切比雪夫不等式成立的几个充分条件
概率论与数理统计51切比雪夫不等式和大数定律课件
目录
• 切比雪夫不等式 • 大数定律 • 切比雪夫不等式与大数定律的联系 • 案例分析 • 习题与解答
01
切比夫不等式
Chapter
切比雪夫不等式简介
01
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它提供了在一定条件下，一个随 机变量的概率分布的上界和下界。
注意事项
使用切比雪夫不等式时，应注意其适用条件，特 别是随机变量的方差必须存在。
大数定律
要点一
总结词
大数定律描述了当试验次数趋于无穷时，随机事件的相对 频率趋于其概率的规律。
要点二
详细描述
大数定律表明，当试验次数n趋于无穷时，随机事件的相 对频率将以概率收敛于该事件的概率。具体来说，对于任 意小的正数ε，有$lim_{n to infty} P(| frac{X_n}{n} - p| < varepsilon) = 1$，其中$X_n$是n次试验中事件A发生的 次数，p是事件A的概率。
切比雪夫不等式的限制
虽然切比雪夫不等式在许多情况下都 很有用，但它也有一些限制。例如， 当随机变量的分布不是对称的或者偏 斜度较大时，切比雪夫不等式的估计 可能会不准确。
VS
因此，在使用切比雪夫不等式时，需 要考虑到这些限制，并根据具体情况 进行适当的调整和修正。
02
大数定律
Chapter
大数定律的定义
大数定律
定义
大数定律是指在独立同分布随机变量 序列中，当样本量趋于无穷大时，样 本均值的概率分布趋近于真实均值。
应用
大数定律在统计学中有着重要的应用 ，例如在样本均值的分布、置信区间 估计和假设检验等领域。
切比雪夫不等式与大数定律的联系
切比雪夫不等式及切比雪夫大数定律
第5 章
知识点名称：切比雪夫不等式及切比雪夫大数定律 主讲人：秦旭
切比雪夫大数定律
一、回顾
实验者
抛掷次数n
出现正面次数m
德·摩根 德·摩根 德·摩根 德·摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼
2048 2048 2048 2048 4040 12000 24000 30000
n
X
i 1
n
i
1 n
i 1
E( Xi
)
| ε}
1 n
1
D( n i1 ε2
Xi )
1
C nε2
1,
(as n ).
切比雪夫大数定律 五、切比雪夫(Chebyshev)不等式
设随机变量 X 的数学期望 E(X ) 和方差D(X )都存在, 则对于
任意的 > 0, 有
P{| X E(X ) | ε}
变量, 若对于任意的＞ 0, 有
lim
n
P {| X n
X
| ε }
0
或
lim P{| X n X | ε} 1
n
称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X，记为
X n P X
或者
lim
n
Xn
X,
( P)
切比雪夫大数定律
注1 在定义中, 随机变量 X也可以是常数 a, 称随机变量序列 {Xn} 依概率收敛于常数 a .
注2 随机变量序列依概率收敛不同于微积分中数列或函数列的 收敛性.
结论 随机变量序列{Xn}依概率收敛于X，指当 n 足够大时, 有
足够大的概率保证Xn 任意接近于X , 但Xn仍然有可能与X相差很大.
第45讲 切比雪夫不等式
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式1第五章大数定律及中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式3第五章大数定律及中心极限定理§0切比雪夫不等式§1 大数定律§2中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式4§5.0 切比雪夫不等式四川大学第45讲切比雪夫不等式5第45讲切比雪夫不等式四川大学牟尼沟四川大学第45讲切比雪夫不等式6切比雪夫(1821~1894)ЧебышёвChebyshev俄罗斯数学家、力学家。
他一生发表了70多篇科学论文，内容涉及数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面。
他证明了贝尔特兰公式，自然数列中素数分布的定理，大数定律的一般公式以及中心极限定理。
四川大学第45讲切比雪夫不等式15例子四川大学第45讲切比雪夫不等式16-四川大学第45讲切比雪夫不等式24例5 证明方差的性质4 ( 教材103页(第41讲) )：设()0{()}1D X P XE X =⇔==证充分性（教材103页）{()}1P X E X ==则22[()]{}1P X E X ==2()X 2]E X=⨯2[()]E X =22()()[()]D X E X E X =-0=四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式26例6 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯开灯的概率都是0.7。
假设电灯开、关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800与7200盏之间的概率。
解用X 表示在夜晚开着的电灯的盏数，则X 服从参数n =10000, p =0.7的二项分布。
(k =0, 1, …, n ){}P X k =(1)kk n k n C p p -=-{68007200}P X <<100007199100006801(0.7)(0.3)k k k k C -==∑计算量太大。
下面用切比雪夫不等式估计概率四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式28例7 一机床加工长为50cm 的零件，由于随机扰动，零件长度有一定误差。
3-8切比雪夫不等式
概率论与数理统计教程（第四版）
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
[例] 从某工厂生产的产品中任取 200 件来检查， 是否相信该工厂的产品 结果发现其中有 6 件次品， 的次品率 p ≤ 1% ? 解：假设该工厂的次品率 p ≤ 1%, 则检查 200 件产品 发现其中次品数 X ≥ 6的概率
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
小结
D X) ( [ 1. 切比雪夫不等式： P X −E(X) ≥ε] ≤ 2 .
