24.1.2 垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
课件2：24.1.2垂直于弦的直径
思考:若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a表示, 这三者之间有怎样的关系?
练习：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若 ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．
Ｃ
Ａ
Ｏ Ｅ
Ｂ
Ｄ
如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点，则线段OM的长的最小值为____3.最大 值为_______5_____.
B
耐心填一填:
A
M
1. 如则图__A_1C_,在_=_B圆_C_O_中, _,_若_A_⌒M_N_N=_B⊥_⌒_NA__B_,M, _N__为_A_直⌒M__径=_B_, M_⌒_.
B ·CO N
2. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长
M 图1
为8, 则OC的长为( A )
____2_或__8_______.
课堂小结
CD=10cm,请你帮助
工人师傅求出该破
轮的直径.
C
D
B
例２．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行弦AB=４ ０ cm ，CD=４８cm， 求弦AB与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
A
20 E
B
A
E
B
. 25
15
C 25 O 7
24 F
D
C
.OF
D
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
问 题 ？
C 赵州桥的主桥拱是圆弧形，
它的跨度（弧所对的弦的长） A
D
为37.4米，拱高（弧的中点 到弦的距离）为7.2米，你能
r
24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言
提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
24.1.2 垂直于弦的直径练习 教师版
课后巩固1．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是（ ）A．3B．6C．4D．8【分析】先根据垂径定理求出AM=AB，再根据勾股定理求出AD的值．【解答】解：连接OA，∵⊙O的直径为10，∴OA=5，∵圆心O到弦AB的距离OM的长为4，由垂径定理知，点M是AB的中点，AM=AB，由勾股定理可得，AM=3，所以AB=6．故选B．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，解题的关键是正确的构造直角三角形．2．CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，若CM=12，DM=8，则AB等于（ ）A．4B．8C．8D．4【分析】根据题意画出图形，先由CM=12，DM=8求出⊙O的半径及OM的长，再由垂径定理得出AB=2AM，在Rt△AOM内利用勾股定理求出AM的长，进而可得出AB的长．【解答】解：如图所示：∵CM=12，DM=8，∴OA=OD=（CM+DM）=×20=10，∴OM=OD﹣DM=10﹣8=2，∵弦AB⊥CD于M，∴AB=2AM，在Rt△AOM中，∵AM2=OA2﹣OM2，即AM2=102﹣22，解得AM=4，∴AB=2AM=8．故选C．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键．3．如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若B点为中点，则说法错误的是（ ）A．AD⊥BC B．=C．AE=DE D．OE=BE【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵BC为⊙O直径，交弦AD于点E，B点为中点∴AD⊥BC，故A选项正确；∵BC为⊙O直径，B点为中点，∴=，AE=DE，故B、C选项正确，D选项错误．故选D．【点评】本题考查的是垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．4．已知如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一个动点，则OP长的取值范围为（ ）A．OP＜5B．8＜OP＜10C．3＜OP＜5D．3≤OP≤5【分析】首先明确OP最长时，应该与A或B重合，OP最短时，应该是OP⊥AB时，然后根据垂径定理即可求出．【解答】解：OP最长时，应该与A或B重合，此时OP=5；OP最短时，应该是OP⊥AB时，此时OP==3．故选D．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BAC等于（ ）A．15°B．20°C．30°D．45°【分析】连接OC，在直角△OCE中，即可求得∠COE的度数，根据等腰三角形的性质，即可求解．【解答】解：连接OC，∵OE=OB=OC，∴∠OCD=30°，∴∠COB=60°，∵OA=OC，∴∠BAC=30°．故选C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确解直角三角形，求得∠COE的度数是关键．6．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）A．0.4厘米/分B．0.6厘米/分C．1.0厘米/分D．1.6厘米/分【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【解答】解：过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，∴AC=AB=×16=8（厘米），在Rt△AOC中，OC===6（厘米），∴CD=OC+OD=16（厘米），∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，∴16÷10=1.6（厘米/分）．∴“图上”太阳升起的速度为1.6厘米/分．故选D．【点评】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．7．已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距离是（ ）A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．无法判断【分析】根据题意画出符合条件的两种情况，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，根据垂径定理求出AE、CF、根据勾股定理求出OE、OF，结合图形求出EF即可．【解答】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴由垂径定理得：AE=AB=3cm，CF=CD=4cm，在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE===4（cm）同理求出OF=3cm，EF=4cm﹣3cm=1cm；②当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE=4cm，OF=3cm，则EF=4cm+3cm=7cm；即AB与CD的距离是1cm或7cm，故选C．