2015年高中数学 1.2.1平面的基本性质(2)课件 苏教版必修2
合集下载
平面的性质2
D1 A1
D AQ
C1 解：（1）
D1
A1 B1
P C
D
B
AQ
C1
B1 P
C B
2020年 锡慧在线
例 1 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， P,Q 分别是 BB1 , AB 中点.
（1）画出由 A1 , C1 , P 三点所确定的平面 与长方体表面的交线；
（2）画出由 D1,C,Q 三点所确定的平面 与长方体表面的交线.
D1 A1
D AQ
解：（2）
C1
D1
B1
A1
P
C
D
B
AQ
M
C1
D1
A1 B1
N
C
D
B
AQ
M
C1
D1
A1 B1
N
C
D
B
AQ
M
C1 B1
C B
小结：（1）确定平面依据 （2）找（画）交线的依据
直观想象
2020年 锡慧在线
例 2 已知： A l, B l,C l, D l ，求证：直线 AD, BD,CD 共面.
A
C
D
E
（1）
B
A
C
D
E
（2）
B
A
B
C
D
E
（3）
2020年 锡慧在线
一、复习回顾
自然语言
图形语言
符号语言
用途
公理1
如果一条直线上的
两点在一个平面内，
那么这条直线上所 有的点都在这个平
l αA B
面内
如果两个平面有
一个公共点，那
公理2 么它们还有其他 公共点，这些公
高中数学 1.2.1平面的基本性质课件 苏教版必修2
⇒O、C1、M 三点共线．
规律总结：证明点共线的问题，一般转化为证明这些 点是某两个平面的公共点．这样，可根据公理2证明 这些点都在这两个平面的公共直线上．
线共点问题
已知空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、
G 分别是边 BC、CD 上的点，且CCFB＝CCGD＝23(如右图所示)，求证：
栏
目 链
预习
接
规律总结：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知
典例
条件，要做到不重不漏．平面的确定问题主要是根据已知
条件、公理3及其三个推论来判定平面的个数．
►变式训练 1．过三点能确定__________个平面．
解析：若三点共线能确定无数个平面；若三点不共 线只能确定一个平面． 答案：1个或无数
AO1∈CA⊂1平C 面A1ACC1⇒O∈平面A1ACC1
平面BC1D∩直线A1C＝O⇒O∈平面BC1D
学习
栏
目 链
预习
接
典例
⇒O在平面A1ACC1与平面BC1D的交线上.
AC∩BD＝M⇒M∈平面BC1D且M∈平面A1ACC1
C1∈平面BC1D且C1∈平面A1ACC1
学习
三条直线 EF、GH、AC 交于一点．
栏
分析：欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第
目 链
预习
三条直线上．
接
典例
证明：∵E、H 分别是 AB、AD 的中点，∴EH 綊12BD.
∵CCFB＝CCGD＝32，∴FG 綊32BD.
∴EH∥FG，且EH≠FG.
学习
故四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.
高中数学 1.2.1平面的基本性质课件2课件 苏教版必修2
Ａ
Ｂ
内又在平面ＡＢ１内，所以点
P在平面 与平面AB1 的交线
上.同理,点A1在平面 与平面
AB1的交线上,因此,PA1就是平面
与平面AB1的交线.
第九页，共12页。
巩固练习:
1.请指出下列说法是否正确,并说明理由:
(1)空间三点确定一个平面.
(2)平面 与平面 若有公共点,就不止一个
(3)因为平面型斜屋面不与地面相交,所以屋面所
在的平面与地面∩不相交. 2 . 如
a
bA
c
图
:
平
第十页，共12页。
3
.
已
知
:
如
图
,
D
,
E
分A别
是
△
A
B
C
的
边
平面 经过D,E 两点 (1)求直线AB 与平面 B的交点 P
(2)求证:D,E,P三D点共线E .P
C
第十一页，共12页。
今天(jīntiān)的作业是练习中 的二,三题.
第十二页，共12页。
平 面 的 基 本 性 质
(2)
第一页，共12页。
一.复习(fùxí)提问:
1.你是怎样来认识一个(yī ɡè)平面的?怎样 来表示一个(yī ɡè)平面?它的记法是什么?
2.空间中的点,线,面之间的位置关系(guān xì) 是怎样用符号来表示的?
