2019高中数学第一章 1.1.1 第1课时正弦定理(1)学案新人教A版必修5

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高中数学 1.1.1正弦定理教案新人教A版必修5

《正弦定理》教学设计一、教学目标分析1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。

3、情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。

二、教学重点、难点分析重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。

三、教学基本流程1、引出问题：在三角形中，已知两角以及一边，如何求出另外一边；2、结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；3、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的类型；4、应用正弦定理解三角形。

五、教学反思1、新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，使学生在自主探究的过程中提高数学思维能力。

本设计创设了一系列数学问题情境来引导学生质疑、思考，让学生在“疑问”、“好奇”、“解难”中探究学习，激发了学生的学习兴趣，调动了学生自主学习的积极性，从而有效地培养学生了的数学创新思维。

2、新课标强调数学教学要注重“过程”，要使学生学习数学的过程成为在教师的引导下∠进行“再创造”过程。

本设计展示了一个先从特殊的直角三角形中正弦的定义出发探索A ∠的正弦的关系从而发现正弦定理，再将一般的三角形与直角三角形联系起来的正弦与B（在一般的三角形中构造直角三角形）进而在一般的三角形发现正弦定理的过程，使学生不但体会到探索新知的方法而且体验到了发现的乐趣，起到了良好的教学效果。

高中数学《1.1.1 正弦定理》教案新人教A版必修5

福建省长乐第一中学高中数学必修五《1.1.1 正弦定理》教案第一课时 1.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =cb sin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C==. ② 能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b c A B C==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C . 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a CD R A D===，同理 sin b B =2R ，sin c C＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 ② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角 ③练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ） ④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a ，求sin sin sin a b c A B C ++++. 2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题.。

2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.1.1正弦定理(第1课时)正弦定理(1)学案新人教A版

第1课时正弦定理(1)1．正弦定理思考：如图所示，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C各自等于什么？[提示]a sin A ＝b sin B ＝csin C＝c . 2．解三角形(1)一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？ [提示] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．1．在△ABC 中，若角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各式一定成立的是( ) A ．a b ＝cos Acos BB ．a b ＝sin Asin BC ．a sin B ＝b cos AD ．a cos B ＝b sin AB [在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a b ＝sin Asin B.]2．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________． 23 [由正弦定理得：32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝32×sin 45°sin 60°＝2 3.]3．在△ABC 中，A ＝45°，c ＝2，则AC 边上的高等于_________． 2 [AC 边上的高为AB sin A ＝c sin A ＝2sin 45°＝ 2.] 4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C ＝________．π2 [由正弦定理得：3sinπ3＝3sin B，所以sin B ＝12.又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π2.][证明] 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A ) ＝sinA ，CD a＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B .∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C. 故a sin A ＝b sin B ＝csin C.1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．2．要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．1．如图所示，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，证明asin A＝2R .[证明] 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角∠A ′＝∠A . ∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R， ∴sin A ＝a2R ，即asin A＝2R .[解] 因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－(A ＋C )＝105°. 由asin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 因为sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin B sin C ＝10×sin （A ＋C ）sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．2．在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c . [解] 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin （60°＋45°）sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2).则A ＝________．(2)在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形．(1)75° [由题意得：b sin B ＝csin C ，所以sin B ＝b sin Cc＝6×323＝22，因为b ＜c ，所以B ＝45°，所以A ＝180°－B －C ＝75°.](2)[解] 因为a sin A ＝csin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32.因为0°＜C ＜180°，所以C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. 所以b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C 等于( )A ．π4或3π4B ．3π4C ．π4D ．π6C [由正弦定理，得sin C ＝sin A ·AB BC ＝22.因为BC ＞AB ，所以A ＞C ，则0＜C ＜π3，故C ＝π4.]4．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜2 2D ．2＜x ＜2 3C [由a sin B ＜b ＜a ，得22x ＜2＜x ，所以2＜x ＜2 2.]1．由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，csin C ＝2R 可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？[提示] (角化边)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，(边化角)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， (边角互化)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．三角形中常见边角之间的关系有哪些？ [提示] 在△ABC 中，(1)a ＋b ＞c ，|a －b |＜c ， (2)a ＞b ⇔A ＞B ⇔sin A ＞sin B ， (3)A ＋B ＋C ＝π⇒sin(A ＋B )＝sin C ， sinA ＋B2＝cos C2.【例4】在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．思路探究：解决本题的关键是利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 把sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角A ，然后再利用sin A ＝2sin B cos C 求解．[解] 法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴A 是直角，B ＋C ＝90°，∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B )＝2sin 2B ＝sin A ＝1， ∴sin B ＝22. ∵0°<B <90°，∴B ＝45°，C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角．∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0.又－90°<B －C <90°，∴B －C ＝0，∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰直角三角形．(变条件)将本例题条件“sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ”改为“b ＝a cosC ”其它条件不变，试判断△ABC 的形状．[解] ∵b ＝a cos C ，由正弦定理，得 sin B ＝sin A cos C ．(*) ∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin B ＝sin(A ＋C )，从而(*)式变为 sin(A ＋C )＝sin A cos C . ∴cos A sin C ＝0. 又∵A ，C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．1．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．2．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如a b ＝sin Asin B等．1．本节课要牢记正弦定理及其常见变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)； (2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(3)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C； (4)在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔A ＞B ⇔a ＞b . 2．要掌握正弦定理的三个应用(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角． (3)判断三角形的形状． 3．本节课的易错点有两处(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况． (2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．1．判断正误(1)正弦定理只适用于锐角三角形． ( ) (2)正弦定理不适用于直角三角形．( )(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√[提示] 正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确． 2．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．不等边三角形B [由正弦定理知c ＝2R sinC ，a ＝2R sin A ，故sin C ＝2sin A cos B ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin A cos B ＝cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，所以A ＝B . 故△ABC 为等腰三角形．]3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°C [由a sin A ＝bsin B得sin A ＝a sin Bb＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°. 又∵a b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22.综上，可知A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.。

