2017-2018学年北师大版必修25.1 平行关系的判定学案word版
1.5.1平行关系的判定学案(北师大版必修2)
§5 平行关系5.1 平行关系的判定自主学习1．通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理．2．在理解、掌握两个判定定理的基础上，灵活运用解决一些实际问题．1．直线与平面平行的判定定理若__________一条直线与____________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号：__________________________________________________________________．2．平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号：___________________________________________________________________．对点讲练直线与平面平行的判定例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．变式训练1如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在P A、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．平面与平面平行的判定例2已知E、F、E1、F1分别是三棱柱A1B1C1—ABC棱AB、AC、A1B1、A1C1的中点．求证：平面A1EF∥平面E1BCF1．点评 要证平面平行，依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可．另外在证明线线、线面以及面面平行时，常进行如下转化：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→面面平行的判定面面平行．变式训练2 如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ；(2)求S △MNG ∶S △ADC ．线面平行、面面平行的综合应用例3 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?点评 解答开放性问题，要结合题目本身的特点与相应的定理，大胆地猜想，然后证明． 变式训练3 如图所示，已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA ＝SB ＝SC ，SG 为△SAB 上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明．2．平行关系的判定基本思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．面面平行，归根到底是找线面平行，但一定是找两条相交的直线．课时作业一、选择题1．若三条直线a，b，c满足a∥b∥c，且a⊂α，b⊂β，c⊂β，则两个平面α、β的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是() A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内3．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G4．经过平面α外两点，作与平面α平行的平面，则这样的平面可以作()A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个5．点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题6．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行；经过直线外一点有________条直线与已知直线平行．7．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为________________．8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__________________时，有MN∥平面B1BDD1．三、解答题9．如图所示，ABCD与ABEF均为平行四边形，且不在同一平面内，M为对角线AC 上的一点，N为对角线FB上的一点，AM∶FN＝AC∶BF．求证：MN∥平面BCE．10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．§5 平行关系5．1 平行关系的判定答案自学导引1．平面外 此平面内 a ⊆α，b α，且a ∥b ⇒a ∥α2．两条相交直线 a β，b β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α对点讲练例1 证明 取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形，∴EF ∥BO ．∵EF ⊆平面BDD 1B 1，BO 平面BDD 1B 1，∴EF ∥平面BDD 1B 1．变式训练1 证明 连接AF 延长交BC 于G ，连接PG ．在▱ABCD 中，易证△BFG ∽△DF A ．∴GF F A ＝BF FD ＝PE EA， ∴EF ∥PG ．而EF ⊆平面PBC ，PG 平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ．例2 证明∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ．∵EF ⊆平面E 1BCF 1，BC 平面E 1BCF 1，∴EF ∥平面E 1BCF 1．∵A 1E 1綊EB ，∴四边形EBE 1A 1是平行四边形，∴A 1E ∥E 1B ．∵A 1E ⊆平面E 1BCF 1，E 1B 平面E 1BCF 1，∴A 1E ∥平面E 1BCF 1．又∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面A 1EF ∥平面E 1BCF 1．变式训练2 (1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H ．∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BG GH＝2． 连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF ．又PF 平面ACD ，MN ⊆平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ．同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ，∴平面MNG ∥平面ACD ．(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23， ∴MG ＝23PH ．又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD ． 同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ． ∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3，∴S △MNG ∶S △ACD ＝1∶9．例3 解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO ．∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥P A ．∵P 、O 分别为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO ．∴D 1B ∥面P AO ，QB ∥面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO ．变式训练3 解 SG ∥平面DEF ．证明如下：连接GC 交DE 于点H ，连接FH ．∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ．在△ACG 中，D 是AC 的中点，且DH ∥AG ，∴H 为CG 的中点．∴FH 是△SCG 的中位线，∴FH ∥SG ．又SG ⊆平面DEF ，FH 平面DEF ，∴SG∥平面DEF．课时作业1．C2．D[A，B，C在平面α的异侧时，A错；而A，B，C在平面α同侧时，B错；A，B，C在平面α的异侧时，平面ABC有可能垂直于平面α，C错．]3．A4．B[两点的连线可能与平面相交，此时为0个；两点的连线也可能与平面平行，此时可作一个平面．]5．C[由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH．]6．无数17．m，n相交8．M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1．9．证明如图所示，过M作MM1∥AB，交BC于M1，过N作NN1∥AB，交BE于N1，则MM1∥NN1，又AM∶FN＝AC∶BF，∴AMAC＝FNBF，∴MM1AB＝NN1EF．又∵AB＝EF，∴MM1＝NN1．连接M1N1，则四边形MNN1M1是平行四边形．∴MN∥M1N1，又M1N1⊂平面BCE．∴MN∥平面BCE．10．证明如图所示，连接SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵直线EG平面EFG，直线FG平面EFG，直线EG∩直线FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．。
北师大版高一数学必修2第一章第5节平行关系的判定教案
【课题】§5.1 平行关系的判定第一课时直线与平面平行的判定【教学目标】1.掌握直线和平面平行的判定定理,并会运用2.培养发展空间想象能力,推理论证能力,运用图形语言进行交流的能力,几何直观能力3.通过典型例子的分析和自主探索活动,理解数学概念,体会数学思想方法.【教学重点】直线和平面平行的判定定理【教学难点】判定定理的运用【教学思路】通过教师提问式的引导方法引导学生得到直线与平面平行的判定定理,结合学生的自主讨论、自主探索活动写出定理的文字、图形以及符号语言培养空间想象能力.然后利用典型例题加强学生的推理论证能力【教学内容】直线和平面平行的判定定理以及三种语言表述【教学方法】启发引导式教学法、讲议练相结合教学法【教学手段】以传统教学手段为主,多媒体教学以及实物模型教学手段为辅【教学设计理念】1.通过播放幻灯片,激发学生学习的兴趣,体现直观教学的灵便性2.实物举例让学生觉得直线和平面平行的情况在生活中随处可见3.在设计例题与练习时,增加了除长方体、正方体以外的不规则图形以扩大学生视野【教学过程】一、复习回顾：〔师〕直线和平面有哪几种位置关系？〔生〕直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行〔师〕回答的很好，那么能否分别用文字、图形和符号语言描述这几种位置关系（在学生回答时，教师同时在多媒体课件或用幻灯片1投影出直线和平面的位置关系）直线与平面的位置关系：文字语言：直线a在平面α内；直线a与平面α相交；直线a与平面α平行图形语言：符号语言：a⊆αa⋂α=A a∥α〔师〕如何判定一条直线和一个平面平行？﹙教师一边提问一边演示长方体模型，组织学生讨论﹚如图所示：直线BC 与平面A ‘B ‘C ‘D ‘的关系如何？直线AC 与平面A ‘B ‘C ‘D ‘呢？〔生〕B C ∥ A ‘B ‘C ‘D ‘ A C ∥A ‘B ‘C ‘D ‘二、 讲授新课﹙生叙述，教师板书﹚1、定理5.1：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行〔师〕请同学们讨论并写出这个定理的三种表示方法﹙生回答时，教师同时演示幻灯片2﹚ 图形语言： 符号语言：a b a a ααα⊄⎫⎪⊆⇒⎬⎪⎭∥∥b 〔师〕判定一条直线和一个平面平行需要几个条件？能不能缺少一个或几个？〔生〕需要三个条件，缺一不可〔师〕那么如果缺少一个会得到什么结论？并画出图形﹙组织学生讨论﹚〔生甲〕若缺少a α⊄，则结论为a a αα⊆∥或〔生乙〕若缺少b α⊆，则结论为a a αα⋂∥或〔生丙〕若缺少a b ∥，则结论为a a αα⋂∥或（即时训练）幻灯片3： 1.已知直线l 、a 、b 及平面α，下列命题正确的个数是﹙ ﹚（1）,l a a l αα⇒∥∥∥（2）,l a l l ααα⊆⊆⇒∥∥b,a ,b ∥ （3）l 平行与平面α内无数条直线⇒l α∥A ．0B ．1C ．2D ．32.l α⊆直线∥直线m,m ，则直线l 与平面α的位置关系是﹙ ﹚A ．相交B ．平行C ．在平面α内D ．平行或在平面α内三、例题讲解﹙幻灯片4﹚〔师〕请同学们自行分析此题〔生〕E 、F 分别为AB 、AD 的中点可知EF BD ∥,而BD BCD ⊆平面,根据判定定理可得EF BCD ∥平面〔师〕若此题改为“空间四边形ABCD 中,AE AF EB FD =则EF 与平面BCD 的位置关系如何?”幻灯片4 例1:空间四边形 ABCD 中,E 、F 分别为AB 、AD 的中点,判断EF 与平面BCD 的位置关系例 2.如图, 空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,试证明EFGH是平行四边形﹙师生共同讨论证明﹚〔师〕﹙分析﹚根据平面几何知识怎么证明一个四边形是平行四边形？〔生〕证明一组对边平行且相等；两组对边分别平行；两条对角线互相平分；两组对边分别相等；两组对角分别相等即可〔师〕那这几种方法在这里都可使用吗？〔生甲〕都可使用〔师〕请同学们讨论甲同学的回答是否正确？〔生乙〕甲同学的回答不正确，前三种在立体几何中可以使用，而后两者无法证明是平行四边形〔师〕乙同学回答完全正确，在立几中这个四边形首先是在同一平面内，其次再证明是平行的（生证明，师板书）证明：连接AC、BD∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点∴11112222EF AC GH AC EF AC GH AC ==∥，∥且， ∴EF GH EF GH =∥且∴EFGH 是平行四边形〔师〕在证明线面平行的问题中，最关键的是在平面内找到与平面外的直线平行的直线四、课堂练习课本P31、T1、2、3、4（1）五、课堂小结〔师〕请同学们自行总结这节课的主要内容〔生甲〕直线与平面平行的判定定理〔生乙〕判定直线和平面平行需要三个条件，缺一不可〔师〕证明直线与平面平行的关键是什么？〔生丙〕 关键是在这个平面内找到一直线与已知直线平行即可六、课后作业课本P34 ，B 组T1、T3七、板书设计。