【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理得应用，关键是能正确求出符合条件的两种情况，题目比较典型，是一道比较好的题目．二．填空题（共7小题） 8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 5 ．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．9．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= 5 cm．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R﹣2）2，计算求出R即可．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD=AB=4cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，∴R2=42+（R﹣2）2，解得R=5∴OC=5cm．故答案为5．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．10．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为 ．【分析】过O作OD⊥AB于D，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过O，AB=，∴AD=BD=AB=，∵AB=，点C在弦AB上，AC=AB，∴AC=，CD=AD﹣AC=，在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD==1，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC===，故答案为：．【点评】本题考查了初级定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．11．如图，⊙O的半径为5，弦BC=8，点A在⊙O上，AO⊥BC，垂足为D、E为BC延长线上一点，AE=10，则CE的长为 2 ．【分析】连接OC，根据垂径定理得到BD=DC=BC=4，根据勾股定理求出OD，根据勾股定理求出DE，计算即可．【解答】解：连接OC，∵AO⊥BC，∴BD=DC=BC=4，∴OD==3，则AD=AO+OD=8，∴DE==6，∴CE=DE﹣DC=2，故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．三．解答题（共8小题）12．如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l，求⊙O的半径．【分析】根据垂径定理得到直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理计算出半径的长．【解答】解：如图：连接OA，由OC⊥AB于D，得：AD=DB=AB=4．设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2∴r2=（r﹣1）2+42整理得：2r=17∴r=．所以圆的半径是．【点评】本题考查的是垂径定理，根据垂径定理求出AD的长，连接OA，得到直角三角形，然后在直角三角形中计算出半径的长．13．如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径．【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接OB，设OB=OA=R，则OE=16﹣R，∵AD⊥BC，BC=16，∴∠OEB=90°，BE=BC=8，由勾股定理得：OB2=OE2+BE2，R2=（16﹣R）2+82，解得：R=10，即⊙O的直径为20．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，能根据垂径定理求出BE的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦．14．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【分析】过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长．【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．15．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB 和CD间的距离．【分析】过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．【解答】解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=30cm，CD=16cm，∴AE=AB=×16=8cm，CF=CD=×12=6cm，在Rt△AOE中，OE===6cm，在Rt△OCF中，OF===8cm，∴EF=OF﹣OE=8﹣6=2cm．答：AB和CD的距离为2cm．【点评】本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2，解得，r=34；（2）连结OA′，∵OE=OP﹣PE=30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302，解得：A′E=16．∴A′B′=32．∵A′B′=32＞30，∴不需要采取紧急措施．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．课堂测试一．选择题（共2小题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，AE=2，则弦CD的长是（ ）A．4B．6C．8D．10【分析】连接OC，根据题意得出OC=5，再由垂径定理知，点E是CD的中点，CE=CD，在直角△OCE 中，由勾股定理得出CE，从而得出CD的长．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∵AE=2，AB=10，∴OC=5，OE=3，∴CE=4，∴CD=8，【点评】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理的内容是解题的关键．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥AC交BC于点E．若BC=8，ED=2，则AC的长为（ ）A．5B．5.5C．6D．6.5【分析】根据垂径定理得出OB，进而利用比例关系解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵OD∥AC，∴OD⊥BC，∵BC=8，ED=2，∴OB2=BE2+OE2，即OB2=42+（OB﹣2）2，解得：OB=5，∴，即，解得；AC=6，【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OB ．二．填空题（共2小题）3．已知⊙O 的弦AB=8cm ，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则⊙O 的直径为 10 cm ．【分析】连结OA ，先根据垂径定理得到AC=4，然后根据勾股定理计算出OA ，从而得到圆的直径．【解答】解：连结OA ，∵OC ⊥AB ，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt △AOC 中，OC=3，OA==5，∴⊙O 的直径为10cm ．故答案为10．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4．