2-3 高阶导数
2-3高阶导数的概念
§2·3 高阶导数引例（导数的导数） 函数x y sin =的导数的导数是多少？ 分析 函数x y sin =的导数是x y cos ='，它仍然是x 的函数，并且在点x 处可导. 我们对它再求导数，得x x y sin )(cos )(-='=''.上述结果就是函数x y sin =的导数的导数，通常称为x y sin =的二阶导数.定义 若函数)(x f y =的导函数)(x f y '='仍然可导，则我们把)(x f y '='的导数叫做函数)(x f y =的二阶导数，记作22)(,dxyd x f y 或''''，即⎪⎭⎫⎝⎛=''=''''=''dx dy dx d dx y d x f x f y y 22,])([)(,)(. 相应地，把)(x f y '='叫做函数)(x f y =的一阶导数. 通常对一阶导数不指明它的阶数.类似地，函数)(x f y =的二阶导数的导数叫做)(x f y =的三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…，一般地，)(x f y =的（1-n ）阶导数的导数叫做)(x f y =的n 阶导数，分别记作.,,,);(,),(),(;,,,4433)()4()()4(n n n n dxy d dx y d dx y d x f x f x f y y y 或或''''''二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.由高阶导数的定义知，求函数)(x f y =的高阶导数，只需多次连接地求导数即可，因此仍可应用前面的求导方法进行计算.例1 求函数),,(2为常数c b a c bx ax y ++=的二阶导数.解 对c bx ax y ++=2依次求导，得,2b ax y +='a y 2=''.例2 设ln(1)y x =+，求0,x x y y =='''''.解 对ln(1)y x =+依次求导，得23112,,1(1)(1)y y y x x x ''''''==-=+++. 将0x =代入以上各式，得1,2x x y y =='''''=-=.例3 设)1,0(≠>=a a a y x ，求)(n y ． 解 ()ln ,x x y a a a ''==2()''(ln )'ln ,ln .x x n x n y a a a a y a a ===即特别地，e a =时，得例4 求x y sin =的n 阶导数. 解 )2sin(cos π+=='x x y ，23sin(22cos(),22sin()22sin()2cos(ππππππ⋅+=⋅+='''⋅+=++=+=''x x y x x x y一般地，可得类似地，可求得cos y x =的n 阶导数为案例1（汽车运行的加速度） 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车行驶的距离s （单位：m ）与时间t (单位：s)满足关系式319.20.4s t t =-.求汽车在4t =s 时的速度和加速度.解 汽车刹车后的速度为32d (19.20.4)19.2 1.2d sv t t t t'==-=-. 于是，汽车在4t =s 时的速度为224(4)(19.2 1.2)19.2 1.240t v t ==-=-⨯=（m/s ）.在物理学中，把物体运动的速度的变化率叫做物体运动的加速度，记作a . 即物体运动的加速度a 是速度v 对时间t 的一阶导数，是路程s 对时间t 的二阶导数，即22d ()d sa s t t''==.因此，汽车刹车后的加速度为222d d (19.2 1.2) 2.4d d s v a t t t t'===-=-.于是，汽车在4t =s 时的加速度为4(4) 2.49.6t a t==-=-（m/s 2）.案例2（利润增长率的变化率） 某工程建设公司承包了一段公路的建设任务，建设周期至少要3年. 如果这一公路的建设有以下两个可供选择的方案模型：模型1 13()1tL t t =+，模型2 22()21t L t t =++， 其中12,L L 是利润（单位：百万元），t 是时间（单位：年）. 问：哪种方案的模型最优？解 将1t =，2t =依次代入两个模型中，得1233(1),(1)22L L ==； 127(2)2,(1)3L L ==.即，1年后两个模型的利润额是相等的，2年后第2个模型的利润额大于第1个模型. 这是什么原因呢？下面我们来比较两个模型的利润增长率. 对两个模型分别求导，得123(1)L t '=+，2222(1)t t L t +'=+. 将1t =分别代入上式，得1233(1),(1)44L L ''==. 即这时两个模型的利润增长率仍然相等. 因此，需要考察这两个模型利润增长率的变化情况. 对两个模型分别求二阶导数，得123362,(1)(1)L L t t ''''=-=++. 将1t =分别代入上式，得1231(1),(1)44L L ''''=-=.以上结果表明，对第一个模型来说，在1t =处，利润增长率1(1)0L '>，但利润增长率的变化率1(1)0L ''<，即利润增长率在减速；对第二个模型来说，因为2(1)0L '>，2(1)0L ''>，所以利润的增长率在加速.