初中数学专题复习二次根式的概念、性质和乘法精讲精练(含答案)
(完整版)苏教版八下复习二次根式及基础练习(含答案)
、相关定义1、二次根式的概念：式子ja （a 0）叫做二次根式。
（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。
（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。
（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根 式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：0a 与ja ；av'b c<d 与 aUb cUd ） 2、二次根式的性质：(1) .后具有双重非负性：a>0, ^>0. (2) (4a)2a(a 0)；3、积的算术平方根的性质:4、商的算术平方根的性质:a a \b b （a 0，b 0）5、最简二次根式定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
6、同类二次根式二次根式二衩根式后（口二°）是非负数（石 二日 g 之o ）二次根式的化曾与云用二次根式的乘除二代根式的加减(3) \a 2aa (a 0) a (a 0)Vab Va <b (a>0,b>0)；一般地，把几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开放数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
二、二次根式的运算：1、二次根式的乘法：v；a Jb v ab （a>0, b>0）。
2、二次根式的除法：Ya 但（a 0,b 0）b \ b3、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。
二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。
4、分母有理化---把分母中的根号化去5、二次根式的混合运算运算顺序与实数混合运算顺序一样，结果要化为最简二次根式。
真题练习:、选择1.下列二次根式是最简二次根式的是（）A. J8B.C.D.2.如果J12与最简二次根式了，5 a是同类二次根式,则a的值是A. a 7B. a 2C. a 1D. a 13.在下列二次根式中，与a a是同类二次根式的是（▲）A.虎aB. ga2 C . x/a3 D . \/a44.下列根式中，与J8属于同类二次根式的是（）A. <?8B. J；C. 724D. JT25、若m —（ 2）,则有（）2A. 2 m 1B. 1 m 0C. 0 m 1D. 1 m 26.若，x 24x 4 2 x ,则实数x 满足的条件是（12.计算21 J2 , n 1 5/2 ,则代数式4m n 23mn 的值为 14.若 a + b= 3^/2, ab=4,则 a 2+b 2的值为 也―在实数内范围有意义，则 x 的取值范围为2x 316 .若(y 3)2 0西，则 x yA. x 2B. C.x<2 D.7.下列运算正确的是（ A. . 2 +「3 = . 52,J2-j2=/2C• ；( 2) ( 3)=、O) x 尸8.下列计算正确的是（ A.U = ± 4 B. 四C.1)2 D. ■. 32 429.化简7（ 5）2的结果是（10. B.C.D. 25卜列二次根式中属于最简二次根式的是 A. 12下列计算正确的C. D.A. J12 <3 <3 B .贬 J3 3、52. 2 5. 212.己知j a3 J2 b 0,则二工aA. 1B. 2C. 、, 3D.4.3 3二、填空 11.计算<81而的结果是13.己知m15.若代数式(11) (3 亚)(3 亚(1近) (12)2 3 - 1517 .要使式子J 1 2x 有意义，则实数x 的取值范围是 .18 .计算：77 2” 77 242.19 .若/4而 是正整数，则n 可取到的最小正整数为 • 20 .若4=5在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是三、计算(3) 422-3 1- + I 33-2 I (4)( ；3(9)而(1) 12 近 3321、(1) 88 - 6^1 +|1 —啦|(2)2、. 5 3 2 2,5 3 ,2(5) + 而(122- 277 )(6) 1 22 2018718⑺ 2+ 3 2 3 2 8 6(8)33- 22 2 -33 x 122 .(10) - 48（13）（2 小-yf5）（木 +木）23 3（17）；~ /~246 2 '-.2 3 -3三、解答题22.已知a J3 22, b J3 近.⑴求a2 b2的值;(2)求b a的值. a b23.像而2而2 1、Ga a 0、7b 1 7b 1 b 1 b 0两个含有二次根式的代数式相ft,积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如，75与而，跖1与61, 2石3石与2后3石等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.请完成下下列问题⑴化简:(2)计算：1—1—2 3 3 、2(3)比较72018 J2017与闻17 72016的大小，并说明理由24.阅读材料：若a, b都是非负实数，则a b 2<ab .当且仅当a = b时，“二”成立.证明：: (、② Jb)2 0 , .-.a 2Vab b 0.-1• a b 2Jab .当且仅当a = b时，"=”成立.2举例应用：已知X>0,求函数y x —的最小值.Xx - 2Mx - 2V2 .当且仅当x 2 ,即x J2时，“二”成X X x 解：y・♦・当x J2时，函数取得最小值，y最小2< 2 .问题解决:3 x(1)已知x>0,求函数y ———的最小值2x 62(2)求代数式m一组二(m> - 1)的最小值.。
(完整版)二次根式的复习(附答案)
页眉内容二次根式的复习知识精要1、二次根式的概念)0a≥叫做二次根式。
其中a是被开方数(可为整式或分式a≥.2、二次根式的性质性质1 ()0a a=≥；※⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2aaaaaaa性质2 ()20a a=≥;性质3 =()0,0a b≥≥※)0,0(≤≤-⋅-=babaab性质4 =（ba,0≥>0）一般地,==3、最简二次根式化简二次根式把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如)0a≥的式子叫做最简二次根式。
4、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式。
5.二次根式的混合运算6.分母有理化把分母中的根号化去就是分母有理化.即是指分母不含二次根式的运算的技术。
分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号. 上述的适当代数式即是指有理化因式。
精解名题二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x 的取值范围。
（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x解：（1）要使32-x 有意义，必须320-≥x ，由320-≥x 得x ≤32， ∴当x ≤32时，式子32-x 在实数范围内有意义。
（2）要使x +13有意义，x +1为任意实数均可， ∴当x 取任意实数时x +13均有意义。
（3）∴当x x ≥-≠12且时，式子x x +-12在实数范围内有意义。
（4）当x x ≥-≠11，且时，x x++-113有意义。
（5）当x ≥12时，式子x x --21在实数范围内有意义。
（6）当x x x x ≤-≠-≥≠2525且或且时式子x x 245--有意义 最简二次根式例2.根式x x ma a 12,62,3,17,4,522+中最简二次根式为 ___________________________________________________.解：42+a ，17，2x 6同类二次根式根式： 例 3. 已知二次根式5,23+a 是同类二次根式,写出三个a 的可能值_________________________. 解：3a+2是5的倍数a 为6，11，16（答案不唯一）分母有理化：例4.将下列二次根式分母有理化 （1）242++a a （2）22+-a a解：（1）22+a(2)2222--+a aa（3）x125 （4）qp q p --222（p>q ）解：（3）xx615 （4）2)(qp q p -+化简：例5：化简：()（）（）1424422242242222a ba ba ab ba a a a a a--÷++++++++-解： ()()()（）原式122222=+--÷+a ba b a ba b()()()=+÷+=+=--=+++++-+=++++->≥<<≥=++++-=++++-a b a b a ba b a ba a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a 2212242121224424421212222222202022121222222222222222（）原式原题只保证，因此要分类讨论时，及时当时，原式||||Θ23222021212222222222222622a a aaa a a a a a a aa aa a a a a a aa=+<<=++++-=++++-=+当时，原式化简求值：例6：已知：223223-=+=b a ，，求：a b ab 33+的值。
2022-2023学年八年级数学下册《二次根式》精讲与精练高分突破含答案解析