北师大版数学高一必修二1.5.1《平行关系的判定》导学案1
1.5．1平行关系的判定 导学案【学习目标】 掌握线面平行的判定定理及应用【重点难点】 线面平行的判定定理【学法指导】归纳推理【知识链接】平面内能证明两条直线平行的方法有哪些？【学习过程】一、直线与平面平行的判定定理：符号表示为 ⎫⎪⎬⎪⎭⇒ l ∥α 图形表示为看课本29页例1填空⎫⎪⎬⎪⎭⇒EF ∥α例2空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：BD∥平面EFGH例2 图 例3 图例3．如图所示，P 是平行ABCD 所在平面外一点，E ，F 分别是PA ，BD 的中点，求证：EF ∥平面PBC练习：1，2，3【回顾小结】本节课学习了线面平行的判定定理及应用【课堂检测】1下列叙述正确的个数是（ ）① 如果,a b 是两条直线a ∥b ，，那麽a 平行经过b 的任何一个平面 ② 如果直线a 平面PDA Bα，那麽a 与α内的任何直线平行 ③如果,a b 满足a ∥α，b ∥α，则直线a ∥bA 0 1 C 2 D 32可以得到一条直线与一个平面平行的条件是A 直线和平面内两条直线平行线不相交B 直线和平面内两条相交直线不相交C 直线和平面内无数条相交直线不相交D 直线 和平面内任何直线不相交3．在长方体中1111ABCD A B C D -中（1）与直线AB 平行的平面是（2）与直线1AA 平行的平面是（3）与直线1AB 平行的平面是4 在正方体中 求证：A C ∥平面11A BC【作业布置】学案61页例1变试训练及例2【自我反思】。
1.5.1平行关系的判定 学案(高中数学必修2北师版)
§5平行关系5．1平行关系的判定教室的门通过门轴可以自由的开关，在开关的过程中，门上竖直的一边与门轴所在边什么关系？与门轴所在墙面又是什么关系？【提示】门上竖直的一边与门轴所在边平行，与墙面也平行．三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？【提示】三角板的一条边所在直线与桌面平行时，三角板所在平面与桌面可能平行，也可能相交．三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时，三角板所在平面与桌面平行．如图1－5－1，四边形ABCD ，ADEF 都是正方形，M ∈BD ，N ∈AE ，且BM ＝AN .图1－5－1求证：MN ∥平面CED .【思路探究】 要证明MN ∥平面CED ，需在平面CED 中找一条直线平行于MN ，进而转化为线线平行的证明．【自主解答】 如图，连接AM 并延长交CD 于点G ，连接GE ，因为AB ∥CD ，所以AM MG ＝BMMD .所以AM MG ＋AM ＝BMMD ＋BM ，即AM AG ＝BM BD. 又因为BD ＝AE 且AN ＝BM ， 所以AM AG ＝ANAE.所以MN ∥GE .又GE 平面CED ，MN 平面CED ，所以MN ∥平面CED .1．本题也可通过过M、N分别作AD的平行线构造平行四边形来寻找平行线证明．2．线面平行的判定方法(1)利用定义证线面无公共点．(2)利用线面平行的判定定理，将线线平行转化为线面平行．本例条件不变，求证：BF∥平面CDE.【证明】∵四边形ABCD，ADEF都是正方形，∴BC綊AD綊EF，∴BC綊EF.∴四边形BCEF是平行四边形，∴BF∥CE.∵BF平面CDE，CE 平面CDE，∴BF∥平面CDE.已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q 分别在P A、BD、PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.图1－5－2求证：平面MNQ∥平面PBC.【思路探究】(1)你认为证明线面平行、面面平行关键是什么？(2)题中所给成比例线段有什么用？(3)能否找到两条相交直线都和平面PBC平行？【自主解答】∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP 平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC.∵BC 平面PBC，MQ平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.1．利用比例线段推出平行关系是解答本题的关键．2．面面平行的判定方法(1)利用定义，证面面无公共点．(2)利用面面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面．图1－5－3如图1－5－3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．求证：平面MNP∥平面A1BD.【证明】如图所示，连接B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD，又PN平面A1BD，BD 平面A1BD，∴PN∥平面A1BD，同理可得MN∥平面A1BD，又∵MN∩PN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，图1－5－4问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?【思路探究】(1)由条件“P是DD1中点”，你猜想Q应在CC1的什么位置？(2)PO与BD1平行吗？。
北师大版必修二1.5《平行关系》word学案
1.5平行关系学案【教学目标】掌握空间元素的平行关系的判定与性质的有关知识， 并能运用这些知识解决与平行有关的问题。
【教学重点】 空间线线、线面、面面平行关系的转化。
【教学难点】线面平行的各种判定方法。
【教学过程】 一. 课前预习1. （ 05北京）在正四面体 P — ABC 中, D, E , F 分别是AB BC CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（）。
A . BC 〃平面PDFB . DF 丄平面PA EC .平面PDF 丄平面 ABCD .平面 PAE 丄平面 ABC2. （05湖北）如图，在三棱柱 ABC - ABC 中，点 E 、F 、H 、K 分别为AC\ CB \ A B 、BC 的中点，ABC 的重心•从K 、 HG B •中取一点作为P ,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行， 则P 为（）。
A. K B . H C . G D . B 3.（05广东）给出下列关于互不相同的直线ml 、n 和平面a 、m 二x,l - = A,点A ； m,则l 与m 不共面；② 若m l 是异面直线，l//ot,m//c （,且n 丄I, n 丄m,则n 丄a ③ 若 1〃 ： ,m 〃 一： // 一则l//m ； ④若 I 二：s m 二 x ,1 ' m =点A,l // :,m// :,则:// :.其中为假命题的是（）。
A .①B .②C .③D .④4. （ 05辽宁）已知 m n 是两条不重合的直线， a 、3、丫是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m_〉，m_ ［，则:// ■-；②若一：」二】」⑦则〉// ■-； ③若 m : , n :, m// n,则-// 1； m 二用,m// 1, n 二.,n // ：,则:// 1其中真命题是（A'K B' C'嘗 HEFaV ,11 f r J占 B3的四个命题：①若④若m n 是异面直线,A.①和②5. 如图所示，在正四棱柱 棱CG 、GD 、DD 、DC 的中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则 M 只须满足 ___________________ 时，就有MN//平面BBDD （请填出你认为正确的一个条件即可，不B .①和③ C.③和④ ABCD-AB i CD 中，E 、F 、G H 分别是D.①和④1必考虑所有可能情况)。
北师大版高中必修25.1平行关系的判断课程设计 (2)
北师大版高中必修25.1平行关系的判断课程设计1. 课程目标本课程旨在通过对平行关系的掌握，使学生掌握平行关系的定义、性质和判定方法，进一步提高他们的数学素养和解决实际问题的能力。
2. 教学内容本课程主要包括以下内容：1.平行线的定义和性质2.平行线的判定方法3.平行四边形的性质3. 教学流程3.1 教学准备1.教师应提前准备好课件和讲义，并测试好电脑和投影仪等教学设备。
2.教师应准备好学生所需的教材和教具。
3.2 知识点讲解3.2.1 平行线的定义和性质平行线是指不相交的两条直线，在同一平面内留下的两个对应的内角或外角相等的直线。
平行线的性质：•平行线与同一直线上的点所成的相邻角互补；•平行线分别与一条横穿它们的第三条直线所成的对应角相等；•平行线分别与一条穿过它们的截线所成的内角互补。
3.2.2 平行线的判定方法平行线的判定方法有以下三种：•利用相邻角或对应角相等来判定；•利用平行四边形的对角线相等来判定；•利用相交线上的内角互补来判定。
3.2.3 平行四边形的性质平行四边形是指四边形中对边平行的四边形。
平行四边形的性质：•对边平行；•对角线相交于他们的中点；•相邻角互补；•对角线等长；•对角线平分另一对角。
3.3 实例演练教师通过展示实例进行讲解，并邀请学生举手回答问题。
3.4 作业布置教师布置作业，要求学生在家完成相关练习。
4. 教学评估教师可以采用小组讨论、课堂测试等方式对学生进行教学评估。
5. 结束语本课程主要讲解了平行关系的定义、性质和判定方法，以及平行四边形的性质。
希望同学们能够认真学习，提高自己的数学素养和解决问题的能力。
北师大版高中数学导学案《平行关系的判定》
§5 平行关系5.1 平行关系的判定（第一课时）【教材分析】本节课的教学内容是《数学2》（必修）第一章立体几何初步§5.1平行关系的判定第一课时，教学课时为2课时．本节的内容主要分为两大部分：直线与平面平行的判定和判定的应用．教材首先回忆直线和平面的三种位置关系，并运用图形表示了这三种关系．引出第一个大问题即如何判定直线和平面平行．教材用数学语言和图形具体表述了直线和平面平行的判定，抽象概括出线面平行的判定定理．教材的例1与例2是对线面平行判定定理的运用．教师在教学时可以根据条件适当运用多媒体辅助教学．【学情分析】线面平行是学生接触立体几何的第一步，也是重要的一步．学生在此之前大脑中对于立体几何的概念认识较浅，在小学和初中阶段，只接触到特殊的立体几何图形，并且涉及的内容多为求表面积和体积，对于几何体内部的认识这里是初步．初学有一定的难度．所以教师在引导学生进入立体几何领域的时候，可以将生活中的常见的图形作为例子，引导学生想象，发展学生的空间想象思维．立体几何是考验和检验学生空间想象能力的重要工具，教师要注意学生的接受能力和反应能力，在授课时注意观察引导，有效提高教学效果．【教学目标】1、知识与技能（1）、会用数学语言、符号语言表述直线与平面的三种位置关系．（2）、会用图形表示直线与平面的三种位置关系．（3）、熟练掌握直线与平面平行的判定定理，会画出对应的图形，会用数学语言、符号语言表述直线与平面平行的判定定理，会用判定定理判断平面外一条直线和平面的位置关系．2、过程与方法经历探究直线与平面平行的判定，提高学生的抽象概括能力和知识运用能力；通过将数学定理应用于实际生活，发展学生的立体几何思维能力．3、情感态度与价值观通过学习直线与平面平行的判定定理，使学生初步了解到立体几何中的常用定理，让学生感受到立体几何中的数学美，促进学生的空间想象能力．【重点难点】教学重点：直线与平面平行的判定．教学难点：探究判定直线与平面的平行．【教学环境】多媒体和普通课堂相结合【教学过程】。
北师大版高中必修25.1平行关系的判断课程设计
北师大版高中必修25.1平行关系的判断课程设计1.引言平行关系是高中数学必修课程中的一个重要概念，是初中数学中同步学习的知识点。
本课程设计针对北师大版高中必修25.1平行关系部分内容，从学生已经学习的知识点出发，引导学生对平行关系的理解和判断。
课程设计将依次介绍平行线的定义和基本性质、判断平行线的方法和平面内角、外角关系及其应用。