如图，⊙O 的半径为5，弦AB=8，动点M 在弦AB 上运动（可运动至A 和B ），设OM=x ，则x 的取值范围是 3≤x≤5 ．【分析】当M与A或B重合时，OM最长，当OM垂直于AB时，OM最短，即可求出x的范围．【解答】解：当M与A（B）重合时，OM=x=5；当OM垂直于AB时，可得出M为AB的中点，连接OA，在Rt△AOM中，OA=5，AM=AB=4，根据勾股定理得：OM=x==3，则x的范围为3≤x≤5．故答案为：3≤x≤5【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题（共1小题）5．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，联结AO并延长交⊙O于点E，联结EC．已知AB=8，CD=2．（1）求OA的长度；（2）求CE的长度．【分析】（1）根据垂径定理得出AC=BC=AB，根据勾股定理得出方程，求出即可；（2）连接BE，求出OC∥BE且OC=BE，求出BE的长度，根据勾股定理求出CE的长度即可．【解答】（1）解：∵在⊙O中，OD⊥弦AB，∴AC=BC==4，设OA为x，则OD=OA=x，∵CD=2，∴OC=x﹣2在Rt△ACO中，AC2+OC2=AO2∴42+（x﹣2）2=x2，解得x=5，∴OA=5；（2）解：连接BE，∵OA=OE，AC=BC，∴OC∥BE且OC=，∴∠EBA=∠OCA=90°，∵OC=OD﹣CD=5﹣2=3，∴BE=6，在Rt△ECB中，BC2+EB2=EC2∴42+62=EC2，∴CE=2．【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形中位线的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．。
24.1.2垂直于弦的直径
O
A
E D
B
证明：连结OA、OB，则OA＝ OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在 的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合， A点和B点重合， ⌒ ⌒ AE和BE重合， ⌒ ⌒ AC、AD分别和BC、BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
A E B
解：连结OA．过O作OE⊥AB， ． O 垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝8cm ∴AE＝4cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm ∴⊙O的半径为5cm．
2． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证：四边形ADOE是 正方形．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
证明： Q O E A C O D A B A B A C
O EA 90
o
EAD 90
o
O D A 90
C E A
o
∴四边形ADOE为矩形， 1 1 AE AC，AD AB 2 2 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形．
· O
D B
24.1
24.1.2
圆的有关性质
垂直与弦的直径
轴 中心 圆心
24.1.2垂直于弦的直径
赵洲桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造 的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是 圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点 到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一 条直径对折，重复几次，你发现了 什么？由此你能得到什么结论？
弧： BC, BD AC AD
C
·
O E A D B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， C ， D A A 分别与 B C 、 B D 重合．
C
A AE＝BE， D B D
， C BC A 即直径CD平分弦AB，并且平分 B 及 C B A A
C
37 . 4 18 . 7 ,
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.72+（R－7.2）2
A R O
D
B
解得：R≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
课堂练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距 离为3cm，求⊙O的半径．
我们就得到下面的定理：
·
O
垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧．
我们还可以得到结论：
E
A D
B
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
这个定理也叫垂径定理，利用 这个定理，你能平分一条弧吗？
解决求赵州桥拱半径的问题？ 在图中 AB=37.4，CD=7.2，
24.1.2垂直于弦的直径教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂直于弦的直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，例如：“你们认为这个性质在建筑或工程中可能会有哪些应用？”
24.1.2垂直于弦的直径教案
一、教学内容
《24.1.2垂直于弦的直径》为本章节的教学内容，选自人教版数学九年级下册第二十四章《圆》。本节课主要内容包括：
1.探索圆的性质：垂直于弦的直径。
2.证明垂径定理及其推论。
3.应用垂径定理解决实际问题。
二、核心素养目标
《24.1.2垂直于弦的直径》教学的核心素养目标为：
2.教学难点
-难点内容：
a.理解并证明垂径定理。
b.掌握垂径定理推论的应用。
c.将垂径定理应用于解决复杂的几何问题。
-难点突破：
a.通过动态演示或模型操作，帮助学生直观理解垂径定理。
b.分步骤引导学生进行垂径定理的证明，强调证明过程中的关键步骤。
c.设计不同难度的练习题，从简单到复杂，帮助学生逐步掌握垂径定理的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是圆内一条特殊的线段，它不仅垂直于弦，而且能够将弦平分成两段相等的部分。这个性质在几何图形的构造和解题中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个圆，弦AB需要被平分，我们可以如何找到能够实现这一点的直径？通过分析，我们可以发现，只需找到垂直于AB的直径CD，就可以轻松完成这个任务。
24.1.2-垂直于弦的直径(第二课时)
B · O E D A
EA=EB,请些出三个正确的结论
_____________________． C
双基训练 半径 圆心 1.确定一个圆的条件是————和————
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个 3.下列说法中正确的个数是（ B） ①.直径是弦 ②.半圆是弧 ③.平分弦的直径垂直于弦 ④.圆是轴对称图形，对称轴是直径 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
2
M C H
A
N
OA2 AD2 OD 2 , 即R 2 3.62 ( R 2.4) 2 .