题型二：二次根式有意义的条件4．（2023春·八年级单元测试）代数式56x x --有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．5x ≤B ．5x ≥C ．5x >且6x ≠D ．5x ≥且6x ≠5．（2022春·河南三门峡·八年级统考阶段练习）若式子1a b-+有意义，则点(,)P a b 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2022·全国·八年级专题练习）已知()2117932x x x y ---+-=-，则2218x y -的值为（ ）．A ．22B ．20C ．18D ．16题型三：二次根式的参数问题7．（2022春·四川凉山·八年级校考期中）如果174a +是一个正整数，则整数a 的最小值是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．88．（2021秋·八年级单元测试）若最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，则a 、b 的值分别是（ ）A ．2和1B ．1和2C ．2和2D ．1和19．（2019春·山东聊城·八年级校考期末）若(2)(3)23x x x x --=-⋅-()()2323x x x x --=-⋅-成立，则x的取值范围为（ ）A ．x ≤3B ．x ≥2C ．2＜x ＜3D ．2≤x ≤3题型四：复合二次根式的性质化简10．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若3222a a a a +=-+，则a 的取值范围是（ ）A ．20a -≤≤B ．0a ≤C ．a<0D ．2a ≥-11．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）化简二次根式31-x x的正确结果是（ ）A ．x-B ．xC ．x-D ．x--12．（2022·全国·八年级专题练习）当4x =时，22232343124312x x x x x x -+--+++的值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．3题型五：利用二次根式的性质化简13．（2023秋·上海·八年级专题练习）化简：A ．2b c -B ．2b a -A ．2a b +B ．2a b --C ．b①526-③4102541025+②7210-++++．43．（2023春·全国·八年级专题练习）观察下列各式及其化简过程：2223222221222112121（）（）（），+=++=+⨯+=+=+222（）（）（）．5263262323223232-=-+=-⨯+=-=-(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将31106-化简；(2)化简358743-+；(3)针对上述各式反映的规律，请你写出()±=±>中，m，n与a，b之间的关系．2m n a b a b故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组5060x x -≥⎧⎨-≠⎩．5．B【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a 、b 的值，然后根据平面直角坐标系内各象限点的坐标特征直接判断即可．【详解】解：由题意得，0a -≥，0b >，∴a<0，∴点(,)P a b 在第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查平面直角坐标系内各象限点的坐标特征以及二次根式有意义的条件，解题关键是根据二次根式有意义的条件求出a 、b 的值．6．A【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：解：∵11x -一定有意义，∴11x ≥，∴()2117932x x x y ---+-=-，117932x x x y -+-+-=-，整理得：113x y -=，∴2119x y -=，则()2222182112x x x y =--=-．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，解题的关键是正确化简二次根式．7．A【分析】根据174a +是一个正整数，得出174a -＞，根据a 为整数，得出a 的最小值为4-，最后代入4a =-验证174a +是一个正整数符合题意，得出答案即可．【详解】解：∵174a +是一个正整数，∴1740a +＞，∴174a -＞，∵a 为整数，∴a 的最小值为4-，且4a =-时，17417161a +=-=符合题意，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出174a -＞，是解题的关键．8．D【分析】由二次根式的定义可知32a b -=，由最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，可得4326a b a b +=-+，由此即可求解．【详解】解：∵最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，∴324326a b a b a b -=⎧⎨+=-+⎩，∴3223a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．9．D【分析】利用二次根式的定义和二次根式的乘除，即可解答.【详解】根据二次根式根号下被开方的数是非负数，得2030x x --⎧⎨⎩…… ，所以2⩽x ⩽3．故选D.【点睛】此题考查二次根式的乘除法，二次根式的定义，解题关键在于利用其定义.10．A【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．【详解】∵32222 ()2a a a a a a +=+=-+，∴020a a ≤+≥，，∴-20a ≤≤．故选A ．【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键．【分析】根据二次根式成立的条件确定x 的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．【详解】解：由题意可得：x ＜0∴()11x x x x x x x⋅-=⋅--=--故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．12．A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式=()()2223232323x x x x -+--+112323x x =--+将4x =代入得，原式11423423=--+()()22111313=--+113113=--+()()13313113+-+=-+1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．13．(1)52-(2)222(++1++1)2a a a a -【分析】（1）根据完全平方差公式，将二次根式恒等变形后，利用二次根式性质化简，再结合去绝对值运算即可得到结论；（2）根据完全平方和公式，将二次根式恒等变形后，利用二次根式性质化简，再结合去绝对值运算即可得到结论．解：945-=9220-22=(5)254+(4)⋅⋅-()2=54-=52-=52-；（2）解：2241++1++a a a 2242+2+21++=2a a a 2222(++1)+2(++1)(+1)+(+1)2a a a a a a a a --=222(++1++1)2a a a a -=222++1++12a a a a =-222(++1++1)2a a a a =-．【点睛】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，被开方式可转化为一个完全平方式，即()2+2==a b ab a b a b ±±±，同时根据二次根式性质及去绝对值运算进行相关化简是解决问题的关键．14．1【分析】先由数轴上a ，b 两点的位置，判断出a ，b 的符号，再化简二次根式，立方根，进行运算解答．【详解】根据数轴可知，20a <<－，12b <<，则20a +>，10-<b ，∴()()2232321a a b b ++-+-()2(1)a ab b =++--+-21a ab b =+--+-1=．【点睛】本题考查了二次根式、立方根的性质与化简以及实数与数轴，解题的关键是熟练掌握运算法则．15．(1)3±2，7±5(2)6±3(3)106222+-【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；（2）把62变形成218，仿照阅读材料的方法可得答案；（3）将5变形成524，3变形成324，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．【详解】（1）解：2526(32)32±=±=±，212235(75)75±=±=±，故答案为：32±，75±；（2）29629218(63)63±=±=±=±；（3）3523-++53322244=-++225131()()2222=-++51312222=-++1062+=，同理可得1062235232+--+-=．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方数变形乘完全平方．16．B【分析】根据题意，利用二次根式性质可判断30x -≥，由此即可求出x 的范围．【详解】解：2(3)3x x -=-，可得30x -≥，解得：3x ≥，故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握2a a =是解本题的关键．17．A【分析】根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得．【详解】解：由题意得，0x <，1x x x x x x---=-=--g ，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简．18．B【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、x ，x 有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B 、21x +，210x +>，故21x +一定是二次根式，符合题意；C 、21x -，若11x -<<时，21x -无意义，不合题意；D 、35是三次根式，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如()0a a ≥的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．19．B【分析】直接利用二次根式的定义，进行分析得出答案．【详解】解：∵||0a ≥，20a ≥，210a +>，2(1)0a -≥，∴||a 、2a 、21a +、2(1)a -四个是二次根式，因为a 是实数时，10a +、21a -不能保证是非负数，因此10a +与21a -不一定是二次根式，故选：B.【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，形如(0)a a >的代数式是二次根式，正确把握定义是解题关键．20．C【分析】根据a 、b 、c 在数轴上的位置得出0c a b <<<，c b >，从而得出0a c b ++<，0c a -<，再根据绝对值的意义和二次根式性质，进行化简即可．【详解】解：根据a 、b 、c 在数轴上的位置可知，0c a b <<<，c b >，∴0a c b ++<，0c a -<，∴2||()a c b c a ++--()()a c b c a =-++---⎡⎤⎣⎦()a cbc a =---+-a cbc a=---+-2a b =--．故选：C ．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，二次根式的性质，数轴上点的特点，解题的关键是根据点a 、b 、c 在数轴上的位置确定0a c b ++<，0c a -<．21．23x ≤且12x ≠-【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，210x +≠，且230x -≥，解得23x ≤且12x ≠-，故答案为：23x ≤且12x ≠-．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．