2.课程内容分析2.1 平行线的定义和基本性质平行线是在同一平面内且不相交的两条直线，其基本性质包括平行线的性质、平行线之间的相交线性质和平行线之间的距离关系等内容。
2.2 判断平行线的方法判断平行线的方法包括平行线的判定定理和应用题等内容，其中重点讲解的有同位角、内错角、外错角等方法。
2.3 平面内角、外角关系及其应用该部分包括如何计算平面内角、外角度数及其相关公式的推导，以及角的补角、邻角、余角等概念的介绍，应用方面主要有平行四边形面积计算的相关问题。
3.授课方法和课时安排本课程设计采用授课+演示+练习的方式，每次课程时间为50分钟，具体授课内容和安排如下：第1-2课时：平行线的定义和基本性质授课内容：平行线的基本定义和性质、平面内角关系的讲解和应用。
授课方式：采用讲解+图示演示的方式，通过例题讲解平行线之间的各种关系。
练习题目：《北师大版高中必修数学25.1平行关系的判断》部分例题和课后习题。
第3-4课时：判断平行线的方法授课内容：同位角、内错角、外错角的概念及其判断平行线的方法。
授课方式：采用讲解+图示演示的方式，通过例题讲解判断平行线的具体方法。
练习题目：《北师大版高中必修数学25.1平行关系的判断》部分例题和课后习题。
第5-6课时：平面内角、外角关系及其应用授课内容：平面内角和平面外角的概念、计算公式和相关性质。
授课方式：采用讲解+图示演示的方式，通过例题讲解平面内角和外角计算及其应用。
练习题目：《北师大版高中必修数学25.1平行关系的判断》部分例题和课后习题。
北师大版高中必修25.1平行关系的判断教学设计
北师大版高中必修25.1平行关系的判断教学设计一、教学目标1.了解平行关系的概念及其性质；2.掌握判断两直线是否平行的方法；3.能够运用平行关系的性质进行简单证明和应用。
二、教学重难点1.区分平行线和垂直线；2.判断两直线是否平行的方法及其应用；3.运用平行关系的性质进行简单证明和应用。
三、教学内容1.平行线的概念及性质；2.平行线的判定方法；3.平行线的简单证明及应用。
四、教学方法1.讲授法：通过讲解，引导学生理解平行线的概念及性质；2.演示法：通过画图演示，引导学生掌握平行线的判定方法；3.练习法：通过题目练习，引导学生巩固知识，并能运用所学知识进行简单证明和应用。
五、教学过程与设计1. 导入（5分钟）教师通过提问，调动学生已有的数学知识，引出平行线的概念。
如：两条线段有什么关系？两条直线有什么关系？2. 讲解（10分钟）教师讲解平行线的定义与性质，并给出几何图形的例子。
3. 演示（15分钟）教师通过画图演示，引导学生掌握平行线的判定方法，包括：1.线段平行的判定方法；2.角平行的判定方法；3.平行线之间的夹角关系。
4. 练习（20分钟）教师组织学生进行题目练习，巩固所学知识。
然后，教师提供一些简单的证明和应用题目，让学生在训练中掌握运用平行关系的方法。
5. 总结（5分钟）教师总结该节课的学习内容，并对学生所掌握的平行线知识点进行重点强化。
六、教学评价1.教师在教学过程中可以通过讲解、演示、练习等方式，让学生掌握平行线的概念、判定方法，并能运用所学知识进行简单证明和应用；2.教师在教学中可以通过反问、引导等方式，激发学生的学习兴趣，提高教学效果；3.对于学生的掌握情况，可以通过课后的小练习和考试等方式进行评价。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 5.1平行关系的判定》
直线与平面平行的判定教学设计（第一课时）【教学内容解析】本节教材选自北师大版数学必修2第一章第5节，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位．空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础之前的课程已学过空间点、线、面的位置关系及4个公理．空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理借助日常生活中直线与平面平行的例子,通过直观感知、合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理．本节课的教学重点是直线与平面平行的判定定理的初步理解和简单应用．本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线面平行的性质、面面平行的判定与性质的学习作用重大，因为研究过程渗透的数学思想都是化归与转化．【教学目标设置】通过直观感知——观察提炼的认识方法初步理解并掌握直线与平面平行的判定定理．初步掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理，培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力．通过定理的运用，让学生学会在具体问题中正确使用定理，理解使用定理的关键是找平行线，并知道证明线线平行的一般途径．通过对空间直线与平面平行的判定定理的感知、提炼、论证以及应用的过程，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决问题的能力．在定理的获得和应用过程中进一步渗透化归与转化的数学思想，渗透立体几何中将空间问题降维转化为平面问题的一般方法．通过本节课的学习，进一步培养学生从生活空间中抽象出几何图形关系的能力，提高演绎推理、逻辑记忆的能力．让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感．通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．【学生学情分析】通过前面课程的学习，学生对简单几何体的结构特征有了初步认识，对几何体的直观图及三视图的画法有了基本的了解．结合他们生活和学习中的空间实例，学生对空间图形的基本关系也有了大致的了解，初步具备了最朴素的空间观念．由于刚刚接触立体几何不久，学习经验有限，学习立体几何所应具备的语言表达能力及空间想象能力相对不足，他们从生活实例中抽象概括出问题的数学本质的能力相对欠缺，从具体情境发现并归纳出直线与平面平行的判定定理以及对定理的理解是教学难点．【教学策略分析】新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．综合考虑教学内容与学生学情，本节课的教学遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助日常生活中直线与平面平行的例子，通过直观感知，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定定理、理解数学概念，领会数学思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象能力，提高学生的数学逻辑思维能力．教学目标：1理解并掌握直线与平面平行的判定定理2会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理．3直线与平面平行的判定定理的简单应用,进一步培养发现问题、分析问题、解决问题的能力教学重点:直线与平面平行的判定定理的初步理解和简单应用．教学难点:直线与平面平行的判定定理的应用学法指导:学生借助实例,通过观察、类比、思考、探讨,教师予以启发,直线与平面平行的判定定理课时安排:1课时【教学过程】1在空间中直线与平面有几种位置关系？（1）直线在平面内：有无数个公共点；图形:（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行：没有公共点符号语音:__________ ____________ ____________师：强调：我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a⊆/α．2如何判断直线在平面内这一位置关系？1定义: 直线在平面内：有无数个公共点2公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即直线在平面内）3如何判断直线与平面平行这一位置关系？定义：直线与平面平行：没有公共点讨论：根据定义好判断吗？师:根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法．带领同学体会本节课学习的必要性，引出课题．[设计意图：通过提问，学生复习空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。
2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.5平行关系学案北师大版必修22017121531
第1课时平行关系的判定[核心必知]1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系图形语言符号语言直线在平面内 a α直线与平面相交a∩α＝A直线与平面平行a∥α2.直线与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行3.平面与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行[问题思考]1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗？提示：不一定，因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．2．对于平面与平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定．如图中，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．讲一讲1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF ∥平面PAD.[尝试解答]证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.1．判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；(2)判定定理法：aα，bα，a∥b⇒a∥α；(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理．练一练1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于O，连接QO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点．又Q为PA的中点，∴QO∥PC.显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.讲一讲2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.[尝试解答]证明：如图所示，连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF∥A1D1且MF＝A1D1.又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，∴MF＝AD且MF∥AD.∴四边形AMFD是平行四边形．∴AM∥DF.又DF平面EFDB，AM平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.同理可证，AN∥平面EFDB.又AN，AM平面AMN，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.平面平行的判定方法：(1)利用定义，证面面无公共点．(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，如本题．(3)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两个平面平行．练一练2．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．连接ED，ED是△A1BC的中位线，∴ED∥A1B.∵ED 平面A1BD1，A1B 平面A1BD1，∴ED∥平面A1BD1.∵C1D1 BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，∴C1D∥BD1.∵C1D 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，∴C1D∥平面A1BD1.∵C1D∩ED＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.4讲一讲3.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，且BA＝BC＝BD，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.[尝试解答](1)证明：如图连接BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD于P，F，H.∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，BM BN BG则有＝＝＝2，连接PF，FH，PH，MP NF GH有MN∥PF.