高中数学第一章解三角形1 1 1正弦定理学案新人教A版必修5

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理必备知识·自主学习1.正弦定理(1)定理的内容.三角形的三个角A,B,C和它们的对边条件a,b,c在一个三角形中,各边和它所对角的正文字语言弦的比相等符号语言==(2)本质:正弦定理反映的是三角形边角之间的数量关系.该比值是此三角形外接圆的直径.(3)作用:①求三角形的边和角;②实现三角形边角之间的互化;③求三角形外接圆的半径.正弦定理==只适用于锐角三角形吗?提示:正弦定理==适用于任意三角形.2.三角形中的元素与解三角形(1)三角形中的元素:指的是三角形的三个角及其对边.(2)解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程.已知三角形的哪几个元素,可以用正弦定理解相应三角形?提示:①已知三角形的任意两角和一边,求其他两边和另一角.②已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求另一边及另两角.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)在△ABC中,已知C=60°,a=1,b=3,可用正弦定理解此三角形. ((2)对于任意△ABC总有bsin A=asin B. ((3)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;反之,若A>B,则sin A>sin B. ((4)在△ABC中,若A=30°,a=2,b=2,则B=60°.( 提示:(1)×.已知三角形的两边和这两条边的夹角,无法用正弦定理解此三角形.(2)√.由正弦定理知=,即bsin A=asin B.(3)√.在△ABC中,sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.(4)×.由正弦定理知=,即=,所以sin B=,则B=60°或120°,又因为b>a,所以B>A,故B=60°或120°.2.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,则b= (A.4B.4C.4D.〖解析〗选 C.在△ABC中,A=180°-(B+C)=45°,由正弦定理=得b===4.3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,b=1,则sin B= (A. B. C. D.〖解析〗选A.由正弦定理得sin B===.关键能力·合作学习类型一已知两角及一边解三角形(数学运算)1.(2020·石家庄高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,则边c= (A. B. C.2 D.2.在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB等于.3.在△ABC中,已知a=2,A=30°,B=45°,解三角形.〖解析〗1.选D.因为b=2,B=45°,C=120°,由正弦定理=,可得=,解得c=.2.因为tan A=,0°<A<180°,所以sin A=.由正弦定理知=,所以AB===.答案:3.因为==,所以b====4.因为C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,所以c====2+2.已知两角及一边解三角形的一般步骤〖补偿训练〗已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.〖解析〗设在△ABC中,A=45°,B=60°,则C=180°-(A+B)=75°.因为C>B>A,所以最小边为a. 又因为c=1,由正弦定理得,a===-1,所以最小边长为-1.类型二已知两边及一边的对角解三角形(数学运算)〖典例〗在△ABC中,已知B=30°,b=,c=2,解三角形.四步内容理解题意条件:B=30°,b=,c=2,结论:求角A、角C和边a思路探求根据题目条件及正弦定理可得sin C=,求出角C,进而可以计算A,a.书写表达由正弦定理得sin C===, 因为c>b,0°<C<180°,所以C=45°或135°.②(1)当C=45°时,A=105°,a===+1,(2)当C=135°时,A=15°,a===-1.注意书写的规范性:①③④处正确应用正弦定理的变形是解题的关键;②处根据三角函数值求角时,要注意结合角的范围.题后反思利用正弦定理求角时,一方面要注意由正弦值求角有可能出现两解的情况,另一方面要注意三角形内角和定理的应用已知两边及一边的对角解三角形的步骤(2020·深圳高一检测)在△ABC中,A=60°,AC=,BC=,则C= ( A.30° B.45° C.60° D.90°〖解析〗选D.设A,B,C的对边分别为a,b,c.由正弦定理得=,所以=,所以sin B=,又因为a>b,所以A>B,且0°<B<180°,所以B=30°,所以C=180°-A-B=90°.〖拓展延伸〗在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数.解的个数见下表:A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a=bsinA且a<b②a≥bbsin A<a<ba<bsin Aa>b a≤b解的个数一解两解无解一解无解〖拓展训练〗根据下列条件,判断△ABC有没有解?若有解,判断解的个数.(1)a=5,b=4,A=120°.(2)a=5,b=4,A=90°.(3)a=10,b=20,A=45°.(4)a=20,b=20,A=45°.(5)a=4,b=,A=60°.〖解析〗(1)(2)中因为a>b,所以只有一解.(3)中bsin A=20sin 45°=10,所以a=bsin A,所以只有一解.(4)中bsin A=20sin 45°=10,所以bsin A<a<b,所以有两解.(5)中bsin A=sin 60°=5,所以a<bsin A,所以无解.〖补偿训练〗在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A的大小为.〖解析〗由sin B+cos B=,得sin =1,由B∈(0,π),得B=,由正弦定理,=,得sin A==,又a<b,所以A=.答案:类型三用正弦定理进行边角互化(逻辑推理、数学运算)角度1 运算求解问题〖典例〗(2020·驻马店高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知4bcos BsinC=c,则B= (A.或B.C. D.或〖思路导引〗利用正弦定理化边为角,建立关于角B的三角方程.〖解析〗选D.由4bcos Bsin C=c,得4sin Bcos Bsin C=sin C,所以sin 2B=,又因为B为△ABC的内角,所以2B=或,所以B=或.将本例条件“4bcos Bsin C=c”改为“2asin B=b”,求角A.〖解析〗因为2asin B=b,由正弦定理可得,2sin Asin B=sin B,又sin B≠0,所以sin A=,所以A=或π.角度2 化简证明问题〖典例〗在任意△ABC中,求证:a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+c(sin A-sin B)=0.〖思路导引〗方法一:边化角,即由正弦定理,令a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(其中R是△ABC外接圆的半径).代入等式左边进行化简;方法二:角化边,即由正弦定理,令sin A=,sin B=,sin C=.代入等式左边进行化简. 〖证明〗方法一:由正弦定理,令a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.代入得:左边=2R(sin Asin B-sin Asin C+sin Bsin C-sin Bsin A+sin Csin A-sin Csin B)=0=右边,所以等式成立.方法二:由正弦定理,令sin A=,sin B=,sin C=.代入得:左边=a+b+c=(ab-ac+bc-ba+ca-cb)=0=右边,所以等式成立.角度3 判断三角形的形状〖典例〗(2020·濮阳高二检测)在△ABC中,==,则△ABC一定是( A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形〖思路导引〗由==,利用正弦定理可得tan A=tan B=tan C,即可得出.〖解析〗选D.由正弦定理可得:==,又==,所以tan A=tan B=tan C,又A,B,C∈(0,π),所以A=B=C=,所以△ABC是等边三角形.1.用正弦定理进行边角互化的两种方法2.判断三角形形状的两种途径(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a,则= (A.2B.2C.D.〖解析〗选D.由正弦定理得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,即sin B·(sin2A+cos2A)=sin A.所以sin B=sin A.所以==.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=absin C.求证tan C=sin Asin B.〖证明〗因为=absin C,所以c2=absin Ccos C,由正弦定理得,sin 2C=sin Asin Bsin Ccos C,因为C∈,所以sin C>0,所以sin C=sin Asin Bcos C,由题意知cos C≠0,所以tanC=sin Asin B.3.在△ABC中,若acos A=bcos B,试判断△ABC的形状.〖解析〗由正弦定理得,a=2Rsin A,b=2Rsin B,由acos A=bcos B得,sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.因为2A,2B∈(0,2π),所以2A=2B或2A+2B=π.即A=B或A+B=,所以△ABC为等腰或直角三角形.〖补偿训练〗1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为(A. B. C.1 D.〖解析〗选D.因为=,所以=.因为3a=2b,所以=.所以=.所以=2-1=2×-1=-1=.2.在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,试判断△ABC的形状.〖解析〗由sin2A=sin Bsin C和正弦定理,得a2=bc.因为2a=b+c,所以a=,所以=bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c.从而a==b=c,故△ABC是等边三角形.课堂检测·素养达标1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列等式正确的是(A.a∶b=A∶BB.asin A=bsin BC.a∶b=sin B∶sin AD.a∶b=sin A∶sin B〖解析〗选D.由=可得,只有D成立.2.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对的边长是(A.4B.12C.4D.12〖解析〗选D.若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得:=,于是x===12.3.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则角A= .〖解析〗由正弦定理得sin C===,又因为0°<C<180°,AB>AC,所以C=60°或120°,所以A=90°或30°.答案:90°或30°4.在△ABC中,若2asin C=c,则角A= .〖解析〗设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理得2×2Rsin Asin C=×2Rsin C,因此sin A=,又因为0°<A<180°,故A=45°或135°.答案:45°或135°5.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,已知a=2,b=6,A=30°,解三角形.〖解析〗由正弦定理得sin B===,因为b>a,所以B=60°或120°.当B=60°时,C=90°,c==4;当B=120°时,C=30°,c=a=2.所以B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2.。

