变形，如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan αcot α＝tan45°＝sec 2α－tan 2α等．(3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)理解sin α±cos α，sin αcos α的内在联系，利用(sin α±cosα)2＝1±2sin αcos α，可知一求二．1．sin585°的值为( )A ．－22B .22C ．－32D .32解：sin585°＝sin ()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A. 2．(2013·全国)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C .513 D .1213解：∵α是第二象限角，sin α＝513，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.故选A .3．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°解：∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin ()180°－12°＝sin12°，∴sin11°<sin168°<cos10°.故选C.4．已知f (cos x )＝cos2x ，则f (sin 15°)的值等于( )A .12B ．－12C .32D ．－32解：f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－32.故选D. 5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2（2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝( )A.35B.53C.45D.54解：由5x 2－7x －6＝0得x ＝－35或x ＝2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α（－cos α）·tan 2αsin α·（－sin α）·（－sin α）＝1－sin α＝53.故选B.6．已知sin α－cos α＝2，α∈()0，π，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C .22 D ．1解：将sin α－cos α＝2两端平方，整理得2sin αcos α＝－1，∴2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝－1，即(tan α＋1)2＝0，解得tan α＝－1.故选A.7．已知sin αcos α＝18，且π4＜α＜π2，则cos α－sin α的值是________．解：∵π4＜α＜π2，∴sin α＞cos α.∵1－2sin αcos α＝(cos α－sin α)2＝34，∴cos α－sin α＝－32.故填－32.8．f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2015)＝6，则f (2016)＝________.解：f (2015)＝a sin(2015π＋α)＋b cos(2015π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝－2，∴f (2016)＝a sin(2016π＋α)＋b cos(2016π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝2.故填2.9．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13. ∴原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ·（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18. 10．已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ；(2)sin 3θ－cos 3θ；(3)sin 4θ＋cos 4θ.解：(1)将sin θ－cos θ＝12两边平方得：1－2sin θcos θ＝14，sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116. (3)sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332. 11．(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．解：(1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14tan 2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58. (2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57. 若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵A ＋B ＞π2，且A ，B 为锐角，∴π2＞A ＞π2－B ＞0，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， cos A ＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝sin B ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限．故选B.§4.3 三角函数的图象与性质(2π，0)(2)(0，1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 (π，－1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0 (2π，1)2．f (x ＋T )＝f (x ) 最小正周期3．①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ④[－1，1]⑤[－1，1] ⑥x ＝k π＋π2(k ∈Z ) ⑦(k π，0)(k ∈Z )⑧x ＝k π(k ∈Z ) ⑨⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) ⑩⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) ⑪2π ⑫2π ⑬π ⑭⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) ⑮⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z ) ⑯[2k π－π，2k π](k ∈Z ) ⑰[2k π，2k π＋π](k ∈Z )⑱⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) ⑲奇函数 ⑳偶函数 ○21奇函数函数f (x )＝sin2x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解：∵f (－x )＝－sin2x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数，最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的一个单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，7π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4解：由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )．因此，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间为[2k π－π4，2k π＋3π4](k ∈Z )．故选B.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，则函数f (x )的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解：令x －π3＝π2＋k π，得x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，观察各选项知，故选A .函数y ＝cos x －12的定义域为________．解：∵cos x －12≥0，∴cos x ≥12，2k π－π3≤x≤2k π＋π3，k ∈Z .故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________________.解：∵函数f ()x ＝sin x ＋φ3()φ∈[]0，2π是偶函数，∴φ3＝π2＋k π，φ＝3π2＋3k π，k ∈Z .又∵φ∈[]0，2π，∴φ＝3π2.故填3π2.类型一三角函数的定义域、值域(1)求y ＝lg(sin x －cos x )的定义域．解：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ＞0. 解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x和y ＝cos x 的图象，如图所示：在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π内sin x ＞cos x ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z }．解法二：利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x＞cos x ，只须π4＜x ＜5π4(在[0，2π]内)．∴定义域为{x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z }．解法三：sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π＜x －π4＜π＋2k π，解得2k π＋π4＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .点拨：①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．(2)求y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．解：原式＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.∴当cos x ＝－12，即x ＝23π时，y 有最大值154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y 有最小值－14.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154. (3)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值和最小值．解：∵－π2≤x ≤0，∴－34π≤2x ＋π4≤π4，∴当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1；当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max ＝2，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－1，最大值为 2.点拨：求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )，可直接求出ωx ＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．