3.平面有哪些性质?
第二页，共12页。
想 一 过一条(yī tiáo)直线L和直线
Ｃ
在平面 内．
第八页，共12页。
例２．如图，在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，
Ｐ为棱ＢＢ１的中点，画出 由Ａ１，Ｃ１，Ｐ三点所确定
高一数学必修2 平面的基本性质-苏教版 ppt
公理3 经过不在同一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
B
C A α
B C
A α
推论2 经过两条相交直线 ,有且只有
一个平面.
B C
A α
公理3 经过不在同一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
B
C A α
B C
αA
推论3 经过两条平行直线,有且只有一
个平面.
B C
αA
知识运用:
例1:已知: A l, B l,C l, D l (见下图)
P
公理3 经过不在同一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
B
C A α
B C
αA
推论1 经过一条直线和这条直线外的
一点,有且只有一个平面.
B C
αA
已知：直线 l，点B l
求证：过直线 l 和点B有且只有一个平面.
分析：先在直线 l上任
取两点A,Ｃ，由公理3
B
可知不共线的Ａ,Ｂ,Ｃ
C
三点就能惟一确定一个 α A
求证: 直线 AD, BD,CD 共面.
D
A
BC
l
知识运用:
例2:如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1
中, P为棱 BB1 的中点,画出由 A1 ,C1 , P 三点
所确定的平面 与长方体表面的交线.
D1 A1
D A
C1 B1 P
C B
课堂小结:
公 理
Al B
A AB
平面的基本性质
平面的基本性质:
公理1 如果一条直线上的两点在一个平
面内，那么这条直线上所有的点都在这 个平面内．
B α
第一章1.2.1平面的基本性质 ppt课件(26张) 高中数学 必修二 苏教版
同理： d
a，b，c，d共面.
推论3：经过两条平行的直线有且只有一个 平面.
图形语言：
a，b
符号语言：a // b 有且只有一个平面 , 使a , b
推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面.
已知：直线 a，b且 a // b 求证：过 a，b 有且只有一个平面． 证明： 由平行线的定义知 a，b在同一平面内 A
a，b
a, b有平面 如果经过直线a ， b的平面还有一个平面，
那么a ∈， b 设点A为直线a上任一点 则点A在直线b外
过 a，b 有且只有一个平面． 点A和直线b在过a，b的平面 ，内
P l B． P l D．
2．下列推理，错误的是（ C ） A．A l , A , B l , B l B．A , A , B , B AB
l , A l A C．
D． A, B, C , A, B, C , 且】已知： A l , B l , C l , D l 求证：直线 AD、BD、CD 共面.
证明： D l
直线 l 与点 D 可以确定一个平面（推论１）
又
Al A D 又 AD （公理１）
直线 AD、BD、CD 在同一个平面 内
表示 3．下面是四个命题的叙述语（其中A，B表示点，a表示直线，
平面）
① A , B AB ③ A a, a A ② A , B AB ④ A , a A a
④ 其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________ ．
二、建构数学
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面.
a，b，c，d共面.
推论3：经过两条平行的直线有且只有一个 平面.
图形语言：
a，b
符号语言：a // b 有且只有一个平面 , 使a , b
推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面.
已知：直线 a，b且 a // b 求证：过 a，b 有且只有一个平面． 证明： 由平行线的定义知 a，b在同一平面内 A
a，b
a, b有平面 如果经过直线a ， b的平面还有一个平面，
那么a ∈， b 设点A为直线a上任一点 则点A在直线b外
过 a，b 有且只有一个平面． 点A和直线b在过a，b的平面 ，内
P l B． P l D．
2．下列推理，错误的是（ C ） A．A l , A , B l , B l B．A , A , B , B AB
l , A l A C．
D． A, B, C , A, B, C , 且】已知： A l , B l , C l , D l 求证：直线 AD、BD、CD 共面.
证明： D l
直线 l 与点 D 可以确定一个平面（推论１）
又
Al A D 又 AD （公理１）
直线 AD、BD、CD 在同一个平面 内
表示 3．下面是四个命题的叙述语（其中A，B表示点，a表示直线，
平面）
① A , B AB ③ A a, a A ② A , B AB ④ A , a A a
④ 其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________ ．
二、建构数学
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面.
