相关系数与切比雪夫不等式
切雪比夫不等式公式
切雪比夫不等式公式切雪比夫不等式，又称切比雪夫不等式，是概率论中一条重要的不等式。
它是由俄罗斯数学家切比雪夫于1867年提出的，用于描述一组数据与其平均值之间的关系。
切雪比夫不等式的表述方式有多种，但其核心思想始终如一：数据的分布越集中，离均值越近，概率越大。
切雪比夫不等式的一种常见形式是：对于任意正数ε，当ε大于0时，有P(|X-μ|≥ε)≤σ^2/ε^2，其中X为随机变量，μ为其均值，σ^2为其方差。
想象一个寒冷的冬日，大雪纷飞，寒风凛冽。
人们行走在雪地中，足迹踏下的痕迹有时靠近，有时疏远。
这些足迹就好比数据点，而人们的平均位置则是数据的均值。
切雪比夫不等式告诉我们，无论是靠近还是疏远，数据点总是有一定的概率分布在平均位置附近。
这个不等式的意义在于，它揭示了数据的分布特性。
当数据越集中，方差越小时，切雪比夫不等式的右侧项σ^2/ε^2就越小，因此左侧项P(|X-μ|≥ε)的值就越小，即数据点离均值的距离大于ε的概率就越小。
切雪比夫不等式的应用非常广泛。
在统计学中，它可以用来估计数据点偏离均值的程度。
在机器学习中，它常被用来衡量模型的性能，判断模型对数据的拟合程度。
在金融领域，它可以用来评估投资风险，帮助投资者做出理性的决策。
切雪比夫不等式的思想贯穿于各个领域，它告诉我们，无论是数据分析还是决策制定，我们都需要考虑数据的分布特性。
只有深入理解数据的分布规律，我们才能更好地把握事物的本质，做出准确的判断和决策。
正如大雪纷飞的冬日，我们需要仔细观察足迹，了解数据的分布情况。
只有这样，我们才能走得更加稳健，更加自信。
切雪比夫不等式给予我们这样的启示，让我们在决策和分析中更加谨慎，更加准确。
切雪比夫不等式，不仅是一条数学公式，更是一种思维方式，一种洞察事物本质的能力。
让我们用切雪比夫不等式的思想，去探索更广阔的世界。
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
在考研数学概率论与数理统计中，切比雪夫不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其它一些十分有用的结论或重要的定理，如切比雪夫大数定律等，然而有些同学对这个不等式不是很理解，也不太会利用该不等式去解决相关问题，另外，很多资料上也没有对该不等式进行完整的分析或证明，为此，在这里对比雪夫不等式及其典型例题做些分析总结，供各位2016考研的朋友和其它学习的同学参考。
一、切比雪夫不等式的分析证明
从上面的分析我们看到，利用切比雪夫不等式可以对随机变量在其均值附近的对称区间内取值的概率进行估计，它也说明了方差的基本特性，即随机变量的方差越小，随机变量取值越集中，方差越大，则取值越分散，不论对于什么随机变量，它在区间
内取值的概率基本都是约90%。
以上分析希望对大家理解和应用切比雪夫不等式有所帮助，最后预祝各位考生2016考研成功。
第45讲 切比雪夫不等式
第五章大数定律及中心极限定理§0 切比雪夫不等式§1大数定律§2中心极限定理§5.0切比雪夫不等式定理（切比雪夫不等式）设随机变量X 的数学期望E (X )和方差D (X )都 存在，则对任意ε > 0，都有百度传课 我们知道，随机变量X 的方差D (X )描述的是X 的取值偏离其均值E (X )的程度。
下面这个定理给出了方差与均值满足的一个 不等式。
四川大学 徐小湛证（连续型）设X的概率密度为f(x)百度传课证（离散型）设X的分布律为p k =P{X =xk}(k =1,2,..)切比雪夫不等式的意义：在随机变量X的分布未知，而只知道X的均值和方差（或已知分布但很复杂）的情况下，切比雪夫不等式给出了概率的一个估计范围。
切比雪夫不等式可用于以下情形：在已知E(X), D(X)的情况下(1)对给定的ε> 0，估计|X-E(X)| ≥ε的概率。
(2)对给定的概率p ，确定所需的区间长度，即确定满足不等式的ε。
百度传课 、 。
切比雪夫 (1821~1894) ЧебышёвChe bys hev 俄罗斯数学家、力学家。
他一生发表了70多篇科学论 文，内容涉及数论、概率论 函数逼近论、积分学等方面 他证明了贝尔特兰公式，自 然数列中素数分布的定理， 大数定律的一般公式以及中 心极限定理。
例子解例 若随机变量X 服从参数为 2 的泊松分布， 用切比雪夫不等式估计，P {|X -2|≥4}≤1 8 。
42 16 8P { X -2 ≥ 4} = P { X - E (X ) ≥ 4} ≤ D (X ) = 2 = 1课 例 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯 开灯的概率都是0.7。