又PF 平面ACD，MN 平面ACD，∴MN∥平面ACD，同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.MG BG 2 2(2)由(1)可知：＝＝，∴MG＝PH.PH BH 3 31 1又PH＝AD，∴MG＝AD.2 31 1同理NG＝AC，MN＝CD，3 3∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3，故S△MNG∶S△ADC＝1∶9.证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．练一练3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1的中点，判断并证明平面D1BQ与平面PAO的位置关系．解：平面D1BQ∥平面PAO.下面给出证明．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵QB 平面PAO，PA 平面PAO，∴QB∥平面PAO.∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.∵D 1B 平面PAO，PO 平面PAO，∴D1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M∈AD1，N∈BD，且D1M＝DN，求证：MN∥平面CC1D1D.[证明]法一：连AN并延长交DC于E.连接D1、E.AN BN AEBD ∵AB∥CD，∴＝⇒＝.NE ND NE ND∵BD＝AD1，且D1M＝DN，AE AD1∴＝.EN MD1在△AD1E中，MN∥D1E，又MN 平面CC1D1D，D1E 平面CC1D1D，∴MN∥平面CC1D1D.[尝试用另外一种方法解题]法二：过点M作MP∥AD，交DD1于P，过点N作NQ∥AD交CD于点Q，连接PQ，则MP∥NQ，MPD1M 在△D1AD中，＝.1∵NQ∥AD，AD∥BC，∴NQ∥BC.NQ DN在△DBC中，＝，BC DB∵D1M＝DN，D1A＝DB，AD＝BC，∴NQ＝MP.∴四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ.而MN 平面CC 1D1D，PQ 平面CC1D1D，∴MN∥平面CC1D1D.1．在以下说法中，正确的个数是()①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行．A．0 B．1 C．2 D．3解析：选A对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A，B，C三点在β两侧时，α与β相交，故③错误．2．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b α，a∥bB．b α，c∥α，a∥b，a∥cC．b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a α，bα，a∥b解析：选D A项和B项中a有可能在α内，C项中，a可能在α内，也可能与α相交，D项中，a∥α.3．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是() A．MN∥βB．MN与β相交或MN βC．MN∥β或MN βD．MN∥β或MN与β相交或MN β解析：选C当平面β与平面ABC重合时，有MN β；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.又MN β，BCβ，∴MN∥β.综上有MN∥β或MN β.4．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有________对．解析：如图，当六棱柱的底面为正六边形时，互相平行的平面最多有4对，每组对边所在的平面平行，且上下底面平行．答案：45．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．解析：∵a∥α，∴a与平面α没有公共点，若b α，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能．∴b∥α或b与α相交．答案：b∥α或b与α相交6．如图E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG∥B1C1，1且OG＝B1C1，BE∥B1C1，21 且BE＝B1C1，2∴OG∥BE且OG＝BE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.∵OB 平面BB1D1D，GE 平面BB1D1D，∴GE∥平面BB1D1D.(2)由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，∴B1D1∥平面BDF，连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1 平面BDF，BF 平面BDF，∴HD1∥平面BDF，∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.一、选择题1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交解析：选D若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．平行或相交解析：选A如图所示，在平面ABC内，因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以AC∥EF.又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，所以AC∥平面DEF.3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是()A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交解析：选A作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是()①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βA．1 B．2C．3 D．4解析：选A①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．相交或平行解析：选D当M与D 1重合时，∵DD1∥A1A，DD1 面AA1C1C，AA1 面AA1C1C，∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．二、填空题6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案：27．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．解析：如图，取BC中点F，连SF.∵G为△ABC的重心，∴A，G，F共线且AG＝2GF.又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.又SF 平面SBC，EG 平面SBC，∴EG∥平面SBC.答案：EG∥平面SBC8．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.解析：∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH三、解答题9．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD.证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG，GD，1∵M，G分别是A′B，A′C的中点，∴MGBC，21同理DE BC，∴MG DE，2∴四边形DEMG是平行四边形，∴ME∥DG.又ME 平面A′CD，DG 平面A′CD，∴ME∥平面A′CD.10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图所示，连接SB.∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB 平面BDD1B1，EG 平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.(2)∵F，E分别是DC，BC的中点，∴FE∥BD.又∵BD 平面BDD1B1，FE 平面BDD1B1，B1.∴FE∥平面BDD又EG∥平面BDD1B1，且EG 平面EFG，EF 平面EFG，EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面BDD1B1.第2课时平行关系的性质[核心必知]1．直线与平面平行的性质文字语言图形语言符号语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行l∥b2.平面与平面平行的性质文字语言图形语言符号语言如果两个平行平面同时与第三个平面Error!⇒a∥b 相交，那么它们的交线平行[问题思考]1．若直线l与平面α平行，可否认为l与平面α内的任意一条直线都平行？提示：不可．根据线面平行的性质定理，l与过直线l的平面与α的交线平行．2．若平面γ∩β＝a，γ∩α＝b，则a、b的位置关系是什么？提示：平行或相交：当β∥α时，由面面平行的性质定理知a∥b；当α与β相交时，a与b相交或平行．3．如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话对吗？为什么？提示：不对，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．讲一讲1.ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G 和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[尝试解答]证明：连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP∥GH.线面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线面平行的判定线面平行的性质线线平行――→线面平行――→线线平行．练一练1．已知：a∥b，aα，bβ，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∵a∥b，bβ，∴a∥β，又aα，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.讲一讲2．如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．[尝试解答]因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.PA PB 6 8－BD所以＝，即＝.AC BD9 BD24所以BD＝.5由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系．另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面面平行，再由性质证得．练一练2．如图所示，设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：直线MP∥平面β.证明：过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE，BE，∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)取AE中点N，连接NP，MN，∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP β，DE β，MN β，BE β，∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP 平面MNP，∴MP∥β.讲一讲3．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．[尝试解答](1)证明：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQ∥AD，NQ∥PD.而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD.在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：练一练3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．求证：MN∥平面A1CD.证明：设点P为AD的中点，连接MP，NP.∵点M是BC的中点，∴MP∥CD.∵CD 平面A 1CD，MP 平面A1CD，∴MP∥平面A1CD.∵点N是AA1的中点，∴NP∥A1D.∵A 1D 平面A1CD，NP 平面A1CD，∴NP∥平面A1CD.∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，∴平面MNP∥平面A1CD.