切比雪夫不等式的应用
切比雪夫不等式及其应用
切比雪夫不等式及其应用王林（2013080201031）指导教师：吕恕摘要：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它是证明切比雪夫大数定律的重要工具和理论基础。
从切比雪夫不等式的证明切入，然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律，最后给出了切比雪夫不等式的一些应用，讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。
关键词：切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用0.引言切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它不但用于理论证明，而且用于随机变量取值概率的估计，且其推广形式有许多方面的应用。
1.切比雪夫不等式设随机变量X 存在数学期望E(X)和方差D （X)，则对任意实数ε有：P{X-E(X)}≥ε}≤2)(εX D证明：（1）设X 为离散型随机变量，其分布列为P(X=i X ）=i P （i=1,2,3...)则P{|X-E(X)|ε≥}=∑∑∞=≥-=-≤1222)|(|)())((1i i i X E X i X D P X E X P i εεε （2）设X 为连续性随机变量，其概率密度为P （X),由于E(X),D(X)均存在，则有D(X)=⎰+∞∞--dx X P X E X )())((2⎰⎰-∞-+∞+-+-≥εε)()(22)())(()())((X E X E dx X P X E X dx X P X E X ⎰⎰-∞-+∞++≥εεεε)()(22)()(X E X E dx X P dx X P =))(())((22εεεε+≥+-≤X E X X E X P)|)((|2εε≥-=X E X P2)()|)(|(εεX D X E X P ≤≥-∴ (1)切比雪夫不等式还有另一种形式，2)(1)|)((|εεX D X E X P -≥<- (2)由切比雪夫不等式得，D(X)越小，则表明X 的取值越集中在E(X)附近；反之D(X)越大，说明X 的取值越分散。
说明，方差刻画了随机变量取值的离散程度。
叙述切比雪夫不等式
切比雪夫不等式1. 引言切比雪夫不等式（Chebyshev’s inequality）是概率论中的一个重要不等式，它给出了随机变量离其均值的距离与方差之间的关系。
切比雪夫不等式是概率论中最基本的不等式之一，广泛应用于统计学、概率论、数理统计以及机器学习等领域。
2. 定义设X是一个随机变量，其均值为μ，方差为σ²。
对于任意大于0的实数k，切比雪夫不等式给出了X与其均值之间的关系：P(|X-μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²其中，P表示概率。
换句话说，对于任意大于0的实数k，随机变量X与其均值之间的距离超过k个标准差的概率不会超过1/k²。
3. 推导要理解切比雪夫不等式，我们需要从概率的角度来推导。
首先，对于任意一个随机变量X，我们可以将其分布函数表示为F(x)。
根据定义，F(x)表示随机变量X小于等于x的概率，即P(X ≤ x)。
接着，我们考虑随机变量X与其均值之间的距离：|X-μ|。
我们希望找到一个与|X-μ|有关的概率上界。
根据概率的性质，我们有：P(|X-μ| ≥ kσ) = P((X-μ)² ≥ k²σ²)再根据随机变量的方差定义，我们有：P((X-μ)² ≥ k²σ²) = P((X-μ)²/σ² ≥ k²)进一步，我们可以将(X-μ)²/σ²表示为一个新的随机变量Y：Y = (X-μ)²/σ²那么，我们的目标就是找到一个概率上界，使得P(Y ≥ k²) ≤ 1/k²。
为了达到这个目标，我们可以利用随机变量Y的特性。
首先，根据随机变量的非负性，我们知道Y必须大于等于0。
