第02章 静电场分析(图片版)42页
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电磁学02静电场中的导体与介质
A q -q
-q+q
UA
q'
4 0 R0
q ' 4 0R1
q q '
4 0 R2
0
可得 q ( q) 1(9略)
例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
R
解: 接地 即 U0
o
感应电荷分布在表面，
l
q
电量设为:Q’（分布不均匀！）
由导体等势，则内部任一点的电势为0
选择特殊点：球心o计算电势，有：
1) Dds
S
1 (
r
1) q0内
l i mq内
V0V
1 (
r
1) limq0内 V0V
1 (
r
1)0
00 0。 40
[例2] 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
表明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)
物理 内涵
的电荷及分布无关。
在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带
电 量 的电 体 的
二.腔内有带电体时
q
① 带电量： Q腔内 q （用高斯定理易证）
表面
23
② 腔内的电场： 不为零。
由空腔内状况决定，取决于：
*腔内电量q；
*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
0 1 2 求：导体板两表面的面电荷密度。
E２ • E１ 解: 设导体电荷密度为 1、 2 ，
E0 电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 20 20 20
（1）、（2）解得：
第02章 静电场分析(图片版)
则认为，在该处有一点电荷。 当带电体的尺寸<< 研究点到带电体的距离时，则可认 为带电体是一电量为q的点电荷。
第二节 库仑定律与电场强度
• 库仑定律
由实验得到的库仑定律是静电 场理论的基础，它给出了源点对 场点电荷的作用力。
q ' q (r r ) F (r ) 4 0 r r 3
第三节 真空中静电场的基本规律
• • • • • 静电场的基本方程 电位 真空 介质 无限空间 有限空间 能量
描述静电场的变量
(r ) 电荷密度——源变量 E (r ) 电场强度——场变量 D(r ) 电位移——场变量
(C / m 2 )
产生原因：电介质内 束缚电荷在外电场力 作用下发生位移，由 麦克斯韦通过实验证 实
E
l
束缚电荷
无极分子
q
点偶极子
电偶极矩 p ql
• 电介质的极化强度
p P = lim V 0 V
C/m
2
• 例：一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是 P0 ez ，求极 化电荷分布
• 电介质中的基本方程（高斯定理、介电常数） 真空中：
E =0
• 介电常数
实验证明：P e 0 E
由于E在顶面底面均无分量，即对两个面的通量 为零由高斯定理得： q 2 rhE er , 其中q h h
1
arLeabharlann bl b 又U E dr ln a 2 a 2U 即：l = 则E =er
b
ln b / a
U , D= E， 即可求得We r ln(b / a)
若闭合曲面内有多个点电荷，则
• 例题：真空中，假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为 0 的电荷，试求任意点的电场强度。
静电场
S E dS
向外法 线
en
4. 任意闭合曲面S 的电场强度通量
E
Φe
E cos dS
S
E dS
S E dS
en
dS S
向外法
线
§6-4 高斯定理
一、点电荷q 的电场中任意闭合曲面的电场强度通量
1. 点电荷在闭合曲面内
▪ 以q为中心、半径任意的球面S 的电场强度通量
由库仑定律得P 点场强
方向 如图
由于电荷分布的轴对称性 E 2πR dE 0
Ex
2πR dE x
dE cosα
2 πR
又
cosα x
r
r2 R2 x2
E x
1 q 2πR
2πR 4π 0 r 2 cos αdl
1 qx 2πR
dl
2πR 4π 0 ( R 2 x 2 )3 2
1
qx
E E x 4π 0 ( R2 x2 )3 2
第 六 章 静 电 场
§6-1 电荷 库仑定律 §6-2 电场 电场强度 §6-3 电场线 电场强度通量 §6-4 高斯定理 §6-5 静电场力的功 电势 §6-6 等势面 电场强度与电势的关系 §6-7 带电粒子在外电场中受到的力及其运动
§6-1 电荷 库仑定律
静电场 相对于观察者静止的电荷所产生的电场 称为静电场
1
4π 0
q1q2 r2
方向 沿 q1、q2 的连线，同性相斥，异性相吸
k 9 109 N m2 C2
比例系数
0 8.851012 C2 (N m2 )
真空中的电容率
注意：
▪ 库仑定律仅适用于两个点电荷之间的相互作用
▪ 实验证明，库仑相互作用力满足力的叠加原理
第02章静电场(1)优秀课件
静电场特性的进一步认识：
（1）高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围的全部正 负电荷的总和。 （2）静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。
（3）任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关。真空中 的静电场和重力场一样，它是一种保守场。
