高考正弦定理和余弦定理练习题及答案
第04讲 正弦定理和余弦定理 (精练)(含答案解析)
第04讲正弦定理和余弦定理(精练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第04讲正弦定理和余弦定理(精练）一、单选题（2022·全国·高三专题练习）1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c +<，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形（2022·江苏·高一课时练习）2．已知正三角形的边长为2，则该三角形的面积（）A ．4BC D ．1（2022·江苏·高一课时练习）3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45,30,6A C c === ，则a 等于()A ．B ．C ．D ．（2022·河南·高二阶段练习（文））4．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2AB =，5CD =，6BC =，则CAD ∠=（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒（2022·江苏·南京市第九中学高一期中）5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD ＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94，则△ABC 的面积为（）A ．94B C ．134D ．4（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）6．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin cos c A C =，c =，18ab =，则a b +的值是（）A ．B ．C ．9D ．11（2022·重庆八中高一期中）7．如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，则ACD 的面积为（）A ．6B ．2C ．6D ．6（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）8．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯ ．可知a b ⨯是一个向量，它的模为||||||sin a b a b θ⨯=⋅．已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,3a b c A π=，)22||896BA BC b a ⨯=- ，则cos B =（）A B ．C ．7-D 二、多选题（2022·山东淄博·高一期中）9．在ABC 中，如下判断正确的是（）A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC 为等腰三角形B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >D ．若sin sin A B >，则A B>10．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A ．sin sin sin +=+a b cA B CB ．若A B >，则sin 2sin 2A B >C ．cos cos c a B b A =+D ．若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形（2022·山东菏泽·高一期中）11．在ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD，cos CDB ∠=则（）A．sin CDB ∠B ．△DBC 的面积为3C ．ABC的周长为8+D ．ABC 为钝角三角形三、填空题（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））12．已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，且AD 为BAC ∠的角平分线，若3BAC π∠=，AD =，则4b c +最小值为___________.（2022·全国·高三专题练习）13．一艘渔船航行到A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°，距离为C 在A 的北偏西45°，距离为海里，该船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东45°方向，则CD =______海里.四、解答题（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）14．如图，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos 2b A c a =-.(1)求角B ；(2)若2sin sinC sin A B ⋅=，2AD CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.（2022·宁夏·平罗中学三模（文））15．已知函数()f x m n =⋅ ，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =- ，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a cb +的最大值.（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））16．在锐角ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,,4,sin 4a b c a b A ===.(1)求sin C 的值；(2)点,D E 分别在边,AB AC 上，ABC 的面积是ADE V 面积的2倍.求DE 的最小值.参考答案：1．D【分析】根据余弦定理，得到cos 0C <，求得(,)2C ππ∈，即可求解.【详解】因为222a b c +<，由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，又由(0,)C π∈，所以(,)2C ππ∈，所以ABC 是钝角三角形.故选：D.2．B【分析】由三角形面积公式可求出.【详解】根据三角形面积公式可得该三角形的面积为122sin 602⨯⨯⨯︒=故选：B.3．B【分析】根据正弦定理即可求解﹒【详解】由正弦定理得sin sin a c A C ＝，∴66sin4521sin302a＝＝＝故选：B ﹒4．B【分析】先求出22,AC AD ,再利用余弦定理求解.【详解】因为2226240AC =+=，2226(52)45AD =+-=，在ACD 中，由余弦定理得222cos 22AD AC CD CAD AD AC +-∠==⋅，又因为0180CAD ︒<∠<︒，所以45CAD ∠=︒.故选：B.5．D【分析】设小正三角形边长为x ，由面积比求得x ，再计算出小正三角形面积可得大正三角形面积．【详解】设DE x =，则211sin 1(1)sin12013224ABD DEFBD AD ADB x S x S x ⋅∠⨯⨯+︒+==!!，解得2x =（23-舍去），所以224DEF S ==!，94ABCS ==!故选：D ．6．C【分析】由条件sin cos c A C =结合正弦定理可求C ，再结合余弦定理求a b +.【详解】∵sin cos c A C =，∴sin sin cos C A A C =，又(0,)A π∈，sin 0A ≠，∴tan C =(0,)C π∈，∴3C π=，又2222cos c a b ab C =+-，c =18ab =，∴222718a b =+-，∴222()281a b a b ab +=++=，∴9a b +=，故选：C.7．C【分析】先在ABC 利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD 、CD ，再利用三角形的面积公式进行求解.【详解】在ABC 中，因为4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，所以由余弦定理，得AC =由正弦定理，得=sin sin 603AC BD ABC ==∠；在Rt △ABD 和Rt BCD中，3AD ===3CD ===，又180120ADC ABC ∠=-∠= ，所以ACD 的面积为123326S =⨯⨯⨯=.故选：C.8．B【分析】根据新定义及三角的面积公式可化为()22182129sin b a bc A -=，再由余弦定理转化为关于,b c 的方程，得出3b c =，再由余弦定理求出cos B 即可.【详解】因为()22||896BA BC b a ⨯=-，所以)221sin 289ac b a B -=,即)2289△ABC S b a -=,)221829sin b a A -=,由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-，代入上式得，22289()b b c bc ⎤-+-=⎦，化简得22690-+=b bc c ，即2(3)0-=b c ，3b c ∴=，此时.a ==22214cos 2a c b B ac +-∴-==.故选：B 9．BCD【分析】选项A.由题意可得22A B =或22A B π+=，从而可判断；选项B.若A B >,则a b >，由正弦定理可判断；选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>，即所以022A B ππ>>->，由正弦函数的单调性可判断；选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，从而可判断.【详解】选项A.在ABC 中,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22A B π+=所以A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰或直角三角形.故A 不正确.选项B.在ABC 中,若A B >,则a b >，由正弦定理可得2sin 2sin R A R B >,即sin sin A B >，故B 正确.选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>所以022A B ππ>>->，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,故C 正确.选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，即a b >，所以A B >，故D 正确.故选：BCD 10．ACD【解析】利用正弦定理以及边角互化可判断A 、B 、C ，利用向量数量积可判断D.【详解】对于A ，由sin sin sin sin sin a b c b cA B C B C+===+，故A 正确；对于B ，若A B >，当120A =o ，30B = 时，则sin 2sin 2A B <，故B 不正确；对于C ，()cos cos sin sin cos sin cos sin sin c a B b A C A B B A A B C =+⇒=+=+=，故C 正确；对于D ，由0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，可得BAC ∠的角平分线与BC 垂直，所以ABC 为等腰三角形又12AB AC AB AC ⋅=，可得3BAC π∠=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确；故选：ACD 11．ABD【分析】由同角的三角函数关系即可判断A ，设CD a =，利用余弦定理及面积公式即可判断B ，利用余弦定理求得AC ，进而判断C ，利用余弦定理可判断D.【详解】因为cos CDB ∠=sin CDB ∠，故A 正确；设CD a =，则2BC a =，在BCD △中，2222cos BC CD BD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得a =，所以112sin 33225DBC S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯= ，故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠，所以()cos cos cos 5ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC △中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠，解得AC =所以ABC 的周长为()3584AB AC BC ++=+++，故C 错误；因为8AB =为最大边，所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅，即C 为钝角，所以ABC 为钝角三角形，故D 正确.故选：ABD.12．9【分析】第一步利用等面积法求出,b c 的关系式，再利用基本不等式求解即可.【详解】由题意画图如下：因为AD 为BAC ∠的角平分线，3BAC π∠=，ABC ABD ADC S S S =+ 所以111sin 60sin 30sin 30222AB AC AB AD AD AC ⋅︒=⋅︒+⋅︒化简得11111,,1222c c b bc b c b c⋅==++=利用基本不等式“1的代换”得()()1145+449154b c b c b c c b b c b c ⎛⎫++=+⨯=+=+≥+ ⎪⎝⎭故答案为：9.13．【分析】利用方位角求出B 的大小，利用正弦定理直接求解AD 的距离，直接利用余弦定理求出CD 的距离即可．【详解】如图，在△ABD 中，因为在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东45°方向上，所以B ＝180°−75°−45°＝60°由正弦定理sin sin AD ABB ADB=∠，所以sin 6s in AB BAD ADB==∠海里；在△ACD 中，AD ＝6，AC＝CAD ＝45°，由余弦定理可得：(222222cos 4563263182CD AD AC AD AC ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以CD＝故答案为：14．(1)π3B =(2)【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.（2）由余弦定理得到ABC 为等边三角形，在ADC △中，利用余弦定理表达出2=88cos x θ-，然后根据三角形面积公式即可求解.（1）由正弦定理得：2sin cos 2sin sin B A=C A ⋅-,所以()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A+A=A B A B A B⋅+=+即sin 2sin cos A=A B⋅()10,π,sin 0cos 2A AB ∈∴≠⇒= ,()π0,π3B B ∈∴=（2）由2sin sin sin A C =B ⋅2b =ac∴由余弦定理得222222222cos b a c ac B a c ac a c b =+-=+-=+-，222+2a c =b ∴()222222+2+20a c =a c ac =a cb =∴---a c∴=ABC ∴ 为等边三角形，设=AC =x ADC θ∠，，在ADC △中，24+4cos 222x =θ-⨯⨯，解得2=88cos x θ-2++2sin 88cos +2sin ABC ACD ABCD S =S S ==θθθ- 四边形）π4sin3=θ-（）当ππ=32θ-，即5π6=θ时，S 有最大值15．(1)3A π=(2)【分析】（1）利用平面向量数量积运算法则和恒等变换公式化简函数()f x 的解析式，然后求解即可，要注意角A 的取值范围；（2）利用余弦定理和基本不等式求解即可.（1）由题()22cos sin cos 2sin 26f x m n x x x x x π⎛⎫=⋅=-+=+ ⎪⎝⎭所以()2sin 216f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得：223b c bc =+-，整理得到()()()2222133324b c b c bc b c b c 骣+琪=+-³+-´=+琪桫解得b c +≤b c ==等号成立.故c b +的最大值为16．(1)4(2)【分析】（1）根据题意1cos 4A =，进而结合正弦定理得sin B =cos B =()sin sin C A B =+求解即可；（2）结合（1）得4c b ==，进而根据面积关系得8AD AE ⋅=，最后结合基本不等式与余弦定理得212DE ≥，进而得答案.(1)解：ABC是锐角三角形，1sin cos 44A A =∴=.在ABC中，4a b ==，由正弦定理得4sin sin b A B a ==，cos 4B ∴=.()C A B =π-+ ，()1sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B ∴=+=+=⨯(2)解：由（1）知，sin sin ,4B C c b =∴==.由题意得1sin 1622,81sin 2ABC ADE bc A S AD AE S AD AE AD AE A ==∴⋅=⋅⋅⋅ .由余弦定理得，222132cos 21222DE AD AE AD AE A AD AE AD AE AD AE =+-⋅≥⋅-⋅=⋅=，当且仅当AD AE ==“=”成立.所以DE的最小值为。
