九年级数学上册-圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径导学案新版新人教版
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》是圆的一部分性质的教学内容。
本节课主要让学生了解并掌握垂直于弦的直径的性质，能灵活运用这一性质解决相关问题。
教材通过实例引导学生探究，培养学生的观察、思考和动手能力，为后续圆的弦和圆弧的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的理解。
但垂直于弦的直径这一性质较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握性质，提高学生的空间想象和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.了解垂直于弦的直径的性质，能证明并运用这一性质解决相关问题。
2.培养学生的观察、思考、动手和合作能力。
3.提高学生对圆的一部分性质的兴趣，为后续圆的学习打下基础。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质及其证明。
2.灵活运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究，培养学生的解决问题能力。
3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和动画，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的几何图形，便于学生观察和操作。
3.教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入课题，展示垂直于弦的直径的性质，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、思考，并提出问题。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生动手操作，证明垂直于弦的直径的性质。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径的性质解决，提高学生的应用能力。
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 教案
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．二、教学重点及难点重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规。
四、相关资源《赵州桥》图片．五、教学过程【合作探究，形成知识】探究圆的对称性1．学生动手操作问：大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．2．探索得出圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．师生活动：学生总结操作结论，教师强调圆的对称轴是直径所在的直线．3．问：圆有几条对称轴？师生活动：学生回答，教师强调圆有无数条对称轴．4．你能证明这个结论吗？师生活动：四人一小组，小组合作交流，尝试证明．让学生注意要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上．教师板书分析及证明过程．设计意图：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法．探究垂径定理按下面的步骤做一做，回答问题：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂足为点M；第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B，如图1．图1 图2问题1在上述操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，得出结论，看哪个小组做得又快、又好，记入今天的英雄榜．最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解决本节课的又一难点——垂径定理的证明，此时再板书垂径定理及其推理的过程．证明：如上图2所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB，即OA=OB．因为CD⊥AB，所以△OAM与△OBM都是直角三角形．又因为OM为公共边，所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM．又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称，所以A点和B点关于直线CD对称．所以当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=BM，AC=BC．同 ．理可得AD BD垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．问题2 你能用符号语言表达这个结论吗？师生活动：学生尝试将文字转变为符号语言，用数学符号表达定理的逻辑关系．教师更正并板书．符号语言表达：AM MB CD O AC BC CD AB M AD BD=⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩，是圆的直径，，于点⇒ 设计意图：增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学知识最深刻的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力．【例题应用 提高能力】例1 如图，AB 所在圆的圆心是点O ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ．若CD =4 m ，弦AB = 16 m ，求此圆的半径．师生活动：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形．在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．解：设圆的半径为R ，由题意可得OD =R －4，AD =8 m ．在Rt △ADO 中，222AO OD AD =+，即222(4)8R R =-+．解得R =10（m ）．答：此圆的半径是10 m ．设计意图：增加一道引例，是基础应用题，为课本例题的实际应用作铺垫，有过渡作用，不但让学生掌握了知识，又增加了学习数学的兴趣，更体会到成功的喜悦．例2如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
2019年九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径导学案(新版)新人教版 .doc
5.由垂径定 理又得到了什么推论？试着逻辑证明一下。并用符 号语言表示。
试剖析垂径定理的条件和结论：条件：（）结论：（）
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：
1过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足（）条件，而推出（）。
4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。
方法指导
温馨提示：
（用时分钟）
三、
问
题
探
究
自学教材P80—P81探究：
1.你是怎样画圆的？你能讲出形成圆的方法有多少种吗？
