相关系数与切比雪夫不等式
切雪比夫不等式公式
切雪比夫不等式公式切雪比夫不等式，又称切比雪夫不等式，是概率论中一条重要的不等式。
它是由俄罗斯数学家切比雪夫于1867年提出的，用于描述一组数据与其平均值之间的关系。
切雪比夫不等式的表述方式有多种，但其核心思想始终如一：数据的分布越集中，离均值越近，概率越大。
切雪比夫不等式的一种常见形式是：对于任意正数ε，当ε大于0时，有P(|X-μ|≥ε)≤σ^2/ε^2，其中X为随机变量，μ为其均值，σ^2为其方差。
想象一个寒冷的冬日，大雪纷飞，寒风凛冽。
人们行走在雪地中，足迹踏下的痕迹有时靠近，有时疏远。
这些足迹就好比数据点，而人们的平均位置则是数据的均值。
切雪比夫不等式告诉我们，无论是靠近还是疏远，数据点总是有一定的概率分布在平均位置附近。
这个不等式的意义在于，它揭示了数据的分布特性。
当数据越集中，方差越小时，切雪比夫不等式的右侧项σ^2/ε^2就越小，因此左侧项P(|X-μ|≥ε)的值就越小，即数据点离均值的距离大于ε的概率就越小。
切雪比夫不等式的应用非常广泛。
在统计学中，它可以用来估计数据点偏离均值的程度。
在机器学习中，它常被用来衡量模型的性能，判断模型对数据的拟合程度。
在金融领域，它可以用来评估投资风险，帮助投资者做出理性的决策。
切雪比夫不等式的思想贯穿于各个领域，它告诉我们，无论是数据分析还是决策制定，我们都需要考虑数据的分布特性。
只有深入理解数据的分布规律，我们才能更好地把握事物的本质，做出准确的判断和决策。
正如大雪纷飞的冬日，我们需要仔细观察足迹，了解数据的分布情况。
只有这样，我们才能走得更加稳健，更加自信。
切雪比夫不等式给予我们这样的启示，让我们在决策和分析中更加谨慎，更加准确。
切雪比夫不等式，不仅是一条数学公式，更是一种思维方式，一种洞察事物本质的能力。
让我们用切雪比夫不等式的思想，去探索更广阔的世界。
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
在考研数学概率论与数理统计中，切比雪夫不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其它一些十分有用的结论或重要的定理，如切比雪夫大数定律等，然而有些同学对这个不等式不是很理解，也不太会利用该不等式去解决相关问题，另外，很多资料上也没有对该不等式进行完整的分析或证明，为此，在这里对比雪夫不等式及其典型例题做些分析总结，供各位2016考研的朋友和其它学习的同学参考。
一、切比雪夫不等式的分析证明
从上面的分析我们看到，利用切比雪夫不等式可以对随机变量在其均值附近的对称区间内取值的概率进行估计，它也说明了方差的基本特性，即随机变量的方差越小，随机变量取值越集中，方差越大，则取值越分散，不论对于什么随机变量，它在区间
内取值的概率基本都是约90%。
以上分析希望对大家理解和应用切比雪夫不等式有所帮助，最后预祝各位考生2016考研成功。
第45讲 切比雪夫不等式
第五章大数定律及中心极限定理§0 切比雪夫不等式§1大数定律§2中心极限定理§5.0切比雪夫不等式定理（切比雪夫不等式）设随机变量X 的数学期望E (X )和方差D (X )都 存在，则对任意ε > 0，都有百度传课 我们知道，随机变量X 的方差D (X )描述的是X 的取值偏离其均值E (X )的程度。
下面这个定理给出了方差与均值满足的一个 不等式。
四川大学 徐小湛证（连续型）设X的概率密度为f(x)百度传课证（离散型）设X的分布律为p k =P{X =xk}(k =1,2,..)切比雪夫不等式的意义：在随机变量X的分布未知，而只知道X的均值和方差（或已知分布但很复杂）的情况下，切比雪夫不等式给出了概率的一个估计范围。
切比雪夫不等式可用于以下情形：在已知E(X), D(X)的情况下(1)对给定的ε> 0，估计|X-E(X)| ≥ε的概率。
(2)对给定的概率p ，确定所需的区间长度，即确定满足不等式的ε。
百度传课 、 。
切比雪夫 (1821~1894) ЧебышёвChe bys hev 俄罗斯数学家、力学家。
他一生发表了70多篇科学论 文，内容涉及数论、概率论 函数逼近论、积分学等方面 他证明了贝尔特兰公式，自 然数列中素数分布的定理， 大数定律的一般公式以及中 心极限定理。
例子解例 若随机变量X 服从参数为 2 的泊松分布， 用切比雪夫不等式估计，P {|X -2|≥4}≤1 8 。
42 16 8P { X -2 ≥ 4} = P { X - E (X ) ≥ 4} ≤ D (X ) = 2 = 1课 例 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯 开灯的概率都是0.7。
假设电灯开、关时间彼 此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800 与7200盏之间的概率。
10000 7199 k C (0.7)k (0.3)10000-kk =6801 = ∑ 计算量太大。
概率论第四章-切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
或 成立， P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε 成立，
1
2
|x−µ |
2
ε
2
f (x)dx ≤ ∫
2
|x−µ |2
≤
ε
∫(x−µ)
f (x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f (x)dx
2
是 于 P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
切比雪夫不等式 证明切贝谢夫大数定律； 说明 （1）证明切贝谢夫大数定律； （2）表明D（X）描述了X偏离E（X）的离散程度； 表明D 描述了X偏离E 的离散程度； （3）给出X的分布未知时，事件 给出X的分布未知时， 概率的一个大致估计。 概率的一个大致估计。 大致估计 |X|X-E（X）|＜ε的
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
2 2
称此式为切比晓夫不等式. 称此式为切比晓夫不等式.