高中数学1.2.1平面的基本性质精品课件苏教版必修
解：依据公理 2，应找出平面 D′EF 和平面 ABCD 的两个公共点．如图所示，延长 D′E 交 DA 的延长线于点 M，延长 D′F 交 DC 的延长 线于点 N，则 M、N 就是平面 D′EF 与平面 ABCD 的两个公共点，直线 MN 就是两个平面 的交线．
2.如图， 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E、 F、 G、H、M、N 分别为正方体相应棱的中点，求 证：E、F、G、H、M、N 这六点共面．
面相交时，把空间分成四部分，平行时把空
间分成三部分．
2.“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α
内”这一说法是否正确，为什么？ 提示：不正确．
∵线段AB在平面α内，
∴线段AB上的所有点都在平面α内， ∴线段AB上的A、B两点一定在平面α内， ∴直线AB在平面α内．(公理1)
做一做
3.下列命题中，不正确的是________(填序号)． ①平面是无限延展的；
设两腰EG、FH相交于一点T.
∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴T∈平面ABC，且T∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴T∈AC. ∴直线EG、FH、AC相交于一点T.
备选例题
1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是
棱AA′、CC′的中点，试画出平面D′EF与平面 ABCD的交线．
第1章
立体几何初步
1．2 点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
学习导航
学习目标 1.了解平面的概念，体会平面的基 本属性，会用图形与字母表示平面；
2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之
间的位置关系； 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个
公理和三个推论，理解三个公
1.2.1平面的基本性质课件2(苏教版必修2)(共31张)
Image
第31页，共31页。
线．
分析：因为点M既在平面
内又在平面ＡＢ１内，所以点
M在平面与平面AB1 的交线 上.同理,点A1在平面 与平面
AB1的交线上,因此,MA1就是平
面 与平面AB1的交线.
第23页，共31页。
【例4】已知：
在平面 外，
求证：P，Q，R三点共线.
证明 AB P, P ： (zhèngmíng) AB，P 平面 ,
(3)A1 __∈_____ , D1 __∈_____
(4) __∩_____ A1B1 ___∩____ BB1
(5) A1B1 ________, BB1 ________
A1B1 ________
第16页，共31页。
∩∩
∩
数学理论
5.平面的基本( 性质 jīběn)
请大家拿出你的一把尺，如果把桌面 看作一个平面，把你的尺看作是一条直线 的话，你觉得在什么情况下，才能使你的 尺所代表的直线上的所有点都能在桌面上？
故这条过平面外一点的直线也在这个平面内， 与已知矛盾.
所以这条直线与这个平面只有一个公共点.
第22页，共31页。
【例3】如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BB1的中点.
(1平面 与正方体表面的交线；
(2)试作出平面A1C1M与 平面ABCD的交
1.平面的概念(gàiniàn)、表示和记法；
2.空间中点、线、面位置关系的图 形及符号表示；
3.平面的基本性质(公理1，2)及其
用途.
第28页，共31页。
第29页，共31页。
通常(tōngcháng)画平行四边形来表示平 面.
四面体
三个平面相交且 交于一点
第31页，共31页。
线．
分析：因为点M既在平面
内又在平面ＡＢ１内，所以点
M在平面与平面AB1 的交线 上.同理,点A1在平面 与平面
AB1的交线上,因此,MA1就是平
面 与平面AB1的交线.
第23页，共31页。
【例4】已知：
在平面 外，
求证：P，Q，R三点共线.
证明 AB P, P ： (zhèngmíng) AB，P 平面 ,
(3)A1 __∈_____ , D1 __∈_____
(4) __∩_____ A1B1 ___∩____ BB1
(5) A1B1 ________, BB1 ________
A1B1 ________
第16页，共31页。
∩∩
∩
数学理论
5.平面的基本( 性质 jīběn)
请大家拿出你的一把尺，如果把桌面 看作一个平面，把你的尺看作是一条直线 的话，你觉得在什么情况下，才能使你的 尺所代表的直线上的所有点都能在桌面上？
故这条过平面外一点的直线也在这个平面内， 与已知矛盾.
所以这条直线与这个平面只有一个公共点.
第22页，共31页。
【例3】如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BB1的中点.
