2014年上海市金山区高二上学期数学期中试卷与解析
上海市金山中学2013-2014学年高二4月阶段测试数学试题
上海市金山中学2013-2014学年高二4月阶段测试数学试题考试时间120分钟 满分150分一、填空题（本大题每题4分，满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应题号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1．若直线l 经过点)2,1(P ,方向向量为)4,3(-=d，则直线l 的点方向式方程是_4231--=-y x . 2．若直线:1l 02=+y ax 与直线:2l 04)1(=+++y a x 垂直，则=a ________.32-3．若i 23+（i 为虚数单位）是关于x 的方程),(02R q p q px x ∈=++的一个根，则q 的值为 .134．与双曲线1422=-y x 有共同的渐近线，且过点)2,2(的双曲线方程是________.112322=-y x5．将函数24x y -=的图像绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积为__________.332π6．在东经︒120圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬︒15与北纬︒75圈上，地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离是 .3Rπ7．设一个扇形的半径为3cm ，圆心角为︒120，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_________3cm ．322π8．已知直线0634:1=+-y x l 和直线01:2=+x l ，则抛物线x y 42=上的动点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值为___________.29．已知双曲线方程222=-y x ，则过点)0,1(P 和双曲线只有一个交点的直线有________条.410．如图1，一个球形广告气球被一束入射角为︒30的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是__________2m .475π11．设正三棱锥ABC P -的高为2，侧棱与底面ABC 成︒45角，则点A 到侧面PBC 的距离为_______．556 12．已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的两个焦点为21,F F ,以21F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且421=F F ，则a 等于________.13+(324+不扣分)13．如图2，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ACB ，6=AC ，21==CC BC ，P 是1BC 上一动点，则1PA CP +的最小值是__________．2514．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点1(1,0)F -与2(1,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧，设集合P ={|l 点1F 与点2F 到直线l 的距离之和等于}2，{}P l l y x y x Q ∈∉=,),(|),(，则由Q 中的所有点所组成的图形的面积是_________.π二、选择题（本大题每题5分，满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上写上代号，每题选对得4分，否则一律得零分。
2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
高二上学期期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．把命题“012,0200<+-∈∃x x R x ”的否定写在横线上__________． 2的倾斜角是 ．3．已知一个球的表面积为264cm π，则这个球的体积为4． “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一个）5．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则实数a ＝________. 6．若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 7．已知圆锥的底面半径是3，高为4，这个圆锥的侧面积是________． 8．经过点(2,1)A 且到原点的距离等于2的直线方程是____________.9．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ．10． 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .11． 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB11所成角的大小是_______．12．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是13．如图是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为 。
上海市金山中学高二数学上学期期中试题
金山中学2016学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一.填空题（每小题4分，共56分）1．已知向量(1,3)a =，(,1)b m =-，若a b ⊥，则m = ．2．若直线l 经过点()2,1P ，l 的方向向量为()4,3-=，则直线l 的点方向式方程是 .3．已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为 ．4．若直线l 过点)3,2(A 且点)2,3(-B 到直线l 的距离最大，则l 的方程为 ．5．直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是 ．6．已知直角坐标平面内的两个向量()()1,2,1,3a b m m ==-+，使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一分解成c a b λμ=+，则m 的取值范围为 ． 7．已知△ABC 是等腰直角三角形，2AC BC ==，则BC AB ⋅＝ ．8．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-≥310,y x y x y x ，则y x z 2-=的取值范围为___________.9．平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=+=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值集合为 ．10．过点0)M y 作圆22:1O x y +=的切线，切点为N ，如果6OMN π∠≥，那么0y 的取值范围是 ．11．已知椭圆2212516x y +=内有两点()()1,3,3,0,A B P 为椭圆上一点，则PA PB +的最大值为 ．12．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的序号）①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a b ⊥；④//b BC ；⑤()4a b BC +⊥．13．已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点。
2014年上海高二第一学期期中考试数学试卷
开始2a =,1n =输出a结束3a a =1n n =+ 2010n >是 否2014年高二第一学期期中考试数学试题 2014.11一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1. 若矩阵cos60sin60sin60cos60A ︒-︒⎛⎫= ⎪︒︒⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21-2323-21-B ，则AB = . 2. 用火柴按照下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用的火柴数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系可以是________.3. 等差数列{}n a 的前9项的和等于前4项的和，若,0,141=+=a a a k 则._____=k4. 在等比数列{}n a 中，,4,2141-==a a 则.______21=+++n a a a 5. 设(22,4)a k →=+，(1,8)b k →=+，若→a //b →，则k 的值为 __．6. 已知数列{}n a 满足,3,111n nn a a a +==+则数列._______=n a7. 已知两点()(),3,2.9.4--Q P 则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段PQ 的比为_______.8. 程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为1a ，2a ， n a ，那么数列{}n a 的通项公式为._______=n a 9. 行列式{}()2,1,1,,,-∈d c b a dc b a 的所有可能值中，最大的是_______.10. 设数列{}n a 的首项11a =且前n 项和为n S .已知向量(1,)n a a =，11(,)2n b a +=满足a b ⊥，则lim n n S →∞=________11. 用数学归纳法证明等式：aa a a a n n --=++++++111212（1≠a ，*N n ∈），验证1=n时，等式左边= ．12. 如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为21的半圆得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径）可得图形 ,,,,43n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，则=∞→n n S lim _____________.13. 已知数列{}n a 满足(),,,02,11**+∈∈=+-=N n N t a a t a n n 记数列{}n a 的前n 项的和的最大值为()t f ，则().___________=t f14. 在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a =+对于任意非零正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知周期数列{}n x 满足11n n n x x x +-=-(*2,n n N ≥∈)且11x =，2x a =(),0a R a ∈≠，当{}n x 的周期最小时，该数列前2005项和是 ． 二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，每题有且只有一个正确答案，满分20分） 15. 向量()(),3,2,2,1-==b a 若b n a m -与b a 2+共线（其中0.≠∈n R n m 且）则=nmA ．21-B. 21C. -2D. 216. 已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和*1()3n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是 A ．13． B ．13-． C ．1． D ．1-． 17. 已知数列{}n a 的前n 项和5(nn S t t =+是实数)，下列结论正确的是A ．t 为任意实数，{}n a 均是等比数列B ．当且仅当1t =-时，{}n a 是等比数列C ．当且仅当0t =时，{}n a 是等比数列D ．当且仅当5t =-时，{}n a 是等比数列 18. 一条曲线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线1CA 、1223A A A A 、分别以A B C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得曲线12332313n n n CA A A A A A --的总长度n S 为A. (31)n n π+B.(1)3n n π+ C. 2(31)n π- D. (1)n n π+三、解答题：（本大题共5小题，每小题必须写出必要的解题过程，满分74分） 19.（12分）用行列式讨论关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+m my x m y mx 21解的情况并求解20.（14分） 已知向量(sin ,cos )a x x =, (sin ,sin )b x x =， (1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角θ；（2）若3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求实数λ的值.21. （14分）已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足13n n a S +=，*N n ∈．数列{}n b 满足4log n n b a =. （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 当*N n ∈时，试比较12n b b b +++与()2112n -的大小，并说明理由.22. （16分）已知数列{}n a 满足：16a =，)2)(1(21++++=+n n a nn a n n 。
