第三章 回顾与思考
北师大九上 第三章 证明(三) 回顾与思考(一)
D
C
台上展示.小拓展
介绍——梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线 段是梯形的中位线. 猜想——梯形中位线性质:与两底平行且是两底和 的一半。
证明——
已知:梯形ABCD,AB∥CD,E,F为BC, AD 中点。
求证:EF∥AB,2EF=AB+CD。 A 分析: B
M E C F D
N
你试试!!! 过F作MN∥BC,交BA延长线于点M, 交CD于点N.由三角形全等得线段 相等,再判定平行四边形.
B
M
台上展示3.
例5.
A F E D C 已知:如图在 △ABC中，∠BAC＝ 90°，D、E、F、分 别是BC、CA、AB边的 中点。 求证：AD＝EF
B
台上展示4.
依次连接四边形各边中点,得 到四边形.合理填加条件并提 问. • 1.连接任意四边形各边中点得 到什么图形？ • 2.满足什么条件的四边形，连 接其各边中点可以得到矩形？ 菱形？正方形？ 原四边形对角线位 置和数量关系,决 • 3.连接平行四边形、矩形、菱 定所得四边形邻边 形、正方形、等腰梯形的各边 的位置数量关系. 中点又可以得到什么图形？
学习任务
能够理顺平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的 关系，熟练掌握这些四边形的判定和性质定理，并能够 应用数学符号语言表述已知、求证、证明。 掌握三角形中位线的定义和性质，能够推导出依次 连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是什么特 殊四边形。 会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用 的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的 必要性有进一步的认识。 学会对学习方法的总结。
例2.
A D
E
O
已知:如图，在平行 四边形ABCD中，AC与BD 相交于O点，点E、F在AC 上,且BE∥DF。 求证：BE＝DF。
第三章图形的平移与旋转回顾与思考(共32张)PPT课件
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15
方法2：利用旋转图形对应角的关系)由题图可知， AB与AC是对应边，AD与AD′是对应边， ∴AB＝AC，且∠BAC是旋转角，AD＝AD′， 且∠DAD′是旋转角． 又∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝90°. ∴∠DAD′＝∠BAC＝90°. ∴△DAD′是等腰直角三角形． ∴∠ADD′＝45°.
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5
判断物体是否做平移运动的方法：判断变化前 后各对应部分移动的方向是否相同，移动的距 离是否相等，物体的大小和形状是否发生变 化．
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6
概念2 旋转的定义
2．如图，等边三角形ABC经过平移后成为 △BDE，其平移的方向为点A到点B的方向， 平移的距离为线段AB的长．△BDE能否看成 是由△ABC经过旋转得到的？如果能，请指 出旋转中心，并说明旋转角的大小．
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19
考点 3 一个设计——对称图案的设计
8．利用如图所示的“基本图形”，经过旋转设计 一个你喜欢的图案．
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20
解：将“基本图形”绕着点O按顺时针方向旋转 45°七次，便可得到一个美丽的图案，如图所 示．
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21
考点 4 三个技巧
技巧1 用平移法构造图形 9．如图，在六边形ABCDEF中，已知AB∥DE，
3．如图，如果甲、乙关于点O成中心对称，那 么乙图中不符合题意的一块是( C )
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概念4 中心对称图形的定义
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对 称图形的是( C )
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考点 2 三个性质
性质1 平移的性质 5．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上
铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发 价为每平方米40元，主楼梯的宽为3 m，其侧 面如图所示，则购买地毯至少需要多少元？
北师大版七年级上册数学教案：第三章《整式加减》回顾与思考优秀教学案例
1.启发式教学：在教学过程中，我注重启发式教学，引导学生主动思考、积极探索。通过问题的引导和小组讨论，让学生思考和探索整式加减的运算规律，提高他们的思维能力和解题技巧。
2.情景创设：我运用情景创设法，将实际问题引入课堂，让学生感受到数学与生活的紧密联系。通过购物场景、图形面积计算等实际问题，激发学生的学习兴趣，提高他们解决实际问题的能力。
