2017年浦东新区高三数学一模官方定稿版(浦东印稿答案)

浦东新区2016学年度第一学期教学质量检测
高三数学试卷 2016.12
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对
得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．已知U =R ，集合{}421A x x x =-≥+，则U A =C ___()1,+∞___. 2．三阶行列式351
2
367
2
4
---中元素5-的代数余子式的值为___34_____. 3．8
12x ⎛⎫- ⎪
⎝⎭
的二项展开式中含2
x 项的系数是____7_____. 4．已知一个球的表面积为16π，则它的体积为____
32
3
π____. 5．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球. 这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是_____
2
5
_____. 6．已知直线l ：0x y b -+=被圆C ：2225x y +=所截得的弦长为6，则b =
7．若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =___3___.
8
．函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为___π____. 9．过双曲线C ：
22
214
x y a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积的最小值为___8____. 10．若关于x 的不等式1
202
x
x m --
<在区间[0,1]内恒成立， 则实数m 的取值范围为___⎪⎭
⎫ ⎝⎛22
3，
__.
11．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是边
,BC CD
上的两个动点，且MN =AM AN 的取值
范围是
[4,8- .
12．已知定义在*
N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的
n *∈N , 都有()f n *∈N 且()()3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=___54____.
解答：由题意，((1))3f f =，而*
()f n N ∈，
若(1)1f =，则((1))(1)1f f f ==，不合题意，舍. 若(1)2f =，则((1))(2)3f f f ==，符合题意.
若(1)3f ≥，则((1))(3)f f f ≥，由单调性可知， (3)5f ≥，故((1))5f f ≥，与已知矛盾. 所以，(1)2f =，同理：(2)3f =.
则有(3)((2))6f f f ==，(6)((3))9f f f ==，(9)((6))18f f f ==
由单调性及*
()f n N ∈，可知，
(4)7,(5)8,(7)((4))12,(8)((5))15f f f f f f f f ======
则应有1(23)3k k f -⋅=，(3)23k k f =⋅，*
k N ∈
下证：当1k =时，(2)3f =，(3)6f =，显然成立。

假设1
(23
)3k k f -⋅=，(3)23k k f =⋅，*k N ∈
则1
(23)((3))3k
k
k f f f +⋅==，1
1(3
)((23))23k k k f f f ++=⋅=⋅，由归纳法可知
1
(23)3k k f -⋅=，(3)23k k f =⋅对*k N ∀∈都成立
当1
1[3
,23]k k n --∈⋅时，111(3)()(23)23()3k k k k f f n f f n ---≤≤⋅⇔⋅≤≤
而1
11323233k
k k k ----⋅=⋅-，1()3k f n n -=+
当1
[23
,3]k k n -∈⋅时，111(3)3(3)k k k n n f n ---=-+=-
11()((3))3(3)33k k k f n f f n n n --⇒=-=-=-
综上：1
()3
,k f n n -
=+11[3,23)k k n --∈⋅，*k N ∈
33k n -，1[23,3)k k n -∈⋅
6723199920173⋅<<<
(2017)(1999)3(20171999)54f f ∴-=-=
M
二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
13．将cos 2y x =图像向左平移π
6
个单位，所得的函数为 ( A ) （A ）πcos(2)3y x =+ （B ）π
cos(2)6y x =+
（C ）πcos(2)3y x =- （D ）π
cos(2)6
y x =-
14．已知函数()y f x =的反函数为1
()y f
x -=，则函数()y f x =-与1
()y f x -=-的图像
( D )
（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称
（C ）关于直线0x y +=对称
（D ）关于直线0x y -=对称
15．设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是 ( C ) （A ）若120a a +>，则230a a +>
（B ）若130a a +<，则120a a +<
（C ）若120a a <<
，则2a > （D ）若10a <，则()()21230a a a a --> 16．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于
8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是 ( A ) （A ）A B > （B ）A B <
（C ）A B = （D ）A 、B 的大小关系不确定
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在长方体ABCD －1111A B C D 中（如图），11==AA AD ，2AB=，点E 是棱AB 的中点．
（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小； （2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的
四面体称为鳖臑. 试问四面体1D CDE 是否为
鳖臑？并说明理由.
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
解：（1）作CE E A //'交CD 于E '， 因为11AD AA DE'===，所以1AE D E ''==
故∆E AD '1为正三角形，异面直线1AD 与EC 所成角为60︒…………………6分
（2）E 是棱AB 上的中点，则∆ADE 、CBE ∆均为等腰直角三角形， 故90DEC ∠=︒，所以DEC ∆为直角三角形.………………………………………9分
由1DD ⊥平面ABCD ，DE CE ⊥，知CE ⊥平面1DD E ，故1CE D E ⊥，所以EC D 1∆ 为直角三角形…………………………………………………………………………13分 而显然∆1DD E 、∆1DD C 均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形， 为鳖臑. …………………………………………………………………………………14分
18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
（1）若π
3
B =
，7=b ，ABC △的面积S =，求c a +值；
（2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C .
解：（1）3
π
=
B ,2
3
321==
∆B sin ac S ABC 6=∴ac …………………………………………………………………………2分
由余弦定理得B cos ac b c a 22
22=-+………………………………………4分
252
=+∴)c a (，5=+c a ……………………………………………………7分
（2） 22cosC(cos cos )ac B bc A c +=⇒()2cos cos cos C a B b A c +=…………10分
又c A b B a =+cos cos ………………………………………………………12分
∴2cos 1C =，1
cos 2C =
∵()0πC ∈，，∴π
3
C =………………………………………………………14分
19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交
椭圆于P 、Q 两点，若12PF F ∆的周长为442+，且长轴长与短轴长之比为2:1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若12F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程. 解：（1）由条件知：22442a c +=+，
:2:1a b = 222c b a +=
解得：22,2,2a b c ===，…………4分
所以椭圆C 的方程为22
184
x y +=………………6分 （2）设直线2PF 的方程为：2,x ty =+ 1122(,),(,)P x y Q x y ；
因为121
2F P F Q FO OP F O OQ OP OQ +=+++=+， 所以OP OQ PQ +=，所以OP OQ ⊥,所以12120x x y y +=。