2014-2015年上海市金山中学高二(上)期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷一.填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）二元一次方程组的增广矩阵是．2．（3分）向量=．3．（3分）已知直线l过点（1，2），且有一方向向量与向量（﹣1，2）垂直，则l的方程为．4．（3分）向量在向量方向上的投影为．5．（3分）两平行直线6x﹣8y+3=0与3x﹣4y+3=0间的距离是．6．（3分）阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是．7．（3分）已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为．8．（3分）直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是．9．（3分）若点P（﹣1，5），Q（5，3），过线段PQ的中点，使P，Q两点到直线m的距离都等于3，则直线m的方程是．10．（3分）设向量，满足||=2，||=1且，的夹角为，若向量2t+7与+t的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．11．（3分）设A是平面向量的集合，是定向量，对属于集合A，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是（写出满足条件的所有向量的序号）．12．（3分）设平面上三点A、B、C不共线，平面上另一点D满足3+4=2，则△ABC的面积与四边形ABCD的面积之比为．二.选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）“a=1”是“行列式”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（3分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（）A．B． C．D．1015．（3分）不等边△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直16．（3分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．2三.解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题14分，共52分）17．（8分）已知矩阵的某个行向量的模不大于行列式中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围．18．（8分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．19．（10分）已知：l1：ax﹣2y﹣2a+4=0，l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0，其中0＜a＜2，l1、l2与两坐标轴围成一个四边形．（1）求两直线的交点；（2）a为何值时，四边形面积最小？并求最小值．20．（12分）（上海春卷22）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义．（1）若，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量的终点也在一条直线上．21．（14分）我们把一系列向量a i（i=1，2，3，…n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知非零的向量列满足：，=（x n，y n）=（n≥2）．（1）证明数列是等比数列；（2）设θn表示向量，的夹角的弧度数（n≥2），若b n=，S n=b2+b3+…+b n，求S n；（3）设，把，，…，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，…，令，O为坐标原点，求点列{D n}的极限点D的坐标．（注：若点D n坐标为（t n，v n），=t，=v，则点D（t，v）为点列{D n}的极限点．2014-2015学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）二元一次方程组的增广矩阵是．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是．故答案为：．2．（3分）向量=．【解答】解：===．故答案为：．3．（3分）已知直线l过点（1，2），且有一方向向量与向量（﹣1，2）垂直，则l的方程为x﹣2y+3=0．【解答】解：l的方向向量（2，1），∴斜率k=．∴l方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．故答案为：x﹣2y+3=0．4．（3分）向量在向量方向上的投影为3．【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）===，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）=5×=3，故答案为3；5．（3分）两平行直线6x﹣8y+3=0与3x﹣4y+3=0间的距离是．【解答】解：由题意可得：两条平行直线为6x﹣8y+3=0与6x﹣8y+6=0，由平行线的距离公式可知d==．故答案为：6．（3分）阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是5049．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+ (2)∵100+99+98+…+2=5049，故答案为：5049．7．（3分）已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为或3．【解答】解：由直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，它们的斜率分别为﹣2、m，可得tan=1=||，求得m=或3，故答案为：或3．8．（3分）直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是[，] ．【解答】解：①当a=0时，斜率不存在，即倾斜角为；②当a＞0时，直线的斜率k==1，∴k≥1，即直线的倾斜角的取值范围为[，）．③当a＜0时，直线的斜率k==﹣1，∴k≤﹣1，即直线的倾斜角的取值范围为（，]．综上，直线的倾斜角的取值范围为[，]．故答案为：[，]．9．（3分）若点P（﹣1，5），Q（5，3），过线段PQ的中点，使P，Q两点到直线m的距离都等于3，则直线m的方程是x=2或4x﹣3y+4=0．【解答】解：∵P（﹣1，5），Q（5，3），∴线段PQ的中点为（2，4），当直线m的斜率存在时设直线m的方程为y﹣4=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+4=0，∵P，Q两点到直线m的距离都等于3，∴，解得k=，∴m的方程为，整理，得4x﹣3y+4=0．当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=2，满足条件．∴直线m的方程是x=2或4x﹣3y+4=0．故答案为：x=2或4x﹣3y+4=0．10．（3分）设向量，满足||=2，||=1且，的夹角为，若向量2t+7与+t的夹角为钝角，则实数t的取值范围是（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣）．【解答】解：由题意可得•=2×1×cos=1，由于向量2t+7与+t的夹角为钝角，可得（2t+7）•（+t）＜0，且向量2t+7与+t不共线．由（2t+7）•（+t）＜0 可得2t2+15t+7＜0，解得﹣7＜t＜﹣．再由向量2t+7与+t不共线，可得，解得t≠±．综上可得，实数t的取值范围是（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣），故答案为：（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣）．11．（3分）设A是平面向量的集合，是定向量，对属于集合A，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是①③④（写出满足条件的所有向量的序号）．【解答】解：对于①当时，满足当时，=要满足需∴对于③④故答案为①③④12．（3分）设平面上三点A、B、C不共线，平面上另一点D满足3+4=2，则△ABC的面积与四边形ABCD的面积之比为2：7．【解答】解：一般情形对于特殊情形也是成立的，由已知条件取特殊点，设B（0，0），A（1，0），C（0，1），则D点为（1.5，2），∴S==，△ABCS四边形ABCD=S梯形BEDC﹣S△ADE=﹣=1.75，∴△ABC的面积与四边形ABCD的面积之比为：=．故答案为：2：7．二.选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）“a=1”是“行列式”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【解答】解：若“a=1”，则“行列式≠0”，“a=1”是“行列式”的不充分条件，若“行列式”，即（3a+3+6a）﹣（2a2+1+27）=0，即2a2﹣9a+25=0，此时方程无解，故“a=1”是“行列式”的不必要条件，故选：D．14．（3分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（）A．B． C．D．10【解答】解：∵，且，∴x•2+1•（﹣4）=0，解得x=2．又∵，且，∴1•（﹣4）=y•2，解之得y=﹣2，由此可得，，∴=（3，﹣1），可得==．故选：B．15．（3分）不等边△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直【解答】解：∵lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，∴sin2B=sinA•sinC，∴直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的x的系数之比，y的系数只比为：，两直线的常数项之比为：，又△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，由正弦定理得：=，∴．故选：C．16．（3分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴≤==2．当且仅当||=|﹣|即时，=2．∴．故选：D．三.解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题14分，共52分）17．（8分）已知矩阵的某个行向量的模不大于行列式中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围．【解答】解：∵行列式，∴行列式中元素0的代数余子式的值为﹣=2．∵矩阵的行向量分别为，，∴||=．由题意：||≤2，∴，∴|x|≥3，∴x≤﹣3或x≥3．∴实数x的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．18．（8分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．【解答】解：（1）由题意，直线x﹣2y+1=0的一个法向量（1，﹣2）是AC边所在直线的一个方向向量∴可设AC所在的直线方程为：2x+y+c=0又点A的坐标为（1，3）∴2×1+3+c=0∴c=﹣5∴AC所在直线方程为2x+y﹣5=0．（2）y=1是AB中线所在直线方程设AB中点P（x P，1），B（x B，y B）∴∴点B坐标为（2x P﹣1，﹣1），且点B满足方程x﹣2y+1=0∴（2x P﹣1）﹣2•（﹣1）+1=0得x P=﹣1，∴P（﹣1，1）∴AB所在的直线的斜率为：∴AB边所在直线方程为y﹣3=1（x﹣1），即x﹣y+2=019．（10分）已知：l1：ax﹣2y﹣2a+4=0，l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0，其中0＜a＜2，l1、l2与两坐标轴围成一个四边形．（1）求两直线的交点；（2）a为何值时，四边形面积最小？并求最小值．【解答】解（1）：求两直线的交点，D==a3+4，D x==2a3﹣4a2+4a2+8=2（a3+4），D y==2（a3+4）∴交点为（2，2）；（2）由l1：ax﹣2y﹣2a+4=0，l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0，令x=0，y=0得，l1：；l2：，则．所以．此时a=．20．（12分）（上海春卷22）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义．（1）若，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量的终点也在一条直线上．【解答】解：（1）=（2）设则=∴于是故从而由于A、B不全为零，所以3A+4B、﹣4A+3B也不全为零于是的终点在直线上21．（14分）我们把一系列向量a i（i=1，2，3，…n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知非零的向量列满足：，=（x n，y n）=（n≥2）．（1）证明数列是等比数列；（2）设θn表示向量，的夹角的弧度数（n≥2），若b n=，S n=b2+b3+…+b n，求S n；（3）设，把，，…，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，…，令，O为坐标原点，求点列{D n}的极限点D的坐标．（注：若点D n坐标为（t n，v n），=t，=v，则点D（t，v）为点列{D n}的极限点．【解答】解：（1）==||，∵∴数列是等比数列（2）∵cosθn====，∴θn=，n≥2，∴b n===，∴S n=b1+b2+b3+…+b n=1，n≥2，（3），，，，∴∥…即，∴t n=，v n=2×∴，∴极限点D的坐标。
上海高二上学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．“点A 在直线上”用符号语言可以表示为_____________.l 【答案】∈A l 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案.【详解】A 在直线上，即l ∈A l 故答案为：∈A l 2．直线与直线为两条异面直线，已知直线，那么直线与直线的位置关系为________．a b //l a l b 【答案】异面或相交【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可得出结果.【详解】由题意可知，与直线为两条异面直线，若，a b //l a 由平行直线的传递性可知，直线与直线不可能平行，l b 故直线与直线的位置关系为异面或相交.l b 故答案为：异面或相交3．圆台的轴截面上､下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是___________.【分析】根据圆台的轴截面的长度关系，可得到2,1,22DC AB R r h AE ======体积公式，即得解 【详解】如图所示，不妨设圆台的轴截面为，过分别作于ABCD ,A B ,AE CD BF CD ^^,E F 由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此 4212DE CF -===AE ∴==由圆台的体积公式， 221()3V h R r R r π=++⋅其中，2,1,22DC AB R r h AE ======221(2121)3V π∴=++⋅=4．正方体的棱长为2，是的中点，则到平面的距离______．1111ABCD A B C D -E 11A B E 11ABC D【分析】利用线面平行，将点到平面的距离，转化为到平面的距离来求解.E 11ABC D 1B 11ABC D 【详解】由于，所以平面，因此到平面的距离等于到平面11//A B AB 11//A B 11ABC D E 11ABC D 1B 的距离.连接，交点为，由于，所以平面，所11ABC D 11,BC B C O 111,B O BC B O AB ⊥⊥1B O ⊥11ABC D以为所求点到面的距离，由正方形的性质可知1B O 111122B O B C ==⨯【点睛】本小题主要考查空间点到面的距离，考查线面平行的判定，考查空间想象能力，属于基础题.5．