∵MN 平面MNP，∴MN∥平面A1CD.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．[解]SG∥平面DEF.证明如下：法一：连接CG交DE于H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点，∴FH为△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG 平面DEF，FH 平面DEF，∴SG∥平面DEF.[尝试用另外一种方法解题]法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB，∵EF 平面SAB，SB 平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB.又EF∩DF＝F，EF 平面DEF，DF 平面DEF，∴平面SAB∥平面DEF.又SG 平面SAB，∴SG∥平面DEF.1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有解析：选B设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．2. 若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：选D直线a与点B确定一个平面．这个平面与β有公共点B，则这两个平面就有一条通过B点的直线l，而由两平面平行的性质定理得l∥a.3．设m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n解析：选D A中m与n与同一平面平行，m，n还可能相交或异面；B中α与β可能相交；C中α与β可能相交，只有D正确．4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N是AD的中点，若MN∥平面BDC，则AM∶MB＝________.解析：∵MN∥平面BDC，MN 平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.又∵N是AD的中点，∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.答案：1∶15．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)解析：①②⇒③设过m的平面β与α交于l.∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，∵n α，lα，∴n∥α.答案：①②⇒③(或①③⇒②)6．如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.证明：连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD 1，且CD1 平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1 平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC 平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.一、选择题1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选C a∥α，a与α内的直线没有公共点，所以，a与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b平行的直线与a平行，α内与b相交的直线与a异面．2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是()A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D如图：∵a∥b，且a γ，bγ，∴a∥γ，∵a α且α∩γ＝c，∴a∥c，∴b∥c.3．下列说法正确的个数为()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1 B．2C．3 D．4解析：选B易知①④正确，②不正确；③若α∥β、aβ，则a与α平行，故③不正确．4．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5B．3∶8C．4∶9 D．4∶25解析：选D由题意知，△A′B′C′∽△ABC，S△A′B′C′PA′ 2 4 从而＝2＝2＝.S△ABC(PA)(5 )255．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α，则()A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交解析：选B若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于α.二、填空题6．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．21解析：因为直线EF∥平面AB1C，EF 平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF1∥AC，又因为E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝AC，又因为在2正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2 2，所以EF＝2.答案： 27．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上a一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.3解析：∵MN∥平面AC，PQ＝平面PMN∩平面AC，2a∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，32 2a故PQ＝PD2＋DQ2＝2DP＝.32 2a答案：38．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.解析：A∉a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG.AF AE EG AE AF EG所以＝，又＝，所以＝.AC AB BD AB AC BDAF·BD 5 × 4 20于是EG＝＝＝.AC 5＋4 920答案：9三、解答题9．如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．22解：设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，且A1B 平面A1BC1，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.10．在底面是平行四边形的四棱锥PABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，如图，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC，证明你的结论．解：当F为PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下：如图，取PE的中点M，连接MF、MB，则MF∥CE，∵PE∶ED＝2∶1，∴点E也是MD的中点，连接BD，设BD∩AC＝O.∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OE∥BM，而BM 平面AEC，OE 平面AEC，∴BM∥平面AEC，23同理FM∥平面AEC.又BM∩FM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.又BF 平面BMF，∴BF∥平面AEC.24。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 5.1平行关系的判定》0
直线与平面平行的判定教案会昌中学王少群一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2、过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，通过探索得出直线与平面平行的判定定理，并掌握直线与平面平行的判定定理及其灵活应用。
3、情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、教学重点、难点重点：直线与平面平行的判定定理及应用。
难点：直线与平面平行的判定定理的探索及应用。
三、学法与教学用具学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
教学用具：投影仪（片）四、教学过程设计（一）知识准备、新课引入提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面α有哪几种位置关系？并完成我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为aα提问2：根据直线与平面平行的定义没有公共点来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。
（二）判定定理的探求过程根据日常生活的观察体验，教师提问：从直观上感知哪些实例给我们以直线与平面平行的印象？生1：教室的日光灯与地面平行。
生2：黑板的边缘与地面平行。
生3：课桌上的笔与地面平行，足球场上球门的横梁与足球场平行……从学生列举的日光灯的实例出发，教师提问：如果将日光灯平稳下降，日光灯与地面越来越近，最终……生4：最终日光灯管会落到地面师：对，日光最终灯管会平稳地落到地面．教师利用多媒体动态演示这一过程，并将原来日光灯所在直线记作a，平移到地面（记作平面α）内之后记作直线b，提问：直线a与b是什么位置关系？a//生5：b师：直线a与b有没有公共点？生6：没有公共点师：在平面α内平移b得到c，则直线a与c是什么位置关系？a//生7：c师：直线a与c有没有公共点？生8：没有师：直线a和平面α内的无数条直线都平行吗？学生思考片刻，做出准确回答师追问：直线a 和平面α内的这无数条直线有公共点吗？生8：没有！师：反过来，直线a 和平面α内的这无数条直线都平行，直线a 与平面α平行吗？学生充分讨论后，认为答案是正确的师追问：为什么？生8：这无数条直线可以组成平面，而直线a 与它们均没有公共点，故直线a 和平面α没有公共点 师继续追问：直线a 和平面α没有公共点意味着什么？生8：α//a教师充分肯定学生的发现后，借助多媒体演示直线“铺满”平面的过程，并规范学生的表述，揭示数学的本质师继续追问：直线a 需要和平面α内的这无数条直线都平行吗？生8：不需要师继续追问：几条可以？生：一条！师：（追问）为什么？生9：平面内的无数条直线都可以通过平面内的一条直线平移得到．师：非常好．教师抓住时机，面向全体学生发问：大家能得到空间直线与平面平行的一个判定方法吗？学生思考片刻后，生10举手发言，教师及时肯定学生并纠正其提法，得到定理并板书（教师带领全体学生齐声诵读定理内容）。
2017-2018学年高中数学必修2教学案(北师大)第一章5平行关系Word版含解析
②两条相交直线 a， b 都与平面 β平行，即 a∥ β， b∥ β.
(2) 体现了转化思想：将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．
(3) 此定理可简记为：线面平行
? 面面平行． [小试身手 ]
1．判断下列命题是否正确． (正确的打“√” ，错误的打“×” ) (1) 平面 α内有无数条直线与平面 β平行，则 α∥ β.( ) (2) 若直线 l 上有无数个点都在平面 α外，则直线 l∥ α.( ) (3) 过平面 α外一点 P 只能作一条直线与平面 α平行． ( ) 答案 ： (1)× (2)× (3) ×
层级一 学业水平达标
1．能保证直线 a 与平面 α平行的条件是 ( ) A． b α， a∥ b
B． b α， c∥ α， a∥ b， a∥ c C． b α， A， B∈ a， C， D∈ b，且 AC∥ BD
D． a α， b α， a∥ b 解析： 选 D 由线面平行的判定定理可知，
D 正确．
平行关系
5． 1 平行关系的判定
预习课本 P29～ 31， 思考并完成以下问题 (1) 直线与平面平行的判定定理是什么？它的作用是什么？
(2) 平面与平面平行的判定定理是什么？它的作用是什么？
[新知初探 ] 1． 直线与平面平行的判定定理 (1) 文字语言： 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， (2) 符号语言：若 l α， b α， l∥ b，则 l∥ α. (3) 图形语言：如图所示．
2． 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行
3． 平面与平面平行的判定定理 (1) 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行．
(2) 符号语言：若 a α， b α， a∩b＝ A，并且 a∥ β， b∥ β，则 α∥ β.
