二次函数专项练习—平行四边形存在性问题
二次函数平行四边形存在性问题例题.doc
二次函数平行四边形存在性问题例题一．解答题（共9 小题）1．如图，抛物线经过A（﹣ 1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；（ 3）点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣ 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右侧）．（ 1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（ 2）若点 M是线段 BC上一动点，过点 M的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E．求 ME长的最大值；（ 3）试探究当 ME取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x轴、y轴的交点分别为 A、 B 两点，将∠ OBA对折，使点 O的对应点 H落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点 C．（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）若把（ 1）中的抛物线向左平移个单位，则图象与x 轴交于 F、 N（点 F 在点 N 的左侧）两点，交y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点 Q到 E、N 两点的距离之差最大若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x轴、y轴的交点分别为 A、 B，将∠ OBA对折，使点 O的对应点 H 落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点C．（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T，Q为线段 BT 上一点，直接写出 |QA ﹣ QO|的取值范围．v1.0可编辑可修改5．如图，Rt △OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x 轴重合，∠OAB=90°， OA=4，AB=2，把 Rt △OAB绕点 O逆时针旋转 90°，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M，分别过点 P，点 M作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、C、H、N四点构成以 OC为一边的平行四边形若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线 y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+ x+c 经过 B、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，当△ BEC面积最大时，请求v1.0可编辑可修改出点 E 的坐标和△ BEC面积的最大值（ 3）在（ 2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC于点 M，连接 AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．如图，抛物线 y=ax +bx+2 与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中 B（4，0）、C（﹣垂足为 E，交 AB于点 F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在 DE上作点 G，使 G点与 D 点关于 F 点对称，以 G为圆心，GD为半径作圆，当⊙ G与其中一条坐标轴相切时，求 G点的横坐标；（3）过 D点作直线 DH∥AC交 AB于 H，当△ DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取 M、 N 两点，并使 D、 H、 M、 N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N 两点的横坐标．8．已知直线y=kx+b（k≠0）过点 F（0，1），与抛物线y= x2相交于 B、C 两4第4页（共 29页）点．（1）如图 1，当点 C的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（2）在（ 1）的条件下，点 M是直线 BC上一动点，过点 M作 y 轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（ m． n）（m＜0），过点 E（0．﹣ 1）的直线 l ∥ x 轴， BR⊥l 于 R，CS⊥ l 于 S，连接 FR、 FS．试判断△ RFS的形状，并说明理由．9．抛物线 y=x2 +bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E 同时从原点O分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个单位长度，点 D的速度是每秒 2 个单位长度．（ 1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（ 2）若点 C为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）问几秒钟时， B、D、E 在同一条直线上2017 年 05 月 03 日 99 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共9 小题）1．（2016? 安顺）如图，抛物线经过A（﹣ 1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；（ 3）点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax +bx+c（a≠0），∴，解得．∴抛物线的解析式为： y= x2﹣2x﹣；v1.0可编辑可修改（ 2）∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接 BC，如图 1 所示，∵ B（ 5， 0），C（0，﹣），∴设直线 BC的解析式为 y=kx+b（ k≠ 0），∴，解得，∴直线 BC的解析式为 y= x﹣，当x=2 时， y=1﹣ =﹣，∴ P（ 2，﹣）；（3）存在．如图 2 所示，①当点 N 在 x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴ N（4，﹣）；7第7页（共 29页）v1.0可编辑可修改②当点 N 在 x 轴上方时，如图，过点 N2作 N2D⊥x 轴于点 D，在△ AN2D 与△ M2CO中，∴△ AN2D≌△ M2CO（ASA），∴N2D=OC= ，即 N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣ = ，解得 x=2+ 或 x=2﹣，∴ N2（2+ ，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4，﹣），（ 2+ ，）或（2﹣，）．2．（ 2016? 十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x 轴交于另一点B（点 B 在点 A 右侧）．（1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（2）若点 M是线段 BC上一动点，过点 M的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E．求 ME长的最大值；（3）试探究当 ME取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）当 y=0 时，﹣ 3x﹣3=0， x=﹣1 ∴ A（﹣ 1，0）当x=0 时， y=﹣ 3，∴ C（ 0，﹣ 3），∴∴，抛物线的解析式是： y=x2﹣ 2x﹣3．当y=0 时， x2﹣2x﹣3=0，解得： x1=﹣1，x2=3∴ B（ 3， 0）．（2）由（ 1）知 B（ 3， 0），C（0，﹣ 3）直线 BC的解析式是： y=x﹣3，设 M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则 E（ x， x2﹣2x﹣3）∴ ME=（x﹣3）﹣（ x2﹣ 2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（ x﹣）2+ ；∴当 x= 时， ME的最大值为．（3）答：不存在．由（ 2）知 ME取最大值时 ME= ，E（，﹣），M（，﹣）∴ MF= ，BF=OB﹣ OF= ．设在抛物线 x 轴下方存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形，则BP∥ MF，BF∥ PM．∴ P1（0，﹣）或P2（3，﹣）当 P1（0，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣∴ P1不在抛物线上．当 P2（3，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣∴ P2不在抛物线上．综上所述：在 x 轴下方抛物线上不存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形．3．（ 2016? 义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点，将∠ OBA对折，使点 O的对应点 H落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点 C．（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）若（1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）若把（ 1）中的抛物线向左平移个单位，则图象与x 轴交于 F、 N（点 F 在点 N 的左侧）两点，交y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点 Q到 E、N 两点的距离之差最大若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接 CH由轴对称得 CH⊥ AB，BH=BO，CH=CO∴在△ CHA中由勾股定理，得22 2AC=CH+AH∵直线与 x 轴、 y 轴的交点分别为A、B 两点∴当 x=0 时， y=6，当 y=0 时， x=8∴B（ 0， 6），A（8，0）∴OB=6， OA=8，在 Rt△ AOB中，由勾股定理，得AB=10设C（a，0），∴ OC=a∴CH=a， AH=4， AC=8﹣a，在 Rt△ AHC中，由勾股定理，得（ 8﹣ a）2=a2 +42解得a=3C（3，0）设抛物线的解析式为： y=ax2+bx+c，由题意，得解得：∴抛物线的解析式为：∴（ 2）由（ 1）的结论，得D（）∴DF=v1.0可编辑可修改设 BC的解析式为： y=kx+b，则有解得直线 BC的解析式为： y=﹣2x+6设存在点 P 使四边形 ODAP是平行四边形， P（ m， n）作PE⊥ OA于 E， HD交 OA于 F．∴∠ PEO=∠AFD=90°， PO=DA，PO∥ DA∴∠ POE=∠DAF∴△ OPE≌△ ADF∴PE=DF=n=∴×=P（）当x= 时，y=﹣2×+6=1≠∴点 P 不再直线 BC上，即直线 BC上不存在满足条件的点P．（ 3）由题意得，平移后的解析式为：∴对称轴为： x=2，当x=0 时， y=﹣当y=0 时， 0=解得：∵ F 在 N的左边v1.0可编辑可修改F（，0），E（0，﹣），N（，0）连接 EF 交 x=2 于 Q，设 EF的解析式为： y=kx+b，则有解得：∴EF的解析式为： y=﹣ x﹣∴解得：∴ Q（ 2，）．4．（ 2016? 深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x 轴、 y 轴的交点分别为 A、 B，将∠ OBA对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C．（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T，Q为线段 BT 上一点，直接写出 |QA ﹣ QO|的取值范围．【解答】解：（1）点 C 的坐标为（ 3，0）．（1 分）∵点 A、B 的坐标分别为 A（8，0），B（0，6），∴可设过 A、B、 C 三点的抛物线的解析式为y=a（ x﹣ 3）（x﹣8）．将x=0，y=6 代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为．（3 分）（ 2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为 G．直线 BC的解析式为 y=﹣2x+分）设点 P 的坐标为（ x，﹣ 2x+6）．解法一：如图，作OP∥ AD交直线 BC于点 P，连接 AP，作 PM⊥x 轴于点 M．∵OP∥AD，∴∠ POM=∠GAD，tan ∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点 P 的坐标为．（5分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边 OP与 AD平行但不相等，∴直线 BC上不存在符合条件的点 P（ 6 分）v1.0可编辑可修改解法二：如图，取OA的中点 E，作点 D 关于点 E 的对称点 P，作 PN⊥x 轴于点N．则∠ PEO=∠DEA， PE=DE．可得△ PEN≌△ DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=， ON=OE﹣NE= ， NP=DG= ．∴点 P 的坐标为．（5分）∵ x=时，，∴点 P 不在直线 BC上．∴直线 BC上不存在符合条件的点P．（6 分）（ 3） |QA﹣QO|的取值范围是．（8分）当 Q在 OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点 K 处），此时 OK=AK，则 |QA ﹣ QO|=0，当 Q在 AH的延长线与直线BC交点时，此时 |QA﹣ QO|最大，直线 AH的解析式为： y=﹣x+6，直线 BC的解析式为： y=﹣ 2x+6，联立可得：交点为（ 0，6），∴OQ=6， AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是： 0≤|QA﹣QO|≤ 4．v1.0可编辑可修改5．（2016? 山西模拟）如图， Rt △OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与 x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把 Rt△OAB绕点 O逆时针旋转90°，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点．