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
5.1切比雪夫不等式
独立 不相关 ，但反之不然
Ch5 . 大数定律与中心极限定 理
§5.1 切比雪夫不等式
2 设随机变量X有期望μ和方差 ，则对于任 给 >0,
或
P (| X | ) 2 2 P (| X | ) 1 2
2
由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则 事件（|X-μ|<ε）的概率越大，即随机变量X集中 在期望μ 附近的可能性越大.
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，EX=7300,DX=7002 所求为 P(5200≤ X ≤9400) P(5200≤ X ≤9400) =P(5200-7300≤ X-7300 ≤9400-7300) =P(-2100≤ X-EX ≤2100)
700 2 8 DX 1( ) P (| X EX | 2100) 1 2 2100 ( 2100) 9
2 P (| X | ) 1 2
2 如取 3 ，P (| X | 3 ) 1 2 0.889 9
对比 3规则：若X ~ N ( , 2 )，则
P (| X | 3 ) 0.9973
例1 已知正常成人血液中，每一毫升白细胞数平 均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式 估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .
方差
DX=E(X-EX)2 =E(X2)-(EX)2 （若X与Y独立， D(X±Y)= DX+DY ）
协方差 Cov ( X ,Y ) E ( X EX )(Y EY )
=E(XY) -EXEY
（若X与Y独立， Cov(X,Y ( X ,Y ) DXDY
切比雪夫定理
3.例题讲解 例题11-1-1 设随机变量
，求方差 D(X )。
解 PX m m e m 0,1, 2, .
m!
E(X)
m
m e
m0 m!
E X 2 m 2 m e e m m1 k m 1 e k 1 k
同理可证：D( X Y ) D( X ) D(Y )
口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加 利用定理3，用归纳法可以证明以下推论
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例11-1-4. 均值为0,方差为1的特殊分布 设随机变量X 的数学期望为E( X ) ，标准差为
设随机变量
证明：
证
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
Y g( X )时，E(Y ) E[g( X )]
g( x)P( x) g( x) f ( x)dx
x
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
回顾： 1.原点矩 定义1 设 X 是随机变量，则称
2.中心 矩
为X 的 k 阶原点矩。
显然：v1 E( X )
x 0; 其 它.
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
E(
X
)
0
x
e x
dx
1
E X 2
x 2
0
e x
dx
tx 1
2
t 2e t
0
dt
3
2
2
2
D( X ) E
4.方差性质
X2
E(X )2
2
2
1
2
1
2
切比雪夫不等式 证明
切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式是数学中的一个重要不等式，它可以用来估计一个随机变量与其均值之间的差距。
下面是切比雪夫不等式的证明：假设X是一个随机变量，其均值为μ，方差为σ²（方差的定义为Var(X) = E[(X-μ)²]）。
对于任意大于0的实数k，我们希望证明以下不等式成立：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²首先，我们定义一个新的随机变量Y，表示X与其均值之间的差距的绝对值：Y = |X-μ|。
根据Y的定义，我们可以得到：Y²= (X-μ)²由于Y²始终大于或等于0，我们可以对Y²应用马尔可夫不等式（Markov's inequality），得到：P(Y²≥k²σ²) ≤E(Y²) / (k²σ²)接下来，我们计算Y²的期望（E(Y²)）：E(Y²) = E((X-μ)²) = Var(X) = σ²将E(Y²)代入不等式中，得到：P(Y²≥k²σ²) ≤σ²/ (k²σ²)化简后可得：P(Y²≥k²σ²) ≤1/k²由于Y²与|X-μ|²是等价的，我们可以将不等式中的Y²替换为|X-μ|²：P(|X-μ|²≥k²σ²) ≤1/k²最后，我们注意到，对于任意实数a和b，若a²≥b²，则|a| ≥|b|。
因此，我们可以将不等式中的|X-μ|²替换为|X-μ|，得到最终形式的切比雪夫不等式：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²这就完成了切比雪夫不等式的证明。
需要注意的是，切比雪夫不等式并没有给出具体的概率估计，它只给出了一个上界。
3-4切比雪夫不等式与大数定律
P(2100 X E(X) 2100) P( X E(X) 2100)
1
(
D( X ) 2100)2
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400间的概率不小于8/9 .