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的面积为ABC 2cm A B C '''∆A B C '''∆__________.【分析】根据平面图形的直观图画法，求出，再由斜二测的特点求出高，即可求解''O C h【详解】根据斜二测画法基本原理，应将高长度变为原来的一半，再向右倾斜45°得到右图，横长不OC AB发生变化，则， ''2A B =1''2O C OC ==则，则的面积为'''sin 45h O C =⋅︒==A B C '''∆122S =⨯=【点睛】本题考查平面图形斜二测的基本画法及对应边长的求法，属于基础题6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是________ R 【答案】 214R π【分析】根据展开后半圆的弧长等于原圆锥底面的周长求解即可.【详解】由题,展开图半圆的弧长为.设圆锥的底面半径为则,故. R πr 2r R ππ=12r R =故底面积为. 221124R R ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故答案为： 214R π【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图中的运算,注意展开后半扇形的弧长等于原圆锥底面的周长计算.属于基础题.7．若两个平行平面距离为1，其中一个平面截半径为5的球得到的截面面积为，则另一平面O 16π截球得到的截面面积为_________O 【答案】或9π21π【分析】将题中问题具体化，然后抓住以下两点求解：①用平面去截一个球，截面必为圆；②球心的半径，截面圆圆心的半径以及球心与截面圆圆心的连线构成一直角三角形.【详解】用平面去截一个球，截面必为圆，作出过球心，截面圆圆心的截面.设平面截半径为5的球得到的截面为圆，且圆面积为，αO 1O 1O 16π则圆的半径为，1O 14r =3=设平面平行平面，且两平面的距离为1，βα记平面截半径为5的球得到的截面为圆，半径为，βO 2O 2r当有，解得或.211OO OO -=22OO =24OO =当时，的面积为；22OO =2r ==2O 21π当时，，圆的面积为.24OO =23r ==2O 9π综上可知，所求截面面积为或.9π21π故答案为：或.9π21π8．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形为矩形，和都是等ABCD ADE V BCF △腰三角形，，，若，且，则异面直线AE ED BF CF ====//EF AB 3AB EF =2AD EF =AE 与所成角的大小为______.CF【答案】π3##60°【分析】作平行四边形，得到，异面直线与所成角为，求出AGFE //AE GF AE CF GFC ∠GFC 的边长求角即可.【详解】设，在上取点满足，如图，1EF =AB G 1AG EF ==故且，故四边形是平行四边形，故//AG EF AG EF =AGFE //AE GF异面直线与所成角为或其补角 ，AE CF GFC ∠GF CF ==CG ===故为等边三角形GFC 故 3GFC π∠=故答案为：3π9．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成2a 345a a a ，，0a >一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是a _______．【答案】0a <<【分析】由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a 的范围.【详解】①拼成一个三棱柱时,有三种情况：将上下底面对接,其全面积为：； ()21423434512482S a a a a a a a=⨯⨯⨯+++⨯=+三棱柱表面积3a 边可以合在一起时, ； ()212223425424362S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积4a 边合在一起时， . ()212223425324322S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a ,4a ,5a 所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,212234242a a a ⨯⨯⨯⨯=()224536a a a +⨯=()223532a a a +⨯=， ()223428a a a+⨯=显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：. ()212223423424282S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+四棱柱表面积由题意得：，解得：2224281248a a +<+0a <<故答案为 ：0a <<【点睛】（1）求解以由多个几何体构成组合体的体积的关键是确定组合体的形状以及组合体图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转而x 2(0)1x y x x =>+x 成的几何体的体积的最大值为___________. 【答案】4π【分析】设矩形在上的两个项点坐标为，利用是关于的方程21x y x =+()()12,,,x y x y 12,x x x 21x y x =+的两根，求得，然后同体积公式得，结合二次函数知识得最大值．12x x -212V y x x π=-【详解】设矩形在上的两个项点坐标为， 21x y x =+()()12,,,x y x y 由，知是方程的两个根. ()2201x y yx x y x*=⇒-+=+12,x x ()*，，， 121x x y +=121=x x 2212121221()()44x x x x x x y -=+-=-212V y x x y ππ∴=-==当且仅当时，. 218y =max 4V π=故答案为：． 4π二、单选题11．设，为空间的两条直线，，为空间的两个平面，下列命题中真命题的个数为（ ） m n αβ（1）若，，则；（2）若，，则；//m α//m β//αβm α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则；（4）若，，则．//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用立体几何中直线与平面的平行与垂直关系进行判断即可.【详解】（1）若，，则与相交或平行，故（1）不正确；//m α//m βαβ（2）若，，则，故（2）正确；m α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则与平交、平行或异面，故（3）不正确；//m α//n αm n （4）若，，则，故（4）正确；m α⊥n α⊥//m n 综上：（2）（4）正确，（1）（3）不正确，故真命题的个数为2.故选：B ．12．对关于的一元二次方程，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作为x 20x bx c ++=b ，第二次出现的数作为（一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，c 各数出现的可能性相同），那么，这个方程有解的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 4912193659【答案】C【分析】记事件 “方程有实根”．由，得：，利用列举法得到A =20x bx c ++=240b c ∆=-…24b c …事件包含的基本事件的个数，又总的基本事件共个，由古典概型概率公式求出方程有解A 6636⨯=的概率．【详解】记事件 “方程有实根”．A =20x bx c ++=由，得：240b c ∆=-…24b c …又基本事件共个，6636⨯=其中事件包含19个基本事件，列举如下：A ，，，，，，,,，，，，(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)(44),(51)(5,2)(5,3)(5,4)，，，，，，，(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)所以， 19()36P A =故选：C. 13．平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是1111ABCD A B C D -1A 11AB D 11AB D 的________心，点在面上的射影一定是的________心（ ）1A 1BC D 1BC DA ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心【答案】C【解析】将三棱锥、三棱锥分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证111A AB D -11A BC D -明的射影点分别是和的哪一种心.1A 11AB D 1BC D 【详解】三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，111A AB D -1A 11AB D O 11,,AO B O D O因为，又平面，11111AA A D A B ==1A O ⊥11AB D所以 11111AA A D A B ===所以，所以为的外心；11AO OB OD ==O 11AB D 三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，11A BC D -1A 1BC D 1O 1111,,BO C O DO因为，且四边形是菱形，所以，所以，11//BC AD 11ADD A 11AD A D ⊥11BC A D ⊥又因为平面，所以，11A O ⊥1BC D 1111111,A O BC A O A D A ⊥= 所以平面，又因为平面，所以，1BC ⊥11AO D 1DO ⊂11AO D 11DO BC ⊥同理可知：，所以为的垂心，1111,BO DC C O DB ⊥⊥1O 1BC D 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关1A 系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.三、解答题14．在一只袋子中装有若干个红玻璃球和绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为. 715115(1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率；(2)求至少取得一个红玻璃球的概率.【答案】(1) 815(2)1415【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）利用间接法及对立事件的概率公式即可得解.【详解】（1）设“取得两个红玻璃球”为事件，“取得两个绿玻璃球”为事件，A B 则，，即事件互斥， ()()71,1515P A P B ==()0P AB =,A B 所以取得两个同颜色的玻璃球的概率为. ()()()718151515P A B P A P B ⋃=+=+=（2）至少取得一个红玻璃球的的对立事件为事件，B 所以其概率为. ()114111515P B -=-=15．如图，在长方体中，，；1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =（1）求证：平面平面；11//AB D 1BDC （2）求与平面所成的角．11A B 11AB C D 【答案】（1）证明见详解；（2） 3arctan 4【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）过点作于点，证明平面，得到为与平面所1A 1A O ⊥1AB O 1A O ⊥11AB C D 11∠A B A 11A B 11AB C D 成的角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且1111ABCD A B C D -11//BB DD 11BB DD =11//AB C D ，11AB C D =所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形；11BB D D 11ABC D 因此，；11//BD B D 11//AD BC 又平面，平面；平面，平面；BD ⊂1C BD 11B D ⊄1C BD 1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 所以平面；平面；11//B D 1C BD 1//AD 1C BD 又平面，平面，，11B D ⊂11AB D 1AD ⊂11AB D 1111AD B D D ⋂=所以平面平面；11//AB D 1BDC （2）过点作于点，1A 1A O ⊥1AB O 因为在长方体中，易知：平面，1111ABCD A B C D -AD ⊥11B BAA 所以，又平面，平面，1⊥AD A O 1AB ⊂11AB C D AD ⊂11AB C D 所以平面，1A O ⊥11AB C D 因此，为与平面所成的角；11∠A B A 11A B 11AB C D 又在长方体中，，，1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =因此， 111113tan 4∠==A A A B A A B 所以； 113arctan 4∠=A B A 即与平面所成的角为. 11AB 11ABCD 3arctan 4【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的几何求法即可，属于常考题型.16．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个12cm 四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义V x 域；(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．（i ）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积； x S （ii ）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．V '【答案】(1) ()321301282V x x x =-+<<(2)（i ），；（ii ） 6x =2S =3cm V '=【分析】（1）利用表示出三棱柱的高和底面三角形面积，根据棱柱体积公式可得函数关系式； x （2）（i ）利用减掉的三个四边形面积之和等于棱柱底面三角形面积可构造方程求得，进而根据棱x 柱侧面积求法可求得；S （ii ）根据底面三角形内切圆半径和棱柱的高可确定当球的直径与棱柱高相等时，球的体积最大，由此可得所求球的半径，利用球的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图所示，，又，， 12622x x DF -==-π6EDF ∠=πtan 662x EF DF ⎫∴=⋅=-⎪⎭即三棱柱的高，又棱柱底面积， 62x h ⎫=-⎪⎭221πsin 23S x x =⋅=三棱柱容器的体积， ∴232136282x V Sh x x ⎫==-=-+⎪⎭即所求函数关系式为. ()321301282V x x x =-+<<（2）（i ）减掉的三个四边形材料面积之和为， 2213266222x x ⎫⎫⨯⨯-=-⎪⎪⎭⎭，解得：， 2262x ⎫-=⎪⎭()6cm x =三棱柱容器的侧面积； ∴)2363cm S =⨯=（ii ）正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为， )16cm 3⨯=若球的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，球的半径， ∴∴R =球体的最大体积. ∴()334πcm 3V R '==17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，OA 、OB 是底面半径，且PO =，M 为线段AB 的中点，如图所示.0OA OB ⋅=（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.