1.1.1任意角

－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
2．几种特殊角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x＝ k· 360°，k∈Z}．
终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{x|x＝
k· 360°＋180°，k∈Z}． 终边落在x轴上的角的集合为{x|x＝k· 180°，k∈Z} ． 终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x＝
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}； 终边在y轴上： S={α|α=90°＋k· 180°，k∈Z}.
思考5：终边在第一、二、三、四象限的 角的集合分别如何表示？
第一象限： S={α | k·360°<α<90°＋k· 360 °，k∈Z}； 第二象限： S={α | 90°＋k· 360°<α< 180°＋k· 360°，k∈Z}； 第三象限： S={α | 180°＋k· 360°<α< 270°＋k· 360°，k∈Z}； 第四象限： S={α | －90°＋k· 360°<α<k·360°，k∈Z}.
S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z}， 即任一与α终边相同的角，都可以表示 成角α与整数个周角的和.
注：① k∈Z； ② 角相等，终边一定相同；但 终边相同，角不一定相等，这样的 角有无穷多个，它们相差360°的 整数倍； ③ α是任意角(正角，负角，零 角)，但一般人们通常选用0°到 360°之间的角，以便观察它是第 几象限角．
所以与640°角终边相同的角是280°角 ，它是第四象限角。 （3）-950°12’ = -3×360°+129°48' 所以与-950°12’ 角终边相同的角是 129°48 ’ 角，它是第二象限角。
练习
以下四个命题: ①第一象限的角一定不是负角 ②小于90°的角是锐角 ③锐角一定是第一象限的角 ④第二象限的角是钝角 其中不正确的命题个数是（
思考6：在直角坐标系中，135°角的终 边在什么位置？终边在该位置的角一定 是135°吗？
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y －392° 328° o －32° x
328°= ﹣32° +360° ﹣392°= ﹣32° -360°
y
x o －50° o 405°
y
210° x
y
y
y x －450° x o
x
o －200°
o
思考3：锐角是第几象限角？ 第一象限角一定是锐角吗？ 思考4：第二象限的角一定比第一象限的 角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不 能反映角的大小. 思考5：若 180°≤α ≤360°，那么α 一定在第三象限或第四象限吗？
高中新课程数学必修④
第一章 三角函数
1.1
任意角和弧度制
1.1.1 任意角
知识回顾
1.想一想，初中时我们是怎么定义角 的？角的取值范围如何？
定义：角是由平面内一点引出的两条 射线所组成的图形。 范围：0o≤α≤180o 范围：0o≤α≤360o
过去我们学习了0o≤α ≤360o范 围的角，但在实际问题中还会遇到 其他角．
思考2：与－32°角终边相同的角有多少 个？ 这些角与－32°角在数量上相差多 少？ k·360°（k∈Z） 思考3：所有与－32°角终边相同的角， 连同－32°角在内，可构成一个集合S， 你能用描述法表示集合S吗？
S={β|β=﹣32°＋k· 360°，k∈Z}
思考4：一般地，所有与角α 终边相同的 角，连同角α 在内所构成的集合S可以怎 样表示？
360 1110o 1080o
o
1 1110°=30°+3×360° ①
30o
o
2 360 - 540 48`
o
④ -540°48` =179°12`+(-2)×360°
720o
③ 665°=305°+360° 与305°的角终边相同，是第四象限角 ④ -540°48` =179°12`+(-2)×360° 与179°12`的角终边相同，是第二象限角
例1、在0°到360°范围内，找出与下列 各角终边相同的角，并判断它是哪个象限 的角？ （1）－120°（2）640 °（3） －950 ° 12' 解（1）-120°= -360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 ° 角，它是第三象限角。
（2）640°=360°+280°

思考5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方 向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的 范围就扩展到了任意大小. 对于α ＝210°， β ＝－150°，γ ＝－660°，你能用图形表 示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ 画图表示一个大小一定的角， 先画一条射线作为角的始边， 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向，再由角的绝对值大小 确定角的旋转量，画出角的 终边，并用带箭头的螺旋线 B1 加以标注.
再如钟表的指针、拧动螺丝 的扳手等，它们按照不同方向旋 转所成的角，不全是0o≤α ≤360o 范围内的角.因此，我们必须将角 的概念进思考1：怎样升级角的定义，让它更科学 更合理？ B
o
A
由平面内一条射线绕其端点从 一个位置旋转到另一个位置所组成 的图形.
思考2：如图，一条射线的端点是O，它 从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成 了一个角α ，其中点O，射线OA、OB分别 叫什么名称？
B
始边
O A
终边
顶点
思考3：为了区分形成角的两种不同的旋 转方向，可以作怎样的规定？如果一条 射线没有作任何旋转，它还形成一个角 吗？
规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，则称它 形成了一个零角.
k· 360°＋90°，k∈Z}．
象限角的表示法
第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角
{x | k 360 x k 360 90 , k Z}
o o o
{x | k 360o 90o x k 360o 180o , k Z}
{x | k 360o 180o x k 360o 270o , k Z} {x | k 360 270 x k 360 360 , k Z}
3、A={小于90°的角}，B={第一象限的角} 则A∩B等于 （ D） A.{锐角}
C.{第一象限的角} B.{小于90°的角}
D.以上说法都不对
小 结
1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值 . 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一 个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角具有代数和几何双重意义. 2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范 围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，若所得的商为k，余数为α （α必须是正数），则α即为所找的角.
B2 α O β A
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们 常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合，那么对一个任意角，角的终边 可能落在哪些位置？ y o
x
思考2：如果角的终边在第几象限，我们 就说这个角是第几象限的角；如果角的 终边在坐标轴上，就认为这个角不属于 任何象限，或称这个角为轴线角.那么下 列各角：-50°，405°，210°, -200°，－450°分别是第几象限的角？
179o12`
思考6：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴 正半轴、负半轴上的角分别如何表示？
x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k· 360°，k∈Z ； y轴正半轴：α= 90°＋k· 360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k· 360°，k∈Z .
思考7：终边在x轴、y轴上的角的集合分 别如何表示？
当k 2时， 60 (2) 360 660
0 0 0
0
0
0
o o 720 360 S中适合 的元素是 60°, －300°, －660°
练习
1、如果α ，β 终边相同，则α-β的终 边落在（ A ） A. X轴的正半轴上 B. X轴的负半轴上 C. y轴的正半轴上 D. y轴的负半轴上 2、与-1778°的终边相同且绝对值最小 22° 的角是___________ 。
o o o o
2、写出下列各角终边相同的角的集合，并把集合中 适合不等式 720o 360o 的元素 写出来 。 (1) 60° （3）－225° 解: 与终边相同的角的集合为
S { | 60 k 360 , k Z }
0 0
当k 0时， 60 0 360 60 0 0 0 当k 1时, 60 ( 1) 360 300
） D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并 把S中适合不等式-360°≤ a ＜720°的元素 写出来.
y A
S = {α|α=45°＋k· 360°, k∈Z}
45°
O B x
∪ {α|α=180°+45°＋k· 360°,k∈Z}.
S={α|α=45°＋n· 180°，n∈Z}. 令-360°≤45°+n· 180°＜720°，得 -2.25≤n<3.75
思考4：如何确定一个角呢？ 1、有过程 ①方向：顺时针、逆时针 ②圈数 2、有结果 终点位置
说明：
1、角的正负的规定纯属习惯； 任何新概念，新知识的产生，都有它的现实 意义，生活需要。 ① 考虑：生活中对旋转有无正负之分呢？ ② 考虑：将水龙头打开时，手柄旋转所成的 角是正？是负？