高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理教案新人教

1.1.1正弦定理一、教学目标：1、掌握正弦定理的内容及其证明方法；能用正弦定理解决一些简单的三角度量问题；2、让学生从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、推导，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。

3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步学生培养探索精神和创新意识。

二、教学重点难点：教学重点：正弦定理的探索与发现。

教学难点：正弦定理证明及简单应用。

三、教学策略“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，在教师的启发引导下，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，结合现代多媒体教学手段，通过观猜想—验证--发现--证明--应用等环节逐步得到深化，体验数学知识的内在联系，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，逐步培养学生探索精神和创新意识。

四、教学过程探寻特例提出猜想1、回顾直角三角形中边角关系.引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解.利用c边相同，寻求形式的和谐统一发现在直角三角形中根据学生认知规律，由特殊三角形入手，让学生经历由特殊到一般的发现过程，从而体验数学的探索过程，激发了学生探究欲，突显了学生的主体地位。

2、问题1、发现对于锐角、钝角三角形成立吗？学生思考交流。

3、个例验证发现将两个全等的30°、60°的直角三角形，拼在一起验证.4、提出猜想：学生大胆猜想：对于直角、锐角、钝角三角形发现均成立。

逻辑推理证明猜想1、多媒体课件验证猜想。

（任意改变三角形形状，由计算机算出各边与对角正弦值的比，观察是否相等）教师演示，学生观察。

通过多媒体验证，学生从感性认识猜想的正确性。

2、问题2：你能通过严格的推理证明猜想吗？学生合作交流，探索证明方法。

新人教A版必修5高中数学第一章1.1.1正弦定理(一)导学案

1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案 A解析由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C解析由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°. ∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．解 a ＝23，b ＝6，a b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．解在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：。

