切比雪夫不等式的应用

一、切比雪夫不等式的应用一
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。

在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。

这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少於50分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多於4个（=36*1/9）。

二、切比雪夫不等式的应用二
已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3×10^9,标准差是0.7×10^9。

试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2×10^9至9.4×10^9之间的概率下界
解：μ=7.3×10^9,σ=0.7×10^9.
P{5.2×10^9<x<9.4×10^9}=P{|x-7.3×10^9|<2.1×10^9}=P{|x-μ|<2.1×10^9}=
1-P{|x-μ|>=2.1×10^9}
利用切比雪夫不等式
P{|x-μ|>=2.1×10^9}<=σ^2/(2.1×10^9)^2=(0.7×10^9)^2/(2.1×10^9)^2=1/9
故
P{5.2×10^9<x<9.4×10^9}=1-P{|x-μ|>2.1×10^9}>=1-1/9=8/9。