其次，根据随机变量的期望定义，我们有E(Y) = E((X-μ)²/σ²) = Var(X)/σ² = 1。
因此，随机变量Y的期望为1。
基本不等式难题
基本不等式难题
一、基本不等式概述
基本不等式（或称切比雪夫不等式）是数学中一种非常常见的不等式，其一般形式为：对于任意实数a、b、c和正实数k，有（a+b+c）/3 ≥
（√(ak^2 + bk^2 + ck^2)）/√3。
基本不等式在数学分析、概率论、工程数学等领域有着广泛的应用。
二、基本不等式的应用场景
1.求解最值问题：当需要求解一个函数在特定条件下的最大值或最小值时，可以利用基本不等式进行求解。
2.求解不等式：将基本不等式与其他不等式形式结合，可以求解一些复杂的不等式问题。
3.求解平均值问题：在求解多个数的平均值问题时，可以利用基本不等式得到一个下界或上界。
4.概率论中的应用：在概率论中，基本不等式可用于估计一些随机变量的期望值、方差等。
三、基本不等式的证明方法
1.平均值不等式法：利用平均值不等式，可以得到基本不等式的一个证明。
2.切比雪夫不等式法：利用切比雪夫不等式，可以得到基本不等式的一个证明。
3.柯西不等式法：利用柯西不等式，可以得到基本不等式的一个证明。
四、基本不等式的推广与拓展
1.当a、b、c不全相等时，基本不等式仍然成立。
此时，可以利用柯西不等式进行证明。
2.基本不等式在复数领域也有相应的推广，称为复数基本不等式。
五、总结与建议
基本不等式在数学及其应用领域具有重要意义。
掌握基本不等式的应用场景、证明方法和推广，有助于解决实际问题。
在学习过程中，要多加练习，提高自己对基本不等式的理解和运用能力。
同时，了解基本不等式的局限性，如在a、b、c不等式中，当a、b、c两两相等时，基本不等式不成立。
切比雪夫不等式应用
切比雪夫不等式应用
切比雪夫不等式是概率论中一个重要的不等式，它给出了随机变量偏离其均值的程度与方差的关系。
具体来说，对于一个随机变量X，其均值为μ，方差为σ^2，则对于任意正数k，有如下不等式成立： P(|X-μ|≥kσ)≤1/k^2
这个不等式的重要性在于它可以用来估计一个随机变量的概率
分布。
例如，如果我们知道一个随机变量的均值和方差，那么可以用切比雪夫不等式得到它与均值相差k倍标准差的概率上界，从而对随机变量的分布进行估计。
切比雪夫不等式还可以应用于样本均值的估计。
假设我们从总体中取得一个大小为n的随机样本，样本均值为X_bar，样本方差为S^2，则我们可以用切比雪夫不等式得到样本均值与总体均值相差k倍标
准误差的概率上界，从而对总体均值进行估计。
总之，切比雪夫不等式在统计学和概率论中有着广泛的应用，是一种重要的工具。
- 1 -。
几何图形的切比雪夫不等式
几何图形的切比雪夫不等式在数学中，我们常常遇到需要估计几何图形之间距离的问题。
而切比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）为我们提供了一种有效的估计方法。
本文将介绍切比雪夫不等式的定义和应用，并通过实例来说明其实用性。
一、切比雪夫不等式的定义切比雪夫不等式是由俄罗斯数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）于1867年提出的。
该不等式描述了一维实数集合中数值距离的分布情况。
而在几何图形中，我们可以将其应用到二维平面上的点集之间的距离估计。
定义：对于在平面上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离d满足以下不等式：d ≤ max(|x1 - x2|, |y1 - y2|)其中max为取两个数中的较大值的函数。
二、切比雪夫不等式的应用1. 距离估计切比雪夫不等式为我们提供了一种简便的方式来估计两点之间的距离。
通过计算两点在x和y方向上坐标差的绝对值，我们可以得到一个上界，在平面上任意一点与这两点之间的真实距离d一定小于等于这个上界。
这在实际应用中有很多用途，比如在地理信息系统中计算两个地点之间的地面距离等。
2. 图像处理在图像处理领域，切比雪夫不等式可以用来估计图像中不同像素之间的差异。