【答案】（1）；（2）12π【分析】（1）根据题意，求得圆锥底面圆的半径，根据圆锥表面积公式代入数值求解即可；（2）取中点，联结、，与所成角即为所求，求得各边的长，可得该OA E PE EM EM PM PEM ∆三角形为直角三角形，与所成的角即tan PE PME EM ∠===PM OBPME ∠=【详解】（1）圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，，，PO =2OA ∴==.242412S r rl πππππ=+=+⨯=表面积（2）取OA 中点E ，连接PE 、EM ，E 为OA 的中点，M 为AB 的中点，，与所成角为所求，//EM OB ∴EM ∴PM ，，0OA OB ⋅= OA OB ∴⊥ 为线段的中点，M AB， ，2OA OB ==OM ∴=在中，Rt POM PM =， ==在中，Rt POE △PE ===， 121EM OB ==，， 2221+= PE EM ∴⊥tan PE PME EM ∠===PME ∴∠=答：异面直线PM 与OB 所成的角的大小为【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，以及异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．18．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23πG DF(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小； P CEAP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83π(2)30CBP ∠= (3)．60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.【详解】（1）此几何体的体积； 2182233V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，， AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面， 又平面， 所以， BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴， B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -故，，， (2,0,3)AE =-AG = (2,0,3)CG = 设是平面的一个法向量．111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z=113,x y ==得平面的一个法向量．AEG (3,m =设是平面的一个法向量． 222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =-113,x y ==得平面的一个法向量．ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．E AG C --60。
上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市行知中学第一学期期中考试高二年级 数学试卷题类 一 二 19 20 2l 22 23 总分 得分值一、填空题：(本题共14小题，每小题4分，满分56分) 1．若1225PP PP =-，设121PP PP λ=，则λ的值为 。
2．已知{n a }是等比数列，则方程组124568a x a y a a x a y a +=⎧⎨+=⎩的解的个数是 。
3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，3)，则行列式sin tan 1cos ααα的值为 。
4．等边△ABC 边长为1，则AB BC BC CA CA AB ++= 。
5．向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭变换后得到矩阵23⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 。
6．执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是7，则输出S 的值是 。
7．如果131lim 3(1)3n n n x a +→∞=++，那么a 的取值范围是 。
8．用数学归纳法证明“(1)(2)...()213...(21)nn n n n n +++=-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为 。
9．已知等差数列{n a }前n 项和为n S ，若10071008OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(不过原点)，则2014S = 。
10．已知a 与b 均为非零向量，给出下列命题：①22()()()a b a b =； ②2||()a a a =； ③若a c b c =，则a b =； ④()()a c b a c b =， 上述命题中，真命题的个数是 。
11．在等差数列{n a }中，113a =，前n 项和为n S ，且311S S =，则使得n S 最大的正整数n 为 。
12．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(2，0)，P 是线段CD 上的任意一点，则AP BP 的最小值是 。
14学年高二上学期期中考试数学试题(附答案)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位．．．置上．．1. 已知{101}A =-，， ，{(3)0}B x x x R =-<∈，x ，则A B ⋂= .2. 已知数列{}n a 满足112a =，()1111n na n a +=-≥，则6a = . 3. 在ABC ∆中，已知三边,,abc 满足222b a c ab +-=，则C ∠=__________． 4. 在等差数列{}n a 中，23a =，69a =，则4a =___________.5. 正项等比数列{}n a 中，31116a a =，则22212log log a a += .6. 在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ．7. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S = .8. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =,则此三角形的形状为__________三角形.9. 过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为 ．10.若11,(lg lg ),lg()22a b a b P Q a b R +>>==+=，则,,P Q R 的大小关系是___________.11.已知0,0x y >>，满足22x y +=，则11x y+的最小值是_______________. 12.设,x y 满足约束条件02425x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值是 ___ ．13. 若不等式2234x xy y k+≥对任意的正数,x y 恒成立，则正数k 的取值范围为 ．14. 已知,,()a b c a b c <<成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数依次成等比数列，则222a cb +的值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a bc ，且sin cos b A B =.（1）求角B 的大小；（2）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值.16.（本题满分14分）已知2()3f x x ax =++（1）若4a =-，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围.17.（本题满分14分）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足2'()32(1)f x x xf =+.(1)求'(1)f 的值；(2)求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.18. （本题满分16分）运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶1300千米(50≤100)x ≤（单位：千米/小时）．假设柴油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油2(6)360x +升，司机的工资是每小时24元．（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．19. （本题满分16分）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 12b =，且2232,b S = 33120b S =．（1）求n a 与n b ；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；（3）若212111++ +1nx ax S S S ≤++… 对任意正整数n 和任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．20. （本题满分16分）已知数列{}n a 中，22a =，前n 项和为n S ，且(1)2n n n a S +=. (1) 证明数列1{}n n a a +-是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设1(21)(21)n n n b a a =+-，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求使不等式57n k T >对一切*n N ∈都成立的最大正整数k 的值.（2）错位相减得23 14x ax++≥对任意x R∈恒成立即210 4x ax++≥对任意x R∈恒成立。
上海市高二上学期期中数学试卷含答案(共3套)
上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分：100分 考试时间：90分钟）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每小 题填对得3分，否则一律得零分.1. 已知()1,3a =-，则a =___________.2. 方程组21320x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_______________________.3. 行列式101213131--- 中3-的代数余子式的值为___________.4. 已知R a ∈，若11321lim22=+--+∞→n n n an n ,则=a ___________． 5. 1134lim 34n nn n n ++→∞-=+____________． 6. 若首项为2的无穷等比数列{}n a 的各项的和为10，则公比q =___________.7. 已知3a =，4b =，5a b +=，则a 与b 的夹角为 . 8. 已知()1,2a =，(),4b m =，()||2a a b +，则实数m 的值为_____________. 9. 设向量()3,0a =-，()2,6b =-，则b 在a 上的投影为______________. 10. 已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S __________．11. 已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________________.12. 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x =>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13. 下列命题中，真命题为………………………………………………………（ ）（A ）若0 =a ，则0=a； （B ）若b a =，则b a =或b a -=；（C ）若a 与b 是平行的向量，则a 与b是相等的向量；（D ）若a b -=，则0=+b a ． 14. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列…………………………（ ）（A ）有极限，其值是整数； （B ）有极限，其值是分数； （C ）有两个极限； （D ）lim n n a →∞不存在．15. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-++--，则1k a +=…………（ ） (A) 121k a k ++ (B) 112224k a k k +-++ (C) 122k a k ++ (D)112122k a k k +-++ 16. 有下列四个命题：①若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→lim ； ②若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A ；③若()0lim =-∞→n n n b a ，则n n n n b a ∞→∞→=lim lim ；④若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→.其中正确命题的个数是……………………………………………………………（ ） （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分10分）已知)10,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点， (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OB OA OC +=，求与OC 同向的单位向量的坐标．18.（本题满分10分）用行列式的方法解关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩，并对解的情况进行讨论.19. （本题满分10分）已知O 为坐标原点，()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若A ，B ，C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20．（本题满分10分）已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，11lim()12n n a q q →∞-=+，求首项1a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知点的序列(),0,*,n n A x n N ∈，其中()120,0,x x a a ==>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，n A 是线段21n n A A --的中点，（1）写出n x 与12,n n x x --之间的关系式()3n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算123,,,a a a 由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。