2. 大数定律及其含义. 3. 小概率事件的实际不可能性原理. .
ε
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
D X) ( ≥1− 2 .
ε
切比雪夫不等式给出了离差与方差的关系， 可用它 注： 来估计 [ X − E ( X ) < ε ] 的概率.
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
2.大数定律 .
[定义 对随机变量序列 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯, 若存在 定义] 定义 常数 a , 使得对于任意的 正数 ε ,
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第三章 随机变量的数字特征
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系 列定理统称为大数定律.
切比雪夫不等式及其应用
切比雪夫不等式及其应用【标题】切比雪夫不等式及其应用【作者】许娟【关键词】切比雪夫不等式?大数定律?随机变量?伯努利试验【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】1引言概率论是一门研究随机现象数量规律的科学．而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一,所以它的应用是非常多的,它可以解决或说明很多关于分布的信息．尤其在估计某些事件的概率的上下界时，常用到切比雪夫不等式．另外，切比雪夫不等式和切比雪夫大数定理是概率论极限理论的基础，其中切比雪夫不等式又是证明切比雪夫大数定理的重要工具和理论基础，而且以切比雪夫不等式的基础上发展起来了一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具．切比雪夫不等式作为一个理论工具，它的应用是普遍的．事实上，马尔可夫不等式也是切比雪夫不等式的第一种推广形式．在切比雪夫不等式的诞生至今，切比雪夫不等式的应用性质还没有条理性的给出，本文将在切比雪夫不等式在随机现象中的应用方面进行探究．2切比雪夫不等式的基本理论2.1切比雪夫不等式的有限形式和积分形式定理1（有限形式）?若?和?是两个实序列，且满足?或?则成立如下的不等式?（1）不等式（1）称为切比雪夫不等式．为叙述积分形式的切比雪夫不等式，先给出一个定义．?定义如果函数?与?对一切?均成立?，则?与?成拟序；倘若反向的不等式成立，则称?与?成反序．下面是切比雪夫不等式的积分形式?定理2如果连续函数?与?在区间?上成拟序，则成立如下的不等式?（2）相反，如果?与?成反序，则不等号反向．不等式(2)称为切比雪夫不等式的积分形式．定理2的简易证明方法如下．证明只须证明?与?成拟序的情形（反序可以类似证明）引入辅助函数，?求导得，?由于?与?在?上成拟序，故有?，于是?，因此?上单调递增，又?，即?，移项，即得到要证明的不等式．切比雪夫不等式的有限形式和积分形式其实是一种新的证明方法，可以证明许多含有积分形式的不等式．其主要应用于数学分析的解题，它可以灵活简便的解决一些较难微积分中有关不等式的题型．但是切比雪夫不等式的有限形式和积分形式在应用中有很多的条件限制，要满足全部的条件后才能使用于解题当中．2.2切比雪夫不等式的概率形式定理3?设随机变量?存在数学期望?和方差?，则对任意常数?有或?切比雪夫这两种表达形式是等价的，下面是其的证明过程．证明?（1）设X为离散型随机变量，其分布列为?,?则（2）设X为连续随机变量，其概率密度函数为?，由于?存在，则切比雪夫不等式仅用数学期望及方差就对随机变量在某范围取值的概率做出估计许多常见的随机变量的分布，当随机变量的分布未知时，由期望和方差、利用切比雪夫不等式也能提供关于分布的信息，利用这个信息可以粗略的估计随机变量落入关于其数学期望对称区间内的概率．从切比雪夫不等式的证明步骤中，我们可以看出在含有期望和方差的概率不等式的证明方法．第一步是先将随机变量在区间内取值的概率用其概率密度在该区间上的积分表示．第二步是利用随机变量取值满足的不等式，将被积函数放大，产生概率不等式．第三步是将被积分区间扩大为?，将积分再次放大，且使积分化为随机变量或随机变量的函数的期望和方差表示?，则得到要证明的概率不等式．3?切比雪夫不等式的应用3.1切比雪夫不等式的推广例1、若连续型随机变量?有?（?为正常数），则对任意的?，有?．证明?设?的概率密度为?，?函数?为非减函数，?事件?与事件等价．故即得证．（该证明是以切比雪夫不等式推导出马尔可夫不等式的证明过程）例2、设?，且为非降函数，设?为连续型随机变量且?存在．?试证对任意，有?．证明?设随机变量?的概率密度为?，则有?．由于?，且非降，故当?时，有?，?既得证．（这是切比雪夫不等式的一种推广，当?时，即为切比雪夫不等式．）3．2估计随机变量?内的概率基本步骤为（1）选择随机变量；（2）计算数学期望?与方差?；（3）将事件?改写为?或?的形式，确定?；（4）利用切比雪夫不等式估计所求的概率．估计随机变量?内的概率还可以用于伯努利试验.在二项分布中，频率与概率的精度估计不等式的两种形式?主要问题之一就是与切比雪夫不等式有关的，已知?和估计事件的概率求实验的次数?．下面的例3就是该问题的相应例题．