通过比较像素之间在RGB或灰度空间的数值差异，我们可以得到一个上界，该上界可以用来判断两个像素是否相似。
例如，当两个像素的RGB数值差异小于某个阈值时，我们可以认为它们是相似的。
通过切比雪夫不等式的应用，我们可以更加高效地进行图像相似性的判断。
三、切比雪夫不等式的实例应用为了更好地理解切比雪夫不等式的应用，我们以图形距离估计的实例来说明。
假设我们有一个平面上的正方形ABCD，其中A(0, 0)、B(0, 2)、C(2, 2)、D(2, 0)。
现在我们需要估计任意一点P(x, y)与这个正方形之间的最短距离。
根据切比雪夫不等式的定义，我们可以计算点P与正方形ABCD的四个顶点之间的距离，并取最大值作为距离的上界。
切比雪夫不等式及其应用
切比雪夫不等式及其应用【标题】切比雪夫不等式及其应用【作者】许娟【关键词】切比雪夫不等式?大数定律?随机变量?伯努利试验【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】1引言概率论是一门研究随机现象数量规律的科学．而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一,所以它的应用是非常多的,它可以解决或说明很多关于分布的信息．尤其在估计某些事件的概率的上下界时，常用到切比雪夫不等式．另外，切比雪夫不等式和切比雪夫大数定理是概率论极限理论的基础，其中切比雪夫不等式又是证明切比雪夫大数定理的重要工具和理论基础，而且以切比雪夫不等式的基础上发展起来了一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具．切比雪夫不等式作为一个理论工具，它的应用是普遍的．事实上，马尔可夫不等式也是切比雪夫不等式的第一种推广形式．在切比雪夫不等式的诞生至今，切比雪夫不等式的应用性质还没有条理性的给出，本文将在切比雪夫不等式在随机现象中的应用方面进行探究．2切比雪夫不等式的基本理论2.1切比雪夫不等式的有限形式和积分形式定理1（有限形式）?若?和?是两个实序列，且满足?或?则成立如下的不等式?（1）不等式（1）称为切比雪夫不等式．为叙述积分形式的切比雪夫不等式，先给出一个定义．?定义如果函数?与?对一切?均成立?，则?与?成拟序；倘若反向的不等式成立，则称?与?成反序．下面是切比雪夫不等式的积分形式?定理2如果连续函数?与?在区间?上成拟序，则成立如下的不等式?（2）相反，如果?与?成反序，则不等号反向．不等式(2)称为切比雪夫不等式的积分形式．定理2的简易证明方法如下．证明只须证明?与?成拟序的情形（反序可以类似证明）引入辅助函数，?求导得，?由于?与?在?上成拟序，故有?，于是?，因此?上单调递增，又?，即?，移项，即得到要证明的不等式．切比雪夫不等式的有限形式和积分形式其实是一种新的证明方法，可以证明许多含有积分形式的不等式．其主要应用于数学分析的解题，它可以灵活简便的解决一些较难微积分中有关不等式的题型．但是切比雪夫不等式的有限形式和积分形式在应用中有很多的条件限制，要满足全部的条件后才能使用于解题当中．2.2切比雪夫不等式的概率形式定理3?设随机变量?存在数学期望?和方差?，则对任意常数?有或?切比雪夫这两种表达形式是等价的，下面是其的证明过程．证明?（1）设X为离散型随机变量，其分布列为?,?则（2）设X为连续随机变量，其概率密度函数为?，由于?存在，则切比雪夫不等式仅用数学期望及方差就对随机变量在某范围取值的概率做出估计许多常见的随机变量的分布，当随机变量的分布未知时，由期望和方差、利用切比雪夫不等式也能提供关于分布的信息，利用这个信息可以粗略的估计随机变量落入关于其数学期望对称区间内的概率．从切比雪夫不等式的证明步骤中，我们可以看出在含有期望和方差的概率不等式的证明方法．第一步是先将随机变量在区间内取值的概率用其概率密度在该区间上的积分表示．第二步是利用随机变量取值满足的不等式，将被积函数放大，产生概率不等式．第三步是将被积分区间扩大为?，将积分再次放大，且使积分化为随机变量或随机变量的函数的期望和方差表示?