由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择第二个模型.1．填空：设2x y =，则（1）y '= ；（2）y ''= ；（3）y '''= . 2．求下列函数的二阶导数：4242(1)34 5.(2)(3)4.(4)cos ln .x y x x y y x y x x =-+==-=3．求下列函数在指定点的二阶导数：.2,11)()4(.2,cos )()3(.0,)()2(.2,)2()()1(25-=+-======+=x xxx f x x x x f x e x f x x x f x π4．验证：x e y x sin =满足关系式：022=+'-''y y y . 5．设6()(10),(0),(2)f x x f f '''''=+求. 6．求下列函数的n 阶导数：（1）),,,(2112211都是常数n n n n n n a a a a x a x a x a x y +++++=---. （2）x y 2sin =. （3）xxy +-=11. 7. 设质点作直线运动,其运动方程为cos 3ts A π= (A 为常数),求该质点在时刻1=t 时的速度和加速度.8．质点按规律)(21t te e s --=作直线运动,试证它的加速度a 等于s . 9．一子弹射向正上方，子弹离地面的距离s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为2670 4.9s t t =-，求子弹的加速度.10．1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和参议院削减了国防预算. 但是他的对手却反驳道，国会只是削减了国防预算增长的变化率. 即预算仍然在增加，只是预算的增长变缓了. 若用()f x 表示预算关于时间的函数，试判断()f x 的一阶导数和二阶导数的符号.。
2-3 高阶导数(高等数学)
§2.3 高阶导数教学内容： 一．高阶导数二阶导数的定义：0(+)()()limx f x x f x f x x∆→''∆-''=∆.高阶导数：(1)(1)()0(+)()()lim n n n x f x x f x f x x--∆→∆-=∆二．高阶导数的运算法则（1）若函数(),()==u u x v v x 在x 点处具有n 阶导数，则()()±u x v x 、()(Cu x C 为常数)在点x 点处具有n 阶导数，且()()()()±=±n n n u v u v ，()()()=n n Cu Cu .（2）函数(),()==u u x v v x 在x 点处具有n 阶导数, ()()()()1C nn k n k k n k uv u v -==∑，此公式称为莱布尼茨公式.三．例题讲解例1.设3π()4cos 3sin sin 2f x x x x =-+-，求()f x '，(0)f '．例2.设2e sin x y x x +，求y '．例3.设x y tan =，求y '．同理可推得 ()x x 2csc cot -='．例4.设x y sec =，求y '．同理可推得 ()x x x cot csc csc -='．例5.证明(arcsin )'x =．例6.证明 ()ln x xa a a '=．特别地，当e a =时， (e )e x x'=．例7.求下列函数的导数．（1）3cos y x =； （2）1e xy =； （3）y =； （4）arcsin y =.例8.求下列双曲函数的导数．（1）双曲正弦 e e sh 2x x x -- =；（2）双曲余弦 e e ch 2x x x -+ =； （3）双曲正切 e e th e +e x xx xx --- = ．例9.求下列函数的导数． （1）3sin ln x y =； （2）1tan2xy =； （3）2sin (34)y x =-.例10.求下列函数的导数．（1）221cos sin y x x=⋅； （2）ln(y x =．例11.已知()f u 可导，求下列函数的导数．（1）3f y =； （2）(ln )ln ()y f x f x =+．例14.设324e 5ln xy x x =-+，求y ''．例15.求下列函数的n 阶导数．（1）xa y =； （2）x y sin =.例16.求函数11=+y x的n 阶导数.例17.已知214=-y x ，求(100)y .例18.已知2sin 3=y x x ，求(20)y .。
高等数学2-3高阶导数隐函数求导讲解
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
几个常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0) (e x )(n) e x
( 1)( n 1)xn ( n)
2
4
即
求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, y是x的函数, 于是y的函数便是x的复合函数, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 y 的方程. 从中解出即可.
虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 一般来说,隐函数
求导, 允许在 y的表达式中含有变量y.
练习 设sin y xe y 0, 求 dy . dx
解 利用隐函数求导法.
将方程两边对x求导,得
cos y y 1 e y x e y y 0
解出 y, 得
y
ey cos y
xey
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
方 法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
若 n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
( 1)( n 1)xn ( n)
( x )(n)
n!
( n)
0
( n)
例如： ( x5 )(6) 0
( x3 6 x2 5 x 1)(3) 3! 6
高等数学课件 4第三节 高阶导数ppt
若 为自然数n, 则
( xn )(n) n!,
( xn )(n1) (n!) 0.
( xn )(k) 0, (k n 1, n 2,).
例10. 设 y ln(1 x), 求y(n).
解:
y 1 , 1 x
y
(1
1 x
)2
,
y
(1
2! x
)3
,
y(4)
3! (1 x)4
,
y(n)
的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作
y ( y)
或
d2 y d dy
d x2
d
() x dx
y或
d2 y d x2
,
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y(n) ( y(n1) )
或
dn y d dn1 y dxn dx ( dxn1 )
y(n) (sin x)(n) x2 Cn1(sin x)(n1) ( x2 )
Cn2(sin x)(n2) ( x2 ) 0
x2 sin(x n ) 2nxsin(x (n 1) ) n(n 1)sin(x (n 2) ),
2
2
2
y(n)(0) sin n .
2
x2
)2
]
2(3 x (1
2 1) x2 )3
,
则
y(0)
2x (1 x2 )2
0;
x0
y(0)
2(3 x2 1) (1 x 2 )3
x0
2.
例4. 证 明： 函 数y 2x x2 满 足关 系 式 y3 y 1 0.
高三导数同构和异构知识点
高三导数同构和异构知识点导数作为高中数学中的重要概念，与函数的变化率以及曲线的切线直接相关。
在高三阶段，学生需要对导数的同构和异构知识点有着清晰的掌握。
本文将对导数的同构和异构知识点进行详细的论述。
一、导数的同构知识点同构是指两个或多个事物在某种条件下具有相同的结构、形式、性质等特征。
在导数的同构知识点中，我们可以看到导数的基本定义、基本定理和求导法则等方面具有相同的性质。
1. 导数的基本定义导数的基本定义是导数的同构知识点中最基础的内容。
根据定义，函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为：f'(a) = lim_{h->0} [f(a+h) - f(a)] / h这个定义可以用来计算函数在某个点处的导数，从而了解函数在该点的斜率。
2. 导数的基本定理在导数的同构知识点中，导数的基本定理是相当重要的概念。
根据该定理，如果函数f(x)在区间(a, b)内有定义，并且在该区间内的每个点都可导，那么函数f(x)在该区间内就是连续的。
同时，如果函数f(x)在区间(a, b)内可导，并且在该区间内的每个点都处于某种函数f(x)的变化情况下，函数f(x)在该区间内是递增或递减的。
3. 导数的求导法则导数的求导法则是导数的同构知识点中的关键内容。
通过一定的规则和法则，我们可以对一些简单函数的导数进行计算。
常见的求导法则包括：(1) 常数法则：若y=c，则dy/dx=0，其中c为常数。
(2) 幂函数法则：若y=x^n，则dy/dx=n*x^(n-1)，其中n为常数。
(3) 指数函数法则：若y=a^x，则dy/dx=a^x * ln(a)，其中a为常数，ln(a)表示以e为底的自然对数。
(4) 对数函数法则：若y=log_a(x)，则dy/dx=1 / (x * ln(a))，其中a为常数，ln(a)表示以e为底的自然对数。
(5) 三角函数法则：若y=sin(x)，则dy/dx=cos(x)，若y=cos(x)，则dy/dx=-sin(x)，若y=tan(x)，则dy/dx=sec^2(x)。
求高阶导数的四种方法
求高阶导数的四种方法
求高阶导数的四种方法包括：直接求导法、公式法、递推法和对数法。
1. 直接求导法：直接对原函数反复求导即可得到高阶导数，例如对于函数f(x)，求出其一阶导数f'(x)，再对f'(x)求导得到二阶导数f''(x)，以此类推求出任意阶导数。
2. 公式法：对于一些特定函数，可以通过已知的导数公式来求出高阶导数。
例如对于幂函数y=x^n，其n阶导数可表示为y^(n)(x)=n!(x)^(n)，其中n!表示n的阶乘。
3. 递推法：将已知的低阶导数与导数的定义结合，可以通过递推的方法求出任意高阶导数。
例如对于函数f(x)，已知它的0阶导数f(x)，1阶导数f'(x)，可以利用导数的定义f^(n)(x)=lim(h->0)[f^(n-1)(x+h)-f^(n-1)(x)]/h，来递推求出任意阶导数f^(n)(x)。
4. 对数法：对于一些复杂函数，可以通过对数函数的导数性质来求出其高阶导数。
例如对于函数f(x)=ln(x)，利用对数函数的导数性质可知f^(n)(x)=(-1)^(n-1)(n-1)!/x^n。
高等数学2-3
v
(k )
【注】
莱布尼兹公式
例10 设 y = x2e2 x , 求y( 20) . 解 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
2x 2
y
( 20 )