E
D
F
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
M C H
A
N
E
D
F
B
r
O
解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 AB 7.2, CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o 的半径是3cm ，则过P点的最长的弦等于 最短的弦等于_________。
M
.
O
A
P B N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm, 则过P点的最短弦长等于( D ) A.1cm B.2cm C. 5 cm D. 2 5cm
24.1.2 垂直于弦的直径教学设计
24.1.2 垂直于弦的直径本节内容是前面初步理解圆后的第一个重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为实行圆的计算和作图提供了方法和依据．本课时主要内容有垂直于弦的直径的性质、推论及其应用．教学时要提醒学生在使用性质时要注意：直径和直径垂直于弦这两个条件缺一不可．【情景导入】(1)请同学把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形呢？(2)请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？【说明与建议】说明：通过折叠圆的操作，探索圆的轴对称性及垂径定理，思考利用等腰三角形的性质证明圆的轴对称性．建议：学生动手操作，并分组观察、讨论和归纳操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．【归纳导入】(1)操作1：如图①，沿着圆的直径折叠圆，你有什么发现？【归纳】圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．(2)操作2：如图，将一个圆二等分、四等分、八等分．①②③(3)操作3：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两部分重合；第二步，展开，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O 上任取一点A ，过点A 作折痕CD 的垂线，沿垂线将纸片折叠； 第四步，将纸打开，得到新的折痕，其中点M 是两条折痕的交点，即垂足，新的折痕与圆交于另一点B ，如图．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？【说明与建议】 说明：通过对剪圆和折叠圆的操作，调动学生的积极性，活跃课堂气氛．建议：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质时注意全等图形或等腰三角形知识的复习和应用．命题角度1 垂径定理及推论的理解 1．下列说法正确的是(D)A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的直线平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是(C)A.AC ︵＝AD ︵B.BC ︵＝BD ︵C ．OE ＝BED ．CE ＝DE命题角度2 直接利用垂径定理进行计算3．如图，⊙O 的直径为10，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC ＝4，则弦AB 的长为(C)A ．10B ．8C ．6D ．44．如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝12，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值是(D)A ．10B ．16C ．6D ．8命题角度3 垂径定理的实际应用5．如图，一个隧道的截面图为⊙O 的一部分，路面AB ＝10米，净高CD ＝7米，则此圆半径长为(D)A ．5米B ．7米C.375米D.377米 6．(鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2.已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB 长为6米，⊙O 半径长为4米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是(B)图1 图2 A ．1米B ．(4－7)米C ．2米D ．(4＋7)米魔术蛋魔术蛋是九块板，这九块板合起来是一个椭圆，形如鸟蛋，用它可以拼出各种鸟形，因而又名“百鸟拼板”．要制作一个魔术蛋，先绘制一个椭圆形鸟蛋：上部为半圆，下部为椭圆．1．作一个圆，圆心为O ，并通过圆心，作直径AB 的垂线MN.2．连接AN ，并适当延长，再以A 为圆心，AB 的长为半径作圆弧交AN 的延长线于点C. 3．连接BN ，并适当延长，再以B 为圆心，BA 的长为半径作圆弧交BN 延长线于点D. 4．以N 为圆心，NC 为半径，作圆弧CD ，于是下部成为椭圆．5．在OM 上作线段MF 等于NC.以F 为圆心，MF 为半径作圆弧，交AB 于点G ，H ，连接FG ，FH ，这样魔术蛋便制好了．活动一：学生动手操作把事先准备好的一张圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你有什么发现？由此你能得到什么结论？试一试！师生活动：学生动手操作，教师观察操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和衔接性．结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 活动二：出示问题从上面的动手操作可知，如图，如果⊙O 的直径CD 垂直于弦AA ′，垂足为M ，那么点A 和点A ′是对称点，把⊙O 沿着直径CD 折叠时，点A 与点A ′重合，你能找出图中有哪些相等的线段和弧吗？并说明理由．师生活动：学生进行观察、分析，通过合情推理总结结论，教师指导学生分析题目中的条件和结论．教师用多媒体演示，学生尝试归纳垂径定理后，教师补充、完善，最后用几何语言进行描述．教师板书：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何语言：∵CD ⊥AA ′，CD 是⊙O 的直径， ∴AM ＝MA ′，AC ︵＝A ′C ︵，AD ︵＝A ′D ︵. 