，则得到要证明的概率不等式．3?切比雪夫不等式的应用3.1切比雪夫不等式的推广例1、若连续型随机变量?有?（?为正常数），则对任意的?，有?．证明?设?的概率密度为?，?函数?为非减函数，?事件?与事件等价．故即得证．（该证明是以切比雪夫不等式推导出马尔可夫不等式的证明过程）例2、设?，且为非降函数，设?为连续型随机变量且?存在．?试证对任意，有?．证明?设随机变量?的概率密度为?，则有?．由于?，且非降，故当?时，有?，?既得证．（这是切比雪夫不等式的一种推广，当?时，即为切比雪夫不等式．）3．2估计随机变量?内的概率基本步骤为（1）选择随机变量；（2）计算数学期望?与方差?；（3）将事件?改写为?或?的形式，确定?；（4）利用切比雪夫不等式估计所求的概率．估计随机变量?内的概率还可以用于伯努利试验.在二项分布中，频率与概率的精度估计不等式的两种形式?主要问题之一就是与切比雪夫不等式有关的，已知?和估计事件的概率求实验的次数?．下面的例3就是该问题的相应例题．例3、一颗骰子连续掷6次，点数总和记为?，试估计?．分析?该题是估计随机变量?落入区间?内的概率的典型题，根据上面给出的基本步骤既可解答．解?设第?次掷得的点数为?（显然互相独立，?），则?．由?的分布为得故因而，由?的独立性有?故由切比雪夫不等式可得例4、已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在?之间的概率?．解?设?表示每毫升血液中含白细胞个数，则?而?又?所以?例5、设伯努利实验的参数?，问至少需要进行多少次这种试验才能使频率在0．74到0．76之间的概率至少为0．90？解?设?重伯努利实验中成功的次数为，则?~?，依题意得?由切比雪夫不等式及?可知?令其?．故至少要做?次试验才能保证频率在?间的频率至少为?．3.3估计的?值，使?例6、设在相同条件下，独立地对某物件长度?进行?次测量，各次的测量结果?均服从正态分布?，记?，问该物体的长度至少要测量多少次，才能使用测量的平均值作为物体长度，且真值的近似值的误差不超过?的概率不小于?．分析?该题解读后，我们可以知道要应用切比雪夫不等式来解答．故该题第一步要求出?和?；第二步将?化成?的形式，再用切比雪夫不等式进行估计解答．解?设对物体进行?次独立测量，依题意可得，要求?即可．由切比雪夫不等式可得即为所以,只需?．至少做12次测量才能使测量的平均值作为物体长度，且真值的近似值的误差不超过?的概率不小于0．99．例7、设?为随机变量，已知?存在，若要求?，问?至少是多少？解?由切比雪夫不等式得到所以，?至少为0．3．?例? 8、投掷一枚硬币，为了至少有?的把握使正面向上的频率在?与?之间，试估计投掷的次数?．解?用?表示在?次试验中出现正面的次数显然，次试验中事件A出现的频率为?；由切比雪夫不等式得由题意可知解得即至少要投掷这枚硬币?次，才能至少有?的把握使正面向上的频率在?与?之间．4?证明不等式和大数定理4.1证明不等式例9、,证明?解?故可把问题转化为?的形式?于是取?又所以，由切比雪夫不等式得到即得证．例10、证明?若?则?证明?由于?而?所以,由切比雪夫不等式得即在例10中可以知道，应用切比雪夫不等式只能直接估计方差存在的随机变量在以期望值为中心的对称区间上取值的概率．例11、设?是随机变量列，且有?，令?，证明?依概率收敛于?证明?由于?由切比雪夫不等式得依概率收敛于?．4.2证明大数定律定理4?（切比雪夫定理）?设独立随机变量序列的数学期望?和方差?都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常数?，使得则对于任意的正数?，有．证明我们用切比雪夫不等式证明该定理．因为，而?相互独立性，所以应用切比雪夫不等式得因为，所以，由此得?当?时，得?但是概率不能大于1，所以有?证毕．从证明过程我们可以看出，切比雪夫大数定理是切比雪夫不等式的推论．定理5?（伯努利定理）?在独立试验序列中，设事件A的概率?，则对于任意的正数?，当试验的次数?时，有?其中?是事件A 在n次试验中发生的频率．