正弦定理和余弦定理及答案
Байду номын сангаас
, 即
2 ) 3
············· 12 分
12 3 sin sin( ) 3
2 6 3 cos(2 ) 3 3 (0 ) （下同） 3 3
15． （1）因为 (2a c)cos B b cos C ，所以 (2sin A sin C ) cos B sin B cos C ， 即 2sin A cos B sin C cos B sin B cos C sin(C B) sin A 而 （2）因为
17． （1）在 ABC中 ,由b 2 c 2 a 2 3bc, 得b 2 c 2 a 2 3bc ， 所以 cos A
b2 c2 a2 3 . 2bc 2
在ABC 中,因为0 A , 所以 A
又因为 sin A sin B cos 即 sin B 1 cos C.
16. ABC 的三边 a, b, c 满足关系： c 4 2 a 2 b 2 c 2 a 4 a 2b 2 b 4 0 ,角 C 为锐角. ⑴ 求 C 的度数； ⑵ 求函数式 sin A sin B及 sin A cos B 的取值范围.
17． 在△ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 b 2 c 2 a 2 （1）求角 A，B，C 的大小； （2）若 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ，求△ABC 的面积．
0 A 2 5 1 , A , sin A 1, 3 6 6 6 2 6
3 sin A sin B 3 . 2
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案一、选择题1. 已知△ABC中,a＝c＝2,A＝30°,则b＝A. 错误!B. 2错误!C. 3错误!D. 错误!＋1答案：B解析：∵a＝c＝2,∴A＝C＝30°,∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2错误!.2. △ABC中,a＝错误!,b＝错误!,sin B＝错误!,则符合条件的三角形有A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个答案：B解析：∵a sin B＝错误!,∴a sin B<b＝错误!<a＝错误!,∴符合条件的三角形有2个．3．2010·天津卷在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2－b2＝错误! bc,sin C＝2错误!sin B,则A＝A．30° B．60°C．120° D．150°答案：A解析：利用正弦定理,sin C＝2错误!sin B可化为c＝2错误!b.又∵a2－b2＝错误!bc,∴a2－b2＝错误!b×2错误!b＝6b2,即a2＝7b2,a＝错误!b.在△ABC中,cos A＝错误!＝错误!＝错误!,∴A＝30°.4．2010·湖南卷在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C＝120°,c＝错误!a,则A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案：A解析：由正弦定理,得错误!＝错误!,∴sin A＝错误!＝错误!>错误!.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为A. 错误!B. 错误!C. 错误!D. 错误!答案：D解析：方法一：设三角形的底边长为a,则周长为5a,∴腰长为2a,由余弦定理知cosα＝错误!＝错误!.方法二：如图,过点A作AD⊥BC于点D,则AC＝2a,CD＝错误!,∴sin错误!＝错误!,∴cosα＝1－2sin2错误!＝1－2×错误!＝错误!.6. 2010·泉州模拟△ABC中,AB＝错误!,AC＝1,∠B＝30°,则△ABC的面积等于A. 错误!B. 错误!C. 错误!或错误!D. 错误!或错误!答案：D解析：∵错误!＝错误!,∴sin C＝错误!·sin30°＝错误!.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时,A＝90°,S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!,当C＝120°时,A＝30°,S△ABC＝错误!×1×错误!sin30°＝错误!.即△ABC的面积为错误!或错误!.二、填空题7．在△ABC中,若b＝1,c＝错误!,∠C＝错误!,则a＝________.答案：1解析：由正弦定理错误!＝错误!,即错误!＝错误!,sin B＝错误!.又b<c,∴B＝错误!,∴A＝错误!.∴a＝1.8．2010·山东卷在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a＝错误!,b ＝2,sin B＋cos B＝错误!,则角A的大小为________．答案：错误!解析：∵sin B＋cos B＝错误!,∴sin B＋错误!＝1.又0<B<π,∴B＝错误!.由正弦定理,知错误!＝错误!,∴sin A＝错误!.又a<b,∴A<B,∴A＝错误!.9. 2010·课标全国卷在△ABC中,D为边BC上一点,BD＝错误!DC,∠ADB＝120°,AD＝2.若△ADC的面积为3－错误!,则∠BAC＝________.答案：60°解析：S△ADC＝错误!×2×DC×错误!＝3－错误!,解得DC＝2错误!－1,∴BD＝错误!－1,BC＝3错误!－1．在△ABD中,AB2＝4＋错误!－12－2×2×错误!－1×cos120°＝6,∴AB＝错误!.在△ACD中,AC2＝4＋2错误!－12－2×2×2错误!－1×cos60°＝24－12错误!,∴AC＝错误!错误!－1,则cos∠BAC＝错误!＝错误!＝错误!,∴∠BAC＝60°.三、解答题10. 如图,△OAB是等边三角形,∠AOC＝45°,OC＝错误!,A、B、C三点共线．1求sin∠BOC的值；2求线段BC的长．解：1∵△AOB是等边三角形,∠AOC＝45°,∴∠BOC＝45°＋60°,∴sin∠BOC＝sin45°＋60°＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝错误!.2在△OBC中,错误!＝错误!,∴BC＝sin∠BOC×错误!＝错误!×错误!＝1＋错误!.11. 2010·全国Ⅱ卷△ABC中,D为边BC上的一点,BD＝33,sin B＝错误!,cos ∠ADC＝错误!,求AD.解：由cos∠ADC＝错误!>0知B<错误!,由已知得cos B＝错误!,sin∠ADC＝错误!,从而sin∠BAD＝sin∠ADC－B＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.由正弦定理得错误!＝错误!,AD＝错误!＝错误!＝25.12. 2010·安徽卷设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sin2A＝sin错误!sin错误!＋sin2B.1求角A的值；2若错误!·错误!＝12,a＝2错误!,求b,c其中b<c．解：1因为sin2A＝错误!错误!＋sin2B＝错误!cos2B－错误!sin2B＋sin2B＝错误!,所以sin A＝±错误!.又A为锐角,所以A＝错误!.2由错误!·错误!＝12,可得cb cos A＝12.①由1知A＝错误!,所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cb cos A,将a＝2错误!及①代入,得c2＋b2＝52,③③＋②×2,得c＋b2＝100,所以c＋b＝10.因此c,b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由c>b知c＝6,b＝4.。
正弦定理和余弦定理专题试题及答案
正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 D ．24．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .726．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B . 2C . 3D ．37.在△ABC 中,若A=,B=,BC=3,则AC=( )A. B. C.2D.48.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=,则B= ( ) A.B. C. D.10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则 ( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定11．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC ＝的面积为________．12．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．13.△ABC 中,点D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (1)求.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB 的值. (2)若·=2,且b=2,求a 和c 的值.15．如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4.(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是ɑ，b ，c ，且b 2＝ɑc ＝ɑ2－c 2＋bc. (1)求bsin Bc的值； (2)试判断△ABC 的形状，并说明理由．正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：C2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定 解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：∵ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bcsin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：根据题意结合正弦定理， 得sin Bsin A ＝3sin Acos B. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ， 即sin B cos B ＝tan B ＝3，所以B ＝π3. 答案：C5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .72解析：由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72。
(完整版)正弦定理和余弦定理练习题
【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（ ） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。
正弦定理、余弦定理习题及答案
正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 15.B 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1. 2（-1） 2 3. 45° 4. 8 5.等腰三角形 6.：钝角三角形7. a=b sin A或b＜a8. 60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13. 120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)1.a=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶47.a=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.13.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3（2）C=45°,B=15°。
高中数学 专题4.6 正弦定理和余弦定理(讲+练)(原卷版+解析版)
专题4.6 正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识点一 正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：知识点二 三角函数关系和射影定理1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .考点一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】 【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5【举一反三】(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. ①求角B 的大小；②设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案
正弦定理、余弦定理综合训练题1．[2016·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．3[解析] D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( ) A.310 B.1010 C.55 D.31010[解析] D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sin π4＝3sin A，解得sin A ＝3×225＝31010. 3．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[解析] D 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b ·15，即b 2－125b 4．[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．[解析] 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝2113. －13＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 5．[2015·全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C.(1)若a ＝b ，求cos B;(2)若B ＝90°，且a ＝2， 求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，所以可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝2，所以△ABC 的面积为1.6．[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2D C.(1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC sin ∠CAD. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B. 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 8.[2016·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6[解析] C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A＝1，即A ＝π4. 9.[2015·广东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．22 C ．2 D. 3 [解析] C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c, 所以b ＝2.10.[2016·上海卷] 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 11.[2016·北京卷] 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________．[解析] 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得b c 2＋b c－2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．12.[2016·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值． 解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )． 又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.。
