高二下学期第一次月考数学试卷(文)

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湖南衡阳第八中学高二下学期第一次月考试题数学(文)Word版含答案

年上期衡阳市八中高二第一次月考
数学（文科）试题
命题人：刘慧英审题人：刘一坚
考试时间：120分钟考试总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．设集合，集合，则
A． B． C． D．
2.已知复数，则复数z在复平面对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知向量，，若，则 =
14.函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，
f(x)＝则f(f(15))的值为．教育精品
15.已知满足约束条件：，则的最大值是
16.函数图象上不同两点处切线的斜率分别是规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“平方弯曲度”，给出以下命题：教育精品
．
18.（1）
（2）
19.（1）广场舞者的平均年龄为所以广场舞者的平均年龄大约为54岁；
（2）记事件为“从年龄在内的广场舞者中任取2名，选中的两人中恰有一人年龄在内。由直方图可知，年龄在内的有2人，分别记为，在内的有4人，分别记为，现从这6人中任选两人，所有可能基本事件有：教育精品
，，共15个，
17.（本题10分）已知数列是公差为1的等差数列，其前8项的和．
求数列的通项公式；求数列的前项和．
18.（本题12分）已知命题
（1）若命题为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题“ 或 ”为真命题，命题“ 且 ”为假命题，求实数m的取值范围.
19.（本题12分）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：，，，，，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.教育精品

河北省冀州中学2013-2014学年高二下学期第一次月考数学文试题 Word版含答案

高二下学期第一次月考数学试卷（文）命题人：曹泽纪一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

1．cos 300°的值是( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )．A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π33．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )．A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π24.要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将y ＝sin 2x 的图象( )．A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ， x >0，log 12（－x ），x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)6．如图：函数y ＝xsin x 在[－π，π上的图像是( )7．设41)4tan(,52)tan(=-=+πββα ，则)4tan(πα+的值是（）A.183B. 223C. 1813D. 2213 8．已知|log |)(3x x f =，则下列不等式成立的是（）A ．)2()21(f f >B ．)3()31(f f >C ．)31()41(f f > D ．)3()2(f f >9、已知()f x 在R 上是奇函数，且)()2(x f x f -=+.2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则( )A.-2B.2C.-98D.9810．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（）A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]11.给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）412．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别是a ，b ，c.若a 2－b 2＝3bc ， sin C ＝23sin B ，则A ＝( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°二、填空题，本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡相应位置。

贵州省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)

一、单选题1．设集合，集合N 为函数的定义域，则（）{}|12M x x =-≤≤()lg 1y x =-M N ⋂=A ． B ． C ． D ． ()12，[]12，[)12，(]12，【答案】D【分析】根据对数的真数为正数化简集合，进而由集合的交运算即可求解. (1,)N =+∞【详解】由，所以， 101x x ->⇒>(1,)N =+∞又，所以， {}|12M x x =-≤≤(]1,2M N = 故选:D2．若，则（） 43z i =-zz =A ．1 B ．-1C ．D ．4355i +4355i -【答案】C【分析】根据共轭复数与模长的求解计算即可.【详解】因为,故. 43z i =-4355z i z==+故选：C.3．已知椭圆中，长轴长为10 ）22221(0)x y a b a b +=>>A ．B ．10C ．D ．【答案】A【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解.【详解】，所以；又因为 210a = 5a =c e a ==得c =2c =故选：A.4．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） l αβA ．若，，则 //l α//l β//αβB ．若，，则 αβ⊥l α⊥l β⊥C ．若，，则 αβ⊥//l αl β⊥D ．若，，则 //l αl β⊥αβ⊥【答案】D【解析】由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A ；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质可判断选项B ；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C ；由线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断选项D ；【详解】对于选项A ：若，，则或与相交，故选项A 不正确； //l α//l β//αβαβ对于选项B ：若，，则或，故选项B 不正确；αβ⊥l α⊥//l βl β⊂对于选项C ：若，，则或或与相交，故选项C 不正确；αβ⊥//l α//l βl β⊂l β对于选项D ：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，设，则，所以//l αl γm γα= //m l ，再由面面垂直的判定定理可得，故选项D 正确；m β⊥αβ⊥故选：D5．已知{}是等差数列，且，则=（） n a 466,4a a ==10a A ．2 B ．0C ．D ．2-4-【答案】B【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，即，解得. {}n a 1a d 4664a a =⎧⎨=⎩113654a d a d +=⎧⎨+=⎩191a d =⎧⎨=-⎩所以，所以. 1(1)9(1)10n a a n d n n =+-=--=-+1010100a =-+=故选：B6．已知点P （x ,y ）是曲线上的一动点，则点P （x ,y ）到直线的距离的最小值为2y x =240x y --=（） ABCD ．35【答案】C【分析】当曲线在点P 处的切线与已知直线平行时点P 到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】当曲线在点P 处的切线与直线平行时，点P 到该直线的距离最小，240x y --=，2y x '=由直线的斜率，则， 240x y --=2k =22x =得，有，所以， 1x =21y x ==(1,1)P ∴到直线距离. (1,1)P 240x y --=d ==故选：C.7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（）A ．B ．C ．D ．22sin 1xy x =+321x xy x -=+22cos 1x xy x =+3231x xy x -+=+【答案】D【分析】利用赋值法，结合图形和排除法即可判断ABC ；利用导数和零点的存在性定理研究函数的单调性，结合图形即可判断D. 【详解】A ：设，由得， ()22sin 1x f x x =+π3π2<<sin 30>则，结合图形，不符合题意，故A 错误； ()2sin 33010f =>B ：设，则，结合图形，不符合题意，故B 错误；()321x xg x x -=+()10g =C ：设，当时，，，22cos ()1x x h x x =+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos [0,1]x ∈212x x +≥所以，即， 222cos 20111x x xx x ≤≤≤++0()1h x ≤≤当且仅当时等号成立，结合图形，不符合题意，故C 错误；1x =D ：设，则， 323()1x xu x x -+=+(0)x >422263()(1)x x u x x --+'=+(0)x >设，则，42()63v x x x =--+(0)x >3()4120v x x x '=--<所以函数在上单调递减，且， ()v x (0,)+∞(0)30,(1)40v v =>=-<故存在，使得，0(0,1)x ∈0()0v x =所以当时，即，当时，即，0(0,)x x ∈()0v x >()0u x '>0(,)x x ∈+∞()0v x <()0u x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，结合图形，符合题意，故D 正确. ()u x 0(0,)x 0(,)x +∞故选：D.8．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足，则的最大值为222sin 2sin 3sin C A B =-tan B （） ABCD ．54【答案】B【分析】利用正弦定理及余弦定理表示，结合基本不等式求得的取值范围，从而求得cos B cos B 的取值范围，即得.tan B 【详解】依题意，222sin 2sin 3sin C A B =-由余弦定理得，， 22223c a b =-2222133b ac =-所以 222222222222114143333cos 2226a c a c a ca cb ac B ac ac ac ac+-+++-+====⋅，当且仅当时等号成立， 1263≥=2a c =即为锐角，，， B 2cos 13B ≤<22419cos 1,19cos 4B B ≤<<≤，222222sin 1cos 15tan 10,cos cos cos 4B B B B B B -⎛⎤===-∈ ⎥⎝⎦所以. tan B 故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（） A ．直线在y 轴上的截距为2 24y x +=B ．直线必过定点（2,0） ()20R ax y a a --=∈C ．直线的倾斜角为10x +=2π3D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】BD【分析】根据直线的截距式方程即可判断A ，根据直线恒过定点的求法即可判断B ，根据直线斜率的定义即可判断C ，根据垂直直线斜率之积为-1，结合直线的点斜式方程即可判断D. 【详解】A ：直线在轴上的截距为，所以A 不正确； 24y x +=y 2-B ：由，得，20ax y a --=(2)0x a y --=令，解得：，所以该直线恒过定点，故B 正确；200x y -=⎧⎨=⎩20x y =⎧⎨=⎩(2,0)C ：设直线的倾斜角为，，斜率为 10x +=α(]0,απ∈由，故C 错误；tan α=56πα=D ：由直线，得该直线的斜率为，230x y -+=12所以过点且垂直于直线的直线斜率为， (2,3)-230x y -+=2故其方程为，即，故D 正确. 32(2)y x -=-+210x y ++=故选：BD.10．斜率为1的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于两点则下24y x =()()1122,,,A x y B x y 列结论正确的有（） A ．B ．抛物线的准线方程为 (1,0)F 1y =-C ．D ．3OA OB ⋅=-10AB =【答案】AC【分析】由抛物线的性质判断AB ；联立直线l 和抛物线方程，利用韦达定理，以及数量积公式、抛物线的定义判断CD.【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，所以A 正确，B 不正确.24y x =(1,0)F =1x -由，消去得：，所以， 214y x y x=-⎧⎨=⎩y 2610x x -+=126x x +=121=x x 所以，所以C 正确； 121212121212(1)(1)2()13OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++=- 所以，所以D 不正确. 12||28AB x x =++=故选：AC11．已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数()()cos (0,2f x x πωϕωϕ=+><π2是奇函数，则下列判断正确的是（）π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．函数f （x ）的最小正周期为B ．函数f （x ）的图像关于点（，0）对称 ππ6C ．函数f （x ）在上单调递增D ．函数f （x ）的图像关于直线对称 3ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π12=-x 【答案】ABD【分析】利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离为和函数是偶函数，求出π2π()3f x -，从而可判断选项A 正确；再利用余弦函数的图像与性质，可以判断出选项()cos(2π)6=+f x x BCD 的正误.【详解】因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，则，π2π22T =πT ∴=又，2π,0T ωω=>2ω∴=又函数是偶函数，因为， π()3f x -ππ2π()cos(2())cos(2)333f x x x ϕϕ-=-+=-+所以，即， 2πππ(Z)32k k ϕ-+=+∈7ππ(Z)6k k ϕ=+∈又，，则.π2ϕ<π6ϕ∴=()cos(2π)6=+f x x 函数最小正周期，故选项A 正确； πT =函数图像对称点的横坐标为：，即， ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈令时，，故选项B 正确； 0k =π6x =又由：，得到 ππ2π22π(Z)6k x k k -+≤+≤∈7ππππ(Z)1212k x k k -+≤≤-+∈所以函数的单调增区间为：， ()cos(2π)6=+f x x 7πππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦令时，得到一个增区间为： 1k =-5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选项C 错误；函数图像的对称所在直线方程为；， πππ2π,(Z)6122k x k x k +==-+∈令时，，故选项D 正确. 1k =-7π12=-x 故选：ABD12．将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，下列结论正确的是（）A ．第8行最右边的数为38B ．第10行从右向左第个5数为51C ．第10行所有数的和为505D ．第64行从左向右第7个数为2023 【答案】BCD【分析】根据三角数阵可知第行共有个数，且第行的最后一个数字是：，即为n n n 123n ++++ .结合等差数列前n 项求和公式计算，依次判断选项即可. (1)2n n +【详解】由三角形数阵可知， ①第行共有个数；n n ②第行的最后一个数字是：，即为. n 123n ++++ (1)2n n +A ：因为，故A 错误； 1234567836+++++++=B ：因为，1234567891055+++++++++=所以第行中的个数字依次为.故B 正确； 101046,47,48,49,50,51,52,53,54,55C ：由，故C 正确；()5545104655464748495051525354555052S S ⨯+-=+++++++++==D ：由，知第行最后的一个数为；()6316312346320162⨯++++++== 632016所以第行中的数字从左到右依次为642017,2018,2019,2020,2021,2022,2023,2024，，第7个数为2023，故D 正确. L 故选：BCD.三、填空题13．已知函数的最小正周期为，则___________. ()()sin 0f x x ωω=>πω=【答案】2【分析】利用正弦型函数的周期公式可求得的值.ω【详解】因为函数的最小正周期为，则. ()()sin 0f x x ωω=>π2π2πω==故答案为：.214．已知直线和圆相交于、两点，则弦长:210l x y --=22:210C x y y +--=A B AB =__________．【详解】由圆方可知其圆心坐标为，半径∴C (0,1)r =d. AB ===点睛：本题主要考查了直线与圆相交求截得弦长问题，属于基础题；求直线被圆所截得的弦长时，根据圆的性质通常考虑由弦心距，弦长的一般作为直角边，圆的半径作为斜边，利用勾股定理来解决问题，通常还会用到点到直线的距离公式.15．已知双曲线，若过右焦点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个22221(0,0)x y a b a b-=>>30 交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率，得，结合b y x a =b <.b =【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， by x a=±要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， by x a=即，即，由tan 30b a ︒<=b <b =，整理得，所以 <2234c a <c e a =<因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是， 1e >故答案为：． 16．已知三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径若平面平面S ABC -.SCA ⊥SCB ，，，三棱锥的体积为9，则球O 的表面积为______． SA AC =SB BC =S ABC -【答案】36π【详解】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9，可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ，可得，解得r=3. 112932r r r ⨯⨯⨯⨯=球O 的表面积为： .2436r ππ=点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.四、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足，. 13a =123n n S a ++=（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若等差数列{b n }的前n 项和为T n ，且，，求数列的前n 项和Q n ．11T a =33T a =11{}n n b b +【答案】（1）（2）3nn a =9(21)nn +【分析】（1）根据数列的通项与的关系，化简求得，得到数列是首项为n a n S 13()n n a a n N ++=∈{}n a 3、公比为3的等比数列，即求解通项公式；（2）由（1）可得，得到，利用裂项法，3(21)n b n =-()()11111192n 12n 1182n 12n 1n n b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭即可求解．【详解】（1）当时，得， 1n =29a =由，得，123n n S a ++=123(2)n n S a n -+=≥两式相减得，又，∴，112()n n n n S S a a -+-=-1n n n S S a --=13(2)n n a a n +=≥又，∴，显然， 213a a =13()n n a a n N ++=∈10,3n n na a a +≠=即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；{}n a 1333n nn a -=⨯=（2）设数列的公差为，则有，{}n b d 13b =由得，解得，∴，33T a =13327b d +=6d =3(1)63(21)n b n n =+-⨯=-又， ()()11111192n 12n 1182n 12n 1n n b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴==． n 111111Q 1183352n 12n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111182n 1⎛⎫- ⎪+⎝⎭()n 92n 1+【点睛】本题主要考查等比数列的定义及通项公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项法”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等.18．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足.222sin sin sin sin sin A B C B C --=(1)求角A ；(2)若，求△ABC 周长的取值范围. 6a =【答案】(1) 2π3A =(2)(12,6+【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解，222a b c bc --=（2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得b B=1sin 2c B B ⎫=-⎪⎪⎭，进而由三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由正弦定理可得：，222a b c bc --=，， 2221cos 22c b a A bc +-∴==-()0,πA ∈ 2π3A ∴=（2）因为，，所以，故πA B C ++=2π3A =π3B C +=ππ(0)33C BB =-<<由正弦定理得： 62πsin sin sin sin3a bc A B C====所以，b B=π1sin 32c C B B B ⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以周长 ABCA 1π6sin 623a b cB B B B ⎫⎛⎫=++=++-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为，则π03B <<ππ2π<333B <+πsin 13B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故π12663B ⎛⎫<++≤+ ⎪⎝⎭求周长的取值范围为.ABC A (12,6+19．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.3 10.0 10.29.99.810.0 10.1 10.29.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．x y 21s 22s（1）求，，，；x y 21s 22s（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】（1）， 9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==， 10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==， 22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==. 222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==（2）依题意，， 0.320.15y x -==⨯===，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. y x -≥20．设函数，其中.22()3ln 1f x a x ax x =+-+0a >（1）讨论的单调性；()f x （2）若的图象与轴没有公共点，求a 的取值范围.()y f x =x 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭1a e >【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a 的取值范围.()10f >()min 0f x >【详解】（1）函数的定义域为，()0,∞+又， ()23(1)()ax ax f x x+-'=因为，故，0,0a x >>230ax +>当时，；当时，； 10x a<<()0f x '<1x a >()0f x '>所以的减区间为，增区间为. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭（2）因为且的图与轴没有公共点，()2110f a a =++>()y f x =x 所以的图象在轴的上方，()y f x =x 由（1）中函数的单调性可得， ()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭故即. 33ln 0a +>1a e>【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 21．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正切值.M ABC -【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；DM ⊥BMC （2）当在的中点位置时体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即M A AB 可求出结果.【详解】（1）由题设知，平面平面，交线为.CMD ⊥ABCD CD 因为，平面，BC CD ⊥BC ⊂ABCD 所以平面，平面，BC ⊥CMD DM ⊂CMD 故,因为是上异于，的点，且为直径， BC DM ⊥M A CDC D DC 所以，又，平面，DM CM ⊥BC CM C =I ,BC CM ⊂BMC 所以平面，而平面，DM ⊥BMC DM ⊂AMD故平面平面；AMD ⊥BMC （2）以D 为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间DA x DC y 直角坐标系.D xyz -当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为的中点.CD 由题设得，()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设是平面MAB 的法向量，则(),,n x y z = 即，可取， 00n AM n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y z y -++=⎧⎨=⎩()1,0,2n = 又是平面的一个法向量，因此 DAMCD， cos ,n DA n DA n DA ⋅=== []0π,,n DA ∈ 得， sin ,n DA = tan ,2n DA = 所以面与面所成二面角的正切值是.MAB MCD 222．已知椭圆的左，右焦点分别为、，离心率为，直线l 经过点2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 122F 且与椭圆C 交于不同两点A ，B ，当A 是椭圆C 上顶点时，l 与圆相切.223x y +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求的取值范围.11F A F B ⋅ 【答案】(1) 2211612x y +=(2)[]12.7-【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可；22212bc c e a c a b⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩（2）当直线的斜率不存在时，易得；当直线的斜率存在时，设直线方程为l 117F A F B ⋅= l ，，，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示可得(2)y k x =-11(,)A x y 22(,)B x y ，令得，结合不等式的性质计算即可求解. 11F A F B ⋅= 22283634k k -+2343t k =+≥11577F A F B t ⋅=- 【详解】（1）当A 为椭圆的上顶点时，直线l 与圆相切，则圆心到直线l ，a =有，得，1122bc a =bc =则，解得22212bc c e a c a b⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩4,a b ==所以椭圆的标准方程是； C 2211612x y +=（2）由（1）知，则椭圆的左焦点，当直线的斜率不存在时，2c =1(2,0)F -l 易求得，，则；(2,3)A (2,3)B -11443(3)7F A F B ⋅=⨯+⨯-= 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，. l (2)y k x =-11(,)A x y 22(,)B x y 由，消得，， ()22211612y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y 2222(34)1616480k x k x k +-+-=， 21221634k x x k ∴+=+2122164834k x x k-=+ 21112121212(2)(2)(2)(2)(2)(2)F A F B x x y y x x k x x ⋅=+++=+++--2221212(1)2(1)()4(1)k x x k x x k =++-+++， 2222222221648162836(1)2(1)4(1)343434k k k k k k k k k --=+⨯+-⨯++=+++令，则， 2343t k =+≥2112283675757734k t F A F B k t t--⋅===-+ ，，， 3t ≥ 1103t <≤571277t -≤-<综上可知，的取值范围是. 11F A F B ⋅ []12,7-。

新疆高二下学期第一次月考数学试题(解析版)