(1平面 与正方体表面的交线；
(2)试作出平面A1C1M与 平面ABCD的交
1.平面的概念(gàiniàn)、表示和记法；
2.空间中点、线、面位置关系的图 形及符号表示；
3.平面的基本性质(公理1，2)及其
用途.
第28页，共31页。
第29页，共31页。
通常(tōngcháng)画平行四边形来表示平 面.
四面体
三个平面相交且 交于一点
(教师用书)高中数学 1.2.1 平面的基本性质同步教学课件 苏教版必修2
1．2
点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握平面的概念及表示． (2)掌握平面的基本性质(3 个公理及其推论)及作用． (3)初步体会图形、符号、文字语言的相互转化．
2.过程与方法 (1)建立类比的思想，联系直线的无限延伸性去理解平面 的无限延展性． (2)结合具体实例掌握平面的三大公理及其推论，建立公 理化思想，初步认识公理的作用． (3)利用联想、化归等方法，引导学生找到平面图形和立 体图形的异同，以及两者的内在联系． 3．情感、态度和价值观 (1)逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力； (2)培养学生的空间想象能力．
推论1
推论2
推理3
经过两条平行直线，有 且只有一个平面
三种语言的转换
用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA， 平面 α 与平面 γ 交于 PB， 平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC.
●重点难点 重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质——三大 公理及其推论，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、 文字语言的相互转化． 难点：平面的基本性质—— 三大公理及其推论，图形、 符号、文字语言的相互转化． 重难点突破：以学生身边熟悉的物体(如桌面、黑版面等) 为切入点，引导学生观察、思考、举例和互相交流，归纳出 平面的概念；针对三个公理的学习，可引导学生多联系实际， 发挥空间想象能力，教师多演示，让学生在思考训练中化解 疑难点．
用文字语言和符号语言表示下图．
图 1－2－2
【解】 文字语言：平面 α 内两条直线 m 和 n 相交于点 A. 符号语言：m⊂α，n⊂α，且 m∩n＝A.
点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握平面的概念及表示． (2)掌握平面的基本性质(3 个公理及其推论)及作用． (3)初步体会图形、符号、文字语言的相互转化．
2.过程与方法 (1)建立类比的思想，联系直线的无限延伸性去理解平面 的无限延展性． (2)结合具体实例掌握平面的三大公理及其推论，建立公 理化思想，初步认识公理的作用． (3)利用联想、化归等方法，引导学生找到平面图形和立 体图形的异同，以及两者的内在联系． 3．情感、态度和价值观 (1)逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力； (2)培养学生的空间想象能力．
推论1
推论2
推理3
经过两条平行直线，有 且只有一个平面
三种语言的转换
用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA， 平面 α 与平面 γ 交于 PB， 平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC.
●重点难点 重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质——三大 公理及其推论，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、 文字语言的相互转化． 难点：平面的基本性质—— 三大公理及其推论，图形、 符号、文字语言的相互转化． 重难点突破：以学生身边熟悉的物体(如桌面、黑版面等) 为切入点，引导学生观察、思考、举例和互相交流，归纳出 平面的概念；针对三个公理的学习，可引导学生多联系实际， 发挥空间想象能力，教师多演示，让学生在思考训练中化解 疑难点．
用文字语言和符号语言表示下图．
图 1－2－2
【解】 文字语言：平面 α 内两条直线 m 和 n 相交于点 A. 符号语言：m⊂α，n⊂α，且 m∩n＝A.
高中数学 1.21.2.1 平面的基本性质课件 苏教版必修2
道理吗？
栏 目 链 接
1.了解平面的含义，掌握平面的画法及表示.
2.理解平面的基本性质，掌握其简单应用.
3.正确使用图形语言和符号语言.
栏 目
链
接
栏 目 链 接
1．我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把
水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是：①
A∈α，读作：“____点__A__在__平__面__α_内_____”；B α，读作：
平面？
栏
(3)共点的三条直线可以确定几个平面？
目 链
接
分析：(1)可利用公理2判定．
(2)可利用公理3的推论3判定．
(3)需分类讨论进行判定．
解析：(1)不共面的四点组成一个三棱锥即四面体故可 以确定四个平面．
(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平
面．
栏
目
链
(3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．
(2)符号语言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α ___l⊂__α_．
栏 目
链
3．公理2.(1)文字语言：如果两个平面有__一__个___公__共_，点那 接
么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是
_经__过__这__个__公__共__点__的__一__条__直__线_．
(2)符号语言：P∈α，P∈β ___α_∩__β_＝__l，__P__∈__l ___．
一个平面．
目 链
接
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面 的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道.