正弦定理、余弦定理综合训练题含答案
正弦定理、余弦定理综合训练题1．[2016·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．3[解析] D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( ) A.310 B.1010 C.55 D.31010[解析] D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sin π4＝3sin A，解得sin A ＝3×225＝31010. 3．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[解析] D 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b ·15，即b 2－125b 4．[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．[解析] 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝2113. －13＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 5．[2015·全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C.(1)若a ＝b ，求cos B;(2)若B ＝90°，且a ＝2， 求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，所以可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝2，所以△ABC 的面积为1.6．[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2D C.(1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC sin ∠CAD. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B. 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 8.[2016·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6[解析] C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A＝1，即A ＝π4. 9.[2015·广东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．22 C ．2 D. 3 [解析] C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c, 所以b ＝2.10.[2016·上海卷] 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 11.[2016·北京卷] 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________．[解析] 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得b c 2＋b c－2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．12.[2016·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值． 解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )． 又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)
【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形 内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .
正弦定理余弦定理习题及答案
正 余 弦 定 理3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c23C π∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c，若a =2b =，sin cos B B +=，则角A 的大小为 ．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .1.在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB ..AB2.在△ABC 中，已知cos A ＝35 ，sin B ＝513 ，求cos C 的值.3、在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，试判定△ABC 的形状.4..在△ABC 中，若sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，试判断△ABC 的形状.5.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：a 2－b 2c 2 ＝sin （A －B ）sin C. .6..在△ABC 中，若（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc ，并且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状. \1.解：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22AC ·DC ＝72＋32－522×7×3 ＝1114 ，又0＜C ＜180°，∴sin C ＝5314在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C ∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314· 2 ·7＝5622.解：∵cos A ＝35 ＜22＝cos45°，0＜A ＜π∴45°＜A ＜90°，∴sin A ＝45∵sin B ＝513 ＜12 ＝sin30°，0＜B ＜π ∴0°＜B ＜30°或150°＜B ＜180° 若B ＞150°，则B ＋A ＞180°与题意不符.∴0°＜B ＜30° cos B ＝1213∴cos （A ＋B ）＝cos A ·cos B －sin A ·sin B ＝35 ·1213 －45 · 513 ＝1665又C ＝180°－（A ＋B ）.∴cos C ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ）＝－1665 . 3.解：在原等式两边同乘以sin A 得2cos B sin A sin C ＝sin 2A ， 由定理得sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝sin 2A ， ∴sin 2C ＝sin 2B ∴B ＝C 故△ABC 是等腰三角形.4.解：∵sin A ＝sin B ＋sin C cos B ＋cos C，∴cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin Csin A ，应用正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋ca ，∴b （a 2c 2－b 2）＋c （a 2－b 2c 2）＝2bc （b ＋c ）， ∴a 2（b ＋c ）－（b ＋c ）（b 2－2bc ＋c 2）＝2bc （b ＋c ） 即a 2＝b 2＋c 2故△ABC 为直角三角形.5.证明：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 两式相减得a 2－b 2＝c （a cos B －b cos A ）， ∴a 2－b 2c 2 ＝a cos B －b cos A c 2.又a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C ，∴a 2－b 2c 2 ＝sin A cos B －sin B cos A sin C ＝sin （A －B ）sin C解：由已知条件（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc 及余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）2（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝12∴A ＝60°又由已知条件sin A ＝2sin B cos C 得sin （B ＋C ）＝sin （B ＋C ）＋sin （B －C ） ∴sin （C －B ）＝0，∴B ＝C 于是有A ＝B ＝C ＝60°， 故△ABC 为等边三角形. 3、【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin A =得1sin 2A =，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin90 1.C ==4、【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33a a π+-⨯⨯⨯=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。
高考数学 3.7 正弦定理和余弦定理练习
课时提升作业(二十二)正弦定理和余弦定理(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的长为( )A.263B. 6C.1D.3【解析】选A.因为B=45°,C=60°,所以A=180°-(B+C)=75°,B<C<A.故最短的边为b,由正弦定理,得b c sin B sin C =,所以b=2sin 4526.sin 603︒=︒g2.在△ABC 中,A=3π,BC=3,AB=6,则C=( )【解题提示】把用大写字母表示的边长改为小写字母,再用正弦定理求解.【解析】选C.BC=a=3,A B=c=6,由正弦定理,得sin C=csin A 2,a= 又a=3,c=6,所以a>c,即A>C,故C 为锐角,所以C=4π.【误区警示】本题容易由sin C=csin A a 得sin C=22,没有利用a>c 判断A>C,就得出C=4π或34π.从而导致增解.3.(2015·温州模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a2-b2=3bc,3则A=( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选A.因为sin C=23sin B,所以由正弦定理得 c=23b, 因为a2-b2=3bc,所以a2=b2+3b ·23b=7b2,即a=7b,cos A=222222bc a 32bc 22b 23b 43+-===g因为0°<A<180°,所以A=30°. 【加固训练】(2014·唐山模拟)若△ABC 的内角A,B,C 满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B=( )【解析】选D.由6sin A=4sin B=3sin C,得sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶4.设角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则由正弦定理知a ∶b ∶c=2∶3∶4,令a=2k,b=3k,c=4k(k>0),则cos B=()2222222243k a c b 11.2ac 22k 4k 16+-+-==⨯⨯g4.(2015·海淀模拟)在△ABC 中,a=3,b=4,sin A=35,则sin C=( )A.1B.1或725C.1或-725D.1或59 【解题提示】先由正弦定理求sin B,再由内角和定理转化求sin C.【解析】选B.因为a b sin A sin B =,所以sin B=34bsin A 45a 35⨯==,因为b>a,所以B>A,故A 为锐角,B 为锐角或钝角,所以241sin A ,5-=当B 为锐角时231sin B ,5-=此时sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =33445555⨯+⨯=1. 当B 为钝角时,cos B=231sin B ,5--=- 此时,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=33447().555525⨯-+⨯= 故选B.【误区警示】解答本题易误选A.出错的原因是求出sin B 的值后,没有根据a<b 讨论B 为钝角的情况.5.(2015·临沂模拟)在△ABC 中,若sin B ·sin C=cos2A2,且sin2B+sin2C=sin2A,则△ABC 是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【解题提示】把每个等式化简变形,逐一进行判断.【解析】选D.因为sin Bsin C=cos2A 2=1cos A2+,所以2sin Bsin C=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C)=1-cos Bcos C+sin Bsin C,即cos Bcos C+sin Bsin C=1,所以cos(B-C)=1.因为B,C 是△ABC 的内角,所以B-C=0,即B=C,又因为sin2B +sin2C=sin2A,即b2+c2=a2.所以A=90°,故△ABC 为等腰直角三角形.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·大同模拟)△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知c=3,C=3π,a=2b,则b 的值为 .【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,即32=(2b)2+b2-2·2b ·b ·cos 3π,解得3.答案: 3【加固训练】若A=60°,a=7,b=5,则c= .【解题提示】直接用余弦定理列出关于c 的方程求解.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以49=25+c2-2×5×c ×cos 60°,即c2-5c-24=0,解得c=8(c=-3舍去).答案:87.(2015·中山模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若acos A=bsin B,则sin 2A+cos 2B= .【解题提示】化边为角,把二倍角化为单角,利用整体代入的方法求值.【解析】由正弦定理,得sin Acos A=sin2B,sin 2A+cos 2B=2sin Acos A+2cos2B-1=2sin2B+2cos2B-1=2(sin2B+cos2B)-1=1.答案:1 8.已知以2,3,x 为边长的三角形不是钝角三角形,则x 的取值范围是 .【解题提示】由较大的边对的角都不是钝角,根据余弦定理列不等式组求解.【解析】因为2<3,所以只需2222222x 3,23x ,⎧+≥⎪⎨+≥⎪⎩即5≤x2≤13,又因为x>0,所以5≤x ≤13.答案:[ 5, 13]三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2014·安徽高考)设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a 的值. (2)求sin(A+4π)的值.