（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M，分别过点 P，点 M作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（ 3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、C、H、N四点构成以 OC为一边的平行四边形若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为 OA=4， AB=2，把△ AOB绕点 O逆时针旋转 90°，可以确定点 C 的坐标为（ 2， 4）；由图可知点 A 的坐标为（ 4， 0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2 +bx 把（ 2，4），（ 4， 0）代入，v1.0可编辑可修改得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（ 2）四边形 PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点 P 的坐标为 P（a，﹣ a2 +4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣ 2a，PE=MF=﹣a2+4a，2 2则矩形 PEFM的周长 L=2[4 ﹣2a+（﹣ a +4a）]= ﹣2（a﹣ 1） +10，（3）在抛物线上存在点 N，使 O（原点）、C、H、N 四点构成以 OC为一边的平行四边形，理由如下：∵ y=﹣x2+4x=﹣（ x﹣2）2 +4 可知顶点坐标（ 2，4），∴知道 C 点正好是顶点坐标，知道 C 点到 x 轴的距离为 4 个单位长度，过点 C 作 x 轴的平行线，与 x 轴没有其它交点，过 y=﹣ 4 作 x 轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N 点坐标所以有﹣ x2+4x=﹣4 解得 x1=2+，x2=2﹣∴ N点坐标为 N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．v1.0可编辑可修改6．（2015? 葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，2抛物线 y=ax + x+c 经过 B、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，当△ BEC面积最大时，请求出点 E 的坐标和△ BEC面积的最大值（3）在（ 2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC于点 M，连接 AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线 y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，∴点 B 的坐标是（ 0， 3），点 C 的坐标是（ 4， 0），∵抛物线 y=ax2 +x+c 经过 B、 C 两点，∴解得∴y=﹣ x2+ x+3．（ 2）如图 1，过点 E 作 y 轴的平行线 EF 交直线 BC于点 M，EF 交 x 轴于点 F，v1.0可编辑可修改，∵点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，∴设点 E 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则点 M的坐标是（ x，﹣x+3），∴EM=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+ x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣ x2+ x）× 4 =﹣ x2+3x=﹣（ x﹣ 2）2+3，∴当 x=2 时，即点 E 的坐标是（ 2， 3）时，△ BEC的面积最大，最大面积是 3．（ 3）在抛物线上存在点P，使得以 P、 Q、 A、 M为顶点的四边形是平行四边形．①如图 2，，∵点 M在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M的坐标是（ 2，），又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0），∴ AM==，∴ AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则解得或，∵x＜ 0，∴点 P 的坐标是（﹣ 3，﹣）．②如图 3，，∵点 M在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M的坐标是（ 2，），又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0），∴ AM==，∴ AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则解得或，∵x＞ 0，∴点 P 的坐标是（ 5，﹣）．③如图 4，，由（ 2），可得点 M的横坐标是 2，v1.0可编辑可修改∵点 M在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M的坐标是（ 2，），又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0），∴ AM==，∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则解得，∴点 P 的坐标是（﹣ 1，）．综上，可得在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点 P 的坐标是（﹣ 3，﹣）、（5，﹣）、（﹣ 1，）．7．（2015? 梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2 与坐标轴交于A、B、C三点，其中B （4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作 DE⊥ x 轴，垂足为 E，交 AB于点 F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在 DE上作点 G，使 G点与 D 点关于 F 点对称，以 G为圆心，GD为半径作圆，当⊙ G与其中一条坐标轴相切时，求 G点的横坐标；（3）过 D点作直线 DH∥AC交 AB于 H，当△ DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取 M、 N 两点，并使 D、 H、 M、 N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N 两点的横坐标．v1.0可编辑可修改【解答】解：（1）∵ B，C两点在抛物线 y=ax2+bx+2 上，∴，解得：．∴所求的抛物线为： y= ．（ 2）抛物线 y= ，则点 A 的坐标为（ 0，2），设直线 AB的解析式为 y=kx+b，∴，解得：．∴直线 AB的解析式为 y=﹣x+2，设 F 点的坐标为（ x，x+2），则 D点的坐标为（ x，），∵ G点与 D点关于 F 点对称，∴ G点的坐标为（ x，），若以 G为圆心， GD为半径作圆，使得⊙ G与其中一条坐标轴相切，①若⊙ G与 x 轴相切则必须由 DG=GE，即﹣ x2+ x+2﹣（）= ，解得： x= ，x=4（舍去）；②若⊙ G与 y 轴相切则必须由DG=OE，v1.0可编辑可修改即解得： x=2， x=0（舍去）．综上，以 G为圆心， GD为半径作圆，当⊙ G与其中一条坐标轴相切时， G点的横坐标为 2 或．（ 3） M点的横坐标为 2± 2，N点的横坐标为± 2．8．（2015? 资阳）已知直线y=kx+b（ k≠ 0）过点 F（ 0， 1），与抛物线 y=x2相交于 B、C 两点．（1）如图 1，当点 C的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（2）在（ 1）的条件下，点 M是直线 BC上一动点，过点 M作 y 轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（ m． n）（m＜0），过点 E（0．﹣ 1）的直线 l ∥ x 轴， BR⊥l于R，CS⊥ l 于 S，连接 FR、 FS．试判断△ RFS的形状，并说明理由．【解答】解：（1）因为点 C 在抛物线上，所以 C（ 1，），又∵直线 BC过 C、F 两点，v1.0可编辑可修改故得方程组：解之，得，所以直线 BC的解析式为： y=﹣x+1；（ 2）要使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图 1 所示，设 M（x，﹣x+1），则 D（ x，x2），∵MD∥y 轴，∴MD=﹣ x+1﹣ x2，由MD=OF，可得 | ﹣ x+1﹣ x2 |=1 ，①当﹣ x+1﹣ x2=1 时，解得 x1=0（舍）或 x1 =﹣3，所以 M（﹣ 3，），②当﹣ x+1﹣ x2，=﹣1 时，解得， x= ，所以 M（，）或 M（，），综上所述，存在这样的点 M，使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形，M点坐标为（﹣ 3，）或（，）或（，）；（ 3）过点 F 作 FT⊥ BR于点 T，如图 2 所示，∵点 B（m，n）在抛物线上，2∴ m=4n，在Rt△ BTF中，BF=v1.0可编辑可修改===，∵n＞ 0，∴ BF=n+1，又∵ BR=n+1，∴ BF=BR．∴∠ BRF=∠BFR，又∵ BR⊥ l ， EF⊥l ，∴ BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠ RFE=∠BFR，同理可得∠ EFS=∠CFS，∴∠ RFS= ∠BFC=90°，∴△ RFS是直角三角形．v1.0可编辑可修改9．（2015? 百色）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2）， B（ 3， 2）两点，若两动点D、E 同时从原点 O分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个单位长度，点 D 的速度是每秒 2 个单位长度．（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）若点 C为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时， B、D、E 在同一条直线上【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为： y=x2﹣3x+2，令y=0，则 x2﹣3x+2=0，解得： x1=1，x2 =2，∴抛物线与 x 轴的交点坐标是（ 1， 0），（2，0）；v1.0可编辑可修改（2）存在，由已知条件得 AB∥x 轴，∴ AB∥CD，∴当 AB=CD时，以 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形，设 D（m，0），当 C（1，0）时，则 CD=m﹣1，∴ m﹣ 1=3，∴ m=4，当 C（2，0）时，则 CD=m﹣2，∴ m﹣ 2=3，∴ m=5，∴ D（ 5， 0），综上所述：当 D（ 4， 0）或（ 5，0）时，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形；（3）设 t 秒钟时， B、D、E 在同一条直线上，则 OE=t，OD=2t，∴E（ 0， t ），D（2t ， 0），设直线 BD的解析式为： y=kx+b，∴，解得 k=﹣或k=（不合题意舍去），∴当 k=﹣，t=，∴点 D、E 运动秒钟时，B、D、E在同一条直线上．29第29 页（共 29页）。
二次函数有关平行四边形的存在性问题
有关平行四边形的【2 】消失性问题一．常识与办法积聚：1.已知三个定点,一个动点的情形在直角坐标平面内肯定点M,使得以点M.A.B.C为极点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标.后盘算.（可应用三角形全等性质和平行四边形性质,精确求点的坐标）二．例题解析：如图,抛物线32++=bx ax y 与y 轴交于点C ,与x 轴交于A .B 两点,31tan =∠OCA ,6=∆ABC S ． （1）求点B 的坐标; （2）求抛物线的解析式及极点坐标;（3）设点E 在x 轴上,点F 在抛物线上,假如A .C .E .F 组成平行四边形,要求出点E 的坐标．巩固演习：1. 已知抛物线322++-=x x y 与x 轴的一个交点为A(-1,0),与y 轴的正半轴交于点C ． 问坐标平面内是否消失点M ,使得以点M 和抛物线上的三点A.B.C 为极点的四边形是平行四边形？若消失,要求出点M 的坐标;若不消失,请解释来由．CAB Oyx2. 若点P 是x 轴上一点,以P .A .D 为极点作平行四边形,该平行四边形的另一极点E 在y 轴上,写出点P 的坐标．3．如图,抛物线223y x x =-++与x 轴订交于A .B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴订交于点C ,极点为D .（1）直接写出A .B .C 三点的坐标和抛物线的对称轴;（2）衔接BC ,与抛物线的对称轴交于点E ,点P 为线段BC 上的一个动点,过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ,设点P 的横坐标为m ;并求出当m 为何值时,四边形PEDF 为平行四边形？4. 已知抛物线y =12x =离与x 轴,y 轴订交于两点,并且与直线订交于点.在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否消失一点P ,使得认为P A C N ，，，极点的四边形是平行四边形？若消失,求出P 点的坐标;若不消失,试解释来由.5．如图,已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的极点坐标为Q ()1,2-,且与y 轴交于点C ()3,0,与x 轴交于A.B 两点（点A 在点B 的右侧）,点P 是该抛物线上一动点,从点C 沿抛物线向点A 活动（点P 与A 不重合）,过点P 作PD ∥y 轴,交AC 于点D ． (1)求该抛物线的函数关系式;(2)当△ADP 是直角三角形时,求点P 的坐标;(3)在问题(2)的结论下,若点E 在x 轴上,点F 在抛物线上, 问是否消失以A.P.E.F 为极点的平行四边形？若消失, 求点F 的坐标;若不消失,请解释来由．6. 如图,抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1,0）,B （1,0）,与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式;（12+-=x y ）(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ,求四边形ACBD 的面积;四边形ACBD 的面积S =12AB •OC +12AB •DE 112123422=⨯⨯+⨯⨯=（也可直接求直角梯形ACBD的面积为4）(3)在x轴下方的抛物线上是否消失一点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A.M.N为极点的三角形与△BCD类似？若消失,则求出点M的坐标;若不消失,请解释来由．。
二次函数专题复习——平行四边形存在性问题(盲解法)
是平行四边形，写出相应的点P的坐标. 已知B (4，0)，O（0，0），设Q (2, a)，P(m, -0.25m2+m).
①点B与点O相对
4+0= 2+m 0+0= a-0.25m2+m
m= 2 a= -1
②点B与点Q相对
4+2= 0+m 0+ a = 0-0.25m2+m
m= 6 a= -3
③点B与点P相对
2m
a
③点A与点P相对
0 a
4 3
a
1 3
a
0
a
m m2
2m
a
m a
5 2 15 8
（舍）
m
1 2
a
3 8
几何画板演示
二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动” ，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对 点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。这种从“代数”的角度思 考解决问题的方法，动点越多，优越性越突出！
二次函数专题复习 ——平行四边形的存在性问题
二、引入：对点法
如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为
A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，已知其中任意3个顶点 的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？ 平行四边形有哪些性质？
(x1，y1)
(x4，y4) (x3，y3)
是平行四边形，写出相应的点P的坐标. 已知B (4，0)，O（0，0），设Q (2, a)，P(m, -0.25m2+m).