2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.5 平行关系学案 北师大版必修2
第1课时平行关系的判定[核心必知]1．直线与平面的位置关系1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗？提示：不一定，因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．2．对于平面与平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定．如图中，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．讲一讲1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD.[尝试解答] 证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.1．判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；(2)判定定理法：aα，bα，a∥b⇒a∥α；(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理．练一练1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于O，连接QO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点．又Q为PA的中点，∴QO∥PC.显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.讲一讲2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.[尝试解答] 证明：如图所示，连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF∥A1D1且MF＝A1D1.又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，∴MF＝AD且MF∥AD.∴四边形AMFD是平行四边形．∴AM∥DF.又DF平面EFDB，AM平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.同理可证，AN∥平面EFDB.又AN，AM平面AMN，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.平面平行的判定方法：(1)利用定义，证面面无公共点．(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，如本题．(3)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两个平面平行．练一练2．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．连接ED，ED是△A1BC的中位线，∴ED∥A1B.∵ED平面A 1BD1，A1B 平面A1BD1，∴ED∥平面A1BD1.∵C1D1BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，∴C1D∥BD1.∵C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴C1D∥平面A1BD1.∵C1D∩ED＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.讲一讲3.如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，且BA ＝BC ＝BD ，M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG ∶S △ADC .[尝试解答] (1)证明：如图连接BM ，BN ，BG 并延长交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， 则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2，连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF .又PF 平面ACD ，MN 平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ， 同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)由(1)可知：MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ，∴△MNG ∽△ACD ，其相似比为1∶3，故S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．练一练3．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，Q 是CC 1的中点，判断并证明平面D 1BQ 与平面PAO 的位置关系．解：平面D 1BQ ∥平面PAO .下面给出证明． ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵QB 平面PAO ，PA 平面PAO ，∴QB ∥平面PAO . ∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO .∵D 1B 平面PAO ，PO 平面PAO ，∴D 1B ∥平面PAO . 又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面PAO .如右图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ∈AD 1，N ∈BD ，且D 1M ＝DN ，求证：MN ∥平面CC 1D 1D .[证明] 法一：连AN 并延长交DC 于E .连接D 1、E . ∵AB ∥CD ，∴AN ＝BN ⇒AE ＝BD.MN 平面 E 1D 1D ， P ， 过点N 作NQ ∥AD 交CD 于点Q ，连接PQ ，则MP ∥NQ ，在△D 1AD 中，MP AD ＝D 1MD 1A.∵NQ ∥AD ，AD ∥BC ， ∴NQ ∥BC . 在△DBC 中，NQ BC ＝DNDB，∵D 1M ＝DN ，D 1A ＝DB ，AD ＝BC ，∴NQ ＝MP . ∴四边形MNQP 为平行四边形，则MN ∥PQ . 而MN 平面CC 1D 1D ，PQ 平面CC 1D 1D ， ∴MN ∥平面CC 1D 1D .1．在以下说法中，正确的个数是( )①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC 的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A ，B ，C 三点在β两侧时，α与β相交，故③错误．2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b α，a ∥bB ．b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ＝BD D ．a α，b α，a ∥b解析：选D A 项和B 项中a 有可能在α内，C 项中，a 可能在α内，也可能与α相交，D 项中，a ∥α.3．若M ，N 分别是△ABC 边AB ，AC 的中点，MN 与过直线BC 的平面β的位置关系是( ) A ．MN ∥βB ．MN 与β相交或MN βC ．MN ∥β或MN βD．MN∥β或MN与β相交或MN β解析：选C 当平面β与平面ABC重合时，有MN β；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.又MNβ，BCβ，∴MN∥β.综上有MN∥β或MN β.4．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有________对．解析：如图，当六棱柱的底面为正六边形时，互相平行的平面最多有4对，每组对边所在的平面平行，且上下底面平行．答案：45．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．解析：∵a∥α，∴a与平面α没有公共点，若bα，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能．∴b∥α或b与α相交．答案：b∥α或b与α相交6．如图E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG∥B1C1，且OG ＝12B 1C 1，BE ∥B 1C 1，且BE ＝12B 1C 1，∴OG ∥BE 且OG ＝BE ，四边形BEGO 为平行四边形，∴OB ∥GE . ∵OB 平面BB 1D 1D ，GE 平面BB 1D 1D ，∴GE ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ， ∵B 1D 1 平面BDF ，BD 平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF ，连接HB ，D 1F ， 易证HBFD 1是平行四边形，得HD 1∥BF . ∵HD 1 平面BDF ，BF 平面BDF ， ∴HD 1∥平面BDF ， ∵B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .一、选择题1．已知b 是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b ∥α的是( ) A ．b 与α内的一条直线不相交 B ．b 与α内的两条直线不相交 C ．b 与α内的无数条直线不相交 D ．b 与α内的所有直线不相交解析：选D 若b 与α内的所有直线不相交，即b 与α无公共点，故b ∥α. 2．空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，则对角线AC 和平面DEF 的关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．平行或相交 解析：选A 如图所示，在平面ABC 内，因为AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，所以AC∥EF.又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，所以AC∥平面DEF.3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是( )A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交解析：选A 作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是( )①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n ∥β，且m∥n，则α∥βA．1 B．2C．3 D．4解析：选A ①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是( )A．平行 B．相交C．在平面内 D．相交或平行解析：选D 当M与D1重合时，∵DD1∥A1A，DD1面AA1C1C，AA1面AA1C1C，∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．二、填空题6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案：27．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC 的关系为________．解析：如图，取BC中点F，连SF.∵G为△ABC的重心，∴A，G，F共线且AG＝2GF.又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.又SF 平面SBC，EG平面SBC，∴EG∥平面SBC.答案：EG∥平面SBC8．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.解析：∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH三、解答题9．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD.证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG，GD，∵M ，G 分别是A ′B ，A ′C 的中点，∴MG 12BC ， 同理DE12BC ，∴MG DE ，∴四边形DEMG 是平行四边形， ∴ME ∥DG .又ME 平面A ′CD ，DG 平面A ′CD ， ∴ME ∥平面A ′CD .10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点．求证：(1)EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.证明：(1)如图所示，连接SB .∵E ，G 分别是BC ，SC 的中点， ∴EG ∥SB .又∵SB 平面BDD 1B 1，EG 平面BDD 1B 1，∴EG ∥平面BDD 1B 1. (2)∵F ，E 分别是DC ，BC 的中点，∴FE ∥BD . 又∵BD 平面BDD 1B 1，FE 平面BDD 1B 1， ∴FE ∥平面BDD 1B 1.又EG ∥平面BDD 1B 1，且EG 平面EFG ，EF 平面EFG ，EF ∩EG ＝E ，∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.第2课时 平行关系的性质[核心必知]1．直线与平面平行的性质l ∥b1．若直线l 与平面α平行，可否认为l 与平面α内的任意一条直线都平行？ 提示：不可．根据线面平行的性质定理，l 与过直线l 的平面与α的交线平行． 2．若平面γ∩β＝a ，γ∩α＝b ，则a 、b 的位置关系是什么？提示：平行或相交：当β∥α时，由面面平行的性质定理知a ∥b ；当α与β相交时，a 与b 相交或平行．3．如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话对吗？为什么？提示：不对，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．讲一讲1.ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .[尝试解答] 证明：连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点． 又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA ∥平面BMD .∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴AP ∥GH .线面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→线面平行的性质线线平行．练一练1．已知：a ∥b ，a α，b β，α∩β＝l .求证：a ∥b ∥l . 证明：如图所示，∵a ∥b ，b β，∴a ∥β，又a α，α∩β＝l ， ∴a ∥l ， 又a ∥b ， ∴a ∥b ∥l .讲一讲2．如图，已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．[尝试解答] 因为AC ∩BD ＝P ， 所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以PA AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD.所以BD ＝245.由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系．另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面面平行，再由性质证得．练一练2．如图所示，设AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB ，CD 为异面直线，M ，P 分别为AB ，CD 的中点．求证：直线MP ∥平面β.证明：过点A 作AE ∥CD 交平面β于E ，连接DE ，BE ，∵AE ∥CD ，∴AE 、CD 确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE .由于α∥β，∴AC ∥DE (面面平行的性质定理) 取AE 中点N ，连接NP ，MN ，∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP β，DE β，MN β，BE β，∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP平面MNP，∴MP∥β.讲一讲3．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．[尝试解答] (1)证明：因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQ∥AD，NQ∥PD.而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD.在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：练一练3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．求证：MN∥平面A1CD.证明：设点P为AD的中点，连接MP，NP.∵点M是BC的中点，∴MP∥CD.∵CD 平面A1CD，MP 平面A1CD，∴MP∥平面A1CD.∵点N是AA1的中点，∴NP∥A1D.∵A 1D 平面A1CD，NP 平面A1CD，∴NP∥平面A1CD.∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，∴平面MNP∥平面A1CD.∵MN 平面MNP，∴MN∥平面A1CD.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．[解] SG∥平面DEF.