…………9分
22
18
42
x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ ⇒()22
2440t y ty ++-= 121222
44
,22t y y y y t t --+=
=++
………………………………………11分 ()
()2121212121240x x y y t y y t y y +=++++=
解得：2
12,22
t t =
=±…………………………………………………………13分 所以直线PQ 的方程为2220x y ±-=…………………………………14分
20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设数列{}n a 满足21241n n a a n n +=+-+，2
2n n b a n n =+-；
（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；
（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、()2r q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适
当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(),q r ； （3）若11a =，n n c b n =+
，n d =n M 是n d 的前n 项和，求不超过 2016M 的最大整数.
解：（1）由2
1241n n a a n n +=+-+，∴()()(
)
2
2
112122n n a n n a n n +++-+=+-，
即12n n b b +=，又11110b a =-=≠，
∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列；………………………4分
（2）由（1）知()1
2
n n b n N -*
=∈，2
5,,q
r
b b b 这三项经适当排序后能构成等差数列；
①若225q r b b b ⨯=+，则211110222q r ---⨯=+，∴2121225q r ----+=，
∴21
212
12132352
4q r q r ----⎧==+=⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，∴()(),3,5q r =错误!未找到引用
源。

；………………6分
②若225q r b b b =+，则121122522q r ---⨯=⨯+，∴122225q r +---=， 左边为偶数，右边为奇数，∴等式不成立；………………………8分 ③若225r q b b b =+，同理也不成立；
综合①②③得，()(),3,5q r =；……………………………………10分
（3）由2
11111210a b =⇒=+-⨯=，∴0n b =，………………………12分
∴0n c n n =+=；…………………………………………………13分 由()()()()
22
222
2222
221111111
1111n
n n n n n n d c c n n n n +++++=++=++=++
()
()
()()2
222
21111
1111111n n n n n d n n n n n n n n ++++⎛⎫=
⇒==+=+- ⎪+++⎝⎭
+；
∴2016122016111111223M d d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++
+=+-++-+
⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
111112016120172016201720172017⎡⎤⎛⎫++-=+-=- ⎪⎢⎥
⎝
⎭⎣⎦. ∴不超过2016M 的最大整数为2016………………………………………………16分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分
8分）
已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数.设011i i n a t t t t t b -=<<
<<<
<=，其中分点1t 、2t 、
、1n t -将区间
[]
,a b 任意划分成*
()n n ∈N 个小区间[]1,i i t t -，记
{}01121,,()()()()()()n n M a b n t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-=-+-+
+-，称为()x ϕ关于区间[],a b 的
n 阶划分的“落差总和”.
当{},,M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划
分”{}0,,M a b n .
（1）已知()x x ϕ=，求{}1,2,2M -的最大值0M ；
（2）已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b 的充要条件
是()x ϕ在[],a b 上单调递增.
（3）若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，求证：0n 是偶数，且
00110i i n t t t t t -+++++
+=.
解：（1）()()()()010023M ϕϕϕϕ=--+-=.……………………………………4分 （2）若()x ϕ在[],a b 上单调递增，则
{}[]()(){}11
,,()(),,1n
i i i M a b n t t b a M a b ϕϕϕϕ-==-=-=∑，
故()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b .……………………………………6分 若()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b ，倘若()x ϕ在[],a b 上不单调递增， 则存在[]()()121212,,,,x x a b x x x x ϕϕ∈<>.
由()()()()()()()()1122a b a x x x x b ϕϕϕϕϕϕϕϕ-≤-+-+-………………（*） 等号当且仅当()()()()()()11220,0,0a x x x x b ϕϕϕϕϕϕ-≥->-≥时取得，此时
()()()()()()()()()()11220a b a x x x x b a b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=-+-+-=-<，与题
设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立.即：增加分点12,x x 后，“落差总和”会增加，故
{},,M a b n 取最大值时n 的最小值大于1，与条件矛盾.
所以()x ϕ在[],a b 上单调递增. ……………………………………………………10分 （3）由（2）的证明过程可知，在任意区间[],a b 上，若()x ϕ存在最佳划分{},,1M a b ，
则当()()a b ϕϕ=时，()x ϕ为常值函数（舍）；当()()a b ϕϕ<时，()x ϕ单调递增； 当()()a b ϕϕ>时，()x ϕ单调递减. ……………………………………………12分
若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则此时在每个小区间
[]()10,1,2,,i i t t i n -=上均为最佳划分{}1,,1i i M t t -.否则，添加分点后可使()x ϕ在[]
,a b 上的“落差总和”增大，从而{}0,,M a b n 不是“落差总和”的最大值，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,
,i i t t i n -=上都单
调. …………………………………………………………………………………………14分
若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则()x ϕ在相邻的两个区间[]1,i i t t -、
[]1,i i t t +上具有不同的单调性.否则，()()()()()()1
1
1
1
1
i i i i
i t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-+-+-=-+- ，
减少分点i t ，“落差总和”的值不变，而n 的值减少1，故n 的最小值不是0n ，与“()x ϕ在
[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾. ………………………………………………16分 ()x ϕ存在“最佳划分”{}0
,,M a a n -，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上
都单调.而()x ϕ是偶函数，故()x ϕ在y 轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当000,1,
,
2n i j n i ⎛⎫
+== ⎪⎝
⎭
时0i j t t +=，从而有00120n t t t t ++++=.………18分。