假设电灯开、关时间彼 此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800 与7200盏之间的概率。
10000 7199 k C (0.7)k (0.3)10000-kk =6801 = ∑ 计算量太大。
概率论第四章-切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
或 成立， P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε 成立，
1
2
|x−µ |
2
ε
2
f (x)dx ≤ ∫
2
|x−µ |2
≤
ε
∫(x−µ)
f (x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f (x)dx
2
是 于 P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
切比雪夫不等式 证明切贝谢夫大数定律； 说明 （1）证明切贝谢夫大数定律； （2）表明D（X）描述了X偏离E（X）的离散程度； 表明D 描述了X偏离E 的离散程度； （3）给出X的分布未知时，事件 给出X的分布未知时， 概率的一个大致估计。 概率的一个大致估计。 大致估计 |X|X-E（X）|＜ε的
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
2 2
称此式为切比晓夫不等式. 称此式为切比晓夫不等式.
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
5.1切比雪夫不等式
独立 不相关 ，但反之不然
Ch5 . 大数定律与中心极限定 理
§5.1 切比雪夫不等式
2 设随机变量X有期望μ和方差 ，则对于任 给 >0,
或
P (| X | ) 2 2 P (| X | ) 1 2
2
由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则 事件（|X-μ|<ε）的概率越大，即随机变量X集中 在期望μ 附近的可能性越大.
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，EX=7300,DX=7002 所求为 P(5200≤ X ≤9400) P(5200≤ X ≤9400) =P(5200-7300≤ X-7300 ≤9400-7300) =P(-2100≤ X-EX ≤2100)
700 2 8 DX 1( ) P (| X EX | 2100) 1 2 2100 ( 2100) 9
2 P (| X | ) 1 2
2 如取 3 ，P (| X | 3 ) 1 2 0.889 9
对比 3规则：若X ~ N ( , 2 )，则
P (| X | 3 ) 0.9973
例1 已知正常成人血液中，每一毫升白细胞数平 均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式 估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .
方差
DX=E(X-EX)2 =E(X2)-(EX)2 （若X与Y独立， D(X±Y)= DX+DY ）
协方差 Cov ( X ,Y ) E ( X EX )(Y EY )
=E(XY) -EXEY
（若X与Y独立， Cov(X,Y ( X ,Y ) DXDY
切比雪夫定理
3.例题讲解 例题11-1-1 设随机变量
，求方差 D(X )。
解 PX m m e m 0,1, 2, .
m!
E(X)
m
m e
m0 m!
E X 2 m 2 m e e m m1 k m 1 e k 1 k
同理可证：D( X Y ) D( X ) D(Y )
口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加 利用定理3，用归纳法可以证明以下推论
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例11-1-4. 均值为0,方差为1的特殊分布 设随机变量X 的数学期望为E( X ) ，标准差为
设随机变量
证明：
证
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
Y g( X )时，E(Y ) E[g( X )]
g( x)P( x) g( x) f ( x)dx
x
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
回顾： 1.原点矩 定义1 设 X 是随机变量，则称
2.中心 矩
为X 的 k 阶原点矩。
显然：v1 E( X )
x 0; 其 它.