2.通过对折圆，圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴 ？圆还具有哪些对称性？
3.教材80页思考？从图中找到哪些相等的线段和弧？为什么？
【收获与反思】
从中选出两种用符号语言表示：
方法 指导
圆具有轴对称、中心对称、旋 转不变性。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。符号语言： ∵AB是⊙O的直径又∵CDAB∴DE CE温馨提示：
（用时分钟）
四、
反
馈
提升Βιβλιοθήκη 1.你知道赵州桥吗？它是1300 多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民 勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
5．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
6.如 图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线,大圆于点C，若AB=3，BC=1，则圆环的面积最接近的整数是（）
24.1.2垂直于弦的直径 教案 人教版数学九年级上册
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教学目标：1.知识与技能：（1）通过观察以及动手操作,理解圆的轴对称性。
（2）掌握垂径定理的内容及几何语言。
（3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题。
2.过程与方法：（1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力。
（2）经历探究垂径定理的过程,体会和理解研究几何图形的多种方法。
3.情感态度与价值观：（1）通过探究垂径定理的活动, 并引入实际问题，使学生知道数学在实际生活中的用处，激发学生探究、发现数学问题的兴趣。
（2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验。
教学重难点：【重点】垂径定理及其应用【难点】探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题。
教学准备：多媒体课件、自制圆形纸片、导学案、作图工具一、情境引入我校总务处的李师傅遇到一件麻烦事，因我校一处圆形下水道破裂，他准备更换新管道，但只知道污水面宽60cm，水面至管道顶部10cm ，你能帮李师傅计算一下他应准备内径多大的管道吗？二、实践探究1.活动1: 我们在学轴对称的时候已经学过圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，验证圆的这一特性。
课本中有证明圆是轴对称图形的方法，课前已经让大家预习过了，现在大家再来看一下，进行巩固。
2.活动2: 在圆形纸片上操作：①找出圆心，记作O②作出一条直径，与⊙O交于C、D③在⊙O上的任意找一点A，过点A作一条弦AB使AB⊥CD, 交⊙O于点B，垂足为E。
沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？观察发现：点A与重合，AE与重合,弧AC与重合，弧AD与重合。
相等的线段: ，相等的弧: .思考：如果AB是⊙O的一条直径呢？以上结论还会成立吗？【证明定理】动手操作之后，我们现在来进行理论证明。
学生用自己的方法证明，之后同学之间分享方法。
九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径教案1 新人教版
24.1.2垂直于弦的直径教案参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社）一、教材分析1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。
2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。
二、教学目标1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。
三、教学关键圆的轴对称性的理解四、教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。
五、教学难点1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
六、教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。
七、教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。
学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
八、教学过程：九、板书设计。
2020年九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径导学案(含解析) 新人教版.doc
2020年九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径导学案(含解析) 新人教版一、新课导入1、圆是轴对称图形，经过直径的直线是圆的对称轴，一个圆有无数条对称轴；2、把一个圆沿一条直径对折，直径两侧的半圆有什么关系？二、学习目标1、掌握垂径定理和垂径定理的推论；2、能利用垂径定理及垂径定理的推论解决实际问题。
三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
研读一、认真阅读课本要求：掌握垂径定理，会用几何语言表示垂径定理。
一边阅读一边完成检测一。
检测练习一、1、圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条过圆心的直线，一个圆有无数条对称轴。
2、圆心到弧的垂线段的长度叫做弦心距。
3、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，则有AM=BM ，=，=，4、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
5、垂径定理的两个条件：①直径；②垂直于弦。
结论：③平分弦；④平分弦所对的两条弧。
完成尝试应用6、下列四个图形中第几个可以用垂径定理：【解析】第一个图形中的AB虽然垂直于弦CD，但是AB不是⊙O的直径，所以不能用垂径定理；第二个图形中的AB虽然是直径，但是AB不垂直于弦CD，所以不能用垂径定理；第三个图形中的OE虽然垂直于弦CD，但是OE不是⊙O的直径，所以不能用垂径定理；第四个图形中的AB是⊙O的直径，并且AB垂直于弦CD，所以能用垂径定理；研读二、认真阅读课本，利用圆的轴对称性探索垂径定理的推论；7、如下图所示，CD 是⊙O 的直径，AM=BM ，求证：CD ⊥AB ，弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD.证明：连接OA 、OB ，在△OAM 和△OBM 中，OA OB OM OM AM BM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OAM ≌△OBM ，∴∠OMA=∠OMB=90°，∴CD ⊥AB ，∴CD 是对称轴，∴把⊙O 沿CD 折叠时，点A 与点B 重合，∴弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD.结论：根据圆是轴对称图形可得：1、平分弦(不是直径)的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；2、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.检测练习二、8、如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD ⊥AB ，垂足为M ，求证：AM=BM ，弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD.证明：连接OA 、OB ，∵CD ⊥AB ，∴∠OMA=∠OMB=90°，在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，OA OB OM OM=⎧⎨=⎩， ∴△OAM ≌△OBM ，∴CD是对称轴，∴把⊙O沿CD折叠时，点A与点B重合，∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.小窍门：通过连接弦的两个端点与圆心构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明垂径定理.研读三、利用垂径定理探索夹在两条平行弦之间的两条弧的关系。