22．0【分析】根据三角形三边关系得到0,0a b c b a c --<-+>，再化简二次根式及绝对值即可．【详解】解：∵a ，b ，c 是三角形的三边长，∴0,0a b c b a c --<-+>，∴2()a b c b a c----+a b c b a c=----+b c a b a c=+--+-0=，故答案为：0．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，二次根式的化简，化简绝对值，正确理解三角形的三边关系：两边和大于第三边是解题的关键．23．(1)53(2)0.7(3)9(4)45【分析】(1)首先把带分数化为假分数，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果；(2)首先根据二次根式的性质化简，再进行有理数的减法运算，即可求得结果；(3)首先根据平方差公式进行运算，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果；(4)首先进行有理数的减法运算，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果．【详解】（1）解：729259=53=；（2）解：0.810.04-0.90.2=-0.7=；（3）解：224140-()()41404140=+⨯-81=9=；（4）解：9125-1625=45=．【点睛】本题考查了利用利用二次根式的性质化简运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．24．2x +【分析】先根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，得到210390x x ->⎧⎨-<⎩，进而推出30210x x -<->，，据此利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵点()2139P x x --，在第四象限，∴210390x x ->⎧⎨-<⎩，解得132x <<，∴30210x x -<->，，∴2269441x x x x -++-+()()22321x x =-+-321x x =-+-2x =+．【点睛】本题主要考查了化简二次根式，解一元一次不等式组，已知点所在的象限求参数，正确得到30210x x -<->，是解题的关键．25．C【分析】变形26=24，525=，比较24，25，27的大小即可．【详解】因为26=24，525=，且24＜25＜27，所以262527<<即26527<<，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，化成二次根式比较被开方数的大小是解题的关键．26．D【分析】先判断a 和b 的符号，然后根据二次根式的符号化简即可．【详解】解：20b a -≥ 0b ∴≤0ab > 所以a 和b 同号，0,0a b ∴<<，22b b b a a a b a a a---===---故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质；熟练掌握性质是解答本题的关键．27．A【分析】先根据三角形的三边关系求出n 的取值范围，然后对二次根式进行化简求值即可．【详解】解：由三角形三边关系可知：37n <<，∴30n -<，81n ->，38n n=-+-原式()()38n n =--+-38n n=-++-5=故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的化简和求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．28．A【分析】由题意可得：0ab <，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：由题意可得：0ab <，22222211333933ab a b a b a b ab ab ab ab--=⨯=⨯--⨯-ab ab=--故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的化简，注意二次根式的结果为非负数．29．C【分析】根据点的坐标，可得a 、b 的关系，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案．【详解】解：由数轴上点的位置关系，得0,||||a b a b <<>．22()()a a b a a b a a b b -+=----=-++=．故选：C ．【点睛】本题考查了实数与数轴，以及二次根式的性质，利用点的坐标得出a 、b 的关系是解题关键．30．A【分析】根据二次根式有意义的条件得出130x -≥，进而可得320x -<，然后根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵130x -≥∴31x ≤∴320x -<229124(13)x x x -+--()()23213x x =---2313x x=--+21=-1=，故选：A.【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质是解题的关键．31．A【分析】利用因式分解和平方差公式和完全平方公式进行简便运算即可．【详解】解：()59120212020591x =⨯-=，()()220202*********y =-+-22202020201=-+1=，22588225882z =+⨯⨯+()25882=+2600=600=，∵1591600<<，∴y x z <<，故选：A ．【点睛】本题考查因式分解、二次根式的性质、有理数的混合运算，会利用平方差公式和完全平方公式简便运算是解答的关键．32．2532-【分析】根据2a a =化简即可．【详解】∵2532=2018>0--，∴原式＝|2532|=2532--．故答案为：2532-．【点睛】本题考查二次根式的性质，熟记2a a =是解题的关键．33．2a b -##-2b+a【分析】根据题意可得：0b a <<，从而可得0b a -<，然后利用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简计算即可解答．【详解】解：由图可知0b a <<，0b a ∴-<，()2b a b ∴-+()()b a b =--+-a b b =--2a b =-．故答案为：2a b -．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．34． 5x x 3 3.14π-## 3.14π-+【分析】根据二次根式性质进行的化简即可得解．【详解】解：3225255x x x x x =⋅=，()()22333-==，2(3.14π)π 3.14-=-，故答案为：5x x ，3，π 3.14-．【点睛】考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键．35．1【分析】根据三角形的三边关系得到24k <<，再判断得到23>0k -，290k -<，再化简代数式即可．【详解】解：∵ABC V 的三边长分别为1、k 、3，∴24k <<，∴23>0k -，290k -<，∴274368123k k k --+--()()272923k k =----()79223k k =---+10292k k =--+1=．故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握“二次根式的化简方法”是解本题的关键．36．8或2##2或8【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x 与y 的值，然后代入原式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：50y -≥且50y -≥，5y ∴=，3x ∴=±，当3x =时，358x y +=+=；当3x =-时，352x y +=-+=．故答案为：8或2．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．37．m【分析】根据二次根式性质化简，再利用绝对值意义去绝对值即可得到答案．【详解】解：由数轴可知：0,,m m n m n ＜＜＞，∴0,0m n m n -+＜＜，∴22()||m m n m n ---+||m m n m n---+=m m n m n =-+-++（）（）m m n m n=-+-++m =，故答案为：m ．【点睛】本题考查代数式化简，涉及二次根式性质、去绝对值运算等知识，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．38．26【分析】图形可知，第n 行最后一个数为123n +++⋯+=()12n n +，据此可得答案．【详解】解：由图形可知，第n 行最后一个数为123n +++⋯+=()12n n +，∴第6行最后一个数为67212⨯=，则第7行从左至右第3个数是2132426+==，故答案为：26．【点睛】本题主要考查数字的变化类，二次根式的性质化简，解题的关键是根据题意得出第n 行最后一个数为()12n n +．39．c 【分析】根据数轴、绝对值、二次根式的性质，分别进行绝对值、二次根式化简即可得解．【详解】解：由数轴可知：+=0a b ，0c a ->，0c <，0a <原式02a c a c=-+---2a c a c=--++=c【点睛】本题考查数轴、相反数、绝对值、二次根式的综合运用，熟练掌握相应的定义性质是关键．40．1．【分析】先根据二次根式被开方数为非负数得出3x ≥，即可得到24>0x -，原式可变为()2+2+3=0y x y -，再根据非负数的性质得到二元一次方程组，求解得到x 和y 的值，代入即可求出+x y 的值．【详解】∵()230x y ≥-，∴30x -≥，即3x ≥，∴24>0x -，∴()224++2+3=24x y x y x ---，即()2+2+3=0y x y -，∴2+2=0(3)=0y x y ⎧⎨-⎩，解得：=3=2x y ⎧⎨-⎩．∴()+321x y =+-=．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，解二元一次方程组，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．41．(1)1±；(2)94．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x ，进而求出y ，根据平方根的概念解答；（2）根据平方根的概念列出方程，解方程求出a ，根据有理数的平方法则计算即可．【详解】（1）解∶由题意得，20200x -≥，20200x -≥，解得，2020x =，∴2019y =-，∴202020191x y +=-=，∵1的平方根是1±，∴x y +的平方根1±；（2）解：∵正数x 的两个平方根分别是2a +和5a +，∴250a a +++=，解得，72a =-，∴732222a +=-+=-，∴23924x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．