= (e ) ⋅ x + 20(e ) ⋅ ( x )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 + 2! 20 2 x 2 19 2 x = 2 e ⋅ x + 20 ⋅ 2 e ⋅ 2 x
2x ( 20 ) 2 2x ( 19 ) 2
20 ⋅ 19 18 2 x 2 e ⋅2 + 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
例11 设f ( x) = arctan x，求 f (0) 1 2 解 由 f ′( x ) = 得 (1 + x ) f ′( x ) = 1 2 1+ x
( 3) ( u ⋅ v )
(n)
= u v + nu
(n)
( n −1 )
n(n − 1) ( n− 2 ) (n u v ′′ v′ + 2!
n( n − 1) L ( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) u v + L + uv ( n ) + k! = ∑C u
k =0 k n n ( n− k )
∴y(20) = 1[( 1 )(20) −( 1 )(20)] 2 x −1 x +1
= 1[ 20! − 20! ] 2 (x −1)21 (x +1)21
高阶导数运算法则
= 20!⋅[ 1 21 − 1 21] 2 (x −1) (x +1)
§3. 高阶导数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1)二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数. 二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数 二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数 dy df y′ f ′( x ) dx dx 2 2 d y d f f ′′( x ) y′′ 2 2 dx dx 3 3 d y d f f ′′′( x ) y′′′ 3 3 dx dx 4 4 d y d f (4) (4) f ( x) y 4 4 dx dx ……………………………………… dny dn f (n) ( n) f ( x) y n n dx dx
k +L+ Cn u(k)v(n−k) +
规定： 莱布尼兹(Leibniz) 公式 莱布尼兹
10
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7.
2
求
2x
解: 设 u = x , v = e , 则
u′ = 2x , u′′ = 2,
u
(k )
=0
(k = 3 ,L 20) ,
v(20−k) = 220−k e2x
第三节 高阶导数
一、高阶导数的概念 定义 函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) 称为函数 f ( x ) 的二阶导数 二阶导数. 二阶导数的导数称为 f ( x )的三阶导数 三阶导数. 三阶导数的导数称为 f ( x )的四阶导数. 四阶导数 LLLLLLLLLLLLLLLL
n − 1 阶导数的导数称为 f ( x )的n阶导数 阶导数. 阶导数
机动 目录 上页 下页 返回
13
结束
思考与练习
如何求下列函数的 n 阶导数? 1− x (1) y = 解: 1+ x
1 (n) n! n ( ) = (−1) ( x + a )n +1 x+a
同济版高等数学第二章导数与微分_3高阶导数课件
阶数 2
分析:
f
(
x)
4x3 2x3
, ,
x0 x0
f
(0)
lim
x 0
2x3 x
0
0
f (0)
lim
x0
4x3 0 x
0
f
(
x)
12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f
(0)
lim
x0
6x2 x
0
f
(0)
lim
x0
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
高等数学常用导数公式大全
高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。
导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。
本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。
常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。
2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。
3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。
4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。
5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。
6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。
高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。
隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。
常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。
南邮高数 2-3高阶导数及相关变化率
x(3) y
2x 1 x2 x
2
解 (1) y(n) ( x2 sin 3x)(n) (sin 3x x2 )(n)
vu
莱布尼兹公式
(sin 3x)(n) x2 n(sin 3x)(n1) ( x2 )
n(n 1) (sin 3x)(n2) ( x2 ) 2!