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径教案1新人教版(2021年
2018-2019学年九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案1 （新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案1 （新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案1 （新版）新人教版的全部内容。
24。
1。
2 垂直于弦的直径※教学目标※【知识与技能】1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质.2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
【过程与方法】1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神.【情感态度】使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【教学重点】垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．【教学难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．※教学过程※一、情境导入(课件出示图片)你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37。
4m，拱高(弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？二、探索新知1.圆的轴对称性问题1 将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.）2.垂径定理及其推论如图,AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ,垂足为M ．(1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么? （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM =BM ，AC BC =，AD BD =,即直径CD 平分弦AB ,并且平分AB 及ADB ． 归纳总结垂径定理＊：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教案(新版)新人教版
BE 构成的两个三角形全等．因此，只
要连结 OA、•OB 或 AC、BC 即可．
证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB
在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中
OA=OA
OE=OE
∴Rt△OAE≌Rt△OBE
∴AE=BE
∴点 A 和点 B 关于 CD 对称
∵⊙O 关于直径 CD 对称
∴当圆沿着直线 CD 对折时，点 A
垂直于弦的直径
教学目标 知 识 理解垂径定理并灵活运用垂径定理解决一些实际问题．
与技
能
过 程 利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线
与 方 都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定
法 理，并辅以逻辑证明加予理解．
情 感 从圆基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动
态 度 几何的观点，增强审美意识．
与价
值观
重点
垂径定理及其运用．
难点
探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型 新授课
教学准备 小黑板
教学流程 教师活动
学生活动
二次备课
一、自主学 1、知识回顾
回忆
习
圆的定义
2、出示学习目标
明确目标
理解垂径定理并灵活运用垂径定理解
决一些实际问题．
出示自学提纲
阅读提纲，
⑴1．圆是轴对称图形吗？如果是，它 （1）~（7）
的对称轴是什么？•你能找到多少条
对称轴？ ⑵你是用什么方法解决上述问题的？ ⑶如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 E．
你能发现图中有哪些等量关系？说一
九年级数学上册第24章圆24-1圆的有关性质24-1-2垂直于弦的直径作业课件新版新人教版
EB＝1，则⊙O的半径为 5
.
7.如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直于弦AB于点C，∠AOB ＝120°，则弦AB的长为 4 3 .
8.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的 截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm ，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm ，则该脸盆的半 径为 25cm .
洞会刚刚被灌满.
18.如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下 水面宽为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘 宽3 m，船舱顶部为正方形并高出水面2 m的货 船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥 吗？请说明理由.
解：能通过.理由如下：依题意得AB＝7.2，CD ＝2.4.
设⊙O的半径为RO，N在2－RHNt△2＝A3O.9D2－中1.5，2＝OD＝R－ 2.4，AD＝3.6，R2＝(R－2.4)2＋3.62，∴R＝3.9， OD＝1.5.在Rt△OHN中，
解：(1)∵直径AB＝26
1
m，12∴OD＝
AB＝13
m.∵O2E⊥CD，∴DE＝ CD.∵OE∶CD＝
5∶24，∴OE∶ED＝5∶12.
(设2)由O(1E)得＝O5Ex＝，1E×5D＝＝5(m1)2，x延，长在OREt△交⊙OOD于E点中F，，(∴5ExF)2＋ ＝(1O2Fx－)2O＝E＝13123，－5＝8(m)，∴84＝2(小时)，即经过 2 小时桥
13.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，
∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为
23
半径的圆交AB于点D，则BD的长为
.