上海市金山中学高二数学上学期第一次段考试卷(含解析)
上海市金山中学2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．2．（3分）化简：=．3．（3分）三阶行列式的第3行第2列元素的代数余子式的值为．4．（3分）已知=（，﹣1），=（1，），则向量在方向上的投影为．5．（3分）已知直角坐标平面内的两个向量=（1，3），=（m，2m﹣3），使得平面内的任意一个向量都可以唯一的表示成=+μ，则m的取值范围是．6．（3分）在等差数列{a n}中，S10=140，其中奇数项之和为125，则a6=．7．（3分）下列命题中：（1）或；（2）；（3）；（4）对任意向量，，都成立；（5）对任意向量，，有（+）•（﹣）=（||+||）（||﹣||）．写出其中所有正确命题的序号．8．（3分）已知的单位向量为=（﹣，），若的起点坐标为（1，﹣2），模为4，则的终点坐标是．9．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为BC的中点，若F为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为．10．（3分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，则第60个数对是．11．（3分）设函数f（x）=x（）x+，O为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量与向量=（1，0）的夹角为θn，则满足的最大整数n的值为．12．（3分）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x=，y=．二、选择题（每题3分，共12分）13．（3分）若=，则关于向量、、所组成的图形，以下结论正确的是（）A．一定可以构成一个三角形B．一定不可能构成一个三角形C．都是非零向量时不能构成一个三角形D．都是非零向量时可能构成一个三角形14．（3分）设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）A．B．2 C．D．415．（3分）设数列{a n}的前n项和S n=n2，如果P n=，则的值为（）A．B．C．D．16．（3分）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T三、解答题（8分+8分+10分+12分+14分=52分）17．（8分）设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使，若=，试用、将表示出来．18．（8分）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，﹣3）为△OAB的直角顶点，已知|，求向量的坐标与点B的坐标．19．（10分）平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．（1）当•取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．20．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前项n和，求T n的值；（3）数列{a n}中是否存在三项a r，a s，a t（r＜s＜t）成等差数列？若存在．请求出一组适合条件的项；若不存在，说明理由．21．（14分）已知，分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，=，=10，且=3（n=2，3，4，…），在射线y=x（x≥0）上从下到上有点B i（i=1，2，3，…），=，且=2（n=2，3，4，…）．（1）求A4A5；（2）求与的表达式；（3）求四边形A n A n+1B n+1B n（n=1，2，3，4，…）面积的最大值．上海市金山中学2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．考点：二阶矩阵．专题：计算题．分析：首先应理解线性方程组增广矩阵的涵义，由增广矩阵即可直接写出原二元线性方程组．解答：解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到线性方程组的表达式：．故答案为：．点评：此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．2．（3分）化简：=﹣cos2θ．考点：三角函数中的恒等变换应用；二阶矩阵．专题：三角函数的图像与性质；矩阵和变换．分析：首先求出二阶矩阵的结果，然后再对函数进行三角变换求出结果．解答：解：根据矩阵的变换公式：原式=sin2θ﹣cos2θ=﹣cos2θ故答案为：﹣cos2θ点评：本题考查的知识点：二阶矩阵的运算，三角函数的恒等变换．3．（3分）三阶行列式的第3行第2列元素的代数余子式的值为14．考点：三阶矩阵．专题：计算题．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可．解答：解：由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32=﹣=﹣2×7+3×0=﹣14故答案为：﹣14点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．4．（3分）已知=（，﹣1），=（1，），则向量在方向上的投影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量投影的定义，求出在方向上的投影即可．解答：解：∵=（，﹣1），=（1，），∴在方向上的投影为||cos＜，＞=||×===．故答案为：．点评：本题考查了平面向量投影的应用问题，解题时应根据向量投影的定义进行计算即可，是基础题．5．（3分）已知直角坐标平面内的两个向量=（1，3），=（m，2m﹣3），使得平面内的任意一个向量都可以唯一的表示成=+μ，则m的取值范围是m∈R且m≠﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题．分析：根据平面向量的基本定理知基底向量不共线，由向量共线的坐标表示求出m的范围．解答：解：根据平面向量的基本定理知，与不共线，即2m﹣3﹣3m≠0，解得m≠﹣3，m的取值范围是m∈R且m≠﹣3．故答案为：m∈R且m≠﹣3．点评：本题考查了平面向量的基本定理内容，利用向量共线的坐标表示进行求解，是对基础知识的考查．6．（3分）在等差数列{a n}中，S10=140，其中奇数项之和为125，则a6=3．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：可设奇、偶数项和分别为S奇，S偶，可得S偶=15，又S偶=5a6，解之可得．解答：解：可设奇数项和为S奇，偶数项和为S偶，由题意可得S奇+S偶=140，故S偶=140﹣125=15又可得S偶===5a6=15，解之可得a6=3故答案为：3点评：本题考查等差数列的性质和求和公式的应用，属中档题．7．（3分）下列命题中：（1）或；（2）；（3）；（4）对任意向量，，都成立；（5）对任意向量，，有（+）•（﹣）=（||+||）（||﹣||）．写出其中所有正确命题的序号（5）．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的数量积运算性质，对每一个算式进行分析、判断，从而得出正确的结论．解答：解：对于（1），•=0时，=，或，或⊥，∴（1）错误；对于（2），•=•，=，∴（2）错误；对于（3），==，∴（3）错误；对于（4），∵•、•是实数，∴对任意向量，，都成立是错误的；对应（5），对任意向量，，有（+）•（﹣）=﹣=﹣，（||+||）（||﹣||）=﹣，∴二者相等，（5）正确．综上，正确的命题是（5）．故答案为：（5）．点评：本题考查了平面向量的数量积的运算与性质的应用问题，解题时应对每一个算式进行分析，以便得出正确的结论，是基础题．8．（3分）已知的单位向量为=（﹣，），若的起点坐标为（1，﹣2），模为4，则的终点坐标是．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设的终点坐标是（x，y），可得=（x﹣1，y+2）．利用=即可得出．解答：解：设的终点坐标是（x，y），∵的起点坐标为（1，﹣2），∴=（x，y）﹣（1，﹣2）=（x﹣1，y+2）．∵的单位向量为=（﹣，），模为4，∴==，∴x﹣1==﹣6，y+2==2．解得x=﹣5，y=﹣2+2．∴的终点坐标为：．故答案为：．点评：本题考查了向量的坐标运算、单位向量的计算公式，属于基础题．9．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为BC的中点，若F为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；数形结合；转化思想．分析：先设出点A以及点F的坐标，求出其它各点的坐标，并利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．解答：解；可设点A（0，0），则B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（1，），设F（x，y），则，对应的平面区域如图：因为=（1，），=（x，y）．所以=x+y．借助于图象得当x+y过点C（1，1）时取最大值，此时x+y=．故答案为．点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于基础题．10．（3分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，则第60个数对是（5，7）．考点：数列的应用．专题：规律型．分析：把握数对的规律如下：①两个数之和为n的整数对共有n﹣1个，②在两个数之和为n的n﹣1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n﹣1起越来越小．解答：解：规律是：①两个数之和为n的整数对共有n﹣1个，②在两个数之和为n的n ﹣1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n﹣1起越来越小．设两个数之和为2的数对为第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2；…，两个数之和为n+1的数对为第n组，数对个数为 n．又∵1+2+…+10=55，1+2+…+11=66∴第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）；故答案为（5，7）．点评：本题主要考查数列知识的拓展及应用．11．（3分）设函数f（x）=x（）x+，O为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量与向量=（1，0）的夹角为θn，则满足的最大整数n的值为3．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；平面向量的综合题．专题：计算题；压轴题；数形结合；转化思想．分析：由题意，可设，得到，再由向量与向量=（1，0）的夹角为θn，解出tanθn的关于n的表达式，代入解出n所满足的条件，判断出符合条件的最大整数n的值解答：解：由题意，又向量与向量=（1，0）的夹角为θn，∴tanθn==又∴∴2∴＞，令n=1，2，3，4，分别代入验证知，n可取的最大值为3点评：本题考查了由向量求夹角，数列的求和，不等式，解题的关键是认真审题得出tanθn 的表达式，熟练掌握数列求和的技巧也是解题的关键12．（3分）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x=+1，y=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：首先根据向量之间的关系对已知条件进行转化，再利用向量的数量积确定x，y的值．向量等式两边同时乘以某一向量对等式进行化简是解决本题的关键．解答：解：∵，∴+=x+y，∴=（x﹣1）+y．又∵⊥，∴•=（x﹣1）．设||=1，则由题意知：||=||=．又∵∠BED=60°，∴||=，显然与的夹角为45°．∴由•=（x﹣1）得×1×cos45°=（x﹣1）×1，∴x=+1．同理，在=（x﹣1）+y中，两边同时乘以，由数量积公式可得：y=，故答案为：+1，．点评：本题考查向量加法及向量数量积的应用．以及利用垂直向量化简等知识，属于中档题．二、选择题（每题3分，共12分）13．（3分）若=，则关于向量、、所组成的图形，以下结论正确的是（）A．一定可以构成一个三角形B．一定不可能构成一个三角形C．都是非零向量时不能构成一个三角形D．都是非零向量时可能构成一个三角形考点：向量的三角形法则．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，画出图形，结合图形说明能成立的选项是什么即可．解答：解：对于向量、、，满足=，若、、都是非零向量，且两两不共线时，则向量、、构成一个三角形；如图所示：故选：D．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意进行分析，从而得出正确的结论，是基础题．14．（3分）设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）A．B．2 C．D．4考点：平面向量的综合题．专题：新定义．分析：设的夹角为θ，由向量的数量积公式先求出cosθ==﹣，从而得到sinθ=，由此能求出．解答：解：设的夹角为θ，则cosθ==﹣，∴sinθ=，∴=2×2×=2．故选B．点评：本题考查平面向量的综合运用，解题时要正确理解向量积的概念，认真审题，注意向量的数量积的综合运用．15．（3分）设数列{a n}的前n项和S n=n2，如果P n=，则的值为（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用公式法先求得a n=2n﹣1．再求得==（﹣），利用裂项法求得p n，即可得出结论．解答：解：∵S n=n2，∴a1=s1=1，n≥2时，a n=s n﹣s n+1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，对n=1时也成立，∴a n=2n﹣1．