（4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度， 或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电 场强度等三种计算静电场的方法。
按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为
E
将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为
E(r) V
4π(r0)r(rrr3)dV
若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么
可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度 S 及线密度l 的关系分别
为
(r)4π10
S(r)dS
自由空间中静电场的电场强度的环量处处为零，因此其电场 线是不可能闭合的，否则沿一条闭合电场线的电场强度的线积 分会因电场强度E与线元dl的方向处处一致而使环量不为零。由 此可以证明，任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。
自由空间中的静电场是保守场。
例1 计算点电荷的电场强度。
点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的 结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的 电场强度一定与球坐标的方位角及无关。
(r) q 4π0r
求得电场强度 E 为
E 4 π q 0 1 r 4 π q 0 r 2e r 4 π q r 0 r 3
若直接根据电场强度公式（2-2-14），同样求得电场强度E为
EV 4π (r0 )re2 rdV4πq0r2er
电磁场与电磁波 第2章静电场
如果电场由点电荷q单独产生
如果是一个闭合路径，则W=0 电场强度的环路线积分恒为零，即
应用斯托克斯定理
因此，静电场的电场强度 可以用一个标量函数 的梯度来表示，即定义
单位正实验电荷在电场中移动电场力做功
两点间的电位差定义为两点间的电压U，即
单位：V
电位函数不唯一确定，取
故可选空间某点Q作为电位参考点，空间任一点P的电位为 通常选取无限远作为电位参考点，则任一P点的电位为
在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。
D 1 n D 2 n 1 E 1 c1 o 2 E s 2 c2 os
E 1 t E 2 t E 1 si1 n E 2 si2n
图2.3.3 分界面上E线的折射
t电位函数 表示分界面上的衔接条件
Ax Ay Az
对应静电场的基本方程 E 0 ，矢量 A 可以表示一个静电场。
能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?
2.3.2 分界面上的边界条件
1、 电位移矢量D的衔接条件 以分界面上点P作为观察点，作一
小扁圆柱高斯面（ L 0）。
图2.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律
根据 DdSq
V ' P d ' V S 'P e n d ' S 0
• 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 p 0。
• 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为
(r) 4 1 0 V '( r f r 'p )d' V S '( r f r 'p )d' S E (r ) 4 1 0 V '( f r p r )'3 r( r ')d' V S '( f r p r ) '3 r( r ')d' S
如果是一个闭合路径，则W=0 电场强度的环路线积分恒为零，即
应用斯托克斯定理
因此，静电场的电场强度 可以用一个标量函数 的梯度来表示，即定义
单位正实验电荷在电场中移动电场力做功
两点间的电位差定义为两点间的电压U，即
单位：V
电位函数不唯一确定，取
故可选空间某点Q作为电位参考点，空间任一点P的电位为 通常选取无限远作为电位参考点，则任一P点的电位为
在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。
D 1 n D 2 n 1 E 1 c1 o 2 E s 2 c2 os
E 1 t E 2 t E 1 si1 n E 2 si2n
图2.3.3 分界面上E线的折射
t电位函数 表示分界面上的衔接条件
Ax Ay Az
对应静电场的基本方程 E 0 ，矢量 A 可以表示一个静电场。
能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?
2.3.2 分界面上的边界条件
1、 电位移矢量D的衔接条件 以分界面上点P作为观察点，作一
小扁圆柱高斯面（ L 0）。
图2.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律
根据 DdSq
V ' P d ' V S 'P e n d ' S 0
• 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 p 0。
• 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为
(r) 4 1 0 V '( r f r 'p )d' V S '( r f r 'p )d' S E (r ) 4 1 0 V '( f r p r )'3 r( r ')d' V S '( f r p r ) '3 r( r ')d' S
第02章 静电场分析(图片版)