二、依概率收敛简介
设 {Xn }为一随机变量序列(n=1, 2, ...), a R, 若对 0,
设nA为n次独立重复试验中随机事件A发生的次数,p是
事件A在每次试验中发生的概率,则对任意 0, 成立
lim P{ nA p } 1, 即 nA P p( A)
n
n
n
说明：
(证明见下页)
(1)
n重伯努利试验中, 事件A发生的频率Rn( A)
nA n
P p( A)
(2) 试验次数充分大时,可用频率 nA 近似代替概率p( A) n
E( X ) xf ( x)dx x f ( x)dx x f ( x)dx
0
0
x f ( x)dx
f ( x)dx
P{X }
改写为: P{X } E( X )
2、切比雪夫不等式
设随机变量X的E( X )存在, D( X ) 2 , 则对 >0,有
P{| X E( X ) | } 2 , 或 P{| X E( X ) | } 1 2
(4) 设Xn P a, 函数y g( x)在x a处连续, 则g( X n ) P g(a).
(5) 设Xn P a, Yn P b,函数g( x, y)在点(a, b)处连续, 则 g( Xn ,Yn ) P g(a, b).
三、大数定律（难点）
背景：
大数定律研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值 收敛于其均值的算术平均值。
5.1.1PPT切比雪夫不等式
P{|
X
E(X ) |
}
D(X )
2
Note: 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随机变量X与 它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式。若D(X)越小，则 事件{|X−E(X)|≥ε}的概率越小，即随机变量X集中在期望附 近的可能性越大。
P
X EX 3
DX 9Βιβλιοθήκη DX DX 21 9
0.111
可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则随机变量 X取值偏离E(X)超过3σ的概率小于0.111
本章 上页 下页
5.1 切比雪夫不等式
例题：已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均 是7300，均方差是700。利用切比雪夫不等式估计每毫升白 细胞数在5200~9400之间的概率。
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
作答
可为此题添加文 容全部放在本区
解：设每毫升白细胞数为X，依题意，E(X)=7300，D(X)=7002
P5200 X 9400 P2100 X E X 2100
由切比雪夫不等式
P X E X 2100
DX
1 21002
1
7002 21002
1
1 9
8 9
左右两边对称
主观题 10分
答案解析
练习：设某个小区居民每天用于身体锻炼的平均时间为 30min，标准差为10 min，试根据切比雪夫不等式估计该 小区居民每天锻炼的时间在10~50 min之间的概率的取值 范围。
切比雪夫不等式测度
切比雪夫不等式测度切比雪夫不等式是一种数学工具，用于估计概率分布的中心趋势。
它在统计学、概率论和数据分析等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍切比雪夫不等式的概念、形式和证明，以及它在不同领域中的应用。
一、切比雪夫不等式的概念和形式切比雪夫不等式是概率论中的一种基本不等式，用于估计概率分布的均值与中位数之间的差异。
具体来说，对于任意的概率分布，其均值μ和中位数Me满足以下不等式：P( | X - μ | ≥ k ) ≤ 2exp(-k^2/2σ^2)其中，X是随机变量，μ是均值，σ是标准差，k是大于0的常数。
二、切比雪夫不等式的证明切比雪夫不等式的证明基于概率的几何解释和方差的性质。
首先，我们知道方差σ^2是随机变量X与其均值μ的差的平方的期望值，即σ^2 = E[(X - μ)^2]。
其次，由于方差的非负性，我们知道(X - μ)^2 ≥ 0，从而E[(X - μ)^2] ≥ 0。
因此，对于任意的常数k，有E[(X - μ)^2] ≥ k^2。