2.鼓励学生相互之间进行交流和分享，让他们在讨论中相互启发、相互学习。例如，在小组讨论中，我会要求每个学生分享自己的解题思路和方法，让其他成员进行评价和补充。通过这种方式，促进学生之间的思学过程中，我会引导学生进行自我反思，让他们思考自己的学习过程和方法。例如，在解答完一个例题后，我会提问：“你为什么选择这种方法来解答？还有没有其他更好的方法？”通过反思，培养学生的批判性思维和自我评价能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，让他们体验到数学的乐趣，激发他们学习数学的积极性和主动性。
2.培养学生严谨的思维态度，让他们养成认真、细致、逻辑清晰的解题习惯。
3.通过解决实际问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系，培养他们的实践能力和创新精神。
三、教学策略
（一）情景创设
1.为了激发学生的学习兴趣和积极性，我会在课堂开始时创设一个与学生生活实际相关的情景。例如，通过一个购物场景，让学生思考如何计算两个商品的总价，从而引出整式加减的概念和运算规则。
2.设计一些具有挑战性的问题或例题，让学生独立思考和解决。例如，给出一个复杂的实际问题，要求学生运用整式加减的知识进行解答。通过解决这些问题，培养学生的问题解决能力和创新思维。
（三）小组合作
1.在课堂上，我会组织学生进行小组合作，让他们共同探讨和解决问题。例如，在讲解整式加减的规则时，我会给出一些例题，让学生以小组为单位进行讨论和解答。通过小组合作，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
第三章概率的进一步认识回顾与思考(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《第三章概率的进一步认识回顾与思考》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断事件独立性或使用概率来帮助做决策的情况？”（如抛硬币、抽奖等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索概率的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解事件独立性、条件概率和贝叶斯定理的基本概念。事件独立性是指两个事件的发生与否互不影响；条件概率是在某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；贝叶斯定理则是用来在已知某一结果时，反推事件发生概率的公式。这些概念在数据分析、决策制定等方面具有重要意义。
在学生小组讨论环节，我发现大家对于概率在实际生活中的应用有很丰富的想法，但有些小组在分享成果时表达不够清晰。针对这个问题，我计划在接下来的课程中，加强学生的口头表达和逻辑思维能力训练，帮助他们更好地展示自己的思考过程。
此外，我还注意到，部分学生在课堂上的参与度不高。为了提高他们的积极性，我将在下一节课尝试采用更多互动性强的教学方法，如小组竞赛、角色扮演等，激发学生的学习兴趣，让他们更主动地参与到课堂中来。
2.提高学生的数据分析能力，学会从实际情境中提取信息，运用概率知识解决实际问题，培养解决复杂问题的能力。
3.培养学生的创新意识和应用意识，将概率知识与社会生活实际相结合，激发学生运用概率知识解决实际问题的兴趣。
4.增强学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作完成习题，培养学生的沟通能出问题、分析问题，培养勇于探索的精神。
五、教学反思
在这节课中，我发现学生们对概率的基本概念有了较好的掌握，特别是事件独立性、条件概率和贝叶斯定理。在导入新课环节，通过提问同学们在日常生活中遇到的概率问题，成功引起了他们对本节课的兴趣。在新课讲授环节，我注意引导学生理解这些概念在实际生活中的应用，并尝试用生动的案例进行分析，让学生更好地理解这些抽象的概念。
第三章回顾与思考
1、确定物体位置的方法: (1)在直角坐标系中，如果a,b都是正数，那么点(0,a)的 y轴上 X轴上 位置是____________.(b,0)的位置是__________. (2)如图，如果用(0,0)表示梅花的中心O,用(3,1)表示A 点，用这种方式表示梅花上其他几个点的位置，还有 其它的方法吗？
已知点A(4，y)，B(x,-3),若AB∥x轴， 且线段AB的长为5， x=_______，y=_______。 -3 -1或9
1、已知点A(-3,m),点B(n,4)是两个不同点， 若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围。m=4n<-3 Nhomakorabean>3
归纳提升
总结：1、P(x,y) 是点P到y轴的距离。 是点P到x轴的距离。 2、P点坐标是一对有序实数，横坐标 在前，纵坐标在后，用逗号隔开。
8、在直角坐标系上，有序实数对(-1，2)所对 应的点有____个，每一个确定的点所对应 1 的有序实数对有______个。 1 9、已知坐标平面内一点A(1，-2) (1，2)、 (1)若A、B两点关于x轴对称，则B_______， (-1，-2)、 (2)若A、B两点关于y轴对称，则B_______， (-1，2)、 (3)若A、B两点关于原点对称，则B_______。
2、在平面直角坐标系中确定点的位置 (1)、若点P(1-m,m)在第二象限，则m的 取值范围是（ D ） A 0<m<1 B m<0
C m>0
D m>1
(2) 在平面直角坐标系中，有A(3,-2),B(4,2). 现另取一点C(1,n).AC+BC的最小值 为____________.