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
E(
X
)
0
x
e x
dx
1
E X 2
x 2
0
e x
dx
tx 1
2
t 2e t
0
dt
3
2
2
2
D( X ) E
4.方差性质
X2
E(X )2
2
2
1
2
1
2
切比雪夫不等式 证明
切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式是数学中的一个重要不等式，它可以用来估计一个随机变量与其均值之间的差距。
下面是切比雪夫不等式的证明：假设X是一个随机变量，其均值为μ，方差为σ²（方差的定义为Var(X) = E[(X-μ)²]）。
对于任意大于0的实数k，我们希望证明以下不等式成立：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²首先，我们定义一个新的随机变量Y，表示X与其均值之间的差距的绝对值：Y = |X-μ|。
根据Y的定义，我们可以得到：Y²= (X-μ)²由于Y²始终大于或等于0，我们可以对Y²应用马尔可夫不等式（Markov's inequality），得到：P(Y²≥k²σ²) ≤E(Y²) / (k²σ²)接下来，我们计算Y²的期望（E(Y²)）：E(Y²) = E((X-μ)²) = Var(X) = σ²将E(Y²)代入不等式中，得到：P(Y²≥k²σ²) ≤σ²/ (k²σ²)化简后可得：P(Y²≥k²σ²) ≤1/k²由于Y²与|X-μ|²是等价的，我们可以将不等式中的Y²替换为|X-μ|²：P(|X-μ|²≥k²σ²) ≤1/k²最后，我们注意到，对于任意实数a和b，若a²≥b²，则|a| ≥|b|。
因此，我们可以将不等式中的|X-μ|²替换为|X-μ|，得到最终形式的切比雪夫不等式：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²这就完成了切比雪夫不等式的证明。
需要注意的是，切比雪夫不等式并没有给出具体的概率估计，它只给出了一个上界。
3-4切比雪夫不等式与大数定律
P(2100 X E(X) 2100) P( X E(X) 2100)
1
(
D( X ) 2100)2
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400间的概率不小于8/9 .
二、依概率收敛简介
设 {Xn }为一随机变量序列(n=1, 2, ...), a R, 若对 0,
设nA为n次独立重复试验中随机事件A发生的次数,p是
事件A在每次试验中发生的概率,则对任意 0, 成立
lim P{ nA p } 1, 即 nA P p( A)
n
n
n
说明：
(证明见下页)
(1)
n重伯努利试验中, 事件A发生的频率Rn( A)
nA n
P p( A)
(2) 试验次数充分大时,可用频率 nA 近似代替概率p( A) n
E( X ) xf ( x)dx x f ( x)dx x f ( x)dx
0
0
x f ( x)dx
f ( x)dx
P{X }
改写为: P{X } E( X )
2、切比雪夫不等式
设随机变量X的E( X )存在, D( X ) 2 , 则对 >0,有
P{| X E( X ) | } 2 , 或 P{| X E( X ) | } 1 2
(4) 设Xn P a, 函数y g( x)在x a处连续, 则g( X n ) P g(a).
(5) 设Xn P a, Yn P b,函数g( x, y)在点(a, b)处连续, 则 g( Xn ,Yn ) P g(a, b).
三、大数定律（难点）
背景：
大数定律研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值 收敛于其均值的算术平均值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
2.方差计算 由方差定义：D( X ) E{X E( X )2 } E[g( X )]
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
用均值计算方差定理:
证明： D( X ) EX E( X )2 E X 2 2XE( X ) E( X ) 2
b
1
a
,
a x b;
0,
其 它.
E(X)
b a
b
x
a
dx
a
2
b
.
E X2
b a
x2 ba
dx
a2
ab 3
b2
D( X ) E X 2 E( X )2 a 2 ab b2 (a b)2 (b a)234 Nhomakorabea12
例题10-1-3
解
其密度函数为
f
x
e x
,
0,
x 0; 其 它.
E( X 2 ) E(Y 2 ) 2E( XY ) E 2 ( X ) E 2 (Y ) 2E( X )E(Y )
X、Y独立， D( X Y ) [E( X 2 ) E 2 ( X )] [E(Y 2 ) E 2 (Y )] 2E( X )E(Y ) 2E( X )E(Y ) D( X ) D(Y )
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
Y g( X )时，E(Y ) E[g( X )]
g( x)P( x) g( x) f ( x)dx
x
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
回顾： 1.原点矩 定义1 设 X 是随机变量，则称
2.中心 矩
为X 的 k 阶原点矩。
显然：v1 E( X )
E( X 2 ) 2E( X )E( X ) E( X )2 E( X 2 ) E( X )2
3.例题讲解 例题10-1-1 设随机变量
，求方差 D(X )。
解 PX m m e m 0,1, 2, .
m!