高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理导学案新人教A版必修5

1.1.1 正弦定理自主学习（知识梳理）1．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．2．在Rt△ABC 中，C ＝90°，则有：(1)A ＋B ＝________，0°<A <90°，0°<B <90°；(2)a 2＋b 2＝________(勾股定理)；(3)sin A ＝____________，cos A ＝____________，tan A ＝__________，sin B ＝________，cos B ＝________，tan B ＝________；(4)a sin A ＝________，b sin B ＝________，csin C＝________. 3．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________，这个比值是________________________．合作探究（重难点突破）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 及对应的三边a 、b 、c ，试用向量法证明正弦定理．知识点一已知两角和一边解三角形例1 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，解三角形．总结已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量，其中至少有一个是边，可以求解其余的三个量．变式训练1 在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．3.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；4.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；5.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；教学重点1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．知识点二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．总结已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．变式训练2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c 等于( )A．1 B．2 C.3－1 D. 3知识点三已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)c＝50，b＝72，C＝135°.总结已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大角定理，也可作图判断．变式训练3 不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝7，b＝14，A＝30°；(2)a＝30，b＝25，A＝150°；(3)a ＝7，b ＝9，A ＝45°.1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，当堂检测（训练达标）一、选择题1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．b sinC ＝c sin AC ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A2．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则这个三角形解的情况是( )A ．有两个解B ．有一个解C ．无解D ．不能确定3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3234．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°5．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°C ．6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，∠B ＝60°，则C ＝________.7．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝__________.8．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是______________．三、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？10．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，求a b的取值范围．本课小结（学生自己总结例如收获与反思）1．1.1 正弦定理答案知识梳理1．元素解三角形2．90° (2)c 2 (3)a c b c a b b ca cb a(4)c c c 3.a sin A ＝b sin B ＝c sin C三角形外接圆的直径2R 自主探究证明 (1)若△ABC 为直角三角形，不妨设C 为直角．如图所示，根据正弦函数的定义，a c ＝sin A ，b c＝sin B ，所以a sin A ＝b sin B＝c ＝2R(2R 为外接圆直径)． ∵C＝90°，∴sin C ＝1，c sin C＝c ＝2R. ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R. (2)若△ABC 为锐角三角形，过A 点作单位向量i ⊥AC →，则有：i ·AB →＝i ·(CB →－CA →)＝i ·CB →－i ·CA →，∵i ⊥AC →，∴i ·CA →＝0，∴i ·AB →＝i ·CB →，即c cos(90°－A )＝a cos(90°－C )，∴c sin A ＝a sin C ，∴a sin A ＝c sin C. 同理可证：a sin A ＝b sin B ；b sin B ＝c sinC . ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (3)若△ABC 为钝角三角形，可仿(2)证明．综上，a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 对点讲练例1 解由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52； c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·＋sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．变式训练1 解 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 例2 解 a ＝23，b ＝6，a b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.变式训练2 B [由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得3sin 60°＝1sin B， ∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.]例3 解 (1)sin B ＝b a sin 120°＝45×32<32，所以三角形有一解． (2)sin B ＝b a sin 60°＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°sin C ＝22，所以B >45°，所以B ＋C >180°，故三角形无解．变式训练3 解 (1)A ＝30°，a ＝b sin A ，故三角形有一解．(2)A ＝150°>90°，a ＝30>b ＝25，故三角形有一解．(3)A ＝45°，b sin 45°<a b，A 为钝角，所有只有一个解．]3．C [方法一根据三角形内角和定理，A ＝180°－(B ＋C )＝45°.根据正弦定理，b ＝a sin B sin A＝8sin 60°sin 45°＝4 6.方法二如图，过点C 作CD ⊥AB ，由条件可知A ＝45°，而由CD ＝a sin 60°＝b sin 45°，得b ＝4 6.]4．A [∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C ) ＝3sin(30°＋C )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0，π)，∴C ＝120°.]5．D [对于A ，由三角形的正弦定理知其只有一解；对于B ，∵a >b ，即A >B ，且A ＝150°，∴只有一解；对于C ，a <b ，即A <B ，且A ＝98°，∴无解．]6．75°解析由正弦定理2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角，∴A ＝45°.∴C ＝75°.7．30°解析 b ＝2a ⇒sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 8．2<x <2 2 解析因三角形有两解，所以a sin B 2a ，b >43时，无解；当a ≥b 或a ＝b sin A ，即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解．10．解在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故所求的范围是(2，3)．。

高中数学 1.1正弦定理(1)学案新人教A版必修5

高中数学 1.1正弦定理（1）学案新人教A 版必修5【学习目标】1. 理解正弦定理的推理过程；2. 掌握正弦定理的内容；3. 能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。

【学习重点：正弦定理的应用（学习难点）：正弦定理的推导预习案Ⅰ。

教材助读：1. 三角形的内角和定理=++C B A ____2. 在B A,b a,∠∠∆分别为中，已知ABC 所对的边，若a>b 则3. 在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则sinA=_______, sinB=________,又因为 sinC=1，,所以： = = .4．若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =，sin AD C b =，所以即sin sin b c B C =．同sin sin c B b C =理可得sin sin a c A C =，所以= = 。

．5. 正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的相等，正弦定理的数学表达式 6. 一般地,把三角形的三个角和它们的分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .Ⅱ。

预习自测已知在△ABC 中，∠ A=45○，∠C=30○，c=10,求a 的值。

探究案学始于疑——我思考，我收获探究点一【问题1】在锐角三角形ABC 中，有sin sin sin a b c A B C ==？【问题2】在钝角三角形ABC 中，有sin sin sin a b c A B C ==？【问题3】正弦定理是否实用任意三角形？【拓展提升】探究题型1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角例1 已知在B b aC A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆探究题型2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角例2 在CA a cB b ABC ,,1,60,30和求中，===∆Ⅱ归纳总结利用正弦定理可以解决两类三角形的问题(1) 已知两角和任意一边，求其他两边和一角(2) 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角Ⅲ.当堂检测——有效训练、反复矫正1．在ABC ∆中，若14,6760===a b B ，，则∠A= 。