42．(1)227m n +，2mn(2)12或28(3)①32+，②52-，③51+【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m 、n 表示出a 、b ；（2）利用（1）中结论得到62mn =，利用a 、m 、n 均为正整数得到1m =，3n =或3m =，1n =，然后利用223a m n =+计算对应a 的值；（3）设41025+41025t -+++=，两边平方得到2410254t =-++1025++216(1025)+-+，然后利用（1）中的结论化简得到2625t =+，最后把625+写成完全平方形式可得到t 的值．【详解】（1）设()22277727a b m n m n mn +=+=++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有227a m n =+，2b mn =；故答案为：227m n +，2mn ；（2）∵62mn =，∴3mn =，∵a 、m 、n 均为正整数，∴1m =，3n =或3m =，1n =，当1m =，3n =时，2222313328a m n =+=+⨯=；当3m =，1n =时，2222333112a m n =+=+⨯=；即a 的值为12或28；（3）①526+32232=++⨯()232=+32=+②7210-52252=+-⨯()252=-52=-③设41025+41025t -+++=，则2410254t =-++1025++216(1025)+-+282(51)=+-()8251=+-625=+()251=+，∴51t =+．【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．43．(1)56-；(2)43-；(3)m a b =+，n ab =．【分析】（1）将31分解成256+，再利用完全平方公式即可求出答案；（2）先将7分解成43+，计算第二层根式，再将35分解成163+，利用完全平方公式即可求出答案；（3）将等式两边同时平方即可求出答案．【详解】（1）31106-251066=-+2(56)=-56=-（2）358743-+3584433=-++2(23583)-+=358(23)=-⨯+351663=--1963=-16633=-+43=-（3）()2m n a b a b ±=±>两边平方可得：22m n a b ab±=+±∴m a b =+，n ab=【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质及配方法的应用，读懂题中的配方法并明确二次根式的化简方法是解题关键．。
2022-2023学年八年级数学下册《 二次根式的乘除》精讲与精练高分突破含答案解析
2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）计算()()154154-+，结果为（ ）A ．1-B ．1C ．11-D ．113．（2022春·八年级课时练习）计算：(1)818⨯(2)0.10.4⨯(3)322411⨯(4)243题型二：二次根式的除法4．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计()4233+÷的值应在（ ）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间5．（2023春·八年级课时练习）下列各式计算正确的是（ ）A ．2739÷=B ．48163÷=C ．2044÷=D ．413239÷=6．（2023春·全国·八年级专题练习）某直角三角形的面积为55，其中一条直角边长为10，则其中另一直角边长为（ ）A ．25B ．52C ．55D ．210题型三：二次根式的乘除混算7．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）计算：(1)()622-÷(2)()16215362-⨯-(3)2421656++(4)()()()2233232-++⨯-8．（2023春·八年级）计算：(1)21437⨯(2)25136÷(3)954312612÷⨯(4)333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9．（2023春·八年级）计算：(1)()12712453-+⨯；(2)()()6565-⨯+；(3)148312242÷-⨯+；(4)()()20222723321π---⨯-+-．题型四：最简二次根式的判断10．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A ．9aB ．23a C ．12a +D ．22a b -11．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．3ab B ．3a b +C ．222a b ab+-D ．8a12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在二次根式45、32x 、11、52、4x中，最简二次根式的个数是（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5题型五：化为最简二次根式问题13．（2023春·全国·八年级专题练习）将632化为最简二次根式，其结果是（ ）A ．632B ．1262C ．9142D ．314214．（2022春·山东泰安·八年级统考期末）下列二次根式：①50；②12；③32；④40．将它们都化为最简二次根式后，同类二次根式是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④15．（2022春·贵州黔南·八年级校考期末）二次根式2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型六：已知最简二次根式求参数三、解答题+ 40．（2022·全国·八年级专题练习）若实数m、n满足2m n 41．（2023春·八年级课时练习）计算：V的面积；(1)如图1，利用秦九韶公式求ABCV的两条角平分线AD，BE交于点O，求点O (2)如图2，ABC（2）解：0.10.4⨯0.10.4=⨯0.04=0.2=；（3）解：322411⨯111241=⨯12=22=；（4）解：243243=8=22=．【点睛】本题考查二次根式的乘法和除法．掌握二次根式的乘法和除法的运算法则是解题关键．4．C【分析】先根据二次根式的除法进行计算()4233+÷，然后估算14的大小即可求解．【详解】解：∵()4233+÷141=+，∵3144<<∴41415<+<故选C【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．5．B【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．【详解】解：A ．27393÷==，选项不正确，不符合题意；B ．48163÷=，选项正确，符合题意；C ．2045¸=，选项不正确，不符合题意；D ．41491223393¸=´==，选项不正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．B【分析】利用三角形的面积公式列式计算即可．【详解】解：由题意得，其中另一直角边长为：105102551052102⨯÷===，故选：B ．【点睛】此题考查二次根式的除法，掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．7．(1)31-(2)65-(3)13(4)426-【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则，分母有理化计算即可；（2）利用乘法分配律计算()62153-⨯，利用分数的性质和二次根式的性质化简162；（3）根据二次根式除法和运算法则和分母有理化化简242166+，再计算与5的和即可；（4）先利用完全平方公式、平方差公式分别进行计算，再求和即可．【详解】（1）()622-÷6222=÷-÷31=-（2）()16215362-⨯-263215362=⨯-⨯-⨯1842325=--326532=--65=-（3）2421656++(2462166)5=÷+÷+4365=++265=++13=（4）()()()2233232-++⨯-2222(2)223(3)(3)2=-⨯⨯++-226334=-++-426=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．8．(1)422(2)2(3)36(4)292a b ab -【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解；（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；（3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解；（4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．【详解】（1）2143⨯7=2672⨯42=2；（2）25136÷5536=÷5635=⨯2=（3）954312612÷⨯954312126=÷⨯112=36=；（4）333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3392a ab a b b=-⋅⋅=292a b ab -．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．9．(1)115+(2)1(3)46+(4)1【分析】（1）先用乘法分配律，再利用二次根式的乘法法则，最后合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）先算二次根式的乘除法，再算加减法即可；（4）先算乘方和绝对值，再化简各个二次根式最后算加减法即可．【详解】（1）解：()12712453-+⨯111271245333=⨯-⨯+⨯9415=-+3215=-+115=+；（2）解：()()6565-⨯+65=-1=；（3）解：148312242÷-⨯+16626=-+4626=-+46=+；（4）解：()()020222723321π---⨯-+-3323311=--⨯+332331=--+1=．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握二次根式混合运算法则是关键．10．D【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】A 、93a a =，故不符合题意；B 、233a a =，故不符合题意；C 、12222a a ++=，故不符合题意；D 、22ab -是最简二次根式；故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，同时满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．熟记最简二次根式的定义是解题的关键．11．