活动三：教师针对图形，提出问题1：垂径定理是由几个条件得到几个结论？ 师生分析得：①直径；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧．问题2：把垂径定理中的“垂直”和“平分”互换，是否仍然成立呢？ 学生讨论、交流，并用语言进行总结，教师引导、点拨，得到结论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．【典型例题】例1 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不一定正确的是(D)A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DE C.AC ︵＝AD ︵D ．OE ＝BE例2 如图，在⊙O 中，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E.若AB ＝6，OE ＝7，则⊙O 的直径为(D)A.10 B ．210 C ．4 D ．8师生活动：教师引导学生分析，圆心到弦的距离为，连接半径，从而构造直角三角形进行解答． 例3 解答赵州桥的问题．教师引导学生分析：根据赵州桥的实物图画出几何图形，如图．教师总结：在圆中解决有关弦长或半径的问题，常需要作垂直于弦的半径或过圆心向弦作垂线段，把垂径定理和勾股定理结合，得到半径r ，弦心距d ，弦长a 之间的关系：r 2＝d 2＋(a 2)2.学生书写解答过程，教师做好点评． 【变式训练】1.如图，⊙O 中弦AB 长为8，OC ⊥AB ，垂足为E.若CE ＝2，则⊙O 半径长是(D)A ．10B ．8C ．6D ．52．如图，一根排水管道的横截面是半径为13 cm 的圆．排水管内有水，若水面宽度AB ＝24 cm ，则水管中水的最大深度为8 cm.3．已知⊙O 的直径CD ＝100 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝96 cm ，则AC 的长为(B)A ．36 cm 或64 cmB ．60 cm 或80 cmC ．80 cmD ．60 cm师生活动：学生思考，小组讨论，教师作适当引导，使学生能运用转化思想、分类讨论思想解决问题.A．12.5 B．13 C．25 D．263．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于(A)A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流，形成共识，确定答案.1.课堂小结：(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？教师讲解主要内容：在圆内求弦的长度，常常需要过圆心作弦的垂线段，利用勾股定理进行解答．2．布置作业：(1)教材第83页练习第2题，教材第89～90页习题24.1第8，9，10，11题．(2)补充题(选做)：好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16 m时，拱顶高出水平面4 m，货船宽12 m，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.。
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。
这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。
但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。
2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。
2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。
六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。
2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。
4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。
5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。
七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。
八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。
主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。
24.1.2 垂直于弦的直径
———（垂径定理）
C
推论：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
A
O · M
B
推论：
D
由
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB, ⌒ ⌒ AC=BC,
⌒ ⌒ AD=BD.
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3) 平分弦 ； (4)平分劣弧；
O 的半径是3cm ，那么过P点的最短
的弦等于
2 5cm .
B O E C A P D
1. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D, 已知AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则 两个同心圆的半径之比为( B ) A.3:2 B. 5 : 2 C. 5 :2 D.5:4
2.已知:AB是⊙O的直径,OA=10,弦 CD=16,则A,B两点到CD的距离之和 等于( B ) A.24 B.12 C.16 D.6
O
这条弧所对的弦)
AB=2AD=32cm
已知:如图,ＡＢ是⊙Ｏ直径,AB=10,弦 AC=8,D是弧AC中点,求CD的长.
B
O
5
A
3 E 4 2
C
D2
5
（1）已知⊙O的半径为4.5，它的内接 ΔABC中，AB=AC,AD⊥BC于 D,AD+AB=10,求AD的长。
（2）若D是BC的中点，AD⊥BC,BC=24,
A
E
B D
C
作业:
C
M D O
1.已知:AB,CD是⊙O的两条平行 弦,MN是AB的垂直平分线. 求证:MN垂直平分CD 2.在直径为130mm的圆铁片 上切去一块高为32mm的弓形 铁片.求弓形的弦AB的长.