高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数表示，则该()21s t t t =++物体在s 时的瞬时速度为（） 1t =A ．0m/s B ．1m/s C ．2m/s D ．3m/s【答案】D【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为[]1,1t +∆，当无限趋近于0时，无限趋()()()()()22111111113t t s t s s t t t t+∆++∆+-+++∆-∆===+∆∆∆∆Δt 3t +∆近于3，即该物体在s 时的瞬时速度为3m/s ． 1t =故选：D2．曲线在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（） 43y x x =-A ．B ．C ．D ．6π4π3π23π【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】因为，所以，故所求切线的倾斜角为．343y x '=-11x y ='=4π故选：B ．3．函数的单调递增区间为（）21=ln 22y x x -+A ． B ．C ．D ．()1,1-()0,1[)1,+∞()0,∞+【答案】C【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，21=ln 22y x x -+211x y x x x -'=-=令，得或，0y >'A A A A 1x <-1x >又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为， {}0x x >[1,)+∞故选：C4．若函数在区间上单调递增，则实数k 的取值范围是（）()331f x x kx =-+()1,+∞A ． B ． C ． D ．(),1-∞(],1-∞[)1,-+∞[)1,+∞【答案】B【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值()f x (1,)+∞k 范围.【详解】由题意得，在区间上恒成立， 22()333()0f x x k x k '=-=-≥(1,)+∞即在区间上恒成立，2k x ≤(1,)+∞又函数在上单调递增，得， 2y x =(1,)+∞21x >所以，即实数的取值范围是. 1k ≤k (,1]-∞故选：B5．已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（）()y f x =()y f x '=()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果.【详解】由图可知，当时，，则函数在上为增函数， 11x -<<()0f x ¢>()f x ()1,1-当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，10x -<<()f x '()f x ()1,0-当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢. 01x <<()f x '()f x ()0,1B 选项中的图象满足题意. 故选：B.6．函数在区间上的最大值为（） ()cos sin f x x x x =-[]π,0-A ．1 B ．C ．D ．π323π2【答案】B【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得， ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-当时，，，[]π,0x ∈-sin 0x ≤()0f x '≤所以在区间单调递减，故函数最大值为， ()f x []π,0-()ππf -=故选：B7．“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中为节点，若研究发现本局游戏只能以为起,,A B C A 点为终点或者以为起点为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（）C C AA ．种B ．种C ．种D ．种6122430【答案】C【分析】采用分步乘法可计算得到以为起点，为终点的方法数，再利用分类加法计数原理求得A C 结果.【详解】以为起点时，三条路线依次连接即可到达点，共有种选择；自连接到A B 326⨯=B C 时，在右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有种选择，C 2以为起点，为终点时，共有种方法；∴A C 6212⨯=同理可知：以为起点，为终点时，共有种方法；C A 12完成该图“一笔画”的方法数为种.∴121224+=故选：C.8．过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（） A ．24种 B ．36种C ．48种D ．60种【答案】B【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数.【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，33A 6=此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法，22A 112222C C A 8=此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法；22A 112222C C A 8=故选拔测试的安排方案有种. 6282836⨯+⨯+=故选：B.二、多选题9．某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则下列说法正确的有（）A ．若不选择政治，选法总数为种25C B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C C C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为种3164C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种 121244(C C C )-【答案】AC【分析】根据组合数性质判断A ；若物理和化学至少选一门，分物理和化学选一门和物理和化学都选，求出选法数，判断B ；物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门减去物理和历史同时选的选法数，判断C ；物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，分三种情况考虑，求得选法数，判断D.【详解】对于A, 若不选择政治，选法总数为种,正确；3255C C =对于B ，若物理和化学选一门，选法总数为， 1224C C 若物理和化学都选，则选法数有种，2124C C 故物理和化学至少选一门，选法总数为种，而，B 错误；12212424C C C C 16+=1225C C 20=对于C, 若物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门有种选法，36C 减去物理和历史同时选的选法数，故选法总数为种，C 正确；14C 3164C C -对于D,当物理和化学中只选物理时，有种选法； 23C 当物理和化学中只选化学时，有种选法； 24C 当物理和化学中都选时，有种选法，13C 故物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，而，D 错误，221343C +C +C =12121244C C C 8-=故选：AC 10．下列等式正确的是（）A ．B ．()111A A m m n n n +++=()()!2!1n n n n =--C ．D ．A C !mm n nn =11A A m m n n n m+=-【答案】ABD【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 正确；()11!(1)!(1)()![(1)(1)]!1A A mm n n n n n n n m n m +++=+⋅=-+-++=对于B ，，B 正确； ()()!(1)!(1)(2)!2!1(1)1n n n n n n n n n n n ⋅--⋅-===----对于C ，，而与不一定相等，则与不一定相等，C 不正确；A C !m m nnm =!m !n A !m n m A !m n n 对于D ，，D 正确. 111!!A A (1)!()!m m n n n n n m n m n m n m +⋅==-----=故选：ABD11．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（）()y f x =()f x 'A ．在区间上，单调递增 ()2,1-()f xB ．在区间上，单调递增 ()1,2()f xC ．在区间上，单调递增 ()4,5()f xD ．在区间上，单调递增 ()3,2--()f x 【答案】BC【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案. ()0f x ¢>()f x ()0f x '<()f x 【详解】由题图知当时，，()()1245,，,x x ∈∈()0f x ¢>所以在区间上，单调递增，BC 正确； ()()1245,，，()f x 当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.()2,1x ∈--()0f x '<()1,1x ∈-()0f x ¢>()2,1--()f x 在上递增，A 错误；()1,1-当时，，所以在区间上，单调递减，D 错误； ()3,2x ∈--()0f x '<()3,2--()f x 故选：BC12．已知函数，则（） 321()()3f x x ax x a =+-∈R A ．当时，函数的极大值为0a =()f x 23-B ．若函数图象的对称中心为，则 ()f x (1,(1))f 1a =-C ．若函数在上单调递增，则或 ()f x R 1a ≥1a ≤-D ．函数必有3个零点 ()f x 【答案】BD【分析】根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.【详解】A 项：当时，，则，所以在单调递增，在0a =31()3f x x x =-2()1f x x '=-()f x (,1)-∞-单调递减，在单调递增，所以极大值为，故错误； (1,1)-(1,)+∞()f x 12(1)133f -=-+=B 项：因为函数图象的对称中心为，()f x (1,(1))f所以有，故正确；()()()()21121101f x f x f a x a ++-=⇒+=⇒=-C 项：恒成立，显然必有两根，则2()210f x x ax =+-≥'()0f x '=()121212,,10x x x x x x <⋅=-<()f x 在递减，故错误；()12,x x D 项：必有2相异根，且非零，()2221111001010333f x x ax x x x ax x ax ⎛⎫=+-=⇒=+-=+-= ⎪⎝⎭或，故必有3个零点，故正确． ()f x 故选择：BD三、填空题13．已知函数，则在处的切线方程为___________.()e sin 2xf x x =-()f x ()()0,0f 【答案】10x y +-=【分析】由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程.【详解】因为，()e sin 2xf x x =-所以，，()00e sin 01f =-=()e 2cos 2xf x x =-'所以，()00e 2cos 01f =-=-'切线方程为，即. ()10y x -=--10x y +-=故答案为：.10x y +-=14．函数有极值，则实数的取值范围是______．()322f x x x ax a =-++a 【答案】1(,3-∞【分析】求出函数的导数，再利用存在变号零点求出a 的范围作答.()f x '()f x '【详解】函数定义域为R ，求导得：，()322f x x x ax a =-++2()32f x x x a '=-+因为函数有极值，则函数在R 上存在变号零点，即有两个不等实根， ()f x ()f x '()0f x '=即有方程有两个不等实根，于是得，解得，2320x x a -+=4120a ∆=->13a <所以实数的取值范围是.a 1(,)3-∞故答案为：1(,)3-∞15．某公司新开发了4件不同的新产品，需放到三个不同的机构A ，B ，C 进行测试，每件产品只能放到一个机构里，则所有测试的情况有________种（结果用具体数字表示）．【答案】81【分析】利用分步乘法原理求解即可【详解】由题意可知，每一个新产品都有3种放法，所以由分步乘法原理可得 4件不同的新产品共有种放法， 333381⨯⨯⨯=故答案为：8116．已知，则_________.233A C 0!4m -+=m =【答案】2或3【分析】利用排列数公式，组合数公式进行计算即得．【详解】，233A C 0!4m -+= ，又，3A 6m∴=323216⨯=⨯⨯=所以或. 2m =3m =故答案为：2或3.四、解答题17．求下列函数的导数． (1)； ln(21)y x =+(2)； sin cos xy x=(3)． 1()23()()y x x x =+++【答案】(1) 221y x '=+(2) 21cos y x'=(3) 231211y x x =++'【分析】利用导数的运算法则求解. 【详解】（1）解：因为， ln(21)y x =+所以； 221y x '=+（2）因为， sin cos xy x=所以； ()2222cos sin 1cos cos x xy xx +'==（3）因为， 1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++所以.231211y x x =++'18．已知函数．()322f x x ax b =-+(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a ，b 的值； ()f x 1x =(2)讨论的单调性．()f x 【答案】(1) 33a b =⎧⎨=-⎩(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解. a 【详解】（1），则 ()262f x x ax '=-()()1014f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩即解得，经验证满足题意，62024a a b -=⎧⎨-+=-⎩33a b =⎧⎨=-⎩（2）()()26223f x x ax x x a '=-=-令解得或 ()0f x '=0x =3a x =1°当时，在上单调递增0a =()f x ()∞∞－，＋2°当时，在，上单调递增，上单调递减a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0∞，＋,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3°当时，在，（上单调递增，上单调递减0a >()f x ()0∞－，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．已知函数.()e 2x f x ax a =++(1)若为的一个极值点，求实数a 的值并此函数的极值； 0x =()f x (2)若恰有两个零点，求实数a 的取值范围. ()f x 【答案】(1)，极小值为，无极大值12a =-12(2) ,⎛-∞ ⎝【分析】（1）由求得，结合函数的单调性求得的极值. ()00f '=a ()f x （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. ()0f x =a a 【详解】（1），依题意，()e 2x f x a '=+()10120,2f a a =+==-'此时，所以在区间递减；()e 1xf x '=-()f x ()()(),0,0,f x f x '-∞<在区间递增. ()()()0,,0,f x f x '+∞>所以的极小值为，无极大值. ()f x ()110122f =-=（2）依题意①有两个解，()e 20x f x ax a =++=，所以不是①的解，121e 02f -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭12x =-当时，由①得，12x ≠-e 21xa x =-+构造函数，()e 1212x g x x x ⎛⎫=-≠- ⎪+⎝⎭，()()()()22e 212e 21e 2121x xx x x g x x x +--'=-=-⋅++所以在区间递增；()()111,,,,0,222g x g x ⎛⎫⎛⎫'-∞--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间递减.()()1,,0,2g x g x ⎛⎫'+∞< ⎪⎝⎭当时，；当时，，12x <-()0g x >12x >-()0g x <与的图象有两个交点， 121e 22g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y a =()y g x =则需a <综上所述，的取值范围是. a ,⎛-∞ ⎝【点睛】根据极值点求参数，要注意的是由求得参数后，要根据函数的单调区间进行验()00f x '=证，因为导数为零的点，不一定是极值点.利用导数研究函数的零点，可以考虑分离常数法，通过分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.20．已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到A B 车站下车为1种车票（）．A B ≠(1)该铁路的客运车票有多少种？(2)为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值．n n 【答案】(1)56(2)3【分析】根据条件利用排列公示建立方程就可以解决.【详解】（1）铁路的客运车票有.288756A =⨯=（2）在新增了个车站后，共有个车站，因为客运车票增加了54种，则， n 8n +285654n A +-=所以，解得.28(8)(7)110n A n n +=++=3n =21．现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）.(1)求三位“幸福数”的个数；(2)如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”.【答案】(1)个84(2)589【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可；（2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第80个三位“幸福数”.【详解】（1）根据题意，可知三位“幸福数”中不能有0，故只需在数字1，2，3，…，9中任取3个，将其从小到大排列，即可得到一个三位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则三位“幸福数”共有个.39C 84=（2）对于所有的三位“幸福数”，1在最高数位上的有个， 28C 28=2在最高数位上的有个，27C 21=3在最高数位上的有个，2615C =4在最高数位上的有个，25C 10=5在最高数位上的有个.24C 6=因为，28211510680++++=所以第80个三位“幸福数”是最高数位为5的最大的三位“幸福数”，为589.22．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小()W x ()3123W x x x =+于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售()64727W x x x=+-完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成()P x x 本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)； ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；04x <<4x ≥()P x （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，04x <<()max 10()23P x P ==4x ≥()P x 比较即可得出答案.【详解】（1）由题意，当时，；当时，04x <<()33116224233x x x x x P x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭4x ≥. ()64646272725P x x x x x x ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭所以. ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，令，解得.04x <<()24P x x '=-+()0P x '=2x =易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，()P x ()0,2()2,404x <<. ()max 10()23P x P ==当时，， 4x ≥()6425259P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号. 64x x=8x =综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.。

2022-2023学年四川省内江市高二年级下册学期第一次月考数学(文)试题【含答案】

2022-2023学年四川省内江市高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．命题“”的否定是（）20,10x x ∃>->A ．B ．20,10x x ∃≤->20,10x x ∃>-≤C ．D ．20,10x x ∀>-≤20,10x x ∀≤->【答案】C【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“”的否定是:.20,10x x ∃>->20,10x x ∀>-≤故选：C.2．椭圆的离心率是（）22124x y +=A B C D 【答案】A【分析】根据题意求，再求离心率即可.,,a b c【详解】由题意可得：y 轴上，则2,a b ==c ==故椭圆的离心率是22124x y +=c e a =故选：A.3．下列说法正确的是（）A ．若为假命题，则p ，q 都是假命题p q ∨B ．“这棵树真高”是命题C ．命题“使得”的否定是：“，”R x ∃∈2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++>D ．在中，“”是“”的充分不必要条件ABC A B >sin sin A B >【答案】A【分析】若为假命题，则p ，q 都是假命题，A 正确，“这棵树真高”不是命题，B 错误，否定是：p q ∨“，”，C 错误，充分必要条件，D 错误，得到答案.R x ∀∈2230x x ++≥【详解】对选项A ：若为假命题，则p ，q 都是假命题，正确；p q ∨对选项B ：“这棵树真高”不是命题，错误；对选项C ：命题“使得”的否定是：“，”，错误；R x ∃∈2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++≥对选项D ：，则，，故，充分性；若，则A B >a b >22a b R R >sin sin A B >sin sin A B >，，则，必要性，故是充分必要条件，错误.2sin 2sin R A R B ⋅>⋅a b >A B >故选：A4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（）1111ABCD A B C D -1A B 1B CA ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接，，如图，1A D DB因为正方体中，11//A D B C 所以就是与所成的角，1BA D ∠1A B 1B C 在中，.1BA D 11A D A B BD ==∴.160BA D ∠=︒故选：C5．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，则该双曲线的虚轴长为()222210,0x y a b a b -=>>12（）A ．B ．C ．D ．6【答案】B【分析】分析可得，求出的值，即可得出双曲线的虚轴长.b a =b 【详解】双曲线的渐近线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>b y x a =±由题意可知，可得，所以，，则1b ba a -⋅=-b a =6c ===b =因此，该双曲线的虚轴长为2b =故选：B.6．若直线与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则n 的取值范围是（）2y mx =+2219x y n +=A ．B ．C ．D ．(]0,4()4,9[)4,9[)()4,99,∞⋃+【答案】C【分析】由题得直线所过定点在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在()0,2轴上即可.x 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点，2y mx =+()0,2则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或，()0,241n ∴≤4n ≥0n <又表示焦点在轴上的椭圆，故，，2219x y n += x 09n <<[)4,9n ∴∈故选：C.7．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，1F 2F 22145x y -=M 12MF MF ⊥则的面积为（）12F MF △A ．B ．CD ．510【答案】A 【分析】由可以求得M 在以原点为圆心，焦距为直径的圆周上，写出圆的方程，与双曲12MF MF ⊥线的方程联立求得M 的坐标，进而得到所求面积.【详解】设双曲线的焦距为，则.2c 2459c =+=因为，所以为圆与双曲线的交点.12MF MF ⊥M 229x y +=联立，解得，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩53y =±所以的面积为.12F MF △156523⨯⨯=故选:A.【点睛】本题考查与双曲线有关的三角形面积最值问题，利用轨迹方程法是十分有效和简洁的解法.8．已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F E ,P Q 且，且，则椭圆的标准方程为（）22PF F Q⊥2224,6PF Q S PF F Q =+= E A ．B ．22143x y +=22154x y +=C ．D ．22194x y +=22195x y +=【答案】C【分析】根据椭圆的定义可求，结合三角形的面积可求，进而可得答案.3a =c 【详解】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，11,PF QF 12PFQF 所以，得.222126PF F Q PF PF a +=+==3a =又因为，所以四边形为矩形，设，22PF F Q ⊥12PFQF 22,==PF m QF n 则，所以得或；2142PF QS mn == 6,8,m n mn +=⎧⎨=⎩ 42m n =⎧⎨=⎩24m n =⎧⎨=⎩则，12F F =2224c b ac ==-=椭圆的标准方程为.E 22194x y +=故选:C.9．当双曲线的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为222:1(20)26x y M m m m -=-≤<+（）A ．y ＝B ．y ＝xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x12【答案】C【解析】求得关于的函数表达式，并利用配方法和二次函数的性质得到取得最小值时的值，2c m m 进而得到双曲线的标准方程，根据标准方程即可得出渐近线方程【详解】由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为，所以渐近线方程为y ＝±2x .2214y x -=故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属基础题，掌握双曲线的基本量的关系是,,a b c 关键.由双曲线的方程：的渐近线可以统一由得出.22(0,0)Ax By AB λλ+=<≠220Ax By +=10．已知，是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，，若C ，则1F 2F 122PF PF =（）12F PF ∠=A ．B ．C ．D ．150︒120︒90︒60︒【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定11r PF =22r PF =122r r =122r r a +=143r a =223r a=理知，得.2221212122cos 4r r r r F PF c +-⋅∠=222122016cos 499a a F PF c -⋅∠=由，从而，∴.c e a ==2279c a =2212168cos 99a a F PF ⋅∠=-121cos 2F PF ∠=-∵，∴.120180F PF ︒<∠<︒12120F PF ∠=︒故选:B11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线22221y x a b +=0y ≥0a b >>()2220x y b y +=<如图2所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，C C x A y G M 当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（）M 12⎫-⎪⎪⎭AGM A ．B ．()2241032x y y +=≥()22161093x y y +=≥C ．D ．()22241033x y y +=≥()22421033x y y +=≥【答案】D【分析】由点在半圆上，可求，然后求出G ，A ，根据已知的面积最大的条12M ⎫-⎪⎪⎭b AGM 件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程OM AG ⊥1OM AGk k ⋅=-a 【详解】由点在半圆上，所以，12M ⎫-⎪⎪⎭b=(0,),(,0)G a A b -要使的面积最大，可平行移动AG ，当AG 与半圆相切于时，M 到直线AG 的AGM 12M ⎫-⎪⎪⎭距离最大，此时，即，OM AG ⊥1OM AGk k ⋅=-又,OM AG ak k b ===1,a a b =-∴==所以半椭圆的方程为()22421033x y y +=≥故选：D12．已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为M 12π3F MF ∠=1e 2e 1C 2C 12e e （）ABC ．1D ．12【答案】A【分析】由题可得，在中，由余弦定理得112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩12MF F △，结合基本不等式得，即可解决.2221212122cos3F F MF MF MF MF π=+-⋅⋅222121243c a a a =+≥【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，M 123F MF π∠=1e 2e 1C 2C 假设，12MF MF >所以由椭圆，双曲线定义得，解得，12112222MF MF a MF MF a +=⎧⎨-=⎩112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩所以在中，，由余弦定理得12MF F △122F F c =，即222121212π2cos3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅，()()()()22212121212π42cos3c a a a a a a a a =++--+⋅-化简得，2221243=+c a a 因为，222121243c a a a =+≥所以，212c a a ≥=12≥e e 当且仅当时，取等号，12a =故选：A二、填空题13．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2241x y +=1F 构成的的周长为__________2F 【答案】4【分析】先将椭圆的方程化为标准形式，求得半长轴的值，然后利用椭圆的定义进行转化即可求a 得.【详解】解：椭圆方程可化为，显然焦点在y 轴上，，22114x y +=1a =根据椭圆定义，121222AF AF a BF BF a+=+=，所以的周长为．2ABF 121244AF AF BF BF a +++==故答案为4．14．若命题“，”为假命题，则a 的取值范围是______．x ∀∈R 210ax ax ++≥【答案】(,0)(4,)-∞+∞ 【分析】先求得命题为真时的等价条件，取补集即可得到为假命题时的参数取值范围.【详解】当时，命题为“，”，该命题为真命题，不满足题意；0a =x ∀∈R 10≥当时，命题，可得到，解得，0a ≠R x ∀∈210ax ax ++≥2Δ400a a a ⎧=-≤⎨>⎩04a <≤故若命题“，”是假命题，则R x ∀∈210ax ax ++≥(,0)(4,)a ∈-∞+∞ 故答案为：(,0)(4,)-∞+∞ 15．已知椭圆C ：，，为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，点A 的坐2212516x y +=1F 2F 标为（2，1），则的范围为_____．1PA PF +【答案】[10【分析】利用椭圆定义可得，再根据三角形三边长的关系可知，当共线时即1210PF PF =-2,,A P F 可取得最值.1PA PF +【详解】由椭圆标准方程可知，5,3a c ==12(3,0),(3,0)F F -又点P 在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以12210PF PF a +==1210PF PF =-所以1210PA PF PA PF +=+-易知，当且仅当三点共线时等号成立；222AF PA PF AF -≤-≤2,,A P F=10+即的范围为.1PA PF +[10+故答案为：[1016．己知，是双曲线C 的两个焦点，P为C 上一点，且，，若1F 2F 1260F PF ∠=︒()121PF PF λλ=>C ，则的值为______．λ【答案】3【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理求解即可.12,PF PF 【详解】由及双曲线的定义可得，12(1)PF PF λλ=>122(1)2PF PF PF aλ-=-=所以，，因为，在中，221aPF λ=-121a PF λλ=-1260F PF ∠=︒12F PF △由余弦定理可得，222222442242cos 60(1)(1)11a a a ac λλλλλλ=+-⨯⋅⋅︒----即，所以，2222(1)(1)c a λλλ-=-+2222217(1)4c e a λλλ-+===-即，解得或（舍去）.231030λλ-+=3λ=13λ=故答案为：3三、解答题17．已知，，其中m ＞0．2:7100p x x -+<22430q :x mx m -+<(1)若m ＝4且为真，求x 的取值范围；p q ∧(2)若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．q ⌝p ⌝【答案】(1)()4,5(2)5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）解不等式得到，，由为真得到两命题均为真，从而求出:25p x <<q :412x <<p q ∧的取值范围；x （2）由是的充分不必要条件，得到是的充分不必要条件，从而得到不等式组，求出实q ⌝p ⌝p q数m 的取值范围.【详解】（1），解得：，故，27100x x -+<25x <<:25p x <<当时，，解得：，故，4m =216480x x +<-412x <<q :412x <<因为为真，所以均为真，p q ∧,p q 所以与同时成立，:25p x <<q :412x <<故与求交集得：，25x <<412x <<45x <<故的取值范围时；x ()4,5（2）因为，，解得：，0m >22430x mx m -+<3m x m <<故，:3q m x m <<因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，q ⌝p ⌝p q即，但，:25:3p x q m x m <<⇒<<:3q m x m <<⇒:25p x <<故或，0235m m <≤⎧⎨>⎩0235m m <<⎧⎨≥⎩解得：，523m ≤≤故实数m 的取值范围是5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；(1)短轴长为的椭圆；23e =(2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．22143y x -=()3,2M -【答案】(1)或22195x y+=22195y x +=(2)22168x y -=【分析】（1）根据题意求出、、的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出椭圆的标准a b c 方程；（2）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，()22043y x λλ-=≠M λ即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】（1）解：由题意可知.23b c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，x 22195x y +=若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为.y 22195y x +=综上所述，所求椭圆的标准方程为或.22195x y +=22195y x +=（2）解：设所求双曲线方程为，()22043y x λλ-=≠将点代入所求双曲线方程得，()3,2-()2223243λ-=-=-所以双曲线方程为，即．22243y x -=-22168x y -=19．已知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，为1111ABCD A B C D-2AB AD BD ===1AA =E 的中点．11B D (1)证明：平面；//AE 1BDC (2)求三棱锥的体积．1E BDC -【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）连接AC 交BD 于点，连接，F 1C F 在直四棱柱中，，1111ABCD A B C D -11//AA CC 11=AA CC 所以四边形为平行四边形，即，，11AA C C 11//AC A C 11=AC A C 又因为底面ABCD 为菱形，所以点为AC 的中点，F 点为的中点，即点为的中点，所以，，E 11B D E 11A C 1//C E AF 1C E AF =即四边形为平行四边形，所以，1AFC E 1//AE C F 因为平面，平面，，所以平面；1C F ⊂1BDC AE ⊄1BDC //AE 1BDC （2）在直棱柱中平面，平面，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 所以，111BB A C ⊥又因为上底面为菱形，所以，1111D C B A 1111B D A C ⊥因为平面，1111111,,B D BB B B D BB =⊂ 11BB D D 所以平面，11A C ⊥11BB D D 因为在中，，ABD △2AB AD BD ===且点为BD 的中点，所以，即FAF ==1C E =所以．11111121332E BDC C BDE BDE V V S C E --==⋅=⨯⨯=△20．已知椭圆E ：.()222210x y a b a b +=>>(P (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线m 过椭圆E 的右焦点和上顶点，直线l 过点且与直线m 平行.设直线l 与椭圆E 交()2,1M 于A ，B 两点，求AB 的长度.【答案】(1)221168x y +=【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.【详解】（1）由题意知，，，设椭圆E 的方程为.e =a=b c =222212x y b b +=将点的坐标代入得：，，所以椭圆E 的方程为.P 28b =216a=221168x y +=（2）由（1）知，椭圆E 的右焦点为，上顶点为，所以直线m 斜率为(0,，1k ==-由因为直线l 与直线m 平行，所以直线l 的斜率为，1-所以直线l 的方程为，即，()12y x -=--30x y +-=联立，可得，2211683x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩231220x x -+=，，，1200∆=>124x x +=1223x x =.==21．已知双曲线.221416x y -=(1)试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，()1,1N S T N ST 求出其方程；如果不存在，说明理由；(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、l ()2y kx m k =+≠±M M l x 轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.y ()0,0A x ()00,B y M 00(,)P x y 【答案】(1)不能，理由见解析；(2)，.22100125x y -=0y ≠【分析】（1）设出直线的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答.ST （2）联立直线与双曲线的方程，由给定条件得到，求出的坐标及过点与直线l ()2244m k =-M M 垂直的直线方程，即可求解作答.l 【详解】（1）点不能是线段的中点，N ST 假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，()1,1N S T N ST 显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，ST ST ()11y n x -=-1y nx n =-+而双曲线渐近线的斜率为，即，221416x y -=2±2n ≠±由得，则有，解得，2211416y nx n x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242(1)(1)160n x n n x n -+----=2(1)14n n n --=-4n =此时，即方程组无解，22224(1)4(4)[(1)16]4169412250n n n n '∆=----+=⨯⨯-⨯⨯<所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点.()1,1N S T N ST （2）依题意，由消去y 整理得，221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()()22242160k x kmx m ---+=因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，2k ≠±M l 则有，即，点M 的横坐标为，()()222Δ(2)44160km k m =-+-+=()2244m k =-244km kkm =--点，，过点与直线垂直的直线为，416(,)k M m m --0km ≠M l 1614()k y x m k m +=-+因此，，，，020k x m =-020y m =-2222002224164(4)110025x y k k m m m --=-==00y ≠所以点的轨迹方程为，.00(,)P x y 22100125x y -=0y ≠22．已知椭圆：上的点到左、右焦点，的距离之和为4.C ()222210x y a b a b +=>>31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 2F (1)求椭圆的方程.C (2)若在椭圆上存在两点，，使得直线与均与圆相切，问：C P Q AP AQ ()222322x y r ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭()0r >直线的斜率是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.PQ 【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为12【分析】（1）由椭圆的定义结合性质得出椭圆的方程.C （2）根据直线与圆的位置关系得出，将直线的方程代入椭圆的方程，由韦达定理得21k k =-AP C 出坐标，进而由斜率公式得出直线的斜率为定值.,P Q PQ 【详解】（1）由题可知，所以.24a =2a =将点的坐标代入方程，得A 31,2⎛⎫⎪⎝⎭22214x y b +=23b =所以椭圆的方程为.C 22143x y +=（2）由题易知点在圆外，且直线与的斜率均存在.A ()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭AP AQ 设直线的方程为，直线的方程是AP ()1312y k x -=-AQ ()2312y k x -=-由直线与圆相切，AP ()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭r=r=.=21k k =-将直线的方程代入椭圆的方程，AP C 可得.()()222111113443241230k x k k x k k ++-+--=设，.因为点也是直线与椭圆的交点，(),P P P x y (),Q Q Q x y 31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭AP 所以，21121412334P k k x k --=+1132P P y k x k =+-因为，所以，21k k =-21121412334Q k k x k +-=+1132Q Q y k x k =-++所以直线的斜率PQ Q P PQ Q Py y k x x -=-()112Q P Q Pk x x k x x -++=-22111111221122111122114123412323434412341233434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+----++ ⎪++⎝⎭=+----++()()22111118623424k k k k k --++=12=。