14.如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆
弧恰好经过圆心O2 ，3 则折痕AB的长为
24.1.2 垂直于弦的直径 教学案
拓展思考： （1）如图，AB、CD 是⊙O 的两条平行弦，AC 与 BD 相等吗？ 为什么？
（2）已知，如图在⊙O 中，弦 AB⊥CD，垂足为 E，
AE＝5，BE＝13．求圆心 O 到弦 CD 的距离
例 2：如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 12cm，圆心 O 到 AB 的距离为 8cm， 求⊙O 的半径。
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东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案 练习： （1）过⊙O 内一点 P，最长的弦为 10cm，最短的弦长为 8cm，则 OP 的长为 。
（2）圆的半径为 13cm，两弦 AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求两弦 AB、 CD 的距离？
ห้องสมุดไป่ตู้
（3）在半径为 2cm 的⊙O 内有长为 2 3cm 的弦 AB，则∠AOB 为（ A 60° B 90° C 120° D 150°
）
（4）若圆的半径为 3，圆中一条弦长为 2 5 ，则此弦中点到该弦所对 劣弧中点的距离为多少？
例 3：一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度 AB 为 16 米，拱高 CD 为 4 米， 求： （1） 桥拱半径 （2） 若大雨过后，桥下河面宽度 EF 为 12 米，求水面涨高了多少？
C E M A D O F B
习
过
程
学生感悟 (教师修订)
2、弦、弧、弦心距、弓形、等圆和等弧的意义。 二、把学习目标、重难点读两遍。 三、师生互动，探究新知 （一）操作、思考 1、在圆形纸片上任意画一条直径. 2、沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： ___________________________________________________________。 （二）思考、探索 如图，CD 是⊙O 的弦，画直径 AB⊥CD，垂足为 P；将圆形纸片沿 AB 对 折.
(新人教版) 数学 九年级上册 24.1 圆的有关性质 (导学案)
24．1圆的有关性质24. 1. 1圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm 或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图),第4题图) 4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图),第6题图) 6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10 cm，求OD的长．解：5 cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.2垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论． 3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论． 难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题． 1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __． 2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __． 点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个． 3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __． 点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长． 解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD. 证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ， ∴AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是cm . 点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm .3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E.则AE ＝BE ，CE ＝DE.∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE ⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB ∥CD ，则OF ⊥CD. (1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm )． 即AB 与CD 之间距离为22 cm .(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE －OF ＝8 (cm )． 即AB 与CD 之间距离为8 cm .由(1)(2)知AB 与CD 之间的距离为22 cm 或8 cm .点拨精讲：分类讨论，①AB ，CD 在点O 两侧，②AB ，CD 在点O 同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.3 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理． 难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P 83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB ＝∠COD__； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB ＝∠COD ； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO_≌_△ABO__； (2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC. 证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC. 又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.,第2题图),第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD. (2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵. 证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵， ∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD. (2)∵AD ＝BC ， ∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数． 解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件． (2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN ＝∠CNM.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点， ∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMA ＝∠ONC ，∠OMN ＝∠ONM ，∴∠OMA －∠OMN ＝∠ONC －∠ONM. 即∠AMN ＝∠CNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数． 解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由：过点O 作OG ⊥CD 于点G ， 则CG ＝DG.∵CE ＝DF ， ∴CG －CE ＝DG －DF. ∴EG ＝FG.∵OG ⊥CD ， ∴OG 为线段EF 的垂直平分线． ∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形．(2)证明：连接AC ，BD. 由(1)知OE ＝OF ， 又∵OA ＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF ，∠DFB ＝∠OFE ， ∴∠CEA ＝∠DFB.在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD ，CE ＝DF ， ∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等． 3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AO ，BO的中点．CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接AC ，OC ，OD ，BD. ∵M ，N 为AO ，BO 中点， ∴OM ＝ON ，AM ＝BN. ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°. 在Rt △CMO 与Rt △DNO 中， OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴CM ＝DN.在Rt △AMC 和Rt △BND 中， AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ，CM ＝DN ， ∴△AMC ≌△BND. ∴AC ＝BD.∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：连接AC ，OC ，OD ，BD ，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.4 圆周角1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 85～87，完成下列问题．归纳：1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__． 5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数．解：65°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数．解：65°.,第3题图),第4题图)4．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC 的中点，那么∠DAC 的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO ＝25°，则∠C ＝__65°__．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB ＝ __64°__．3．如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.∴BC ＝AB 2－AC 2＝8 (cm )．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD.由AB 为直径，知AD ⊥BD ， ∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD 2＋BD 2＝2AD 2＝2BD 2＝AB 2，∴AD ＝5 2 cm ，BD ＝5 2 cm .点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝__10_cm __．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B ＝60°，则∠CAO ＝__30°__． 3．OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角， ∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC ＝2∠BAC ，∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠ACB ＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙O 中，∠CBD ＝30°，∠BDC ＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)第11页共11页。
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径教案2(新版)新人教版
24．1.2 垂直于弦的直径01 教学目标1．理解圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质．3．能运用垂径定理计算和证明实际问题． 02 预习反馈阅读教材P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AB⊥CD，∴AE ＝BE ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵．3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AE ＝BE(AB 不是直径)，∴CD⊥AB；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵． 03 新课讲授知识点1 垂径定理例1 (教材补充例题)已知⊙O 的半径为5 cm.(1)若圆心O 到弦AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为8__cm ；(2)若弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为3__cm ．【点拨】 (1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．例2 (例1的变式题)已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB .求证：AC＝BD.【解答】证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.【点拨】过圆心作垂径是圆中常用辅助线．【跟踪训练1】若⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为3__cm．【跟踪训练2】已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足．若AE＝9，BE＝1，求CD的长．解：连接OC.∵AE＝9，BE＝1，∴半径OC＝5，OE＝4.∵弦CD⊥AB，∴在Rt△OCE中，CE＝OC2－OE2＝3.又∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CD＝2CE＝6.【跟踪训练3】⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为3，最大值为5．【点拨】当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)；当M在A(或B)处时，OM最大．知识点2 垂径定理的实际应用例3(教材P82例2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【思路点拨】 解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．【解答】 如图，用AB ︵表示主桥拱，设AB ︵所在圆的圆心为O ，半径为R .经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB ︵相交于点C ，连接OA .根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB ︵的中点，CD 就是拱高．由题设可知AB ＝37 cm ，CD ＝7.23 cm ，所以AD ＝12AB ＝12×37＝18.5(cm)， OD ＝OC －CD ＝R －7.23.在Rt△OAD 中，由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝18.52＋(R －7.23)2.解得R ≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱直径约为27.3 m.【点拨】 圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【跟踪训练4】 (教材P82例2的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为8米．04 巩固训练1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是53__cm ．【点拨】 这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为134__cm ． 3．如图，AB 为⊙O 的直径，E 是BC ︵中点，OE 交BC 于点D ，BD ＝3，AB ＝10，则AC ＝8．4．(24.1.2习题变式)⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦的长为8，最长弦的长为10．【点拨】过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．5．(24.1.2习题变式)已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.【点拨】过圆心作垂径．证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.6．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD 之间的距离．【点拨】分情况讨论：①AB，CD在点O两侧；②AB，CD在点O同侧．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.又∵AB∥CD，∴OF⊥CD.①当AB，CD在点O两侧时，如图1.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 cm，即AB与CD之间的距离为22 cm；图1图2②当AB，CD在点O同侧时，如图2.连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 cm，即AB与CD之间的距离为8 cm.综上所述，AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.05 课堂小结1．垂径定理及其推论．2．常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．。