24.1.2垂直于弦的直径(2)
O
M
B
O
M
B C
N
D
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半 径OC的长。
O D A
C
B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中， D 任意知道两个量，可根据 垂径定理和勾股 定理求出第三个量.
B
E
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
D
E O
C
B
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD, AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,
驶向胜利 的彼岸
交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
B M
E A O
.
D
图中相等的劣弧有:
.
C
F
N
小 结
1、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所 的两条弧.
2、垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 3、垂径定理及其推论： 如果一条直线，满足下列 五个条件：①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平 分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 中的任意两个，就能推出另外的三个结论. 4、重要结论：圆中两条平行弦所夹的弧相等.
∵ OE⊥AD =π(OA2－OB2) ∴由勾股定理得 =π(AE2－BE2 ) OA2=AE2+OE2,OB2=BE2+OE2 = π(32－22 )=5π ∴OA2－OB2=AE2－BE2 答:圆环面积为5πcm2.
已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦AD交小圆于B，C两点. ⑴求证：AB＝CD ⑵如果AD=6cm，BC=4cm，求圆 环的面积.
24.1.2 垂直于弦的直径(1)
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
A
C
O C B
赵州桥主桥拱的半径？
7.2m
A
A
37.4m
B
C D
B
关于弦的问题，常常 需要过圆心作弦的垂 线段，这是一条非常 重要的辅助线。
O
⌒ ⌒ 解：如图，用AB径为r. A ⌒ 过O作OC⊥AB于D，与AB交于点C，
∵OE⊥AB， 1 ∴ AE AB 4cm 2 OE 3cm 2 OE 2 ∴ OA AE
4 3 5cm
2 2
A
E · O
B
即⊙O的半径为5cm.
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1， AB=10，求直径CD的长。 解：连接OA， ∵ CD是直径，OE⊥AB C A E · O D
即主桥拱半径约为27.9m.
垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
O
r d
d + h = r a 2 2 2 r d ( ) 2
B 在a，d，r，h中
，已知其中任意 两个量，可以求 出其它两个量．
E A
h a
D
练习
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E， 则下列结论中不成立的是（ ） C
1 ∴ AE AB 5 2 B 设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得 OE 3cm
x2=52+(x-1)2
解得：x=13
∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26.
C
D
B
连接AB、OA， 则D是AB的中点，C是AB的中点， 由已知得，AB=37.4m，CD=7.2m
24.1.2 垂直于弦的直径(3)
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
1、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且 OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）长度为整数的弦共有（ ） A、 2条 b、 3条 C、 4条 D、 5条 C
5 3 OO 4 P P D
A
B
2、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB 上的一个动点，那么OP长的取值范围 是 3cm≤OP≤5cm 。
半径、圆心到弦的垂线段
A
O · C B
2、一个Rt△：
半径、圆心到弦的垂线段、半弦 3、两个定理： 垂径定理、勾股定理
E
O
D
A B
O A
E
D
B
6、已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5
厘米，求AB长。
A
O B
D
A
B C
D
O
C
7、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入 一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝
600毫米，求油的最大深度。
A B
A
C D
O
B
1、两条辅助线：
5
AБайду номын сангаас
O
4
3
C
P
B
3、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P 是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 4 。
O
A
E
F
B
P
4、如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、 下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上（不 包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样 的变化？试说明理由？
24.1.2-垂直于弦的直径-(复习)
第 5 题答图 又∵AC =B D , ∴C E =D E , ∴O E 是 C D 的中垂线, ∴O C =O D . ( 证法二) : 连接 O A, O B, ∵O A=O B , AC =B D , ∠O AD = ∠O B C ∴△AO C ≌△B O D , ∴O C =O D .
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6. 据气象观测, 沿海城市 A 的正南方向与 A 市的距离为 220 km 的 B 处有一台风中心正以 15 km / h 的速度沿北偏东 30°方向移动, 且中心风力不变, 离台风中心 160 km 范围内都会受到台风影响. A 市是否会受到台风影响?请说明理由; 若会受到影响, 那么影响的 时间有多长?
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2. [ 2013· 绍兴] 绍兴是著名的桥乡, 如图 24-1-18, 圆拱桥的拱顶到 水面的距离 C D 为 8 m , 桥拱半径 O C 为 5 m , 则水面宽 AB 为( D )
图 24-1-18 A. 4m B. 5m C. 6m D. 8m
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平分
弦, 并且平分 弦
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3. 垂径定理的推论 推 论: 平分弦( 不是直径) 的直径 垂直 于弦, 并且 平分弦
所对的两条弧. 拓 展: 如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个
条件中的任意两个, 那么它一定满足其余三个: ①直线过圆心; ② 直线垂直于弦; ③直线平分弦; ④直线平分弦所对的优弧; ⑤直线 平分弦所对的劣弧.