巢湖春晖学校高二下学期第一次月考数学试卷WENKE (1)

巢湖春晖学校高二下学期第一次月考数学试卷命题：宋燎原审核：李良勋（时间：120分钟分数 150分）参考公式：22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++，回归直线方程：1221ni ii n i i x ynx yb x nx==-=-∑∑,x b y aˆˆ-= 一、选择题（把你认为正确的选项填在答题卷对应的题号下，填在试卷上无效，本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫⎪-⎝⎭=( )A ．- i B ．-1 C ．i D ．12.下表中的由平面到空间的三个类比推理正确的个数( )3、两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数2R 为0.98 B. 模型2的相关指数2R 为0.80 C. 模型3的相关指数2R 为0.50 D. 模型4的相关指数2R 为0.254、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 ( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误5 设4,0,0≤+>>b a b a 且，则有（） A.211≥ab B.2≥ab C.111≥+b a D.411≤+b a 6．设集合{}{}|33,|2,12xA x xB y y x =-<<==≤≤，则()()R RC A C B = （）A ．[)2,3B ．()(),23,-∞+∞C ．()[),23,-∞+∞D ．()(),24,-∞+∞7．函数()34log 21-=x y 的定义域为（）Ａ．（43,∞-）Ｂ．（1,∞-］Ｃ．（43，1］Ｄ．（43，1）8、用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈,1a b +=,1c d +=,且1ac bd +>,则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为( )A ．,,,a b c d 中至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数9．执行如右图所示的程序框图,输出的T= ( )A. 11B. 12C. 13D. 1410．设有一回归直线方程为ˆ4 1.5yx =-,则变量x 增加一个单位时（） A ．y 平均增加 1.5 个单位B ．y 平均增加 2.5 个单位C ．y 平均减少 1.5 个单位D ．y 平均减少 2.5 个单位二、填空题（将正确答案填在答题卷的对应题号后的横线上，每小题5分，共25分）11、回归直线方程为0.57514.9y x =-，则100x =时，y 的估计值为12、若()()()(,),f a b f a f b a b N +=⋅∈且(1)2f =，则(2)(4)(2010)(1)(3)(2009)f f f f f f +++= 13．设函数(0)()ln (0)x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g =__________14. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}n a 为等和数列，且12a =，公和为5，则18a 的值为； 15．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是 .三、解答题：（你有能力正确解答下列题目，解答时要求写出详细的解答过程，解答过程写在答题卷规定的区域内，写在区域外无效）16. 已知2i-3是实系数一元二次方程02=-+q px x 的一个根，求p 和q 值（12分）17、在数列{a n }中，1121,()2nn na a a n N a ++==∈+，试写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式。

高二数学下学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题

某某市奉贤区奉城中学2014-2015学年高二（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每个小题5分，共12个小题）1．设命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为（）A．∀x＞0，2x＜log2x B．∃x＞0，2x≤log2xC．∃x＞0，2x＜log2x D．∃x＞0，2x≥log2x2．已知命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是（）A．∃x0∈R，sinx0≤B．∃x0∈R，sinx0＜C．∀x∈R，sinx≤D．∀x∈R，sinx＜3．在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（）A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q至少有一个是真命题D．命题p、q只有一个真命题5．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A． p真q真B． p假q假C． p真q假D． p假q真6．下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程7．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错8．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2C．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°D．在数列{a n}中，a1=1，a n=（a n﹣1+）（n≥2），由此归纳数列{a n}的通项公式9．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A． 0 B． i C．﹣i D． 110．已知z+5﹣6i=3+4i，则复数z为（）A．﹣4+20i B．﹣2+10i C．﹣8+20i D．﹣2+20i 11．=（）A．B．C． i D．﹣i12．i是虚数单位，复数=（）A． 2﹣i B． 2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i二、填空题（每个小题5分，共4个小题）13．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．14．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是．15．已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|=．16．若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于．三、解答题（共计6个小题，其中17小题10分，其他小题各12分）17．计算：（1+2i）÷（3﹣4i）．18．写出命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题，否命题，逆否命题．19．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．20．在数列{a n}中，a1=1，，试猜想这个数列的通项公式．21．实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．22．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？某某市奉贤区奉城中学2014-2015学年高二（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每个小题5分，共12个小题）1．设命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为（）A．∀x＞0，2x＜log2x B．∃x＞0，2x≤log2xC．∃x＞0，2x＜log2x D．∃x＞0，2x≥log2x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为∃x＞0，2x≤log2x．故选：B．点评：本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．2．已知命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是（）A．∃x0∈R，sinx0≤B．∃x0∈R，sinx0＜C．∀x∈R，sinx≤D．∀x∈R，sinx＜考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是∀x∈R，sinx＜．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可．解答：解：在△ABC中中，若A=B，则a=b，由正弦定理得sinA=sinB，即充分性成立，若sinA=sinB，则由正弦定理得a=b，即A=B，即必要性成立，故，“A=B”是“sinA=sinB”的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合正弦定理是解决本题的关键．4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（）A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q至少有一个是真命题D．命题p、q只有一个真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系即可判断出p，q的真假情况．解答：解：由p∨q为真命题，p∧q为假命题知，p，q一真一假；即p，q中只有一个真命题；∴D正确．故选D．点评：考查“∨”“∧”两个符号的含义，以及p∧q，p∨q真假和p，q真假的关系．5．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A． p真q真B． p假q假C． p真q假D． p假q真考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由于“p∨q”的否定是真命题，可得p∨q是假命题，即可判断出p与q的真假．解答：解：∵“p∨q”的否定是真命题，∴p∨q是假命题，因此p与q都是假命题．故选：B．点评：本题考查了复合命题的真假判断方法，属于基础题．6．下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程考点：合情推理的含义与作用．专题：阅读型．分析：合情推理的结论不一定正确可判定选项A，合情推理包含归纳推理与类比推理可判定选项B，归纳推理是从特殊到一般的推理过程可判定选项C，类比推理是从特殊到特殊的推理过程可判定选项D．解答：解：合情推理的结论不一定正确，有待证明，而演绎推理的结论是一定正确的，故选项A不正确；合情推理包含归纳推理与类比推理，故选项B不正确；所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故选项C不正确；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理过程．故选项D正确．故选D．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．7．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．解答：解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，故选A．点评：本题考查演绎推理的基本方法，考查实数的性质，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识，判断这种说法是否正确即可，是一个基础题．8．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2C．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°D．在数列{a n}中，a1=1，a n=（a n﹣1+）（n≥2），由此归纳数列{a n}的通项公式考点：演绎推理的意义．专题：探究型．分析：分别根据归纳推理，类比推理以及演绎推理的定义进行判断．解答：解：A．由高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人，属于归纳推理．B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2，属于类比推理．C．直线平行的性质得到结论为演绎推理．D．根据条件推出数列的通项公式为归纳推理．故选C．点评：本题主要考查归纳推理，类比推理和演绎推理的判断，要求熟练掌握它们的区别和联系．9．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A． 0 B． i C．﹣i D． 1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i的虚部是1．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．10．已知z+5﹣6i=3+4i，则复数z为（）A．﹣4+20i B．﹣2+10i C．﹣8+20i D．﹣2+20i考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的代数形式的混合运算，求出复数z即可．解答：解：∵z+5﹣6i=3+4i，∴z=3+4i﹣5+6i=﹣2+10i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．11．=（）A．B．C． i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．分析：化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．解答：解：故选A．点评：本题考查的知识点复数的运算，（乘法和除法），比较简单．12．i是虚数单位，复数=（）A． 2﹣i B． 2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数=故选A点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意分母实数化，考查计算能力，常考题型．二、填空题（每个小题5分，共4个小题）13．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0 ．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．14．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是自然数n是3的倍数．考点：演绎推理的基本方法．专题：规律型．分析：三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“自然数n是9的倍数”叫小前提．另外一个是结论．解答：解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：“自然数n是3的倍数”．故答案为：自然数n是3的倍数．点评：三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．15．已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数模长的定义直接进行计算即可．解答：解：∵复数z=2﹣i，∴|z|===．故答案为：．点评：本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．16．若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于 1 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：由复数z的是不等于0，虚部不等于0列式计算m的值．解答：解：复数z=（m2﹣1）+（m+1）i当z是纯虚数时，必有：m2﹣1=0且m+1≠0解得，m=1．故答案为1．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，复数为纯虚数，当且仅当实部等于0而虚部不等于0，是基础题．三、解答题（共计6个小题，其中17小题10分，其他小题各12分）17．计算：（1+2i）÷（3﹣4i）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数除法的运算法则进行化简即可．解答：解：（1+2i）÷（3﹣4i）====+i．点评：本题主要考查复数的基本运算，根据复数除法的运算法则是解决本题的关键．18．写出命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题，否命题，逆否命题．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：把原命题的题设和结论互换，得到原命题的逆命题；同时否定原命题的题设和结论，得到原命题的否命题；否定原命题的题设作结论，否定原命题的结论作题设，得到原命题的逆否命题．解答：解：命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题：若ac2＜bc2，则a＜b；否命题：若a≥b，则ac2≥bc2；逆否命题：若ac2≥bc2，则a≥b．点评：本题考查四种命题的相互转化，解题时要注意四种命题的变换方法．19．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题的定义以及特称命题与全称命题的定义，对题目中的语句进行判断即可．解答：解：对于（1），任何一个实数除以1，仍等于这个数，是命题，且是全称命题；对于（2），三角函数都是周期函数吗？不是命题；对于（3），有一个实数x，x不能取倒数，是命题，是特称命题；对于（4），有的三角形内角和不等于180°，是命题，是特称命题．点评：本题考查了命题的概念以及特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．20．在数列{a n}中，a1=1，，试猜想这个数列的通项公式．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据已知的递推关系，可以构造出我们熟悉的等差数列．再用等差数列的性质进行求解．解答：解：根据，得2a n+1+a n+1a n=2a n，两边同时除以a n+1a n，得到，所以数列是公差为1的等差数列，且，所以，所以．点评：构造数列是对已知数列的递推关系式变形后发现规律，创造一个等差或等比数列，借此求原数列的通项公式，是考查的重要内容．21．实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）当复数的虚部等于零，复数为实数，由此求得m的值．（2）当复数的虚部不等于零，复数为虚数，由此求得m的值．（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数，即，由此求得m的值．解答：解：（1）当复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i的虚部等于零，即m2﹣3m=0，求得m=0，或 m=3，即m=0，或 m=3时，复数为实数．（2）当复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i的虚部不等于零，即m2﹣3m≠0，求得m≠0，且m≠3，即m≠0，且m≠3时，复数为虚数．（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数，由，求得 m=2，即当 m=2时，复数为纯虚数．点评：本题主要考查复数的基本概念，属于基础题．22．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）由虚部等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（2）由虚部不等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值．word解答：解：（1）当，即，即m=5时，z的虚部等于0，实部有意义，∴m=5时，z是实数．（2）当，即时，z的虚部不等于0，实部有意义，∴当m≠5且m≠﹣3时，z是虚数．（3）当，即时，z为纯虚数，∴当m=3或m=﹣2时，z是纯虚数．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是实数、虚数、纯虚数的条件，关键是注意实部的分母不等于0，此题是基础的计算题．11 / 11。

河北省石家庄二十四中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

河北省石家庄二十四中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．从集合{}1,2,3,4,5中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（） A ．10B ．15C ．20D ．252．五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从,,,A B C D 四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A 景点，所以甲不选A 景点，则不同的选法有（） A ．60B ．48C ．54D ．643．6x ⎛⎝的展开式中含2x 的项的系数为（）．A ．20B ．20-C ．15-D ．154．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且满足()0E ξ=，则2a b -=（）A ．29B ．12C ．39D ．05．如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（）A ．480B ．600C ．720D ．8406．设随机变量X 服从两点分布，若()()100.4P X P X =-==，则()E X =（） A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.77．设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.40.6､，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.70.9､，则甲正点到达目的地的概率为（） A ．0.78B ．0.8C ．0.82D ．0.848．有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（）种． A ．36B ．72C ．108D ．1449．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用X 表示取出球的最大编号，则()E X =（） A ．2B ．3C ．103D ．11310．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A ．521B ．940C ．745D ．720二、多选题11．A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A ．若A ，B 不相邻，有72种排法 B ．若A ，B 不相邻，有48种排法C ．若A ，B 相邻，有48种排法D ．若A ，B 相邻，有24种排法12．对任意实数x ，有()()()()()823801238231111x a a x a x a x a x -=+-+-+-++-L ，下列结论成立的是（）A ．01a =-B ．01a =C ．01281a a a a +++⋯+=D ．8012833a a a a a ++--+=L13．已知事件A ，B ，且()13P A =，()15P B A =，()35P B A =，则（） A ．()115P AB =B ．()25P B A = C ．()25P B A =D ．()415P AB =14．将杨辉三角中的每一个数C r n 都换成()11C r n n +，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果()*2N n n ≥∈，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（）A ．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值B ．第8行第2个数是172C ．()()111C 1C r n r n n n n -=++（N r ∈，0r n ≤≤）D ．()()111111C 1C C r r r n n n n n n --+=++（N r ∈，1r n ≤≤）三、填空题15．4275C A -=． 16．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有种． 17．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球2个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为.18．组合数0243434343434C C C C +⋅⋅⋅+++被9除的余数是．四、解答题19．若()522100121012x x a a x a x a x --=++++L ．(1)求01238910a a a a a a a +++++++L 的值； (2)求02410a a a a +++L 的值；20．某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选派3人外出比赛．(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？(2)设选派的3人中男运动员人数为X，求X的分布列．21．有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有大小、形状完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球；乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球．假设试验选到甲袋或乙袋的概率都是12．(1)求从袋子中摸出红球的概率；(2)求在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率．22．已知2n x⎛⎝的展开式二项式系数和为64.(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中二项式系数最大的项.23．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：方案一：只选择A选项：方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；。

