第3讲.一次函数与全等三角形综合(答案版)

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初二春季·第3讲·尖子班·教师版

函数6级 一次函数的应用

函数7级 一次函数与全等三角形综合

函数8级

反比例函数的基本性质

春季班 第十一讲

春季班 第二讲

梦游记

漫画释义

满分晋级阶梯

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一次函数与 全等三角形综合

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题型切片（两个）

对应题目

题型目标

一次函数与全等三角形的综合 例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3； 一次函数与面积综合

例5，例6，练习4，练习5．

本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在

这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜结论．题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握．

本讲的最后一道例题是2013年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面题型切片

编写思路

知识互联网

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考查和总结一次函数部分的一道好题．

几种全等模型的回顾：

A

B C

E F

A

B C

D

E

F A

B C

E

A

B

C

D

E

F

E

D

C

B

A

图1 图2 图3 图4 图5

图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将ABC △绕点C 逆时针旋转90°得到DEC △，此时可得结论：ACD BCE △△，均为等腰直角三角形；DE AB ⊥.图2中ABC DBE △≌△

图3、图4为“三垂直”全等模型，其中ABC △为等腰直角三角形，AE EC BF CF ⊥⊥，，E C F ，，三点共线，则有ACE CBF △≌△，图3中EF AE BF =+，图4中EF AE BF =-

图5中，AB AC =，延长AB 到F 使得BF EC =，则有结论ED DF =，若ED DF =，则有BF EC =

【引例】 平面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动．

⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）；

⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证：

MN BM AN =+； ⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．

（实验中学单元测试）

例题精讲

思路导航

题型一：一次函数与全等三角形综合

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【解析】 ⑴ 设直线AB 函数解析式为y kx b =+

041

44k b k b b =+=-⎧⎧⇒⎨

⎨==⎩⎩

4y x =-+ 当x 为2-时，6y =，∴P 的坐标为()26-， ∵直线OP 过原点，∴解析式为3y x =-

⑵ 如图1，由题意可证Rt Rt BMO ONA △≌△ ∴BM ON =，AN MO =，∴MN BM AN =+

⑶ 如图2，证明Rt Rt BMO ONA △≌△ 可得结论MN BM AN =-

M N

P

y x O

B

A

图2x

y O

A B

P

M N N M

P B

A

O y x

图1 图2

【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴

上，作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标；

⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．

【解析】 ⑴ 如图，由BOD AOC △≌△可知4BO AO ==

∴B 点坐标为()40-，

⑵ 由⑴可知DO OC m ==，

∴1

42S m =⨯⋅，2S m =，m 的取值范围是04m <<

典题精练

(0,4)O

y x

E D

C B

A

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【例2】 已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为

()40A ，，()04B -，，P 为y 轴上B 点下方一点，()0PB m m =>，以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM PA =，点M 落在第四象限．

⑴ 求直线AB 的解析式；

⑵ 用m 的代数式表示点M 的坐标；

⑶ 若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化

而变化，写出你的结论并说明理由．

（西城期末） 【解析】 ⑴ 4y x =-

⑵ 作MC y ⊥轴，交y 轴于C ，

9090AP PM MPC APO OAP APO PMC PMC MPC APO =⎫⎪

∠=︒-∠=∠⇒⎬⎪∠=︒-∠=∠⎭

△≌△ 由此可知()48M m m +--， ⑶ 由⑵中的全等可知

4MC m =+，4BC m =+，∴MC BC = 45CBM ∠=︒，可得QO OB =

()4,0Q - ∴Q 点坐标不随m 的变化而变化.

【点评】 此题最关键一步是如何利用线段长表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，

而点坐标要根据其所在象限判断正负.

【例3】 如图1，直线1:33l y x =+与x 轴交于B 点，与直线2l 交于y 轴上一点A ，且2l 与x 轴的

交点为()10C ，．

⑴ 求证：ABC ACB ∠=∠

⑵ 如图2，过x 轴上一点()30D -，，作DE AC ⊥于E ，DE 交y 轴于F 点，交AB 于G 点，求G 点的坐标； ⑶ 如图3，将ABC △沿x 轴向左平移，AC 边与y 轴交于点P （P 不同于A 和C 两点），

过P 点作一直线与AB 的延长线交于Q 点，与x 轴交于点M ，且CP =BQ .在ABC △平移的过程中，线段OM 的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度．若变化，确定其变化范围．