电磁场与电磁波
第二章 静电场分析
第一节 电荷与电荷分布
• 微观——电荷离散分布在空间中； • 宏观——电荷连续分布，但未必均匀分布。
描述带电体中电荷分布情况时，引入“电荷密度”
(r ) lim 电荷体密度：
q dq (C / m3 ) V 0 V dV
q ( r )dV
• 当介质2时理想导体时：
S
n
2
en E1 0
1
h0
• 例：同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b， 其间填充两种介质。设内外道题带点分别为q、-q，求介质中 q 的电场强度和电位移。
解： 电场强度和电位移的方向均为er，则在介质 交界面上全部分布在切向，则E1 =E2 =Eer
1 2 1 = 2 n n
• 例：P33 例2.5.2
第七节 电场能量
• 电场能量
能量体密度：we 1 E D 2
1 电场能量：We E Dd V 2
• 例：若一同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，之间填充 的电介质，当内外电压为U时，求单位长度的电场能量。
解：设导体单位长度带电量为l (一圈上电荷密度)
E
l
束缚电荷
无极分子
q
点偶极子
电偶极矩 p ql
• 电介质的极化强度
p P = lim V 0 V
C/m
2
• 例：一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是 P0 ez ，求极 化电荷分布
• 电介质中的基本方程（高斯定理、介电常数） 真空中：
E =0
• 介电常数
实验证明：P e 0 E
若闭合曲面内有多个点电荷，则
• 例题：真空中，假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为 0 的电荷，试求任意点的电场强度。
第二章 静电场分析
第一节 电荷与电荷分布
• 微观——电荷离散分布在空间中； • 宏观——电荷连续分布，但未必均匀分布。
描述带电体中电荷分布情况时，引入“电荷密度”
(r ) lim 电荷体密度：
q dq (C / m3 ) V 0 V dV
q ( r )dV
• 当介质2时理想导体时：
S
n
2
en E1 0
1
h0
• 例：同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b， 其间填充两种介质。设内外道题带点分别为q、-q，求介质中 q 的电场强度和电位移。
解： 电场强度和电位移的方向均为er，则在介质 交界面上全部分布在切向，则E1 =E2 =Eer
1 2 1 = 2 n n
• 例：P33 例2.5.2
第七节 电场能量
• 电场能量
能量体密度：we 1 E D 2
1 电场能量：We E Dd V 2
• 例：若一同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，之间填充 的电介质，当内外电压为U时，求单位长度的电场能量。
解：设导体单位长度带电量为l (一圈上电荷密度)
E
l
束缚电荷
无极分子
q
点偶极子
电偶极矩 p ql
• 电介质的极化强度
p P = lim V 0 V
C/m
2
• 例：一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是 P0 ez ，求极 化电荷分布
• 电介质中的基本方程（高斯定理、介电常数） 真空中：
E =0
• 介电常数
实验证明：P e 0 E
若闭合曲面内有多个点电荷，则
• 例题：真空中，假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为 0 的电荷，试求任意点的电场强度。
静电场知识结构图
静电场知识结构图一、静电场的的基本原理和规律： １．电荷守恒定律：(1)两种电荷： 用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电；用毛皮摩擦过的硬橡胶棒带负电 (2)电荷守恒定律：电荷不能创造也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体上，或从物体部分转到另一部分。
2.库仑定律： (1)内容：在真空或空气中两个点电荷间的相互作用力跟它们所带电量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式： 221rq q kF (K=9×109N.m 2/c 2) (1)理解说明：A ．条件： 真空或空气中；点电荷 B ．两个小球相互接触先中和电荷再等分电量.C ．库仑不是基本单位；满足牛三律.D ．K 叫静电引力恒量，是通过库仑扭秤测出来的２．场的叠加原理：(1)场强的叠加： 多电荷共同激发的电场某点的场强等于每个电荷各在该点激发电场场强的矢量和．(2)电势的叠加： 多电荷共同激发的电场某点的电势等于每个电荷各在该点激发电场电势的代数和．二、描述静电场的物理量： 1.场强：(1)定义：场中某点场强的大小定义为检验电荷q 在该点所受的电场力F 与电量q 的比值；电场强度的方向与正电荷的受力方向相同.E=F/q(2)理解说明： E 是描述电场强弱和方向的物理量，它的大小和方向只由场本身的性质所决定，与检验电荷的性质及是否存在无关； 电荷所受电场力的性质由场的性质与电荷的性质共同决定． F=Eq(３).电场强度的计算公式：(a)定义式： E=F/q (适用于任何电场) (b) 点电荷场强公式：E=2r Qk(Q 是场源电荷的电量；r 是场点到源点间的距离.) (c) 匀强电场的场强公式： E=U/d (d 是两点的连线在电场线方向的投影) 2.电势：(1)场力做功的特点： 重力、 分子力 、电场力做功与路径无关； 由功是能量转化的量度可知力做了多少正功，物体的势能就减少多少； 场力做了多少负功，物体的势能就增加多少。