天津高二下学期第一次月考数学试题(解析版)

一、单选题1．下列各式正确的是（） A ．B ． ()cos sin x x '=()ln x x a a a '=C ． D ．ππsin cos 1212'⎛⎫= ⎪⎝⎭()5615xx --'=-【答案】B【分析】根据基本初等函数的求导公式判断．【详解】；；，，只有B 正确．(cos )sin x x '=-πsin 012'⎛⎫= ⎪⎝⎭56()5x x --'=-()ln x xa a a '=故选：B ．2．函数的单调递减区间是（） (e 3)()x f x x =-A ． B ． C ． D ．(),2-∞()0,3()1,4()2,+∞【答案】A【分析】求出导函数，由得减区间． ()f x '()0f x '<【详解】由已知， ()(3)(2)x x x f x e x e x e '=+-=-时，，时，，2x <()0f x '<2x >()0f x '>所以的减区间是，增区间是； ()f x (,2)-∞(2,)+∞故选：A ．3．曲线在处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为（）()2ln f x x x =x e =A ．B ．C ．D ．24e 2e 22e 22e 【答案】D【解析】先利用导数的几何意义求出切线方程，再分别求出直线与两坐标轴的交点坐标，即可得l 到切线l 与坐标轴围成的三角形的面积．【详解】由，得，则，，所以曲线在()2ln f x x x =()22ln f x x '=+()2f e e =()224f e '=+=()f x 处的切线的方程为，即.令得；令得.所以直x e =l ()24y e x e -=-42y x e =-0x =2y e =-0y =2ex =线与两坐标轴的交点坐标分别为，，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为l ()0,2e -,02e ⎛⎫⎪⎝⎭l . 212222e e e ⨯⨯=故选D.4．若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（） 0,ln 0x x x x a >--≥a A ． B ．C ．D ．(,1]-∞-(,1]-∞[1,)-+∞[1,)+∞【答案】A【解析】构造函数，利用导数研究函数在单调性，并计算()ln f x x x x a =--()f x ()0,∞+，可得结果.()min 0f x ≥【详解】令，()ln f x x x x a =--()0,x ∈+∞则，令()'ln f x x =()'01f x x =⇒=若时，01x <<()'0f x <若时，1x >()'0f x >所以可知函数在递减，在递增 ()f x ()0,1()1,+∞所以()()min 11f x f a ==--由对任意的实数恒成立 0,ln 0x x x x a >--≥所以 ()min 101f x a a =--≥⇒≤-故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.5．已知R 上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）()f x ()()20x f x '->A ．B ． ()(),21,-∞-+∞ ()()212-∞-,,UC ．D ．()(),12,-∞+∞ ()()1,12,-+∞ 【答案】D【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． ()0f x '>()0f x '<【详解】由图象知的解集为，的解集为，()0f x '>(,1)-∞-(1,)⋃+∞()0f x '<(1,1)-或，(2)()0x f x '->20()0x f x -⇔'>⎧⎨>⎩20()0x f x -<<'⎧⎨⎩所以或，解集即为． 2x >11x -<<()()1,12,-+∞ 故选：D ．6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）2()ln 2f x x ax =+-1,22⎛⎫⎪⎝⎭a A ． B ． C ． D ．(,2]-∞-1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2,)-+∞【答案】D【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即212a x >-1(,2)221()2g x x =可求出的范围.a 【详解】∵， 2()ln 2f x x ax =+-∴，1()2f x ax x'=+若在区间内存在单调递增区间，则有解，()f x 1(,2)21()0,(,2)2f x x '>∈故， 212a x >-令，则在单调递增， 21()2g x x =-21()2g x x =-1(,2)2，1()()22∴>=-g x g 故. 2 a >-故选：D.7．已知函数在处有极值10，则的值为（） 322()f x x ax bx a =--+1x =a b 、A ．， B ．，或， 4a =-11b =3a =3b =-4a =-11b =C ．， D ．以上都不正确1a =-5b =【答案】A【解析】根据条件函数在处有极值10，则有且，解出的值，然后()f x 1x =1(1)0f =()01f '=a b 、再代入检验是否满足条件，得出答案【详解】解：函数的导数为， 2()32f x x ax b '=--因为函数在处有极值10， 322()f x x ax bx a =--+1x =所以且．1(1)0f =()01f '=即，解得或． 2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩33a b =⎧⎨=-⎩411a b =-⎧⎨=⎩当，，，3a =3b =-22()3633(1)0f x x x x '=-+=-…此时函数单调递增，所以此时函数没有极值，所以不满足条件．所以经检验值当，时，满足条件． 4a =-11b =故选：A ．【点睛】本题考查函数取极值的情况，求参数的值，注意要检验，属于中档题. 8．定义在R 上的偶函数，其导函数，当x ≥0时，恒有，若()f x ()f x '()()02xf x f x '+-<，则不等式的解集为（） 2()()g x x f x =()(12)g x g x <-A ．(,1)B ．(∞,)∪(1,+∞)13-13C ．(,+∞)D ．(∞,)13-13【答案】A【分析】由已知可得，即在上单调递减，再利用函数的奇偶()[2()()]0g x x f x xf x ''=+<()g x [0,)+∞性、单调性，求解题设不等式即可.【详解】当时，，又， 0x ≥2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+()()()()022x xf x f x f x f x ''+-=+<∴，即在上单调递减． ()0g x '<()g x [0,)+∞∵是定义在R 上的偶函数， ()f x ∴是定义在R 上的偶函数，()g x 由不等式，则有， ()(12)g x g x <-(||)(|12|)g x g x <-∴，解得：． |||12|x x >-113x <<∴不等式的解集为． ()(12)g x g x <-1(,1)3故选：A9．设函数与是定义在同一区间上的两个函敉，若对任意的，都有()f x ()g x [],a b [],x a b ∈，则称与在上是“k 度和谐函数”，称为“k 度密切区()()()0f x g x k k -≤>()f x ()g x [],a b [],a b 间”．设函数与在上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是（） ()ln f x x =()1mx g x x -=1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．B ．[]e 1,1--[]1,e 1-+C ．D ．1e,1e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦11e,1e e ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】由新定义转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，从而得出结论．【详解】由题意在时恒成立，即在时恒成1ln e mx x x --≤1[e]e x ∈,1e ln e m x m x-≤+≤+1[e]e x ∈,立，设，则，1()ln h x x x=+22111()x h x x x x -'=-=时，，单调递减，时，，单调递增， 11ex ≤<()0h x '<()h x 1e x <≤()0h x '>()h x 所以，又，，所以，min ()(1)1h x h ==1(e 1e h =-1(e)1e 1e h =+<-max ()e 1h x =-因此由在时恒成立得：1e ln e m x m x-≤+≤+1[e]e x ∈,且，所以．e 1m -≤e e 1m +≥-1e 1m -≤≤+故选：B ．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题的处理方法，解决函数不等式恒成立的常用方法是分离参数法，即不等式变形把参数与自变量分离，然后构造新函数，利用导数求得函数的最值，然后解相x 应不等式得参数范围．二、填空题10．已知函数的导函数为，且满足，则________． ()f x ()f x '()()121f x xf x'=+()1f '=【答案】1【分析】根据题意，求导可得，然后令，即可得到结果. ()f x '1x =【详解】因为，则， ()()121f x xf x '=+()()2121f x f x''=-令，可得，解得. 1x =()()1211f f ''=-()11f '=故答案为: 111．函数的单调减区间为_______ ． ()219ln 2f x x x =-【答案】.()0,3【解析】利用导数研究函数单调性即可得到结论. 【详解】解：∵，， ()219ln 2f x x x =-0x >则，299()x f x x x x'-=-=由，即，解得，()0f x '<290x -<33x -<<，即函数的单调减区间为， 0,03x x >∴<< ()0,3故答案为：.()0,3【点睛】本题主要考查函数单调区间的求解，根据函数的导数和单调性之间的关系是解决本题的关键.12．函数的图象在点处的切线的倾斜角为__________ ()cos x f x e x =(0,(0))f 【答案】4π【详解】因为， ()cos sin x x f x e x e x -'=00(0)cos 0sin 01f e e -'==所以函数的图象在点处的切线的倾斜角为()cos x f x e x =(0,(0))f 4π13．已知函数对区间上任意的都有，则实数m 的最小3()3f x x x =-[3,2]-1,x 2x ()()12f x f x m -≤值是________. 【答案】20【分析】求出在上的最大值和最小值后由两者差可得的范围，即得的最小值、 ()f x [3,2]-m m 【详解】，则＝0，，当或时，，3()3f x x x =-2()33f x x '=-1x =±31x -≤<-12x <≤()0f x '>递增，当时，，递减．()f x 11x -<<()0f x '<()f x 所以，，又，， ()(1)2f x f =-=极大值()2f x =-极小值(3)18f -=-(2)2f =所以在上，，[3,2]-()2,()18f x f x ==-最大值最小值所以的最大值为，即，所以的最小值为20． 12()()f x f x -2(18)20--=20m ≥m 故答案为：20．【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，解题关键是命题对区间上任意的都有[3,2]-1,x 2x ，转化继．()()12f x f x m -≤12()()()()f x f x f x f x -≤-最大值最小值14．当时，函数有两个极值点，则实数m 的取值范围___________.0x >()22x f x e mx =-+【答案】 2e m >【分析】函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实数根，等价于与有两个2xe m x =y m =2x e y x=不同的交点，构造函数，即可求出结果.()(0)2xe h x x x =>【详解】有两个极值点， 2()2xf x e mx =-+所以有两个不同的实数根，'()20x f x e mx =-+=即有两个不同的实数根，2xe m x=等价于与有两个不同的交点，y m =2xe y x =设， ()(0)2x e h x x x =>2(1)'()(0)2x e x h x x x -=>当单调递减， (0,1),'()0,()x h x h x ∈<当单调递增， (1+),'()0,()x h x h x ∈∞>，所以 min ()(1)2eh x h ==当；0()x h x →→+∞，+()x h x →∞→+∞，所以与要有两个不同的交点，只需y m =2xe y x=2e m >故答案为：2em >【点睛】方法点睛：含参方程有根的问题转化为函数图像的交点问题，数形结合，是常用的方法.本题考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.三、双空题15．（1）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则()()e 21xf x x ax a =--+1a <0x ()00f x <a 的取值范围是________．（2）已知，，若，，使得成立，则实数a 的()e xf x x =()()21g x x a =-++1x ∃2x ∈R ()()21f x g x ≤取值范围________．【答案】3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方，求导得0x ()0g x y ax a =-，然后结合图像即可得到结果；()g x '（2）根据题意，将问题转化为，然后求导得极值，即可得到结果.()()min max f x g x ≤【详解】（1）函数，其中，()()e 21xf x x ax a =--+1a <设，()()e 21,xg x x y ax a =-=-因为存在唯一的整数，使得，0x ()00f x <所以存在唯一的整数，使得在直线的下方， 0x ()0g x y ax a =-因为，所以当时，，()()e 21xg x x '=+12x <-()0g x '<当时，，12x =-()12min 12e 2g x g -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，， 0x =()()01,1e>0g g =-=直线恒过点，斜率为，y ax a =-()1,0a 故，且，解得 ()01a g ->=-()113e g a a --=-≥--32ea >所以的取值范围是a 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2），，使得成立，等价于，1x ∃2x ∈R ()()21f x g x ≤()()min max f x g x ≤因为，所以，()e x f x x =()()1e xf x x '=+当时，，则函数递减； 1x <-()0f x '<()f x 当时，，则函数递增； 1x >-()0f x ¢>()f x 所以时，，=1x -()min 1ef x =-因为，所以，()()21g x x a =-++()max g x a =所以，则实数的取值范围是.1e a -≤m 1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭故答案为: （1）;（2）3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题16．已知函数（a ，），其图象在点处的切线方程为()()322113f x x ax a x b =-+-+b ∈R ()()1,1f ．30x y +-=(1)求a ，b 的值；(2)求函数的单调区间和极值； ()f x (3)求函数在区间上的最大值． ()f x []2,5-【答案】(1)，；1a =83b =(2)的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；()f x (,0)-∞(2,)+∞(0,2)8(0)3f =()423f =(3)最大值是，最小值是． 5834-【分析】（1）由出导函数，计算和，由切线方程列方程组解得； ()f x '(1)f '(1)f ,a b （2）由得增区间，由得减区间，从而可得极值；()0f x '>()0f x '<（3）结合（2）可得函数在上的单调性，再计算出区间端点处的函数值，，与[2,5]-(2)f -(5)f （2）中极值比较可得最值．【详解】（1），，22()21f x x ax a '=-+-22(1)1212f a a a a '=-+-=-，2212(1)133f a a b a a b =-+-+=-+-又图象在点处的切线方程为，()()1,1f 30x y +-=所以，解得； 222121(303a a a a b ⎧-=-⎪⎨+-+--=⎪⎩183a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）得，，3218()33f x x x =-+2()2(2f x x x x x '=-=-）或时，，时，，0x <2x >()0f x '>02x <<()0f x '<所以的增区间是和，减区间是， ()f x (,0)-∞(2,)+∞(0,2)极大值是，极小值是；8(0)3f =()423f =（3）由（2）知在和上递增，在上单调递减， ()f x [2,0]-[2,5](0,2)又，， (2)4f -=-58(5)3f =所以在上的最大值是，最小值是． ()f x [2,5]-5834-17．已知函数，其中是自然对数的底数，．()()21e xf x ax x =+-e a R ∈(1)若，求的单调区间；a<0()f x (2)若，函数的图象与函数的图象有个不同的交点，求实数的1a =-()f x ()321132g x x x m =++3m 取值范围．【答案】(1)答案见解析(2) 31,1e 6⎛⎫--- ⎪⎝⎭【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变()()221e xf x ax a x '⎡⎤=++⎣⎦a 化，由此可得出函数的增区间和减区间；()f x （2）由可得出，构造函数()()f x g x =()232111e 32xm x x x x -=-+++，可知直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函()()232111e 32x h x x x x x =-+++y m =-()h x 数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.()h x m 【详解】（1）解：当时，因为，该函数的定义域为， 0a <()()21e xf x ax x =+-R ，()()()()2221e 1e 21e x x xf x ax ax x ax a x '⎡⎤=+++-=++⎣⎦由可得或. ()0f x '=0x =21a x a+=-①当时，即当时，210a a+-<12a <-由可得或，由可得， ()0f x '<21a x a +<-0x >()0f x ¢>210a x a+-<<此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为； ()f x 21,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,∞+21,0a a +⎛⎫-⎪⎝⎭②当时，即当时，对任意的，且不恒为零， 210a a+-=12a =-x R ∈()0f x '≤()f x '此时函数的减区间为，无增区间； ()f x (),-∞+∞③当时，即当时，210a a+->102a -<<由可得或，由可得， ()0f x '<0x <21a x a +>-()0f x ¢>210a x a+<<-此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为.()f x (),0∞-21,a a ∞+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述，当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为12a <-()f x 21,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,∞+； 21,0a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，函数的减区间为，无增区间； 12a =-()f x (),-∞+∞当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为102a -<<()f x (),0∞-21,a a ∞+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）解：当时，，1a =-()()21e x f x x x =-+-由可得，可得， ()()f x g x =()232111e 32x x x x x m -+-=++()232111e 32x m x x x x -=-+++令，则， ()()232111e 32x h x x x x x =-+++()()()2e 1x h x x x '=++由可得或，由可得.()0h x '>1x <-0x >()0h x '<10x -<<所以，函数的增区间为、，减区间为，()h x (),1-∞-()0,∞+()1,0-函数的极大值为，极小值为， ()h x ()311e 6h -=+()01h =因为函数、的图象有三个交点，()f x ()g x 所以，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：y m =-()h x由图可知，当时，即当时， 311e 6m <-<+311e 6m --<<-直线与函数的图象有三个交点，y m =-()h x 因此，实数的取值范围是. m 31,1e 6⎛⎫--- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化x 归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数()0f x =()a g x =y a =的图象的交点问题.()y g x =18．已知函数()ln 1x f x me x =--（1）设是的极值点，求m ，并求的单调区间；2x =()f x ()f x （2）当时，求证：1m >()1f x >（3）当时，求证： 1m e>()0f x >【答案】（1），在上单调递减，在上单调递增； 21=2m e ()y f x =()0,2()2,∞+（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）先由是的极值点求出m ，再直接求单调区间；2x =()f x （2）用分析法，只需证明即可，构造函数，利用导数证明ln 20x e x -->()()ln 20x g x e x x =-->，即证；()min 0g x >（3）先判断时，，构造函数，利用导数证明当1m e >()ln 1xe f x x e >--()()ln 10x e p x x x e=-->时，，即证.0x >()()10p x p =≥【详解】解：定义域为 ()ln 1x f x me x =--()01()x f x me x=∞'+-，，（1）∵是的极值点，2x =()f x ∴，解得：. 21(2)=02f me '=-21=2m e 此时， 22111()ln 1()22x x f x e x f x e e e x'=--=-，当时；当时；02x <<()0f x '<2x >()0f x '>所以在上单调递减，在上单调递增.()y f x =()0,2()2,∞+（2）当时，，只需证即可.1m >()1ln 2ln 2x x f x me x e x -=-->--ln 20x e x -->令，则 ()()ln 20x g x e x x =-->()()111x x g x e =xe x x=--'令，则，()()10x h x xe x =->()0x x h x e xe '=>+∵∴存在，使得即，也可化为()121110,110,22h e h e ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =0010x x e =-00ln 0x x +=∴在上，，则单调递减；在上，，则单调递增.()00x ，()0g x '<()g x ()0x +∞，()0g x '>()g x 所以 ()()000000000min 1ln 221221012x x g x g x =e x =e x x x x x ⎛⎫=--+->++-=-><< ⎪⎝⎭∵即证.（3）当时，， 1m e >()ln 1xe f x x e>--令，则 ()()ln 10x e p x x x e=-->()1x e p x e x '=-令，解得x =1， ()10x e p x =e x'=-∴在上，，则单调递减；在上，，则单调递增. ()01，()0p x '<()p x ()1+∞，()0p x '>()p x ∴，故当时，.()()min 10p x =p =0x >()()10p x p =≥∴时，都有. 1m e>()0f x >【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（2）利用导数求参数的取值范围.（3）构造新函数，利用导数判断单调性，证明不等式成立19．已知函数，.()ln f x x x =()()1g x a x a =+-(1)求函数的极值；()()()h x f x g x =-(2)若存在时，使成立，求的取值范围.[]1,e x ∈()223f x x ax ≥-+-a (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.()()()12e x h x x a a -≤--+[)1,x ∈+∞a 【答案】(1)函数有极小值，无极大值；()h x ()ee a a h a =-(2)； 32e e a ≤++(3).(],0-∞【分析】（1）由题可得，然后根据导数与函数极值的关系即得；()()ln 1x x x h x a a =-++（2）由题可得存在，成立，构造函数，利用导[]1,e x ∈32ln a x x x ≤++()[]32ln ,1,e F x x x x x=++∈数求函数的最值即得；（3）设，由题可得对任意恒成立，利用导数可得()()1e xg x x a =--()()ln 1g x g x ≤-[)1,x ∈+∞，进而可得只需在上单调递增，即在0ln 1x x ≤≤-()()1e x g x x a =--[)0,+∞()()e 0x g x x a '=-≥上恒成立，即得.[)0,+∞【详解】（1）因为，()()()()ln 1h x x x x a x a f x g =-=++-∴，()()ln 1n 1l h x x a x a -+='+-=由，可得，由，可得，()0h x '<0e a x <<()0h x '>e a x >∴在上单调递减，在上单调递增， ()h x ()0,e a ()e ,a+∞所以，当时，函数有极小值，无极大值；e a x =()h x ()e e a a h a =-（2）由，可得， ()222ln 3f x x x x ax =≥-+-32ln a x x x≤++即存在，成立， []1,e x ∈32ln a x x x≤++设，则， ()[]32ln ,1,e F x x x x x =++∈()()()22132310x x F x x x x -+'=+-=≥所以函数在上单调递增，， ()F x []1,e ()()max 3e 2e eF x F ==++所以； 32e ea ≤++（3）由题可知对任意恒成立， ()()()1ln 12ex x x a x x a --+≤--[)1,x ∈+∞即对任意恒成立， ()()()1ln ln 1e 11ex x x a x a ---≤---⎡⎤⎣⎦[)1,x ∈+∞设，则对任意恒成立，()()1e x g x x a =--()()ln 1g x g x ≤-[)1,x ∈+∞下面证明对任意恒成立，0ln 1x x ≤≤-[)1,x ∈+∞设，，()ln 1t x x x =-+[)1,x ∈+∞则在上恒成立，且仅在时取等号， ()1110x t x x x-'=-=≤[)1,+∞=1x 所以在上单调递减，()ln 1t x x x =-+[)1,+∞∴，即，()()10t x t ≤=0ln 1x x ≤≤-所以对任意恒成立，只需在上单调递增， ()()ln 1g x g x ≤-[)1,x ∈+∞()()1e xg x x a =--[)0,+∞即在上恒成立，()()e 0x g x x a '=-≥[)0,+∞所以在上恒成立，a x ≤[)0,+∞所以，即实数的取值范围为.0a ≤a (],0-∞【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则()f x D （1）恒成立：；； ()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<（2）能成立：；. ()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 ()a f x >()a f x <（1）恒成立：；； ()()max a f x a f x >⇔>()()min a f x a f x <⇔<（2）能成立：；. ()()min a f x a f x >⇔>()()max a f x a f x <⇔<。

