电阻电路的等效变换学习笔记

i+ B u_ A
(a)
i+ C u_ A
(b)
2.1 电路的等效变换（续2）
明确
对外等效，对内不等效
多端电路的等效变换 对应端子间的电压相等，对应端子的电流相等 。
电路等效变换的目的
化简电路，方便计算。
2.2 电阻的串联和并联
电阻的串联
R1 R2
i +
+ u1 _ +u2 _ u
Rn + un _ _
1
1
1
N2
N2
N
···
2
3
n
(a)
(b)
(c)
2.1 电路的等效变换（续1）
二端电路等效的概念
如果一个二端电路B在端口处的伏安关系和另一个二端 电路C在端口处的伏安关系完全相同，则称B和C是端 口等效的，或称B和C互为等效电路。
端口等效的二端电路B和C在电路中可以相互替 代，替代前的电路与替代后的电路对任意外部电路A 中的电压和电流是等效的。
4Ω
4Ω 4Ω8Ω
解
i 15 1.5A
7 21
i 7Ω + 1_5V 2Ω
1Ω
i 7Ω +
1Ω
_15V
3
4Ω
R31
4Ω 8Ω 4Ω
R23
1
R12
2
i 7Ω +
1Ω
1_5V
3
R3 2Ω
4Ω
1Ω 2Ω
1 R1
R2 2
2.4.1 电压源的串联和并联
电压源的串联
A
+ +
uS1_ +uS2
_ uS
+uSn
电流源的串联
只有激励电流相
等且方向一致的电流
源才允许串联。
A
B
iS
注意参考方向
iS iS B
A
B
iS
2.4.2 电流源的串联和并联（续1）
电流源与支路的并联
A
R1
R2
iS1
iS2
B
电流源与其它元件的串联
A
R iS
B iS iS1 iS2 R R1 // R2
iS
A
B
iS AB
2.5 实际电源的两种模型及其等效变换
u12Y u12
i2Y i2
u23Y u23
i3Y i3
u31Y u31
比较式(3)与式(2)，得Y的变换条件为
（2）
2.3 电阻Y型联接和△联接等效变换（续3）
R12
R1R2
R2 R3 R3
R3 R1
R1 R2
R1R2 R3
R23
R1R2
R2 R3 R1
R3 R1
R2 R3
R2 R3 R1
18V_
_
I
B
2.5 实际电源的两种模型及其等效变换（续4）
例3 试将图(a)所示含有受控电源的电路简化。
5i
2 2 5i
(a)
4 i
i 4 u
10i 2 i
2
4
u
10i
(b)
i
i
20i 4 u
4 4 u 5i
(c)
(d)
由图(e)可得： u 8i
2 u 5i
(e)
2.6 输入电阻
一端口输入电阻的定义
Ri
Ri
Ri
Ri
R
RRi R Ri
R
求得
Ri (1 3)R
2.3 电阻Y型联接和△联接等效变换
电阻的Y型联接和△联接
1
1
R1 R2
2
R3 3
Y型联接
R12 2
R31 R23
3
△联接
Y－△变换的等效条件 对应端子间的电压相等，对应端子的电流相等。
2.3 电阻Y型联接和△联接等效变换（续1）
电阻电路的等效变换 学习笔记
2.1 电路的等效变换 2.2 电阻的串联和并联 2.3 电阻Y型联接与△联接的等效变换 2.4 电压源、电流源的串联和并联 2.5 实际电源的两种模型及其等效变换 2.6 输入电阻
2.1 电路的等效变换
二端电路和多端电路
如果一个电路对外只有两个端子，则称该电路为二端 电路；如果一个电路对外的端子多于两个，则称为多 端电路。如果一个电路对外的两个端子，满足从一个 端子流入的电流等于从另一个端子流出的电流，则称 这两个端子可构成一个端口。根据KCL可知，二端电 路对外的两个端子可以构成一个端口，因此，二端电 路也称为一端口电路，简称一端口。
实际电压源 ➢端口VCR u uS RS1i (1)
实际电流源
➢端口VCR
i
即
iS
u RS2
u RS2iS RS2i (2)
i +A RS1 +u _uS _
B
iS
i +A
RS2 u _ B
2.5 实际电源的两种模型及其等效变换（续1）
实际电压源和实际电流源的等效变换
实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，所 谓的等效是指端口的VCR在转换过程中保持不变，即式（1） 和式（2）完全相同。
2Ω A 4Ω
+
+0.25Ux
+
6V_ 2Ω U_ x
_18V
解
U(1x4)IIU3x 18 3 0
解得
U x 7.5V
B
受控源和独立源一样可以进行电源转 换；转换过程中注意不要丢失控制量。
A 4Ω + Ux _
3A
+
+
2Ω 2Ω U_ x 18V_
B
1Ω A 4Ω
+ + _3V Ux
+
_ Ux+
2.6 输入电阻（续1）
例1 求输入电阻Rab。
a i1 R1 i1
Rab
R2
b
解 uab R1i1 R2(i1 i1)
故
Rab
uab i1
R1 (1 )R2
R31
R2
R12
R23R12 R23
R31
R3
R12
R31R23 R23
R31
1
若R12 R23 R31 R，则 R1 R2 R3 RY R / 3
1
R1 R2
2
R3 3
R12
2
R31 R23
3
2.3 电阻Y型联接和△联接等效变换（续5）
例1 试求图(a)所示电路ab端的输入电阻Rab。
u uS RS1i (1)
， u RS2iS RS2i
(2)
比较式（1）和式（2）可得等效变换的条件：
RS1 RS2
uS RS2iS
i RS1
A +
+u u_S _
B
iS
i
A +
RS2 u _ B