【解题提示】根据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答.【解析】(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由正、余弦定理得a=2b ·222a cb 2ac +-,因为b=3,c=1,所以a2=12即3.(2)由余弦定理得cos A=222b c a 91121,2bc 63+-+-==-因为0<A<π,所以2221cos A 3-=故sin(A+4π)=sin Acos 4π+cos Asin 4π=46-10.(2015·大连模拟)在△ABC 中,a2+c2-b2=ac,(1)求角B 的大小.(2)求sin Asin C 的最大值.【解题提示】(1)由余弦定理求B 的大小.(2)利用内角和定理消元,转化成关于C 或A 的三角函数,然后求函数的最大值.【解析】(1)在△ABC 中,由已知和余弦定理, cos B=222a c b 1,2ac 2+-= 因为B ∈(0,π),所以B=3π.(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin(A+3π) =12sin A+cos A,所以sin Asin C=sin A(12sin A+cos A) =12=11cos2A (sin2A)222-+ =12sin(2A-6π)+14,因为0<2A<43π,所以-6π<2A-6π<76π,故当A=3π时,sin Asin C 有最大值34.【加固训练】(2015·天津模拟)已知锐角△ABC 中,角A,B,C 对应的边分别为a,b,c,tan A=(1)求A 的大小.(2)求cos B+cos C 的取值范围.【解析】(1)由余弦定理知b2+c2-a2=2bccos A,所以tan A=33sin A ,2cos A 2⇒= 因为A ∈(0,2π),所以A=3π.(2)因为△ABC 为锐角三角形且B+C=23π,所以6π<B=23π-C<2π,cos B+cos C=cos B+cos(23π-B)=cos B+cos 23πcos B+sin 23πsin B=12cos B+3sin B=sin(B+6π).因为3π<B+6π<23π,所以3<sin(B+6π)≤1,即cos B+cos C 的取值范围是(32,1].(20分钟 40分)1.(5分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b ,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( )A.10 B .9 C.8 D.5【解析】选D.因为23cos2A+cos 2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos2A=125,因为△ABC为锐角三角形,所以cos A=15,sin A=265.由正弦定理a csin A sin C=得,6.sin C26=sin C=126,cos C=1935.又B=π-(A+C),所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=26191126506. 535535175⨯+⨯=由正弦定理a bsin A sin B=得,26506=,解得b=5.【一题多解】本题还可如下解答选D.因为23cos2A+cos 2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=1 25,因为△ABC为锐角三角形,所以cos A=1 5,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即49=b2+36-125b,5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-135(舍去),故b=5.2.(5分)(2015·合肥模拟)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos 2B+cos B+cos(A-C)=1,则()A.a,b,c成等差数列B.a,b,c成等比数列C.a,c,b成等差数列D.a,c,b成等比数列【解析】选B.由cos 2B+cos B+cos(A-C)=1变形得:cos B+cos(A-C)=1-cos 2B, 因为cos B=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C),cos 2B=1-2sin2B,所以上式化简得:cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,所以2sin Asin C=2sin2B,即sin Asin C=sin2B,由正弦定理a b c sin A sin B sin C ==得:ac=b2,则a,b,c 成等比数列.故选B.3.(5分)(2015·攀枝花模拟)已知函数f(x)=x3-3x,若△ABC 中,角C 是钝角,那么( )A.f(sin A)>f(cos B)B.f(sin A)<f(cos B)C.f(sin A)>f(sin B)D.f(sin A)<f(sin B)【解题提示】利用三角函数的单调性判断sin A 和cos B 的大小或sin A 与sin B 的大小,再利用函数f(x)的单调性进行判断.【解析】选A.因为f(x)=x3-3x,所以f ′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).故函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,又角C 是钝角,所以A+B<2π且A,B 都是锐角,所以0<A<2π-B<2π,所以sin A<sin(2π-B)=cos B,故f(sin A)>f(cos B),选A.4.(12分)(2015·哈尔滨模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A 的大小.(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.【解析】(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,故cos A=-12,A=120°.(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,变形得34=(sin B+sin C)2-sin Bsin C,又sin B+sin C=1,得sin Bsin C=14,上述两式联立得sin B=sin C=12,因为0°<B<90°,0°<C<90°,故B=C=30°,所以△ABC 是等腰的钝角三角形.【方法技巧】判断三角形的形状的思路与依据(1)思路:必须从研究三角形的边与边的关系,或角的关系入手,充分利用正弦定理与余弦定理进行转化,即化边为角或化角为边,使边角统一.(2)判断依据:①等腰三角形:a=b 或A=B.②直角三角形:b2+c2=a2或A=90°.③钝角三角形:a2>b2+c2,A>90°.④锐角三角形:若a 为最大边,且满足a2<b2+c2或A 为最大角,且A<90°.5.(13分)(能力挑战题)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边, acos C+3asin C-b-c=0.(1)求A 的大小.(2)若△ABC 的面积S=3,b+c=4,求sin Bsin C 的值.【解题提示】(1)利用正弦定理及三角恒等变换求角A.(2)利用面积公式、余弦定理、正弦定理求解.【解析】(1)因为3asin C-b-c=0,所以由正弦定理,得3sin Asin C-sin B-sin C=0, 因为B=π-(A+C),所以33因为sin C ≠0,3sin A-cos A=1,即2sin(A-6π)=1,sin(A-6π)=12,因为A ∈(0,π),所以A-6π=6π,即A=3π.(2)因为S △=12bcsin A=3bc=3,所以bc=43,又因为b+c=4,所以a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=16-4=12,即3由正弦定理,得b c a 234,sin B sin C sin A sin 3====所以sin B=b 4,sin C=c 4,sin Bsin C=bc 1.1612=。
完整版)正弦定理与余弦定理练习题
完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。
解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。
2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。
解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。
3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。
解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。
代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。
由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。
代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。
由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。
由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。
正弦定理余弦定理习题及答案
正 余 弦 定 理1．在是的 （ ）ABC ∆中，A B >sin sin A B >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2、已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，x 22cos cos 2sin02Cx x A B -⋅+=则一定是 （ ）ABC ∆（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若, A+C=2B,则Sin C = .4、如图，在△ABC 中，若b = 1，23C π∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c，若a =，2b =，sin cos B B +=，则角A 的大小为 ．6、在中，分别为角的对边，且∆ABC ,,a b c ,,A B C 274sin cos 222B C A +-=（1）求的度数A ∠（2）若，求和的值a =3b c +=b c 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知，，B=45︒ 求A 、C 及c .3=a 2=b 1、解：在，因此，选ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>．C 2、【答案】由题意可知：，从而211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B=++=+-AB，又因为所以，所cos cos sin sin 1A B A B +=cos()1A B -=A B ππ-<-<0A B -=以一定是等腰三角形选CABC ∆3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin A =得1sin 2A =，由a b <知60A B <= ，所以30A = ，180C A B =--90= ，所以sin sin 90 1.C == 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
正弦定理与余弦定理测试题及答案
正弦定理与余弦定理练习题1.已知△ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于（）A．1：1：4 B．1：1：2 C．1：1：D．2：2：2.（2015•浙江）任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是（）A．c2=a2+b2+2abcosC B．c2=a2+b2﹣2abcosC C．c2=a2+b2+2absinC D．c2=a2+b2﹣2absinC3.在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为（）A．B．C．D．4.在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对5.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．6.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（）A．B．C．2 D．47.△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则∠C等于（）A．60°B．90°C．120°D．60°或120°8.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣19.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a=2，b=2，A=60°，则角B等于（）DA．45°或135°B．135°C．60°D．45°10.在△ABC中，tan=2sinC，若AB=1，求△ABC周长的取值范围（）A．（2，3] B．[1，3] C．（0，2] D．（2，5]11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣B．C．﹣D．12.在△ABC中，已知C=，b=4，△ABC的面积为，则c=（）A．B． C． D．13.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣C．D．﹣14.在三角形A BC中，∠C=60°，AC+BC=6，A B=4，则AB边上的高为（）A． B．C． D．15.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2D．316.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=，则B的大小为（A ）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°17在△ABC中，B=，c=150，b=50，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形18.在△ABC中，如果a+c=2b，B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．19.若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc且sinA=2sinBcosC，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形20.（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．21.（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．22.（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．23..（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，，则∠B=．25.在△ABC中，已知A=45°，b=1，且△ABC仅有一个解，则a的取值范围是．26.已知△ABC的三边a，b，c和其面积S满足S=c2﹣（a﹣b）2，则tanC=．27.设△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，且满足S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值为．28.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角B的值为29（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．30.（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．31.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．32.