例3、一颗骰子连续掷6次，点数总和记为?，试估计?．分析?该题是估计随机变量?落入区间?内的概率的典型题，根据上面给出的基本步骤既可解答．解?设第?次掷得的点数为?（显然互相独立，?），则?．由?的分布为得故因而，由?的独立性有?故由切比雪夫不等式可得例4、已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在?之间的概率?．解?设?表示每毫升血液中含白细胞个数，则?而?又?所以?例5、设伯努利实验的参数?，问至少需要进行多少次这种试验才能使频率在0．74到0．76之间的概率至少为0．90？解?设?重伯努利实验中成功的次数为，则?~?，依题意得?由切比雪夫不等式及?可知?令其?．故至少要做?次试验才能保证频率在?间的频率至少为?．3.3估计的?值，使?例6、设在相同条件下，独立地对某物件长度?进行?次测量，各次的测量结果?均服从正态分布?，记?，问该物体的长度至少要测量多少次，才能使用测量的平均值作为物体长度，且真值的近似值的误差不超过?的概率不小于?．分析?该题解读后，我们可以知道要应用切比雪夫不等式来解答．故该题第一步要求出?和?；第二步将?化成?的形式，再用切比雪夫不等式进行估计解答．解?设对物体进行?次独立测量，依题意可得，要求?即可．由切比雪夫不等式可得即为所以,只需?．至少做12次测量才能使测量的平均值作为物体长度，且真值的近似值的误差不超过?的概率不小于0．99．例7、设?为随机变量，已知?存在，若要求?，问?至少是多少？解?由切比雪夫不等式得到所以，?至少为0．3．?例? 8、投掷一枚硬币，为了至少有?的把握使正面向上的频率在?与?之间，试估计投掷的次数?．解?用?表示在?次试验中出现正面的次数显然，次试验中事件A出现的频率为?；由切比雪夫不等式得由题意可知解得即至少要投掷这枚硬币?次，才能至少有?的把握使正面向上的频率在?与?之间．4?证明不等式和大数定理4.1证明不等式例9、,证明?解?故可把问题转化为?的形式?于是取?又所以，由切比雪夫不等式得到即得证．例10、证明?若?则?证明?由于?而?所以,由切比雪夫不等式得即在例10中可以知道，应用切比雪夫不等式只能直接估计方差存在的随机变量在以期望值为中心的对称区间上取值的概率．例11、设?是随机变量列，且有?，令?，证明?依概率收敛于?证明?由于?由切比雪夫不等式得依概率收敛于?．4.2证明大数定律定理4?（切比雪夫定理）?设独立随机变量序列的数学期望?和方差?都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常数?，使得则对于任意的正数?，有．证明我们用切比雪夫不等式证明该定理．因为，而?相互独立性，所以应用切比雪夫不等式得因为，所以，由此得?当?时，得?但是概率不能大于1，所以有?证毕．从证明过程我们可以看出，切比雪夫大数定理是切比雪夫不等式的推论．定理5?（伯努利定理）?在独立试验序列中，设事件A的概率?，则对于任意的正数?，当试验的次数?时，有?其中?是事件A 在n次试验中发生的频率．证明设随机变量?表示事件A在第?次试验中发生的次数（?），则这些随机变量相互独立，服从相同的“0-1”分布，并有数学期望与方差?于是，由切比雪夫定理得易知?就是事件A在n次试验中发生的次数?，由此可知?，所以有证毕．5总结切比雪夫不等式的概率的两种表达形式是等价的，从上面的典型例题和分析我们把切比雪夫不等式归结为以下的几点?（一）它刻化了随机变量取值的离散程度．切比雪夫不等式估计出随机变量在区间?内取值的概率不小于?，由此可知?若方差越小，则概率?越大，说明随机变量?取值在数学期望?附近的密集程度越高；若方差越大，则概率?越小，说明随机变量?取值在数学期望?附近的密集程度越低．切比雪夫不等式说明方差刻化了随机变量的取值对其期望的离散程度．（二）估计随机变量落入有限区间的概率．许多常见的随机变量的分布，当类型已知时，可以完全由它的数学期望和方差决定．当随机变量的分布未知时，由期望和方差、利用切比雪夫不等式也能提供关于分布的信息（实用性强），利用这个信息可以粗略的估计（估计粗略）随机变量落入关于其数学期望对称区间内（有限制）的概率．（三）说明随机变量取值偏离?超过?的概率很小．在切比雪夫不等式中，取?，则?．可见，对任何分布，只要期望?和方差?存在，则随机变量取值偏离?超过?的概率是很小的，不超过0．111．（四）切比雪夫不等式可以求解或证明有关概率不等式．切比雪夫不等式是证明切比雪夫大数定理的重要工具和理论基础，而且以切比雪夫不等式的基础上发展起来了一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具．所以由切比雪夫不等式我们可以推导出切比雪夫大数定理，由于伯努利大数定理又是由切比雪夫大数定理推导而来的，之后的泊松大数定理也是切比雪夫大数定理的特例，故切比雪夫不等式在概率学中有着重要的作用和意义．（五）切比雪夫不等式应用的优缺点．我们说到切比雪夫不等式在应用上是非常广泛的，但是切比雪夫不等式的应用必定有它的优点和缺点．我们在应用它时，应该注意到它的优缺点，在酌情加以应用．切比雪夫不等式的优点是无需知道?的分布，只要知道其期望和方差就可以估计事件?的概率，因而实用性强．而且切比雪夫不等式是很多不等式及大数定理的基础，所以基础性强且较简单．切比雪夫不等式的缺点是所给出的估计值一般比较粗糙，精度不够，且只限于以均值?为中心的有限对称区间．。