24.1.2垂直于弦的直径
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
1 1 AD AB 37 .4 18 .7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
AB=37.4, CD=7.2
7.2
A
18.7
D
B
R
R-7.2
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
答:截面圆心O到水面的距离为6.
CD=OD－OC =10－6=4
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
变式一：
若已知排水管的半径OB=10，
d +( ) =R2
截面圆心O到水面的距离OC=6， 求水面宽AB。
若弦心距为 a d，半 2 2 径为R，弦长为a, 2 则这三者之间有怎 样的关系？
拓展附加
1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E， AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
D B E A O
解：过点O作OH⊥CD，垂足为H， C 连接OD. ∵AE=2，EB=6， ∴OA=OB=4,OE=2, ∵∠DEB=30°，∴OH=1，HD= 42 12 15 ∴CD=. 2 15
那么，由五个条件中的任意两个就可以推出另外三个
“知二退三”
3 . 如图，已知在⊙O中， （1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距 离为3厘米，求⊙O的半径 （2）弦AB的长为6厘米，⊙O的半径为5厘 米，求圆心O到AB的距离 （3）⊙O的半径为10厘米，圆心O到AB的 距离为6厘米，求弦AB的长
O
A
E
B
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形． 证明： C ∵OE⊥AC，OD⊥AB，AC⊥AB ∴∠OEA=∠ODA=∠BAC=90° 1 1 AE AC，AD AB 2 2 ∴四边形ADOE为矩形， 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
人教版数学九年级上册第二十四章24.1.2垂直于弦的直径(教案)
一、教学内容
人教版数学九年级上册第二十四章24.1.2垂直于弦的直径。
1.理解圆的弦、直径、圆心以及半径的概念。
2.掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
3.学会运用垂径定理解决相关问题，如求圆中线段长度、证明线段关系等。
4.通过实际操作、观察与分析，培养学生直观想象和逻辑推理能力。
二、核心素养目标
1.提升学生直观想象能力，通过观察圆中弦与直径的关系，构建几何图形的空间观念。
2.培养学生逻辑推理能力，运用垂径定理及其推论进行严密的论证和解决问题。
3.强化学生数学抽象素养，理解弦与直径关系的数学表达，能将其应用于解决具体问题。
-掌握圆的性质，特别是弦、直径、半径之间的关系。
-举例：通过具体例题，如圆中给定一条弦，求垂直于该弦的直径长度，让学生掌握垂径定理的应用。
2.教学难点
-难点一弧的概念。
-突破方法：通过动态演示或实体模型，让学生直观感受直径对弦的平分作用。
-难点二：在复杂图形中识别和应用垂径定理。
然而，我也意识到，今天的课堂中可能还存在一些不足。例如，对于一些理解能力较弱的学生，我可能需要提供更多的个别指导，帮助他们克服学习难点。此外，我也应该鼓励学生们在课后进行更多的自主练习，以便更好地巩固所学知识。
最后，我感到欣慰的是，学生们对于垂径定理的学习表现出浓厚的兴趣，他们在课堂上的积极反馈也给了我很大的鼓励。在今后的教学中，我会继续探索更有效的教学方法，努力提高课堂的教学质量，让每个学生都能在数学的学习中获得成功。同时，我也会更加关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，以满足他们个性化的学习需求。
4.激发学生数学运算素养，熟练运用垂径定理进行计算，提高解题准确性和效率。
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24．1．2 垂直于弦的直径
一、课前预习(5分钟训练)
1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.
图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-3
2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.
3.判断正误.
(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.
4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.
二、课中强化(10分钟训练)
1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.
2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.
3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.
4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.
图24-1-2-4
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC 等于( )
A.32
B.33
C.
22
3
D.
23
3
图24-1-2-5 图24-1-2-6
2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD 的长是( )
A.3 cm
B.2.5 cm
C.2 cm
D.1 cm
3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？
图24-1-2-7
5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)
已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.
图24-1-2-8
6.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保
留根号)
(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
图24-1-2-9
7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.
思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.。