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．33.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．34.△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．35.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，（1）求A的大小；（2）若a=6，求b+c的取值范围．36.在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．37.如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．答案1-5CBDCA 6-10CDCDA 11-15BCDAC 16-19ABBD286420.221.122.123.624.4525.126.27.28.601201517a a ︒≥=︒︒或或29.解：①因为△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知cosB=，sin （A+B ）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，结合平方关系sin 2A+cos 2A=1， 得27sin 2A ﹣6sinA ﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin （A+B ）=sinC=，sinA=，所以a=2c ，又ac=2，所以c=1．30.解：（Ⅰ）因为向量=（a ，b ）与=（cosA ，sinB ）平行，所以asinB ﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB ﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7=4+c 2﹣2c ，解得c=3，△ABC 的面积为：=． 31.解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC ﹣sinCcosA ，∵C 为三角形的内角，∴sinC ≠0，∴sinA ﹣cosA=1，整理得：2sin （A ﹣）=1，即sin （A ﹣）=，∴A ﹣=或A ﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=； （2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC 的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 得：4=b 2+c 2﹣bc=（b+c ）2﹣3bc=（b+c ）2﹣12，整理得：b+c=4②， 联立①②解得：b=c=2． 32.解：（I ）∵a=2csinA ．∴由正弦定理可得sinA ， 又sinA ≠0，∴sinC=，∵A 为锐角，∴． （2）∵c=，，且△ABC 的面积为，∴=，化为ab=6，由余弦定理可得：==（a+b ）2﹣3ab ，∴a+b=5．33.解：（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得：∴2（cosAcosC ﹣sinAsinC ）=﹣1，∴，∴，又0＜B ＜π，∴．（Ⅱ）由余弦定理得：，∴，又，，∴，故，∴．34.解：（I ）由∵cosA=，0＜A ＜π，∴sinA==，∵5（a 2+b 2﹣c 2）=3ab ，∴cosC==，∵0＜C ＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos 2C ﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．35.解：（1）由条件结合诱导公式得，sinAcos+cosAsin=2cosA，整理得sinA=cosA，∵cosA≠0，∴tanA=，∵0＜A＜π，∴A=；（2）由正弦定理得：，∴，，∴==，∵，∴，即6＜b+c≤12（当且仅当B=时，等号成立）36.解：（1）由正弦定理：=，得==，∴sinB=，又由B为锐角，得B=；（2）∵S△ABC=acsinB=，sinB=，∴ac=3，根据余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，则a+c=4．37.解：（1）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得，则∠BDC=60°或120°．又由DA=DC，则∠A=30°或60°．（2）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则，解得．再由余弦定理得到=，故，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．。
正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)
正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。
高考数学 正弦定理和余弦定理 专题
高考数学 正弦定理和余弦定理 专题一、选择题1．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 的值为( )A.2633B.2393C.393D.1333解析：∵S △ABC ＝3，即12bc sin A ＝3，∴c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，∴a＝13， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝2133＝2393.答案：B2．在△ABC 中，已知∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则∠A 等于( )A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°解析：根据正弦定理c sin C ＝b sin B ，sin C ＝c sin B b ＝22×22433＝32.∴C ＝60°或C ＝120°，因此A ＝75°或A ＝15°. 答案：D3．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若△ABC 是等边三角形，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A ；若a sin B ＝b sin C ＝csin A ，又a sin A ＝b sin B ＝csin C，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝bc ，b 2＝ac ，c 2＝ab ，即a ＝b ＝c .∴p 是q 的充要条件． 答案：C4．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是( )A．(1,2) B．(2，＋∞) C．＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝32cos C＋12sin C，∴3＋12sin C＝32cos C＋12sin C，即sin C＝cos C．又0°＜C＜180°，∴C＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.解法二：设最大边长为a，最小边长为c，则ac＝3＋12，由a2＋c2－b22ac＝12，则b2＝a2＋c2－ac.cos C＝a2＋b2－c22ab＝2a2－ac2a a2＋c2－ac＝2·a2c2－ac2·aca2c2－ac＋1＝22.又0°＜C＜180°，∴C＝45°，则A＝180°－(B＋C)＝75°.1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，a＝23，tanA＋B2＋tanC2＝4,2sin B cos C＝sin A，求A，B及b，c.解答：由tanA＋B2＋tanC2＝4得cotC2＋tanC2＝4，∴cosC2sinC2＋sinC2cosC2＝4，∴1sinC2cosC2＝4.∴sin C＝12，又C∈(0，π)，∴C＝π6，或C＝5π6，由2sin B cos C＝sin A得2sin B cos C＝sin(B＋C)，即sin(B－C)＝0，∴B＝C，B＝C＝π6，A＝π－(B＋C)＝2π3，由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C得b＝c＝asin Bsin A＝23×1232＝2.2．如下图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)证明sin α＋cos 2β＝0；(2)若AC＝3DC，求β的值．解答：(1)证明：∵AB＝AD，则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α.又∠B＋∠C＝90°，即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α，cos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0.①(2)在△ADC中，DCsin α＝ACsin β，即sin β＝3sin α.②①代入②整理得：23sin2β－sin β－3＝0.解得sin β＝32，或sin β＝－33舍去，又β为锐角，则β＝60°.。
高中数学正弦定理与余弦定理习题及详解
高中数学正弦定理与余弦定理习题及详解一、选择题1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3 [答案] B[解析] 由正弦定理得a 2－c 2＝(a －b )·b ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 2．(文)(2010·泰安模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°[答案] B[解析] ∵AC ·sin60°＝42×32＝26<42<43，故△ABC 只有一解，由正弦定理得，42sin B ＝43sin60°， ∴sin B ＝22，∵42<43，∴B <A ，∴B ＝45°. (理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2 C.3－1D. 3[答案] B[解析] ∵b sin A ＝32<1<3，∴本题只有一解． ∵a ＝3，b ＝1，A ＝π3， ∴根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋c 2－32c ＝12， 解之得，c ＝2或－1，∵c >0，∴c ＝2.故选B.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π3[答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4. [点评] 如图，AC ＝22，以C 为圆心2为半径作⊙C ，则⊙C上任一点(⊙C 与直线AC 交点除外)可为点B 构成△ABC ，当AB 与⊙C 相切时，AB ＝2，∠BAC ＝π4，当AB 与⊙C 相交时，∠BAC <π4，因为三角形有两解，所以直线AB 与⊙C 应相交，∴0<∠BAC <π4. 4．(2010·湖南理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 [答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C∴a 2－b 2＝ab ，又∵a >0，b >0，∴a －b ＝ab a ＋b >0，所以a >b . 5．(文)(2010·天津理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， ∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b ，∴c 2＝23bc ，又∵b 2－a 2＝－3bc ，∴cos A ＝32， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.(理)(2010·山东济南)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 [答案] D[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D. 6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2， 又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33. 7．(2010·厦门市检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32 D ．2 [答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝1×323＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32. 8．(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] A [解析] ∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴1＋cos B 2＝sin A ＋sin C 2sin C， ∴sin C cos B ＝sin A ，∴sin C cos B ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＝0，∵0<B ，C <π，∴sin B ≠0，cos C ＝0，∴C ＝π2，故选A. 9．(2010·四川双流县质检)在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( ) A.455B.355C.255D.55[答案] D[解析] 由tan A >0，cos B >0知A 、B 均为锐角， ∵tan A ＝12<1，∴0<A <π4，cos B ＝31010>32， ∴0<B <π6，∴C 为最大角， 由cos B ＝31010知，tan B ＝13，∴B <A ，∴b 为最短边， 由条件知，sin A ＝15，cos A ＝25，sin B ＝110， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝15×310＋25×110＝22， 由正弦定理b sin B ＝c sin C 知，b 110＝122，∴b ＝55. 10．(2010·山东烟台)已知非零向量AB →，AC →和BC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝22，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形[答案] D[解析] ∵AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝cos ∠ACB ＝22， ∴∠ACB ＝45°，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， ∴∠A ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选D.二、填空题11．(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．①a ＝1，b ＝2，B ＝45°；②a ＝5，b ＝15，A ＝30°；③a ＝6，b ＝20，A ＝30°；④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.[答案] ①④[解析] ①一解，a sin B ＝22<1<2，有一解． ②两解，b ·sin A ＝152<5<15，有两解； ③无解，b ·sin A ＝10>6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．[答案] 3<c < 5[解析] 边c 最长时：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 22×1×2>0， ∴c 2<5.∴0<c < 5.边b 最长时：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－42c>0， ∴c 2>3.∴c > 3.综上，3<c < 5.12．(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA AC＝2. 13．