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径学案设计(新版)新人教版
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径学习目标1.掌握垂径定理及相关结论.2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题.学习过程设计一、设计问题,创设情境问题:你知道赵州桥吗?它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?二、信息交流,揭示规律活动1:用你手中的一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?活动2:如图1,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.图1(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗?为什么?相等的线段:相等的弧:由此可得垂径定理:.请结合图形,写出它的推理形式.∵∴若将问题中的直径CD⊥AB改为CD平分AB,你又能得到结论:(图中弦AB是否可为直径?)请结合图形,写出它的推理形式.∵∴三、运用规律,解决问题活动3:1.在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.2.填空(1)如图(1),半径为4 cm的☉O中,弦AB=4 cm,那么圆心O到弦AB的距离是.(2)如图(2),☉O的直径为10 cm,圆心O到弦AB的距离为 3 cm,则弦AB的长是.(3)如图(3),半径为2 cm的圆中,过半径中点且垂直于这条半径的弦长是.3.解决求赵州桥拱半径的问题.四、变式训练,深化提高活动4:1.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?2.通过本节课的学习,你能编一道用垂径定理来解决的数学问题吗?五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境略二、信息交流,揭示规律活动1:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.图2活动2:(1)是轴对称图形,对称轴是CD. (2)AM=BM ; = , = .如图(2)所示,连接OA ,OB.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵CD 是直径,CD ⊥AB ,∴AM=BM , = , = .平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵CD 是直径,AM=BM ,∴CD ⊥AB , = , = . 三、运用规律,解决问题活动3:1.解:上面三个图可以找到相等的线段或相等的圆弧. 2.(1)2 cm (2)8 cm (3)2 cm3.解:在图中AB=37,CD=7.23, OD=OC-CD=R-7.23,AD= 2AB=2×37=18.5,在Rt△OAD 中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2,解得:R≈27.3(m).因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.四、变式训练,深化提高活动4:1.解:如图所示,连接OA,过O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于点F,AB=30 cm.令☉O的半径为R,则AE=2则OA=R,OE=OF-EF=R-10.在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2.解得R=50 cm.即修理人员应准备内径为100 cm的管道.2.略五、反思小结,观点提炼略。
九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径导学案 (新版)新人教版(1)
24.1.2 垂直于弦的直径预习案一、预习目标及范围：1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 预习范围：P81-83 二、预习要点1.书中证明利用了圆的什么性质？2.若只证AE=BE ，还有什么方法？3.垂径定理：4.分析：给出垂径定理的推理格式5.推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且 \ 三、预习检测1．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．2．如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，求证四边形ADOE 是正方形．D·O ABCE探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作问题 1 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？可以发现：问题2 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?明确：理由如下：归纳:垂径定理想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？活动2：探究归纳垂径定理的几个基本图形：垂径定理的推论：活动内容2：典例精析例1 如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.解析：例2 如图， ⊙ O 的弦AB ＝8cm ，直径CE ⊥AB 于D ，DC ＝2cm ，求半径OC 的长.·OA B E解：例3：你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?解：如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O ，半径为R ，经过圆心O 作弦AB 的垂线OC 垂足为D ，与弧AB 交于点C ，则D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，CD 就是拱高.AB=37m ，CD=7.23m.·OABECD练一练：如图a 、b,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm ，则弓形的高为＿＿＿____＿.归纳：在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d （圆心到弦的距离），弓形高h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.二、随堂检测1.已知⊙O 中，弦AB=8cm ，圆心到AB 的距离为3cm ，则此圆的半径为 .2.⊙O 的直径AB =20cm, ∠BAC=30°则弦AC= ___ .3.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN∥EF ,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF 之间的距离为 ____4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧CD 的圆心),其中CD=600m,E 为弧CD 上的一点,且OE ⊥CD ，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.5.如图，⊙O 的直径为10，弦AB=8,P 为AB 上的一个动点，那么OP 长的取值范围 .参考答案预习检测：●OBO P1.解：OE AB ⊥ 118422AE AB ∴==⨯= 在Rt △ AOE 中 222AO OE AE =+AO =答：⊙O 的半径为5cm. 2.证明;OE AC OD AB AB AC ⊥⊥⊥90 90 90OEA EAD ODA ∴∠=∠=∠=1122AE AC AD AB ==， ∴四边形ADOE 为矩形， 又 ∵AC=AB ∴ AE=AD∴ 四边形ADOE 为正方形. 随堂检测 1. 5cm2. 3. 14cm 或2cm4. 解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=根据勾股定理，得()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m 5. 3cm≤OP ≤5cm。
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24.1.2垂直于弦的直径
——垂径定理及其推论
一、新课导入
1.导入课题:圆是轴对称图形吗？这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性
质.(板书课题)
2.学习目标:
(1)能通过折纸探究圆的轴对称性,能证明圆是轴对称图形.