2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二(下)第一次月考数学试卷(含解析)

2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法有( )A. 3种B. 6种C. 9种D. 24种2.(x−2)5的展开式中x3的系数为( )A. 40B. −40C. 80D. −803.高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一、二、三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是( )A. 72B. 144C. 48D. 364.设等差数列{a n}的前n项的和为S n，若a2+a8+a17=6，则S17=( )A. 17B. 34C. 51D. 1025.若函数f(x)=xlnx−ax+1在[e,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (2,+∞)D. [2,+∞)6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若|F1P|=2|F1H|，则双曲线C的离心率为( )A. 132B. 5C. 25D. 137.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲和乙两支救援队必须去同一个受灾点，则不同的安排方法数是( )A. 18B. 24C. 36D. 488.已知函数f(x)=(x2−x−1)e x，设关于x的方程f2(x)−mf(x)=5e(m∈R)有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为( )A. 3B. 1或3C. 4或6D. 3或4或6二、多选题：本题共3小题，共18分。

宁夏六盘山高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

宁夏六盘山高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．下列问题属于排列问题的是（）A ．从6人中选2人分别去游泳和跳绳B ．从10人中选2人去游泳C ．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D ．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数10．已知函数()323f x x x =-，则（）A ．()f x 在()0,1上单调递减B ．()f x 的极大值点为2C ．()f x 的极大值为2-D ．()f x 有2个零点11．已知函数()()ln f x x a x =-在区间[]1,2上存在单调递减区间，则a 可能的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．e12．设函数()()2e x f x x =-，若不等式()()22sin 1sin f k f k q q ---³-对任意的四、解答题17．已知函数()()1e x=+．f x x(1)求函数()0,1的切线方程；f x的图象在点()(2)求函数()f x的单调区间．18．工厂需要围建一个面积为2512m的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．(1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围；(2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决）19．已知函数()()31R=--Î．f x x ax a【详解】根据f(x)<0x ⇔2－2ax<00<x<2a ⇔，可排除选项A ，C ，f′(x)＝[x 2＋(2－2a)x －2a]e x ，由f′(x)＝0，即x 2＋(2－2a)x －2a ＝0，Δ＝(2－2a)2＋8a ＝4a 2＋4>0可知方程必存在两个根．设小的根为x 0，则f(x)在(－∞，x 0)上必定是单调递增的，故选B.9．AD【分析】根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答.【详解】对于A ，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B ，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C ，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D ，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．故选：AD10．AD【分析】求得()3(2)f x x x -¢=，得出函数的单调区间和极值，再结合函数零点的定义，即可求解.【详解】由函数()323f x x x =-，可得()2363(2)f x x x x x =¢=--，令()0f x ¢>，解得0x <或2x >；令()0f x ¢<，解得02x <<，所以函数()f x 在(0,2)上单递减，在(,0),(2,)-¥+¥单调递增，当0x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为()00f =；当2x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为()24f =-，又由x ®+¥时，()f x ¥®+且()240f =-<,()00f =，所以函数()f x 只有两个零点，所以A 、D 正确，B 、C 不正确.故选：AD.11．CD。

2019年广东省东莞市松山湖莞美学校高二(下)第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析

2018-2019学年广东省东莞市松山湖莞美学校高二（下）第一次月考数学试卷（文科）最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数的值是（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣22．对两个变量y与x进行线性回归分析，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合程度最好的模型是（）A．模型1的相关系数r为0.98 B．模型2的相关系数r为0.80C．模型3的相关系数r为0.50 D．模型4的相关系数r为0.253．工人月工资y（元）依劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+60x，下列判断正确的是（）A．劳动生产率为1000元时，工资为110元B．劳动生产率提高1000元，则工资提高60元C．劳动生产率提高1000元，则工资提高110元D．当月工资为210元时，劳动生产率为1500元4．用反证法证明“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（）A．=B．＜C．=且＞D．=或＜5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．67．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误8．下面使用类比推理，得到正确结论的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc，”类推出“（a•b）c=ac•bc”C．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”D．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”9．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆10．已知f（x）=x3+x（x∈R），a，b，c∈R，且a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，f（a）+f（b）+f （c）的符号为（）A．正B．负C．等于0 D．无法确定二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）11．若复数z=（m﹣1）+（m+2）i对应的点在直线2x﹣y=0上，则实数m的值是．12．对具有线性相关关系的变量x和y，测得5组数据如下表所示X 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为．13．图中还有“哺乳动物”“地龟”“长尾雀”三项未填，请将这三项填在①、②、③所在的空格内．①②③．14．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状的数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．若用a（i，j）表示第i行从左数第j个数，如a（4，3）=10，则a（21，6）=．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．15．北京期货商会组织结构设置如下：（1）会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会于会长办公会共辖理事会；（2）会长办公会设会长，会长管理秘书长；（3）秘书长具体分管：秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会．根据以上信息绘制组织结构图．16．设复数z满足4z+2=3+i，求复数z的值．17．如果a＞0，b＞0，试证明lg≥．18．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（1）画出表中数据的散点图；（2）求出y对x的回归直线方程；（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？（，）19．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想a n；（不用证明）（Ⅲ）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和s n．20．先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥．【证明】构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2则f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22=2x2﹣2x+a12+a22因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0．所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22≥，（1）若a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．2014-2015学年广东省东莞市松山湖莞美学校高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数的值是（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：由两个复数代数形式的乘除法可得==﹣2．解答：解：==﹣2，故选D．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．2．对两个变量y与x进行线性回归分析，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合程度最好的模型是（）A．模型1的相关系数r为0.98 B．模型2的相关系数r为0.80C．模型3的相关系数r为0.50 D．模型4的相关系数r为0.25考点：变量间的相关关系．专题：阅读型．分析：相关系数的绝对值越接近于1，越具有强大相关性，A相关系数的绝对值约接近1，得到结论．解答：解：∵相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，A相关系数的绝对值约接近1，∴A拟合程度越好．故选A．点评：判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系，相关系数越大，相关性越强．3．工人月工资y（元）依劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+60x，下列判断正确的是（）A．劳动生产率为1000元时，工资为110元B．劳动生产率提高1000元，则工资提高60元C．劳动生产率提高1000元，则工资提高110元D．当月工资为210元时，劳动生产率为1500元考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：根据所给的线性回归方程，当x增加1时，y要增加60元，当劳动效率增加1000元时，工资提高60元，这里的值是平均增加90元．解答：解：∵回归直线方程为=50+60x，∴当x增加1时，y要增加60元，∴当劳动效率增加1000元时，工资提高60元，故选：B．点评：本题考查线性回归方程的应用，解题的关键是看清题目中自变量的值每增加1个单位，y的值就平均增加60，注意平均一词．4．用反证法证明“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（）A．=B．＜C．=且＞D．=或＜考点：反证法与放缩法．专题：阅读型．分析：反证法是假设的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑＞的反面是什么即可．解答：解：∵＞的反面是≤，即=或＜．故选D．点评：本题主要考查了不等式证明中的反证法，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．解答：解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．6．若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．分析：化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式，让其实部为0，虚部不为0，可得结论．解答：解：复数=，它是纯虚数，则a=﹣6．故选C．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的分类，是基础题．7．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误考点：演绎推理的基本方法；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的推理过程，不难得到结论．解答：解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误．故选A点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S 中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．8．下面使用类比推理，得到正确结论的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc，”类推出“（a•b）c=ac•bc”C．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”D．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：根据等式的基本性质，可以分析①中结论的真假；根据等式的基本性质，可以分析②中结论的真假；根据指数的运算性质，可以分析③中结论的真假；根据对数的运算性质，可以分析④中结论的真假；解答：解：A中“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”，结论不正确；B中“若（a+b）c=ac+bc”类比出“（a•b）c=ac•bc”，结论不正确；C中“若（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”，结论正确；D中“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”，结论不正确．故选：C．点评：本题考查的知识点是的真假判断与应用，其中熟练掌握各种运算性质，是解答本题的关键．9．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆考点：轨迹方程；复数相等的充要条件．分析：据得数的几何意义可直接得出|z﹣i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．解答：解：|3+4i|=5满足条件|z﹣i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆心为（0，1），半径为5的圆．故应选C．点评：考查复数的几何意义及复数求模的公式．题型很基本．较全面考查了复数的运算与几何意义．10．已知f（x）=x3+x（x∈R），a，b，c∈R，且a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，f（a）+f（b）+f （c）的符号为（）A．正B．负C．等于0 D．无法确定考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：判断函数的奇偶性和单调性，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=x3+x，∴f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣（x3+x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数，f′（x）=3x2+1＞0，则函数单调递增，∵a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，∴a＞﹣b，b＞﹣c．c＞﹣a，则f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b），f（b）＞f（﹣c）=﹣f（c）．f（c）＞f（﹣a）=﹣f（a），则不等式两边同时相加得f（a）+f（b）+f（c）＞﹣[f（a）+f（b）+f（c）]即f（a）+f（b）+f（c）＞0，即f（a）+f（b）+f（c）的符号为“正”，故选：A点评：本题主要考查函数值的大小计算，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，要求熟练掌握函数的单调性和导数之间的关系．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）11．若复数z=（m﹣1）+（m+2）i对应的点在直线2x﹣y=0上，则实数m的值是4．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：由于复数z=（m﹣1）+（m+2）i在复平面内的对应的点为（m﹣1，m+2），根据对应的点（m﹣1，m+2）在直线2x﹣y=0上，故有2（m﹣1 ）﹣（m+2）=0，解方程求得实数m的值．解答：解：复数z=（m﹣1）+（m+2）i在复平面内的对应的点为（m﹣1，m+2），由题意可得2（m﹣1 ）﹣（m+2）=0，解得m=4，故答案为4．点评：本题考查复复数与复平面内对应点之间的关系，求出复数z=（m﹣1）+（m+2）i 对应的点为（m﹣1，m+2），是解题的突破口．12．对具有线性相关关系的变量x和y，测得5组数据如下表所示X 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为．考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵，，∴这组数据的样本中心点是（5，50）把样本中心点代入回归直线方程，求得a=17.5，∴回归直线的方程为，故答案为点评：本题考查线性回归方程的写法，解题的关键是知道线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入求出b的值，注意数字的运算．13．图中还有“哺乳动物”“地龟”“长尾雀”三项未填，请将这三项填在①、②、③所在的空格内．①哺乳动物②地龟③长尾雀．考点：结构图．专题：算法和程序框图．分析：组织结构图是从上往下画的，由“狗、狼”隶属“哺乳动物”、“地龟”隶属“爬行动物”、“长尾雀”隶属“飞行动物”可得答案．解答：解：∵“狗、狼”隶属“哺乳动物”、“地龟”隶属“爬行动物”、“长尾雀”隶属“飞行动物”，故①为哺乳动物；②为地龟，③为长尾雀，故答案为：哺乳动物；地龟，长尾雀点评：本题主要考查结构图的应用，比较基础．14．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状的数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．若用a（i，j）表示第i行从左数第j个数，如a（4，3）=10，则a（21，6）=211．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，利用等差数列的前n 项和公式求出a（21，6）前面所有的奇数的个数，分析对应数字与行列的关系可得答案．解答：解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第n行有n 个数，因为a（21，6）对应的数字为奇数，则前面奇数行共有；1+3+5+…+19==100个奇数，故a（21，6）为第106个奇数，由2×106﹣1=211，可得a（21，6）=211，故答案为：211．点评：本题考查归纳推理，以及等差数列的前n项和公式，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．15．北京期货商会组织结构设置如下：（1）会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会于会长办公会共辖理事会；（2）会长办公会设会长，会长管理秘书长；（3）秘书长具体分管：秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会．根据以上信息绘制组织结构图．考点：结构图．专题：图表型．分析：设计的这个结构图从整体上要反映数的结构，从左向右要反映的是要素之间的从属关系．在画结构图时，应根据具体需要确定复杂程度．简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点．同时，要注意结构图，通常按照从上到下、从左到右的方向顺序表示，各要素间的从属关系较多时，常用方向箭头示意．解答：解：绘制组织结构图：点评：绘制结构图时，首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内，最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连．16．设复数z满足4z+2=3+i，求复数z的值．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：通过设复数z=a+bi，则=a﹣bi，代入4z+2=3+i，计算整理即可．解答：解：设复数z=a+bi，则=a﹣bi，∵4z+2=3+i，∴4a+4bi+2a﹣2bi=3+i，整理得：6a+2bi=3+i，∴，即a=，b=，∴复数z=+i．点评：本题考查复数、共轭复数，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．17．如果a＞0，b＞0，试证明lg≥．考点：不等式的证明．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：运用作差比较法，结合对数的运算性质，以及解不等式，即可得证．解答：证明：由于a＞0，b＞0，则lg﹣=lg﹣lg（ab）=lg﹣lg，由基本不等式，可得≥，则lg≥lg，即有lg﹣lg≥0，则有lg≥．点评：本题考查不等式的证明，考查对数函数的性质和基本不等式的运用，属于中档题．18．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（1）画出表中数据的散点图；（2）求出y对x的回归直线方程；（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？（，）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）根据所给的数据构造有序数对，在平面直角坐标系中画出散点图．（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，得到这组数据符合线性相关，求出利用最小二乘法所需要的数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．（3）把x=9代入线性回归方程，估计出当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．解答：解：（1）散点图如图：i x i y i x i2x i y i1 1 12 1 122 2 28 4 563 3 42 9 1264 4 56 16 224（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出上列表格，以备计算于是=2.5，=34.5，代入公式得，b==14.6，a=﹣2，故y与x的线性回归方程为y=14.6x﹣2，．（3）当x=9万元时，y=14.6×9﹣2=129.4（万元）．点评：本题考查线性回归方程的写法和应用，本题解题的关键是正确求出线性回归方程的系数，本题是一个基础题．19．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想a n；（不用证明）（Ⅲ）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和s n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（Ⅰ）在a n+1=（n∈N*）中令n=1求出a2，令n=2求出a3，令n=3求出a4．（Ⅱ）由（Ⅰ）应猜想：a n=．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b n===2（﹣），裂项后化简整理即可．解答：解：（Ⅰ）∵a1=1，a n+1=∴a2==，a3==，a4==．（Ⅱ）猜想：a n=．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b n===2（﹣）从而S n=b1+b2+…+b n=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2（1﹣）=点评：本题考查数列递推公式的应用，归纳的思想，裂项法数列求和．属于常规题．20．先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥．【证明】构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2则f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22=2x2﹣2x+a12+a22因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0．所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22≥，（1）若a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：（1）由已知中已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥，及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，则a12+a22+…+a n2≥．（2）但此公式是由归纳推理得到的，其正确性还没有得到验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明．解答：解：（1）若a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，求证：a12+a22+…+a n2≥，（2）证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2+…+（x﹣a n）2=nx2﹣2（a1+a2+…+a n）x+a12+a22+…+a n2=nx2﹣2x+a12+a22+…+a n2因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4﹣4n（a12+a22+…+a n2）≤0从而证得：a12+a22+…+a n2≥点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性（猜想）．（3）对归纳得到的一般性结论进行证明．。

福建省漳州双语实验学校2013-2014学年高二下学期第一次月考数学文试卷

2013--2014学年第二学期漳州双语实验学校高二年第一次月考数学试卷(文)满分：150分考试时间：120分钟考试范围:集合,必修3,必修1-1,选修1-2一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U MN MC N ===则N =（）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 答案：B解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。

2．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=- 答案：C解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。

3．"1""||1"x x >>是的A ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A解析：因"1""||1"x x >⇒>，反之"||1""11"x x x >⇒><-或，不一定有"1"x >。

4．(2013年北京西城模拟)命题“若a ＞b ，则a ＋1＞b ”的逆否命题是( )A ．若a ＋1≤b ，则a ＞bB ．若a ＋1＜b ，则a ＞bC ．若a ＋1≤b ，则a ≤bD ．若a ＋1＜b ，则a ＜b解析：逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”．答案：C5．(2012·大纲全国)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于 ( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或36．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好 40 20 60 不爱好20 30 50 总计6050110由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得,附表：2()P K k ≥0．050 0．010 0．001 k3．841 6．635 10．828参照附表，得到的正确结论是（）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A. 7．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n 个正方形数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)28．(课本习题改编)已知抛物线y ＝ax2的准线方程为y ＝1，则a 的值为( )A ．4B ． 14C ．－4D. －14解析：∵x2＝1a y ，∴y ＝－14a ，∴a ＝－14.D9．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C10.若x x x x f ln 42)(2--=,则0)('>x f 的解集为( )A. (0,∞+)B. (-1,0)⋃(2,∞+)C. (2,∞+)D. (-1,0) ()24'220,x f x x x=-->答案：C解析：11.已知函数f （x ）的图象过点（0，－5），它的导数'(f x ＝4x 3－4x ，则当f （x ）取得最大值－5时，x 的值应为（）A ．－1B ．C ． 1D ． ±112.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，直线过右焦点F ，且垂直于x 轴交双曲线于A ，B 两点，则||AB ＝2b 2a＝4a ，所以b 2＝2a 2，所以双曲线的离心率e ＝1＋b 2a2＝ 3.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）．13．若执行如图2所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于．答案：154解析：由框图功能可知，输出的数等于12341544x x x x x +++==。