(文)(2010·沈阳模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且AC →·AB →＝4，则△ABC 的面积等于________．[答案] 2 3[解析] ∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵AC →·AB →＝4，∴b ·c ·cos A ＝4，∴bc ＝8，∴S ＝12AC ·AB sin A ＝12×bc ·sin A ＝2 3. (理)(2010·北京延庆县模考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝c＝2b 且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，b ＝________. [答案] 2[解析] ∵a ＋c ＝2b ，∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2(1)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝25ac ＝32，∴ac ＝154(2) ∵sin B ＝45，∴cos B ＝35(由a ＋c ＝2b 知B 为锐角)， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝35，∴a 2＋c 2＝92＋b 2(3) 由(1)、(2)、(3)解得b ＝2.14．(2010·合肥市质检)在△ABC 中，sin A －sin B sin (A ＋B )＝2sin A －sin C sin A ＋sin B，则角B ＝________. [答案] π4[解析] 依题意得sin 2A －sin 2B ＝sin(A ＋B )(2sin A －sin C )＝2sin A sin C －sin 2C ， 由正弦定理知：a 2－b 2＝2ac －c 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22， ∴B ＝π4. 三、解答题15．(文)(2010·广州六中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．[解析] (1)∵cos A 2＝255， ∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由AB →·AC →＝3得，bc cos A ＝3，∴bc ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2. (2)∵bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝2 5.(理)(2010·山东滨州)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C .∴m ·n ＝sin C .又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36. 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.16．(文)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2.(1)若cos B ＝－36，求sin C 的值； (2)求角C 的取值范围． [解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理知，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝3＋4－2×23×⎝⎛⎭⎫－36＝9. 所以AC ＝3.又因为sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫－362＝336， 由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B. 所以sin C ＝AB AC sin B ＝116. (2)在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ，∴3＝AC 2＋4－4AC ·cos C ，即AC 2－4cos C ·AC ＋1＝0.由题意知，关于AC 的一元二次方程应该有解，令Δ＝(4cos C )2－4≥0，得cos C ≥12，或cos C ≤－12(舍去，因为AB <BC ) 所以，0<C ≤π3，即角C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π3. [点评] 1.本题也可用图示法，如图：A 为⊙B 上不在直线BC 上的任一点，由于r ＝AB ＝3，故当CA 与⊙B 相切时∠C 最大为π3，故C ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 2．高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实．(理)(2010·东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．[解析] (1)由a cos C ＋12c ＝b 得 sin A cos C ＋12sin C ＝sin B又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12， 又∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)解法1：由正弦定理得：b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23(sin B ＋sin(A ＋B )) ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]．解法2：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝bc ＋1，∴(b ＋c )2＝1＋3bc ≤1＋3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，∴b ＋c ≤2，又b ＋c >a ＝1，∴l ＝a ＋b ＋c ∈(2,3]，即△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．17．(文)△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2， ∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac得， a 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， [点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新疑精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处构题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．(理)(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin B ＝513，且a 、b 、c 成等比数列． (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)若ac cos B ＝12，求a ＋c 的值．[解析] (1)依题意，b 2＝ac由正弦定理及sin B ＝513得，sin A sin C ＝sin 2B ＝25169. 1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝135. (2)由ac cos B ＝12知cos B >0，∵sin B ＝513，∴cos B ＝1213(b 不是最大边，舍去负值) 从而，b 2＝ac ＝12cos B＝13. 由余弦定理得，b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .∴13＝(a ＋c )2－2×13×⎝⎛⎭⎫1＋1213. 解得：a ＋c ＝37.。
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解
一、选择题1．(2010·聊城市、银川模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3 [答案] B[解析] 由正弦定理得a 2－c 2＝(a －b )·b ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 2．(文)(2010·泰安模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°[答案] B[解析] ∵AC ·sin60°＝42×32＝26<42<43，故△ABC 只有一解，由正弦定理得，42sin B ＝43sin60°， ∴sin B ＝22，∵42<43，∴B <A ，∴B ＝45°. (理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2 C.3－1D. 3[答案] B[解析] ∵b sin A ＝32<1<3，∴本题只有一解． ∵a ＝3，b ＝1，A ＝π3， ∴根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋c 2－32c ＝12， 解之得，c ＝2或－1，∵c >0，∴c ＝2.故选B.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π3[答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4. [点评] 如图，AC ＝22，以C 为圆心2为半径作⊙C ，则⊙C上任一点(⊙C 与直线AC 交点除外)可为点B 构成△ABC ，当AB 与⊙C 相切时，AB ＝2，∠BAC ＝π4，当AB 与⊙C 相交时，∠BAC <π4，因为三角形有两解，所以直线AB 与⊙C 应相交，∴0<∠BAC <π4. 4．(2010·湖南理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 [答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C∴a 2－b 2＝ab ，又∵a >0，b >0，∴a －b ＝ab a ＋b >0，所以a >b . 5．(文)(2010·天津理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b ，∴c 2＝23bc ，又∵b 2－a 2＝－3bc ，∴cos A ＝32， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.(理)(2010·山东济南)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 [答案] D[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D. 6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2， 又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33. 7．(2010·厦门市检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32 D ．2[答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝1×323＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32. 8．(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] A[解析] ∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴1＋cos B 2＝sin A ＋sin C 2sin C， ∴sin C cos B ＝sin A ，∴sin C cos B ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＝0，∵0<B ，C <π，∴sin B ≠0，cos C ＝0，∴C ＝π2，故选A. 9．(2010·四川双流县质检)在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( )A.455B.355C.255D.55 [答案] D[解析] 由tan A >0，cos B >0知A 、B 均为锐角，∵tan A ＝12<1，∴0<A <π4，cos B ＝31010>32， ∴0<B <π6，∴C 为最大角， 由cos B ＝31010知，tan B ＝13，∴B <A ，∴b 为最短边， 由条件知，sin A ＝15，cos A ＝25，sin B ＝110， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝15×310＋25×110＝22， 由正弦定理b sin B ＝c sin C 知，b 110＝122，∴b ＝55. 10．(2010·山东烟台)已知非零向量AB →，AC →和BC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝22，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形[答案] D[解析] ∵AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝cos ∠ACB ＝22，∴∠ACB ＝45°，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， ∴∠A ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选D.二、填空题11．(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．①a ＝1，b ＝2，B ＝45°；②a ＝5，b ＝15，A ＝30°；③a ＝6，b ＝20，A ＝30°；④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.[答案] ①④[解析] ①一解，a sin B ＝22<1<2，有一解．②两解，b ·sin A ＝152<5<15，有两解；③无解，b ·sin A ＝10>6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．[答案] 3<c < 5[解析] 边c 最长时：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 22×1×2>0， ∴c 2<5.∴0<c < 5.边b 最长时：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－42c>0， ∴c 2>3.∴c > 3. 综上，3<c < 5.12．(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sinC sin B的值为________． [答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA AC＝2. 13．(文)(2010·沈阳模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且AC →·AB →＝4，则△ABC 的面积等于________．[答案] 2 3[解析] ∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵AC →·AB →＝4，∴b ·c ·cos A ＝4，∴bc ＝8，∴S ＝12AC ·AB sin A ＝12×bc ·sin A ＝2 3. (理)(2010·北京延庆县模考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝c＝2b 且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，b ＝________. [答案] 2[解析] ∵a ＋c ＝2b ，∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2(1)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝25ac ＝32，∴ac ＝154(2)∵sin B ＝45，∴cos B ＝35(由a ＋c ＝2b 知B 为锐角)， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝35，∴a 2＋c 2＝92＋b 2(3) 由(1)、(2)、(3)解得b ＝2.14．