证明如下：法一：连接CG交DE于H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点，∴FH为△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG平面DEF，FH 平面DEF，∴SG∥平面DEF.[尝试用另外一种方法解题]法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB，∵EF平面SAB，SB 平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB.又EF∩DF＝F，EF 平面DEF，DF 平面DEF，∴平面SAB∥平面DEF.又SG 平面SAB，∴SG∥平面DEF.1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( ) A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有解析：选B 设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．2. 若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：选D 直线a与点B确定一个平面．这个平面与β有公共点B，则这两个平面就有一条通过B点的直线l，而由两平面平行的性质定理得l∥a.3．设m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n解析：选D A中m与n与同一平面平行，m，n还可能相交或异面；B中α与β可能相交；C中α与β可能相交，只有D正确．4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N是AD的中点，若MN∥平面BDC，则AM∶MB＝________.解析：∵MN∥平面BDC，MN 平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.又∵N是AD的中点，∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.答案：1∶15．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)解析：①②⇒③设过m的平面β与α交于l.∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，∵nα，lα，∴n∥α.答案：①②⇒③(或①③⇒②)6．如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.证明：连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD 1，且CD1 平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1 平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC 平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.一、选择题1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面 D．平行或异面解析：选C a∥α，a与α内的直线没有公共点，所以，a与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b平行的直线与a平行，α内与b相交的直线与a异面．2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c 与a，b的位置关系是( )A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行解析：选D 如图：∵a ∥b ，且a γ，b γ，∴a ∥γ， ∵a α且α∩γ＝c ，∴a ∥c ，∴b ∥c .3．下列说法正确的个数为( )①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 易知①④正确，②不正确；③若α∥β、a β，则a 与α平行，故③不正确．4．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )A ．2∶5B ．3∶8C ．4∶9D ．4∶25解析：选D 由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ， 从而S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝425. 5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( ) A ．α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于αD ．△ABC 中只可能有一边与α相交解析：选B 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.二、填空题6．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22答案： 27．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.解析：∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面AC ，A 在α另一侧，点B ，C ，D ∈a .线段AB ，AC ，AD ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.解析：A ∉a ，则点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD . 因为a ∥α，且α∩平面ABD ＝EG ， 所以a ∥EG ，即BD ∥EG .所以AF AC ＝AEAB ，又EG BD ＝AE AB ，所以AF AC ＝EG BD.于是EG ＝AF ·BD AC ＝5×45＋4＝209. 答案：209三、解答题9．如图，棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．解：设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 因为A 1B ∥平面B 1CD ， 且A 1B 平面A 1BC 1， 所以A 1B ∥DE . 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1.10．在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，如图，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ，证明你的结论．解：当F 为PC 的中点时，BF ∥平面AEC . 证明如下：如图，取PE 的中点M ，连接MF 、MB ，则MF∥CE，∵PE∶ED＝2∶1，∴点E也是MD的中点，连接BD，设BD∩AC＝O.∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OE∥BM，而BM 平面AEC，OE 平面AEC，∴BM∥平面AEC，同理FM∥平面AEC.又BM∩FM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.又BF 平面BMF，∴BF∥平面AEC.。
北师大版数学高一必修二1.5.1平行关系的判定2 学案
1.5．1平行关系的判定2 （学案）一、学习目标1．理解并掌握线面平行与两个平面平行的定义． 2．掌握线面平行与两个平面平行的判定定理的证明．3．会画平行或相交平面的空间图形，并用字母或符号表示，进一步培养学生的空间想象能力．二、学习重点、难点1．学习重点：掌握线面平行与两个平面平行的判定定理． 2．学习难点：掌握平行的判定定理的证明及其应用． 学习过程：一、课前准备：阅读课本P 2 8 – 3 1自主学习1.直线和平面的位置关系有 、 、2.两个平面的位置关系有 、3.直线与面平行的判定4.平面与面平行的判定自主测评1.下列条件中，能得出直线a 与平面α平行的条件是（ ）//,//,//.,//,,//.,,,,,,..c a a b c D b a b b a bC A a B a C bD b AC BDA B a b b αααααα∈∈∈∈=且 2.判断下列命题的正误．（1）．如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行．（2）. 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（3）．垂直于同一直线的两直线平行．（4）．分别在两个平行平面内的两条直线都平行（5）．如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（6）．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（7）．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则此直线行平该平面．//a A a B a C a D a βββββ3.如果直线平面，那么（）平面内不存在与垂直的直线（）平面内有且只有一条直线与垂直（）平面内有且只有一条直线与平行（）平面内有无数条直线与不平行二、新课导学探究一:如何两个判定直线与平面平行三、巩固应用例 1.已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、判断EF 与平面BCD 的位置关系.变式练习: 如图空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ,BC ,CD ,AD 的中点.试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况.探究二:如何两个判定平面平行例2 已知：在正方体1111D C B A ABCD -中；求证：平面11AB D //平面1C BD .四、能力拓展1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四条直线中与平面AB 1C 平行的是（ ） A .. DD 1 B . A 1D 1 C . C 1D 1 D . A 1D2.平面α 与平面β平行的条件可以是 （ ） A. 平面 α内有无数条直线都与平面β平行B.直线//,//,a a a αβ且直线不在α内，也不在平面β内C. 直线,,//,//ba b a βαβα直线且D. 平面 α内的任意直线都与平面β平行3.如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P ,Q ,R 分别为BC ,CD ,CC 1的中点 (1)判断直线B 1D 1与平面PQR 的位置关系 (2)判断平面AB 1D 1与平面PQR 的位置关系 (3)判断平面D D 1B 1B 与平面PQR 的位置关系4.已知如图，四棱锥P-ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，E 为PB 的中点，求证：EO // 面PAD五、总结提升1.直线和平面相互平行证明方法有哪些2.证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明 （2）判定定理 （3）垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：a ⊥α，a ⊥β则α∥β. （4）平行于同一个平面的两个平面平行.//,////αβαγβγ⇒。
2017_2018版高中数学第一章立体几何初步5_1平行关系的判定学案北师大版必修2
∴在四边形ABCD中，BE∥CD.
又CD 平面FEB，BE平面FEB，
∴CD∥平面FEB.
在△APD中，EF∥PD，
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD＝D，
∴平面PCD∥平面FEB.
5．1 平行关系的判定
学习目标 1.明白得直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并明白其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
知识点一 直线与平面平行的判定定理
试探 如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动进程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
梳理 判定定理
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直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与____________________________，则该直线与此平面平行
⇒a∥α
⇒α∥β
类型一 直线与平面平行的判定问题
例1 如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N别离是SA，BD上的点，且 ＝ .
求证：MN∥平面SBC.
引申探讨
本例中假设M，N别离是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.
反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其经常使用方式有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线别离平行，那么α∥β.
【教育专用】2018北师大版高中数学必修二学案：第一章 5.1 平行关系的判定
5．1 平行关系的判定学习目标 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．知识点一 直线与平面平行的判定定理思考 如图，一块矩形木板ABCD 的一边AB 在平面α内，把这块木板绕AB 转动，在转动过程中，AB 的对边CD (不落在α内)和平面α有何位置关系？梳理 判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a αb αa ∥b ⇒a ∥α知识点二 平面与平面平行的判定定理思考1三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？思考2三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？梳理判定定理⎭⎪⎬⎪⎫aβbβa∥αb∥α⇒α∥β类型一直线与平面平行的判定问题命题角度1以锥体为背景证明线面平行例1如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM ＝DNNB.求证：MN∥平面SBC.引申探究本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.反思与感悟利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．命题角度2以柱体为背景证明线面平行例2如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC，A1C1的中点，求证：EF∥平面A1CD.反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线．跟踪训练2如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)求证：BC1∥平面AB1D1；(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.类型二平面与平面平行的判定例3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.反思与感悟判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练3如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A．不可能作出B．只能作出一个C．能作出无数个D．上述三种情况都存在3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个5. 如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F、E分别是PA，AD 的中点，求证：平面PCD∥平面FEB.1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．答案精析问题导学知识点一思考平行．梳理此平面内一条直线平行知识点二思考1不一定．思考2 平行．梳理 两条相交直线 a ∩b ＝P 题型探究例1 证明 连接AN 并延长交BC 于点P ，连接SP .因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝ANNP ，又因为AM SM ＝DN NB，所以AM SM ＝ANNP ，所以MN ∥SP ，又MN平面SBC ，SP 平面SBC ，所以MN ∥平面SBC . 引申探究证明 连接AC ，由平行四边形的性质可知，AC 必过BD 的中点N ，在△SAC 中，M ，N 分别为SA ，AC 的中点，MN ∥SC ，又因为SC 平面SBC ，MN 平面SBC ，所以MN ∥平面SBC .跟踪训练1 平面ABD 与平面ABC解析 如图，取CD 的中点E ，连接AE ，BE .则EM ∶MA ＝1∶2， EN ∶BN ＝1∶2， 所以MN ∥AB .又AB 平面ABD ，MN 平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ，同理，AB 平面ABC ，MN 平面ABC ，所以MN ∥平面ABC .例2 证明 ∵在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为A 1C 1的中点， ∴A 1F 綊12AC ，∵D 、E 分别是棱AB ，BC 的中点， ∴DE 綊12AC ，∴A 1F 綊DE ，则四边形A 1DEF 为平行四边形， ∴EF ∥A 1D .又EF平面A 1CD 且A 1D 平面A 1CD ，∴EF ∥平面A 1CD .跟踪训练2 证明 (1)∵BC 1 平面AB 1D 1，AD 1平面AB 1D 1，BC 1∥AD 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1.(2)∵点F 为BD 的中点，∴F 为AC 的中点，又∵点E 为D 1C 的中点，∴EF ∥AD 1，∵EF平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴EF ∥平面ADD 1A 1. 例3 证明 (1)因为G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 所以GH 是△A 1B 1C 1的中位线， 所以GH ∥B 1C 1.又因为B 1C 1∥BC ，所以GH ∥BC ， 所以B ，C ，H ，G 四点共面． (2)因为E ，F 分别是AB ，AC 的中点， 所以EF ∥BC .因为EF平面BCHG ，BC 平面BCHG ，所以EF ∥平面BCHG . 因为A 1G ∥EB ，A 1G ＝EB ， 所以四边形A 1EBG 是平行四边形， 所以A 1E ∥GB .因为A 1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.跟踪训练3解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.又∵AP平面APO，QB平面APO，∴QB∥平面APO.∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.当堂训练1．D 2.D 3.A 4.B5．证明连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，∴BE⊥AD，又CD⊥AD，∴在四边形ABCD中，BE∥CD.又CD平面FEB，BE平面FEB，∴CD∥平面FEB.在△APD中，EF∥PD，同理可得PD∥平面FEB.又CD∩PD＝D，∴平面PCD∥平面FEB.。