证明设随机变量?表示事件A在第?次试验中发生的次数（?），则这些随机变量相互独立，服从相同的“0-1”分布，并有数学期望与方差?于是，由切比雪夫定理得易知?就是事件A在n次试验中发生的次数?，由此可知?，所以有证毕．5总结切比雪夫不等式的概率的两种表达形式是等价的，从上面的典型例题和分析我们把切比雪夫不等式归结为以下的几点?（一）它刻化了随机变量取值的离散程度．切比雪夫不等式估计出随机变量在区间?内取值的概率不小于?，由此可知?若方差越小，则概率?越大，说明随机变量?取值在数学期望?附近的密集程度越高；若方差越大，则概率?越小，说明随机变量?取值在数学期望?附近的密集程度越低．切比雪夫不等式说明方差刻化了随机变量的取值对其期望的离散程度．（二）估计随机变量落入有限区间的概率．许多常见的随机变量的分布，当类型已知时，可以完全由它的数学期望和方差决定．当随机变量的分布未知时，由期望和方差、利用切比雪夫不等式也能提供关于分布的信息（实用性强），利用这个信息可以粗略的估计（估计粗略）随机变量落入关于其数学期望对称区间内（有限制）的概率．（三）说明随机变量取值偏离?超过?的概率很小．在切比雪夫不等式中，取?，则?．可见，对任何分布，只要期望?和方差?存在，则随机变量取值偏离?超过?的概率是很小的，不超过0．111．（四）切比雪夫不等式可以求解或证明有关概率不等式．切比雪夫不等式是证明切比雪夫大数定理的重要工具和理论基础，而且以切比雪夫不等式的基础上发展起来了一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具．所以由切比雪夫不等式我们可以推导出切比雪夫大数定理，由于伯努利大数定理又是由切比雪夫大数定理推导而来的，之后的泊松大数定理也是切比雪夫大数定理的特例，故切比雪夫不等式在概率学中有着重要的作用和意义．（五）切比雪夫不等式应用的优缺点．我们说到切比雪夫不等式在应用上是非常广泛的，但是切比雪夫不等式的应用必定有它的优点和缺点．我们在应用它时，应该注意到它的优缺点，在酌情加以应用．切比雪夫不等式的优点是无需知道?的分布，只要知道其期望和方差就可以估计事件?的概率，因而实用性强．而且切比雪夫不等式是很多不等式及大数定理的基础，所以基础性强且较简单．切比雪夫不等式的缺点是所给出的估计值一般比较粗糙，精度不够，且只限于以均值?为中心的有限对称区间．。
第45讲 切比雪夫不等式
第五章大数定律及中心极限定理§0 切比雪夫不等式§1大数定律§2中心极限定理§5.0切比雪夫不等式定理（切比雪夫不等式）设随机变量X 的数学期望E (X )和方差D (X )都 存在，则对任意ε > 0，都有百度传课 我们知道，随机变量X 的方差D (X )描述的是X 的取值偏离其均值E (X )的程度。
下面这个定理给出了方差与均值满足的一个 不等式。
四川大学 徐小湛证（连续型）设X的概率密度为f(x)百度传课证（离散型）设X的分布律为p k =P{X =xk}(k =1,2,..)切比雪夫不等式的意义：在随机变量X的分布未知，而只知道X的均值和方差（或已知分布但很复杂）的情况下，切比雪夫不等式给出了概率的一个估计范围。
切比雪夫不等式可用于以下情形：在已知E(X), D(X)的情况下(1)对给定的ε> 0，估计|X-E(X)| ≥ε的概率。
(2)对给定的概率p ，确定所需的区间长度，即确定满足不等式的ε。
百度传课 、 。
切比雪夫 (1821~1894) ЧебышёвChe bys hev 俄罗斯数学家、力学家。
他一生发表了70多篇科学论 文，内容涉及数论、概率论 函数逼近论、积分学等方面 他证明了贝尔特兰公式，自 然数列中素数分布的定理， 大数定律的一般公式以及中 心极限定理。
例子解例 若随机变量X 服从参数为 2 的泊松分布， 用切比雪夫不等式估计，P {|X -2|≥4}≤1 8 。
42 16 8P { X -2 ≥ 4} = P { X - E (X ) ≥ 4} ≤ D (X ) = 2 = 1课 例 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯 开灯的概率都是0.7。