(2010·合肥市质检)在△ABC 中，sin A －sin B sin (A ＋B )＝2sin A －sin C sin A ＋sin B，则角B ＝________. [答案] π4[解析] 依题意得sin 2A －sin 2B ＝sin(A ＋B )(2sin A －sin C )＝2sin A sin C －sin 2C ， 由正弦定理知：a 2－b 2＝2ac －c 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22， ∴B ＝π4. 三、解答题15．(文)(2010·广州六中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．[解析] (1)∵cos A 2＝255， ∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由AB →·AC →＝3得，bc cos A ＝3，∴bc ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2. (2)∵bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝2 5.(理)(2010·山东滨州)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C .∴m ·n ＝sin C .又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.16．(文)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2.(1)若cos B ＝－36，求sin C 的值；(2)求角C 的取值范围．[解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理知，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝3＋4－2×23×⎝⎛⎭⎫－36＝9.所以AC ＝3.又因为sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫－362＝336，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B . 所以sin C ＝AB AC sin B ＝116. (2)在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ，∴3＝AC 2＋4－4AC ·cos C ，即AC 2－4cos C ·AC ＋1＝0.由题意知，关于AC 的一元二次方程应该有解，令Δ＝(4cos C )2－4≥0，得cos C ≥12，或cos C ≤－12(舍去，因为AB <BC ) 所以，0<C ≤π3，即角C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π3. [点评] 1.本题也可用图示法，如图：A 为⊙B 上不在直线BC 上的任一点，由于r ＝AB ＝3，故当CA 与⊙B 相切时∠C 最大为π3，故C ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 2．高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实．(理)(2010·东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．[解析] (1)由a cos C ＋12c ＝b 得 sin A cos C ＋12sin C ＝sin B 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)解法1：由正弦定理得：b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23(sin B ＋sin(A ＋B )) ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]．解法2：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝bc ＋1，∴(b ＋c )2＝1＋3bc ≤1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，∴b ＋c ≤2， 又b ＋c >a ＝1，∴l ＝a ＋b ＋c ∈(2,3]，即△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．17．(文)△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，a 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，[点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新疑精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处构题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．(理)(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin B ＝513，且a 、b 、c 成等比数列． (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)若ac cos B ＝12，求a ＋c 的值． [解析] (1)依题意，b 2＝ac由正弦定理及sin B ＝513得，sin A sin C ＝sin 2B ＝25169.1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝135. (2)由ac cos B ＝12知cos B >0，∵sin B ＝513，∴cos B ＝1213(b 不是最大边，舍去负值)从而，b 2＝ac ＝12cos B＝13.由余弦定理得，b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B . ∴13＝(a ＋c )2－2×13×⎝⎛⎭⎫1＋1213.解得：a ＋c ＝37.一、选择题1．(2010·广东六校)两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )km.( )A ．a B.2a C ．2aD.3a[答案] D[解析] 依题意得∠ACB ＝120°. 由余弦定理cos120°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2 ∴AB ＝3a .故选D.2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC 中，“sin A >32”是“∠A >π3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 在△ABC 中，若sin A >32，则∠A >π3，反之∠A >π3时，不一定有sin A >32，如A ＝5π6时，sin A ＝sin 5π6＝sin π6＝12. (理)在△ABC 中，角A 、B 所对的边长为a 、b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝b 时，A ＝B ， ∴a cos A ＝b cos B ； 当a cos A ＝b cos B 时， 由正弦定理得sin A ·cos A ＝sin B ·cos B ， ∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.则a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以“a ＝b ”⇒“a cos A ＝b cos B ”， “a cos A ＝b cos B ”⇒/ “a ＝b ”，故选A.3．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，观测得∠ABC ＝120°，则AC 两地的距离为( )A ．10km B.3km C ．105kmD ．107km[答案] D[解析] 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠B ＝120°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120° ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700， ∴AC ＝107km.∴选D.4．(文)在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形[答案] B [解析]sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝bc， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴a 2＋b 2＝c 2，故选B.(理)(2010·河北邯郸)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )A.54B. 2C ．1D.32[答案] D[解析] ∵sin 2A ＋cos 2B ＝1，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∵0<A ，B <π，∴sin A ＝sin B ，∴A ＝B . 故cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A －cos2A ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋1＝－2(cos A －12)2＋32，∵0<A <π2，∴0<cos A <1，∴cos A ＝12时，取得最大值32.5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC 的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，那么角C 的大小为( )A.π3B.π2C.π4D.2π3[答案] C[解析] 由正弦定理得，a 2－c 2＝2ab －b 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∵0<C <π，∴C ＝π4.(理)已知a 、b 、c 是△ABC 三内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c <2aB ．b ＋c ≤2aC ．b ＋c ＝2aD ．b ＋c ≥2a[答案] B[解析] ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos2A ＝－12，又A 为锐角，∴A ＝60°，∴B ＋C ＝120°， ∴b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C 2sin A ＝2sin B ＋C 2cos B －C23 ＝cos B －C 2≤1，∴b ＋c ≤2a .6．(2010·北京顺义一中月考)在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为( ) A.1665B.5665C.1665或5665D ．－1665[答案] A[解析] ∵cos A ＝513，∴sin A ＝1213>35＝sin B ，∴A >B ，∵sin B ＝35，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.[点评] 在△ABC 中，有sin A >sin B ⇔A >B .7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )A ．237B ．227C ．247D ．257[答案] A[解析] 如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.8．(文)(2010·青岛市质检)在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a 、b 、c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 6[答案] D[解析] 由条件2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ＝a 2＋c 2＋12，又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴12＝a 2＋c 2－b212，∴a 2＋c 2＝6＋b 2， ∴4b 2＝18＋b 2，∴b ＝ 6.(理)△ABC 的内角A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23[答案] B[解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，又∵c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a＝34.[点评] 在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识．同时也体现了数列、三角函数等内容是高考中的热点问题，复习时要注意强化．9．如图所示的曲线是以锐角△ABC 的顶点B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线，若△ABC 的内角的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝6，c sin A a ＝32，则此双曲线的离心率为( )A.3＋72B.3－72C ．3－7D ．3＋7[答案] D [解析]c sin A a ＝32⇒a sin A ＝c 32＝c sin C⇒sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3， 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋62－2×4×6×12＝28，∴c ＝27∴e ＝a b －c ＝66－27＝3＋7.10．(文)(2010·山东济南)设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若·＝0，||·||＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A.3－12B.3＋12 C ．2D.5＋12[答案] D[解析] 由条件知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，根据双曲线定义得：4a 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2－4ac ＝4c 2－4ac ，∴a 2＋ac －c 2＝0，∴1＋e －e 2＝0， ∵e >1，∴e ＝5＋12. (理)(2010·安徽安庆联考)如图，在△ABC 中，tan C 2＝12，·＝0，·(＋)＝0，经过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为( )A.5＋12B.5－1C.5＋1D.5－12[答案] A[解析] ∵·＝0，∴AH ⊥BC ，∵tan C 2＝12，∴tan C ＝2tanC21－tan 2C 2＝43＝AHCH，又∵·(＋)＝0，∴CA ＝CB ， ∴tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫180°－C 2＝cot C 2＝2＝AHBH ，设BH ＝x ，则AH ＝2x ，∴CH ＝32x ，AB ＝5x ，由条件知双曲线中2C ＝AH ＝2x,2a ＝AB－BH ＝(5－1)x ，∴e ＝c a ＝25－1＝5＋12，故选A.二、填空题11．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 和对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．[答案] 60(3－1)[解析] 过C 点作CD ⊥AB 于D ，设BD ＝x ，则CD ＝x ，AD ＝120－x ，又∵∠CAB ＝30°，∴x 120－x ＝33，解之得，x ＝60(3－1)． 12．(2010·福建三明一中)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为________海里．