山西省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（） {}12M x x =-<(){}ln 1N x y x ==+A ． B ．C ．D ．N M ⊆M N ⊆M N ⋂=∅M N =R 【答案】B【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案. 【详解】由题可得，， {}13M x x =-<<{}1N x x =>-所以，且，，. M N ⊆M N M N M =≠∅I R M N N =≠ 故选：B.2．已知向量，，且，则实数（） ()2,a m = ()3,4b m =- a b ⊥ m =A ．3 B ．1C ．D ．131-【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】由得：，a b ⊥ ()2340a b m m ⋅=-+= 解得：. 1m =故选：B.3．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则角的余弦值为ABC A A B C a b c 3a c =13c b =A （）A ．B ．C ．D ．15141613【答案】C【分析】根据余弦定理即得．【详解】由题可得，，3a c =3b c =试题. ()()22222233cos 223c c c b c a A bc c c+-+-==⋅⋅16=故选：C ．4．设为所在平面内一点，，则（）D ABC A 3BC CD =A ．B ．1433AD AB AC =-+1334AD AB AC =-C ．D ．4133AD AB AC =+ 4133AD AB AC =- 【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解作答.【详解】在中，，ABC A 3BC CD =.1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+故选：A5．在中，三角形三条边上的高之比为，则为（） ABC A 2:3:4ABC A A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】A【分析】由题可得三角形三条边之比为，然后利用余弦定理，求出最大边所对角的余弦值，6:4:3即可判断出结果.【详解】因为三角形三条边上的高之比为，2:3:4所以三角形三条边之比为，即，111::2346:4:3不妨设，6,4,3,0a x b x c x x ===>则最大角的余弦值为，22216911362c 44os 023x x x A x x +-==-<⋅⋅因此角为钝角，三角形为钝角三角形. A 故选：A.6．定义在上的偶函数满足，且在区间上递增，则（） R ()f x ()()22f x f x +=-[]2,0-A ．B ．()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()2166log 3f f f⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．D ． ()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()2166log3f ff ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由条件求出函数的周期，再根据函数的单调性结合条件即得. 【详解】∵定义在R 上的偶函数，所以， ()()f x f x -=又满足，()f x ()()22f x f x +=-所以， ()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=--=-=所以是周期为4的函数，又函数在区间上递增， ()f x ()f x []2,0-所以在区间上递减，()f x []0,2所以，，()()62f f =()2222161616log log 4log log 3333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，，所以，3223<3223<322222log 4log 3l 3g 202o ==>>>>所以，即.()()22log 3f f f <<()2166log 3f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭故选：B ．7．已知是的外心，，，则（） O ABC A 4AB =u u u r 2AC = ()AO AB AC ⋅+=A ．10B ．9C ．8D ．6【答案】A【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案. 【详解】如图，O 为的外心，设为的中点， ABC A ,D E ,AB AC 则,,OD AB OE AC ⊥⊥故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ , 2222111||41||2222210AB AC +=⨯+⨯⋅==故选：A8．在中，角所对的边分别为，，，若，则ABC A ,,A B C a b c 2022sin sin sin c C b B a A -=的值为（）()sin sin tan tan tan cos cos A BC A B A B ⋅+⋅⋅A ．2013 B ．C ．2029D ．2029220212【答案】D【分析】对，利用正、余弦定理整理得，根据题意结2022sin sin sin c C b B a A -=22021cos 2ab C c =合三角恒等变换分析运算即可.【详解】∵，由正弦定理可得：， 2022sin sin sin c C b B a A -=2222022c b a -=整理得：，22222021a b c c +-=由余弦定理可得：，故 22cos 2021ab C c =22021cos 2ab C c =()sin sin sin sin sin sin tan tan tan cos cos tan cos cos cos cos A BA B A B C A B A BC A BA B ⋅⋅=+⋅⋅⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭()()22sin sin sin sin sin sin cos cos sin tan sin cos cos sin sin sin cos A B A B A B C ab CC C A B A B C c A B C⋅⋅⋅⋅====⋅⋅+⋅⋅+. 222021202122cc ==故选：D.二、多选题9．下列说法中错误的是（）A ．若，，则B ．a b ∥ b c∥a c ∥()()()a b c a b c b a c ⋅=⋅=⋅C ．若，则D ．a b a c ⋅=⋅b c = ()2222a ba ab b +=+⋅+ 【答案】ABC【分析】根据共线向量的概念，向量数量积的概念及运算法则逐项分析即得.【详解】对于A ，若时，，不一定能推出，故A 错误；0b →→=a b ∥b c ∥ a c ∥ 对于B ，不妨考虑不共线且不互相垂直时，向量与向量不共线，所以不能推,,a b c →→→()a b c ⋅()a b c ⋅ 出，故B 错误；()()a b c a b c ⋅=⋅对于C ，若且时，则，而不一定相等，故C 错误；a b ⊥ a c ⊥ a b a c ⋅=⋅,b c 对于D ，根据数量积的运算法则可知，故D 正确.()2222a ba ab b +=+⋅+故选：ABC.10．在中，，则的面积可以是（）ABC ∆1,6AB AC B π===ABC ∆AB ．1 CD【答案】AD【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案． BC 【详解】解：∵，1,6AB AC B π===由余弦定理得，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅∴， 2320BC BC -+=∴，或， 1BC =2BC =∴由的面积公式得或， ABC ∆1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅ABC S ∆=ABC S ∆=故选：AD ．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题． 11．在中，，，则下列说法正确的是（） ABC A cos 2C 1BC =5AC =A ． B ．的面积为2 4sin 5C =ABC A C．D ．ABC A ABC A 【答案】ABD【分析】利用二倍角公式求出，根据同角三角函数的基本关系求出，再由余弦定理求出cosC sin C ，由正弦定理求出外接圆的直径，利用面积公式及等面积法判断B 、D ；c 【详解】解：因为，cos 2C 223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=所以，，故A 、B 正确； 4sin 5==C 114sin 152225ABC S ab C ==⨯⨯⨯=A 由余弦定理，即，所以，2222cos c a b ab C =+-222315215205c =+-⨯⨯⨯=c =所以外接圆的直径，故C 错误； 2sin c R C ===设的内切圆半径为，则，即，所以ABC A r ()12ABCS a b c r =++△(11522r ++=r =D 正确；故选：ABD12．设P 为所在平面内一点，则下列说法正确的是（）ABC A A ．若，则点P 是的重心0PA PB PC ++=ABC A B ．若，则点P 是的垂心PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ABC A C ．若，，则点P 是的内心 (||||AB ACAP AB AC λ=+,[)0λ∈+∞ABC A D ．若，则点P 是的外心()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=ABC A 【答案】ABD【分析】对于A ：以，为邻边作平行四边形PADB ，M 为PD 的中点，利用向量的线性运算PA PB得到，即可证明；对于B ：利用数量积运算证明出，，得到P 为||2||PC PM =PB CA ⊥PA BC ⊥的垂心，即可证明；对于C ：在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使，，ABC A ||ABAE AB =||AC AF AC = 以AE ，AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形，即可判断；对于D ：证明出，，，即可证明.||||PA PB = ||||PB PC = ||||PC PA =【详解】对于A ：若，则.0PA PB PC ++= PA PB PC +=-以，为邻边作平行四边形PADB ，M 为PD 的中点，则，所以，又PA PBPA PB PD += PD PC =- ，所以，故P 为的重心. 2PD PM=||2||PC PM = ABC A 所以A 正确；对于B ：若，则，即，即，所以PA PB PB PC ⋅=⋅ 0PA PB PB PC ⋅-⋅=()0PB PA PC ⋅-= 0PB CA ⋅= .PB CA ⊥同理，则，故P 为的垂心.PA PB PA PC ⋅=⋅u u r u u r u u r u u u rPA BC ⊥ABC A 故B 正确；对于C ：在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使，，则，以AE ，||ABAE AB =||AC AF AC = ||||1AE AF == AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形.连接AG ，则AG 为的角平分线，由，所以点P 在角平分线AG 上，故点P 的||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭轨迹一定通过的内心. ABC A 所以C 错误；对于D ：若，则，同理有22()()()0PA PB BA PA PB PA PB PA PB +⋅=+⋅-=-= ||||PA PB = ，，故P 为的外心.||||PB PC = ||||PC PA =ABCA所以D 正确. 故选：ABD三、填空题13．在△ABC 中，，则=__________ ()()()a c a c b b c +-=+A ∠【答案】2π3【分析】由可得，再由余弦定理可得结果. ()()()a c a c b b c +-=+222b c a bc +-=-【详解】 ()()()a c a c b b c +-=+ 222a c b bc ∴--=222b c a bc -∴+=-，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-所以，故答案为. 23A π∠=23π【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc+-=件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数30,45,60o o o 值，以便在解题中直接应用.14．若，且，则的最小值为______.0a >20a b +=21a b -+【答案】5【分析】由，且，得到,进而有，利用基本不等式求0a >20a b +=20a b =->22121a b b b -+=--+解.【详解】解：因为，且， 0a >20a b +=所以,20a b =->则，2212115a b b b -+=--+≥=当且仅当，即时，等号成立， 22b b-=-1b =-所以的最小值为5，21a b -+故答案为：515．探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等气象要素测量的气球，利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据.大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响.已知大气压强随海拔高度的变化规律是，其中是海平面()Pa p ()m h ()0e 0.000126k hp p k -⋅==0p 大气压强.若探空气球在两处测得的大气压强分别为，，且，那么两处的海,A B 1p 2p 122p p =,A B 拔高度的差约为______m.（参考数据：） ln20.693≈【答案】5500【分析】根据题意结合对数运算求解. 【详解】设两处的海拔高度分别为，,A B 12,h h 由题意可得：，且， 121020e e k h k h p p p p -⋅-⋅⎧=⋅⎨=⋅⎩122p p =即，且，12002ee k h k h p p -⋅-⋅⋅=⋅00p ≠可得，两边同时取对数可得：，122e e k h k h -⋅-⋅=()1212,ln lne 2ln 2e k h k h k h k h -⋅-⋅-⋅-⋅==即，整理得， 12ln 2k h k h -⋅-⋅=21ln 20.69355000.000126h h k -=≈=即两处的海拔高度的差约为5500 m. ,A B 故答案为：5500.16．已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则H ABC A 1235AH AB AC =+sin BAC ∠=______.【分析】由题可得，，利用，得2235=-+BH AB AC 1335=- CH AB AC 0BH AC ⋅= 0CH AB ⋅= ，，可得，再利用平方关系结合条件即得.3cos 5AC BAC AB∠= 5cos 9AB BAC AC ∠= 21cos 3BAC ∠=【详解】因为，1235AH AB AC =+所以，同理，2235BH BA AH AB AC =+=-+1335CH CA AH AB AC =+=-由H 为△ABC 的垂心，得，即， 0BH AC ⋅= 22035AB AC AC ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭可知，即， 222cos 53AC AC AB BAC =∠ 3cos 5AC BAC AB∠=同理有，即，可知，即0CH AB ⋅= 13035AB AC AB ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭213cos 35AB AC AB BAC =∠ ，5cos 9ABBAC AC∠= 所以，，又， 21cos 3BAC ∠=2231cos 2sin 113∠∠=-=-=BAC BAC ()0,πBAC ∠∈所以 sin BAC ∠四、解答题17．已知，，且与的夹角为.1a = 2b = a b 2π3(1)求.()()23a b a b +⋅-(2)求.2a b +【答案】(1)5-【分析】（1）先求得，再利用数量积的运算律求解；a b ⋅（2）先求得，根据向量模的求法，结合数量积的运算律求解.a b ⋅【详解】（1）解：因为，，且与的夹角为，1a = 2b = a b 2π3所以，c 2π3o 1s a b a b ⋅-⋅=⋅=所以()()2223253a b a b a a b b +⋅-=-⋅- ；()22151325=⨯-⨯--⨯=-（2）， 2a b +===18．在中，角，，的对边为，，，已知. ABC A A B C a b c ()12cos b A c +=(1)证明：； 2A B =(2)若，求的值. 23a b =cb【答案】(1)证明见解析； (2). 54【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦公式推理作答. （2）由已知结合余弦定理角化边，代入计算作答.【详解】（1）在中，由及正弦定理得：， ABC A ()12cos b A c +=sin 2sin cos sin B B A C +=而，因此， ()C A B π=-+sin 2sin cos sin()sin cos cos sin B B A A B A B A B +=+=+即有，显然，有， sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =-=-sin 0B >sin()0A B ->即，角B 为锐角，又，，因此， 0A B ->0πA B <-<()πB A B A +-=<B A B =-所以. 2A B =（2）在中，由及余弦定理得：，整理得，ABC A ()12cos b A c +=22222b c a b b c bc+-+⋅=22bc a b =-而，即，于是，又，即23a b =32a b =22235()24bc b b b =-=0b >54c b =所以. 54c b =19．如图，在矩形中，和分别是边和上的点，满足，.OACB E F AC BC 3AC AE =3BC BF=(1)若，其中，，求，的值；OC OE OF λμ=+ λμ∈R λμ(2)连接分别交，于，两点.记，，以，为基底来表示.AB OC OE M N CO a = CA b = a b CN 【答案】(1)； 33,44λμ==(2). 1142CN a b =+【分析】（1）根据给定的图形，利用作基底，结合平面向量基本定理求解作答.,OA OB （2）结合（1）中信息，利用平面向量基本定理确定点的位置，即可求解作答.N 【详解】（1）在矩形中，，，则OACB 3AC AE = 3BC BF = 1133OE OA AE OA AC OA OB =+=+=+ ，，因此1133OF OB BF OB BC OB OA =+=+=+ ， 11()()()()3333O OA OB OB OA C OA OB λμμλλμ++=+++=+ 又，不共线，于是，解得， OC OA OB =+ ,OA OB 1313μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩33,44λμ==所以. 33,44λμ==（2）为与的交点，则， N AB OE 1(),R 33t ON tOE t OA OB tOA OB t ==+=+∈ ，， (1)33t t AN ON OA tOA OB OA t OA OB =-=+-=-+ AB OB OA =- 又，即存在，，则， //AN AB R m ∈AN mAB = (1)3t t OA OB mOA mOB -+=-+ 因为不共线，因此，解得， ,OA OB 13t m t m -=-⎧⎪⎨=⎪⎩31,44t m ==显然与的交点是线段、的中点，则，即是线段的中AB OC M AB OC 1142AN AB AM == N AM 点，所以. 11111111()22224242CN CA AN CA AM CA CM CA CM CA CM CA a b =+=+=+-=+=+=+ 20．已知函数的最小正周期为，的图象过点，且()()π2sin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭T ()f x (),1T ，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. ()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π4()g x (1)求函数在上的值域； ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)在上恰有两个不同的实数解，求的取值范围. ()()2x g x +=[]0,m m【答案】(1)⎡-⎣(2) 11π5π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用函数的最小正周期公式表示点，代入求解角，再根据对称性()f x (),1T ()f x ϕ求解，得到函数，根据图像平移变换得到函数，并求其在给定区间上的值域；ω()f x ()g x（2）化简变形，通过恰有两个不同的实数()()()F x x g x =+()()2x g x +=解，限制的取值范围，从而得解.m 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， ()()π2sin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭T 所以，. 2πT ω=0ω>由于的图象过点，即过，代入得 ()f x (),1T 2π,1ω⎛⎫ ⎪⎝⎭，即. ()()2π2sin 2sin 2π2sin 1f x ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭1sin 2ϕ=则，或，又， πZ π2,6k k ϕ=+∈5π2π,Z 6k k ϕ=+∈π2ϕ<所以取. π0,6k ϕ==由于，则的图象关于对称， ()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π6x =故，则. ππππ,Z 662k k ω+=+∈26,Z k k ω=+∈又因为，则令.03ω<<0,2k ω==故. ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将的图象向左平移个单位长度后得. ()f x π4()ππ2π2sin 22sin 2463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当，， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦2π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令，在单调递减，在单调递增， 2π23t x =+()2sin h t t =2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π5π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，取最小值，最小值为；当时，3π2t =()h t 2-2π3t =()h t所以，()h t ⎡∈-⎣所以函数在上的值域为. ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣（2）因为，， ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令 ()()()π2π22sin 263F x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, πππ22cos 24sin 2663x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于在上恰有两个不同的实数解，()2F x =[]0,m 则在上恰有两个不同的实数解， π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,m 当，， []0,x m ∈πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦当时，，或，或， π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π5π236x +=π13π236x +=π17π236x +=所以依题意，解得. 13ππ17π2636m ≤+<11π5π124m ≤<所以的取值范围. m 11π5π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．在中，内角，，所对的边分别为，，.ABC AA B C a b c cos sin C c A =(1)求角的大小；C(2)已知，若为锐角三角形，求的取值范围.c =ABC A a b +【答案】(1) π3(2)【分析】（1，再根据cos sin C c A =cos sin sin A C C A =求解；(),0,πA C ∈（2）由（1）求得，再由，利用三角函数24sin c R C ==2sin 2sin a b R A R B +=+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的性质求解.【详解】（1）解：在中，，ABCA cos sin C c A =,cos sin sin A C C A =因为，(),0,πA C ∈所以，即sin sin A C C ≠=tan C =则； π3C =（2）由（1）知：， 24sin c R C ===所以，2sin 2sin a b R A R B +=+， 2π4sin sin 3A A ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 34sin2A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，ABC A 所以所以，则，解得， π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ62A <<所以，则，ππ2π663A <+<1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以a b <+≤所以的取值范围是.a b +22．已知函数.()()2ln e 2e 3x x f x a =-+(1)若的定义域为，求的取值范围；()f x R a (2)若，使得在区间上单调递增，且值域为，求的取值范围.,m n ∃∈R ()f x [],m n [],m n a 【答案】(1)； 13a >(2). 2334a ≤< 【分析】（1）由题可得恒成立，然后利用参变分离结合函数的性质即得； 2e 2e 30x x a -+>（2）根据复合函数的单调性结合条件可得，且，进而可得在上0a >1e m a ≤2330ax x -+=1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有两个不等实根，然后根据二次函数的性质即得.【详解】（1）因为的定义域为，， ()f x R ()()2ln e 2e 3x x f x a =-+所以，即恒成立， 2e 2e 30x x a -+>2222e 3321113e e e e 33x x x x x a -⎛⎫>=-+=--+ ⎪⎝⎭因为，，当时等号成立， 10e x >23211113333e e e x x x ⎛⎫+=--+≤ ⎪⎝⎭-1e 13x =所以，即的取值范围为； 13a >a 13a >（2）因为函数在其定义域上为增函数，要使在区间上单调递增， ln y x =()f x [],m n 则函数在区间上单调递增，又为增函数，2e 2e 3x x u a =-+[],m n e x t =所以在上为增函数，显然时不合题意，223y at t =-+e ,e m n ⎡⎤⎣⎦0a ≤所以，且， 0a >1e m a≤又在区间上单调递增，且值域为，()f x [],m n [],m n 所以，即， ()()()()22ln e 2e 3ln e 2e 3m m n n f m a m f n a n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩22e 3e 30e 3e 30m m n n a a ⎧-+=⎨-+=⎩所以在上有两个不等实根， 2330ax x -+=1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭则，解得， ()22Δ312031211330a a aa a a ⎧⎪=-->⎪⎪>⎨⎪⎪⎛⎫⋅-⋅+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩2334a ≤<所以的取值范围为. a 2334a ≤<【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则()f x D （1）恒成立：；；()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<（2）能成立：；. ()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 ()a f x >()a f x <（1）恒成立：；； ()()max a f x a f x >⇔>()()min a f x a f x <⇔<（2）能成立：；. ()()min a f x a f x >⇔>()()max a f x a f x <⇔<。

2016-2017安义中学高二年级下学期第一次月考文数试卷

安义中学2016-2017学年度下学期高二第一次月考数学试卷（文）命题人：骆武华一、选择题1.已知复数Z 满足i Z i 32)31(=+(i 为虚数单位)，则Z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知43,7+++=++=a a Q a a P ，则（）A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．不确定P 、Q 的大小关系 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．61 B ．31 C ．21 D ．14.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数5.3,3==y x ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ．3.24.0ˆ+=x yB ．4.22ˆ-=x yC ．5.92ˆ+-=x yD ．4.43.0ˆ+=x y5.若复数Z 满足|34|)43i Z i +=-（，则Z 的共轭复数的虚部为（） A ．i 54-B ．54-C ．i 54 D ．54 6.函数)210()21(22<<-=x x x y 的最大值为（） A ．272B ．94 C ． 274D ．927.如图所示，在正四面体S-ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是（）A ．36B ．66C ．63D ．338.设a ,b ∈R ，则“a ＜b ”是(a －b )a 2＜0的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归方程为1558.0ˆ-=x y，则实数m 的值为（）x 196 197 200 203 204 y1367mA ．8B ．8.2C ．8.4D ．8.510.如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（） A ．24+π B ．20+π C ．224+π D ．202+π11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的教学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