栏 目 链 接
题型1 点、线共面
栏 目 链 接
1.了解平面的含义，掌握平面的画法及表示.
2.理解平面的基本性质，掌握其简单应用.
3.正确使用图形语言和符号语言.
栏 目
链
接
栏 目 链 接
1．我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把
水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是：①
A∈α，读作：“____点__A__在__平__面__α_内_____”；B α，读作：
平面？
栏
(3)共点的三条直线可以确定几个平面？
目 链
接
分析：(1)可利用公理2判定．
(2)可利用公理3的推论3判定．
(3)需分类讨论进行判定．
解析：(1)不共面的四点组成一个三棱锥即四面体故可 以确定四个平面．
(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平
面．
栏
目
链
(3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．
(2)符号语言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α ___l⊂__α_．
栏 目
链
3．公理2.(1)文字语言：如果两个平面有__一__个___公__共_，点那 接
么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是
_经__过__这__个__公__共__点__的__一__条__直__线_．
(2)符号语言：P∈α，P∈β ___α_∩__β_＝__l，__P__∈__l ___．
一个平面．
目 链
接
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面 的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道.
栏 目 链 接
题型1 点、线共面
高中数学 1平面的基本性质(2) 【公开课教案】 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质（2）
教学目标：
掌握平面的基本性质的三条推论及作用．
教材分析及教材内容的定位：
本节内容是在上节中公理3的基础上进一步研究确定平面的条件，得出3条推论．对于推论的证明，是学生学习立体几何遇到的第一个需要论证的问题．教学时应注重分析证明的思路及论证的依据，并指出证明的过程，包括存在性与惟一性两部分．为学生运用符号语言证明几何问题提供示范，从而为后续学习打下基础．
教学重点：
平面性质的三条推论，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.
教学难点：
平面性质的三条推论的掌握与运用.
教学方法：
符号表示：A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面．
思考1：如何理解公理3中的“有且只有一个”？
思考2：公理3可以帮助我们解决哪些几何问题？（提供确定一个平面的依据）
变式练习：求证：两两相交且不共点的三条直线必在同一个平面内．。
高中数学 第一章 1.2.1平面的基本性质配套课件 苏教版必修2
第二十一页，共37页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
1.2.1
小结 证明直线共面通常有两种思路： (1)先由部分元素确定一个平面， 再证明其余元素在这平面 内； (2)先由部分元素确定若干平面， 再证明这些平面重合．
第二十二页，共37页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.2.1
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.2.1
问题 9 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为 什么？
答 能确定一个平面，因为直线 AB，AC 相交于点 A，三点 A，B，C 确定的平面就是直线 AB 和 AC 确定的平面． 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
第十九页，共37页。
第五页，共37页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.2.1
探究点一 平面的概念 问题 1 观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直
线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？ 答 长方体由上下、前后、左右六个面围成．有些面是平行 的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱 所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个 平面内的直线等等．
1.2.1
第二十四页，共37页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
方法二 ∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∵B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC⊂平面 APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面 APR，又 Q∈α， ∴Q∈PR， ∴P、Q、R 三点共线．
第十五页，共37页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
苏教版 高中数学必修第二册 平面的基本性质 课件1
13.2.1 平面的基本性质
对平面的认识(平面的特点)
平面的画法与表示 (1)平面的画法 画法
图示
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面
当平面水平放置时，常把平 当平面竖直放置时，常把平 行四边形的一边画成横向 行四边形的一边画成竖向
(2)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD. ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC， 平面BD.