41
小组合作（3分钟）
3、平行于x轴的直线上的任意两点的坐标之 间的关系是( B ) A、横坐标相等 B、纵坐标相等 C、横坐标的绝对值相等 D、纵坐标的绝对值相等 4、已知点A(-3，a)是点B(3，-4)关于原点的 对称点，那么a的值的是( B ) A、-4 B、4 C、4或-4 D、不能确定
第三章概率的进一步认识回顾与思考课件
二、典例讲授 9.有两组牌，每组牌都是4张，牌面数字分别是1，2， 3，4，从每组牌中任取一张，求抽取的两张牌的数字 之和等于5的概率，并画出树状图． 解：树状图如图.
共有16种等可能的情况，和为5的情况有4种 ∴P（和为5）=1/4.
二、典例讲授
的概率为（ C）
A.
B.
C.
D.
二、典例讲授
2.一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，
大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，
随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同
的概率是( A)
A. 2
5
B. 3
5
C. 8
25
D. 13
25
二、典例讲授
率是0.25，则本来盒中有白色棋子( C )
A. 8颗
B. 6颗
C. 4颗 D. 2颗
二、典例讲授
8.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允 许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚 向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记 下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，
其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球( A )
二、典例讲授 解：(1)画树状图如下：
共有12种可能出现的方程． (2)∵方程有两个不相等的实数根 ∴Δ＞0，即 a2－4b＞0 ∴a2＞4b
5 P(方程中有两个不相等实根)= 12
二、典例讲授
13.某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了 一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的 扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”“20 元”“30元”“40元”的字样（如图）. 规定：同一日内，顾客在本商场每消费满100元就可以 转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额 返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了 两次转盘. （1）该顾客最少可得__2_0__元购物券，最多可得__8_0_ 元购物券；
北师大版七年级上册数学教案：第三章《整式加减》回顾与思考说课稿
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将注重布局的合理性和内容的条理性。板书分为三个部分：标题区、内容区和总结区。标题区位于黑板顶部，清晰地标明课程标题和日期；内容区是板书的核心部分，按照教学进程依次呈现知识点，包括整式的定义、整式加减的法则、例题演示和注意事项；总结区位于黑板底部，用于总结课程要点和强调重点。
4.游戏活动：设计一些数学游戏，如数学接龙、速算比赛等，让学生在游戏中巩固所学知识，同时增加学习的趣味性。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我会引导学生进行自我评价，让他们回顾本节课所学内容，总结自己在学习过程中的收获和困惑。我会提出一些问题，如：“今天我们学习了哪些知识点？”，“你在整式加减方面有哪些进步？”，“还存在哪些疑问？”等，鼓励学生积极思考并回答。同时，我会根据学生在课堂上的表现和练习情况，给予他们有效的反馈和建议，指出他们的优点和需要改进的地方，帮助他们明确下一步的学习目标。
（2）通过实际问题的探讨，培养学生分析问题和解决问题的能力；
（3）通过课堂练习，提高学生的运算速度和准确性。
3.情感态度与价值观：
（1）培养学生对数学的兴趣，提高学习的积极性；
（2）培养学生独立思考、合作交流的良好习惯；
（3）培养学生勇于挑战困难、不断追求进步的精神。
第三章 回顾与思考 导学案
主备人：曹晓磊
审核人：施晓海
审批人： 教师个性化设计、 学法指导或学生笔 记
课题：第三章 回顾与思考