最后，利用概率的几何解释，我们知道P( | X - μ | ≥ k ) ≤2exp(-k^2/2σ^2)。
三、切比雪夫不等式在不同领域中的应用切比雪夫不等式在许多领域都有广泛的应用。
在统计学中，它可以用于估计样本均值与总体均值之间的差异。
在概率论中，它可以用于研究随机变量的性质和分布。
在数据分析中，它可以用于数据清洗和预处理，例如异常值检测和缺失值处理。
在机器学习中，它可以用于特征选择和模型评估。
四、切比雪夫不等式的局限性和改进虽然切比雪夫不等式是一种强大的数学工具，但它也有一些局限性。
首先，它只能给出概率的上界，而不能给出确切的概率值。
其次，它假设随机变量X是连续的，如果X是离散的，则需要对不等式进行适当的修改。
此外，切比雪夫不等式的证明需要一些数学基础，对于非专业人士可能难以理解。
为了改进切比雪夫不等式的局限性，一些学者提出了扩展和改进的方法。
例如，通过引入新的参数或假设条件，可以改进切比雪夫不等式的形式和证明过程。
切比雪夫积分不等式
切比雪夫积分不等式切比雪夫积分不等式是一个经典的数学定理，又称切比雪夫不等式。
该定理最初是由俄国数学家切比雪夫所发现的，但是至今仍有很多研究者在研究该定理。
切比雪夫积分不等式在几何、代数、数学分析以及给定性质函数等领域中都具有重要意义。
切比雪夫积分不等式是由切比雪夫于1859年提出的，原文如下：“如果函数f（x）在0≤x≤1上连续，其导数在0≤x≤1上除了x = 0和x = 1外值均不为0，而在0≤x≤1上的值有限，则∫0s1f（x）dx> 1/2f（1/2）。
”下面我们来进一步解释切比雪夫积分不等式的定义及其数学意义。
切比雪夫积分不等式主要指上面引用的定理，它指的是给定的函数f（x）满足以下条件：（1）f（x）在区间[0,1]上连续；（2）对f （x）在区间[0,1]上除x=0和x=1外的每个点处求导数不为零；（3）f（x）在区间[0,1]上具有有限值。
下面我们详细讨论切比雪夫积分不等式的证明及其数学意义。
证明切比雪夫积分不等式：首先，根据切比雪夫定理的条件，我们知道f（x）在区间[0,1]上连续，f（x）的导数在区间[0,1]上除了x=0和x=1外值均不为0，并且f（x）的值在[0,1]之间是有限的。
其次，我们令a、b为f（x）在[0,1]区间上的任意两个不相等的点，显然，存在一个某一点x = c，使得f（x）在[a,b]区间上取得最大值；由于f（x）在区间[0,1]上的导数在x=0和x=1外值均不为0，并且f（x）在区间[0,1]上具有有限值，因此可以得出最大值的点c处的导数为0，即f（c）= 0继续往下，由于f（x）在[a,b]区间上是连续的，所以可以于当a x c时f（x）的导数为正，当c x b时f（x）的导数为负。
从而可以得出∫a bf（x）dx = 0而前面我们说过，c为f（x）在[a,b]区间上取得最大值的点，因此f（c）≥f（x）（x为[a,b]区间上任一点）结合上述两个等式，我们可以得出切比雪夫积分不等式：∫0s1f（x）dx> 1/2f（1/2）从这里我们可以推出，当f（x）在[0,1]区间上取得最大值时，其积分值会大于等于1/2f（1/2）切比雪夫积分不等式可以说是一个几何性质，但也可以具有更广泛的应用，例如在数学分析中，有时需要证明某种定义或性质，例如f（x）是否满足Rolle定理。
切比雪夫不等式估计概率
切比雪夫不等式估计概率引言在概率论中，切比雪夫不等式是一种用于估计随机变量偏离其均值的可能程度的工具。
它是由俄罗斯数学家切比雪夫在19世纪末提出的，被广泛应用于统计学、机器学习和数据分析等领域。
切比雪夫不等式的核心思想是通过测量随机变量与其均值之间的差异，来估计随机变量落在某个范围内的概率。
该不等式提供了一个上界，使我们能够以较小的信息量对概率进行估计。
本文将详细介绍切比雪夫不等式的原理和应用，并通过实例演示如何使用切比雪夫不等式来估计概率。
切比雪夫不等式原理假设X是一个随机变量，E(X)表示X的期望值（均值），Var(X)表示X的方差。
根据切比雪夫不等式，对于任意正数ε（ε > 0），有以下不等式成立：P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε^2换句话说，随机变量X偏离其期望值E(X)超过ε的概率不会超过Var(X)/ε^2。
切比雪夫不等式的推导过程相对简单，这里不再详述。
需要注意的是，切比雪夫不等式是一个上界估计，给出了随机变量落在某个范围内的概率的最大可能值。