2023-2024学年江西省南昌市高二下学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2023-2024学年江西省南昌市高二下册第一次月考数学质量检测试题一、单选题1．数列11111,,,,,371531---⋅⋅⋅的一个通项公式为（）A ．11(1)21n n n a +=--B ．11(1)2nn n a -=-C ．1(1)21nn a n =-+D ．1(1)21nn n a =--【正确答案】D【分析】根据规律写出数列的通项公式【详解】奇数项为负，偶数项为正，可用(1)n -来实现，而各项分母可看作12345211,213,217,2115,2131,-=-=-=-=-=⋅⋅⋅，各项分子均为1，∴该数列的通项公式为1(1)21nn n a =-⋅-.故选：D.2．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只能去1个村，则不同的分配方案共有（）A ．4种B ．6种C ．8种D ．10种【正确答案】C【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】每个大学生都有2种选择方法，所以不同的分配方案共有2228⨯⨯=种.故选：C3．在等比数列{}n a 中，24a =，1016a =，则2a 和10a 的等比中项为（）A ．10B ．8C ．8±D ．10±【正确答案】C【分析】根据等比中项的定义可得结果.【详解】根据等比中项的定义可得2a 和10a 的等比中项为8==±.故选：C4．通过抽样调研发现，当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，甲认为这是巧合，两者其实没有关系：乙认为冷饮的某种摄入成分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求：丁认为两者的相关关系是存在的，但不能视为因果，请判断哪位成员的意见最可能成立（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【正确答案】D【分析】正确理解相关系数，相关关系与因果关系的区别是解题的关键.【详解】当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，但相关关系是一种非确定性关系，相关关系不等于因果关系，丁的意见最可能成立.故选：D.5．某学校安排音乐､阅读､体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲､乙､丙､丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（）A ．118B ．332C ．29D ．89【正确答案】C【分析】设A =甲同学报的项目其他同学不报,B =4位同学所报项目各不相同,利用条件概率求解.【详解】解：设A =甲同学报的项目其他同学不报,B =4位同学所报项目各不相同,由题得()4333n A =⨯⨯⨯,()4321n AB =⨯⨯⨯,所以()43212(|)()43339n AB P B A n A ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.故选：C6．下列说法正确的是（）①若随机变量η的概率分布列为()(1,2,3,4,5)P k ak k η===，则110a =；②若随机变量()23,X N σ ，(5)0.6P X ≤=，则(1)0.4P X ≤=；③若随机变量28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则16()3E X =；④在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X 表示取到的次品数，则3(2)10P X ==A ．②③B ．②④C ．①②③D ．②③④【正确答案】D【分析】根据分布列的性质即可判断①，利用正态分布密度曲线判断②，根据二项分布的期望公式判断③，利用超几何分布判断④.【详解】对于A ，∴随机变量ξ的概率分布为()(1,2,3,4,5)P k ak k η===，∴(1)(2)(3)(4)(5)1P P P P P ηηηηη=+=+=+=+==，∴2345151a a a a a a ++++==，∴115a =，故①不正确；对于B ，(5)1(5)0.4P X P X >=-≤=，∴(1)(5)0.4P X P X ≤=>=，故②正确；对于C ，由28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，得216()833E X =⨯=，故③正确；对于D ，由题意，得2146310C C 3(2)C 10P X ⋅===，故④正确.故选:D.7．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（）A ．12B ．736C ．1148D ．16【正确答案】C【分析】记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3i A i =，记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3i B i =，再利用全概率公式求解即可.【详解】记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3i A i =，则有()112P A =，()()2314P A P A ==，记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3i B i =，而1A ，2A ，3A 两两互斥，和为Ω，()1114P B A =，()2214P B A =，()3316P B A =，记第二次抽到3号球的事件为B ，()()()()33111111111124444648i i i i i i i P B P A B P A P B A ==⎡⎤==⋅=⨯+⨯+⨯=⎣⎦∑∑．故选:C ．8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（）A ．E ξ增加，D ξ增加B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加D ．E ξ减小，D ξ减小【正确答案】C【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n ，可得出2nEX =，再从甲盒子里随机取一球，则ξ服从两点分布，所以()111222E P n ξξ===++，()1111222D P n ξξ=-==-+，从而可判断出E ξ和D ξ的增减性.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n ，其中()336k n k n C C P X k C -==，其中Nk ∈，3k ≤且k n ≤，362n nEX ==.故从甲盒中取球，相当于从含有12n+个红球的1n +个球中取一球，取到红球个数为ξ.故()111211222n P n n ξ+===+++，随机变量ξ服从两点分布，所以()111211222n E P n n ξξ+====++，随着n 的增大，E ξ减小；()()()211111422D P P n ξξξ⎡⎤=-===-⎣⎦+，随着n 的增大，D ξ增大.故选：C.本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.二、多选题9．已知曲线222:11x y C m m+=+，则下列说法正确的是（）A ．若C是椭圆，则其长轴长为B ．若0m <，则C 是双曲线C ．C 不可能表示一个圆D ．若1m =，则C上的点到焦点的最短距离为2【正确答案】BC【分析】根据21m m +>可知若为椭圆，则焦点在x 轴上，进而可判断A,进而可判断BC ，根据椭圆的几何性质可判断D.【详解】由于22131024m m m ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21m m +>，对于A,当0m >时，故222:11x y C m m+=+表示焦点在x轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为故A 错误,对于B,当0m <时，C 是双曲线，故B 正确,对于C,由于21m m +>，故C 不可能表示一个圆，故C 正确，对于D,1m =时，22:121x y C +=，表示焦点在x 轴上的椭圆，且此时2222,1,1,===a b c故椭圆上的点到焦点的最小距离为1a c --，故D 错误,故选:BC10．已知8件产品中有3件是一等品，其余都是二等品．从这些产品中不放回地抽取三次，令i A 为第(1,2,3)i i =次取到的是一等品，则（）A ．()138P A =B ．1A 与2A 相互独立C ．()213|8P A A =D ．()32328P A A =【正确答案】AD【分析】根据古典概型的概率公式及条件概率概率公式计算可得；【详解】解：依题意()13118C 3C 8P A ==，故A 正确；()1132111827C C 3C C 28A A P =⋅=，所以()()()212113228|378P A A P A A P A ===，故C 错误()1111325322288C C C C 3A A 8P A =+=，因为()()()2112P P A A A P A ≠，故1A 与2A 不独立，故B 错误；对于D ：()3123532383A +C A 3A 28P A A ==，故D 正确；故选：AD11．将9个相同的小球分给甲、乙等4个人，（）A ．不同的分配方法共有220种B ．若每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有56种C ．若每人至少分到2个小球，则不同的分配方法共有10种D ．若甲至少分到2个小球，其余3人每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有35种【正确答案】ABD【分析】利用隔板法直接判断各选项.【详解】A 选项：不同的分配方法有312C 220=种，故A 选项正确；B 选项：若每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有38C 56=种，故B 选项正确；C 选项：若每人至少分到2个小球，则四人中只有一人分到3个球，其他三人各分到2各球，故不同的分配方法共有34C 4=种，故C 选项不正确；D 选项：若甲至少分到2个小球，其余3人每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有37C 35=种，故D 选项正确；故选：ABD.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列，现将{}n a 中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为{}n b ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列说法正确的是（）A ．20221348T =B ．100010021S a =-C ．若2022n T =，则3033n =D ．2222123500500501a a a a a a ++++= 【正确答案】ABD【分析】根据数列特征得到{}n b 为1，1，0，1，1，0，L ，周期为3的数列，从而得到()20221106741348T =++⨯=，A 正确，1000S =1002210021a a a -=-，B 正确，根据数列{}n b 的周期求和得到3033n =或3032n =，所以C 错误，根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D 正确.【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出，数列为依次连续两个奇数和一个偶数，所以数列{}n b 为1，1，0，1，1，0，L ，则数列{}n b 为周期数列，且周期为3，所以()20221106741348T =++⨯=，故A 正确；因为1000129991000S a a a a =++++ 32431001100010021001a a a a a a a a =-+-++-+- 1002210021a a a =-=-，故B 正确；因为()20221101011=++⨯，101133033⨯=，且30311b =，30321b =，30330b =，所以3033n =或3032n =，故C 错误；22222221235001223500a a a a a a a a a ++++=++++ L ()22222123500233500a a a a a a a a a =++++=+++ 2499500500500501a a a a a ==+= ，故D 正确.故选：ABD 三、填空题13．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为___________.【正确答案】24【分析】根据通项公式,确定常数项,再代入二项式定理的通项中即可计算结果.【详解】解：由通项公式得:()44421441C 22C rrr r r rr T x xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令420r -=,即可得2r =,所以展开式的常数项为:42242C 24-=.故2414．写出一个同时具有下列性质①②③的数列{}n a ，①无穷数列；②递减数列；③每一项都是正数，则n a =______.【正确答案】21n （答案不唯一）【分析】根据题目中要求的数列性质，写出满足题意的一个数列即可.【详解】根据题意，要求的数列可以为21n a n =，故21n （答案不唯一）.15．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题：①若89S S <，则910S S <；②若110S =，则2100a a +=；③若13140,0S S ><，则{}n S 中7S 最大；④若210S S =，则使0n S >的n 的最大值为11．其中所有真命题的序号是__________．【正确答案】②③④【分析】①由题意可以推出90a >，不能推出100a >，判断①错误；②由题意可得1110a a +=，判断出②正确；③由题意可得780,0a a ><，判断出③正确；④由题意可得670a a +=，进而670,0a a ><，判断出④正确．【详解】若89S S <，则90a >，不能推出100a >，即不能推出910S S <，故①错误；若110S =，则1111111()02a a S +==，即1110a a +=，则2101110a a a a +=+=，故②正确；若13140,0S S ><，则113781141371413()14()14()130,0222a a a a a a S a S +++==>==<，所以780,0a a ><，则{}n S 中7S 最大，故③正确；若210S S =，则1121045a d a d +=+，即11167211560a d a d a d a a +=+++=+=，因为首项为正数，则公差小于0，则670,0a a ><，则11111611()1102a a S a +==>，112126712()6()02a a S a a +==+=，则使0n S >的n 的最大值为11，故④正确．故②③④．四、双空题16．2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线()()222x p x μσ--=非常拟合.已知()()max 95p x p ==则方差为_________.据此估计，在全市随机抽取10名高三同学，设X 表示10名同学中英语成绩超过95分的人数，X 的数学期望是__________.【正确答案】645【分析】由()()max 95p x p =μ、σ，写出方差即可；而1(95)2p x >=，易知1(10,)2X B ，根据二项分布的期望公式求期望即可.【详解】由()()max 95p x p ==95μ=，8σ=，故方差264σ=，由正态分布的对称性知：1(95)2p x >=，故1(10,)2X B ，∴X 的数学期望1()1052E X =⨯=.故64，5五、解答题17．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表，经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．价格x （元/kg ）1015202530日需求量y （kg ）1110865（1）根据上表给出的数据，求出y 与x 的线性回归方程ˆˆy bx a ∧=+；（2）利用（1）中的回归方程，当价格40x =元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？（参考公式：线性回归方程ˆˆy bx a ∧=+，其中()()()121ni ii n ii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．）【正确答案】（1）ˆ0.3214.4yx =-+（2）1.6kg.【分析】（1）根据题中所给的数据，结合参考方程，对数据进行分步计算即可；（2）将价格数据代入回归方程，即可求得预测值.【详解】（1）由所给数据计算得1(1015202530)205x =++++=，1(1110865)85y =++++=，()52222221(10)(5)0510250i i x x =-=-+-+++=∑，()()51103(5)2005(2)10(3)80iii x x yy =--=-⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-=-∑，()()()51521800.32250iii ii x x y y b x x ==---===--∑∑．80.322014.4a y bx =-=+⨯=．所求线性回归方程为ˆ0.3214.4yx =-+．（2）由（1）知当40x =时，ˆ0.321014.4 1.6y=-⨯+=．故当价格40x =元/kg 时，日需求量y 的预测值为1.6kg.本题考查线性回归直线方程的求解，根据公式计算回归系数即可，属基础题.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1518a a +=-，972S =-;(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)当n S 取最小值时，n 的值.【正确答案】(1)12122n a n =-(2)20或21【分析】（1）求得等差数列{}n a 的首项和公差，由此求得n a .（2）由0n a ≤求得正确答案.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11241893672a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得1110,2a d =-=，所以()1121101222n a n n =-+-⨯=-.（2）由121022n a n =-≤解得21n ≤，所以当n S 取得最小值时，n 的值为20或21（210a =）.19．已知数列{}n a 满足1511a =，()1432n n a a n -=-≥.(1)求证：数列{}1n a +为等比数列；(2)令()2log 1n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】(1)证明见解析(2)2210,5=10+50,6n n n n S n n n ⎧-≤⎨-≥⎩【分析】（1）由11344n n a a -=-知：()11114n n a a -+=+，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）()2log 1112n n b a n =+=-，设数列{}112n -的前n 项和为n T ，则210n T n n =-．当5n ≤时，n n S T =；当6n ≥时，52n n S T T =-．【详解】（1）（1）证明：由11344n n a a -=-知()11114n n a a -+=+，由10n a +≠知：11114n n a a -+=+，∴数列{}1n a +是以512为首项，14为公比的等比数列，∴11121151224n n n a --⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭，∴11221nn a -=-；（2）由（1）知()2log 1112n a n +=-，设(){}2log 1n a +的前n 项和为n T ，210n T n n =-，∴()2log 1112n n b a n =+=-，当5n ≤时，()21log 0n a +>，210n n S T n n ==-，6n ≥，()()()252621555log 1log 21050n n n n S T a a T T T T T n n +=-+--=--=-=-+ ，综上得2210,5=10+50,6n n n n S n n n ⎧-≤⎨-≥⎩.20．已知点()2,0A -、()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为34-，记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)经过点()1,0P -的直线l 与曲线C 交于C 、D 两点.记ABD △与ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值.【正确答案】(1)()221243x y x +=≠±；是去掉两个长轴端点的椭圆【分析】（1）结合两点间的斜率公式求解即可；（2）当直线l 斜率不存在时，120S S -=；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为()()10y k x k =+≠，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出进行化简变形，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）由题意，2AM y k x =+，2BM yk x =-，2x ≠±，所以3224AM BM y y k k x x ⋅==-+-，整理可得22143x y +=，所以C 的方程为()221243x y x +=≠±，曲线C 是去掉两个长轴端点的椭圆.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，此时ABD △与ABC 的面积相等，所以120S S -=.当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为()()10y k x k =+≠，()11,C x y ，()22,D x y ，联立方程组()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()22223484120k x k x k +++-=，则()()()42226443441214410k k k k ∆=-+-=+>，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+，则()()()132212112186+2331244y x k kk y k k x k x x k k k +=+++=+-=+++=，此时221211211422324S S y y y y k k -=⨯⨯=+-=+，由于0k ≠，所以212123344kkk k=≤++当且仅当34k k =，即2k =时取等号，所以12S S -综上所述，12S S -21．甲、乙两支足球队将进行某赛事的决赛.其赛程规则为：每一场比赛均须决出胜负，若在规定时间内踢成平局，则双方以踢点球的方式决出胜负.按主、客场制先进行两场比赛，若某一队在前两场比赛中均取得胜利，则该队获得冠军；否则，需在中立场进行第三场比赛，其获胜方为冠军.假定甲队在主场获胜的概率为12，在客场获胜的概率为13，在第三场比赛中获胜的概率为25，且每场比赛的胜负相互独立.(1)已知甲队获得冠军，求决赛需进行三场比赛的概率；(2)比赛主办方若在决赛的前两场中共投资m （千万元），则能盈利2m（千万元）.如果需进行第三场比赛，且比赛主办方在第三场比赛中投资n （千万元）.若比赛主办方准备投资一千万元，以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？【正确答案】(1)15(2)34千万元.【分析】(1)甲获胜，且比赛进行了三场，说明前两场一队赢一场，第三场中立场甲赢；(2)根据总盈利和进行的场次有关，求出总盈利2m，即比赛只需进行两场的概率，再求出总盈利为2m.【详解】（1）由于前两场对于比赛双方都是一个主场一个客场，所以不妨设甲队为第一场为主场，第二场为客场，设甲获得冠军时，比赛需进行的场次为X ，则111121(3)11232355P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）由题可得1m n +=，所以[]1,0,1m n n =-∈比赛结束需进行的场次即为Y ，则2,3Y =，设决赛总盈利为Z ，则,22m mZ =，11111((2)11223232m P Z P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11111((3)11223232m P Z P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以决赛总盈利为Z 的分步列如下，所以11111()2222222m m E Z m n ⎛=⨯+⨯==-+ ⎝，所以211()22E Z =-+，12=，即14n =时，二次函数211()22E Z =-+有最大值为58，所以以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为13144m =-=千万元.22．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的22⨯列联表，并根据列联表及0.05α=的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p ；（ii ）以（i ）中确定的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X .试验后统计数据显示，当90X =时，()P X 取最大值，求参加人体接种试验的人数n 及()E X .参考公式：2χ2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)参考数据：20()P k χ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【正确答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i ）0.9；（ii ）当接种人数为n =99时，()89.1E X =；当n =100时，()90E X =.【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；（2）（i ）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；（ii ）根据()90P X =最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X ，最后求出期望.【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：在[)0,20内有0.00252020010⨯⨯=（只）；在[)20,40内有0.006252020025⨯⨯=（只）；在[)40,60内有0.008752020035⨯⨯=（只）；在[)60,80内有0.025********⨯⨯=（只）；在[]80,100内有0.00752020030⨯⨯=（只）.由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得()220.05200502020110 4.945 3.8411604070130x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯.根据0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ，则()1600.8200P A ==，()200.540P B ==，()()()0.20.1150.9P C P A P B -⨯==-=.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9p =.（ii ）由题意，知随机变量(),0.9X B n ，()C 0.90.1k k n kn P X k -==⨯⨯（0,1,2,,k n =⋅⋅⋅）.因为()90P X =最大，所以909090919191909090898989C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n n n ----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得901999n ≤≤，因为n 是整数，所以99n =或100n =，所以接受接种试验的人数为99或100.①当接种人数为99时，()990.989.1E X np ==⨯=；②当接种人数为100时，()1000.990E X np ==⨯=.。

福建省高二下学期第一次月考数学试题(Word版)