概率论第四章-切比雪夫不等式
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
P | X − µ |≥ε}≤σ /ε {
2
2
P | X −µ |<ε}≥1−σ /ε {
2
2
对未知分布X 对未知分布X，取
ε =3 , 2 , σ σ
2 2
9 2 3 2 P{| X −µ |< 2 } ≥1−σ / ( 2 ) = = 0.75 σ σ 4
P{| X −µ |< 3 } ≥1−σ / ( 3 ) = 8 = 0.89 σ σ
≤
ε
∫(x−µ)
f (x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f (x)dx
2
是 于 P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
切比雪夫不等式 证明切贝谢夫大数定律； 说明 （1）证明切贝谢夫大数定律； （2）表明D（X）描述了X偏离E（X）的离散程度； 表明D 描述了X偏离E 的离散程度； （3）给出X的分布未知时，事件 给出X的分布未知时， 概率的一个大致估计。 概率的一个大致估计。 大致估计 |X|X-E（X）|＜ε的
定理：（切比雪夫不等式） 定理：（切比雪夫不等式） ：（切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
切比雪夫不等式要求独立同分布
切比雪夫不等式要求独立同分布摘要：1.切比雪夫不等式的概念2.切比雪夫不等式的要求3.独立同分布的定义和性质4.独立同分布与切比雪夫不等式的关系正文：1.切比雪夫不等式的概念切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）是一种概率论中的基本不等式，用于估计一个随机变量偏离其数学期望的概率。
切比雪夫不等式可以表示为：对于任意实数k，随机变量X 的数学期望为μ，方差为σ，则有P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k。
2.切比雪夫不等式的要求要应用切比雪夫不等式，需要满足以下两个条件：（1）随机变量X 的数学期望存在，即μ存在；（2）随机变量X 的方差存在，即σ存在。
3.独立同分布的定义和性质独立同分布（independently and identically distributed，简称i.i.d.）是指一组随机变量具有相互独立且具有相同的概率分布。
对于i.i.d.随机变量X_1, X_2,..., X_n，有以下性质：（1）任意两个随机变量之间的概率相关系数为0，即Cov(X_i, X_j) =0，其中i ≠ j；（2）每个随机变量的概率分布与总体概率分布相同，即P(X_i = x) = P(X = x)，其中x 为随机变量X 的取值。
4.独立同分布与切比雪夫不等式的关系独立同分布是切比雪夫不等式成立的充分条件。
当随机变量满足独立同分布时，切比雪夫不等式可以得到更加简洁的形式：P(|X_i - μ| ≥ kσ) ≤ n/k，其中n为随机变量个数。
综上所述，切比雪夫不等式要求独立同分布，而独立同分布具有相互独立和具有相同概率分布的性质。
概率论与数理统计 五大数定理
[注]： X n P → a 注： 推论(辛钦大数定律) 推论(辛钦大数定律)
X n − a P → 0
设独立随机变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 服从同一分布 并且有数学 服从同一分布, 期望 µ 及方差 σ 2， X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 的算术平均值当 n → ∞ 则 时，按概率收敛于µ， 即对于任何正数 ε，恒有 按概率收敛于 ，
第五章 大数定理与中心极限定理
“大数定律”: 用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理 大数定律” 用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理. 大数定律
一、切比雪夫不等式
切比雪夫不等式: 切比雪夫不等式: 设随机变量 X 有数学期望 EX 及方差 DX， ， 下列不等式成立： 则对于任何正数 则对于任何正数 ε，下列不等式成立：
2 i
n
则：E(Yn ) =
2 µi , D(Yn ) = ∑σi2 = sn . ∑
n i =1
n
i =1
i =1
∴ Z n = Yn
1 = sn
∗
n Y n − EY n 1 n = = ∑ X i − ∑ µ i sn i =1 DY n i =1
∑ (X
i =1
n
i
− µ i ), 则有：E ( Z n ) = 0 , D ( Z n ) = 1 . 则有：
概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定 概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定 随机变量的和的极限分布是正态分布 是独立随机变量， 设 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅ , X n ,⋅ ⋅ ⋅ 是独立随机变量，并各有