的直线 l2 会相交于一点 P, 问 P 点是否一定在直线 l 上？为什么？
l1∩l2 = P,
⇒ P∈l1, P∈l2,
l1 , ⇒ P∈,
l2 b, ⇒ P∈b, ∴ P ∩b,
l l1
P
l2
则点 P 应在 和 b 的交线上,
∴ 点 P 一定在直线 l 上. (如图)
练2.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
（2）平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平
αa
面α内且平行于直线 m.
m
β
基本事实 基本事实1
内容 过__不__在__一__条__直__线__上___的三个 点，有且只有一个平面
基本事实2
如果一条直线上的_两__个__点___ 在一个平面内，那么这条直 线在这个平面内
基本事实3
如果两个不重合的平面有一 个公共点，那么它们有且只 有一条__过__该__点__的__公__共__直__线__
图形
符号 A，B，C三点不共线⇒存在 唯一的α使A，B，C∈α
A∈l，B∈l，且A∈α， B∈α⇒l⊂α
对平面的认识(平面的特点)
平面的画法与表示 (1)平面的画法 画法
图示
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面
当平面水平放置时，常把平 当平面竖直放置时，常把平 行四边形的一边画成横向 行四边形的一边画成竖向
(2)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD. ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC， 平面BD.
的直线 l2 会相交于一点 P, 问 P 点是否一定在直线 l 上？为什么？
l1∩l2 = P,
⇒ P∈l1, P∈l2,
l1 , ⇒ P∈,
l2 b, ⇒ P∈b, ∴ P ∩b,
l l1
P
l2
则点 P 应在 和 b 的交线上,
∴ 点 P 一定在直线 l 上. (如图)
练2.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
（2）平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平
αa
面α内且平行于直线 m.
m
β
基本事实 基本事实1
内容 过__不__在__一__条__直__线__上___的三个 点，有且只有一个平面
基本事实2
如果一条直线上的_两__个__点___ 在一个平面内，那么这条直 线在这个平面内
基本事实3
如果两个不重合的平面有一 个公共点，那么它们有且只 有一条__过__该__点__的__公__共__直__线__
图形
符号 A，B，C三点不共线⇒存在 唯一的α使A，B，C∈α
A∈l，B∈l，且A∈α， B∈α⇒l⊂α
省优获奖课件 1.2.1平面的基本性质(2)课件 苏教版必修2
符号表示：P，P ∩＝l，Pl .
公理2常用于： (1)找两平面的交线；(2)判定三点共线与三线共点问题
公理1可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系，公理2 可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系，如何确定 一个平面呢？
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
数学建构
圆的方程． x2＋y2＝r2
推导
V柱体=Sh
S=S S 台体=31h(S＋ SS＋S) S=0
1 S = 锥体 3Sh
情境问题2 球体的体积公式如何表示，如何推导？
V球＝
4 3
R3
(R为球的半径)
情境问题3 球体的表面积公式如何表示，如何推导？
S球面＝4R2
练习． 1．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的 三段，圆锥被分成的三部分的体积之比为1__: _7_:__1_9__．
l∩＝P AB∥ AB ∩ =l ∥
复习回顾：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点
都在这个平面内．
用符号语言可表示为
A B
AB
或表示为
Al
A
Bl
B
l⊂．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公 共点的集合是经过此公共点的一条直线 .
小结
圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2
小结
课本111页习题2.2（1）1，2，3题.
高中数学 必修2
复习回顾：
平面展开图 侧面展开图
——表面积(全面积) ——侧面积
S直棱柱侧＝ch
( c－底面周长，h－高 )
S正棱锥侧＝12ch
公理2常用于： (1)找两平面的交线；(2)判定三点共线与三线共点问题
公理1可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系，公理2 可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系，如何确定 一个平面呢？
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
数学建构
圆的方程． x2＋y2＝r2
推导
V柱体=Sh
S=S S 台体=31h(S＋ SS＋S) S=0
1 S = 锥体 3Sh
情境问题2 球体的体积公式如何表示，如何推导？
V球＝
4 3
R3
(R为球的半径)
情境问题3 球体的表面积公式如何表示，如何推导？
S球面＝4R2
练习． 1．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的 三段，圆锥被分成的三部分的体积之比为1__: _7_:__1_9__．
l∩＝P AB∥ AB ∩ =l ∥
复习回顾：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点
都在这个平面内．
用符号语言可表示为
A B
AB
或表示为
Al
A
Bl
B
l⊂．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公 共点的集合是经过此公共点的一条直线 .
小结
圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2
小结
课本111页习题2.2（1）1，2，3题.