①点B与点O相对 4+0= 2+m
m= 2
②点B与点Q相对 4+2= 0+m
(完整word)(完整word版)二次函数平行四边形存在性问题例题
二次函数平行四边形存在性问题例题一．解答题（共9小题)1．如图，抛物线经过A（﹣1,0），B(5,0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式;（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在,求点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c 经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点,过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值;（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M,F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．3．已知:如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点,将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．(1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;（2)若（1）中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3)若把(1）中的抛物线向左平移3。
5个单位,则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出｜QA﹣QO|的取值范围．5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2,把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E,F两点，问:四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有,请求出最值，并写出解答过程;如果没有,请说明理由．(3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC 为一边的平行四边形?若存在，求出N点的坐标；若不存在,请说明理由．6．如图,直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．(1）求抛物线的解析式；(2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值?（3）在（2）的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B(4，0）、C（﹣2，0)，连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴,垂足为E,交AB于点F．（1）求此抛物线的解析式;（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称,以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标;（3)过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．8．已知直线y=kx+b（k≠0)过点F（0,1）,与抛物线y=x2相交于B、C两点．（1）如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点,过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M,使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由;（3)如图2，设B（m．n）(m＜0）,过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R,CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．9．抛物线y=x2+bx+c经过A(0，2），B(3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动,点E的速度是每秒1个单位长度,点D的速度是每秒2个单位长度．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；(2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由;（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？2017年05月03日1587830199的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．(2016•安顺）如图,抛物线经过A（﹣1,0），B(5，0），C（0,）三点．(1)求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;(3）点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0）,B（5，0），C(0,)三点在抛物线上,∴,解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣;（2）∵抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5,0),C（0，﹣)，∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P(2,﹣）；(3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时,∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0,﹣）,（4，﹣）；∴N1②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D,在△AN2D与△M2CO中,∴△AN2D≌△M2CO（ASA)，∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+,），N3(2﹣，）．综上所述,符合条件的点N的坐标为（4，﹣）,（2+,)或（2﹣，）．2．（2016•十堰一模）如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧)．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值;（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M,F，B,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在,试说明理由．【解答】解:（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1∴A(﹣1,0）当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3），∴∴，抛物线的解析式是:y=x2﹣2x﹣3．当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3∴B（3，0)．（2）由（1）知B（3，0)，C（0，﹣3)直线BC的解析式是：y=x﹣3，设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+；∴当x=时，ME的最大值为．(3)答：不存在．由(2）知ME取最大值时ME=，E（,﹣）,M（，﹣）∴MF=，BF=OB﹣OF=．设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则BP∥MF,BF∥PM．∴P1（0，﹣)或P2(3，﹣）当P1（0,﹣）时，由（1)知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣∴P1不在抛物线上．当P2（3，﹣）时，由(1)知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣∴P2不在抛物线上．综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．3．（2016•义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若（1)中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把(1）中的抛物线向左平移3.5个单位,则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧)两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接CH由轴对称得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO∴在△CHA中由勾股定理,得AC2=CH2+AH2∵直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点∴当x=0时，y=6，当y=0时,x=8∴B（0，6)，A(8，0)∴OB=6，OA=8，在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=10设C（a,0)，∴OC=a∴CH=a，AH=4，AC=8﹣a，在Rt△AHC中，由勾股定理，得（8﹣a)2=a2+42解得a=3C（3,0)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,由题意，得解得:∴抛物线的解析式为：∴（2)由（1)的结论，得D（)∴DF=设BC的解析式为：y=kx+b，则有解得直线BC的解析式为:y=﹣2x+6设存在点P使四边形ODAP是平行四边形,P(m,n）作PE⊥OA于E,HD交OA于F．∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA∴∠POE=∠DAF∴△OPE≌△ADF∴PE=DF=n=∴×=P（）当x=时，y=﹣2×+6=1≠∴点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P．（3）由题意得,平移后的解析式为：∴对称轴为：x=2,当x=0时,y=﹣当y=0时，0=解得：∵F在N的左边F（,0),E（0,﹣），N(，0）连接EF交x=2于Q，设EF的解析式为：y=kx+b，则有解得：∴EF的解析式为：y=﹣x﹣∴解得：∴Q（2，）．4．（2016•深圳模拟)已知：如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在,求出点P的坐标;若不存在，说明理由;(3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO｜的取值范围．【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A(8，0）,B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0,y=6代入抛物线的解析式，得．(2分）∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6。
中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性问题》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．(1)求B 、D 坐标，并写出该二次函数表达式；(2)动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，有PQ AC ⊥？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？2．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求抛物线的对称轴；(2)在平面直角坐标系内是否存在一点P ，使以P 、A 、O 、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A B 、的坐标； (2)求抛物线的对称轴；(3)平面内是否存在一点P ，使以P A O B 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()10A -，和()50B ，，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒()05t <<．当t 为何值时，BMN 的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q 坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知二次函数213442y x x =--与x 数轴交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ． 发现：点A 的坐标为__________，求出直线BC 的解析式；拓展：如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上一点，连接PB 、PC ，当PBC 面积最大时，求出P 点的坐标； 探究：如图2，抛物线顶点为D ，抛物线对称轴交BC 于点E ，M 是线段BC 上一动点（M 不与B 、C 两点重合），连接PM ，设M 点的横坐标为()08<<m m ，当m 为何值时，四边形PMED 为平行四边形？6．解答题如图，在平面直角坐标系中，二次函数24y ax bx =+-的图像交坐标轴于()1,0A -、()4,0B 两点，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点()30A -,和()4,0B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的函数解析式；(2)如图，点P 在直线BC 上方的抛物线上运动，过点P 作PD AC ∥交BC 于点D ，作PE x ⊥轴交BC 于点E ，求724PD PE +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中724PD PE +取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，点Q 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点G ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点Q 、G 、M 、N 为顶点的叫边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，二次函数234y x bx c =++的图象与x 轴交于点A 和B ，点B 的坐标是（4，0），与y 轴交于点C （0，－3），点D 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)当点E 在x 轴上运动时，探究以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点E 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(30)A -，，()1，0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q ，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，直线122y x =+分别与x 轴、y 轴交于C ，D 两点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点D ，与直线相交于点E ，且:4:3CD DE =．(1)求点E 的坐标和二次函数表达式． (2)过点D 的直线交x 轴于点M ．①当DM 与x 轴的夹角等于2DCO ∠时，请直接写出点M 的坐标；①当DM CD ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点D ，E 重合），作DM 的平行线交直线CD 于点Q ，若以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于()()1,04,0A B C -、、三点，且OB OC =，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知二次函数220y ax x c a =++≠（）的图像与x 轴交于10()A B 、，两点，与y 轴交于点(03)C -，．(1)求二次函数的表达式；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求ACD 的面积最大时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ，使以M N B O 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标．（不写求解过程）13．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．14．如图1，二次函数2y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1．（1）求二次函数的解析式;（2）点P 为二次函数第一象限图象上一点，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图3，一次函数y kx =（k >0）的图象与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线1:l y x b k=-+交线段OC 于点M （不与O 、C 重合），过点T 作直线TN //y 轴交OC 于点N ，若在点T 运动的过程中，2ON OM =常数m ，求m 、k 的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图象与坐标轴交于、、A B C 三点，其中点A的坐标为()0,8，点B 的坐标为()4,0-．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接AC CD 、，以AC CD 、为邻边作平行四边形ACDE ，设平行四边形ACDE 的面积为.S ①求S 的最大值；①当S 取最大值时，Р为该二次函数对称轴上--点，当点D 关于直线CP 的对称点E 落在y 轴上时，求点Р的坐标．参考答案1．【答案】(1)()4,0B - ()8,3D 211384y x x =--(2)当点P 运动到距离点52A 个单位处时，四边形PDCQ 面积最小，最小值为8182．【答案】(1)4x =-(2)()4,16或()4,16--或()4,16-3．【答案】(1)()4,0A - ()0,16B (2)4x =-(3)()4,16或()4,16-或()4,16--． 4．【答案】(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN 的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()712-，或()72-，或()14，或()23， 5．【答案】发现：()2,0-，直线BC 的解析式为1y x 42=-；拓展：()4,6P -；探究：当5m =时，四边形PMED 为平行四边形6．【答案】(1)234y x x =--(2)当P 点坐标为(2,6)-时，16(3)Q 的坐标为(2,6)--或(10,6)7．【答案】(1)211344y x x =-++(2)724PD PE +的最大值为12，此时522⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)1611632N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2471632N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，32147216N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．8．【答案】(1)239344y x x =--(2)(1,0)或(7,0)或41502⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或41502⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 9．【答案】(1)224233y x x =--+(2)存在，点M 的坐标为(2,2)-或---，(172)或(17,2)-+-10．【答案】(1)2722y x x =-++(2)①302⎛⎫- ⎪⎝⎭，或302⎛⎫⎪⎝⎭，；①3192-或3192+ 11．【答案】(1)234y x x =--(2)(2,6)P -，四边形PBOC 的最大面积为16(3)存在，Q 的坐标为(2,6)--或(10,6) 12．【答案】(1)223y x x =+-(2)315(,)24D --(3)存在，点N 的坐标为(2,5)或(0,3)-或(2,3)--13．【答案】（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在 12(1,0),(5,0)Q Q -- 34(27,0),(27,0)+-Q Q ．14．【答案】（1）22y x x =-；（2）点P 的坐标(15,4)+或(13,2)+；（3）554m =12k =．15．【答案】（1）y =-14x 2+x +8，C 点坐标为(8，0)；（2）①32；①P （2，2）或（2，6）。
二次函数平行四边形存在性问题例题
