第二章离散时间信号与系统

1 X a ( j jk s ) T k
由上式可知，理想抽样信号的频谱是原连续 时间信号频谱的周期延拓，而且是以抽样频率s 为间隔进行周期重复的。尽管其频谱的幅度受到 常数因子1/T的调节，但周期延拓的谱分量不变。
第二章离散时间信号与系统
§2.1 连续时间信号的抽样

x
a
(t )
T
xa (t )
x
a
(t )
0
t
p(t)

0
t

xa (t )
0 t
第二章离散时间信号与系统
§2.1 连续时间信号的抽样
• 当电开关闭合时间τ→0时，对 连续时间信号的抽样为理想抽 x (t) 样。当τ<<T时，可近似为理想 抽样。理想抽样时，抽样脉冲 序列表示为冲激函数序列。 中 q(t) 各冲激函数准确地出现在采样 瞬间，抽样信号的积分幅度等 于原连续时间信号在抽样瞬间 xa (t ) 的幅度，抽样过程见图。
1 X a( j) 2 [Q( j) * X a ( j)]

第二章离散时间信号与系统
§2.1 连续时间信号的抽样
考察冲激函数序列，是一个周期函数，可展开成基 频为抽样频率的傅里叶级数：

q(t )
其中，
k
a e
k
jk
s t
2 s T 2f
s
1 jk s t 傅里叶系数为： q(t ) e T k



G ( j ) e
jt
1 jt d T e d s 2 2
s 2
t sin( )
s
2 s t 2
s 2 / T sin( ) T t T
t
第二章离散时间信号与系统
§2.1 连续时间信号的抽样
• 当输入为 x a (t )时，理想低通滤波器G(jΩ)的的输出为：
• 对于实限带信号，设其最高频谱分量为c。若c 不超过s/2，则基带频谱与其它延拓分量的谱不 重叠，如图所示。此时，能够不失真地还原出原 连续时间信号。 X ( j)
a
（a）
X
（b）

a
( j )
第二章离散时间信号与系统
§2.1 连续时间信号的抽样
• 若c超过s/2，则会出现各频谱分量会互相交叠，产生 频谱的混叠，如图所示。此时，一般不可能无失真地滤出 基带频谱，此时恢复出来的信号就要失真。
第二章离散时间信号与系统
§2.1 连续时间信号的抽样
•
T, G ( j ) 0,
G(jΩ)
| | s 2 | s 2
（2.1.11）
T
s 2
0

2
s

• 图2.1.5 理想低通滤波器频率特性
第二章离散时间信号与系统
§2.1 连续时间信号的抽样
a

第二章离散时间信号与系统
§2.1 连续时间信号的抽样
• ⑵ 抽样的恢复 两个信号在时域中乘积的傅里叶变换等于这两 个信号各自傅里叶变换的卷积。 xa (t), q(t ), xa (t ) 的傅里叶变换分别表示为：
( j) FT[ x a (t )] X a Q( j) FT[q(t )] X a ( j) FT[ x a (t )]
x(n) 5, 7 ,8,6

• 所指向的值为n=0处的抽样值。
第二章离散时间信号与系统
2.2.1
•
序列的表示方法
序列也可用图形表示，如图所示。
x(n)
•
当序列是复序列时，可以用实部和虚部的形式表示，也 可以用幅度和相角的形式来表示。
第二章离散时间信号与系统
2.2.1
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
得到
(n 3)
，如图所示。
0.1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第二章离散时间信号与系统
2.2.2
常用的典型序列
1, u(n) 0, n0 n0
• ⑵.单位阶跃序列 u (n)
( n) 和 u ( n) • u (n) 类似模拟信号中的单位阶跃函数 u(t ) 。 的关系如下：
第二章离散时间信号与系统
2.2.2
常用的典型序列
为了在MATLAB中生成单位抽样序列，编写函数 impseq如下：
function [x,n] = impseq(n0,n1,n2) if ((n0 < n1) | (n0 > n2) | (n1 > n2)) error('arguments must satisfy n1 <= n0 <= n2') end n = [n1:n2]; x = [(n-n0) == 0]; 在MATLAB的工作窗口输入： n=[0:10]; x=impseq(3,0,10); stem(n,x);
第二章离散时间信号与系统
第二章
离散时间信号与系统
第二章离散时间信号与系统
内容提要
• 2.1 连续时间信号的抽样 • 2.2 基本序列及其序列的运算 • 2.3 线性移不变离散系统
第二章离散时间信号与系统
§2.1 连续时间信号的抽样
• （1）信号的抽样 从两个角度来分析信号 的抽样，分别是物理抽样 及理想抽样。 信号物理抽样的示意图 如图所示。
(n) u(n) u(n 1)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
第二章离散时间信号与系统
•
常用的典型序列 ⑴.单位抽样序列（单位脉冲序列） (n) 2.2.2
1, (n) 0,
1, n0 ( n n0) n0 0, n n0 n n0
1 X a ( j) T