∴==（﹣），∴P n==（1+…+﹣）=（1﹣）=﹣，∴=（﹣）=．故选C．点评：本题主要考查利用公式法求数列的通项公式及利用裂项相消法求数列的和问题，属于基础题型，应熟练掌握．16．（3分）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T考点：设计程序框图解决实际问题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案．解答：解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A＞0时应累加到月收入S，故判断框内填：A＞0又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选A＞0，V=S+T点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．三、解答题（8分+8分+10分+12分+14分=52分）17．（8分）设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使，若=，试用、将表示出来．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由得=，根据向量减法法则，结合题中数据得=﹣=﹣﹣，再由=﹣，化简得=﹣+．同理得到=﹣，进而得到=﹣（+）=（+）．解答：解：∵，∴=，由此可得，=﹣=﹣﹣，∵=﹣，∴=﹣﹣（﹣）=﹣=﹣+．同理可得=﹣，∴=﹣（+）=+．点评：本题给出三角形ABC的边的四等分点M、N、P，要求用表示，着重考查了向量减法的三角形法则和向量的线性运算等知识，属于中档题．18．（8分）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，﹣3）为△OAB的直角顶点，已知|，求向量的坐标与点B的坐标．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设出，由题意得到，代入坐标后求得，然后利用向量的坐标减法运算求得点B的坐标．解答：解：设，则由，得．解得或．即或．则（6，8）=（10，5）；或（﹣6，﹣8）=（﹣2，﹣11）．即B（10，5），（﹣2，﹣11）．点评：本题考查了平面向量的坐标运算，考查了平面向量的数量积，是基础的计算题．19．（10分）平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．（1）当•取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：（1）因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式，再根据•的最小值，求得的坐标，（2）cos∠AXB是与夹角的余弦，利用数量积的知识易解决．解答：解：（1）设=（x，y），∵点X在直线OP上，∴向量与共线．又=（2，1），∴x﹣2y=0，即x=2y．∴=（2y，y）．又=﹣，=（1，7），∴=（1﹣2y，7﹣y）．同样=﹣=（5﹣2y，1﹣y）．于是•=（1﹣2y）（5﹣2y）+（7﹣y）（1﹣y）=5y2﹣20y+12=5（y﹣2）2﹣8．∴当y=2时，•有最小值﹣8，此时=（4，2）．（2）当=（4，2），即y=2时，有=（﹣3，5），=（1，﹣1）．∴||=，||=．∴cos∠AXB==﹣．点评：（1）中求最值问题可转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数；也可以利用与反向时，•有最小值进行求解．而（2）中即为数量积定义的应用．20．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前项n和，求T n的值；（3）数列{a n}中是否存在三项a r，a s，a t（r＜s＜t）成等差数列？若存在．请求出一组适合条件的项；若不存在，说明理由．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得{a n+2}是首项为a1+2=4，公比为2的等比数列．由此能求出a n=2n+1﹣2．（2）b n===，由此利用裂项求和法能求出T n=，从而得到Tn=（）=．（3）假设存在这样3项，则有a r+a t=2a s，r＜s＜t，从而1+2t﹣r=2（s﹣r+1），由此推导出数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r＜s＜t）成等差数列．解答：解：（1）a1=S1=2a1﹣2，a1=2．a n+1=S n+1﹣S n=2a n+1﹣2﹣2a n，a n+1=2a n+2，a n+1+2=2（a n+2），{a n+2}是首项为a1+2=4，公比为2的等比数列．a n+2=4•2n﹣1=2n+1，a n=2n+1﹣2．（2）b n===，T n===，∴T n=（）=．（3）假设存在这样3项，则有a r+a t=2a s，r＜s＜t，∴2r+1﹣2+2t+1﹣2=2（2s+1﹣2）整理得到2r+2t=2s+1，两边同时除以2r，1+2t﹣r=2（s﹣r+1），等式左边为奇数+偶数，其结果必然为奇数，等式右边为偶数，故上述等式不能成立，∴数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r＜s＜t）成等差数列．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的极限值的求法，考查等差数列的判断与求法，解题时要认真审题，注意等比数列和等差数列的性质的合理运用．21．（14分）已知，分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，=，=10，且=3（n=2，3，4，…），在射线y=x（x≥0）上从下到上有点B i（i=1，2，3，…），=，且=2（n=2，3，4，…）．（1）求A4A5；（2）求与的表达式；（3）求四边形A n A n+1B n+1B n（n=1，2，3，4，…）面积的最大值．考点：平面向量数量积的运算．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：（1）由题意||=3||是等比关系，根据等比数列公式求出通项，从而求得结果；（2）由题意（1）中数列的前n项和即为A n的纵坐标，再由在射线y=x（x≥0）上依次有点B1，B2，…，B n，即可得出B n的坐标；（3）根据四边形A n A n+1B n+1B n的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积和，即可求出面积的表达式，再作差S n﹣S n﹣1，确定其单调性，从而求出最大值．解答：解：（1）∵=3，∴=；∴====（﹣）=×（10﹣）=；（2）由（1）知，==，∴=++…+=+9+3+…+=+=；又∵||=2，且B n﹣1、B n均在射线y=x（x≥0）上，∴=2+2；∴=+++…+=3+3+（n﹣1）（2+2）；（3）∵||=，∴△A n A n+1B n+1的底面边的上高为h1=2n+3，又∵||=2，∴A n（0，）到直线y=x的距离是h2=；∴S n=•（2n+3）•=×2×=+，而S n﹣S n﹣1=﹣＜0，∴S1＞S2＞…＞S n＞…；∴S max=S1=+=+9=．点评：本题考查了等比数列与平面向量的综合应用问题，解题时需要做正确的转化和归纳，才能探究出正确的解决方法，是较难的综合题目．。
【数学】2014-2015年上海市金山中学高三(上)期中数学试卷与答案
2014-2015学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）计算：=．2．（4分）函数y=sinx+2cosx的最大值为．3．（4分）函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为．4．（4分）方程2cos+1=0的解集是．5．（4分）设α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若α是β的充分条件，则m的取值范围是．6．（4分）设全集U=R，集合A=，则∁U A=．7．（4分）设＜θ＜2π，sinθ=﹣，则cos=．8．（4分）设f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（5.5）=．9．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为40000元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数为．10．（4分）设函数y=sinωx（ω＞0）在区间上是增函数，则ω的取值范围为．11．（4分）定义：max{x，y}表示x、y两个数中的最大值，min{x，y}表示x、y 两个数中的最小值．给出下列4个命题：①max{x1，x2}≥a⇔x1≥a且x2≥a；②max{x1，x2}≤a⇔x1≤a且x2≤a；③设函数f（x）和g（x）的公共定义域为D，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，则[f（x）]min≥[g（x）]max；④若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线对称，则t的值为1．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）12．（4分）设函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数是．13．（4分）如图，在单位圆中，用三角形的重心公式研究内接正三角形ABC（点A在x轴上），有结论：cos0+cos=0．有位同学，把正三角形ABC按逆时针方向旋转α角，这时，可以得到一个怎样的结论呢？答：．14．（4分）若集合M={x|x2+x﹣2xλ≥0，x∈N*}，若集合M中的元素个数为4，则实数λ的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）下列四类函数中，有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f （x+y）=f（x）f（y）”的是（）A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数16．（5分）“f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）已知函数f（x）=|arctanx|，若存在x1、x2∈[a，b]，使≤0成立，则以下对实数a、b的描述正确的是（）A．a＜0 B．a≤0 C．b≤0 D．b≥018．（5分）用a n表示正整数n的最大奇因数（如a3=3、a10=5），记数列{a n}的前n项的和为S n，则S64值为（）A．342 B．1366 C．2014 D．5462三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）设函数f（x）=x+．（1）当x＞0时，若f（x）的最小值为2，求正数a的值；（2）当a=1时，作出函数y=f（x）的图象并写出它的单调增区间（不必证明）．20．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2﹣b2﹣c2+bc=0．（1）求∠A的大小；（2）设，求tanB的值．21．（16分）对于数列{a n}，如果存在一个正整数T，使得对任意的n（n∈N*）都有a n=a n成立，那么数列{a n}称作周期为T的周期数列，T的最小值称作数列+T{a n}的最小正周期，以下简称周期．（1）已知数列{a n}的通项公式是a n=cos，判断数列{a n}是否是周期数列？并说明理由；（2）设数列{a n}满足a n=λ•a n+1﹣a n（n∈N*），a1=1，a2=2，且数列{a n}是周期+2为3的周期数列，求常数λ的值；（3）设数列{a n}满足a1=1，a2=a（其中a是常数），a n+a n+1+a n+2=cos（n∈N*），求数列{a n}的前2014项和S2014．22．（16分）设函数f（x）=log2x．（1）解不等式f（x﹣1）+f（x）＞1；（2）设函数g（x）=f（2x+1）+kx，若函数g（x）为偶函数，求实数k的值；（3）当x∈[t+2，t+3]时，是否存在实数t（其中0＜t＜1），使得不等式|f（）﹣f（x﹣3t）|≤1恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．23．（18分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，且（其中q是非零的实数），若T5，T15，T10成等差数列，问2T5，T10，T20﹣T10能成等比数列吗？说明理由；（3）设数列{c n}的通项公式c n=，是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得c1，c m，c n成等比数列？若存在，求出所有m、n的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）计算：=．【解答】解：===．故答案为：．2．（4分）函数y=sinx+2cosx的最大值为．【解答】解：函数y=sinx+2cosx=sin（x+θ），其中tanθ=2．sin（x+θ）≤1，所以函数y=sinx+2cosx的最大值为．故答案为：3．（4分）函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为（﹣1，1）．【解答】解：要使函数有意义，则1﹣|x|＞0，即|x|＜1，则﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）4．（4分）方程2cos+1=0的解集是{x|（k∈Z）} ．【解答】解：∵方程2cos+1=0，∴，∴=，即（k∈Z）．∴方程2cos+1=0的解集是{x|（k∈Z）}．故答案为：{x|（k∈Z）}．5．（4分）设α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若α是β的充分条件，则m的取值范围是﹣≤m≤0．【解答】解：∵α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若α是β的充分条件，令α：{x|1≤x≤3}，β：{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R，}∴集合α⊆β，得即，∴故答案为：，6．（4分）设全集U=R，集合A=，则∁U A=[﹣6，﹣5] ．【解答】解：∵全集U=R．A=={x|x＜﹣6或x＞﹣5}，∴∁U A={x|﹣6≤x≤﹣5}=[﹣6，﹣5]．故答案为：[﹣6，﹣5]7．（4分）设＜θ＜2π，sinθ=﹣，则cos=﹣．【解答】解：∵＜θ＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0．∵sinθ=﹣，＜θ＜2π，∴cosθ===2cos2﹣1，解得：cos=﹣．故答案为：﹣．8．（4分）设f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（5.5）=0.5．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，∴f（5.5）=﹣f（3.5）=f（1.5）=﹣f（﹣0.5）=f（0.5）=0.5．故答案为：0.5．9．