二次函数平行四边形存在性问题例题一．解答题（共9小题）1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C 的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c 经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．8．已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点．（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l 于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．9．抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？2017年05月03日1587830199的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．（2016•安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．2．（2016•十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1∴A（﹣1，0）当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3），∴∴，抛物线的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3∴B（3，0）．（2）由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：y=x﹣3，设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+；∴当x=时，ME的最大值为．（3）答：不存在．由（2）知ME取最大值时ME=，E（，﹣），M（，﹣）∴MF=，BF=OB﹣OF=．设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则BP∥MF，BF∥PM．∴P1（0，﹣）或P2（3，﹣）当P1（0，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣∴P1不在抛物线上．当P2（3，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣∴P2不在抛物线上．综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．3．（2016•义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接CH由轴对称得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO∴在△CHA中由勾股定理，得AC2=CH2+AH2∵直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=8∴B（0，6），A（8，0）∴OB=6，OA=8，在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=10设C（a，0），∴OC=a∴CH=a，AH=4，AC=8﹣a，在Rt△AHC中，由勾股定理，得（8﹣a）2=a2+42解得a=3C（3，0）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，由题意，得解得：∴抛物线的解析式为：∴（2）由（1）的结论，得D（）∴DF=设BC的解析式为：y=kx+b，则有解得直线BC的解析式为：y=﹣2x+6设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P（m，n）作PE⊥OA于E，HD交OA于F．∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA∴∠POE=∠DAF∴△OPE≌△ADF∴PE=DF=n=∴×=P（）当x=时，y=﹣2×+6=1≠∴点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P．（3）由题意得，平移后的解析式为：∴对称轴为：x=2，当x=0时，y=﹣当y=0时，0=解得：∵F在N的左边F（，0），E（0，﹣），N（，0）连接EF交x=2于Q，设EF的解析式为：y=kx+b，则有解得：∴EF的解析式为：y=﹣x﹣∴解得：∴Q（2，）．4．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB 上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6.4分）设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．（5分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．（5分）∵x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．5．（2016•山西模拟）如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，L max=10；（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知顶点坐标（2，4），∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+，x2=2﹣∴N点坐标为N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．6．（2015•葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，∴解得∴y=﹣x2+x+3．（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，，∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC =S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．①如图2，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则解得或，∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．②如图3，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则解得或，∵x＞0，∴点P的坐标是（5，﹣）．③如图4，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则解得，∴点P的坐标是（﹣1，）．综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．7．（2015•梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B （4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．【解答】解：（1）∵B，C两点在抛物线y=ax2+bx+2上，∴，解得：．∴所求的抛物线为：y=．（2）抛物线y=，则点A的坐标为（0，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得：．∴直线AB的解析式为y=﹣x+2，设F点的坐标为（x，x+2），则D点的坐标为（x，），∵G点与D点关于F点对称，∴G点的坐标为（x，），若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与其中一条坐标轴相切，①若⊙G与x轴相切则必须由DG=GE，即﹣x2+x+2﹣（）=，解得：x=，x=4（舍去）；②若⊙G与y轴相切则必须由DG=OE，即解得：x=2，x=0（舍去）．综上，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，G点的横坐标为2或．（3）M点的横坐标为2±2，N点的横坐标为±2．8．（2015•资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点．（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l 于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．【解答】解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，），又∵直线BC过C、F两点，故得方程组：解之，得，所以直线BC的解析式为：y=﹣x+1；（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，设M（x，﹣x+1），则D（x，x2），∵MD∥y轴，∴MD=﹣x+1﹣x2，由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x2|=1，①当﹣x+1﹣x2=1时，解得x1=0（舍）或x1=﹣3，所以M（﹣3，），②当﹣x+1﹣x2，=﹣1时，解得，x=，所以M（，）或M（，），综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，M点坐标为（﹣3，）或（，）或（，）；（3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，∵点B（m，n）在抛物线上，∴m2=4n，在Rt△BTF中，BF====，∵n＞0，∴BF=n+1，又∵BR=n+1，∴BF=BR．∴∠BRF=∠BFR，又∵BR⊥l，EF⊥l，∴BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，∴∠RFS=∠BFC=90°，∴△RFS是直角三角形．9．（2015•百色）抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2，令y=0，则x2﹣3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∴抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）；（2）存在，由已知条件得AB∥x轴，∴AB∥CD，∴当AB=CD时，以A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形，设D（m，0），当C（1，0）时，则CD=m﹣1，∴m﹣1=3，∴m=4，当C（2，0）时，则CD=m﹣2，∴m﹣2=3，∴m=5，∴D（5，0），综上所述：当D（4，0）或（5，0）时，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形；（3）设t秒钟时，B、D、E在同一条直线上，则OE=t，OD=2t，∴E（0，t），D（2t，0），设直线BD的解析式为：y=kx+b，∴，解得k=﹣或k=（不合题意舍去），∴当k=﹣，t=，∴点D、E运动秒钟时，B、D、E在同一条直线上．精品文档考试教学资料施工组织设计方案。
2024年中考数学二次函数压轴题专题10平行四边形的存在性问题(学生版)
专题10平行四边形的存在性问题_、知识导航考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：(1) 对应边平行且相等；(2) 对角线互相平分.这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:(1)对边平行且相等可转化为:x A -x B =x D - x cy A -y B = yD-y c可以理解为点B 移动到点A,点。
移动到点O,移动路径完全相同.(2)对角线互相平分转化为：\ z 乙，、2 一 2可以理解为AC 的中点也是BQ 的中点.D【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一:X A~X B =X D~ X C -y B = yD-y c + x c = + X by A + % = % + 为x A +x c ^x B +x D2 _ 2 \X A +X C=X B +X D总 + % 二 % + 北 U a + %=% + %、2 — 2当AC 和BQ 为对角线时，结果可简记为：A+C = B + D (各个点对应的横纵坐标相加)以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系 中的4个点A 、B 、。
、D 满足"A+O8+ZT,则四边形ABCQ 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCQ 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化, 故存在反例.虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：(1) 四边形A8CQ 是平行四边形：AC. BQ 一定是对角线.(2) 以A 、B 、。
、。
四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论.平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.1.三定一动已知A (1, 2) B (5, 3) C (3, 5),在坐标系内确定点。
使得以A 、B 、。
、。
四个点为顶点的四边形是 平行四边形.思路1:利用对角线互相平分，分类讨论：设。
专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9上人教版)
专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法类型一、平行四边形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点(3)如图2，设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为边形CDPM 是平行四边形？若存在，直接写出点【答案】(1)22y x=-(2)①23922S t t =-+；②点P 到直线BC 的距离的最大值为(3)存在，()1,6M 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①在图1中，过点P 作PF y ∥轴，交BC 于点P 的坐标为()2,23t t t -++，则点F 的坐标为(t 2139222S PF OB t t =⋅=-+；②根据二次函数的性质得出当32t =时，S 取最大值，最大值为面积法求得点P 到直线BC 的距离，进而得出P （3）如图2，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点设直线BC 的解析式为将()3,0B 、()0,3C 代入30,3m n n +=⎧⎨=⎩，解得：∴直线BC 的解析式为∵点P 的坐标为(,t t -∴点F 的坐标为(,t -∴(223PF t t =-++-∴1322S PF OB =⋅=-②12S PF OB =⋅=-∵302-<，∴当32t =时，S 取最大值，最大值为抛物线2y x bx =-++∴抛物线的对称轴为直线 1D C x x -=，∴1P M x x -=，∴2P x =，()2,3P ∴，在223y x x =-++中，当()0,3C ∴，∴3C D y y -=，∴3M P y y -=，∴6M y =，∴点M 的坐标为()1,6；当2P x ¹时，不存在，理由如下，若四边形CDPM 是平行四边形，则 点C 的横坐标为0，点∴点P 的横坐标12t =⨯又 2P x ¹，(1)求点C 的坐标；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点此时点P 的坐标；(3)抛物线顶点为M ，在平面内是否存在点若存在请求出N 点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()4,5C (2)315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点N 的坐标为：()154N -，，【详解】（1）解：在2=23y x x --中，令解得：11x =-，23x =，()()1,0,3,0A B ∴-，直线y x m =+经过点()1,0A -，∴01m =-+，解得：1m =，∴直线AC 的解析式为1y x =+，联立方程组，得2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得：1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩()4,5C ∴；（2）如图1，设点2(,23)P n n n --，则点∴2212334()PE n n n n n =+---=-++ 10-<，∴当32n =时，PE 取得最大值254，此时，（3） 2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线顶点为()14M -，，如图2，点,,,A B M N 为顶点的四边形是平行四边形时，设①BM 为对角线时，AN 的中点与BM ∴(1)3122m +-+=，04022n +-+=，解得：∴()154N -，，②AM 为对角线时，BN 的中点与AM ∴31122m +-+=，04022n +-+=，解得：(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使得PA PC +值最小，求最小值；(3)点M 为x 轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N ，使以边形为平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)215222y x x =--(2)552(3)54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）把()1,0A -，()5,0B 两点代入求出a 、b 的值即可；（2）因为点A 关于对称轴对称的点B 的坐标为()5,0，连接BC 点坐标即可；（3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论．拋物线的解析式为212y x =-∴其对称轴为直线2b x a =-=-当0x =时，52y =-，50,2C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()5,0B ，∴设BC 的解析式为(y kx b =+5052k b b +=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，解得：12k =，52b =-，∴BC 的解析式为1522y x =-，当2x =时，1532222y =⨯-=-，①当点N 在x 轴下方时，抛物线的对称轴为2x =，0,C ⎛- ⎝154,2N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，②当点N 在x 轴上方时，如图，过点在2AN D △和2M CO △中，22N AD AN N DA ∠⎧⎪⎨⎪∠⎩252N D OC ∴==，即2N 点的纵坐标为21552222x x ∴--=，解得：2x =+25214,2N ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，35214,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述符合条件的N 的坐标有⎛ ⎝【点睛】本题考查的是二次函数综合题，式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（意进行分类讨论．(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E 在x 轴上运动，点F 在抛物线上运动，当以点B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E 的坐标．【答案】(1)213222y x x =-++(2)存在，3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)541,02⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或541,02⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(7,0)或(1,0)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分两种情况：以C 为顶点，即CP CD =；以D 为顶点，即CD =等腰三角形的定义建立方程即可完成；（3）分三种情况：当BC 是对角线时；当BE 是对角线时；当BF 是对角线时；分别设点与F 的坐标，利用中点坐标公式即可求解．【详解】（1）解：∵点B 的坐标是(40)，，点C 的坐标是(02)，，∴16602a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴所求抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）解：存在(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)232333y x x =-++(2)()2,33E 2039⎫⎪⎭或532,339⎛⎫⎪⎝⎭）根据待定系数法求解即可；∵232333y x x =-++()23143x =--+，∴()1,43D ．令232333y x x =-++中0y =，则解得=1x -或3x =，抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点∵四边形EFGH 是菱形，EFG ∠∴EF FG GH EG ===，∵60EFG ∠=︒，∴EFG 是等边三角形．∴60FEG EF FG ∠=︒=，，∵()2,33E ，()0,33C ，(1,4D ∴2CE CD ==，()24333-+同理可证： EFG 是等边三角形，∵CF FE =，=GE FE ，∴DG ∴CDG CEG ∆∆≌．∴DCG ∠=∴直线CG 的表达式为：33y =与抛物线表达式联立得33y y ⎧=⎪⎨⎪=-(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是直线AC 上方拋物线上一动点，连接BC ，AD ADM △的面积为1S ，BCM 的面积为2S ，当121S S -=时，求点(3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴交直线上是否存在点E ，使以P ，Q ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)223y x x =-++(2)271,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或271,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．(3)符合条件的点E 有三个，坐标为：()0,1E ，(10,132E -【分析】（1）把点()30A ，和()10B -，代入解析式求解即可；（2）由121S S -=得121S S =+从而121ABM ABM S S S S +=++ 程求解即可；（3）分类当CQ 为对角线和菱形边时，利用直线AC 与x 轴成标的方程，进而求出点的坐标．【详解】（1）把点()3,0A 和()1,0B -代入得：93330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）设(),D x y ，对于抛物线223y x x =-++，令0x =，则()0,3C ∴．121S S -= ，121S S ∴=+．∵()30A ，，()0,3C ，∴3OA OB ==，45OCA ∴∠=︒，此时四边形CEQP 是正方形．PQ EQ ∴=．设()2,23P m m m -++，则23PQ m m =-+，23m m m ∴-+=，解得m =此时32OE OC m =-=-=②当CQ 为菱形的边时，如图设()2,23P m m m -++，则∴HQ m =，2PQ m =-+作QH OC ⊥于点H ，45OCA ∠︒= ，∴22CQ HQ m ==．