学习目标：1．在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。2．能分析简单问题的数 量关系，并用代数式表示。3．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。 4．会求代数式的值，能根据特定的问题查阅资料，找到所需求的公式，并会代入具体 的值进行计算。5．了解单项式、多项式、整式、单项式的系数、同类项等概念，会进 行简单的整式加、减运算。 学习重点：进一步提高学生熟练地进行整式的加减运算的能力 学习难点：在运算过程中感受认识实物是一个由特殊到一般，又由一般到特殊的过程。 一、自主预习： 预习内容：（自学课本 P101，并完成以下题目） 预习检测： 二、合作探究： （1）由___和____用运算符号连结所成的式子，称为代数式. （2）用______代替代数式里的字母，按照代数式中运算计算得出的结果叫做代数式的 值. （3）由数与字母的_____组成的代数式叫做单项式，单项式中的_________叫做单项式 的系数，所有字母的_________叫做单项式的次数. （4）几个单项式的_____叫做多项式，多项式中单项式的______叫做多项式的项数，次 数最高项的______是多项式的次数. （5）__________和____________统称为整式. （6）多项式按某个字母的指数从__________的顺序排列，叫做这个多项式按此字母升 幂排列，按从___________的顺序排列，则是降幂排列. （7）所含_____相同，并且_________________也相同的项叫做同类项. （8）合并同类项的法则是___________________________. （ 9 ） 去 括 号 的 法 则 是 ______________________ ， 添 括 号 的 法 则 是 ______________________. （10）整式加减的一般步骤是，先___________，再_________. 三、当堂检测：
回顾与思考
例２．计算：
（１）
4 3 a a
2
2b 3a . （２） 2 a 4b
（３）
x 1 x 1 x 1 x 1
2Hale Waihona Puke x 1 x x （４） . x 1 x2 1
例３
（１）
解下列方程
1 2 x 1 3x
（２）
2x 1 1 x2 2 x
例４ 甲、已两车同时从A、B两 城沿同一条高速公路驶向C城．已 知两城的距离为４５０km，B、C 两城的距离为４００km，甲车的 速度比乙的速度快１０km／h， 结果两车同时到达C城，求两车的 速度．
3 解(1)因为 x 2 有意义,
所以x-2≠0.所以当x≠2时,
3 分式 x 2 有意义. 1 (2)因为分式 x 3 无意义,所以x-3=0,
所以,当x =3时
(3)因为分式 x
2
3 x 2
2
无意义.
1
x 1
的值为零,所以,
x -1=0 ,且x-1 ≠o.所以,当x=-1时,分
第三章 分式方程 第３章 分式方程
回顾与思考
回顾与思考
概念 约分 基本性质 通分
分式
分式的加减法 运算 分式的乘除法 解分式方程 分式方程 检验
3 例1. (1)X取何值时，分式 有意义？ x 2
（２）x满足什么条件时，
1 分式 无意义？ x 3
（３）x取何值时，分
式
x
2
1
x 1
的值为零？
作业：第８6页． １----９题
3.5第三章平移与旋转回顾与思考
O
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十” 字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分 吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方 E 式吗?: 对称轴? H 轴对称 直线EF与GH相交于图形 的中心O，且互相垂直，先 把左边的两个“十字”作 关于EF的轴对称图形，然 后作这两部分关于GH的轴 对称图形，这样就可以得 到整个图形。 G
说一说 练习1
你能将右图通过平 移或旋转，得到左 图吗？
乙
说一说 练习2
怎样将甲图案变成乙图案？
甲
还可以用 可以先将甲图案绕图
什么方法把 上的A点旋转，使得
乙 B A
甲图案变成 图案被“扶直”，然
甲 后，再沿AB方向将所
乙图案？
得图案平移到B点位
置，即可得到乙图案
B A
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十” 字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分 吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方 式吗?平移:
B C A1
轴
1
对
称
中 心 对 称
有一个对称中心—— 点 图形绕中心旋转 180°
有一条对称轴—— 直线
） 2 图形沿轴对折（翻转 180° 3
翻转后和另一个图形重合 旋转后和另一个图形重合
中心对称与中心对称图形的联系与区别
区别:
中心对称指两个全等图形的相互位置关系, 中心对称图形指一个图形本身成中心对称.