(新课标)2019高中数学-1.1.1正弦定理教学设计-新人教A版必修5

(新课标)2019高中数学-1.1.1正弦定理教学设计-新人教A版必修5人教版高中数学必修精品教学资料1.1.1 正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系,与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较,由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联CcB b A a sin sin sin ==. 师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆,在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等,来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题,我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°,∠C =∠B′,∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=. ∴R Cc2sin =. 同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==.∴R Cc B b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==. 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.[知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C osθ,其中θ为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化.师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得AB CB AC =+而添加垂直于AC 的单位向量j 是关键,为了产生j 与AB、AC 、CB 的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程:(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j与CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)(由分配律可得AB j CB j AC •=•+.∴|j|ACCo s90°+|j|CBCo s(90°-C )=|j|ABCo s(90°-A ).∴A sin C =C sin A .∴CcA a sin sin =.另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角为90°-C ,j与AB 的夹角为90°-B )∴CcB b A a sin sin sin ==. (2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC垂直的单位向量j,则j 与AB的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .由AB CB AC =+,得j·AC+j ·CB =j·AB ,即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -90°),∴A sin C =C sin A .∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j,则j 与AC的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为90°+B .同理,可得C cB b sin sin =. ∴Cc B b simA a sin sin ==（形式1）. 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用.[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使A =ksin A ,B =ksin B ,C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式2). 我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. ①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边,如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题.②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.［例题剖析］【例1】在△ABC 中,已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理,C =180°-(A +B )=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;根据正弦定理,b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(c m); c =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c m).[方法引导](1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC 中,已知A =20c m,B =28c m,A =40°,解三角形（角度精确到1°,边长精确到 1c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解：根据正弦定理,sin B =2040sin 28sin oa Ab =≈0.899 9. 因为0°＜B ＜180°,所以B ≈64°或B ≈116°.（1）当B ≈64°时,C =180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°,C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c m).（2）当B ≈116°时,C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°,C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c m). [方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角.∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =≈0.513 1, ∴B ≈31°.∴C =180°-(A +B )=180°-(38°+31°)=111°.∴C =oo A C a 38sin 111sin 60sin sin =≈91.[方法引导]同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解.变式二：在△ABC 中,已知A ＝28,B ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形.解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =≈0.618 6,∴B ≈38°或B ≈142°(舍去).∴C =180°-（A +B ）=22°.∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导](1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解.师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字), (1)已知C =3,A =45°,B =60°,求B ; (2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A .解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°,CcB b sin sin =, ∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c ≈1.6.(2)∵BbA a sin sin =, ∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b ≈6.9. 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1):(1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A =45°;(3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A =120°.解： (1) ∵B bA a sin sin =. ∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a ≈0.909 1. ∴A 1≈65°,A 2≈115°.当A 1≈65°时,C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°,∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b ≈22. 当A 2≈115°时,C 2=180°-(B +A 2)=180°-(30°+115°)=35°,∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b ≈13. (2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a Ab ≈0.505 1, ∴B 1≈30°,B 2≈150°.由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角).∴C =180°-(45°+30°)=105°.∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a ≈38. (3)∵CcB b sin sin =, ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b ≈0.654 6. ∴B 1≈41°,B 2≈139°.由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去.∴当B =41°时,A =180°-(41°+115°)=24°,A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c ≈24. (4) sin B =20120sin 28sin ︒=a Ab =1.212＞1. ∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形.布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题.（二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲](1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.(2)余弦定理如何与向量产生联系.(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理1.正弦定理:2.证明方法:3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法(1)已知两角和一边(2)向量法(2)已知两边和其中一边的对角习题详解（课本第5页练习）1.解：（1）∵B b A aC c sin sin sin ==,∴a =︒︒=30sin 45sin 10sin sin C A c ≈14. B =180°-A -C =105°,∴b =︒︒=30sin 105sin 10sin sin C B c ≈19. （2）C =180°-A -B =180°-60°-45°=75°,∵B bA a C c sin sin sin ==, ∴a =︒︒=75sin 60sin 20sin sin C A c ≈18, b =︒︒=•75sin 45sin 20sin sin C B c ≈15. 2.解：（1）∵C cB b A a sin sin sin ==, ∴sin A =11101130sin 20sin =︒=b B a .又0°＜A ＜180°,∴A ≈65°或A ≈115°.①当A ≈65°时,C =180°-A -B =180°-65°-30°=85°,c =︒︒=30sin 85sin 11sin sin B C b ≈22. ②当A ≈115°时,C =180°-115°-30°=35°,c =︒︒=30sin 35sin 11sin sin B C b ≈13. (2)∵C c B b A a sin sin sin ==,∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b ≈0.007 2. 又B 为锐角,∴B ≈41°,A ≈24°,∴A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c ≈24.备课资料一、知识总结1.判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形,这类问题分为一解、二解和无解三种情况.一方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函数的有界性进行分析. 设已知A 、B 、A ,则利用正弦定理aAb B sin sin =, 如果sin B ＞1,则问题无解. 如果sin B ＝1,则问题有一解;如果求出的sin B ＜1,则可得B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断. 2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC ,设BC ＝A , CA ＝B ,AB ＝C ,作AD ⊥BC ,垂足为D .则Rt△ADB 中,ABADB =sin , ∴AD =AB ·sin B =c sin B .∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•. 同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21sin 21=.∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 21sin 21sin 21==.∴ab sin c =bc sin A =ac sin B ,在等式两端同除以ABC ,可得bBa A c C sin sin sin ==. 即Cc B b A a sin sin sin ==.3.利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成A =2Rsin A ,B =2Rsin B ,C =2Rsin C 或sin A =RcC R b B R a 2sin ,2sin ,2==.（R 为△ABC 外接圆半径）这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用.二、典型例题1．若△ABC 中(A 2+B 2)sin(A -B )=(A 2-B 2)sin C ,则△ABC 是（）A.等腰三角形B.直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形分析:运用正弦定理A =2Rsin A ,B =2Rsin B 以及结论sin 2A -sin 2B =sin(A +B )sin(A -B ),由（A 2+ B 2）sin(A -B ) = (A 2- B 2)sin C ,∴(sin 2A +sin 2B )sin(A -B ) =(sin 2A -sin 2B )sinC =sin(A +B )·sin(A -B )·sin C .若sin(A -B )= 0,则 A = B .若sin(A -B )≠0,则sin 2A +sin 2B =sin 2CA 2+B 2=C 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案选D .2.在△ABC 中,A =45°,B ∶C = 4∶5,最大边长为10,求角B 、C ,外接圆半径及面积S.分析：由A +B +C =180°及B ∶C =4∶5,可得B =4K,C =5K,则9K=135°,故K=15°.那么B =60°,C =75°.由正弦定理)26(575sin 210-=︒=R ,由面积公式32575sin sin 221sin 21-=••=•=A B R c A bc S .点评：求面积时B 未知但可转化为B =2Rsin B ,从而解决问题.3.在△ABC 中,已知A =30°,A 、B 分别为角A 、B 对边,且A =4,B =43,解此三角形.分析：由正弦定理知23sin sin 3430sin 4sin sin =⇒=︒⇒=B B B b A a . 那么B 1=60°,C 1=90°,C 1=8或B 2=120°,C 2=30°,C 2=4.点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角,如图可以看出满足条件的三角形有2个.4.已知△ABC 的三个内角成等差数列并且t a n A ·t a n C =2+3,（1）求A 、B 、C 的度数;（2）若AB 边上的高CD =43,求三边A 、B 、C 的长．分析：（1）由2B =A +C ,得B =60°,则A +C =120°,32cos cos sin sin 32tan tan +=••⇒+=•CA CA C A .即(2+3)CO s A ·CO s C -sin A ·sin C =0⇒(1+3)CO s A ·CO s C + (CO s A ·CO s C -sin A ·sin C )=0 ⇒(1+3)·21［CO s(A +C )+CO s(A -C )］+CO s(A +C )=0 ⇒231+［-21+CO s(A -C )］+CO s(A +C )=0.∴CO s(A -C )=23. 得|A -C |=30°.又∵A +C =120°.∴A =45°,C =75°或A =75°,C =45°.（2）如图,若A ＜B ＜C ,由正弦定理得A =8,B =46,C =BCO s A +ACO s B =4(3+1).同理,若A ＞B ＞C 时,则A =4(3+1),B =46,,C =8.点评：这类具有一定综合性的题目,恒等变形有一定的技巧.由三个角成等差得A +C =120°,恒等变形的目标就是寻找A 与C 的关系,用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化．此题还可以由t a n A ·t a n C =2+3求出t a n A +t a n C =3+3,运用韦达定理解出t a n A 和t a n C ,这对综合能力的训练大有益处．。