B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、3ab b ab =，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B 、3a b +是最简二次根式，故本选项符合题意；C 、()2222a b ab a b a b +-=-=-，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、822a a =，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．12．A【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解答即可．【详解】解： 4535=，32x 2x x =，4x 2x =，∴最简二次根式有：11、52共两个．故选：A ．【点睛】本题考查二次根，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键．13．D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式6327922242312⨯⨯⨯===⨯，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．14．A【分析】先将各式化为最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解答．【详解】解：①50=52；②12=22；③36=22；④40=21052 与22是同类二次根式，故选：A ．【点睛】本题考查最简二次根式、同类二次根式等知识，最简二次根式满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．15．B【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，被开方数不含有分母），判断即可．【详解】解：∵1233=，1223=､255||x x =，∴在2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有2x +，22x y +，共2个，故选：B ．【点睛】本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．16．D【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可．【详解】根据题意可知3102a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，∴314a b +=+=．故选D ．【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键．17．B【分析】把a 的值依次代入即可判断求解．【详解】当a=6时，42a -=22，不能与2可以合并，当a=5时，42a -=1832=，能与2可以合并，当a=4时，42a -=14，不能与2可以合并，当a=2时，42a -=6，不能与2可以合并，故选B ．【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．18．D【分析】先将8化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．【详解】解：822=，22 与最简二次根式1m +能合并，12m ∴+=，解得1m =，故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．19．D【分析】根据二次根式性质化简关判定A 、B ；根据二次根式乘法法则计算并判定C ；根据二次根式除法法则计算并判定D ．【详解】解：A 、()222-=，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、1374=93，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、322366⨯=，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、4312=2÷，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查二次根式化简及乘除运算，熟练掌握二次根的性质与乘除运算法则是解题的关键．20．A【分析】已知226a b ab +=，变形可得28a b ab +=（），24a b ab -=（），可以得出a b +（）和a b -（）的值，即可得出答案．【详解】解：∵226a b ab +=，∴28a b ab +=（），24a b ab -=（），∵0a b >>，∴8a b ab +=，4a b ab -=，∴824a b ab a b ab+==-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．21．C【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项．【详解】解：①497648=，原计算错误，②()3322-=-，原计算正确；③1823÷=，原计算错误；④52535+-=，原计算正确；⑤()()5352510156+-=-+-，原计算错误；∴正确的有2个；故选C ．【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式的运算是解题的关键．22．A【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．【详解】解：由题意得：()60060x x x x ⎧-≥⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得：6x ≥，故选A ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．23．A【分析】根据立方根的性质化简、平方根的完全平方公式和性质，即可解答．【详解】解：A 、335050>-<，，故3355≠-，故选项错误．B 、3273=644--，故选项正确．C 、(32)(32)1+-=，故选项正确．D 、(4)(3)43-⨯-=⨯，故选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，注意：负数开立方还是负数．24．A【分析】根据二次根式的乘法法则ab a b =⋅成立的条件为0a ≥且0b ≥，即可确定答案．【详解】解：根据题意，可得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解不等式组，得 1x ≥，所以，等式2111x x x -=+⋅-成立的条件是1x ≥．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．25．(1)46(2)32-(3)3a【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式2723=÷224=46=；（2）解：原式55354=-÷55435=-⨯18=-32=-；（3）解：原式33b ab a=÷ 33a ab b=⨯29a =3=a ．【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．26．623-【分析】直接将31a =+，31b =-代入2ab b +进行计算即可．【详解】解： 31a =+，31b =-，2ab b ∴+()()()2313131=+-+-()313231=-+-+2423=+-623=-，故答案为：623-．【点睛】本题考查了求代数的值、二次根式的乘法，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．27．B【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：2243⨯-2263=⨯-433=-，33=∵252736<<，∴5276<<，即5336<<，∴2243⨯-的值应在5和6之间，故选：B【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出27的范围是解此题的关键．28．A【分析】先确定出m ，n 的值，再通过计算求解此题．【详解】解：∵2的整数部分是1，∴2的小数部分是21-，即21m -＝，∵8的整数部分是2，即2n ＝，∴()2222211==-+（），故选：A ．【点睛】此题考查了实数的估算与计算能力以及乘方，关键是能准确理解并运用相关知识．29．D【分析】通过观察，得出第n 项为：41n -，再根据31199=，得出方程4199n -=，解出即可得出答案．【详解】解：∵数列371115，，，，…，∴通过观察，可得：第n 项为：41n -，∵31191191199=⨯=⨯=，∴4199n -=，解得：25n =，∴311是它的第25项．故选：D【点睛】本题考查了数字规律问题、二次根式的乘法，解本题的关键在正确找出已知数列的规律．30．D【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．【详解】解：∵711a b ==，，∴111170.1171001010ab a ⨯=⨯=⨯=，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．31．D【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可．【详解】解：A 、原式22=，不符合题意．B 、原式14x x =，不符合题意．C 、原式32y =，不符合题意．D 、22x xy y ++是最简二次根式，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．32．C【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解．【详解】A. 1223x x =不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；B.()2222x xy y x y x y ++=+=+，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；C.22x y +，是最简二次根式，故该选项正确，符合题意； D. 1=x x x，含有分母，故不是最简二次根式．故选：C ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．33．5x >##5x<【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x 的一元一次不等式组求解即可．【详解】要使4455x x x x --=--有意义，则4050x x -≥⎧⎨->⎩，解得：5x >，故答案为：5x >．【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键．34．