∴23CE PQ m m ==-+=解得：132m =-，23m =()323213OE =+-=+()10,132E ∴-，(20,1E +综上所述，符合条件的点【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点（点A 在点B 左侧），与(1)求ABC 的面积；（3）解：∵抛物线212y x x =--∴()211942212y x x x =--+=-2＋＋∵将抛物线2142y x x =--+沿着水平方向向右平移∴新抛物线为：()112y x =--2＋∴原抛物线与新抛物线的交点，∴()()1111992222x x -=--22＋＋＋，∴解得：0x =，【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与特殊图形，二次函数的平移规律，掌握二次函数与特殊图形的位置关系是解题的关键．类型三、矩形存在性问题(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出【答案】(1)2142y x x =--(2)335,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；254(3)()4,8M -、()8,4N -【分析】（1）把点()4,0A 和点B a 、b 的值；（2）先用待定系数法求出直线2211,422D t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，然后求出最大值时t 的值，即可求出点P （3）假设抛物线上是存在点M ，一条边的四边形为矩形，过点O 点A 且与OH 平行的直线解析式，经计算验证可得过点立方程可求得M 的坐标，通过平移即可求得点【详解】（1）解：把点()4,0A 和点∵()4,0A ，()0,4C -，∴OAC 为等腰直角三角形，∴点H 为AC 的中点，即(H 则OH 所在的直线方程为y =∵四边形AMNC 为矩形，∴过A 与直线AC 相垂直的直线函数解析式中的∴设AM 所在的直线解析式为∵点A 在直线AM 上，(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)将抛物线L 向右平移1个单位，得到新抛物线对称轴l 上是否存在点D ，使得以点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()1,0A -，()3,0B (2)存在，点D 的坐标为()2,1或【分析】（1）分别令0y =和x （2）先求得平移后的抛物线L 角线时，根据矩形的性质求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则解得11x =-，23x =，当AD 为对角线时，连接AC ，过点 ()1,0A -，()0,1C -，∴1OA OC ==，∴45OCA ∠=︒∴45OCG ∠=︒∴1OG OC ==，∴()1,0G ．设CG 所在直线解析式为y kx =+将()0,1C -，()1,0G 代入得，⎧⎨⎩解得11k b =⎧⎨=-⎩，∴CG 所在直线解析式为1y x =-当2x =时，1211y x =-=-=．∴()2,1D ．当AD 为边时，同理过点A 作AC 易得AH 所在直线解析式为y =当AC 为对角线时，DE 也为对角线，∴此种情况不存在．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设PBC 的面积为S ，求S 坐标；(3)已知M 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N ，使以B 的四边形是矩形？若存在，直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22+3y x x =-+(2)S 最大值为278，315(,)24P (3)存在，点1(2,(317))2N +或1(2,(317))2-或(2,1)-或(4,1)．【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，设抛物线(1)(y a x x =+解；（2）如图，过点P 作PD AC ⊥，垂足为点D ，交BC 于点E ，设(,P m 的解析式3y x =-+，于是23PE m m =-+，从而13(22S PE OC m ==- 时，S 最大值为278，进而求得315(,)24P ；设2(,23)P m m m -++设直线BC 的解析式为y kx =033k hh =+⎧⎨=⎩，解得13k h =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+则点(,3)E m m -+，2PE m =-∴2113(22S PE OC m ==´-+ ∴当32m =时，S 最大值为2782915233344m m -++=-++=∴315(,)24P ；（3）存在．设(1,)M p ，如图，223BC =222(13)(0)CM p p =-+-=如图，当BM 为对角线时，∠222BM CM BC =+，即26p p -+01330n p q +=+⎧⎨+=+⎩解得21n q =-⎧⎨=⎩∴点(2,1)N -如图，当CM 为对角线时，MBC ∠222BM BC CM +=，即26p p -+(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P 满足PAB PBA ∠=∠，求点P 的坐标；(3)设M 是抛物线的对称轴上一点，N 是坐标平面内一点，正方形的面积．【答案】(1)32x =-(2)()51,51P --+(3)正方形AMPN 的面积为172或372【分析】（1）由4y x =+可知()4,0A -，()0,4B ，进而求得抛物线解析式为即可得抛物线的对称轴方程；（2）由题意可知PAB PBA ∠=∠，可知PA PB =，进而值OP 其与AB 交于点Q ，可得()2,2Q -，可求得OP 的解析式为则90PDM ACM ∠=∠=︒∴DPM PMD PMD ∠+∠=∠∴(AAS PDM MCA △≌△∴PD MC =，MD AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422MD AC ==-=，则90PEM ACM ∠=∠=︒∴EPM PME PME ∠+∠=∠∴(AAS PEM MCA △≌△∴PE MC =，ME AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422ME AC ==-=，则P y CE MC ME ==+=即：32P x m =-，P y m =-(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线(2)在点P 的运动过程中，求使四边形(3)点N 为平面内任意一点，在（2N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点【答案】(1)()1,0A -，()3,0B ，C (2)32m =-(3)()1221,2Q +，2252,2Q ⎛+ ⎝【分析】（1）分别令0y =，0x =，可求出点∵()3,0B ，()0,3C ，∴3OB OC ==，∴BOC 是等腰直角三角形，∴点()221,2Q +，∴()22132322EQ =+--=-∴PE EQ =，此时点()221,2Q +使得以P ，E 如图，过点E 作EQ PM ⊥于点Q ，过点由（2）得：45BED ∠=︒，∵PM BC ∥，∴45BED DPQ ∠=∠=︒，∴PEQ ，PSQ 是等腰直角三角形，∴此时点Q 使得以P ，E ，Q ，N 为顶点的四边形是正方形；∴132222PS SE PE -===，∴点5232,12S ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，对于321y x =-++，当5212y =-时，222x =+，(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH 点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点标．【答案】(1)抛物线的解析式为2142y x x =-++；(2)4EH =；(3)点N 的坐标为()44，或7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的解析式为4y x =-+，设2142x E x x ⎛ ⎝-++，对称性质求得21422H x x x ⎛⎫- ⎪+⎝-+⎭，，推出2122GH EF x -=-+矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；（3）先求得直线AC 的解析式为24y x =+，分别过点M 、E 作90OPE MQO ∠=∠=︒，90OEP ∠=︒∴OEP MOQ ≌△△，∴PE OQ =，PO MQ =，设2142m E m m ⎛⎫ ⎪⎝-++⎭，，∴PE OQ m ==-，12P m O M Q ==-∵点M 在直线AC 上，∴244212m m m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，解得m =当4m =时，()04M ，，()40E ，，即点M 与点C 重合，点E 与点B 重合时，四边形当1m =-时，512M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，512E ⎛- ⎝，点O 向左平移52个单位，再向下平移则点E 向左平移52个单位，再向下平移∴551122N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，即7322N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．课后训练(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 、Q 为直线BC 下方抛物线上的两点，点Q 的横坐标比点过点P 作PM y ∥轴交BC 于点M ，过点Q 作QN y ∥轴交BC 于点N ，求值及此时点Q 的坐标；(3)如图3，将抛物线()230y ax bx a =+-≠先向右平移1个单位长度，再向下平移长度得到新的抛物线y '，在y '的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E D 、E 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为2=23y x x --(2)当1a =时，max ()4PM QN +=，()2,3Q -(3)()1,2E --或()5,2-或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）设()2,23P a a a --，则()21,4Q a a +-，进而得到(),3M a a -，(N 出222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+，最后根据二次函数的性质即可解答；（3）分以BC 为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．【详解】（1）解：把()1,0A -和()3,0B 代入()230y ax bx a =+-≠，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1a =，2b =-∴222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+∴当1a =时，max ()4PM QN +=∴()2,3Q -．（3）解：由题意可得：()()()222=1213152x y x x x x --'---=---=-，∴y '的对称轴为2x =∵抛物线()230y ax bx a =+-≠与y 轴交于点C ．∴()0,3C -,∵()3,0B ,∴3OC OB ==,45BCO CBO ∠=∠=︒；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的下方，过D 作DF y ⊥轴，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FD =，∴2CF FD ==,325OF =+=,即点()2,5D -，∴点C 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D ，则点B 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到()5,3E -；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的上方，y '的对称轴为2x =与x 轴交于F ，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FO =，∴321BF =-=，∵45CBO ∠=︒，即45DBO ∠=︒，∴321BF FD ==-=,即点()2,1D ，∴点B 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D ，则点C 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点()1,2E --；如图：当BC 为矩形对角线时，设∴BC 的中点F 的坐标为32⎛ ⎝∴2322322m d n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得：m d =⎧⎨+⎩又∵DE BC =,∴()()22222133d n -+-=+联立173d n d n ⎧-=±⎪⎨+=⎪⎩，解得：∴点E 的坐标为3171,2⎛-- ⎝综上，存在()1,2E --或(5,的四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上的动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线y x =上的动点，当点P 在第四象限时，求四边形PBDC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)已知点E 为x 轴上一动点，点Q 为平面内任意一点，是否存在以点P ，C ，E ，Q 为顶点的四边形是以PC 为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2=23y x x --(2)278，315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3333,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭；3333,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；(3,3)-；(3,2)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设()2,23P m m m --，则(,3)H m m -，23PH m m =-+，则2139()228BPC S t ∆=--+，当32t =时，BPC △的面积最大值为从而求出此时四边形PBDC 面积的最大值，P 点坐标；（3）设()2,23P m m m --，(,0)E n ，分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可．【详解】（1）解：将(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-中，得309330a b a b --=⎧⎨+--⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．∴该抛物线的函数表达式为2=23y x x --．（2）解：作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设直线BC 的表达式为：y kx =+得303k n n +=⎧⎨=-⎩，解得13k n =⎧⎨=-⎩，3y x ∴=-．设()2,23P m m m --，则(,H m m ∵BPC CPH BPHS S S =+△△△∴1122BPC S PH OG PH BG =⋅+⋅△∴(21322BPC S PH OB m =⨯=-+△∴28323272BPC S m ⎛⎫=-+ ⎪⎝-⎭△，∴当32m =时，BPC △面积的最大值为BC 与直线y x =平行，1122DBC OBC S S OB OC ∴==⋅=△△∴四边形PBDC 面积的最大值为当32m =时，2332322y ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=315,24P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭（3）解：设()2,23P m m m --，I.如图，当点E 在原点时，即点∵四边形PECQ 为正方形，∴点3(3,)Q -，II.如解图3-2，当四边形PECQ 作PI x ⊥轴，垂足为I ，作QH ⊥又∵90CEO OCE ∠+∠=︒，∴OCE PEO ∠=∠，∴(ASA)OCE PEI ≅ △∴3CO IE ==，22EO IP m ==-同理可得：3QH CO IE ===，∴3OE OI IE m =+=+，HO IO=∴2323m m m +=--，解得：m ∴3332HO IO +==，∴点)33(3,32Q +-，同理可得：PI OE CH ==，IE QH =∴3OE IE IO m =-=+，∴2233m m m =---，解得：m =∴3332HO IO -+==，∴点3,(Q -IV.如解图3-4，当四边形PECQ 为正方形时，同理可得：PI OE CH ==，EI HQ =∴2323m m m -=--，解得：m =∴2HO IO ==，∴点(3,2)Q ，综上所述：点Q 坐标为3333,2⎛+- ⎝【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、数解析式、正方形性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．3．如图，抛物线212y x bx c =++与物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点综上所述，341,22N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或341,22N ⎛- ⎝【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，平行四边形的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．4．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax =(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x m =与x 轴交于点求出抛物线上点M 的坐标；(3)若点P 为抛物线y ax =位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点，在（构成平行四边形？若能构成，求出【答案】(1)223y x x =-++(2)315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)1(2-，15)4或3(2-，7)4或【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；（2）由“直线x m =与x 轴交于点的坐标，进而可得出AN 再利用二次函数的性质，即可求出（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为点的坐标特征，可求出点点P 的坐标为(1,)m ，点Q 线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于得出n 值，再将其代入点【详解】（1）解：将(1,0)-09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：∴抛物线的表达式为y =-（2） 直线x m =与x 轴交于点∴点M 的坐标为2(,m m -。
专题05 二次函数中特殊平行四边形存在性问题(原卷版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题一．平行四边形的存在性1．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．2．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）5．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B （﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二．矩形的存在性6．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023•秦都区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•元宝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是11；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．8．（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．三．菱形的存在性9．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P 作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．14．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．15．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学各类计算题型：二次函数存在性问题(平行四边形)
中考数学| 各类计算题型二次函数存在性问题：平行四边形【一】已知抛物线y=−mx2+4x+2m与x轴交于点A,B 与y轴交点C(0,2).(1)抛物线的解析式。
(2)抛物线的对称轴为l，顶点为D，点C关于直线l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小?若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由。
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D. E. P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标。
【二】如图，抛物线y= -x2+2x+n经过点M（-1，0）顶点为C.（1）求点C的坐标；（2）设直线y=2x与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧）.①在抛物线的对称轴上是否存在点G，使∠AGC=∠BGC？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；②点P在直线y=2x上，点Q在抛物线上，当以O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标.【三】已知抛物线y=ax2+bx+8（a≠0）经过点A （-3，-7），B（3.5），顶点为E，抛物线的对称轴与直线AB交于C。