高中数学 必修2
复习回顾：
平面展开图 侧面展开图
——表面积(全面积) ——侧面积
S直棱柱侧＝ch
( c－底面周长，h－高 )
S正棱锥侧＝12ch
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
公理3及其3个推论，是确定平面的重要依据，
也是判定四点共面或三线共面的重要依据，
判定四点共面或三线共面的问题，应先确定一个平面，
再判定要证明的元素(四点或三线) 都在所确定的平面内．
作业：
课本31页习题1.2（1）第4，5题．
推论1的另一种证明：
存在性 在直线l上任取两点A，B．
∵Pl ∴经过A，B，P有一个平面．
∵Al，B l，A ，B ， ∴l⊂．
故过直线l和点Biblioteka 有一个平面．惟一性 假设过直线l和点A还有一个平面． ∴A ，B ，P ， 又 A ， B ， P ，
C
B
l
A
在直线l上任取两点B，C．因为点A不在直线l上，根据公理3，
根据公理3，经过不共线的三点A，B，C的平面有且只有一个， 所以经过直线l和点A的平面只有一个． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
小结：
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3及其3个推论，是确定平面的重要依据， 也是判定四点共面或三线共面的重要依据．
例1：已知A l，B l，C l，Dl．求证：直线AD，BD，CD共面． D A 证明： B C l
l C G D
B
F A
E
例3．已知a⊂，b⊂，a∩b＝A，P a，PQ∥b． 求证：PQ⊂．
A P
a b
Q
练习：
1．判断下列命题是否正确．
①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面.
②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过一点的三条直线确定一个平面．
④平面和平面交于不共线的三点A，B，C.
与过不共线三点确定一个平面矛盾．
故结论成立．
推论2的证明：
在直线l上任取一点A异于点P．
∴直线m和点A确定一个平面． 又l∩m＝P，
∴P l，又A l，
∴P ， A ， ∴l⊂． 故直线l，m确定一个平面．
推论3证明：
存在性 ∵l∥n， ∴经过l，n有一个平面． 惟一性 假设过直线l，n还有一个平面． 在直线l上任取一点A． ∵A l，l⊂． ∴ A ，n⊂ ， 同理A ，n⊂． 与直线及其外一点确定一个平面矛盾． 故结论成立．
4．直线l1∥l2，在l1上取三点，在l2上取两点，由这五个点能确______个 平面．
5．已知a∥b，l∩a＝A，l∩b＝B，求证：a，b，l三条直线共面．
小结：
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下列结论成立的是______． ①四点中必有三点共线． ②四点中必有三点不共线． ③AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行． ④直线AB与CD必相交．
3．下列命题中，①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶点 在同一平面内；③三条互相平行的直线必共面；④两组对边分别相等的 四边形是平行四边形．其中正确命题个数是___________ ．
一个平面呢？
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
已知：直线l，点Al(如图)． 求证：过直线l和点A有且只有一个平面． 证明：
经过不共线三点A，B，C有一个平面． 因为B ，C，所以根据公理1，l， 即平面经过直线l和点A．因为B，C直线l上， 所以经过直线l和点A的平面一定经过A，B，C．
高中数学 必修2
复习回顾： 空间点、直线和平面的位置关系
位置关系 点A在直线l上 点A不在直线l上 点A在平面内 点A不在平面内 直线l1与直线l2相 直线与 交 直线 直线l1与直线l2平 (平面内) 行 直线l与平面交 点与直 线 点与平 面
图形语 符号语言 Al 言
Al A A l1∩l2=A l1∥l2 l∩＝P AB∥ AB ∩ =l ∥
因为Dl，所以l与D可以确定平面(推论1)． 因为Al，所以A ，又D，所以AD(公理1)． 同理BD，CD， 所以AD，BD，CD在同一平面内，即它们共面．
变式：求证：两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内．
例2．如图，若直线l与四边形ABCD的三条边 AB，AD，CD分别交于点 E，F，G．求证：四边形ABCD为平面四边形．
复习回顾：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点 公理1： 都在这个平面内． 用符号语言可表示为 A Al Bl
B
AB
或表示为
A
B
l⊂．
公理2： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公 共点的集合是经过此公共点的一条直线 . 符号表示：P，P ∩＝l，Pl . 公理2常用于： (1)找两平面的交线； (2)判定三点共线与三线共点问题 公理1可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系，公理2 可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系，如何确定