练一练——平移、旋转、中心对称的运用
方法小结
轴对称、平移、旋转是几何中的重要概念， 应用轴对称、平移、旋转解题也是一种极为重 要的数学思想方法，适当地应用轴对称、平移、 旋转等方法，将那些分散、远离的条件从图形 的某一部分转移到适当的新的位置上，集中、 汇集已知条件和求证结论，发现、拓展解题思 路，构造基础三角形、平行四边形，进行计算 与证明。
第三章位置与坐标 回顾与思考 课件
★请说出点C与点D的位置关系。
点C与点D关于X轴对称 点D与点E关于原点对称
横坐标相同,纵坐标互为相反数
★你能说出点D与点E的位置关系吗？
横坐标、纵坐标均互为相反数
★若设点M（a,b),
M点关于X轴的对称点M1（ a,-b ） Y轴的对称点M2（ - a, b ）， 原点O的对称点M3（ -a,-b ）
北师大版八年级上
第三章 回顾与思考
本章知识结构图：
总结 平面 内确 定位 置的 基本 规律 确定位置的极坐标 思想，确定位置的 其他方式
分 析 生 活 中 确 定 位 置 的 多 种 方 式 方法
平面直角坐标系的 基本概念
图形的坐标变化与 图形的轴对称、平 移、压缩、放大等 之间的关系
问题 1 ：在平面内，确定点的位置一般 需要几个数据？
y
A（ -
·
5 4 3 3，2） 2
C（-3,-· 2）
-4 -3 -2 -1
· -1
O
1
·
1 2 3
P（3，2）
4 5 X
-2 -3 -4
·
B（3，-2）
你能说出点P关于x轴、y轴、 原点的对称点坐标吗？
★请说出点A与点B的位置关系。
点A与点B关于Y轴对称
横坐标互为相反数,纵坐标相同
★你能从自己画的图形中再找出这样的几组点吗？
三、轴对称 6.纵坐标不变，横坐标分别乘-1，所得图形与
原图形关于 Y轴对称 ；
7.横坐标不变，纵坐标分别乘-1，所得图形与 原图形关于 X轴对称 ；
四、中心对称
8.横坐标与纵坐标都乘-1，所得图形与原图形 关于 原点 中心对称。
经过本节课的学习，你有哪些 收获？
北师大版七年级上册数学教案：第三章《整式加减》回顾与思考(教案)
2.教学难点
（1）去括号法则：在整式加减中，学生容易在去括号时出错。
-突破方法：通过对比练习，让学生明确去括号时符号的变化规律。
（2）合并同类项：学生可能会在识别同类项时出现困难。
-突破方法：设计分类练习，帮助学生识别同类项，并练习合并。
1.讨论主题：学生将围绕“整式加减在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
在教学中，教师应针对以上重点和难点内容，设计具有针对性的教学活动，如：
-对于整式的定义与性质，通过直观的图形演示和具体的数学例子，帮助学生形成直观理解。
-对于整式的加减法则，通过大量练习，让学生熟悉运算步骤，并能快速准确地进行合并同类项。
-对于整式的乘法法则，通过小组讨论和师生互动，让学生理解分配律的原理，并能灵活运用到乘法运算中。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现得积极主动，这让我很欣慰。他们能够将所学的整式加减知识运用到实际问题中，并通过小组合作解决问题。不过，我也注意到，在讨论过程中，有些学生发言不够积极，可能是因为他们对问题还不够了解。针对这个问题，我打算在接下来的教学中，多关注这些学生的需求，鼓励他们积极参与，提高课堂的互动性。
此外，今天的课堂总结环节，学生们对整式加减的理解和掌握程度总体较好。但在课后，我还是要关注那些课堂上提问的学生，确保他们能够真正理解并掌握所学知识。
第三章 图形的平移与旋转(回顾与思考)(课件)-八年级数学下册(北师大版)
2 cm至△A′B′C′的位置，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为( C )
A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm
二、考点精讲
考点一：平移的性质 例2. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到 △DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长．
解：(1)如图，△A′B′C′即为所求 (3)△ABC 的面积＝2×3－12 ×1×3－12 ×1×1－12 ×2×2＝6－1.5－0.5－2＝2
二、考点精讲
考点四：旋转作图
例8. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O 均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点).