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式（2）在抛物线上两点AE之间的部分（不包含A，E 两点），是否存在点D，使得S△DAC=2S△DCE？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标。
【四】如图,直线y=x−4与x轴、y轴分别交于A. B两点,抛物线y=1/3x2+bx+c经过A. B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)点M在抛物线上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45∘时，求点M的坐标；(3)点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C. D. P、Q为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由。
二次函数与特殊四边形存在问题(学生版)
二次函数与几何综合专题---- 平行四边形存在性问题【模型解读】考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为：A B D CAB DC x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D BA B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩， 2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩． 当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）y D -y Cx D -x Cy A -y Bx A -x BABC DDCBA引例：已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）． （1）当AB 为对角线时，130120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式： A C B DAC BD x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．【模型实例】1.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2.将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD 交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．3.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线与直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【课后练习】1.如图，已知二次函数y=−38x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y=34x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD 的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L 于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．二次函数与几何综合专题---- 菱形存在性问题【模型解读】作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，故若四边形ABCD 是菱形，则其4个点坐标需满足：A CB D AC BD x x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型： （1）2个定点+1个半动点+1个全动点 （2）1个定点+3个半动点引例：如图，在坐标系中，A 点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D 点坐标，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（p ，q ）． （1）当AB 为对角线时，由题意得：（AB 和CD 互相平分及AC =BC ） ()()()()2222151********m p q m m ⎧+=+⎪⎪+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩，解得：398985m p q ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（2）当AC 为对角线时，由题意得：（AC 和BD 互相平分及BA =BC ）()()()()2222151041514504m p qm ⎧+=+⎪⎪+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩，解得：223m p q =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩或843m p q =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ （3）当AD 为对角线时，由题意得：()()()()2222151401514110p mq m ⎧+=+⎪⎪+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩，解得：153m p q ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩153m p q ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩【模型实例】1.如图，已知直线与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝ax 2+3x +c 经过B 、C 两点，与x 轴的另一个交点为A ，点E 的坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E ，F 关于抛物线的对称轴直线l 对称，Q 点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以E 、F 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+2交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）求△ABC的面积；（2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM＝∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；（3）将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为y′＝ax2+bx+c（a≠0），新抛物线y′与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y′对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为y＝x﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）已知k为正数，当0＜x≤1+k时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝，求k的值；（3）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【课后练习】1.如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点A．已知点B坐标为B（1，0），BC＝3，△ABC面积为6．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AB，交线段AC于点D．求PD长度的最大值及此时P点的坐标；（3）如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程．2.如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．二次函数与几何综合专题---- 矩形存在性问题【模型解读】矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形； （3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：A CB D AC BD x x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=（AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个． 题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点； （2）1个定点+3个半动点．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在坐标系中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】设C 点坐标为（a ，0），D 点坐标为（b ，c ），又A （1，1）、B （4，2）． 先考虑平行四边形存在性：（1）AB 为对角线时，14120a b c +=+⎧⎨+=+⎩，满足此条件的C 、D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，另外AB =CD=综合以上可解：323a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或233a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．故C （3，0）、D （2，3）或C （2，0）、D （3，3）．（2）AC为对角线时，14102a bc+=+⎧⎨+=+⎩，另外AC=BD得：143531abc⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．故C14,03⎛⎫⎪⎝⎭、D5,13⎛⎫-⎪⎝⎭．（3）AD为对角线时，14120b ac+=+⎧⎨+=+⎩，另外AD=BC综合以上可解得：431331abc⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．故C14,03⎛⎫⎪⎝⎭、D13,13⎛⎫⎪⎝⎭．【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算．【模型实例】1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE 的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E，一次函数y＝x+1与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C，且D（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第四象限内抛物线上的一点，过点作PQ⊥AD交AD于点Q，求PQ的最大值以及相应的P点坐标；（3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点R，M点在原抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【课后练习】1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m 的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．点D（2，3）在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点．（1）求该抛物线对应的二次函数的关系式；（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；（3）如图，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为（0，n），点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形．①求n的值；②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．二次函数与几何综合专题----正方形存在性问题【模型解读】作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：（1）2个定点+2个全动点；（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;甚至可以有：（3）4个半动点．不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！常用处理方法：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．引例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C 使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．至于具体求点坐标，以1C 为例，构造△AMB ≌△1C NA ，即可求得1C 坐标．至于像5C 、6C 这两个点的坐标，不难发现，5C 是3AC 或1BC 的中点，6C 是2BC 或4AC 的中点．题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．【模型实例】1.如图，某一次函数与二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象交点为A （﹣1，0），B （4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为 （1，2） ；（3）点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE ⊥x 轴，交线段AB 于点E ，求线段DE 长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．2.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．3.如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．【课后练习】1.已知抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4．（1）求A、B两点的坐标；（2）将抛物线L沿x轴翻折后得到的新抛物线记为L'，且记L和L'的顶点分别记为M、M'，要使点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L的解析式．。
二次函数存在性问题(平行四边形)
有关平行四边形的存在性问题一．知识与方法积累：已知点C(0,2), B(4,0)，点A 为X 轴上一个动点，试在直角坐标平面内确定点M ，使得以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形（画出草图即可）分以下几种情况：（1）以BC 为对角线，BE 为边；2. 方法归纳：先分类；（按对角线和边）再画图；（画草图，确定目标点的大概位置）后计算。
（可利用三角形全等性质和平行四边形性质，准确求点的坐标）二．例题解析：如图，抛物线32++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，31tan =∠OCA ，6=∆ABC S ．（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，请求出点E 的坐标．321123422468OB C 321123422468O B C C A B O y巩固练习：1. 已知抛物线322++-=x x y 与x 轴的一个交点为 A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． 问坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.。
中考复习专题6二次函数与平行四边形存在性问题(含解析)
专题6二次函数与平行四边形存在性问题解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1.平面直角坐标系中，点A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,22x x y y ++.2.平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A C B D x x x x +=+，A C B D y y y y +=+.3.已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内找到一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2022•娄底）如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣6与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）点P （m ，n ）（0＜m ＜6）在抛物线上，当m 取何值时，△PBC 的面积最大？并求出△PBC 面积的最大值．（3）点F 是抛物线上的动点，作FE ∥AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S （2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；四边形PBOC（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），＝x P＝＝3m，∴S△POCS△BOP＝|y P|＝+2m+6），＝＝18，∵S△BOC＝S四边形PBOC﹣S△BOC∴S△PBC+S△POB）﹣S△BOC＝（S△POC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，＝；∴当m＝3时，S△PBC最大方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴S△PBC＝；∴当m＝3时，S△PBC最大（3）如图3，当▱ACFE时，AE∥CF，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，∴F1点的坐标：（4，﹣6），如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．【例2】．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式；（2）先根据（1）中抛物线的表达式求出点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论；（3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1），∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0）．∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，∵该抛物线与直线BC始终有交点，∴Δ＝9﹣4h≥0，∴h≤．∴h的最大值为．（3）存在，理由如下：由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2，∴E（2，﹣1），∴DE＝2，设点M（m，﹣m2+4m﹣3），若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：①当DE为边时，DE∥MN，则N（m，m﹣3），∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．②当DE为对角线时，设点N的坐标为t，则N（t，t﹣3），∴，解得m或（舍），∴N（3，0）．综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．【例3】（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M 坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．【解答】（1）解：由题意得，，∴，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，∴D（﹣1，4），由﹣x2﹣2x+3＝0得，x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AD2＝20，∵C（0，3），∴CD2＝2，AC2＝18，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴tan∠DAC＝＝＝，∵∠BOC＝90°，∴tan∠BCO＝＝，∴∠DAC＝∠BCO；（3）解：如图，作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，∴DE∥FD1，∴△DEC∽△D1FC，∴＝，∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，∴D1（2，1），∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，当x＝0时，y＝﹣3，∴N（0，﹣3），同理可得：，∴，∴OM＝3，∴M（3，0），设P（2，m），当▱MNQP时，∴MN∥PQ，PQ＝MN，∴Q点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，∴Q（﹣1，8），当▱MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，∴Q′（5，﹣8），综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．【例4】（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）①方法一：求出直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，求出x的值，则可得出答案；方法二：求出OD＝3，证明△DEO∽△CEB，由相似三角形的性质得出，设OE＝x，则BE＝3﹣x，列出方程求出x的值，则可得出答案；②分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可．