EX i = µ i , DXi = σ , i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n,⋅ ⋅ ⋅. 设 n = ∑Xi , Y
切比雪夫积分不等式
切比雪夫积分不等式切比雪夫积分不等式是一个经典的数学定理，又称切比雪夫不等式。
该定理最初是由俄国数学家切比雪夫所发现的，但是至今仍有很多研究者在研究该定理。
切比雪夫积分不等式在几何、代数、数学分析以及给定性质函数等领域中都具有重要意义。
切比雪夫积分不等式是由切比雪夫于1859年提出的，原文如下：“如果函数f（x）在0≤x≤1上连续，其导数在0≤x≤1上除了x = 0和x = 1外值均不为0，而在0≤x≤1上的值有限，则∫0s1f（x）dx> 1/2f（1/2）。
”下面我们来进一步解释切比雪夫积分不等式的定义及其数学意义。
切比雪夫积分不等式主要指上面引用的定理，它指的是给定的函数f（x）满足以下条件：（1）f（x）在区间[0,1]上连续；（2）对f （x）在区间[0,1]上除x=0和x=1外的每个点处求导数不为零；（3）f（x）在区间[0,1]上具有有限值。
下面我们详细讨论切比雪夫积分不等式的证明及其数学意义。
证明切比雪夫积分不等式：首先，根据切比雪夫定理的条件，我们知道f（x）在区间[0,1]上连续，f（x）的导数在区间[0,1]上除了x=0和x=1外值均不为0，并且f（x）的值在[0,1]之间是有限的。
其次，我们令a、b为f（x）在[0,1]区间上的任意两个不相等的点，显然，存在一个某一点x = c，使得f（x）在[a,b]区间上取得最大值；由于f（x）在区间[0,1]上的导数在x=0和x=1外值均不为0，并且f（x）在区间[0,1]上具有有限值，因此可以得出最大值的点c处的导数为0，即f（c）= 0继续往下，由于f（x）在[a,b]区间上是连续的，所以可以于当a x c时f（x）的导数为正，当c x b时f（x）的导数为负。
从而可以得出∫a bf（x）dx = 0而前面我们说过，c为f（x）在[a,b]区间上取得最大值的点，因此f（c）≥f（x）（x为[a,b]区间上任一点）结合上述两个等式，我们可以得出切比雪夫积分不等式：∫0s1f（x）dx> 1/2f（1/2）从这里我们可以推出，当f（x）在[0,1]区间上取得最大值时，其积分值会大于等于1/2f（1/2）切比雪夫积分不等式可以说是一个几何性质，但也可以具有更广泛的应用，例如在数学分析中，有时需要证明某种定义或性质，例如f（x）是否满足Rolle定理。
5.1 切比雪夫不等式
DX
2
切比谢夫不等式给出了随机变量落在以期望 EX 为中心的对称区间（ EX , EX ）之外（以内） 的概率的上（下）界．
例1
若 DX 0 ，试证 P ( X EX ) 1 ．
证 由切比谢夫不等式知， 对于任意的 0 均有
P ( X EX )
5.1
切比谢夫不等式
切比谢夫不等式
一、切比谢夫不等式
定理1 设随机变量 X 的方差存在， 则对任意的 0 有 P ( X EX ) 证
DX
2
如果 X 是连续型随机变量， ~ p( x ) ，则 X
P ( X EX )
1
x EX
p( x )dx
EX np 200 0.5 100, DX npq 200 0.5 0.5 50 P (80 X 120 ) P ( X 100 20)
50 1 2 0.875. 20
x EX
( x EX )2
2
p( x )dx
DX
( x EX ) p( x )dx 2
2 2
当 X 是离散型随机变量，只需将上述证明中的概率 密度换成分布列，积分号换成求和号即可． 切比谢夫不等式可写成如下形式
P ( X EX ) 1
即 因此
DX
2
0
P ( X EX ) 0
P ( X EX ) 0 P ( X EX ) 1
即
例2 200个新生婴儿中，估计男孩多于80个且少于120
个的概率（假定生男孩和女孩的概率均为0.5）． 解 设 X 表示男孩个数，则 X ~ B( 200,0.5). 用切比谢夫不等式估计：
切比雪夫不等式及大数定律
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
1.1 切比雪夫不等式
在随机变量 X 分布未知的情况下，可以利用切比雪夫不等式对随机事件 {| X E(X ) | } 的概率进行估计．例如，当 3 D( X ) 时，有
P{| X E(X ) | 3 D(X )} 8 0.888 9． 9
也就是说，随机变量 X 落在以 E(X ) 为中心，以 3 D( X ) 为半径的邻域内的概率很大，而 落在该邻域之外的概率很小．当 D( X ) 较小时，随机变量 X 的取值就越集中在 E(X ) 附 近，而这正是方差这个数字特征的意义所在．
概率论与数理统计
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生， 但在大量的重复试验中随机事件的发生呈现出明显 的规律性．实际上，大量随机现象的结果均具有稳 定性，大数定律以严格的数学形式阐述了这种稳定 性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在 联系．下面，我们先来介绍证明大数定律的重要工 具—切比雪夫（Chebyshev）不等式．
1， 在第k次试验中事件A发生， X k 0 ， 在第k次试验中事件A不发生，