(1)作点A关于点O的对称点A1； (2)连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线 段A1B1； (3)连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
三、课堂练习
8．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移， 使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F. (1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论； (2)求线段BD的长．
三、课堂练习
解：(1)AC与BD互相垂直．证明如下： ∵△DCE由等边三角形ABC平移得到， ∴BC＝CD. ∵∠ACB＝∠ACD＝180°－60°－60°＝60°， ∴CF是等腰△BCD的角平分线． ∴CF垂直平分BD，即AC⊥BD.
解：∵△DCE 由△ABC 平移而成， ∴△ABC 平移的距离为：BC＝2， ∴CD＝CB＝CE＝2， ∴∠BDE＝90°，∴△BED 是直角三角形， ∵BE＝BC＋CE＝4，DE＝CE＝2， ∴BD＝ BE2－DE2 ＝2 3
北师大版数学八年级下册：3章回顾与思考(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了分式、函数和几何图形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.章节综合练习：
a.分式的化简与求值
b.函数解析式的求解与应用
c.几何图形的绘制与性质分析
d.实际问题中的函数与几何应用题
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过回顾分式、函数、几何图形的性质与判定，使学生掌握严密的逻辑推理方法，提高解决问题的能力。
2.培养学生的数据分析能力：让学生在解决实际问题时，能够运用所学函数知识进行数据整理、分析，并得出结论。
3.培养学生的空间想象能力：通过几何图形的绘制与分析，激发学生的空间想象力，为后续几何学习奠定基础。
4.培养学生的数学建模能力：引导学生利用所学知识解决实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力。
5.培养学生的数学抽象能力：让学生在探讨函数性质、几何图形性质的过程中，学会从具体实例中抽象出一般性规律，形成数学抽象思维。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要回顾分式、函数和几何图形的基本概念。分式是表示两个整式之间除法关系的表达式，它在比例计算、化学方程式等领域有重要应用。函数是描述两个变量之间依赖关系的数学模型，它在日常生活和科学技术中无处不在。几何图形则是我们认识世界、构建空间的基础。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，通过分析一次函数图像，我们可以了解商品价格与销售量之间的关系，为商家制定销售策略提供依据。
七年级数学下册第三章变量之间的关系回顾与思考教案新版北师大版
七年级数学下册第三章变量之间的关系回顾与思考教案新版北师大版一. 教材分析本节课为北师大版七年级数学下册第三章《变量之间的关系》的回顾与思考。
这部分内容主要让学生理解和掌握函数的概念，了解变量之间的关系，并能够运用函数解决实际问题。
本节课的内容是学生对之前学习内容的巩固和拓展，同时也是为接下来的学习打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经接触过一些函数的概念，对变量之间的关系有一定的了解。
但是，对于函数的定义和性质可能还不够清晰，对于如何运用函数解决实际问题可能还存在困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生回顾和巩固已学知识，同时提供适当的指导，帮助学生理解和掌握函数的概念，并能够运用函数解决实际问题。
三. 教学目标1.理解函数的概念，掌握函数的性质。
2.能够找出实际问题中的变量之间的关系，并运用函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.函数的概念和性质。
2.如何找出实际问题中的变量之间的关系，并运用函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题导入法，引导学生回顾和巩固已学知识。
2.使用案例分析法，提供实际问题，引导学生运用函数解决实际问题。
3.使用小组讨论法，鼓励学生积极参与，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生运用函数解决实际问题。
2.准备教学PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾和巩固已学知识，如变量之间的关系、函数的定义等。
2.呈现（10分钟）呈现相关案例，让学生观察和分析案例中的变量之间的关系。
引导学生运用函数的概念和性质来解释和理解案例。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，找出其中的变量之间的关系，并尝试运用函数解决实际问题。
教师巡回指导，提供帮助和指导。
4.巩固（5分钟）让学生汇报他们的讨论结果，分享他们如何找出实际问题中的变量之间的关系，并运用函数解决实际问题。
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第三章证明(三) 回顾与思考一、教学目标：1、能够理顺平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，熟练掌握这些四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述已知、求证、证明。
2、掌握三角形中位线的定义和性质，能够推导出依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是什么特殊四边形。
3、会熟练应用所学定理进行证明。
体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
二、知识梳理：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质：三、基础知识与基本技能1、平行四边的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行；对角相等、邻角互补；对角线互相平分；中心对称。