切比雪夫不等式应用切比雪夫不等式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 数据分析与异常检测在数据分析中，我们经常需要评估数据点与其均值之间的偏差程度。
通过使用切比雪夫不等式，我们可以估计数据点落在某个范围内的概率，并进一步判断是否存在异常值。
例如，假设我们有一组电子商务网站用户的购物金额数据。
我们可以计算该数据集的均值和方差，并使用切比雪夫不等式来估计购物金额高于平均值两倍标准差的概率。
如果这个概率很小，我们可以将这些高额购物金额视为异常值。
2. 统计推断与抽样在统计推断中，我们经常需要对总体参数进行估计。
通过使用切比雪夫不等式，我们可以估计总体参数落在某个范围内的概率，并计算置信区间。
例如，假设我们想要估计一组学生的平均身高。
我们可以从这组学生中随机抽取一部分样本，并通过样本均值和样本方差来估计总体均值和总体方差。
切比雪夫不等式和经验法则
切比雪夫不等式和经验法则
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它提供了有关
随机变量偏离其均值的概率的上界。
具体来说，对于任意具有有限
方差的随机变量X，切比雪夫不等式表明，随机变量X与其均值的
偏离超过k个标准差的概率不超过1/k^2，其中k是大于1的任意
实数。
这个不等式对于评估随机变量的离散程度和概率分布的尾部
情况非常有用。
接下来是经验法则，也称为正态分布的68-95-99.7法则。
这个
法则描述了正态分布的性质，即在一个正态分布中，大约68%的观
测值落在均值加减一个标准差的范围内，大约95%的观测值落在均
值加减两个标准差的范围内，大约99.7%的观测值落在均值加减三
个标准差的范围内。
这个法则对于理解正态分布的形状和分布情况
非常有帮助，也可以用来进行概率估计和异常值检测。
总的来说，切比雪夫不等式和经验法则都是概率论中重要的工具，它们可以帮助我们理解随机变量的分布特性和概率分布的规律。
通过这些工具，我们可以更好地分析数据和进行概率推断。
希望这
个回答能够全面地解释这两个概念。
叙述切比雪夫不等式
叙述切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中的一条重要不等式，其用于衡量随机变量偏离其均值的程度。
这一不等式是由俄罗斯数学家切比雪夫于1874年提出，因此得名为切比雪夫不等式。
切比雪夫不等式的核心思想是，对于任意一个随机变量X，无论它的概率分布是否已知，至少有一定比例的观测值距离其均值不会超过给定的数值。
具体而言，设X为一个随机变量，E(X)为其期望值，σ为其标准差，k为大于1的实数，则根据切比雪夫不等式可知：P(|X-E(X)| ≥ kσ) ≤ 1/k²这个不等式的一种解释是说，对于一个随机变量X，至少有（1-1/k²）比例的观测值距离其均值的距离不会超过k倍的标准差。
切比雪夫不等式的意义在于提供了一个在概率分布未知或者难以计算的情况下，对随机变量分布情况进行估计的方法。
它能帮助我们了解随机变量数据的分布情况，以及偏离均值的程度。
无论我们是否掌握随机变量的具体分布，只要我们知道均值和标准差，即可通过切比雪夫不等式对随机变量的分布进行大致的估计。
切比雪夫不等式具有广泛的应用场景。
比如，在金融领域中，假设我们想要对某个投资组合的回报率进行估计。
我们可以利用切比雪夫不等式，通过计算样本的均值和标准差，来估计这个投资组合的回报率落在某个给定范围内的概率。
在这个例子中，切比雪夫不等式不仅提供了一个估计方法，还可以帮助投资者了解这个投资组合的风险程度。
此外，在数据分析领域中，切比雪夫不等式也被广泛应用于异常值检测。
通过比较观测值与均值之间的偏离程度，我们可以判断是否存在异常值。
如果大多数观测值都集中在均值附近，那么说明数据分布比较稳定，反之则可能存在异常值。
这样的分析对于数据的清洗和处理非常有指导意义。
综上所述，切比雪夫不等式是概率论中一条生动、全面且具有指导意义的重要不等式。
它提供了一种在未知概率分布情况下对随机变量进行估计的方法，并且在金融、数据分析等领域具有广泛的应用价值。
通过应用这一不等式，我们能更好地理解随机变量的分布情况，并为实际问题提供相应的解决方案。
切比雪夫不等式xi
切比雪夫不等式xi切比雪夫不等式xi是19月科学家乔治切比雪夫发现的一个重要的数学定理，也被称为“切比雪夫不等式”。