注意电流源参考 方向的箭头指向电压 源参考方向正极所在 的端子。
2.5 实际电源的两种模型及其等效变换（续2）
+
1_ i1
u12 R1 R2
u31 R3
_ 2 i2 +
u23
i3 _3 +
+
1_ i1
u12 R12 _ 2 i2
+
R31 u31
R23 u23
i3 _3 +
对Y型联接（下标加Y） 对△型联接（下标加△）
u12Y=R1i1Y–R2i2Y u23Y=R2i2Y – R3i3Y （1） u31Y=R3i3Y – R1i1Y
A+ i
不含
u_ B
独立 电源
Ri
u i
端口的输入电阻也就是端口的等效电阻。
输入电阻的计算方法
➢ 如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联和-Y变换 等方法求它的等效电阻。
➢ 对含有受控源和电阻的二端电路，用电压、电流法求输入电阻， 即在端口加电压源，求得电流，或在端口加电流源，求得电压， 得其比值。
in
u
R1 R2
Rn
_
+ u_
i
Req
➢端口的伏安关系（VCR）
i
i1
i2
in
1 (
R1
1 R2
1 Rn
)u
1 Req
u
Gequ
➢等效电路
Geq
1 Req
1 R1
1 R2
1 Rn
G1 G2 Gn
2.2 电阻的串联和并联（续2）
➢分流公式
ik
源自文库
1 Rk
u
Req Rk
i
Gk Geq
i
k 1,2,, n
➢两个电阻的并联
+ i i1
i2
u
R1
R2
_
，
Req
R1
//
R2
R1R2 R1 R2
i1
R2 R1 R2
i
i2
R1 R1 R2
i
2.2 电阻的串联和并联（续3）
例1 电路如图所示，求等效电阻Rab。
4Ω
a
1.5Ω
4Ω
9Ω 10Ω 8Ω
4Ω
4Ω
b
解
c
Rab
1.5
99 99
+ u_
i
Req
➢端口的伏安关系（VCR）
u u1 u2 un (R1 R2 Rn )i Reqi
➢等效电路
Req R1 R2 Rn
Req称为n个电阻串联的等效电阻
➢分压公式
uk
Rk i
Rk Req
u
k 1,2,, n
2.2 电阻的串联和并联（续1）
电阻的并联
+ i i1 i2
R1
R2 uS
+
uS2
_ _
B
电压源与其它元件的并联
A + u_S
B
+ uS _ R
A
B
uS uS1 uS2
R R1 R2
A + u_S
B
2.4.2 电流源的串联和并联
电流源的并联
A
A
B
iS1 iS2
iSn
➢端口VCR n iS iS1 iS2 iSn iSk k 1
➢等效电路
4
10Ω
d 仔细判别电阻间的联接方式
1.5Ω
10Ω
9Ω 10Ω
4Ω
4Ω
1.5Ω 9Ω 9Ω
4Ω
2.2 电阻的串联和并联（续4）
例2 试求图示电阻混联电路的等效电阻Ri 。
1Ω
2Ω
1Ω
2Ω
1Ω
1Ω
Ri 3Ω 2Ω
3Ω 6Ω 2Ω
3Ω
2Ω
2Ω 2Ω
3Ω 6Ω
2Ω
2Ω
2Ω
例3 图示为一无限电阻电路。其中所有电阻的阻值都为R。试求 电路的等效电阻Ri。
例1 利用电源的等效变换求电流i。
1A
解
4Ω 4Ω ++ 1_0V _4V
2Ω4Ω
i
+ 10Ω 10Ω _6V
i 0.125A
+ 4V - 4Ω
(2.5+1+3)A
i
10Ω
(4//4//2)Ω
10Ω
5Ω +
i
_2.5V 10Ω 10Ω
2.5 实际电源的两种模型及其等效变换（续3）
例2 利用电源的等效变换求电压Ux。
i1 =u12 /R12 – u31 /R31 i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23
（2）
2.3 电阻Y型联接和△联接等效变换（续2）
由式（1）解得
i1Yi1YRR1uR11Ru22Y122RYRR3R23R2Ruu333311YYRRR323RR11
R31
R1R2
R2 R3 R2
R3 R1
R 3 R1
R3 R1 R2
1
若R1 R2 R3 RY，则 R12 R23 R31 R 3RY
1
R1 R2
2
R3 3
R12
2
R31 R23
3
2.3 电阻Y型联接和△联接等效变换（续4）
类似可得到由Y的变换条件为
R1
R12
R12 R31 R23
_ _
B
➢端口VCR n uS uS1 uS2 uSn uSk k 1
➢等效电路
电压源的并联
只有激励电压相
+
等且极性一致的电压
_uS
源才允许并联。
+ uS _
A
B
注意参考方向
A + u_S
B
+ uS _
A
B
2.4.1 电压源的串联和并联（续1）
电压源与支路的串联
+uS1 _ A+
i2Y
u23YR1 u12YR3 R1R2 R2R3 R3R1
i3Y
u31YR2 u23Y R1 R1R2 R2R3 R3R1
i1 =u12 /R12 – u31 /R31 （3） i2 =u23 /R23 – u12 /R12
i3 =u31 /R31 – u23 /R23
根据等效条件: i1Y i1
R RR a
R
a
3R
R/3 R/3 a
R/3
R
R
3R 3R R
R R
b
b
b
(a)
(b)
解法一：从图(b)可得
(c)
32 3 R
Rab
31 32 3
R
31
解法二：从图(c)可得
Rab
1 3
R
1 2
(1
1)R 3
R
2.3 电阻Y型联接和△联接等效变换（续6）
例2 试求电流i。
i 7Ω +
1Ω
1_5V