【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+m，将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，，∴，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴直线MN的解析式为y＝x，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，把x＝1代入y＝x，得y＝1，∴D（1，1），方法一：设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，将C（0，﹣3），D（1，1）代入得，，解得，∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，4x﹣3＝0，∴x＝，∴E（，0），∴OE＝．方法二：由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，∵BC∥MN，∴△DEO∽△CEB，∴，设OE＝x，则BE＝3﹣x，∴，解得x＝，∴OE＝．②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知，FD在直线上，∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），由点D在直线MN上，设D（t，t），如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），∵BC∥MN，∴∠OBC＝∠DOB，∵GD∥x轴，∴∠GDF＝∠DOB，∴∠OBC＝∠GDF，又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，∴△DGF≌△BOC（AAS），∴GD＝OB，GF＝OC，∵GD＝t﹣1，OB＝3，∴t﹣1＝3，∴t＝4，∴D（4，4），如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，同理可证△DKF≌△COB（AAS），∴KD＝OC，∵KD＝1﹣t，OC＝3，∴1﹣t＝3，∴t＝﹣2，∴D（﹣2，﹣2）；（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，如图，四边形BFCD为平行四边形，设D（t，t），F（1，n），同理可证△DHC≌△BPF（AAS），∴DH＝BP，HC＝PF，∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，∴，∴，∴D（2，2），F（1，﹣5），综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．1．（2021•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y 轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．【分析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5计算出a，b的值即可；，利用二次函数求最值；（2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），从而有NF＝|﹣m2+5m|＝4，解方程即可求出N的横坐标．【解析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5得：，解得，∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5，（2）作ED⊥x轴于D，由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，∴ED＝sin45°×2t＝，＝＝﹣，∴S△BEP最大为2．当t＝﹣时，S△BEP最大为2．∴当t＝2时，S△BEP（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，∴m1＝1（舍），m2＝4，或m3＝，m4＝，∴点N的横坐标为：4或或．2．（2021•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM ⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求函数解析式；（2）先求出BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），＝×BC×PN＝×PQ×OB，可得PN＝﹣（m﹣2）2+，所以当m＝2时，PN 由面积S△BCP有最大值，P（2，）；（3）由抛物线沿着射线CB的方向平移，可设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，再由新抛物线y'过原点，可求t＝2，则可求新的抛物线解析式为y'＝﹣x2+x，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，求出D（3，2），由点E在y'上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y'上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：①当AE与DF为平行四边形的对角线时，﹣3+＝n+3，得F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，﹣3+n＝3+，得F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，﹣3+3＝n+，得F（﹣，﹣）．【解析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得：，解得：，∴y＝﹣x2+x+4；（2）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B与点C代入可得，，解得，∴y＝﹣x+4，∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴，∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），＝×BC×PN＝×PQ×OB，∴S△BCP∵B（4，0），C（0，4），∴BC＝8，∴8PN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）×4，∴PN＝﹣（m﹣2）2+，∴当m＝2时，PN有最大值，∴P（2，）；（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣+，∵抛物线沿着射线CB设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，∵新抛物线y'过原点，∴0＝﹣+﹣t，解得t＝2或t＝﹣6（舍），∴y'＝﹣+＝﹣x2+x，∵点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，∴x＝3，∴D（3，2），∵y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x＝，∴E点的横坐标为，∵点F为新抛物线y'上一动点，设F点横坐标为n，①当AE与DF为平行四边形的对角线时，∴﹣3+＝n+3，∴n＝﹣，∴F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，∴﹣3+n＝3+，∴n＝，∴F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，∴﹣3+3＝n+，∴n＝﹣，∴F（﹣，﹣）；综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，﹣）．3．（2021•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出a，b的值，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点D的坐标；（2）先求出B，C的坐标，再设E，F的坐标，根据平移的特点列出关系式，求出h的值．【解析】（1）将（1，﹣3），（﹣4，12）代入y＝ax2+bx+b﹣a，得，解得，∴，∴抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为．（2）存在．∵，当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴C（0，﹣2），B（4，0），设，，当四边形BCFE是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，（①+④）÷2得⑤，（④﹣①）÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝±，当四边形BCEF是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，（①+④）÷2得⑤，（④﹣①）÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝或，当h＝时，m＝h+＝+＝8，n＝h﹣＝﹣＝4，∴E（4，0），F（8，2），此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；综上，h的值为或±．4．（2021•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）填空：△ABC的形状是直角三角形．（2）求抛物线的解析式；（3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，求P点坐标；（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．【分析】（1）由tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，即可求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）当△PCD的面积最大时，若直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，进而求解；（4）当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），进而求解；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3+3，即可求解．【解析】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，OC＝3，则tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，故△ABC为直角三角形，故答案为：直角三角形；（2）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3①；（3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，则设直线l∥BC，则设直线l的表达式为：y＝﹣x+c②，当△PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，联立①②并整理得：﹣x2+x+3﹣c＝0③，则△＝（）2﹣4×（﹣）（3﹣c）＝0，解得：c＝，将c的值代入③式并解得x＝，故点P的坐标为（，）；（4）由抛物线的表达式知，点E的坐标为（，4），∵直线BC的表达式为y＝﹣x+3，故点D（，2），设点M的坐标为（m，﹣m+3），点N的坐标为（n，﹣n2+n+3），①当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），则m＝n且﹣m+3±2＝﹣n2+n+3，解得：m＝（舍去）或2或；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3﹣m+3，解得m＝（舍去）或0，综上，m＝0或2或或，故点M的坐标为（0，3）或（2，1）或（，）或（，）．5．（2021•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E 三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．【分析】（1）因为抛物线经过点（2，﹣3a），代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x＝1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b；（2）先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P（2，﹣3），将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求；（3）利用y＝﹣x+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得△DOB是等腰直角三角形，同理可以证得△BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得∠AEF ＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形．【解析】（1）∵抛物线经过点（2，﹣3a），∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，又因为抛物线对称为x＝1，∴②，联立①②，解得，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4），令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线MC为y＝kx﹣3，代入点M得k＝﹣1，∴直线MC为y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴N（﹣3，0），令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），过C作CP∥AN，使CP＝AN，则四边形ANCP为平行四边形，∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴P（2，﹣3），∵P的坐标满足抛物线解析式，∴P（2，﹣3）在抛物线上，即P（2，﹣3）；（3）如图2，令x＝0，则y＝﹣x+3＝3，∴D（0，3），∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，同理，∠ABC＝45°，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠DBO＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形．6．（2021•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．【分析】（1）第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可．（2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值．（3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点．【解析】（1）∵抛物线解析式为y＝ax2+bx+3，令x＝0得y＝3，∴点C坐标为（0，3），∵OG﹣OB＝3，∴B坐标为（3，0），∵tan∠CAO＝3，∴＝3，∴OA＝1，∴点A坐标为（﹣1，0），∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）∵Q为线段PB中点，＝S△CPB，∴S△CPQ面积最大时，△CPQ面积最大．当S△CPB设P坐标（a，﹣a2+2a+3），过点P作PH∥y轴交BC于点H，H坐标为（a，﹣a+3），∴PH＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，S△CPB＝•PH•（x B﹣x C）＝•PH•3＝PH＝（﹣a2+3a）＝﹣（a2﹣3a+﹣）＝﹣（a﹣）2+，当a＝时，即P坐标为（，）时，＝S△CPB＝，最大S△CPQ∴P坐标为（，）；（3）沿CB方向平移2个单位，即向右2个单位，向下2个单位，∴新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2，M坐标为（3，2）C坐标为（0，3），点N坐标设为（n，0），∵＝，∴＝，∴y D＝1，则1＝﹣（x﹣3）2+2﹣1＝﹣（x﹣3）2，（x﹣3）2＝1，x﹣3＝±1，∴x＝4或2，∴x D＝4或x D＝2，＝⇒＝，∴x N＝7，或＝，∴x N＝5，∴N坐标为（7，0）或（5，0），或＝⇒＝，得y D＝﹣1，则﹣1＝﹣（x﹣3）2+2，（x﹣3）2＝3，x＝±+3，∴x D＝3﹣或x D＝3+，即x N＝﹣或，N坐标为（﹣，0）或（，0）．7．（2021•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；（2）由OA＝OB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标；求得P坐标，②当S△COP（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．【解析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2，∴顶点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入得：，解得，∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4，Rt△AOB中，AB＝＝4，∴sin∠ABO＝＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：：S△COP＝1：2，∵S△AOP：S△AOC＝1：3，∴S△AOP∴PQ：CH＝1：3，而C（2，6），即CH＝6，∴PQ＝2，即y P＝2，在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，∴x＝﹣2，∴P（﹣2，2）；②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：：S△AOP＝1：2，∵S△COP：S△AOC＝2：3，∴S△AOP∴PQ：CH＝2：3，∵CH＝6，∴PQ＝4，即y P＝4，在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，∴x＝0，∴P（0，4）；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（﹣2，2）或（0，4）；（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6），∴AN的中点为（，），OC中点为（，），∴，解得，∴N（6，6），②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：解得，∴N（﹣2，6），③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，解得，∴N（﹣6，﹣6），综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．8．（2021•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，B坐标代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法可求；＝S△CEF+S△BEF （2）求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBF＝EF•OP+•BP＝FE•OB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；（3）分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，①过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，通过说明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，点M坐标可求；②利用①中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标．【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得：．解得：．∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线l的解析式为y＝kx+n，将B（3，0），D（0，3）代入上式得：．解得：．∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．∵点P（m，0），EF⊥x轴，∴E点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点F的坐标为（m，﹣m+3）．∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6．∵B（3，0），∴OB＝3．＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP×EF＝FE•OB，∵S四边形CEBF∴＝﹣．∵＜0，有最大值＝．∴当m＝时，S四边形CEBF即：当m＝时，四边形CEBF面积的最大值为．（3）存在．①当点M在直线BD的下方时，如图，令x＝0，则y＝﹣3．∴C（0，﹣3）．∴OC＝3．∵A（﹣1，0），∴OA＝1．过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G，∵四边形ACMN为平行四边形，∴AC∥MN，AC＝MN．∵NF⊥ME，ME⊥OE，∴NF∥OE．∴∠ACO＝∠MNF．在△AOC和△MFN中，．∴△AOC≌△MFN（AAS）．∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．设M（h，h2﹣2h﹣3），则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3．∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．∴N（h﹣1，﹣h+4）．∴NG＝﹣h+4，∵NG+GF＝NF＝3，∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3．解得：h＝（负数不合题意，舍去）．∴h＝．∴M（）．②当点M在直线BD的上方时，如图，过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G，由①知：△MNF≌△CAO（AAS），可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．设M（h，h2﹣2h﹣3），则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．∴NE＝EF+NF＝h+1．∴N（h+1，﹣h+2）．∴GF＝OE＝h﹣2．∵MG+GF＝MF＝3，∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3．解得：h＝（负数不合题意，舍去）．∴h＝．∴M（）．综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为（）或（）．9．