它与其他不等式有着根本的不同，它只能定义有限多个未知数，而不是无限多个未知数。
它是数学家和科学家们许多工作和研究中不可或缺的重要理论。
历史上，切比雪夫不等式是由俄罗斯数学家切比雪夫发现的。
切比雪夫发现这个不等式有助于描述多变量函数的最大值和最小值。
它被用来给出多变量的解析解，从而为多变量函数的计算打开了大门。
此外，它还被用来推导数学空间的完备性定理，证明某些数学定理的正确性。
切比雪夫不等式的原理非常简单：如果两个变量（a和b）满足不等式xi，则它们之间的差值不能超过常数xi，即：|a - b|此外，它还表明如果N个变量满足不等式xi，则它们之间差值的大小不能超过N-1倍的常数xi：|a1 - a2||a2 - a3||an-1 - an|这是切比雪夫不等式xi的核心原理，它表明不等式xi对多变量函数的行为具有极大的约束力。
迄今为止，切比雪夫不等式一直是数学界的一个重要问题，因为它的许多应用可以帮助解决难题。
例如，它可以用来优化多变量函数，求解最佳参数，以及构建函数图像。
此外，它还可以引入数值近似解，有效解决多变量函数的极值点查找问题。
可以看出，切比雪夫不等式xi是一个伟大的数学定理，它的发现为数学研究提供了极大的帮助。
它的基本原理既简单又有效，因此一直被许多学者所重视。
它的强大优势可以帮助研究人员解决复杂的数学问题，从而为科学的发展做出重大贡献。
总之，切比雪夫不等式是一个著名的数学定理，由于它极大地促进了数学研究的发展，因此得到了众多学者的赞誉和推崇。
它将为科学界做出更多贡献，持续推动数学研究的发展，并且将来还会帮助解决更多科学难题。
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式引言切比雪夫不等式（Chebyshev Inequality）是概率论中的一条重要不等式，由俄罗斯数学家切比雪夫于1867年首次提出。
该不等式给出了随机变量与其均值的偏离程度的一个界限，是概率论与统计学中常用的基本工具之一。
定义设随机变量X的均值为μ，方差为σ^2，则对任意k > 0，切比雪夫不等式阐述如下：P(|X-μ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2其中，P表示概率，|X-μ|表示随机变量X与其均值的绝对值之差，≥表示大于等于。
理解切比雪夫不等式切比雪夫不等式的意义在于，它给出了一个随机变量与其均值的偏离程度的上界。
不论随机变量的分布如何，切比雪夫不等式都能够给出一个关于随机变量偏离均值的概率上界。
我们可以根据切比雪夫不等式来推断随机变量与其均值的关系。
当k的值增大时，实际观测到X与μ之间距离大于kσ的概率会减小。
当k取无穷大时，切比雪夫不等式的上界将趋近于0，即X几乎总是与μ非常接近。
应用举例为更好地理解切比雪夫不等式的应用，我们举例说明。
假设有一批产品，其重量的均值为μ=1000g，方差为σ2=100g2。
根据切比雪夫不等式，我们可以推断出至少多少比例的产品重量位于800g和1200g之间？根据切比雪夫不等式，我们可以推出：P(800 ≤ X ≤ 1200) ≥ 1 - 1/k^2为了保证不等式成立，我们选择一个合适的k值。
假设我们希望重量落在800g和1200g之间的概率至少为0.9，即P(800 ≤ X ≤ 1200) ≥ 0.9，我们可以令1/k^2 = 0.1，即k = √10 ≈ 3.16。
将k代入切比雪夫不等式，可得：P(800 ≤ X ≤ 1200) ≥ 1 - 1/3.16^2 ≈ 0.9这意味着，至少90%的产品的重量位于800g和1200g之间。
切比雪夫不等式与其他不等式的比较切比雪夫不等式是概率论中的一条最基本的不等式，广泛应用于统计学和概率论中。
与其他常见的不等式（如马尔可夫不等式和杰布森不等式）相比，切比雪夫不等式的应用范围更广泛。
切比雪夫不等式公式
切比雪夫不等式公式
《切比雪夫不等式公式》是数学中一个非常重要的概念，它可以用来分析和证明各种概率论和统计学问题。
切比雪夫不等式是由十九世纪波兰数学家Joseph Chebyshev于1867年提出的。
他的本意是为了证明概率中的概率均匀性，即每一个样本都有相同的概率出现。
在数学上，切比雪夫不等式公式定义如下：若在一组数的样本中，P(X>a)>=1/k^2，其中a为所有数的平均值，k为样本中最大值减去最小值的值，即k=max(X)-min(X)；则该样本中至少有1/k^2个值大于a。