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为40000元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数为400．【解答】解：设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，则y==+≥200，当且仅当=，即x=400时“=”成立，故每批应生产产品400件故答案为：40010．（4分）设函数y=sinωx（ω＞0）在区间上是增函数，则ω的取值范围为（0，] ．【解答】解：由于函数y=sinωx（ω＞0）在区间上是增函数，∴，求得0＜ω≤故答案为：（0，]．11．（4分）定义：max{x，y}表示x、y两个数中的最大值，min{x，y}表示x、y 两个数中的最小值．给出下列4个命题：①max{x1，x2}≥a⇔x1≥a且x2≥a；②max{x1，x2}≤a⇔x1≤a且x2≤a；③设函数f（x）和g（x）的公共定义域为D，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，则[f（x）]min≥[g（x）]max；④若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线对称，则t的值为1．其中真命题是②③④．（写出所有真命题的序号）【解答】解：对于①，max{x1，x2}≥a⇔x1≥a或x2≥a，故①错误；对于②，max{x1，x2}≤a⇔x1≤a且x2≤a，故②正确；对于③，设函数f（x）和g（x）的公共定义域为D，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，则[f（x）]min≥[g（x）]max，故③正确；对于④，若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线对称，作图如下：图象中的右边是y=|x|，左边是y=|x+t|，因为函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=﹣对称，所以y=|x|与y=|x+t|的交点横坐标为x=﹣，易知AB的中点横坐标为x=﹣，所以A（﹣1，0），故有：t=1，故④正确；故答案为：②③④．12．（4分）设函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数是4．【解答】解：令f（x）=t，则当t∈[0，π]时，由2sint=1，得sint=，∴t=或t=，∴f（x）=有3个零点，f（x）=，有一个小于0的零点，当t∈（﹣∞，0）时，得t2=1，解之得t=﹣1，因此可得f（x）=﹣1，①当x∈[0，π]时，由2sinx=﹣1，不合题意．②x∈（﹣∞，0）时，x2=﹣1，不合题意，综上函数的零点有4个．故答案为：4．13．（4分）如图，在单位圆中，用三角形的重心公式研究内接正三角形ABC（点A在x轴上），有结论：cos0+cos=0．有位同学，把正三角形ABC按逆时针方向旋转α角，这时，可以得到一个怎样的结论呢？答：cosα+cos（+α）+cos（+α）=0．【解答】解：由结论：cos0+cos=0，把正三角形ABC按逆时针方向旋转α角，可得cosα+cos（+α）+cos（+α）=0，故答案为：cosα+cos（+α）+cos（+α）=0．14．（4分）若集合M={x|x2+x﹣2xλ≥0，x∈N*}，若集合M中的元素个数为4，则实数λ的取值范围为（，1] ．【解答】解：集合M={x|x2+x﹣2xλ≥0，x∈N*}，x=1时，2﹣2λ≥0，解得λ≤1，x=2时，6﹣4λ≥0，解得λ≤，x=3时，12﹣8λ≥0，解得，x=4时，20﹣16λ≥0，解得，x=5时，30﹣32λ≥0，解得，由x2+x﹣2xλ≥0得，若x≥6时，x2+x﹣2xλ≥0恒成立，则恒成立，令f（x）=，则当x≥6时，f（x），∴．∵集合M中的元素个数为4，∴．故答案为：（，1]．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）下列四类函数中，有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f （x+y）=f（x）f（y）”的是（）A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数【解答】解：根据题意，要求找到符合“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的函数；分析选项可得，A、B、D不符合f（x+y）=f（x）f（y），只有C中，对于指数函数有：a x+y=a x•a y，成立；故选：C．16．（5分）“f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）是奇函数，x≠0，∴f（0）≠0，∵f（0）=0，∴f（x）不一定是奇函数，∴根据充分必要条件的定义可判断：“f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的既不充分也不必要条件，故选：D．17．（5分）已知函数f（x）=|arctanx|，若存在x1、x2∈[a，b]，使≤0成立，则以下对实数a、b的描述正确的是（）A．a＜0 B．a≤0 C．b≤0 D．b≥0【解答】解：∵f（x）=|arctanx|的图象是把f（x）=arctanx的图象中x轴下方的部分对称到x轴上方，∴函数在（﹣∞，0）上递减；在（0，+∞）上递增．∵存在x1、x2∈[a，b]，使≤0成立，可得函数f（x）=|arctanx|在区间[a，b]上是减函数，∴b≤0，故选：C．18．（5分）用a n表示正整数n的最大奇因数（如a3=3、a10=5），记数列{a n}的前n项的和为S n，则S64值为（）A．342 B．1366 C．2014 D．5462【解答】解：∵用a n表示正整数n的最大奇因数，∴a1=1，a 2=1，a3=3，a4=1，a5=a6=3，a7=7，a8=1，a9=3，a10=5，a11=11，a12=3，∴S2=2，S4=6=2+4，S8=6+16=2+4+42，S16=S8+43=2+4+42+43，S32=S16+44=2+4+42+43+44，S64=S32+45=2+4+42+43+44+45=2+=1366，故选：B．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）设函数f（x）=x+．（1）当x＞0时，若f（x）的最小值为2，求正数a的值；（2）当a=1时，作出函数y=f（x）的图象并写出它的单调增区间（不必证明）．【解答】解（1）∵a＞0，x＞0，则由，由得，a=1；（6分）（2）当a=1时，f（x）=x+==．作出对应的函数图象如图：函数的单调增区间是（﹣∞，0）和[1，+∞）．20．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2﹣b2﹣c2+bc=0．（1）求∠A的大小；（2）设，求tanB的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，a2﹣b2﹣c2+bc=0，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，则∠A=60°；（2）由正弦定理=得：===+，整理得：==+，解得：tanB=．21．（16分）对于数列{a n}，如果存在一个正整数T，使得对任意的n（n∈N*）都有a n=a n成立，那么数列{a n}称作周期为T的周期数列，T的最小值称作数列+T{a n}的最小正周期，以下简称周期．（1）已知数列{a n}的通项公式是a n=cos，判断数列{a n}是否是周期数列？并说明理由；（2）设数列{a n}满足a n=λ•a n+1﹣a n（n∈N*），a1=1，a2=2，且数列{a n}是周期+2为3的周期数列，求常数λ的值；（3）设数列{a n}满足a1=1，a2=a（其中a是常数），a n+a n+1+a n+2=cos（n∈N*），求数列{a n}的前2014项和S2014．====a n，【解答】解：（1）∵a n+3∴数列{a n}是周期为3的数列．=λ•a n+1﹣a n（n∈N*），a1=1，a2=2，（2）∵数列{a n}满足a n+2∴a3=2λ﹣1，a4=2λ2﹣λ﹣2．∵数列{a n}是周期为3的周期数列，∴1=2λ2﹣λ﹣2．解得λ=﹣1或．经检验λ=﹣1．（3）∵数列{a n}满足a1=1，a2=a（其中a是常数），a n+a n+1+a n+2=cos（n∈N*），∴a2+a3+a4=…=a2012+a2013+a2014==﹣．∴S2014=1+671（a2+a3+a4）=1﹣=﹣．22．（16分）设函数f（x）=log2x．（1）解不等式f（x﹣1）+f（x）＞1；（2）设函数g（x）=f（2x+1）+kx，若函数g（x）为偶函数，求实数k的值；（3）当x∈[t+2，t+3]时，是否存在实数t（其中0＜t＜1），使得不等式|f（）﹣f（x﹣3t）|≤1恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分（4分），第2小题满分（5分），第3小题满分（7分）．解（1）log2x+log2（x﹣1）＞2，可得：，解得x＞2（4分）（给出x＜﹣1或x＞2扣1分）（2）g（﹣x）=g（x），即，（5分）整理，得（2k+1）x=0，；（9分）（如g（﹣1）=g（1），，没有证明扣2分）（3）不等式|f（）﹣f（x﹣3t）|≤1恒成立，即，（11分）等价于恒成立，解，得，综上，不存在t符合题意．（16分）23．（18分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，且（其中q是非零的实数），若T5，T15，T10成等差数列，问2T5，T10，T20﹣T10能成等比数列吗？说明理由；（3）设数列{c n}的通项公式c n=，是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得c1，c m，c n成等比数列？若存在，求出所有m、n的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2n=2a n+1得，a2=2a1+1，即d=a1+1 ①，因为S4=4S2，所以4a1+6d=4（2a1+d）②，联立①②得，a1=1，d=2，所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1；（2）由（1）得，=q n，当q=1时，2T15=30，T5+T10=15，成等差数列，不符合题意；当q≠1时，因为T5，T15，T10成等差数列，所以=+，化简得2q10﹣q5﹣1=0，解得，因为==，2T 5（T 20﹣T 10）==，所以2T 5，T 10，T 20﹣T 10能成等比数列； （3）由（1）得，，假设存在正整数m 、n （1＜m ＜n ），使得c 1，c m ，c n 成等比数列， 则，即，则，所以，解不等式，得，所以，所有m 、n 的值分别为2，12．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q) ()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。
2014-年高二上学期数学文科期中联考试卷(附答案)
2014-年高二上学期数学文科期中联考试卷（附答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．如果，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．2．在△中，角、、所对的边分别为、、，且满足,则角的大小为（）A.120°B.60°C.150°D.30°3.若等差数列的前5项和，且，则=（）A．3B．7C．8D．94．在△中，角、、所对的边分别为、、，且三角形面积为，则的值为（）A.B.48C.D.165.已知等比数列的前项和，则实数的值为（）A.-2B.-1C.2D.0.56．已知实数满足约束条件，则的最大值为（）A.80B.C.25D.7．若，则的最大值为（）A．B．C．D．以上都不对8．在△中，角、、所对的边分别为、、，且满足=1，=2，=120°,则的值为（）A．B．C．D．9.已知等比数列，是其前项和，若，则的值为（）A.27B.21C.18D.1510.△的三个内角、、满足，则△（）A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
）13.关于的不等式的解集为。
14.△中，，且，则边上的中线的长为。
15.等差数列中，使得前项和取到最小值的的值为。
16.对于一个数列，把它相连两项、的差记为，得到一个新数列，这个新数列称为数列的一阶差数列；数列的相连两项、的差记为，得到一个新数列，这个数列称为数列的二阶差数列。
已知数列的首项为3，它的一阶差数列是首项为3的等差数列，它的二阶差数列是首项为3的常数列，则数列的通项公式为。
三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17．（本小题12分）在△中，角、、所对的边分别为、、，，且满足、是方程的两根。
（I）求角的大小和边的长度；（Ⅱ）求△的面积。
上海市金山中学高三数学上学期期中试题苏教版