2ab b【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：∵0a >，0b >，∴2342a b ab b =．故答案为：2ab b ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键．35． 2 625- 4 5【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可；（2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可；（3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可；（4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可．【详解】解：（1）()()3131312-+=-=故答案为：2；（2）()2515251625-=-+=-，故答案为：625-；（3）483164÷==，故答案为：4；（4）1502552⨯==故答案为：5．【点睛】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．36．2y-【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：22212124233y y x x y y x x⋅=⋅==，∵0y <，∴212223y x y y x⋅==-，故答案为：2y -．【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．37．63【分析】设ABC V 底边上的高为h ，根据三角形的面积公式12S ah =列方程求解即可．【详解】解：设ABC V 底边上的高为h ，根据题意，得123182h ⨯=，解得：63h =，故答案为：63．【点睛】本题考查解一元一次方程、二次根式的除法运算、三角形的面积公式，正确计算是解答的关键．38．15【分析】根据二次根式的运算法则即可进行解答．【详解】解：2y y x x xy x x=⋅=，∵35x y ==，，∴原式3515=⨯=．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，性质和运算法则．39．3【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到()82，与()100100，表示的两个数，进而()82，与()100100，表示的两个数的积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()82，在数列中是第()1772230+⨯÷+=个，30310÷=，()82，表示的数正好是第10轮的最后一个，即()82，表示的数是3，由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()100100，在数列中是第()1999921005050+⨯÷+=个，5050316831÷=⋯，()100100，表示的数正好是第1684轮的第一个，即()100100，表示的数是1，故（()82，与()100100，表示的两个数的积是：313⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．40．1113±【分析】先根据2710m n m n +-+--=求出8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，然后求出4m n +的值，即可得出答案．【详解】解：∵2710m n m n +-+--=，∴27010m n m n +-=⎧⎨--=⎩，解得：8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴853744333m n +=⨯+=，373的平方根为3711133±=±，即4m n +的平方根是1113±．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，求代数式的值，求平方根，解题的关键是根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出m 、n 的值．41．(1)46+(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可【详解】（1）解：148318243÷-⨯+148318263=÷-⨯+16626=-+46=+（2）03(51)(51)(2)27+-+--()25113=-+-53=-2=【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．42．(1)22(2)63(3)62(4)269(5)3(6)0.092(7)32(8)255【详解】（1）()211|11|-+-1111=+，22=；（2）108363=⨯，63=；（3）2382+648=+，72=，362=⨯，62=；（4）82783273⨯=⨯，4681⨯=，269=；（5）333333⨯=⨯，3=；（6）0.060.27⨯0.010.812=⨯⨯，0.10.92=⨯，0.092=；（7）114-34=，32=；（8）41154点O 为ABC V 的角平分线交点，∴点O 到AB ，AC ，BC 的距离相等，长度为设,OF h =，则ABC ACO S S =+V V 111。
人教版八年级数学下册《二次根式的定义及性质》专项练习(附带答案)
人教版八年级数学下册《二次根式的定义及性质》专项练习(附带答案）
【考点导航】
目录
【典型例题】 (1)
【考点一二次根式的定义】 (1)
【考点二二次根式有意义的条件】 (2)
【考点三求二次根式的值】 (3)
【考点四求二次根式中的参数】 (4)
【考点五利用二次根式的性质化简】 (6)
【考点六复合二次根式的化简】 (7)
【过关检测】 (9)
【典型例题】
【考点一二次根式的定义】
【考点二二次根式有意义的条件】
【考点三求二次根式的值】
【考点四求二次根式中的参数】
【考点五利用二次根式的性质化简】
【考点六复合二次根式的化简】
-=
）解：743
【过关检测】一、选择题
【详解】解：二次根式
a b
-≠a b
+= a b
14
【答案】22+-a b c。
二次根式专题复习(基础篇)及答案
二次根式专题复习（基础篇）知识点1：二次根式的概念 【例1】下列各式： ①②、③1x、④x>0）、⑥42+x ⑦⑧4、⑨12--x 是二次根式的是（填序号）． 【练习1】1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A、B、 C、D2、是二次根式的个数有个。
知识点2：二次根式有意义的条件【例2】写出下列各式有意义的条件: （1; （211x +； （3； （4（5）31--x x 。
【练习2】1、使43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、有意义，则x 的取值范围是 ． 3x 的取值范围是 【例3】若5-x 3x -5+2015，求的值.【练习3】 12()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且4x 233x 2+-+-，求的值。
3、若│199519952的值．知识点3：二次根式的双重非负性 【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ． 【练习4】 1、若)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）A ．3B ．–-3 C．1D ．-132440y y -+=，求xy =4、若1a b -+与则()2005_____________a b -=知识点4：二次根式的性质1（公式)0()(2≥=a a a 的运用）【例5】化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4 【练习5】1、在实数范围内分解因式:94-x = ；2、化简：()232- =知识点5：二次根式的性质2 （公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用）【例6】已知2x <,【练习6】1( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．9 2、已知a<02a │可化简为（）A．－a B．a C．－3aD．3a3、若2<a<3于（）A. 52a- . 12a- . 25a- . 21a-4、若a－3＜0，则化简aaa-++-4962的结果是（）(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7(D) 7－2a5、2得（）（A）2（B）44x-+（C）－2 （D）44x-【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+于（）A．－2b B．2b C．－2a D．2a【练习7】实数a在数轴上的位置如图所示：化简：1______a-+=．【例8】化简1x-是25，则x的取值范围是（）（A）x为任意实数（B）1≤x≤4（C）x≥1 （D）x≤1【练习8】1、如果11a2aa2=+-+，那么a的取值范围是（）0 1 C. 0或1 D. a≤12、若03)3(2=-+-xx，则x的取值范围是（）（A）3>x（B）3<x（C）3≥x（D）3≤x【例9】化简22aaa+-的结果是（）（A）2--a(B)2---aob a(C)2-a (D)2--a【练习9】 1、把a a -1化简，正确的结果是（ ） A. -aB.--aC.-aD.a2、把根号外的因式移到根号内：aa --11)1(＝ 。
(完整版)二次根式专题练习(含答案).doc