其中， k 1，2， ，则
Xk
~
n
B(1，p) ，
k 1
Xk
nA
，1 n
n
Xk
k 1
nA n
，1 n
n
E(Xk )
k 1
p，
并且 X1 ，X2 ， ，Xn ， 满足切比雪夫大数定律的条件，于是由切比雪夫大数定律可证明伯努利大数 定律．
1，2 ，
)
，
由辛钦大数定律得
Yn
1 n
n k 1
切比雪夫不等式 证明
切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式是数学中的一个重要不等式，它可以用来估计一个随机变量与其均值之间的差距。
下面是切比雪夫不等式的证明：假设X是一个随机变量，其均值为μ，方差为σ²（方差的定义为Var(X) = E[(X-μ)²]）。
对于任意大于0的实数k，我们希望证明以下不等式成立：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²首先，我们定义一个新的随机变量Y，表示X与其均值之间的差距的绝对值：Y = |X-μ|。
根据Y的定义，我们可以得到：Y²= (X-μ)²由于Y²始终大于或等于0，我们可以对Y²应用马尔可夫不等式（Markov's inequality），得到：P(Y²≥k²σ²) ≤E(Y²) / (k²σ²)接下来，我们计算Y²的期望（E(Y²)）：E(Y²) = E((X-μ)²) = Var(X) = σ²将E(Y²)代入不等式中，得到：P(Y²≥k²σ²) ≤σ²/ (k²σ²)化简后可得：P(Y²≥k²σ²) ≤1/k²由于Y²与|X-μ|²是等价的，我们可以将不等式中的Y²替换为|X-μ|²：P(|X-μ|²≥k²σ²) ≤1/k²最后，我们注意到，对于任意实数a和b，若a²≥b²，则|a| ≥|b|。
因此，我们可以将不等式中的|X-μ|²替换为|X-μ|，得到最终形式的切比雪夫不等式：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²这就完成了切比雪夫不等式的证明。
需要注意的是，切比雪夫不等式并没有给出具体的概率估计，它只给出了一个上界。
切比雪夫不等式
（切比雪夫不等式）一般指切比雪夫定理设X是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设Xα（α >0）的数学期望M(Xα )存在，a>0，则不等式成立。
这叫做切比雪夫定理，或者切比雪夫不等式。
19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数±m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内 [2] 。
切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件概率作出估计。
[3]定理设随机变量X具有数学期望，方差则对任意正数ε，不等式或成立。
注意：应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。
若对于任意的ε>O，当n很大时，事件“”的概率接近于0，则称随机变量序列{X n}依概率收敛于a [4]。
正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生。
所以，依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法，记为。
[3]切比雪夫定理设X1，X2，…，X n，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(X i)和方差D(X i)都存在(i=1，2，…)，且D(X i)<C(i=l，2，…)，则对任意给定的ε>0，有特别地：X1，X2，…，X n，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(X i)=μ和方差D(X i)=σ2(i=1，2，…)，则对任意给定的ε>0，有即 [3]切比雪夫定理的这一推论，使我们关于算术平均值的法则有了理论根据．设测量某一物理量a，在条件不变的情况下重复测量n次，得到的结果X1，X2，…，X n是不完全相同的，这些测量结果可看作是n个独立随机变量X1，X2，…，X n的试验数值，并且有同一数学期望a。
3.5 切比雪夫不等式与大数定理
Probability and Statistics
伯努利大数定理 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件A 发生
的次数, p 是事件 A 在每次试验中发生的概 率, 则对于任意正数 0, 有 nA nA lim P p 1 或 lim P p 0. n n n n
Born: 19 Jul. 1894 in Kondrovo, Kaluzhskaya guberniya, Russia Died: 18 Nov. 1959 in Moscow, USSR
1 n 则对于任意正数 , 有 lim P X k 1. n n k 1
关于辛钦定理的说明: (1) 与定理1相比, 不要求方差存在; (2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.