高中数学1.1.1正弦定理学案1新人教A版必修5

1.1.1 正弦定理(1) 【学习目标】 1．通过对直角三角形边角间数量关系的研究,发现正弦定理. 2．能够利用向量方式证明正弦定理,并运用正弦定理解决两类解三角形的简单问题.【重点难点】1．重点:正弦定理的发现,证明及其简单应用.2．难点:正弦定理的应用.【学习进程】一、自主学习：任务1:在直角三角形中三角形的边与角之间有什么数量关系呢?__________________________________________________.任务2:在问题1中发现的关系式对一般的三角形是不是成立呢?正弦定理:_________________________.二、合作探讨归纳展示探讨1：在初中，咱们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a ，AC=b ，AB=c ，按照锐角三角函数中正弦函数的概念，有sin a A c =，sin b B c=，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．探讨2：那么对于任意的三角形，以上关系式是不是仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，按照任意角三角函数的概念，有CD=sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=，同理可得sin sin c b C B=，从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你推试导.三、讨论交流点拨提升在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=． [理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C．（3）正弦定理的大体作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的进程叫作解三角形．例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆==中，求和．四、学能展示课堂闯关知识拓展sin sin a b A B =2sin c R C==，其中2R 为外接圆直径1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能肯定4. 已知∆ABC 中，3:2:1sin :sin :sin =C B A ，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中， A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ．五、学后反思1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方式：①三角函数的概念，②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．【课后作业】1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．。