、(1)求函数y ＝lgsin x2sin x －3的定义域；(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(3)求y ＝cos x －2cos x －1的最小值．解：(1)∵y ＝lgsin x2sin x －3，∴⎩⎨⎧sin x ＞0，2sin x －3≠0.∴原函数的定义域为{x |2k π＜x ＜2k π＋π，且x ≠2k π＋π3，x ≠2k π＋23π，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数f (x )有最小值－12；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )有最大值1.(3)解法一：∵y ＝cos x －2cos x －1＝cos x －1－1cos x －1＝1＋11－cos x，∴当cos x ＝－1时，y min ＝1＋12＝32.解法二：由y ＝cos x －2cos x －1，得cos x ＝y －2y －1，又∵－1≤cos x ＜1，∴－1≤y －2y －1＜1.∴y ≥32.∴函数的最小值为32.类型二三角函数的周期性(2014·全国课标Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 解：可分别求出各个函数的最小正周期．①y ＝cos|2x |＝cos2x ，T ＝2π2＝π；②由图象知，函数的最小正周期T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.综上知，最小正周期为π的所有函数为①②③.故选C .点拨：①求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．②注意带绝对值的三角函数的周期是否减半，可用图象法判定，y ＝|cos x |的图象即是将y ＝cos x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴的上方去．求下列函数的最小正周期．(1)y ＝(a sin x ＋cos x )2(a ∈R )；(2)y ＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ；(3)y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3. 解：(1)y ＝[a 2＋1sin(x ＋φ)]2＝(a 2＋1)sin 2(x ＋φ)＝(a 2＋1)·1－cos （2x ＋2φ）2(φ为辅助角)，所以此函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)y ＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x cos x＝sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，该函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.(3)y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小正周期是y ＝2sin(4x －π3)的最小正周期的一半，即T ＝12×2π4＝π4. 类型三三角函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x.解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝(－sin2x )(－cos x ) ＝cos x sin2x .∵f (－x )＝cos(－x )sin2(－x )＝－cos x sin2x ＝－f (x )，x ∈R ，∴f (x )是奇函数．(2)∵1＋sin x ＋cos x ＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 2≠0，∴x ≠π＋2k π且x ≠－π2＋2k π，k ∈Z .∴f (x )的定义域不关于原点对称．故f (x )是非奇非偶函数．点拨：判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用－x 取代x ，再化简判断，还可利用f (－x )±f (x )＝0是否成立来判断其奇偶性．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2sin x －1；(2)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解：(1)∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，此区间不关于原点对称．∴f (x )是非奇非偶函数．(2)由题意知函数f (x )的定义域为R .f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2（－x ）]＝lg ()－sin x ＋1＋sin 2x＝lg 11＋sin 2x ＋sin x ＝－lg(1＋sin 2x ＋sin x ) ＝－f (x )．∴函数f (x )是奇函数．类型四三角函数的单调性(1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间；(2)求y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的最小正周期及单调区间．解：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )． (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， T ＝π||ω＝π14＝4π. 由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2，解得4k π－43π<x <4k π＋83π(k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫4k π－43π，4k π＋83π(k ∈Z )．点拨：若函数y ＝sin(ωx ＋φ)中ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－sin(－ωx －φ)的形式(目的是将x 的系数变为正)，将“－ωx －φ”视为一个整体，那么y ＝－sin(－ωx －φ)的增区间为y ＝sin(－ωx －φ)的减区间，其减区间为y ＝sin(－ωx －φ)的增区间．对于函数y ＝cos(ωx ＋φ)，y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＜0)等的单调性的讨论同上．(2014·四川)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，求f (x )的单调递增区间．解：由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－π4，2k π3＋π12 (k ∈Z )．类型五三角函数图象的对称性(1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．解：∵y ＝f (x ＋φ)＝2sin(x ＋π3＋φ)的图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数，∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又|φ|≤π2，∴φ＝π6.故填π6.(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，－1 解：对称中心的横坐标满足2x ＋π4＝k π，解得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝1时，x ＝3π8，y ＝1.故选B.点拨：①解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法；②对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，如果求f (x )图象的对称轴，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝±1，也就是令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )求x ；如果求f (x )图象的对称中心，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝0，也就是令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求x ；③对于较复杂的三角函数表达式，有时可以通过恒等变换为②的情形，这一部分将在“4.6三角恒等变换”中涉及．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解：由T ＝π知ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )．故选A.1．三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)．(2)三角函数值域的求法三角函数的值域问题，大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的值域；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域．2．判断三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性．3．求三角函数的周期 (1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，。

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f（x1）x1－－xf（2 x2）＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零． ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．
(2)性质法 ①当常数 c>0 时，y＝c·f(x)与 y＝f(x)的单调性相同；当常数 c<0 时，y＝c·f(x)与 y＝f(x)的单调性相反，
特别地，函数 y＝－f(x)与 y＝f(x)的单调性相反．
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第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
(1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(－1)<f(3)，则函数 f(x)在 R 上为增函数． ( )
(2)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( )
(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是
增函数．
()
(5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取得． ( )
解：(1)×； (2)×； (3)×； (4)×； (5)√．
必备知识
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第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ
【自查自纠】
1．(1)①任意两个增函数 ②任意两个
(2)单调性单调区间

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