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qV(r)dV q SS(r)dS q cl(r)dl
• 点电荷
若电荷体密度：
(r)limqdq
V 0V dV
则认为，在该处有一点电荷。
当带电体的尺寸<< 研究点到带电体的距离时，则可认 为带电体是一电量为q的点电荷。
第二节 库仑定律与电场强度
• 库仑定律
E1t E2t 0
n
2
D2
l
D1 1
l
h0
• 当交界面上无自由电荷时：
D1n E1t 1 D2n E2t
则：D1cos1 E1sin1 1D1sin1 D2cos2 E2sin2 2D2sin2
即1 =tan1 2 tan2
• 当介质2时理想导体时：
电磁场与电磁波
第二章 静电场分析
第一节 电荷与电荷分布
• 微观——电荷离散分布在空间中； • 宏观——电荷连续分布，但未必均匀分布。
描述带电体中电荷分布情况时，引入“电荷密度”
电荷体密度：(r) lV im 0 V qd dV q(C/m 3) 电荷面密度：S(r) lS im 0 S qd dS q(C/m 2) 电荷线密度：l(r) lil m 0 q l d dq l (C/m)
2 0 E a2
2r 0
• 例：已知半径为a的球内、外电场分布为
E
E 0
a r
2
er
,
ra
E0
r a
er
,
r
a
求电荷密度。
解：球坐标系中
Hale Waihona Puke • 圆柱坐标系中• 球坐标系中
第四节 介质中静电场的基本规律
• 电介质的极化
E
q
无极分子
• 证明：在极化介质中，束缚电荷体密度与自由电荷体密度的
关系为
P =
- -0
第五节 介质中的边界条件
n
2
D2
S
2
1
h0
D1 1
若 交 界 面 上 没 有 自 由 电 荷 ， 则 D 1 n D 2 n
nl
2
n E1 E 2 0
1
即：
由实验得到： D(r)4qr2er (C/m2)
E(r)4q0rr34q0r2er
产生原因：电介质内 束缚电荷在外电场力 作用下发生位移，由 麦克斯韦通过实验证 实
D0E
• 静电场的通量和散度 证明：引入“立体角”
整个球面对球心所张立体角为 4
dS O
扩展：任一闭合曲面对一点O所张立体角有2种情况：
2
en E1 0
1
n S
h0
• 例：同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b，
其间填充两种介质。设内外道题带点分别为q、-q，求介质中
的电场强度和电位移。
q
解 ： 电 场 强 度 和 电 位 移 的 方 向 均 为 e r ， 则 在 介 质
交 界 面 上 全 部 分 布 在 切 向 ， 则 E 1 = E 2 = E e r
1， O点在闭合曲面内部—— 4
2， O点在闭合曲面外部—— 0
若闭合曲面内有多个点电荷，则
• 例题：真空中，假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为 0 的电荷，试求任意点的电场强度。
• 静电场的环量与旋度 先证明电场强度沿着开曲线的线积分，即
O
B
r
P
dr
M dl N
A
MNdl PNdr
1
q
a
2
b
则 ， 取 a r b 的 球 形 高 斯 面 ， 利 用 基 本 方 程 得 ：
2r21 E 1 2r22 E 2 2r2 12E= q
D1= 1E D 2 = 2E
• 电位函数
E=- = xex yey zez
则 ， E 在 任 意 方 向 上 的 分 量 可 表 示 为 E l l
由P到P0的电位差
• 例：真空中均匀带电球体，半径为a，求空间任意点的电位。
• 泊松方程、拉普拉斯方程
2 = 0
2 = 0
作用：只需知道源，即可求得电场强度。
• 电位函数的边界条件
已 知 ： D 0EP
则 ： D 0 E e 0 E = 0 1 + e E = 0 r E
介 电 常 数 ： 0r 代 表 了 电 介 质 对 电 荷 的 束 缚 能 力 。 越 大 ， 说 明
电 介 质 对 电 荷 的 束 缚 能 力 越 强 ， 该 电 介 质 就 越 不 容 易 被 极 化 ， 即 该 电 介 质 的 绝 缘 能 力 越 强 。 （ 击 穿 ）
E(r)F q4 q'0(rr rr''3 )4 q'0R R 3
q’的电量根据其电荷分布特性积分后可求得
第三节 真空中静电场的基本规律
• 静电场的基本方程
• 电位
• 真空
介质
• 无限空间
有限空间
• 能量
描述静电场的变量
(r) 电荷密度——源变量
E(r) 电场强度——场变量 D(r) 电位移——场变量
q
4 0
B dr A r2
q
40
1 rA
1 rB
O
rB
B
rA r
P dr
Mdl N
A
F qE 保守场
积分形式 微分形式？ 电位
• 例：一半径为a的均匀带电圆柱（无限长）的电荷密度是 ， 求圆柱体内外的电场强度。
qr2l qa2l
r E
束缚电荷 l
q 点偶极子
电偶极矩 p ql
• 电介质的极化强度
P=limp C/m2 V 0V
• 例：一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是 P 0 e z ，求极
化电荷分布
• 电介质中的基本方程（高斯定理、介电常数） 真空中：
E=0
• 介电常数
实 验 证 明 ： P e 0 E e:极 化 率 （ 无 量 纲 ）
由实验得到的库仑定律是静电 场理论的基础，它给出了源点对 场点电荷的作用力。
F(r)q'q
40
(rr) rr3
(N)
真 空 介 电 常 数 0 3 6 1 1 0 9 8 .8 5 4 1 0 1 2 F /m
• 电场强度 静电场中，点电荷q’ 在某点处的电场强度