(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.
(3)能利用垂径定理解决相应问题.
3.学习重、难点:
重点:圆的轴对称性、垂径定理及其推论.
难点:利用垂径定理进行计算或证明.
二、分层学习
1.自学指导:
(1)自学内容:教材第81页“探究”——圆的轴对称性.
(2)自学时间:2分钟.
(3)自学方法:完成探究提纲.
(4)探究参考提纲:
①操作:用纸剪一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径所在直线对折,重复几次.
a. 通过上面的折纸,圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？
是轴对称图形,有无数条对称轴.
b. “圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对,应该怎样说？
不对,应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
②猜想:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
③证明:怎样证明圆是轴对称图形呢？
a. 要证圆是轴对称图形,只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上.
b. 怎样证明两点关于已知直线对称？
两点的连线被已知直线垂直平分.
c. 如图,设CD是⊙O的任意一条直径,A为⊙O上异于点C,D的任意一点,过A作AA′⊥CD,垂足为M.交⊙O于点A′,下面只需证明A′是点A关于直线CD的对称点.
如图,连接OA,OA′.
在△OAA′中,∵OA=OA′,
∴△OAA′是等腰三角形.
又AA′⊥CD,
∴AM=MA′.
即CD是AA′的垂直平分线.
∴点A′、A关于直径所在的直线对称
即圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
2.自学:学生可结合探究提纲,相互研讨学习.
3.助学:
(1)师助生:
①明了学情:关注证明过程的逻辑性与规范性.
②差异指导:指导学生探究证明思路.
(2)生助生:小组内相互交流、研讨.
4.强化:
(1)圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
(2)要证某图形是轴对称图形,只需证明该图形上任意一点关于对称轴的对称点也在这个图形上.
1.自学指导:
(1)自学内容:教材第82页例2之前的部分.
(2)自学时间:8分钟.
(3)自学方法:完成探究提纲.
(4)探究参考提纲:
①垂径定理:
b.归纳:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
②垂径定理的推论:
b. 反例:当弦AA′为直径时,结论还成立吗？为什么？
不成立,因为任意两条直径都互相平分,但不一定垂直.
c. 限定:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.自学:学生可结合自学指导相互研讨学习.
3.助学:
(1)师助生:
①明了学情:了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困惑和错误.
②差异指导:依据学情进行个别指导或分类指导.
(2)生助生:小组内相互交流研讨、订正结论.
4.强化:
(1)从图形、文字和式子三个方面对垂径定理及其推论进行解读.
(2)垂径定理的条件:过圆心,垂直于弦；结论:平分弦,平分弦所对的两条弧.
1.自学指导:
(1)自学内容:教材第83页“练习”第1题.
(2)自学时间:4分钟.
(3)自学方法:完成探究提纲.
(4)探究提纲:
①线段OE满足垂径定理的题设条件:条件1:AB是弦；条件2:OE⊥AB.
②依据垂径定理得, AE=12AB=BE.
③要求⊙O的半径,只需连接OA,在Rt△AOE中,由勾股定理,
就可求得⊙O的半径为5.
④给出你的解答过程:
2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.
3.助学:
(1)师助生:
①明了学情:观察学生是否会构造直角三角形,书写过程是否规范.
②差异指导:从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面给予指导.
(2)生助生:生生互动交流、研讨、订正.
4.强化:
(1)常规辅助线:过圆心作弦的垂线段.
(2)设圆的半径为r,弦长为a,圆心到弦的距离为d,则有因此,在这三个量中已知其中两个量就可以求出第三个量.
(3)练习:如图,已知⊙O的半径为1,弦AB的长为,求圆心O到弦AB的距离.
解:如图,作OE⊥AB,垂足为E,则OE垂直平分AB.
1.自学指导:
(1)自学范围:教材第82页例2.
(2)自学时间:6分钟.
(3)自学方法:阅读、思考、总结、提高.