Probability and Statistics
辛钦资料
Aleksandr Yakovlevich Khinchin
注：在不知道随机变量的分布，仅知道随机变 量的数学期望或者同时知道数学期望及方差时， 可以用Markov不等式和Chebyshev不等式来估 计概率值的界限.
Pafnuty Chebyshev
Born: 16 May. 1821 in Okatovo, Russia Died: 8 Dec. 1894, in St. Petersburg, Russia
Probability and Statistics
3.5 切比雪夫不等式与大数定理 一、马尔可夫（Markov)不等式
设X是只取非负值的随机变量，且具有数学期 望E(X),则对于任意正数ε ，有
切比雪夫不等式的使用条件
切比雪夫不等式的使用条件
切比雪夫不等式是一个非常重要的数学不等式，它在概率论和统计学
中被广泛应用。
切比雪夫不等式给出了一个随机变量与其均值之间的关系，在一些条件下，可以用来估计随机变量离其均值的距离。
下面是切比雪夫
不等式的使用条件。
1.随机变量的均值存在：切比雪夫不等式是建立在随机变量的均值存
在的基础上的。
如果随机变量的均值不存在，那么切比雪夫不等式就没有
意义。
2.随机变量的方差有限：切比雪夫不等式是建立在随机变量的方差有
限的基础上的。
方差是衡量随机变量分布的离散程度的指标，如果方差无
限大，则切比雪夫不等式无法成立。
3.随机变量的分布未知或者具有一定的对称性：切比雪夫不等式适用
于任何分布，包括离散分布和连续分布。
然而，在实际应用中，如果能够
确定随机变量的分布，并且该分布具有一定的对称性，那么切比雪夫不等
式给出的不等式将更加紧密。
4.无其他信息：切比雪夫不等式适用于没有其他信息的情况。
在有其
他信息的情况下，可以使用更加精确的不等式或方法来估计随机变量与其
均值之间的距离。
具体来说，切比雪夫不等式可以用来估计随机变量与其均值之间的距离。
P(，X - E(X)，≥ ε) ≤ Var(X) / ε²
其中，P(，X - E(X)，≥ ε)表示随机变量X与其均值之间的距离大于等于ε的概率，Var(X)表示随机变量X的方差。
切比雪夫不等式证明(精选多篇)
切比雪夫不等式证明(精选多篇)第一篇：切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明一、试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布.解:设x表示1000次试验中出现正面h的次数,则x是一个随机变量,且~xb(1000,1/2).因此500211000=×==npex,250)2答题完毕，祝你开心!11(211000)1(=××==pnpdx,而所求的概率为}500600500400{}600400{}100{975.010012=≥dx.二、切比雪夫(chebyshev)不等式对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε>0,恒有p{|x-ex|>=ε}=1-dx/ε切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{|x-ex|>=ε}越小，p{|x-ex|同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|x-ex|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量x的具体概率分布，而只与其方差dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。
需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比例至多是1/k 。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。
这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16……与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/k举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。
概率论与数理统计 五大数定理
,
i
1,2, , n, .
设Yn
Xi,
i 1
n
n
则： E Yn
i , D Yn
2 i
sn2 .
i 1
i 1
Zn
Yn
Yn
EYn DYn
1 sn
n i1
Xi
n i 1
i
1 n
sn i1
Xi i ,
则有：E(Zn ) 0, D( Zn ) 1.
11
林德伯格定理:
显然， 当n 时，P(Bn ) 1.
[注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
中几乎必然发生。 10
第二节 中心极限定理
概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定
理叫做中心极限定理。
设
X1
,
X
, , X , 是独立随机变量，并各有
2
n
n
EX i
i ,
DX i
2 i
的频率作为事件 A 的概率近似值时, 误差小于0.01的概率.