（2021•南昌县一模）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x ﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为（﹣1，﹣4m+1）；当二次函数L1，L2的y 值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是﹣1＜x＜3；（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可证四边形AMDN是矩形；（3）根据菱形的性质可得EH1＝EF＝4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【解析】（1）x＝﹣＝﹣1，顶点坐标M为（﹣1，﹣4m+1），由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大．故答案为：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3（2）结论：四边形AMDN由二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）解析式可得：A点坐标为（，0），D点坐标为（，0），顶点M坐标为（﹣1，﹣4m+1），顶点N 坐标为（3，4m﹣1），∴AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），∴AD与MN互相平分，∴四边形AMDN是平行四边形，又∵AD＝MN，∴▱AMDN是矩形．（3）①∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，∵二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，②∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，如图：四个定点分别为E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），则组成四边形EFGH为平行四边形，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．解得：x＝，抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2向左平移或．10．（2022•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（﹣1，0），连接BC，OB＝2OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；（3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．【分析】（1）求出B、C点坐标，将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；（2）先求出BC的解析式，设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），PQ＝﹣t2+3t，由PQ∥CO，可得∠HQP＝∠OCB，利用直角三角形三角函数求出HP＝＝PQ，HQ＝PQ，则△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；（3）求出平移后的函数解析式为y'＝x2+x﹣5，则D（﹣3，﹣5），设M（m，＝m2+m﹣5），E （x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），分三种情况讨论：①以EF为平行四边形的对角线时，M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，求得M（﹣6，4）．【解析】（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵OB＝2OC，∴OB＝6，∴B（6，0），将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝x﹣3，∴设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），∴PQ＝﹣t2+3t，∵CO＝3，BO＝6，∴BC＝3，在Rt△ABC中，sin∠BCO＝，cos∠BCO＝，∵PQ∥CO，∴∠HQP＝∠OCB，∴sin∠HQP＝＝，cos∠HQP＝＝，∴HP＝PQ，HQ＝PQ，∴△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）（﹣t2+3t）＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，∵点P是直线BC下方，∴0＜t＜6，∴当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴平移后的函数解析式为y'＝（x+）2﹣＝x2+x﹣5，∴D（﹣3，﹣5），设M（m，﹣m2+m﹣5），设直线AC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣3x﹣3，设E（x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），①以EF为平行四边形的对角线时，．解得m＝或m＝，∴M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，，解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，∴M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，，解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，∴M（﹣6，4）；综上所述：M点坐标为（，）或（，）或（﹣6，4）．11．（2022•平桂区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与直线y ＝﹣x+3交于点B、C（0，n）．（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求该抛物线的表达式；（3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．【分析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得n＝3，即知C（0，3），根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，得抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；（2）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（3）由P（1，t），B（3，0）可知C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），分两种情况：①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，可得，P（1，﹣2）；②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，，得P（1，﹣8）．【解析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得：n＝3，∴C（0，3），∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，答：C（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；（2）把A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（3）∵点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t，∴P（1，t），∵平移BC使点B与P重合，B（3，0），∴C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，如图：。
与四边形有关的二次函数存在性问题专题训练
与四边形有关的二次函数存在性问题专题训练【知识梳理】【平行四边形存在性问题】问题1：如图直角坐标系中有三个点A，B，C，坐标平面内是否存在点D，使以A，B，C，D 为顶点的四边形为平行四边形？画出D存在的所有情况和位置，如图②代数法以AC为对角线：{x A+x C=x B+x Dy A+y C=y B+y D 以AB为对角线：{x A+x B=x C+x Dy A+y B=y C+y D 以BC为对角线：{x C+x B=x A+x Dy C+y B=y A+y D【菱形存在性问题】问题2：如图直角坐标系中有一点B，C为x轴上一点，坐标平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形？画出所有可能存在的点C的位置，使用的方法为以O、B、C三点做等腰三角形的方法，即两圆一线②代数法以其中一个情况为例，如图，当我们确定O、B、C的位置后，可以以OC、OB为邻边做出菱形OCDB，该四边形可以看作是以OD为对角线的平行四边形，则可以用平行四边形存在性的方法列出两个方程，再用两点间距离公式加入一个OB＝OC的方程即可求解．{x O+x D=x B+x C y O+y D=y B+y C√(x O−x C)2+√(y O−y C)2=√(x O−x B)2+√(y O−y B)2【矩形存在性问题】问题3：如图直角坐标系中有一点B，C为x轴上一点，坐标平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为矩形？①画出所有可能存在的点C的位置，使用的方法为以O，B，C三点做直角三角形的方法，即两线一圆②代数法以其中一个情况为例，如图，当我们确定O，B，C的位置后，可以以OC、OB为邻边做出矩形OCDB，该四边形可以看作是以OC为对角线的平行四边形，则可以用平行四边形存在性的方法列出两个方程，而由于矩形对角线相等，再用两点间距离公式加入一个OC＝BD的方程即可求解{x O+x C=x B+x Dy O+y C=y B+y D√(x O−x C)2+√(y O−y C)2=√(x D−x B)2+√(y D−y B)2【精典训练】【01】如图，直线y x+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线y x2+bx+c 经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．（1）求抛物线的函数解析式．（2）P为抛物线上一动点，Q为x轴上一动点，当以B，C，Q，P为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．【02】如图，抛物线y bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y 轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图．（1）求直线AB和抛物线的表达式；（2）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点且AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【03】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点√10，OB ＝OC＝3OA.(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；(3)在(2)的结论下，点M为x轴上一动点，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在；若不存在，请说明理由．【04】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝2x(x＞0)的图象相交于点A，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴相交于点B(-1，0)，与y轴相交于点C(0，1)．(1)求b和k的值；(2)点M在x轴正半轴上，且△ACM的面积为1，求点M坐标；(3)在(2)的条件下，点P是一次函数y＝kx＋b上一点，点Q是反比例函数y＝2x(x＞0)图象上一点，且点P，Q都在x轴上方．如果以B，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P，Q的坐标．【05】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值．（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【06】已知：P、Q是方程x2－6x＋5＝0的两个实数根，且p＜q，抛物线y＝－x2＋bx＋c 的图象经过点A(p，0)，B(0，q)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C，D，M，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【07】如图，一次函数y x图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【08】如图，抛物线y ＝12x 2＋2x －6与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC.(1)求A 、B ，C 三点的坐标并直接写出直线AC ，BC 的函数表达式．(2)点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l ，交线段AC 于点D. ①试探究：在直线l 上是否存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l 交于点M ，与直线AC 交于点N.当S △DMN ＝S △AOC 时，请直接写出DM 的长．【09】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）若点P 为直线BC 下方抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，△BCP 的面积最大，求△BCP 的最大面积及此时点P 的坐标；（3）点M 为抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，若以点B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形，直接写出点M 的坐标．【10】如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K 为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【11】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)、B(33，0)，两点，与轴交于点C(0，3)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)是直线上方抛物线上一点，作EF⊥BC于点F，求当的长度最大时点E的坐标以及EF长度的最大值；(3)将抛物线沿射线CA方向平移23个单位的距离得到新抛物线，点是平面内一点，点M为新抛物线上一点，若以B，C，M，N为顶点的四边形是以BC为边的矩形，求点M的坐标．【12】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．。
二次函数中的存在性问题(平行四边形)
一、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）1．已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。
点B 的坐标为(1，0),OC=30B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值：(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。
是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知抛物线：x x y 22121+-= （1）求抛物线1y 的顶点坐标.（2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式.（3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线1．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．2．已知：如图所示，关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -，、点(60)B ，，与y 轴交于点C ．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．。
二次函数-平行四边形存在性问题
(-2，2)
(-3，-1)
(4，4) (3，1)
一、知识回顾
2、 如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别
为点的AA((x坐x11,如,标yy11)图)，、、，如BB(在(何xx22平确,,yy22面定))、、直第CC角4((xx个3坐3,,y顶y标33))点、、系的DD中((坐xx，44,标,yy□44)？)，A，B已则C知D这的其4个顶中顶点任点坐意坐标3个标分顶之别间为
0+1= -2+y
y= 3
D3
③点A与点D相对 -1+x= 1+3
x= 5
D1
0+y= -2+1
y= -1
二、典型例题学习
例1 如图，平面直角坐标中，已知中A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，
点D是平面内一动点，若以点A 、B 、 C、 D为顶点的四边形是平行四边
形，则点D的坐标是___(_-_3_,_-_3_)_，___(1__,3__)_，___(_5_,_-_1_).
例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0） ，B（3，0），C（0，-1）三点。 （1）求该抛物线的表达式； （2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为 顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。
典例剖析
例2.如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0， －）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A ，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数专题
——平行四边形的存在性问题
1.P141页，12题第二②问 2.专题专练12，第6题 3.P241理科爱好者，4题第2问
二次函数专题复习平行四边形的存在性问题
如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为
A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，已知其中任意3个顶点 的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？
(x1，y1)
(x4，y4) (x3，y3)
(x2，y2)
一、坐标系中的平移
x1-x2= x4-x3 y1-y2= y4-y3
点M是平面内一点，判断有几个位置能使以点M、A、B、C为顶点的四边形
是平行四边形，请写出相应的坐标．
先求出A(-1,0)，B (2,0)，C(0,2) ，设点M（x，y）
①点A与点B相对
-1+2= 0+x 0+0= 2+y
x= 1 y= -2
②点A与点C相对
-1+0= 2+x 0+2= 0+y
x= -3 y= 2
P(1＋ 7， 3)或(1－
7， 3)或(2，－3)
1．(中考真题)如图，抛物线 y＝－x2＋1bx＋c 与直线 y＝1x＋2
2
2
7
交于
C，D
两点，其中点
C
在
y
轴上，点
2
D
的坐标为(3，7)．点
2
P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，
交 CD 于点 F.
(1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 的横坐标为 m，当 m 为何值时，以 O，C，P，F 为顶点的四边形是平 行四边形？请说明理由；
(x1,y1) (x2,y2)
(x4,y4)
(x3,y3)
x4-x1= x3-x2 y4-y1= y3-y2
x1+x3= x2+x4 y1+y3= y2+y4
二次函数平行四边形存在性问题例题
二次函数平行四边形存在性问题例题
二次函数平行四边形存在性问题例题
一．解答题（共9小题）
1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
）三点．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
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课题
平行四边形存在性问题
解读理念
面向全体学生，着眼于学生的中考，使学生会解决动点产生的平行四边形问题。
学情分析
学生对于平行四边形会按三种情况讨论，但这类问题涉及知识面多，很多学生求不出最后结果，这就需要教师进行必要的引导，帮助分析，寻找解决问题的策略。
教材分析
内容标准
1、按情况分类
2、根据分类列方程组
【三】根据点的坐标画图
教学目标
情感态度价值观目标
培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯
能力目标
经历动点产生的平行四边形作图过程，明确〝动中求静〞的解题策略。
知识目标
理解和掌握动点产生的平行四边形问题中所涉及的平行四边形的性质，二次函数性质，方程等数学知识。
教学资源
1.北师大版九年级中考专题
自主学习的基础上进行小组合作学习，然后由小组代表进行总结补充并展示作品。
小结回顾
总结本节课平行四边形的解决策略
最后归纳性总结
根据个人所学情况进行总结发言.
当堂达标
经验学生的学习效果
看学生的完成情况
完成并展示作业
板书设计
1、中点坐标公式2、平行四边形分类讨论性归纳，学生能够达到梳理形成自己的知识体系并掌握了解决动点产生的平行四边形问题的策略.
2.课件
教学重点
根据分类情况列方程
教学难点
根据二次函数、中点坐标公式用所学知识求解。
方法解读
教学方法
启发式、探究式、参与式教学
教学准备
1.把握教材，了解学生的知识基础和思维层次.
2.教师搜集相关资料，制作多媒体课件.
教学过程
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
导入新课
创设情境，激发学生学习热情
通过学生自己画图找平行四边形激发学生的学习热情.
学生通过分类讨论作图，思考本节课的讲解内容.〔师课件动画展示〕
自主合作、探究学习
1通过课件动画演示三个定点形成平行四边形问题
2.通过课件动画演示动点在函数图像上运动讨论平行四边形问题
3通过相应练习巩固动点产生平行四边形问题。
学习例题，学生分组讨论，寻找解决方案，师巡视指导，师生共同研究，分析题型，总结相应规律.