初二数学专题练习《二次根式》一．选择题1．式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x＜1 B．x≤1 C ．x＞ 1D． x≥ 12．若 1＜x＜2，则的值为（） A ．2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（） A ．=2B．=C．=x D．=x 4．实数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B．2a ﹣b C ．﹣ b D．b5．化简+ ﹣的结果为（） A ． 0 B． 2 C ．﹣ 2 D． 26．已知 x＜1，则化简的结果是（） A ． x﹣ 1 B．x+1 C ．﹣ x﹣1D ． 1﹣ x7．下列式子运算正确的是（） A ．B． C ．D．8．若，则 x3﹣ 3x2+3x 的值等于（）A ．B． C ．D．二．填空题9．要使代数式有意义，则 x 的取值范围是．10．在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为．11．计算：=．12 ．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式：第 1 个等式： a 1==﹣1，第 2 个等式： a 2==﹣，第 3 个等式： a 3==2，第 4 个等式： a 4==2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n=；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n =．15．已知 a 、b 有理数，m 、n 分表示16．已知： a ＜0，化17．，的整数部分和小数部分，且 amn+bn 2=1 ， 2a+b=．=．，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．三．解答18．算或化：（3+）；19．算：（ 3）（3+）+（2）20．先化，再求：，其中x=3（π 3）0．21．算：（+ ）× ．22．算：×（） +| 2 |+ （）﹣3．23．算：（+1 ）（1）+ （）0．24．如，数 a 、b 在数上的位置，化：．25．材料，解答下列．例：当 a ＞0 ，如 a=6|a|=|6|=6，故此a的是它本身；当a=0 ， |a|=0 ，故此 a 的是零；当a ＜0 ，如 a= 6 |a|=|6|= （ 6），故此 a 的是它的相反数．∴ 合起来一个数的要分三种情况，即，种分析方法渗透了数学的分思想．：（ 1）仿照例中的分的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．26．已知： a=，b=．求代数式的．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．28．化求：，其中．.参考答案与解析一．选择题1．（ 2016? 贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ． x＜ 1B．x≤1 C ． x＞1D．x≥1【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得 x 的取值范围．【解答】解：依题意得： x﹣ 1＞ 0，解得 x＞1．故选： C ．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．.2．（ 2016? 呼伦贝尔）若 1＜x＜2，则的值为（）A ． 2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2【分析】已知 1＜ x＜ 2，可判断 x﹣3＜0，x﹣ 1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵ 1＜ x＜ 2，∴x﹣ 3＜ 0， x﹣ 1＞0，原式 =|x ﹣ 3|+=|x ﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x ﹣ 1=2．故选 D．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当 a ＞ 0 时，表示a的算术平方根；当 a=0 时，=0 ；当 a 小于 0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=|a|．3．（ 2016? 南充）下列计算正确的是（）A ．=2B．= C ．=x D．=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解： A 、=2，正确；B、=，故此选项错误；C 、=﹣x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；故选： A ．.【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．4．（ 2016? 潍坊）实数 a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B． 2a ﹣ b C ．﹣ bD ．b【分析】直接利用数轴上 a ，b 的位置，进而得出 a ＜0，a ﹣b ＜ 0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示： a ＜0，a ﹣b ＜0，则 |a|+=﹣a ﹣（ a ﹣b ）=﹣2a+b ．故选： A ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．5．（ 2016? 营口）化简+﹣的结果为（）A ． 0 B．2 C ．﹣ 2D． 2【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3 +﹣2=2，故选： D．【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．6．已知 x＜1，则化简的结果是（）A ． x﹣ 1B．x+1 C ．﹣ x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解， x2﹣2x+1= （x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．.【解答】解：==|x ﹣1|∵x＜ 1，∴原式 =﹣（ x﹣ 1） =1﹣ x，故选 D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．7．下列式子运算正确的是（）A ．B． C ．D．【分析】根据二次根式的性质化简二次根式：=|a|；根据二次根式分母有理化的方法“同乘分母的有理化因式”，进行分母有理化；二次根式的加减实质是合并同类二次根式．【解答】解： A 、和不是同类二次根式，不能计算，故 A 错误；B、=2，故B错误；C 、=，故C错误；D、=2 ﹣+2+ =4，故 D 正确．故选： D．【点评】此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算，能够熟练进行二次根式的分母有理化．8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A ．B． C ．D．.【分析】把 x 的值代入所求代数式求值即可．也可以由已知得（x﹣1）2 =3，即 x2﹣ 2x﹣2=0，则 x3 ﹣3x2+3x=x （x2﹣ 2x﹣2）﹣（ x2﹣2x ﹣2）+3x ﹣ 2=3x﹣ 2，代值即可．【解答】解：∵ x3﹣3x2 +3x=x （ x2﹣3x+3 ），∴当时，原式 =（）[﹣3（）+3]=3+1 ．故选 C ．【点评】代数式的三次方不好求，就先提取公因式，把它变成二次方后再代入化简合并求值．二．填空题9．（ 2016? 贺州）要使代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣ 1 且 x≠0．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于 0，列不等式组求解．【解答】解：根据题意，得，解得 x≥﹣ 1 且 x≠0．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．10．（ 2016? 乐山）在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为3．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得： a ﹣5＜0，a ﹣ 2＞ 0，则+|a ﹣ 2|=5﹣a+a ﹣2=3．.【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．11．（ 2016? 聊城）计算：= 12 ．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12 ．故答案为： 12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（ 2016? 威海）化简：=．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式 =3﹣2=．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．13．（ 2016? 潍坊）计算：（+）=12．【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．【解答】解：原式 = ?（+3）=×4=12 ．.【点】本考了二次根式的算：先把各二次根式化最二次根式，再行二次根式的乘除运算，然后合并同二次根式．在二次根式的混合运算中，如能合目特点，灵活运用二次根式的性，恰当的解途径，往往能事半功倍．14．（ 2016? 黄石）察下列等式：第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2，第 4 个等式： a 4= = 2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n= = ；；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n = 1 ．【分析】（ 1）根据意可知，a 1= = 1，a 2 = = ，a 3= =2，a4==2，⋯由此得出第 n 个等式： a n = = ；（ 2）将每一个等式化即可求得答案．【解答】解：（1）∵第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2 ，第 4 个等式： a 4= =2，∴第 n 个等式： a n= = ；（2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n=（1）+（）+（2）+（2） +⋯ +（）故答案为=﹣；﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．15．已知 a 、b 为有理数， m 、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分 a ，其小数部分用﹣a表示．再分别代入 amn+bn 2=1 进行计算．【解答】解：因为 2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把 m=2 ，n=3 ﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（ 6a+16b ）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以 6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以 2a+b=3 ﹣0.5=2.5 ．故答案为： 2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．16．已知： a ＜0，化简=﹣2．【分析】根据二次根式的性质化简．【解答】解：∵原式 =﹣=﹣又∵二次根式内的数为非负数∴a=0∴a=1 或 1∵a ＜0∴a= 1∴原式 =0 2= 2．【点】解决本的关是根据二次根式内的数非数得到 a 的．17．，，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．