解
设事件A 在每次试验中发生的概率为 p，
在这10000次试验
中发生了X 次, 因此，所求事件的概率为
则 EX np 10000 p, DX 10000 p1 p,
P
X 10000
p
0.01 P
X 10000 p
100
P X EX 100 1 DX 1002
DX n
1 n2
nK
K n
由此，
当 n 充分大时，
随机变量
也就是说，
X 的值较紧密地聚集在它的数学期望 n
分散程度是很小的，
Xn
hoeffding不等式和切比雪夫不等式_理论说明
hoeffding不等式和切比雪夫不等式理论说明1. 引言1.1 概述在概率论和统计学中，不等式是一种重要的数学工具，用于描述随机变量的性质。
其中，Hoeffding不等式和切比雪夫不等式是两个常用的不等式，它们在估计数据样本与总体之间的差异、确定置信区间以及控制误差上起着重要的作用。
1.2 文章结构本文将首先介绍Hoeffding不等式和切比雪夫不等式的概念，并推导其基本形式和条件。
然后，通过实际应用举例，解释了这两个不等式在数据分析中的具体应用方式。
接下来，我们将对Hoeffding不等式与切比雪夫不等式进行对比分析，分析它们在上界估计方面的差异性，并讨论它们在实际情况下使用的优势和局限性。
最后，在结论与总结部分，回顾了这两个不等式的重要性，并展望了它们未来的应用前景。
1.3 目的本文旨在通过对Hoeffding不等式和切比雪夫不等式进行理论说明，加深读者对这些数学工具原理和应用方法的理解。
同时，希望通过对它们之间的比较分析，帮助读者在实际问题中选择合适的不等式，从而提高数据分析的准确性和可靠性。
2. Hoeffding不等式2.1 概念介绍Hoeffding不等式是一种在概率论中广泛应用的不等式，它给出了独立同分布随机变量样本均值与其期望之间的概率界限。
该不等式最早由Wolfgang Hoeffding于1963年提出，并被广泛用于统计学和机器学习领域。
2.2 推导过程考虑独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，它们来自一个具有有界取值范围[a,b]的随机变量X。
我们定义这个随机过程为经验分布函数D_n(X)，表示前n个样本变量中小于或等于x的个数除以n。
Hoeffding不等式通过利用经验分布函数和指数函数的性质，给出了样本均值与其期望之间差异的上界概率。
具体地，在有限样本大小情况下，Hoeffding不等式可以表示为：P[|D_n(X) - E[D_n(X)]| ≥ε] ≤2exp(-2nε^2/(b-a)^2)其中ε为任意正实数，P表示概率。
切比雪夫不等式公式揭示切比雪夫不等式的数学表达
切比雪夫不等式公式揭示切比雪夫不等式的数学表达切比雪夫不等式是概率论与数理统计中一项重要的基本定理，它可以被用来描述一个随机变量与其均值之间的关系。
切比雪夫不等式的公式形式是：P(|X-μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²其中，X是一个随机变量，μ是X的均值，σ是X的标准差，k是一个大于零的常数。
这个不等式告诉我们，在概率为1-1/k²的情况下，一个随机变量与其均值之间的距离不会超过k个标准差。
切比雪夫不等式的证明方法之一是利用标准化的随机变量。
我们使用以下形式的标准化随机变量：Z = (X-μ)/σ其中，Z是标准正态分布。
将X用Z表示之后，切比雪夫不等式可以转化为：P(|Z| ≥ k) ≤ 1/k²接下来，我们将详细解释切比雪夫不等式的证明。
首先，我们定义一个随机变量Y，其形式为：Y = (X-μ)²显然，Y是非负的。
我们可以通过定义一个指示函数，使得当|X-μ| ≥ kσ时，指示函数的值为1，否则为0。
将指示函数记作I(|X-μ| ≥ kσ)，我们可以将切比雪夫不等式改写为以下形式：P(I(|X-μ| ≥ kσ)) ≤ 1/k²接下来，我们可以用指示函数和标准化的随机变量Z来表示Y。
有以下等式成立：Y = (X-μ)² = (σZ)² = σ²Z²我们令函数g(z) = z²，显然，g(z)是一个非负的连续函数。
由非负随机变量的性质可知，E(g(Z)) ≥ 0，其中E表示期望。
将Y用Z来表示之后，我们可以将不等式重写为：P(g(Z) ≥ k²) ≤ 1/k²接下来，我们使用Markov不等式来证明切比雪夫不等式。
Markov不等式表明，对于一个非负随机变量U和任意一个大于零的常数a，有以下不等式成立：P(U ≥ a) ≤ E(U)/a将我们的不等式形式与Markov不等式进行对比，我们可以发现，我们的不等式可以看作是Markov不等式的一个特例，其中U = g(Z)，a = k²。
切比雪夫不等式成立的几个充分条件
切比雪夫不等式成立的几个充分条件
肖振纲;张志华
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2001(000)005
【总页数】2页(P15-16)
【作者】肖振纲;张志华
【作者单位】湖南岳阳师范学院;湖南资兴教育局
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.柯西不等式与切比雪夫不等式的统一推广 [J], 肖振纲;张志华
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3.柯西不等式与切贝雪夫不等式的统一推广 [J], 吴丹桂;钱钶
4.切比雪夫和切比雪夫多项式的故事 [J], 蒋迅;王淑红
5.切比雪夫不等式与HGA平均不等式 [J], 谢飞燕;赖立
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