山西省忻州一中_学年高二数学下学期期中试卷理【含答案】

2014-2015学年度第二 学期期中考试试题高 二 数 学（理）一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合∪=R,M={x||x|<2},N={y|y=2x-1},则(C U M)∪(C U N)= ( )Ａ．(-1,2)B ．(-∞,2]C ．(-∞,-1)∪(2,+∞)D ．(-∞,-1]∪[2,+∞)2．设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[4,2），则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A ．[-12,+∞） B ．[-1,0] C ．[0,1]D ．[12,1]3．设函数()x f '是函数()x f 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）4．右图是计算1+3+5+…+99的值的算法程序框图, 那么在空白 的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 ( ) A. i≤101 B. i≤99C. i≤97D. i≤505．若函数f(x)=3cos(2x+)-sin(2x+)的图象关于直线 x=0对称,=k-3(k Z) B =k-6(k Z) C =k+3(k Z)+6(kZ)6．已知||2||,||0a b b =≠，且关于的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在上有极值，则a 与结束b 的夹角范围为（ ）Ａ．[0,)6πB ．(,]6ππ C ．2(,]33ππD ．(,]3ππ7．已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)离心率为32，则双曲线12222=-by a x 的离心率为( )Ａ．45 B ．25 C ．32D ．458．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小值为 ( )A ．1B ． 2C ．22D ． 39．掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则θ∈(0,2]的概率是 （ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．斜率为2的直线L 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线与A 、B 两点，若AB 的中点到抛物线准线的距离1，则P 的值为 （ ）Ａ．1 B ．45C ．35 D ．2511．已知P(m,n)(m>0,n>0)是f (x)= 13x 3﹣52x 2﹣x+1856在点x=5处的切线上一点,则14m n +的最小值是 ( )A. 910B. 1921C. 1011D. 111012．函数()f x 的定义域为，()02f =，对任意x R ∈，()()1f x f x '+>，则不等式()1x x e f x e >+的解集是 ( )Ａ．{}0x x > B ．{}0x x <C ．{}11x x x <->或 D ．{}11x x -<<二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分， 13. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积是 . 14. =-⎰42dx x ．15. 已知函数f(x)=x 3+ax 2﹣43a （a ∈R ），若存在x 0，使f(x)在x=x 0处取得极值，且f(x 0)=0，则a 的值为 ．16．已知函数()x f 在R 上满足()()2122x e x f x f x ++-=-，则曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程是 .三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17.(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 中，公差0,d >又231445,14a a a a ⋅=+= （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）记数列11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前项和记为n S ，求n S18.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （1）求角C 的大小； （2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．19.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ， ∠ABC=60°，E 、F 分别是BC 、PC 的中点． （1）证明：AE ⊥PD ；（Ⅱ）若PA=AB ，求二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值．20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln(1+x)+x 2-10x⑴若x=3是该函数的一个极值点，求函数f(x)的单调区间 ⑵若f(x)在[1,4]上是单调减函数，求a 的取值范围 21.(本小题满分12分)设椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点P(32，1)，且离心率e=12.(1)求椭圆C 的方程.(2)若F 1、F 2为椭圆的两个焦点，A 、B 为椭圆的两点，且AF 1→=12BF 2→，求直线AF 1的斜率.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋2ax，a∈R.(1) 若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2) 若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值．附加题：1.(5分)函数y=x 3-2x+2过点P(2,6)的切线的斜率为 .2.(5分)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线=－2对称，则()f x 的最大值是______.3.(5分)函数f(x)= xln(x-1)x-2，x ∈[1.5,3]的值域为 .2014-2015学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（理）答案DACBB DCBBCB AA 13. 32 14. 7 15. 3 16．x-y-3=0１7. (本小题满分10分)解：（1）,0,45,14324132 d a a a a a a 且==+=+ 9,532==∴a a1,41==∴a d 344)1(1-=-+=∴n n a n ………6分（2)141341(41)14)(34(111+--=+-==+n n n n a a b n n n)141341.......9151511(41+--++-+-=n n S n b n n 项和的前 14)1411(41+=+-=n nn ……………………10分 18(本题满分12分)解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==19. (本小题满分12分)（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形． 因为为的中点，所以．又，因此． 因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面， 所以．…………5分20.(本小题满分12分) 解：⑴∵()1021'-++=x xax f …………………………………………1分 ∴()010643'=-+=af 因此16=a ……………………………2分∴()()x x x x f 101ln 162-++=，其定义域为()+∞-,1……………3分()()()()xx x x x x x x x f +-⋅-=++-=-++=13121342102116'2…………4分 当()0'＞x f ，即11＜＜x -，或3＞x 时，函数()f x 单调递增 当()0'＜x f ，即31＜＜x 时，函数()f x 单调递减∴()f x 的单调递增区间为()11，-，()∞+，3，单调递减区间为()31，…6分 ⑵∵()f x 在[]1,4上是单调减函数∴()0110821021'2≤+-+-=-++=xa x x x x a x f 在[]1,4上恒成立…7分∴010822≤-+-a x x 在[]1,4上恒成立 …………………………8分 ∴min 2)]1082([---≤x x a …………………………………………9分 ∵在[]1,4上，18)1082(102≤---≤x x …………………………11分∴10≤a …………………………………………………………12分 21.(本小题满分12分)(1)由题意知c a =12，1a 2+94b2=1，又a 2=b 2+c 2，∴a=2，b=3，c=1故所求的椭圆方程为y 24+x23=1…………………………………. …...………..…..(6分)(2)延长AF 1交椭圆B′ 由对称性可知 BF 2→=F 1B′→设A(x 1，y 1)，B′(x 2，y 2) AF 1→=12 F 1B′→∴x 2=－2x 1①当直线AB′斜率不存在时，不符合当直线AB′斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，又F 1(0，1) ∴直线AF 1y=kx+1 联立 y=kx+1y 24+x 23=1 消去y ，得(3k 2+4)x 2+6kx －9=0∴x 1+x 2= －6k 3k 2+4② x 1x 2= －93k 2+4③由①②③得k =±25 5 故直线AB 的斜率为±255……………………..…..(12分)22.(本小题满分12分)解 (1)∵f(x)＝ln x ＋2a x ，∴f′(x)＝1x －2ax 2.∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝1x －2ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤x2在[2，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2，则a≤[g(x)]min ，x∈[2，＋∞)，∵g(x)＝x2在[2，＋∞)上是增函数，∴[g(x)]min ＝g(2)＝1.∴a≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f′(x)＝x －2ax2，x∈ [1，e]．①若2a<1，则x －2a>0，即f′(x)>0在[1，e]上恒成立， 此时f(x)在[1，e]上是增函数．所以[f(x)]min ＝f(1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)．②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x ＝2a. 当1<x<2a 时，f′(x)<0，所以f(x)在(1,2a)上是减函数，当2a<x<e 时，f′(x)>0，所以f(x)在(2a ，e)上是增函数． 所以[f(x)]min ＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3， 解得a ＝e22(舍去)．③若2a>e ，则x －2a<0，即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减函数． 所以[f(x)]min ＝f(e)＝1＋2ae ＝3，得a ＝e.适合题意．综上a ＝e.附加题：1.(5分) 1或10 2.(5分) 16 3.(5分) (0,3ln2]。