3、平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
学生练习：1、已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线与AD、BC分别相交于点E、F。
求证:OE=OF.2、已知:如图,AC、BD是□ABCD的两条对角线,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,求证:AE=CF.3、已知:在□ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AF=CE.①线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论.②若去掉AF=CE,请添加一个条件，使BE与DF有以上的性质.P OFE DCA1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形是特殊的平行四边形。
2、菱形的性质：具有平行四边形的性质。
四条边都相等；两条对角线互相垂直（平分）。
每一条对角线平分一组对角。
菱形既是轴对称图形，又是中心对称轴图形。
3、菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
4、菱形的面积 = 底×高= 两对角线乘积一半 学生练习：1、已知：菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点且BE=DF 。
求证：(1)△ABE ≌△ADF ，（2）连接AC 你能确定AC 与EF 的关系吗？ （３）已知菱形的对角线长分别为6、8，求周长与面积。
2、已知：菱形ABCD 中，对角线AC = 16 cm ，BD = 12 cm ，DE ⊥BC 于点E ， 求：菱形ABCD 的面积和BE 的长.3、如图，菱形ABCD 两条对角线分别长6和8，点P 是对角线上一个动点， 点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，求：PM+PN 的最小值。
1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
2、矩形的性质：具有平行四边形的性质，四个角都是直角，对角线相等（平分）。
矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
3、矩形的判定：四个角都相等的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
4、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（逆定理可判断直角三角形） 学生练习：1、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ， PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为（ ） A 、513B 、25 C 、2 D 、512 2、矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一个内角的角平分线分长边为两部分，这两部分的长分别为（ ） A 、6和9 B 、5和10 C 、4和11 D 、7和8CFBEADB CBACDMNP3、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ， 若∠CAE=15°，求∠BOE 的度数 。
4、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， ∠AOD=60°，AB=32，AE ⊥BD 于点E ，求OE 的长？1、正方形的定义：既是菱形又是矩形的四边形叫做正方形。
2、正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（边+角+对角线+对称性）正方形是轴对称图形，又是中心对称轴图形。
3、正方形的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。
学生练习：1、做一做，向正方形外、内作等边三角形。
求：∠DXC 的度数及△ADX 的面积2、如图，正方形ABCD 边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H 。
（1）求证：①△BCG ≌△DCE ；②BH ⊥DE 。
（2）当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？请说明理由。
1、梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、两条腰相等的梯形叫做等腰梯形；一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
3、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
等腰梯形的判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
对角线相等的梯形是等腰梯形。
4、三角形的中位线：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形的中位线： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半D CBACDXB叙述并证明三角形的中位线定理（叙述定理，画图，写出已知、求证、证明）已知：如图，DE 是△ABC 的 中位线 求证：DE ∥BC ，DE ＝21BC 提示：相似法 + 全等法 + 面积法例1、你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?过不在同一直线三点作平行四边形，共有几种方法？例2、已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是多少？如果△ABC 的三边的长分别为a 、b 、c ，那么△DGE 的周长是多少？例3、四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……；如此进行下去得到四边形A n B n C n D n。