高二下学期第一次月考数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）、、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数在处的导数为，则（）()f x 1x =6()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆A ．1B ．2C ．D ．6232．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确()y f x =()f x '()f x 的是（）A ．B ． ()()()213f f f ''>>'-()()()231f f f ''>>'-C ．D ．()()()312f f f >>''-'()()()321f f f >->'''3．已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之s t 间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（）()2ln 1s t t t =++-3t =A ．米/秒 B ．米/秒C ．米/秒 D ．米秒214()62ln2+212()4ln2+4．函数的图象大致为（）sin x xx xy e e --=+A ．B ．C ．D ．5．若对任意的，，且，都有，则m 的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-（） A ．B ．C ．1D ．1ee 3e6．已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于()f x ()f x 'R ()()0f x f x '->()01f =x的不等式的解集()e xf x >为（） A ． B ．C ．D ．{}0x x >{}0x x <{}1x x <{}1x x >7．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数的取值范围是（） ()()e ln xf x x a x =-a A ． B ．C ．D ．(],0-∞1,e ⎛⎤-∞ ⎝⎦(],1-∞(],e -∞8．已知,则（） 1ln1.1,,11a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数的求导正确的是（）A ．B ．C ．D ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x '=()()'e 1e x x x x =+()1ln 22'=x x10．已知，下列说法正确的是（） ()ln xf x x=A ．在处的切线方程为B ．若方程有两个不相等的实数()f x 1x =1y x =+()f x a =根，则 10a e<<C ．的极大值为D ．的极小值点为()f x 1e()f x e x =11．若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（）()321233f x x x =+-()1,4a a -+a A ．-3B ．-2C ．-1D ．012．若存在实常数k 和b ，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ()G x 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已()F x kx b ≥+()G x kx b ≤+y kx b =+()F x ()G x 知函数，，（e 为自然对数的底数），则下列结2()()f x x x R =∈1()(0)g x x x=<()2ln h x e x =论正确的是（）．A ．函数在区间上单递减()()()m x f x g x =-,⎛-∞ ⎝B ．和之间存在“隔离直线”，且k 的最小值为 ()f x ()g x 4-C ．和之间存在“隔离直线”，且b 的取值范围是 ()f x ()g x [4,0]-D ．和之间存在“隔离直线”，且“隔离直线”不唯一()f x ()h x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数在点处的切线方程为____________． 1()ln f x x x=-(1,1)-14．函数，则________． ()2(1)21xf x f x x '=+-()0f '=15．不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________． 1e ln 0a x x a x --≥()1,x ∈+∞a 16．若函数在区间D 上有定义，且均可作为一个三角形的()g x ,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈三边长，则称在区间D 上为“M 函数”．已知函数在区间为()g x ()1ln x f x x k x -=-+1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，，且．求：()32f x x ax =-a ∈R ()11f '=(1)a 的值及曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)函数在区间上的最大值． ()f x []0,218. （12分）已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围． ()0f x =19．（12分）已知函数．()2211ln 2a f x x x x a +=-+(1)当时，求函数的单调增区间． 2a =()f x (2)讨论函数的单调性． ()f x20.（12分）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计5a +(58)a ≤≤当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，x (1317)x ≤≤2(18)x -(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式； L x (2)求出的最大值． L ()Q a21．（12分）已知函数为的导数.()e cos 2,()x f x x f x '=+-()f x (1)当时，求的最小值；0x ≥()f x '(2)当时，恒成立，求的取值范围.π2x ≥-2e cos 20xx x x ax x +--≥a22．（12分）已知函数.2()e (e 2.718)=-= x f x ax (1)若在有两个零点，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+a (2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且2()e [()1]x g x f x ax x =+--()g x 0x . 0321()e 4<<g x龙岩一中2024届高二下学期第一次月考数学试题参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAABABBDBCBCBC DAB C13．14． 1 15． 16．23y x =-(],e -∞()2e 4,-+∞17．解:（1），解得：()32f x x ax =-Q ()'232f x x ax ∴=-()'1321f a ∴=-=1a =故，()32f x x x =-(1)0f =曲线在点处的斜率为，切线方程即 ...........5()y f x =()()1,1f 1k =(1)(1)y f k x -=-1y x =-分（2）由（1）可知：，令，解得()32f x x x =-()'232f x x x =-()'2320f x x x =-= 1220,3x x ==故当时，，所以单调递减；当时，，所以2[0,)3x ∈()'0f x <()f x 2[,2]3x ∈()'0f x >()f x 单调递增；区间内，当时取最大值，最大值为 ...........10分()f x []0,22x =(2)4f =18．解:（1）由题意得，函数在及处取得极值， ()232f x x ax b '=++()f x 13x =-1x =得，解得 .()11203331320af b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增； 13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. ...........6分 ()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．又有三()f x 13x =-1x =()0f x =个不同的实根，由图象知，解得，所以实数c 的取值范围是()150327110fc f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭．...........12分19．解:（1）函数的定义域为，()2211ln 2a f x x x x a+=-+()0,∞+当时，，所以. 2a =()215ln 22f x x x x =-+()()221251252()22x x x x f x x x x x---+'=-+==故当时，，函数在上单调递增；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增；()2,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()2,+∞所以函数的单调递增区间有和；...........4分()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭()2,+∞（2）由可得：()2211ln 2a f x x x x a+=-+. ()2221()11(1)()ax x a a ax a x a f x x a x ax ax--+-++'=-+==①当时，，在上单调递增；...........6分 a<0()0f x ¢>()f x ()0,∞+②当时，时，时，在上单调递增；01a <<()0,x a ∈()0f x ¢>()f x ()0,a 时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时，，在上单调递增；............8分 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭③当时，，且仅在时，，所以函数在上单调递增1a =()0f x '≥1x =()0f x '=()f x ()0,∞+；...........9分④当时，时，时，在上单调递增；1a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时，，在上单调递增；............11分(),x a ∈+∞()0f x ¢>()f x (),a +∞综上所述，当时，函数在上单调递增；a<0()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；01a <<()f x ()0,a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，函数在上单调递增；1a =()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；...........12分1a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭20．解（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5x (1317)x ≤≤元，且每件产品需向税务部门上交元，(5)a +(58)a ≤≤所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：L x 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．...........5分（2）∵，∴， 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(3823)(18)L a x x =+--'令，解得：或，而，则，...........7分 0L '=3823a x +=18x =58a ≤≤38216183a+≤≤①当，即时，当时，，单调递38216173a +≤<5 6.5a ≤<38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L >'A A A A L 增，当时，，单调递减，∴当时，取最大值382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L '<L 3823a x +=L 34(8)27a -；...........9分 ②当，即时，当时，，单调递增， 38217183a+≤≤ 6.58a ≤≤()13,17x ∈0L >'A A A A L ∴当时，取最大值，...........11分17x =L 7a -综上， ...........12分 ()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩21．（1）由题意，，令，则， ()e sin x f x x '=-()e sin x g x x =-()e cos x g x x '=-当时，，，所以，从而在上单调递增， 0x ≥e 1x ≥cos 1≤x ()0g x '≥()g x [0,)+∞则的最小值为，故的最小值1；...........4分()g x (0)1g =()f x '（2）由已知得当时，恒成立，令，π2x ≥-()e cos 20xx x ax +--≥()e cos 2x h x x ax =+--，...........5分()e sin x h x x a '=--①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数， 1a ≤0x ≥()10h x a '≥-≥()h x ∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，()()00h x h ≥=()0x h x ⋅≥()e cos 20x x x ax +--≥若，令则，令，则π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()e sin x m x x a =--()e cos x m x x '=-()e cos xn x x =-，()e sin x n x x '=+令，则，∵在在内大于零恒成立，()e sin x p x x =+()e cos x p x x '=+()p x 'π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭∴函数在区间为单调递增，又∵，，，()p x π,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭π2πe 102p -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭()01p =∴上存在唯一的使得，∴当时，，此时()p x 0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00p x =0π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0n x '<为减函数，()n x 当时，，此时为增函数，又∵，，()0,0x x ∈()0h x '>()n x π2πe 02n -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭()00n =∴存在，使得，∴当时，，为增函数，10π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10n x =1π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0m x '>()m x 当时，，为减函数，又∵，，()1,0x x ∈()0m x '<()m x π2πe 102m a -⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭()010m a =-≥∴时，，则为增函数，∴，∴π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0h x '>()h x ()()00h x h ≤=()e cos 20x x x ax +--≥恒成立，..........9分②当时，在上恒成立，则在上为增函数， 1a >()e cos 0x m x x '=-≥[0,)+∞()m x [0,)+∞∵，， ()010m a =-<ln(1)(ln(1))e sin(ln(1))1sin(ln(1))0a m a a a a ++=-+-=-+≥∴存在唯一的使，()20,x ∈+∞()20h x '=∴当时，，从而在上单调递减，∴，20x x ≤<()0h x '<()h x [)20,x ()()00h x h <=∴，与矛盾，...........11分()e cos 20xx x ax +--<2e cos 20x x x x ax x +--≥综上所述，实数的取值范围为. ...........12分 a (,1]-∞22．(1)解：令，，则，2()0xf x e ax =-=()0,x ∈+∞2e xa x=23．因为在有两个零点，所以函数与的图象有两个不同的交点，()f x ()0,∞+y a =2ex y x=令，则， ()22e (),0,h x x x =∈+∞()()23e 2e (),0,xx x h x x x x -'==∈+∞当时，；当时，． (0,2)x ∈()0h x '<(2,)x ∈+∞()0h x '>所以在单调递减，在单调递增，所以，()h x (0,2)(2,)+∞()()2mine 24h x h ==又当时，，当时，，所以；...........4分0x +→()h x →+∞x →+∞()h x →+∞2e4a >(2) 证明：，故，()e (e 1)x x g x =x --()e (2e 2)x xg x =x '--令，， ()2e 2x m x =x --()2e 1x m x ='-当时，，当时，， 1ln2x <()0m x '<1ln 2x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()m x 1(,ln )2-∞1(ln +)2∞，又，，，(0)0m =1ln 211(ln )2e ln 2ln 21022m =--=-<22(2)2e (2)20e 2m ==----->由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，...........6分()h x ()0m x =1(2,ln )2-设为且，从而有两个零点和，0x 002e 20xx =--()m x 0x 0当或时，，当时，，0x x <0x >()0g x '>00x x <<()0g x '<所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增， ()g x 0(,)x -∞0(0)x ，(0+)∞，从而存在唯一的极大值点，由，得， ...........8分 ()g x 0x 002e 20x x =--002e 2xx +=，2000000000222111()e (e 1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（）当且仅当，即时，取等号，002x x -=+01x =-若，则，与题意矛盾，01x =-0102e 22e 10x x =----≠故，所以取等不成立，所以得证，...........10分 01x ≠-01()4g x <又，在单调递增，012ln2x -<< ()g x 0,x -∞（）所以得证，...........11分 2242032()(2)e e (2)1e e e g x g ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦所以............12分 0321()e 4g x <<。

三明市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题含答案

三明一中2022-2023学年下学期高二第1次月考数学学科试卷（总分150分，时间：120分钟）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.曲线()ln f x x x =在1x =处的切线的方程为A .022=--y xB .01=--y xC .01=-+y x D .013=--y x 2.有3名新冠肺炎疫情防控的志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同的选择方法共有A .12种B .9种C .8种D .6种3.函数()()ln 21f x x x =-+的单调递增区间是A .1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B .11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C .1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D .1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．函数()||2()e 2x f x x =-的大致图像为A ．B ．D ．C.5.把一个周长为12cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的高为A .1B .πC .2D .216.《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有A .30种B .54种C .60种D .64种7.若函数()21ln 2f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为A .10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.对任意()0,x ∈+∞，不等式()()1ln e xa x ax -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为A .(]0,1B .(]0,e C .(]0,2e D .(20,e⎤⎦二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图是函数()y f x =的导函数()f x '的图象，则下面判断正确的是A .()f x 在(3,1)-上是增函数B .()f x 在(1,3)上是减函数C .()f x 在(1,2)上是增函数D .当4x =时，()f x 取得极小值10.在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的2000多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到A,B,C 三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是A .共有18种安排方法B .若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排方法C .若A 学校需要两名志愿者，则有24种安排方法D .若甲被安排在A 学校，则有12安排方法11.已知函数()2ln f x x x =-，则下列说法正确的是A .()f x在2x =处取得最大值B .()f x在12⎛ ⎝⎭上单调递增C .()f x 有两个不同的零点D .()2e 2xf x x <--恒成立（第9题图）12.已知1e a b <<<（e 为自然对数的底数），则A .baa b<B .eeabab >C .eeb aa a >D .eeb ba a <三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.小明跟父母､爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．则小明的父母都与他相邻的排法总数为****．14.由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数****．15.设函数()ln 2f x x mx =-（m 为实数），若()f x 在[1,)+∞上单调递减，则实数m 的取值范围****．16.已知奇函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若对任意[)0,x ∈+∞，都有()()30f x xf x '+>恒成立，()22f =，则不等式()()31116x f x --<的解集是****．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.（10分）求值：（要有详细的运算过程）（1）计算：215103134A A A A -+;（2）已知()22*1717C C N x x x +=∈，求x .已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极小值1.（1）求实数,a b 的值；（2）求函数()y f x =在区间[]22-,上的值域.19.（12分）（1）某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序共有多少种；（2）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有多少种不同的分配方法．.已知函数()2(1)xf x x e ax =--．（1）讨论()f x 单调性；（2）若函数()()xg x f x xe x =-+在[]1,2上不单调，求a 的取值范围．21.（12分）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交5a +元(58)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x -万件.(1)求该商店一年的利润L (万元)与每件纪念品的售价x 的函数关系式；(2)求出L 的最大值()Q a .已知函数()()1e 1xf x x =-+.（1）证明：()2102f x x +≥；（2）若0x ≥时，()()ln 1f x mx x ≥+恒成立，求实数m 的取值范围.三明一中2022-2023学年下学期高二第1次月考数学学科参考答案一、选择题123456789101112BCDACBABCDBDABDAD二、填空题13.12种14.22个15.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16.()1,3-三､解答题17.解：（1）215103134A A 5410101A A 321410-⨯-===+⨯⨯+………………5分（2）已知221717C C x x +=，则22x x =+或2(2)17x x ++=………………7分解得：2x =或5x =，经检验均符合.………………9分故2x =或5x =.…………………10分18.解：（1）因为()322f x x ax bx a =+++，所以()232f x x ax b '=++，………………1分根据题意，(1)1,(1)0,f f =⎧⎨='⎩………………3分即121,320,a b a a b +++=⎧⎨++=⎩………………5分解得a ＝3，b ＝－9，经检验满足题意.………………6分（2）由（1）知，()()()()322396,369331f x x x x f x x x x x =+-+=+-=+-'，令()0f x '=，解得3x =-或1x =，………………7分当[]2,2x ∈-时，()f x '及()f x 的变化情况如下表：x 2-()2,1-1()1,22()f x '-+()f x 28单调递减1单调递增8………………9分因此当1x =时，()f x 取得最小值()11f =，当2x =-时，()f x 取得最大值()228f -=，………………11分故()f x 的值域为[]1,28.………………12分19.解：（1）先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有=344C 种，………2分再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，有552260A A =，总共有460240⨯=种.………………5分（2）根据题意，先把5名医生分成3组再分配，一是分成3,1,1然后分配，共有3353C A 10660⋅=⨯=种分配方法，………………8分二是分成2,2,1然后分配，共有22353322C C 30A 690A 2⋅=⨯=种分配方法，………………11分所以共有6090150+=种分配方法.………………12分20.解：（1）函数)(x f 的定义域为R ,()()'(1)22x x x f x e x e ax x e a --=+-=，……………1分（i ）当0a ≤时，20xe a ->，所以0x <时，()'0f x <，此时()f x 单调递减；0x >时，()'0f x >，此时()f x 单调递增；……………2分（ii ）当102a <<时，ln 20a <时，令()'0f x >，得ln 2x a <或0>x ，令()'0f x <，得ln 20a x <<，所以()f x 的单调递增区间为),0(),2ln ,(+∞-∞a ，()f x 的单调递减区间为)0,2(ln a ……………3分（iii ）当12a =时，()'0f x ≥恒成立，()f x 在R 上单调递增.……………4分（iv ）当12a >时，ln 20a >，令()'0f x >，得ln 2x a >或0<x ，令()'0f x <，得0ln 2x a <<，所以()f x 的单调递增区间为),2(ln ),0,(+∞-∞a ，()f x 的单调递减区间为)2ln ,0(a 5分综上所述：当0a ≤时，()f x 在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增；当102a <<时，()f x 在()ln 2,0a 上单调递减，在(),ln 2a -∞和（0，+∞）上单调递增；当12a =时，()f x 在R 上单调递增；当12a >时，()f x 在()0,ln 2a 上单调递减，在(),0-∞和),2(ln +∞a 上单调递增.……………6分（2）函数()()2xxg x f x xe x x e ax =-+=--，若函数()g x 在[]1,2上不单调，则()'0g x =在()1,2上有解.……………7分又()'120xg x e ax =--=，可得：12xe a x-=……………8分令()1xe h x x -=，则有()()()()221'11x x x e x e x e h x x x---=-⋅-=，……………9分因为()1,2x ∈，则有()'0h x <恒成立，所以()h x 在()1,2上单调递减，……………10分所以()21,12e h x e ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即21212e a e -<<-，……………11分解得：21142e e a --<<，则a 的取值范围为21,41(2ee --.……………12分21.解：（1）由题意，预计当每件产品的售价为x 元(1317)x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交(5)a +元(58)a ≤≤，所以商店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．……………3分（2）∵2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈，∴(3823)(18)L a x x =+--'，……………4分令0L '=，解得：3823a x +=或18x =，而58a ≤≤，则38216183a +≤≤，……………5分①当38216173a +≤<，即5 6.5a ≤<时，……………6分当38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '>，L 单调递增，当382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '<，L 单调递减，……………7分∴当3823a x +=时，L 取最大值34(8)27a -；……………8分②当38217183a +≤≤，即6.58a ≤≤时，……………9分当()13,17x ∈时，0L '>，L 单调递增，……………10分∴当17x =时，L 取最大值7a -，……………11分综上，()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩……………12分22.解：（1）证明：令()()()22111e 122x g x f x x x x =+=-++，x ∈R ，()00g =，………1分()()e 1x g x x '=+，由()0g x '<可得0x <，由()0g x '>可得0x >.……………2分所以，函数()g x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+，……………3分所以，()()00g x g ≥=，故原不等式得证.……………4分（2）解：当0x ≥时，由()()ln 1f x mx x ≥+可得()()1e ln 110x x mx x --++≥，…………5分令()()()1e ln 11x h x x mx x =--++，其中0x ≥，()()e ln 11x x h x x m x x ⎡⎤'=-++⎢⎥+⎣⎦，且()00h '=，……………6分令()()p x h x '=，其中0x ≥，则()()()()()()32221e 21e 211xx m x x x p x x m x x x ⎡⎤+++'=+-=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，令()()31e 2xx t x m x +=-+，其中0x ≥，则()()()()222157e 02xx xx t x x +++'=>+，所以，函数()t x 在[)0,∞+上为增函数，则()()min102t x t m ==-.……………7分①当102m -≥时，即当12m ≤时，对任意的0x ≥，()0p x '≥且()p x '不恒为零，故函数()p x 在[)0,∞+上为增函数，则()()00h x h ''≥=且()h x '不恒为零，故函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，则()()00h x h ≥=，合乎题意；……………8分②当102m -<时，即当12m >时，()1002t m =-<，()()()33321e 1210222mm m m m m t m m m m m m +++++=->-=>+++，高二数学第5页共5页所以，存在()00,x m ∈，使得()00t x =，当00x x <<时，()0t x <，则()0p x '<，此时函数()p x 单调递减，则当00x x <<时，()()00p x p <=，即()0h x '<，故函数()h x 在()00,x 上单调递减，所以，()()000h x h <=，不合乎题意.……………11分综上所述，12m ≤.……………12分。

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抚州一中高二下学期第一次月考数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．复数i i z ++-=23的共轭复数是（） A.i +2 B.i -2 C.i +-1 D.i --12.有一段“三段论”推理：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（）A 、大前提错误B 、小前提错误C 、推理形式错误D 、结论正确 3.如右图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的箭头表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。

现从结点A 向结点G 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。

则单位时间内传递的最大信息量为（）A ．31B ．14C ．10D ．64.①0a b >>是22a b >的充要条件.②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．设函数(),()f x g x 在()b a ,上均可导，且()()f x g x ''<，则当a x b <<时，有（）A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f <C.)()()()(a f x g a g x f +<+ D ．)()()()(b f x g b g x f +<+6.一个数学兴趣小组有女同学2名，男同学3名，现从这个数学兴趣小组中任选2名同学参加数学竞赛，其中男同学人数不少于女同学人数的概率为 ( )A ．310B ．25C ．35D ．9107.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为（）8. 若曲线2)(3-+=x x x f 在0p 处的切线垂直于直线014=-+y x ，则0p 点的坐标为（）A ． (1,0) B. (2,8) C. (2,8)和(1,4)-- D. (1,0)和(1,4)-- 9．已知点A(2,0)，抛物线C:x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|:|MN|＝( )． A ．2:5 B ．1:2 C ．1:5 D ．1: 3 10. 若函数32)(k x k x x h +-=在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，2] 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 . 12．点P 在双曲线122=-y x 上运动，O 为坐标原点，线段PO 中点M 的轨迹方程是________ 13.已知命题p ：“024,,1=+-∈∃∈∀+m R m R x x x ”，且非p 是假命题，则实数m 的取值范围为________ 14.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。

若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为________15．下图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题： ①2-是函数()y f x =的极值点； ②1不是函数()y f x =的极值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ④()y f x =在区间(2,2)-上单调递增；则正确命题的序号是________ （写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. 设函数a x x x f -+-=1)(（1）若,1-=a 解不等式3)(≥x f ；（2）如果对2)(,≥∈∀x f R x ，求a 的取值范围。

17.某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22⨯的列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?附：2X ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.18．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率; (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率.19．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V 表示成r 的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．20 ．已知a∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.21．椭圆C ：2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的离心率2e =a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m.证明：2m －k 为定值．参考答案一、选择题：（每题5分，共12题60分）二、填空题：（每题5分，共5小题25分）11.11 12.22441x y -= 13.]1,(-∞ 14. 2222ABD ACD ABC BCD S S S S ∆∆∆∆++= 15. ①②④ 16.解:（1） ),23[]23,(+∞--∞ （2）),3[]1,(+∞--∞ 17.解: (1) 710P =(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手:所以得:222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯ 因为1.79 2.706<,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 18.解: (1)12121()=P()()()4P A A A P A P A ∙==. (2) )(B P 111484=++ 58=. 19.解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r 2)，从而V(r)＝πr2h ＝π5(300r －4r 3)．因r ＞0，又由h ＞0可得r <V(r)的定义域为(0,)．(2)因V(r)＝π5(300r －4r 3)，故V′(r)＝π5(300－12r 2)．令V′(r)＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,)上为减函数．由此可知，V(r)在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大． 20 解:(1)当1a=时,32()266(2)1624124f x x x x f =-+∴=-+=,所以2()6126(2)242466f x x x f ''=-+∴=-+=,所以()y f x =在(2,(2))f 处的切线方程是:46(2)680y x x y -=-⇒--=;(2)因为22()66(1)66[(1)]6(1)()f x x a x a x a x a x x a '=-++=-++=--①当1a>时,(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()y f x =递减,所以当 [0,2||]x a ∈时,且2||2a >,[0,1][,2||]x a a ∈ 时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()y f x =递减,所以最小值是32223()23(1)63f a a a a a a a=-++=-;②当1a <-时,且2||2a >,在[0,2||]x a∈时,(0,1)x ∈时,()y f x =递减,[1,2||]x a ∈时,()y f x =递增,所以最小值是(1)31f a =-;综上所述:当1a>时,函数()y f x =最小值是233a a -;当1a <-时,函数()y f x =最小值是31a -;21．解：(1)因为c e a==，所以a =，b =. 代入a ＋b ＝3，得c =a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)因为B(2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k(x －2)10,2k k ⎛⎫≠≠± ⎪⎝⎭，①①代入2214x y +=，解得P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭直线AD 的方程为：112y x =+.② ①与②联立解得M 424,2121k k k k +⎛⎫⎪--⎝⎭由D(0,1)，P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，N(x,0)三点共线知222410141820041kk k x k ---+=---+，解得N 42,021k k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以MN 的斜率为m ＝22404212121424222122142121kk k k k k k k k k k -(+)+-==+-(+)-(-)--+，则2m －k ＝21122k k +-=(定值)．。