切比雪夫不等式非常有用，可用于多种应用。
在概率论和统计学中，它可以用来证明概率的均匀性，即所有样本的概率值的分布应该是均匀的。
基于切比雪夫不等式的定义，可以推导出概率分布中的概率值与其均值的相对差距不应大于1/k^2，从而证实了概率均匀性的原理。
此外，切比雪夫不等式还可以用于数学分析中证明几何图形的性质。
例如，当我们想要对正多边形的边求和，我们可以使用切比雪夫不等式来证明正多边形有多少条边。
除了应用于数学分析，切比雪夫不等式还可以用于实际工程中的计算，特别是在预测分析中。
例如，能够使用切比雪夫不等式来计算生产过程中机器的缺陷比例，从而对缺陷进行估计，并有效地使用质量控制的方法来改善生产过程。
总之，切比雪夫不等式是数学中一个重要的概念，它可以用来证
明概率均匀性，分析几何图形，以及用于实际工程计算中。
它可以极大地提高我们对数学知识的理解，并且在实际应用中也有着重要的作用。
切比雪夫不等式估计概率
切比雪夫不等式估计概率 前言：切比雪夫不等式是概率论中一条重要的不等式，它用于估计随机变量与其均值之间的偏离程度。
本文将介绍切比雪夫不等式的概念、推导过程以及应用场景，并通过实例说明其实用性。
一、切比雪夫不等式的概念 切比雪夫不等式是数学上关于随机变量分布的一种重要不等式。
它可以用来估计随机变量与其均值之间的偏离程度。
切比雪夫不等式的数学表述如下：对于任意一个随机变量X和正数ε，有：P(|X - μ|≥ε)≤σ^2 / ε^2 其中，P表示概率，X表示随机变量，μ表示X的均值，σ^2表示X的方差，ε表示给定的正数。
切比雪夫不等式的实质是通过随机变量的方差来描述随机变量与其均值之间的偏离程度。
方差越小，随机变量与均值之间的偏离越小，概率也就越高。
二、切比雪夫不等式的推导过程1. 根据随机变量X的定义，我们知道E(X) = μVar(X) = σ^22. 根据方差的定义，我们可以得到Var(X) = E((X- μ)^2)3. 根据概率的定义，我们可以得到 P(|X - μ|≥ε) = 1 - P(|X - μ| < ε) 4. 由于对于任意的ε，X - μ的绝对值小于ε的概率范围是[0, ε]，所以我们可以将其改写为 P(|X - μ| < ε) = P(-ε < X - μ < ε)5. 再将上式展开，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = P(-ε < X - μ) - P(X - μ > ε) 6. 根据概率的性质，我们知道 P(-ε < X - μ) = 1 - P(X - μ < -ε) P(X - μ > ε) = 1 - P(X - μ≤ε)7. 将上述两个概率代入第5步的等式中，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = 1 - P(X - μ < -ε) - (1 - P(X - μ≤ε))8. 继续简化上式，我们可以得到 P(-ε < X - μ < ε) = P(X - μ≤ε) - P(X - μ < -ε) 9. 根据对称性，我们知道P(X - μ < -ε) = P(X - μ > ε)10. 将第9步的结果代入第8步的等式中，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = 2P(X - μ≤ε)三、切比雪夫不等式的应用场景 切比雪夫不等式在概率论和统计学中有广泛的应用场景。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
2.方差计算 由方差定义：D( X ) E{X E( X )2 } E[g( X )]
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
用均值计算方差定理:
证明： D( X ) EX E( X )2 E X 2 2XE( X ) E( X ) 2
b
1
a
,
a x b;
0,
其 它.
E(X)
b a
b
x
a
dx
a
2
b
.
E X2
b a
x2 ba
dx
a2
ab 3
b2
D( X ) E X 2 E( X )2 a 2 ab b2 (a b)2 (b a)234 Nhomakorabea12
例题10-1-3
解
其密度函数为
f
x
e x
,
0,
x 0; 其 它.