E(X)
m
m e
m0 m!
E X 2 m 2 m e e m m1 k m 1 e k 1 k
2 3
X的4阶中心矩为 4
4
4 3 1
6
2
2 1
3
4 1
4! 4
4
3! 3
1
6
2! 2
(1
)2
3( 1
)4
9
4
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
一、方差与标准差
1.定义
背景：在统计应用中，二阶中心矩的具有特殊的重要性。 因为它能表达随机变量的偏离程度，这种偏离程度是均值无 法反映的。例如，某小公司有10个员工，它们的年薪分别是 （万元）25,18,36,28,16,20,29,32,41,150.其均值是39万5千 元。于是老板宣布我们公司的平均年薪39万5千元。这引起 多数员工的不满。为什么？因为数据中有150万元是老板自 己的年薪，其它9人中有6人偏离均值很远。本例说明，均值 只代表平均收入，却不能表达数据的偏离度。在中心矩概念 中，二阶中心矩表述了变量与其均值之间的差的程度，为此 将它作为衡量变量偏离均值的专有量值，并命名为方差。
E
X E(X)
( X )
EX E( X )
(X)
E(X) E(X)
(X)
0
D(Z )
D
X
E(X
(X)
)
DX
E( X )
2(X )
D( X )
2(X)
2(X ) 2(X )
1
X 的标准化的随机变量。
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例10-1-5. 二项分布均值与方差
同理可证：D( X Y ) D( X ) D(Y )
口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加 利用定理3，用归纳法可以证明以下推论
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例10-1-4. 均值为0,方差为1的特殊分布 设随机变量X 的数学期望为E( X ) ，标准差为
设随机变量
证明：
证
E(Z)
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
离差与偏差定义 随机变量X 与其数学期望的差叫做随机变量X的离差。即
离差的平方的数学期望叫做随机变量X 的方差,记作
标准差 随机变量X 的方差的算术平方根叫做随机变量X 的 标准差或均方差，记作σ(X)，即 或
说明：1..D(X)非负，且D(X)即是二阶中心距 2.实际应用中常用标准差，它与随机变量的量纲一
定义2 设X 是随机变量，则称
为X 的 k 阶中心矩。
3.原点矩与中心矩的关系
1 E[X E( X )] 0
2
3
2
2 1
3 3
2
1
2
3 1
4
4
4 3 1
6
2
2 1
3
4 1
第九讲 均值、矩与方差
例题
设随机变量X服从e( )，求X的k阶原点矩及三阶、四阶中心矩
解
X的 概
率密度
为f (
x)
m0 m!
m1 m 1 !
k 0
k!
e k1
k 1
k 1
!
k 0
k
k!
e
e
e
1
D( X ) E X 2 E( X )2 1 2
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例题10-1-2 设随机变量
，求方差 D(X )。
解
其密度函数为
f
x
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
E(
X
)
0
x
e x
dx
1
E X 2
x 2
0
e x
dx
tx 1
2
t 2e t
0
dt
3
2
2
2
D( X ) E
4.方差性质
X2
E(X )2
2
2
1
2
1
2
1.定理（1、2）
证明 DaX b E aX b EaX b 2
E aX b aE( X ) b 2 E aX E( X ) 2
e x
,
x0
0,
x0
X的k阶 原 点 矩 为
k ( X )
x k e xdx x k e x dx
0
0
1 xt
k
t k e t dt
0
(k 1) k
k! k
1
2
6
v1 , v2 2 , v3 3
X的3阶中心矩为3
3
3 2 1
2
3 1
3! 3
3
2! 2
1
2( 1 )3
E a2X E( X )2 a2 E X E( X ) 2 a2D( X )
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
定理3
若X、Y独立，则D( X Y ) D( X ) D(Y )
证 明 ：D( X Y ) E[(X Y )2 ]－[E( X Y )]2
E( X 2 Y 2 2XY ) [E( X ) E(Y )]2