（1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的周长与面积；（3）写出四边形A n B n C n D n的周长与面积；例4、已知：△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，连接AE 、DF 。
（1）判断AE 、DF 有什么关系？（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADFE 是菱形？矩形？正方形？例5、如图，已知：△ABC ，CF ⊥AB ，BE ⊥AC ，M、N 分别为BC 、EF 中点， 求证：MN ⊥EF 。
B CA DED中点四边形：依次连结四边形各边中点得到中点四边形1、平行四边形的中点四边形是平行四边形； 矩形的中点四边形是菱形； 菱形的中点四边形是矩形； 正方形的中点四边形是正方形；梯形的中点四边形是平行四边形。
等腰梯形的中点四边形是菱形；2、决定中点四边形EFGH 的形状的主要因素是：原四边形ABCD 的对角线的长度和位置关系。
（1）若对角线相等，则中点四边形EFGH 为菱形； （2）若对角线互相垂直，则中点四边形EFGH 为矩形； （3）若对角线既相等，又垂直，则中点四边形EFGH 为正方形； （4）若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形EFGH 为平行四边形。
学生练习：1、连结任意四边形各边中点得到什么图形？（1）满足什么条件的四边形，连结其各边中点可以得到平行四边形？矩形？菱形？正方形？ （2）连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的各边中点又可以得到什么图形？ABCDEFGHABCDEFGHBA E BCF D 例题精选1、在□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 、CE ． (1)求证：△BEC ≌△DFA ；(2)连接AC ，当CA ＝CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？ 并证明你的结论．2、如图，在△中，∠，⊥于，平分∠，交于，交于，⊥于，求证：四边形是菱形.3、在△ABC 中，∠ACB=90°，E 时AB 中点，以A 、C 、E 为定点作平行四边形。
（1）当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？并证明你的结论。
（2）四边形ACEF 有可能是正方形？为什么？4、以△ABC 的三边为边，在BC 的同侧做等边三角形△ABD 、△BCE 、△ACF ⑴判定四边形ADEF 的形状并加以证明⑵当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？ ⑶当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？ ⑷当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是正方形？ ⑸当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 不存在？第三章 证明(三)双休日作业 班级 姓名一、选择题1、下列命题中，真命题是 （ ）A 、两条对角线垂直的四边形是菱形B 、对角线垂直且相等的四边形是正方形C 、两条对角线相等的四边形是矩形D 、两条对角线相等的平行四边形是矩形 2、下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是 ( ) A 、AB ∥CD ，AD = BC ； B 、∠B = ∠C ；∠A = ∠D ，C 、AB =CD ，AD = BC ； D 、AB ∥CD ， AD ∥BC3、如图，四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ， ∠EDF=60°，AE=2cm ， 则AD 的长度（ ） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、7cm4、如图，O 为平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，EF 经过点O ，且与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，若BF=DE ，则图中的全等三角形最多有（ ） A 、2对B 、3对C 、5对D 、6对5、菱形一个内角是120°，一边长是8，那么它较短的对角线长是（ ） A 、3B 、4C 、8D 、836、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC = 3 cm ，∠A=60°， BD 平分∠ABC ，则这个梯形的周长是 ( ) A 、21 cm ； B 、18 cm ； C 、15cm ； D 、12 cm ；7、顺次连接梯形四边中点得到的四边形是矩形，则梯形应满足（ ） A 、等腰梯形 B 、直角梯形 C 、对角线垂直梯形 D 、对角线相等且垂直梯形 8、菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A 、对角线互相垂直B 、对角线相等C 、对角线互相平分D 、对角互补 9、如图所示，将矩形ABCD 纸对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕线MN 上点B ´位置，若AB 3，则折痕AE 的长为（ ）A 、323 B 、343 C 、 2 D 、2310、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ， 若∠CAE=15°，求∠BOE 的度数（ ）AA 、45°B 、60°C 、75°D 、90° 二、填空题1、 已知□ABCD 中，∠A -∠B = 30°，则∠C = __________，∠D = __________.2、如图：EF 过平行四边形ABCD 的对角线交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ， 已知AB =4，BC =5，OE =5.1，那么四边形EFCD 的周长为 ；3、矩形ABCD 的周长是56 cm ，它的两条对角线相交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长短4 cm ，求：AB= ； BC= 。