E( X 2 ) E(Y 2 ) 2E( XY ) E 2 ( X ) E 2 (Y ) 2E( X )E(Y )
X、Y独立， D( X Y ) [E( X 2 ) E 2 ( X )] [E(Y 2 ) E 2 (Y )] 2E( X )E(Y ) 2E( X )E(Y ) D( X ) D(Y )
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
Y g( X )时，E(Y ) E[g( X )]
g( x)P( x) g( x) f ( x)dx
x
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
回顾： 1.原点矩 定义1 设 X 是随机变量，则称
2.中心 矩
为X 的 k 阶原点矩。
显然：v1 E( X )
E( X 2 ) 2E( X )E( X ) E( X )2 E( X 2 ) E( X )2
3.例题讲解 例题10-1-1 设随机变量
，求方差 D(X )。
解 PX m m e m 0,1, 2, .
m!
E(X)
m
m e
m0 m!
E X 2 m 2 m e e m m1 k m 1 e k 1 k
2 3
X的4阶中心矩为 4
4
4 3 1
6
2
2 1
3
4 1
4! 4
4
3! 3
1
6
2! 2
(1
)2
3( 1
)4
9
4
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
一、方差与标准差
1.定义
背景：在统计应用中，二阶中心矩的具有特殊的重要性。 因为它能表达随机变量的偏离程度，这种偏离程度是均值无 法反映的。例如，某小公司有10个员工，它们的年薪分别是 （万元）25,18,36,28,16,20,29,32,41,150.其均值是39万5千 元。于是老板宣布我们公司的平均年薪39万5千元。这引起 多数员工的不满。为什么？因为数据中有150万元是老板自 己的年薪，其它9人中有6人偏离均值很远。本例说明，均值 只代表平均收入，却不能表达数据的偏离度。在中心矩概念 中，二阶中心矩表述了变量与其均值之间的差的程度，为此 将它作为衡量变量偏离均值的专有量值，并命名为方差。
E
X E(X)
( X )
EX E( X )
(X)
E(X) E(X)
(X)
0
D(Z )
D
X
E(X
(X)
)
DX
E( X )
2(X )
D( X )
2(X)
2(X ) 2(X )
1
X 的标准化的随机变量。
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例10-1-5. 二项分布均值与方差
同理可证：D( X Y ) D( X ) D(Y )
口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加 利用定理3，用归纳法可以证明以下推论
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例10-1-4. 均值为0,方差为1的特殊分布 设随机变量X 的数学期望为E( X ) ，标准差为
设随机变量
证明：
证
E(Z)
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
离差与偏差定义 随机变量X 与其数学期望的差叫做随机变量X的离差。即
离差的平方的数学期望叫做随机变量X 的方差,记作
标准差 随机变量X 的方差的算术平方根叫做随机变量X 的 标准差或均方差，记作σ(X)，即 或
说明：1..D(X)非负，且D(X)即是二阶中心距 2.实际应用中常用标准差，它与随机变量的量纲一
定义2 设X 是随机变量，则称
为X 的 k 阶中心矩。
3.原点矩与中心矩的关系
1 E[X E( X )] 0
2
3
2
2 1
3 3
2
1
2
3 1
4
4
4 3 1
6
2
2 1
3
4 1
第九讲 均值、矩与方差
例题
设随机变量X服从e( )，求X的k阶原点矩及三阶、四阶中心矩
解
X的 概
率密度
为f (
x)
m0 m!
m1 m 1 !
k 0
k!
e k1
k 1
k 1
!
k 0
k
k!
e
e
e
1
D( X ) E X 2 E( X )2 1 2
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例题10-1-2 设随机变量
，求方差 D(X )。
解
其密度函数为
f
x
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
E(
X
)
0
x
e x
dx
1
E X 2
x 2
0
e x
dx
tx 1
2
t 2e t
0
dt
3
2
2
2
D( X ) E
4.方差性质
X2
E(X )2
2
2
1
2
1
2
1.定理（1、2）
证明 DaX b E aX b EaX b 2
E aX b aE( X ) b 2 E aX E( X ) 2
e x
,
x0
0,
x0
X的k阶 原 点 矩 为
k ( X )
x k e xdx x k e x dx
0
0
1 xt
k
t k e t dt
0
(k 1) k
k! k
1
2
6
v1 , v2 2 , v3 3
X的3阶中心矩为3
3
3 2 1
2
3 1
3! 3
3
2! 2
1
2( 1 )3
E a2X E( X )2 a2 E X E( X ) 2 a2D( X )
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
定理3
若X、Y独立，则D( X Y ) D( X ) D(Y )
证 明 ：D( X Y ) E[(X Y )2 ]－[E( X Y )]2
E( X 2 Y 2 2XY ) [E( X ) E(Y )]2