(4)自学参考提纲:
2.自学:学生依据自学指导自主学习.
3.助学:
(1)师助生:
①明了学情:从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面了解学生的学习情况.
②差异指导:根据学情合理指导.
(2)生助生:小组内相互交流、研讨.
3.强化:
(1)强调常规辅助线和解题规范.
(2)练习:如图是一条水平铺设的直径为2m的通水管道横截面,其水面宽为1.6m,则这条管道中的水最深为0.4m.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标):在这节课的学习中你有哪些收
获？还有何困惑？
2.教师对学生的评价:
(1)表现性评价:点评学生学习的态度、积极性、小组交流协作情况和存在的问题等.
(2)纸笔评价:课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思):
(1)这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始,引入课题从实验入手,得到圆的轴对称性,进而推出垂径定理及推论.教学设计中,从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般,层层递进,有利于提高学生的数学思维能力,同时,注意加强对学生的启发和引导,培养学生大胆猜想,小心求证的科学研究素质.
(2)本课时的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合,将圆的问题转化为直角三角形,常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.
(时间:12分钟满分:100分)
一、基础巩固(80分)
1.(10分) 下列说法中正确的是(B)
A. 在同一个圆中最长的弦只有一条
B. 垂直于弦的直径必平分弦
C. 平分弦的直径必垂直于弦
D. 圆是轴对称图形,每条直径都是它的对称轴
2.(10分)如图,⊙O的弦AB垂直于半径OC,垂足为D,则下列结论中
错误的是(C)
A. ∠AOD=∠BOD
B. AD=BD
C. OD=DC
3.(10分)半径为5的⊙O内有一点P,且OP=4,则过点P的最长弦的长是10,最短弦的长是6.
4.(10分)如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E.求证:四边形ADOE是正方形.
证明:∵AB⊥AC,OD⊥AB,OE⊥AC.
∴四边形ADOE是矩形.
又∵OD垂直平分AB,OE垂直平分AC,AB＝AC,
∴AE＝AC＝AB＝AD,
∴四边形ADOE是正方形.
5.(10分)如图,在半径为50mm的⊙O中,弦AB的长为50mm.求:
(1)∠AOB的度数；
(2)点O到AB的距离.
解:(1)∵OA=OB=AB=50mm,
∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°.
(2)作OM⊥AB,则∠AOM=∠AOB=30°.
即点O到AB的距离为25mm.
6.(10分)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果M是⊙O中弦CD的中点,EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径.
解:连接OC.
∵OM平分CD,OM⊥CD且CM=MD=CD=2m.
设半径为r,在Rt△OCM中,OC=r,OM=EM-OE=6-r,
由勾股定理得OC2=cm2+Om2,即r2=22+(6-r)2.解得r=,即⊙O的半径为m.
8.(10分)如图,两个圆都以点O为圆心.求证:AC=BD.
证明:过O作OE⊥AB,垂足为E,连接OA,OC,OD,OB,
则AE=BE,CE=DE,
∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD.
二、综合应用(10分)
9.(10分) ⊙O的半径为13cm,AB、CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,求AB 和CD之间的距离.
解:分两种情况讨论.
第一种情况:当AB、CD在圆心O的同侧时.
如图(1),过点O作OM⊥CD,垂足为M,交AB于点E.
∵AB∥CD. ∴OE⊥AB.
第二种情况:当AB、CD在圆心O的异侧时,
如图(2),同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm,
∴EM=OM+OE=17cm.
即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.
三、拓展延伸(10分)
10.(10分) 如图,AB和CD分别是⊙O上的两条弦,圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON,如果AB＞CD,OM和ON的大小有什么关系？为什么？
解:OM＜ON.
理由如下:连接OA、OC.
则OA＝OC. ∵ON⊥CD, OM⊥AB,
∴CN＝CD,AM＝AB.
又∵AB＞CD,∴CN＜AM,
∴CN2＜AM2.
在Rt△OCN和Rt△OAM中,OM2＝OA2-AM2,ON2＝OC2-CN2,
∴Om2＜ON2.∴OM＜ON.。