X a ( j) ,
||

2
s
• 因此，可得出奈奎斯特抽样定理：若是实带限信号，最高 截止频率为fc，要使该信号经过抽样后能够不失真地还原， 则抽样角频率必须大于或等于两倍的fc，即fs≥2fc。
第二章离散时间信号与系统
§2.1 连续时间信号的抽样
由上述分析可知，当抽样频率满足奈奎斯特抽样 定理时，可利用理想低通滤波器G(jΩ)进行滤波， 只保留基带频谱，然后对进行信号恢复。根据式 （2.1.10），要求G(jΩ)的带宽等于折叠频率S/2， 幅度等于T，数学表达式如式（2.1.11），频率特 性如图2.1.5。
• 运行程序，可分别得到自变量n，序列值x，以及图形化表 示。 • n= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 • x = Columns 1 through 7 • 0 1.0000 0.0000 -1.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 • Columns 8 through 9 • -1.0000 -0.0000
a
散时间信号，即：
a
x (nT) x (t) |
a
t nT
n
• 其中，n为整数，只有n为整数时才有意义。实际 xa (nT) 按顺序存储 信号处理中，n代表前后顺序， 在存储器中，抽样间隔T可以不写，xa (nT) 可简写 x(n) 就表示一个序列。有时， x(n) 也用来 为x(n) 。 表示第n个序列值。
X
（a）
a
( j )
X
（b）

a
( j )
• 因此，抽样频率的一半fs/2被称为折叠频率，当信号频谱 超过折叠频率时，就会被折叠回来，产生频谱的混叠。
第二章离散时间信号与系统
§2.1 连续时间信号的抽样
• 当基带频谱与其它延拓分量的谱不重叠时，为了不失真地 还原出原连续时间信号，可以利用带宽为s/2的理想低通 滤波器将各次延拓频谱分量滤除，只保留不失真的基带频 谱，从而为不失真得还原出原连续时间信号奠定基础。此 时，
第二章离散时间信号与系统
因为：
1 T /2 jk s t ak T T / 2 q(t ) e dt 1 T 1 T

T /2
T / 2 T /2
n
(t nT ) e
jk

jk
st dt
T / 2
(t ) e
s t dt 1 T
第二章离散时间信号与系统
2.2.1
•
序列的表示方法
序列可以用公式表示。用公式表示意味着序列随n的变化规律 可用一个数学公式来表达，例如：
x(n) sin(0.5n) , n
x(n) 表示一个正弦序列，数字域频率为 0.5 。序列也 • 此时， 可用向量表示。向量表示法一般用于长度有限的序列，例如：
• 上式被称为抽样内插公式。 • 内插公式表明，只要满足抽样频率高于或等于两倍信号最 高频率，那么整个连续信号就可以用其抽样值完全代表， 却不损失任何信息，这就是奈奎斯特抽样定理的意义。
第二章离散时间信号与系统
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•
§2.2 基本序期进行等间隔抽样，得到离

y (t )
x a (t ) * g (t ) x a ( ) g (t )d

n



• 得：
y (t ) [ xa (nT ) ( nT )]g (t )d
n
x (nT ) ( nT ) g (t )d
• 将抽样信号通过G(jΩ)，即可得 到原连续信号频谱，如图2.1.6 所示。