3n sin(3x n ) x2 n3n1(sin 3x (n 1) ) 2x
3)分段函数、隐函数以及参数方程表达的函数的 高阶导数
例5
设f
(
x)
ex ax 2
bx
c
x 0,问a, b, c为 x0
何值时f ( x)在x 0处具有二阶导数.
解 ex , ax2 bx c处处均连续且有各阶导数
要使f (x)在x 0处有二阶导数,必须且只需
f (0 0) f (0 0) ( f (x)在x 0处连续)
解：方程两边对x求导， 注意到 y是 x函数， 有
1 y 1 cos y y 0
(1)
2
y
1
1 1 cos
y
2
2 cos
y
( 2)
2
(2) 式继续对x求导, 得
y
2 sin y y (2 cos y)2
4sin (2 cos
y y)3
或者 (1) 式继续对x求导, 得
y 1 sin y ( y)2 1 cos y y 0
即
ex x lim
x0
0 (2ax b) x0
ex 1 lim 2ax
x
x0
b x
b
1c
1
b
1 2a
当a 1 , b 1, c 1时, f ( x)在x 0处有二阶导数. 2
高等数学-导数-2-4高阶导数
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x), y,
d2 y dx 2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
1
高阶导数
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
1 x
(n)
(1)n
n! x n1
4
高阶导数
例10 y sin4 x cos4 x, 求y(n) .
解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律, 所以将式子恒等变形.
6
高阶导数
二、莱布尼兹公式
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v(n)
(2) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u(nk )v(k ) uv(n) k!
n
Cnku(nk )v(k )
高阶导数
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度. 设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [s(t)]' 这就是二阶导数的物理意义
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
微积分中的二阶及高阶导数的概念及计算
03
二阶导数的几何意义可以用于判断函数的单调性、极值点 和拐点等性质。
二阶导数的物理意义
在物理问题中，二阶导数常常用来描述物体的振动、波动和曲率等物理量。
二阶导数的物理意义与一阶导数不同，一阶导数描述的是物体的速度和加 速度，而二阶导数描述的是物体的加速度的变化率。
在弹性力学中，二阶导数可以用来描述物体的应力分布和应变状态。
二阶导数的求导法则
链式法则
对于复合函数f(g(x))，其二阶导数为f'[g(x)]*g'(x)'。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其二阶导数为(uv)'=u'v+uv'，其中u'和v'分别为u和v的一阶导数。
商的导数法则
对于两个函数的商，其二阶导数为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
高阶导数法则
02
(f(x) = e^x) 的二阶导数： (f''(x) = e^x)
03
(f(x) = sin x) 的二阶导数： (f''(x) = cos x)
05
二阶及高阶导数的应用
在函数极值问题中的应用
判断极值点
通过求函数的二阶导数，可以判断一阶导数等于零的点是否为极值点。如果二阶导数大 于零，则一阶导数等于零的点是极小值点；如果二阶导数小于零，则一阶导数等于零的
高阶导数的物理意义
速度和加速度
在物理中，一阶导数通常用来描述速 度，二阶导数描述加速度。例如，一 个物体在直线运动中的速度和加速度 可以通过其位置函数的导数来描述。
振动和波动
在振动和波动的研究中，高阶导数也 有重要的应用。例如，弹簧振动的频 率和振幅可以通过其振动函数的导数 来描述。
初等函数的高阶导数公式
初等函数的高阶导数公式高阶导数是指函数的导数被连续地多次求导的结果。
初等函数是指由有限次的基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等）通过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合运算得到的函数。
为了求初等函数的高阶导数，我们首先需要知道一些常见的初等函数的导数公式。
下面是一些常见初等函数的导数公式：1. 幂函数：如果f(x) = x^n，则导数为f'(x) = nx^{n-1}。
其中，n为常数。
2. 指数函数：如果f(x) = a^x，则导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
其中，a为常数，ln(a)为以e为底的自然对数。