高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理(一)学案新人教A版必修5

1．1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理 1．正弦定理的表示2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径． (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C. (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B . 3．正弦定理的证明(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义： sin A ＝a c ，sin B ＝b c，∴c ＝asin A ＝b sin B ＝c sin 90°＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C． (2)在锐角三角形ABC 中，设AB 边上的高为CD ，如图，CD ＝a sin__B ＝b sin__A ，∴a sin A ＝bsin B，同理，作AC 边上的高BE ，可得a sin A ＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.(3)在钝角三角形ABC 中，C 为钝角，如图，过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD ＝a sin(π－C )＝a sin__C ，BD ＝c sin__A ，故有a sin C ＝c sin__A ，∴a sin A ＝csin C，同理，a sin A ＝b sin B ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.思考下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝BC ∶AC ∶AB .其中正确的个数有( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确．故选B. 知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考正弦定理能解决哪些问题？答案利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．题型一对正弦定理的理解例1 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC B ．a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．正弦值较大的角所对的边也较大答案 B解析在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误．根据比例式的性质易得C 正确．大边对大角，故D 正确．反思与感悟 (1)定理的内容：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，在运用正弦定理进行判断时，要灵活使用定理的各种变形． (2)如果a b ＝c d，那么a ＋b b ＝c ＋dd (b ，d ≠0)(合比定理)； a －b b ＝c －d d (b ，d ≠0)(分比定理)； a ＋b a －b ＝c ＋d c －d(a >b ，c >d )(合分比定理)；可以推广为：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ，那么a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n.跟踪训练1 在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin A D ．a ≥b sin A 答案 D解析在△ABC 中，B ∈(0，π)，∴sin B ∈(0，1]， ∴1sin B≥1，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a ＝b sin Asin B≥b sin A .题型二用正弦定理解三角形例2 (1)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． (2)在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形．解 (1)∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，由asin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，∴b ＝c sin B sin C ＝c sin （A ＋C ）sin C ＝10×sin 75°sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6. (2)∵a sin A ＝csin C ， ∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.反思与感悟 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法．首先由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，再由正弦定理可计算出三角形的另两边．(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法．首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．跟踪训练2 (1)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D ．4(2)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝______．答案 (1)C (2)105°或15° 解析 (1)易知A ＝45°，由a sin A ＝bsin B得 b ＝a sin Bsin A ＝8·3222＝4 6.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22. ∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°. 题型三判断三角形的形状例3 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．解由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理得sin 2A sinB cos B ＝sin 2B sin Acos A.∵sin A 、sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B . 即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B . ∴A ＋B ＝π2或A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．反思与感悟 (1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如a b ＝sin A sin B等．跟踪训练3 在△ABC 中，b sin B ＝c sin C 且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．解由b sin B ＝c sin C ，得b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形．1．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．a sin C ＝c sin A 答案 D解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin C ＝c sin A .2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30° 答案 C解析由a sin A ＝bsin B 得sin A ＝a sin Bb＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°.又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°.3．在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 D解析在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，又∵sin B ≠0，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则△ABC是( ) A ．等边三角形B ．直角三角形，且有一个角是30°C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形，且有一个角是30° 答案 C解析由题a cos B ＝b sin A ，又由正弦定理a sin B ＝b sin A ， ∴sin B ＝cos B ，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°. 同理C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形．5．在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________．答案 1解析由a sin A ＝csin C得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12，又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6.所以b c ＝sin Bsin C ＝sinπ6sinπ6＝1.6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______，a ＝________．答案255210 解析由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255，∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.1.正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sinC (k >0)．2．正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．。

高中数学 1.1.1正弦定理导学案导学案新人教A版必修5

1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理预习案【学习目标】1．掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形,培养学生应用能力. 2．学会运用正弦定理解三角形的方法，领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用. 3．引导学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，并以更加饱满的激情投入到学习中去.【重点】：正弦定理及其推导过程，正弦定理的简单应用. 【难点】：正弦定理的推导及应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握正弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若A>B,则a b,反之，若a>b,则A B 。

2.三角形内角和定理是：。

勾股定理的内容是：Rt △ABC 中，若a,b 为直角边，c 为斜边，则。

3.三角形面积公式：。

Ⅱ.教材助读1. 在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，则sinA= ,cosA= ,tanA= .2. 正弦定理：_________sin ==Aa，观察正弦定理的结构，它有什么特点？ 3. 正弦定理文字语言叙述为：。

4．一般地，把三角形的和它们的叫做三角形的元素。

已知三角形的求的过程叫做解三角形。

5．应用正弦定理解三角形可分为两类：（1）已知三角形的与一边，求其他的边和角；（2）已知三角形的与其中一边的对角，求其他的边和角。

【预习自测】1. 正弦定理适用的范围是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 在△ABC 中一定成立的等式是（）A ．asinA=bsinB B. acosA=bcosB C. asinB=bsinA D. acosB=bcosA 3. 在△ABC 中，.___,30,10,105=︒==︒=b C c A 则 4．在△ABC 中，.____,30,8,4=︒===B A b a 则【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：利用构造三角形外接圆，证明正弦定理；正弦定理中的比值实际上是一个什么样的数？探究二：正弦定理有哪几种变式?探究三：证明C ab S ABC sin 21=∆，除此之外，你还有其他的结果吗？【归纳总结】1.正弦定理适用于三角形.2.可以证明 = = = =2R （R 为△ABC 的外接圆半径）.3.正弦定理的三个等式：，，，每个式子中有个量, 如果知道其中个可以求出（知三求一）.4.正弦定理可解决两类问题：（1） ; （2）。

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)导学案新人教A版必修

1.1.1 正弦定理(一)教学目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1.1.1正弦定理（一）》课件“情景引入”部分，让学生与大家分享自己对正弦定理的了解。