上海市金山中学2014届高三数学上学期期中试题苏教版一、填空题：（本大题共14小题，每题4分，满分56分）1．设{}3,2,1,0=U ，{}U mx x x A ⊆=+=0|2，若{}2,1=A C U ，则实数=m _______. 2．如果31cos =α，且α是第四象限的角，那么=⎪⎭⎫⎝⎛+23cos πα________． 3．函数()02)(2≤+=x x x f 的反函数=-)(1x f_____________．4．在ABC ∆中，若ο120=∠A ，5=AB ，7=BC ，则三角形ABC 的面积=S ________． 5．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和n S 的极限存在，且43=a ，725=-S S ，则数列{}n a 各项的和为______________．6．若函数)0(sin 2)(2>+=ωωx x f 的最小正周期与函数2tan )(xx g =的最小正周期相等，则正实数ω的值为_____________．7．若12332lim 21112=⋅+⋅-++-∞→n n n n n a a ，则=a ． 8．若kk k k S k 211212111+-+++++=Λ，则=-+k k S S 1 _________________ ． 9．已知函数2()()f x x ax b a b R =++∈，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为()0,6，则实数c 的值为 . 10．设αcos =x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈32,6ππα，则x arcsin 的取值范围为___________． 11．方程1|2sin|-=x xπ的实数解的个数为___________．12．在等差数列{}n a 中，01>a ，01110<a a ，若此数列的前10项和p S =10，前18项和q S =18，则数列{}n a 的前18项和=18T ___________．13．已知函数)1(1)(>-=a a a x f x x，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ变化时，0)1()sin (≥-+m f m f θ 恒成立，则实数m 的取值范围是___________．14．已知定义域为R 的偶函数)(x f ，对于任意R x ∈，满足)2()2(x f x f -=+。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013-2014学年上海市金山区高二（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1．（3分）线性方程组的增广矩阵是．2．（3分）行列式的值是．3．（3分）已知向量，（其中、分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量），则向量与的数量积=．4．（3分）=．5．（3分）行列式中，元素1的代数余子式是．6．（3分）若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|=．7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（3，4）、（﹣1，3），则△ABC的面积S=．8．（3分）图中程序框图的功能是交换两个变量的值并输出，请写出（1）的内容：．9．（3分）数列的前n项和，那么它的通项公式是．10．（3分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，则q的值为．11．（3分）已知G点是△ABC的重心，过G点作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，设，，则=．12．（3分）定义一种运算“&”：“规定1&1=2，同时规定：若m&n=k，则m&（n+1）=k+2”，试计算：1&2005=．二、选择题（每题3分，共12分）13．（3分）给出下面的算法：（1）a←1；（2）b←3；（3）a←a+b；（4）b←a﹣b；（5）print（a，b），它的结果是（）A．（1，3） B．（4，﹣2）C．（4，1） D．（1，1）14．（3分）算法的三种基本结构是（）A．顺序结构、模块结构、条件结构B．顺序结构、循环结构、模块结构C．顺序结构、条件结构、循环结构D．模块结构、条件结构、循环结构15．（3分）设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（）A．B．∥C．D．16．（3分）已知数列a n=1++…+，则a k+1﹣a k共有（）A．1项 B．k项 C．2k项D．2k+1项三、解答题（共6题，满分52分）17．（6分）在等比数列{a n}中，a1最小，且a1+a n=66，a2•a n﹣1=128，前n项和S n=126．（1）求公比q；（2）求n．18．（6分）已知向量，，在直线y=x+4上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（8分）解关于x的方程组并进行讨论：．20．（8分）在△ABC中，已知AB、BC、CA的长分别为c、a、b，利用向量方法证明：b2=a2+c2﹣2accosB．21．（10分）已知数列{a n}的前n项和（n∈N*，k是与n无关的正整数）．（1）求数列{a n}的通项公式，并证明数列{a n}是等差数列；﹣1|+|a2k﹣1|≤6，求所（2）设数列{a n}满足不等式：|a1﹣1|+|a2﹣1|+…|a2k﹣1有这样的k的值．22．（14分）在等差数列{a n}中，a1=9，公差d=2，等比数列{b n}中，b1b2b3=729，公比q=3．（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）写出数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n=a n b n+9，是否存在不小于2的自然数m，使得对于任意自然数n，c n都能被m整除？如果存在，求出最大的m的值；如果不存在，说明理由．2013-2014学年上海市金山区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共36分）1．（3分）线性方程组的增广矩阵是．【解答】解：由二元线性方程组，可得到其增广矩阵为：．故答案为：．2．（3分）行列式的值是﹣8．【解答】解：由=1×7﹣3×5=﹣8．故答案为：﹣8．3．（3分）已知向量，（其中、分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量），则向量与的数量积=7．【解答】解：∵、分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，∴=（1，0），=（0，1），∵，，∴=3（1，0）+4（0，1）=（3，4），=﹣3（1，0）+4（0，1）=（﹣3，4），∴=（3，4）•（﹣3，4）=3×（﹣3）+4×4=7．故答案为：7．4．（3分）=1．【解答】解：由题意，数列是以为首项，为公比的无穷等比数列，∴故答案为15．（3分）行列式中，元素1的代数余子式是11．【解答】解：元素1的代数余子式为：（﹣1）1+2=﹣（5×2﹣3×7）=﹣（10﹣21）=11，故答案为：11．6．（3分）若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|=2．【解答】解：|2+|====2．故答案为：27．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（3，4）、（﹣1，3），则△ABC的面积S=5．【解答】解：由两点间的距离公式可得|AB|==，再由斜率公式可得直线AB的斜率k==，故直线AB的方程为：y﹣1=（x﹣1），即3x﹣2y﹣1=0，由点到直线的距离公式可得点C（﹣1，3）到直线AB的距离d==，∴△ABC的面积S==5故答案为：58．（3分）图中程序框图的功能是交换两个变量的值并输出，请写出（1）的内容：X←Y．【解答】解：由于程序框图的功能是交换两个变量的值并输出，先把T←X，再把X←Y，然后Y←T，从而实现X与Y的互换，可知：（1）中应是X←Y．故答案为X←Y．9．（3分）数列的前n项和，那么它的通项公式是．【解答】解：当n=1时，=4，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2+n+1﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=4n﹣1．因此，故答案为：．10．（3分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，则q的值为﹣2．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且S n+1，S n，S n+2成等差数列，则2S n=S n+1+S n+2，若q=1，则S n=na1，式显然不成立，若q≠1，则为，故2q n=q n+1+q n+2，即q2+q﹣2=0，因此q=﹣2．故答案为﹣2．11．（3分）已知G点是△ABC的重心，过G点作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，设，，则=3．【解答】解：∵G为三角形的重心，∴=（），∴==（）﹣=（），==﹣（）=+（y﹣），∵与共线，∴存在实数λ，使得=λ，即（）=λ[+（y﹣）]，由向量相等的定义可得，消去λ可得x+y﹣3xy=0，两边同除以xy整理得=3故答案为：312．（3分）定义一种运算“&”：“规定1&1=2，同时规定：若m&n=k，则m&（n+1）=k+2”，试计算：1&2005=4010．【解答】解：由题意可得1&1=2，1&2=2+2=4，1&3=4+2=6，1&4=6+2=8，…故n值每增加1，1&（n+1）的增加2，∴1&（n+1）=2n．∴1&2005=2×2005=4010，故答案为4010．二、选择题（每题3分，共12分）13．（3分）给出下面的算法：（1）a←1；（2）b←3；（3）a←a+b；（4）b←a﹣b；（5）print（a，b），它的结果是（）A．（1，3） B．（4，﹣2）C．（4，1） D．（1，1）【解答】解：a=1，b=3，就是将2给a，将3给b，然后a=a+b就是将原来的a和b相加，把这个数赋予a．a+b=1+3=4．这个4给a，此时a=4．再看下一个b=a﹣b，就是将a﹣b的值赋予b，a﹣b=4﹣3=1，把1给b，因此b=1．故选：C．14．（3分）算法的三种基本结构是（）A．顺序结构、模块结构、条件结构B．顺序结构、循环结构、模块结构C．顺序结构、条件结构、循环结构D．模块结构、条件结构、循环结构【解答】解：算法的三种基本结构是顺序结构、条件结构、循环结构，故选：C．15．（3分）设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（）A．B．∥C．D．【解答】解：∵=∵f（x）的图象为直线∴∴故选：A．16．（3分）已知数列a n=1++…+，则a k+1﹣a k共有（）A．1项 B．k项 C．2k项D．2k+1项【解答】解：∵a k=+…+，a k+1=+…+++…+，﹣a k=+…+=，∴a k+1∴共有k2+2k+1﹣（k2+1）+1=2k+1项．故选：D．三、解答题（共6题，满分52分）17．（6分）在等比数列{a n}中，a1最小，且a1+a n=66，a2•a n﹣1=128，前n项和S n=126．（1）求公比q；（2）求n．【解答】解：（1）∵{a n}成等比数列，∴a1•a n=a2•a n﹣1=128，∵a1+a n=66∴a1、a n是方程x2﹣66x+128=0的两个实数根，解方程x2﹣66x+128=0，得：x1=2，x2=64；又a1最小，∴a1=2，a n=64；又S n=126，∴由从而得：，即q=2；（2）由a n=a1q n﹣1得：2×2n﹣1=64，∴n=6．18．（6分）已知向量，，在直线y=x+4上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：假设直线y=x+4上存在点P（x，x+4），使得，∵，，=（x，x+4），∴==（﹣3﹣x，﹣3﹣x），==（1﹣x，﹣1﹣x），∵，∴=（﹣3﹣x）（1﹣x）+（﹣3﹣x）（﹣1﹣x）=0，解得x=0，或x=﹣3，故存在点P（0，4）或（﹣3，1）满足条件．19．（8分）解关于x的方程组并进行讨论：．【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D==﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解，x==，y==﹣．系数矩阵D奇异时，或者说行列式D==﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，方程组有无数个解或无解．当m=0时，原方程为无解，当m=﹣3时，原方程组为，此时方程组有无数个解．20．（8分）在△ABC中，已知AB、BC、CA的长分别为c、a、b，利用向量方法证明：b2=a2+c2﹣2accosB．【解答】解：∵，∴=+2cos（π﹣B）+，即b2=a2+c2﹣2accosB．21．（10分）已知数列{a n}的前n项和（n∈N*，k是与n无关的正整数）．（1）求数列{a n}的通项公式，并证明数列{a n}是等差数列；（2）设数列{a n}满足不等式：|a1﹣1|+|a2﹣1|+…|a2k﹣1|+|a2k﹣1|≤6，求所﹣1有这样的k的值．【解答】解：（1）∵S n=（k是与n无关的正整数），∴a1=，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=[（n2+n）﹣（（n﹣1）2+（n﹣1））]=，当n=1时，a1=也适合上式，∴a n=．﹣a n=[2（n+1）﹣2n]=为定值，∴a n+1∴数列{a n}是等差数列；（2）∵a n=，∴a k==1+，∴a k﹣1=，又数列{a n}的公差d=＞0，故数列{a n}为递增数列，∴a k +1﹣1＞， a k +2﹣1＞，…， a k +k ﹣1＞，∴|a k ﹣1|+|a k +1﹣1|+…+|a k +k ﹣1|=a k ﹣+a k +1﹣+…+a k +k ﹣＞k +1，∴+•＞k +1+，要使|a 1﹣1|+|a 2﹣1|+…|a 2k ﹣1﹣1|+|a 2k ﹣1|≤6， 需k +1＜5（k ∈N *），即1≤k ≤4（k ∈N *）， ①当k=1时，a 1==2，d==2，∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n ，∴|a 1﹣1|+|a 2﹣1|+…|a 2k ﹣1﹣1|+|a 2k ﹣1|=|a 1﹣1|+|a 2﹣1|=|2﹣1|+|4﹣1|=4≤6，即k=1时符合题意； ②当k=2时，a 1==，d==，同理可求a n =，∴|a 1﹣1|+|a 2﹣1|+…|a 2k ﹣1﹣1|+|a 2k ﹣1|=|a 1﹣1|+|a 2﹣1|+…+|a 4﹣1|=（1﹣）+（﹣1）+（2﹣1）+（﹣1）=＜6，故k=2时符合题意；③当k=3时，同理可求a n =n ，|a 1﹣1|+|a 2﹣1|+…+|a 6﹣1|=+（1﹣）+（﹣1）+（﹣1）+（2﹣1）+（﹣1）=4＜6，故k=3时符合题意； ④当k=4时，同理可求a n =n ，|a 1﹣1|+|a 2﹣1|+…+|a 8﹣1|=++++（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）=＜6．故k=4时符合题意；综上所述，存在k=1，2，3，4使|a 1﹣1|+|a 2﹣1|+…|a 2k ﹣1﹣1|+|a 2k ﹣1|≤6成立．22．（14分）在等差数列{a n }中，a 1=9，公差d=2，等比数列{b n }中，b 1b 2b 3=729，公比q=3．（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）写出数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n=a n b n+9，是否存在不小于2的自然数m，使得对于任意自然数n，c n都能被m整除？如果存在，求出最大的m的值；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=9，公差d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=9+（n﹣1）×2=2n+7；（2）∵在等比数列{b n}中，则b1b2b3=b23=729，∴b2=9，又公比q=3，则b1=3，∴b n=b1×q n﹣1=3×3n﹣1=3n；（3）由题意，c n=a n b n+9=（2n+7）•3n+9，∴f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36，下面用数学归纳法证明：①当n=1时，显然成立；②假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除，当n=k+1时，c n=c k+1=[2（k+1）+7]•3k+1+9=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k﹣1﹣1），∵3k﹣1﹣1是2的倍数，∴18（3k﹣1﹣1）能被36整除，也就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除．综合①②，可知对于任意自然数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m 的最大值为36．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。