3. 对数函数：如果f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0，则导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
4. 三角函数：常见的三角函数有正弦函数(sin x)、余弦函数(cos x)、正切函数(tan x)等。
它们的导数分别为：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)，其中sec(x)为secant函数（sec(x) =1/cos(x)）。
5. 反三角函数：常见的反三角函数有正弦函数的反函数(asin x)、余弦函数的反函数(acos x)、正切函数的反函数(atan x)等。
它们的导数分别为：asin'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)acos'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)atan'(x) = 1 / (1 + x^2)这些是初等函数中常见的导数公式，利用它们可以求解初等函数的高阶导数。
通过连续地多次应用求导公式，我们可以得到很多初等函数的高阶导数公式。
下面是一些例子：1.f(x)=e^x：初等函数e^x的高阶导数为f^n(x)=e^x。
也就是说，e^x的任意阶导数都等于e^x本身。
高阶导数十个常用公式
高阶导数十个常用公式1. 一阶导数：如果函数 y=f(x)，则其一阶导数定义为：f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h2. 二阶导数：如果函数 y=f(x)，则其二阶导数定义为：f''(x)=lim(h→0)(f'(x+h)-f'(x))/h3. 三阶导数：如果函数 y=f(x)，则其三阶导数定义为：f'''(x)=lim(h→0)(f''(x+h)-f''(x))/h4. 四阶导数：如果函数 y=f(x)，则其四阶导数定义为：f''''(x)=lim(h→0)(f'''(x+h)-f'''(x))/h5. 五阶导数：如果函数 y=f(x)，则其五阶导数定义为：f'''''(x)=lim(h→0)(f''''(x+h)-f''''(x))/h6. 六阶导数：如果函数 y=f(x)，则其六阶导数定义为：f''''''(x)=lim(h→0)(f'''''(x+h)-f'''''(x))/h7. 七阶导数：如果函数 y=f(x)，则其七阶导数定义为：f'''''''(x)=lim(h→0)(f''''''(x+h)-f''''''(x))/h8. 八阶导数：如果函数 y=f(x)，则其八阶导数定义为：f''''''''(x)=lim(h→0)(f'''''''(x+h)-f'''''''(x))/h9. 九阶导数：如果函数 y=f(x)，则其九阶导数定义为：f'''''''''(x)=lim(h→0)(f''''''''(x+h)-f''''''''(x))/h10. 十阶导数：如果函数 y=f(x)，则其十阶导数定义为：f''''''''''(x)=lim(h→0)(f'''''''''(x+h)-f'''''''''(x))/h。
莱布尼茨高阶求导公式
莱布尼茨高阶求导公式莱布尼茨高阶求导公式是微积分中一个用于求解高阶导数的重要公式。
它是由德国数学家高斯·莱布尼茨于17世纪中期提出的。
此公式的原意是用一种更方便的方式来求取高阶导数，而不必重复应用一阶导数的规则。
莱布尼茨高阶求导公式可以表示为：(d^n (f*g))/(dx^n) = Σ(C(n,k) * (d^k f)/(dx^k) * (d^(n-k)g)/(dx^(n-k)))其中，n表示整数阶数，f和g是可导函数，C(n,k)为组合数，k为从0到n的整数。
公式右边的求和记号表示对于所有k的求和，k的范围从0到n。
公式的应用需要依赖于一些基本的导数规则和公式，以下是一些相关内容的参考：1. 导数的定义导数表示函数的变化速率，可以通过以下公式计算：(fg)' = f'g + fg' （乘法法则）(f/g)' = (f'g - fg')/g^2 （除法法则）(f∘g)' = f'(g) * g' （链式法则）(f(g))' = f'(g)g' （复合函数的导数）(f^n)' = (n!)/(k!(n-k)!) * (d^k f)/(dx^k) （幂法则）2. 二项式系数组合数C(n, k)是指从n个元素中取出k个元素的组合数，其计算公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)3. 常用的高阶导数公式(d^n f)/(dx^n)的求导方式与一阶导数类似，只需重复应用导数的定义和基本公式，直到得到所需等级的导数。
4. 多项式函数的高阶导数多项式函数的高阶导数可以通过分别对每一项进行求导来获得。
根据导数的定义，对于任何常数，它的导数均为0；对于x的任何正整数幂函数，其导数为该幂次数的常数与原始幂次数的乘积。
以上是莱布尼茨高阶求导公式相关内容的参考。
掌握了这些基本规则和公式后，我们可以更方便地求取高阶导数，并用于解决更复杂的微积分问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三节 高阶导数
要点:
二阶（高阶）导数的定义； 二阶导数的符号反映什么：函数图形的凹凸性. 简单函数的高阶导数； 抽象函数求二阶导数.