[答案]13[解析] 如图可知，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴AC ＝5，∠BAC ＝60°，从而∠DAC ＝45°， 又AD ＝32，∴由余弦定理得， CD ＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos45°＝13.13．(文)(2010·山东日照模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3，△ABC 的面积等于3，则a ＋b ＝________.[答案] 4[解析] 由条件知，12ab sin π3＝3，∴ab ＝4，∵cos π3＝a 2＋b 2－42ab，∴a 2＋b 2＝8，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝8＋8＝16， ∴a ＋b ＝4.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝10，则bc 的最大值是______．[答案] 100＋50 2[解析] 由题意得，12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，结合余弦定理得，sin A ＝cos A ，∴∠A ＝π4，又根据余弦定理得100＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，∴bc ≤1002－2＝100＋50 2.14．(文)(2010·山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时．[答案] 10[解析] 设该船的速度为v 海里/小时，如图由题意知，AD ＝v 2，AC ＝32v ，∵tan75°＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝2＋3，又tan75°＝ABAD，∴2＋3＝10＋3v 2v 2，解得v ＝10. (理)(2010·合肥质检)如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．[答案] m cos αcos β>n sin(α－β)[解析] ∠MAB ＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB ＋∠AMB ＝90°－α＋∠AMB ，∴∠AMB ＝α－β，由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)>n ，所以α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时船没有触礁危险．三、解答题15．(2010·河北唐山)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且a cos B ＋b cos A ＝1.(1)求c ；(2)若tan(A ＋B )＝－3，求·的最大值． [解析] (1)由a cos B ＋b cos A ＝1及正弦定理得， c sin A sin C ·cos B ＋c sin Bsin C ·cos A ＝1， ∴c sin(A ＋B )＝sin C ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ≠0， ∴c ＝1.(2)∵tan(A ＋B )＝－3，0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π3. 由余弦定理得，12＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab＝2·，∴·≤12， 当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”号．所以，·的最大值是12. 16．(文)(2010·广东玉湖中学)如图，要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10km ，AB ＝14km ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 的距离(精确到0.1km)．参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236.[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得：x 2－10x －96＝0，解之得，x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，由正弦定理得，BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin135°·sin30°＝82≈11.3(km) 答：两景点B 与C 的距离约为11.3km.(理)(2010·湖南十校联考)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R 的圆面．该圆的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；(2)因地理条件的限制，边界AD 、CD 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整．为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出其最大值．[解析] (1)因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°，连接AC ，由余弦定理：AC 2＝42＋62－2×4×6cos ∠ABC＝42＋22－2×2×4cos ∠ADC .∴cos ∠ABC ＝12.∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝60°. 则S 四边形ABCD ＝12×4×6×sin60°＋12×2×4×sin120° ＝83(万平方米)．在△ABC 中，由余弦定理：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC＝16＋36－2×4×6×12＝28，故AC ＝27. 由正弦定理得，2R ＝AC sin ∠ABC ＝2732＝4213，∴R ＝2213(万米)． (2)S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ，S △ADC ＝12AD ·CD ·sin120°＝2 3. 设AP ＝x ，CP ＝y ，则S △APC ＝12xy ·sin60°＝34xy . 又由余弦定理：AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝28.∴x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy .∴xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号．∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93，即当x ＝y 时面积最大，其最大面积为93万平方米．17．(2010·上海松江区模拟)如图所示，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到点A 的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值． (2)求P 到海防警戒线AC 的距离(结果精确到0.01千米)．[解析] (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△P AB 中，AB ＝20cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x同理，在△P AC 中，AC ＝50cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x， ∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25x，解之得，x ＝31. (2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531得， sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131，∴PD＝P A sin∠APD＝31·421＝421≈18.33千米，31答：静止目标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米．。
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高考正弦定理和余弦定理练习题及答案
一、选择题
1. 已知△ABC 中，a ＝c ＝2，A ＝30°，则b ＝( ) A. 3
B. 2 3
C. 3 3
D. 3＋1 答案：B
解析：∵a ＝c ＝2，∴A ＝C ＝30°，∴B ＝120°.
由余弦定理可得b ＝2 3.
2. △ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝
22，则符合条件的三角形有( ) A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 0个
答案：B
解析：∵a sin B ＝102， ∴a sin B <b ＝3<a ＝5，
∴符合条件的三角形有2个．
3．(2010·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
答案：A
解析：利用正弦定理，sin C ＝23sin B 可化为c ＝23b .
又∵a 2－b 2＝3bc ，
∴a 2－b 2＝3b ×23b ＝6b 2，即a 2＝7b 2，a ＝7b .
在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
＝b 2＋(23b )2－(7b )22b ×23b
＝32， ∴A ＝30°.
4．(2010·湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
答案：A
解析：由正弦定理，得c sin120°＝a
sin A ，
∴sin A ＝a ·322a ＝6
4>1
2.
∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b .
5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. 5
18 B. 3
4
C. 32
D. 7
8
答案：D
解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，
∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 2
2×2a ×2a ＝78.
方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
则AC ＝2a ，CD ＝a
2，∴sin α
2＝1
4，
∴cos α＝1－2sin 2α
2
＝1－2×116＝78.
6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于(
) A. 3
2 B. 3
4
C. 3
2或 3 D. 3
2或34
答案：D 解析：∵sin C 3＝sin
B
1，
∴sin C ＝3·sin30°＝3
2.
∴C ＝60°或C ＝120°.
当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12×1×3＝32
， 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×1×3sin30°＝34
. 即△ABC 的面积为
32或34
. 二、填空题
7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3
，则a ＝________. 答案：1
解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3，sin B ＝12. 又b <c ，∴B ＝π6，∴A ＝π6
.∴a ＝1. 8．(2010·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
答案：π6
解析：∵sin B ＋cos B ＝2，
∴sin(B ＋π4
)＝1. 又0<B <π，∴B ＝π4. 由正弦定理，知2sin A ＝2sin B ，∴sin A ＝12
. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6
. 9. (2010·课标全国卷)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12
DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________.
答案：60° 解析：S △ADC ＝12×2×DC ×32
＝3－3， 解得DC ＝2(3－1)，
∴BD ＝3－1，BC ＝3(3－1)．
在△ABD 中，AB 2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos120°＝6，
∴AB ＝ 6.
在△ACD 中，AC 2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos60°＝24－123， ∴AC ＝6(3－1)，
则cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 2
2AB ·AC
＝6＋24－123－9(4－23)2×6×6×(3－1)
＝12， ∴∠BAC ＝60°.
三、解答题
10. 如图，△OAB 是等边三角形，∠AOC ＝45°，OC ＝2，A 、B 、C 三点共线．
(1)求sin ∠BOC 的值；
(2)求线段BC 的长．
解：(1)∵△AOB 是等边三角形，∠AOC ＝45°，
∴∠BOC ＝45°＋60°，
∴sin ∠BOC ＝sin(45°＋60°)
＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°
＝2＋64
. (2)在△OBC 中，OC sin ∠OBC ＝BC sin ∠BOC
， ∴BC ＝sin ∠BOC ×
OC sin ∠OBC ＝2＋64×2sin60°＝1＋33
. 11. (2010·全国Ⅱ卷)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513
，cos ∠ADC ＝35
，求AD . 解：由cos ∠ADC ＝35>0知B <π2
， 由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45
， 从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )
＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B
＝45×1213－35×513＝3365
. 由正弦定理得AD sin B ＝BD sin ∠BAD
， AD ＝BD ·sin B sin ∠BAD
＝33×5133365
＝25. 12. (2010·安徽卷)设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并
且sin 2A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭
⎫π3－B ＋sin 2B . (1)求角A 的值；
(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b <c )．
解：(1)因为sin 2A ＝⎝⎛⎭
⎫32cos B ＋12sin B ⎝⎛⎭
⎫32cos B －12sin B ＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34， 所以sin A ＝±32. 又A 为锐角，所以A ＝π3
. (2)由AB →·AC →＝12，可得cb cos A ＝12.①
由(1)知A ＝π3
，所以cb ＝24.② 由余弦定理知a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，将a ＝27及①代入，得c 2＋b 2＝52，③ ③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，
所以c ＋b ＝10.
因此c ，b 是一元二次方程t 2－10t ＋24＝0的两个根．
解此方程并由c >b 知c ＝6，b ＝4.。