通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.二、自主学习1.a sin A＝______________＝______________＝2R (其中R 是________________________)；提示：b sin Bc sin C △ABC 外接圆的半径 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ； 3．sin A ＝a 2R，sin B ＝________________，sin C ＝____________________. 提示：b 2R c 2R4.一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．提示：元素解三角形三、合作探究探究点1：正弦定理的证明问题1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A 、b sin B 、c sin C各自等于什么？提示：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 问题2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C还成立吗？课本是如何说明的？提示：在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C仍然成立，课本采用边AB 上的高CD ＝b sin A ＝a sin B 来证明．例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．证明如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CD b＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A ) ＝sin A ，CD a＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B .∴a sin A ＝b sin B. 同理，b sin B ＝c sin C . 故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 名师点评：(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝b sin B，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．探究点2：用正弦定理解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝32.0°，B ＝81.8°，a ＝，解三角形．解根据三角形内角和定理，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；根据正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．名师点评：(1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．探究点3：边角互化例3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0. 证明由正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，k >0.代入得：左边＝k (sin A sin B －sin A sin C ＋sin B sin C －sin B sin A ＋sin C sin A －sin C sin B )＝0＝右边，所以等式成立．例4 在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．解设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b .由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2 3. ∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋23sin B ＋23⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B ＝3＋33sin B ＋3cos B＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， ∴当B ＝π3时，△ABC 的周长有最大值9. 名师点评：利用a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 或正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．四、当堂检测1.在△ABC 中，一定成立的等式是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________. 提示：1．C5 4.π3或2π3五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1.定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)．2.正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．六、课例点评本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A 版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。

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第1课时正弦定理(1)学习目标：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)．[自主预习·探新知]1．正弦定理思考：如图111，在Rt△ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C各自等于什么？图111[提示]a sin A ＝b sin B ＝csin C＝c . 2．解三角形(1)一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？ [提示] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．[基础自测]1．思考辨析(1)正弦定理只适用于锐角三角形．( ) (2)正弦定理不适用于直角三角形．( )(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√提示：正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．【导学号：91432000】23 [由正弦定理得：32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝32×sin 45°sin 60°＝2 3.]3．在△ABC 中，A ＝45°，c ＝2，则AC 边上的高等于______________． 2 [AC 边上的高为AB sin A ＝c sin A ＝2sin 45°＝ 2.] 4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C ＝________.【导学号：91432001】π2 [由正弦定理得：3sinπ3＝3sin B ，所以sin B ＝12. 又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π2.][合作探究·攻重难]定理证明在钝角△ABC 中，证明正弦定理．[证明] 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CD b ＝sin∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CDa＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C. 故a sin A ＝b sin B ＝csin C.1．如图112，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，证明asin A＝2R . 【导学号：91432002】图112[证明] 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角∠A ′＝∠A . ∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BCA ′B ＝a 2R，∴sin A ＝a 2R ，即asin A＝2R .用正弦定理解三角形已知△ABC 中，a ＝10，A ＝30°，C ＝45°，求角B ，边b ，c . 思路探究：①角A ，B ，C 满足什么关系？ ②105°可拆分成哪两个特殊角的和？ ③由正弦定理如何求得b ，c 的值？ [解] ∵A ＝30°，C ＝45°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，又由正弦定理得：c ＝a sin Csin A＝10 2. b ＝a sin B sin A ＝10·sin 105°sin 30°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)．∴B ＝105°，b ＝5(6＋2)，c ＝10 2.2．已知∠B ＝30°，b ＝2，c ＝2，求A 、C 、a .【导学号：91432003】[解] 由正弦定理得：sin C ＝c ·sin B b ＝2sin 30°2＝22， ∵c >b,0°<C <180°， ∴C ＝45°或135°. 当C ＝45°时，A ＝105°，a ＝b sin A sin B ＝2sin 105°sin 30°＝3＋1，当C ＝135°时，A ＝15°，a ＝b sin A sin B ＝2sin 15°sin 30°＝3－1.三角形形状的判断[探究问题]1．已知△ABC 的外接圆O 的直径长为2R ，试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定理．提示：如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°，∠BAC ＝∠BDC ，在Rt△BCD 中，BC ＝BD ·sin∠BDC ，所以a ＝2R sin A ，即a sin A ＝2R ，同理b sin B＝2R ，csin C＝2R ，所以a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . 2．由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，csin C＝2R 可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？提示：由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，c sin C ＝2R 可以得到的变形：sin A ＝a 2R ，a ＝2R sin A ；sin B ＝b2R ，b ＝2R sin B ；sin C ＝c2R，c ＝2R sin C ．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.【导学号：91432004】思路探究：解决本题的关键是利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 把sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角A ，然后再利用sin A ＝2sin B cos C 求解．[解] 法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴A 是直角，B ＋C ＝90°，∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B )＝2sin 2B ＝sin A ＝1， ∴sin B ＝22. ∵0°<B <90°，∴B ＝45°，C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角．∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0.又－90°<B －C <90°，∴B －C ＝0，∴B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．母题探究：(变条件)将本例题条件“sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ”改为“b ＝a cos C ”其它条件不变，试判断△ABC 的形状．[解] ∵b ＝a cos C ，由正弦定理，得sin B ＝sin A cos C ． (*) ∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin B ＝sin(A ＋C )，从而(*)式变为 sin(A ＋C )＝sin A cos C . ∴cos A sin C ＝0. 又∵A ，C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．1．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin AD [由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin C ＝c sin A ．]2．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则有( )【导学号：91432005】A ．a <bB ．a ≥bC ．a >bD ．a ，b 的大小无法判定C [因为a sin A ＝b sin B ，所以a b ＝sin Asin B.因为在△ABC 中，sin A >sin B >0，所以a b ＝sin Asin B>1，所以a >b .]3．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．不等边三角形B [由正弦定理知c ＝2R sinC ，a ＝2R sin A ，故sin C ＝2sin A cos B ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin A cos B ＝cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，所以A ＝B . 故△ABC 为等腰三角形．]4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )【导学号：91432006】A ．135°B ．90°C ．45°D ．30° C [由a sin A ＝bsin B得sin A ＝a sin Bb＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°. 又∵a b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.。

2019高中数学 第一章 1.1.1 第1课时 正弦定理(1)学案 新人教A版必修5

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