假设电灯开、关时间彼 此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800 与7200盏之间的概率。
10000 7199 k C (0.7)k (0.3)10000-kk =6801 = ∑ 计算量太大。
中心极限定理和切比雪夫不等式
中心极限定理和切比雪夫不等式在概率论和统计学中，中心极限定理和切比雪夫不等式是两个非常重要的概念。
它们在研究随机变量和概率分布时具有广泛的应用。
下面将分别介绍这两个概念及其应用。
中心极限定理是概率论中的一项基本定理，它告诉我们，当独立随机变量的数量增加时，它们的平均值的分布将趋向于正态分布。
具体来说，中心极限定理指出，对于任意独立同分布的随机变量X1，X2，...，Xn，它们的和S_n = X1+X2+...+Xn的分布，当n趋向于无穷大时，将逼近于正态分布。
中心极限定理的重要性在于它为我们提供了一种近似计算概率的方法。
例如，在大样本调查中，我们通常无法获得全部个体的数据，而只能通过对一部分个体的观察来推断总体的特征。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布，从而可以利用正态分布的性质进行概率估计。
切比雪夫不等式是概率论中的另一个重要定理，它给出了随机变量与其均值之间的关系。
切比雪夫不等式告诉我们，对于任意一个随机变量X，无论它的分布是什么样的，至少有多少比例的观测值会落在均值的某个距离内。
具体来说，对于任意正数ε，切比雪夫不等式给出了以下不等式：P(|X-μ|≥ε) ≤ Var(X)/ε^2其中，μ是X的均值，Var(X)是X的方差。
切比雪夫不等式的重要性在于它提供了一种上界估计的方法。
在实际应用中，我们往往无法获得随机变量的精确分布，而只能通过样本数据来估计其均值和方差。
切比雪夫不等式告诉我们，无论随机变量的分布如何，我们至少可以得到一个上界估计，从而对随机变量的特征进行推断。
中心极限定理和切比雪夫不等式在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在金融领域，我们经常需要对股票价格波动进行建模和预测。
中心极限定理告诉我们，当股票价格的波动是由多个相互独立的因素引起时，其总体分布将趋向于正态分布，从而可以利用正态分布的性质进行价格预测和风险评估。
而切比雪夫不等式则为我们提供了一种估计价格波动范围的方法，从而帮助我们制定投资策略。
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一、切比雪夫不等式的应用一
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。
这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少於50分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多於4个（=36*1/9）。
二、切比雪夫不等式的应用二
已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3×10^9,标准差是0.7×10^9。
试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2×10^9至9.4×10^9之间的概率下界
解：μ=7.3×10^9,σ=0.7×10^9.
P{5.2×10^9<x<9.4×10^9}=P{|x-7.3×10^9|<2.1×10^9}=P{|x-μ|<2.1×10^9}=
1-P{|x-μ|>=2.1×10^9}
利用切比雪夫不等式
P{|x-μ|>=2.1×10^9}<=σ^2/(2.1×10^9)^2=(0.7×10^9)^2/(2.1×10^9)^2=1/9
故
P{5.2×10^9<x<9.4×10^9}=1-P{|x-μ|>2.1×10^9}>=1-1/9=8/9。