第三节 高阶导数
一、高阶导数的概念
二、高阶导数的运算法则
第二章
二阶导数的定义：
如果函数y f ( x )的导数f ( x )在点x处的导数 存在，则称其为 y f ( x )在点x处的二阶导数 . 2 d y 记作 y x ( y x ) x ， f ( x ), . 2 dx 函数的二阶导数就是函数的（一阶）导数的导数。
(2) (Cu)( n) Cu( n)
( 3) ( u v )
(n)
u v nu
(n)
( n 1 )
n( n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k! C u
( n) 例4 设 y ln( 1 x), 求y .
1 1 解：y (1 x ) 1 x x 1 1 y ( x 1)2 2! 3 y (2)( x 1) ( x 1) 3 3! y ( 4) 3!( x 1)4 ( x 1)4
d3y . 3 dx
f ( x )的n阶导数就是 f ( x )的n 1阶导数的导数 .
n d y ( n) ( n) 记作 f ( x ), y , . n dx
例1 设 y x ( R), 求y ( n) .
解：y x 1
2 1 ( 1 ) x y (x )
k 0 k n n ( n k )
v
(k )
莱布尼兹公式
例6 设 y x 2e 2 x，求y ( 20 ) . 解： 设u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
y ( 20 ) (e 2 x )( 20 ) x 2 20(e 2 x )(19 ) ( x 2 ) 20( 20 1) 2 x (18 ) (e ) ( x 2 ) 0 2!
例5
2 2 2 解： y x f ( x 1) ( x 1) x f ( x 1) 2 x.
2 y 2 [ x f ( x 1)]x x
2{ x f ( x 2 1) x [ f ( x 2 1)]x }
ds 例 速度v是位移s对时间t的导数(变化率)， v . dt dv 加速度a是速度v对时间t的导数, a .
dt
加速度a是位移v对时间t的二阶导数, a s(t ).
二阶导数的符号的几何意义：
f ( x ) 0, x (a, b) f ( x )在(a, b)单调递增
y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
y ( n) ( 1)( n 1) x n (n 1)
特别的，若 为正整数n，则
( x n )( n ) n! ,
( x n )( n1) ( n! ) 0.
复合函 2[ f ( x 2 1) x f ( x 2 1) 2 x] 数求导
2 f ( x 2 1) 4 x 2 f ( x 2 1).
高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数， 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)
例2 y e
x
(e )
x ( n)
e
x
例3 设 y sinx，求y ( n) .
解: y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) y sin( x n ) 2 (n) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2
f 0
f ( x )的图形从左到右向上弯 曲（凹）
f ( x ) 0, x (a, b) f ( x )在(a, b)单调递减
f 0
f ( x )的图形从左到右向下弯 曲（凸）
函数的二阶导数的符号反映函数图形的凹凸性.
更高阶导数
三阶导数 y x ( y x ) x ， f ( x ),