2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.5平行关系1.5.2平行关系的性质学案北师大版必修2
5.2 平行关系的性质1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题.(重点)2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.(难点)3.综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面平行的性质定理阅读教材P32“练习”以下至P33“例4”以上部分，完成下列问题.文字语言符号语言图形语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a∥αaβα∩β＝b⇒a∥b如图1519所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )图1519A.平行B.相交C.异面D.不确定【解析】∵EH∥FG，EH⊆/平面BCD，FG平面BCD，∴EH∥平面BCD，∵EH平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD.【答案】 A教材整理2 面面平行的性质定理阅读教材P33“练习1”以下至P34“练习2”以上部分，完成下列问题.文字语言符号语言图形语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∩α＝aγ∩β＝b⇒a∥b六棱柱的两底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD 的位置关系为__________.【解析】∵AD∥BC，∴A，B，C，D共面，设为γ，由题意知，α∩γ＝AB，β∩γ＝CD，又α∥β，∴AB∥CD.【答案】平行[小组合作型]线面平行性质的应用如图11111B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.【导学号：39292030】图1520【精彩点拨】从图形上看，若我们能设法证明FG∥A1D1即可证明FG∥平面ADD1A1.【自主解答】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊆/平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊆/平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.1.直线与平面平行的性质定理，可以用来证明线线平行.2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”.[再练一题]1.如图1521所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.图1521(1)求证：AC＝BD；(2)满足什么条件时，四边形ABDC为正方形？【解】(1)证明：如图所示，连接CD，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，又∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，∴AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC＝BD.(2)由(1)知ABDC为平行四边形，所以当AB＝AC且AB⊥AC时，四边形ABDC为正方形.面面平行性质的应用如图1522，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图1522(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长.【精彩点拨】 由PB 与PD 相交于点P ，可知PB ，PD 确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.【自主解答】 (1)证明：∵PB ∩PD ＝P ， ∴直线PB 和PD 确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . 又α∥β，∴AC ∥BD . (2)由(1)，得AC ∥BD ，∴PA AB ＝PCCD，∴45＝3CD ，∴CD ＝154(cm)， ∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm).1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； (2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论.2.面面平行的性质定理的本质：化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行转化为线线平行.[再练一题]2.已知α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34，求当S 在α，β之间时SC 的长.【解】 如图所示. ∵AB 与CD 相交于S ，∴AB ，CD 可确定平面γ，且α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . ∵α∥β，∴AC ∥BD ，∴SA SB ＝SC SD ，∴SA SA ＋SB ＝SC CD ，即SC 34＝817，解得SC ＝16.[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 如图1523所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l，直线l与直线BC平行吗？请说明理由.图1523【提示】法一：平行.因为BC∥AD，BC⊆/平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.法二：连接CM，并延长交AD于Q，连接PQ，由AD∥BC，且AM＝BM，得QM＝CM又PN＝CN，则MN是△CPQ的中位线，所以MN∥PQ，又MN⊆/平面PAD，PQ平面PAD，则MN∥平面PAD.探究2 上述问题中条件不变，试判断MN与平面PAD是否平行，并证明你的结论.【提示】平行.取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE，MN⊆/平面PAD，AE平面PAD，所以MN∥平面PAD.如图1524所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.图1524【精彩点拨】连接AC交BD于O，连接MO→MO是△PAC的中位线→PA∥MO→PA∥平面BMD→PA∥GH→GH∥平面PAD【自主解答】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP⊆/平面BDM，OM平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA平面PAD，GH⊆/平面PAD，∴GH∥平面PAD.1.本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化.2.空间平行关系的转化图：[再练一题]3.如图1525，三棱锥ABCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH.图1525【证明】由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊆/平面BCD，GH平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF 平面EFGH ，CD ⊆/平面EFGH ，∴CD ∥平面EFGH .1.已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( ) A.α∩β＝a ，bα⇒a ∥bB.α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC.a ∥β，b ∥β，aα，b α⇒α∥βD.α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b 【解析】 由面面平行的性质定理知D 正确. 【答案】 D2.若平面α∥平面β，直线a α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A.不一定存在与a 平行的直线B.只有两条与a 平行C.存在无数多条直线与a 平行D.存在唯一一条直线与a 平行【解析】 设点B 与直线a 确定一平面为γ，γ∩β＝b ， ∴a ∥b . 【答案】 D3.已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则a 与β的位置关系为________. 【解析】 若aβ，则显然满足题目条件.若a ⊆/β，过直线a 作平面γ，γ∩α＝b ，γ∩β＝c ，于是由直线a ∥平面α得a ∥b ，由α∥β得b ∥c ，所以a ∥c ，又a ⊆/β，cβ，所以a ∥β.【答案】 aβ或a ∥β4.过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________.【解析】 两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以PA PB ＝ACBD，又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.【答案】 125.如图1526，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD ＝2，DD 1＝AB ＝1，P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点.求证：AC ∥平面BPQ .【导学号：39292031】图1526【证明】连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1⊆/平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1⊆/平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.。
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直线与平面平行的判定
1．理解并掌握直线与平面平行的判定定理，明确定理中“平面外”三个字的重要性．2．能利用判定定理证明线面平行问题．
a
直线与平面平行的判定定理告诉我们，可以通过直线间的平行来证明直线与平面平行．通常我们将其记为“线线平行，则线面平行”．因此，处理线面平行转化为处理线线平行来解决．也就是说，以后要证明一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行即可．
【做一做】如图所示，E，F分别为三棱锥A-BCD的棱BC，BA上的点，且BE∶BC ＝B F∶BA＝1∶3.
求证：E F∥平面ACD.
答案：平面外平行平行
【做一做】证明：∵BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3，
∴EF∥AC.又EF平面ACD，AC平面ACD，
∴EF∥平面ACD.
1．理解直线与平面平行的判定定理
剖析：(1)此定理可以简记为：若线线平行，则线面平行．线线平行是条件，是平面问题，而线面平行是结论，是空间问题．这一定理体现了空间问题向平面问题转化的思想．
(2)要证明平面外的一条直线和这个平面平行，只要在这个平面内找到一条直线和已知
直线平行即可．
(3)定理中的三个条件a∥b，a⊄α，bα缺一不可．
在证明线面平行时，一定要说明一条直线在平面内，一条直线在平面外，这样才可得到结论．
2．一条直线平行于一个平面内无数条直线，这条直线不一定平行于这个平面
剖析：可通过举反例，明确直线与平面平行的判定定理的使用条件．
例如：如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作E F ∥AD交CD于点F，用同样的方法可以在平面AC内作出无数条与AD平行的直线，很明显直线AD平行于平面AC内这无数条直线，但是AD平面AC.所以一条直线平行于一个平面内无数条直线，这条直线不一定平行于这个平面．判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即bα；(3)两条直线a，b平行，即a∥b.这三个条件缺一不可．本例中不满足条件(1)．
题型一：证明直线与平面平行
【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM ＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
反思：1.判定直线与平面平行的常用方法
(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助反证法来完成证明．
(2)判定定理法：在平面内找到一条直线与已知直线平行．如本题．
2．用直线与平面平行的判定定理证明线面平行
(1)基本步骤：
(2)上面的第一步是证题的关键，其常用方法有：①利用三角形中位线，梯形中位线的性质；②利用平行四边形的性质；③利用平行线分线段成比例定理．
题型二：易错辨析
易错点忽视定理条件导致证明不完整
【例2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：E F∥平面BB1D1D.
错解：如图，连接C1E，并延长至G点，使GE＝C1E，连接D1G.
在△C1D1G中，F是C1D1的中点，E是C1G的中点，所以E F∥D1G.
而E F⊄平面BB1D1D，D1G平面BB1D1D，故E F∥平面BB1D1D.
错因分析：上述证明中，“D1G平面BB1D1D”这一结论没有根据，只是主观认为D1G在平面BB1D1D内，说明在利用线面平行的判定定理时，对两条直线平行比较关注，而对另外两个条件(一直线在平面内，另一直线在平面外)忽视，大多数情况下这两个条件在作图(添加辅助线)时就可以清楚地表达出来，一般不需单独证明，而本题作图过程看不出D1G平面BB1D1D的理论依据，而且题设条件“E是BC的中点”没有用到，而没有这一条件，结论会成立吗？比如把E点移到B点，显然结论不成立．
反思：利用判定定理证明线面平行时，所满足的三个条件必须是明显的或证明成立的，否则其证明过程不严密．
答案：【例1】
证明：如图，作ME∥BC，交BB1于E，作NF∥AD，交AB于F，连接EF，
则EF平面AA1B1B，
且ME
BC＝
B1M
B1C，
NF
AD＝
BN
BD.
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CM＝DN，B1C＝BD，∴B1M＝NB.
∴ME
BC＝
BN
BD＝
NF
AD.又AD＝BC，
∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，
∴四边形MEFN为平行四边形．
∴MN∥EF.∵MN平面AA1B1B，EF平面AA1B1B，
∴MN∥平面AA1B1B.
【例2】
正解：如图，连接C1E，并延长交B1B的延长线于G，连接D1G.
因为C1C∥B1B，E是BC的中点，
所以E是C1G的中点．
在△C1D1G中，F是D1C1的中点，E是C1G的中点，所以EF∥D1G.
又因为D1G平面BB1D1D，而EF平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.
1．三棱台ABC-A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是()
A．相交B．平行C．在平面内D．不确定
2．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是()
A．平行B．相交C．异面D．BCα
3．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，
(1)与直线CD平行的平面是__________；
(2)与直线CC′平行的平面是__________；
(3)与直线CB平行的平面是__________．
4．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是AA′和CC′的中点，求证：直线E F∥平面AC.
5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．求证：直线EG∥平面BDD1B1.
答案：1．B 2.A
3．(1)平面A′C′，平面A′B(2)平面A′B，平面A′D(3)平面A′D，平面A′C′4．证明：
如图所示，连接AC.
∵E，F分别是AA′和CC′的中点，
∴AE＝FC，AE∥FC，
∴四边形ACFE是平行四边形．
∴EF∥AC.
又∵EF平面AC，AC平面AC，
∴EF∥平面AC.
5．证明：如图所示，连接SB.
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.。