【分析】由 S n =1++===，求，得出一般律．【解答】解：∵ S n =1++===，∴==1+=1+，∴S=1+1+1++⋯ +1+=n+1==．故答案：．【点】本考了二次根式的化求．关是由S n形，得出一般律，找抵消律．三．解答（共11 小）18．（ 2016? 泰州）算或化：（ 3+）；【解答】解：（1）﹣（ 3 + ）=﹣（ + ）=﹣﹣=﹣；【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算，正确化简是解题的关键．19．（ 2016? 盐城）计算：（ 3﹣）（3+）+（2﹣）【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式 =9 ﹣7+2﹣ 2=2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（ 2016? 锦州）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x 的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=× 4﹣﹣1，=2 ﹣﹣1，=﹣1．把 x=﹣1代入得到：==．即=．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．21．计算：（+）×．【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（【解答】解：（+）×= ×+×；然后根据二次根式的混+）×的值是多少即可．=×+×=1+9=10【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．22．计算：×（﹣）+|﹣2|+ （）﹣3．【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8 ，然后化简后合并即可．【解答】解：原式 =﹣+2 +8=﹣3 +2 +8=8﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运.算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、23．计算：（+1 ）（﹣1）+﹣（）0．【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣ 1+2﹣1，然后进行加减运算．【解答】解：原式 =3﹣ 1+2﹣1=1+2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．24．如图，实数 a 、b 在数轴上的位置，化简：．【分析】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．【解答】解：由数轴知， a ＜0，且 b ＞0，∴a ﹣b ＜0，∴，=|a| ﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，=（﹣ a ）﹣ b+a ﹣b ，=﹣2b ．【点评】本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定 a 、 b 及 a ﹣ b 的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．本题考查算术平方根的化简，应先确定 a 、b 及 a ﹣b 的符号，再分别化简，最后计算．25．阅读材料，解答下列问题．例：当 a ＞0 时，如 a=6 则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0 时， |a|=0 ，故此时 a 的绝对值是零；当a ＜0 时，如 a= ﹣ 6 则|a|=| ﹣ 6|= ﹣（﹣ 6），故此时 a 的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（ 1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．【分析】应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．【解答】解：（1）由题意可得=；（ 2）由（ 1）可得：=|a|．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：①当 a ＞0 时，=a ；②当 a ＜ 0 时，= ﹣ a ；③当 a=0 时，=0．26．已知： a=，b=．求代数式的值．【分析】先求得 a+b=10 ，ab=1 ，再把求值的式子化为 a 与 b 的和与积的形式，将整体代入求值即可．【解答】解：由已知，得 a+b=10 ，ab=1 ，∴===．【点】本关是先求出a+b 、ab 的，再将被开方数形，整体代．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．【分析】（1 ）中，通察，：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到分的目的；（ 2）中，注意找律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；.（2）原式 =+⋯+=++⋯+=．【点】学会分母有理化的两种方法．28．化求：，其中．【分析】由 a=2+，b=2，得到a+b=4，ab=1，且a＞0，b＞0，再把代数式利用因式分解的方法得到原式 =+，分后得+，接着分母有理化和通分得到原式=，然后根据整体思想行算．【解答】解：∵ a=2+＞0，b=2＞0，∴a+b=4 ，ab=1 ，∴原式 =+=+=+=，当 a+b=4 ，ab=1 ，原式 =×=4．【点】本考了二次根式的化求：先把各二次根式化最二次根式，再合并同二次根式，然后把字母的代入（或整体代入）行算．。
八年级数学二次根式复习知识点分类训练(附答案)
八年级数学二次根式复习知识点分类训练一．二次根式的定义1．若是二次根式，则x的值不可能是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 2．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A．3﹣πB．a C．a2+1 D．2x+4 二．二次根式有意义的条件3．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≥﹣1 C．x≥1D．x≤﹣1 4．已知+2＝b+8，则的值是（）A．±3 B．3 C．5 D．±5 5．代数式在实数范围内有意义的条件是（）A．x＞﹣B．x≠﹣C．x＜﹣D．x≥﹣三．二次根式的性质与化简6．计算的值为（）A．2 B．4 C．±2 D．7．下列各组数互为相反数的是（）A．和B．﹣和C．（）2和D．与四．最简二次根式8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．9．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．五．二次根式的乘除法10．计算÷的结果是（）A．B．C．4 D．211．下列等式正确的是（）A．＝3 B．＝﹣3 C．＝3 D．＝﹣3 六．化简分母中的二次根式12．计算：＝．13．＝．七．能合并的二次根式14．下列二次根式中，与能合并的是（）A．B．C．D．15．下列二次根式中，与能合并的是是（）A．B．C．D．八．二次根式的加减法16．下列计算正确的是（）A．B．C．D．17．计算：．九．二次根式的混合运算18．计算：（1）．（2）．十．二次根式的化简求值19．已知x＝3+2，y＝3﹣2．求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）+．十一．二次根式的应用20．一个矩形的长减少4cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个矩形周长．21．如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝，这个公式叫“海伦公式”．若a＝5，b＝6，c＝7，利用以上公式求三角形的面积S．参考答案一．二次根式的定义1．解：∵是二次根式，∴1﹣2x≥0，解得x≤0.5，四个选项中x不可能取到D选项中的1，故选：D．2．解：A、3﹣π＜0，则3﹣π不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故本选项符合题意；D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；故选：C．二．二次根式有意义的条件3．解：由题意知2x﹣2≥0，解得x≥1，故选：C．4．解：由题可得，解得a＝17，∴0＝b+8，∴b＝﹣8，∴＝＝5，故选：C．5．解：由题意得，2x+1≥0，解得x≥﹣，故选：D．三．二次根式的性质与化简6．解：原式＝2，故选：A．7．解：A、＝2，＝2，则＝，所以A选项不符合题意；B、﹣＝﹣2，＝﹣2，则﹣＝，所以B选项不符合题意；C、（）2＝2，＝2，则（）2＝，所以C选项不符合题意；D、＝2，＝﹣2，则与互为相反数，所以D选项符合题意．故选：D．四．最简二次根式8．解：A、＝，不是最简二次根式，不符合题意；B、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝3，不是最简二次根式，不符合题意；D、，是最简二次根式，符合题意；故选：D．9．解：A、原式＝，故A不是最简二次根式．B、原式＝，故B不是最简二次根式．C、是最简二次根式，故C是最简二次根式．D、原式＝3，故D不是最简二次根式．故选：C．五．二次根式的乘除法10．解：÷＝＝＝2．故选：D．11．解：A、（）2＝3，本选项计算正确；B、＝3，故本选项计算错误；C、＝＝3，故本选项计算错误；D、（﹣）2＝3，故本选项计算错误；故选：A．六．化简分母中的二次根式12．解：＝＝+．故答案为：+．13．解：＝＝．故答案为．七．能合并的二次根式14．解：A、＝＝3，与不能合并；B、＝＝2，与是能合并；C、＝，与不能合并；D、＝3，与不能合并；故选：B．15．解：A、原式＝，不符合题意；B、不能合并，不符合题意；C、原式＝2，符合题意；D、原式＝2，不符合题意，故选：C．八．二次根式的加减法16．解：A、﹣＝2﹣＝，故本选项符合题意；B、+≠，故本选项不符合题意；C、3﹣＝2≠3，故本选项不符合题意；D、3+2≠5，故本选项不符合题意．故选：A．17．解：＝2+6×﹣4x×＝2+3﹣4＝2﹣．九．二次根式的混合运算18．解：（1）原式＝3﹣5+＝﹣；（2）原式＝3﹣5+3﹣﹣2＝﹣2．十．二次根式的化简求值19．解：（1）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），当x＝3+2，y＝3﹣2时，原式＝[（3+2）+（3﹣2）][（3+2）﹣（3﹣2）] ＝（3+2+3﹣2）（3+2﹣3+2）＝6×4＝24；（2）+＝＝，当x＝3+2，y＝3﹣2时，原式＝＝＝＝6．十一．二次根式的应用20．解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：，解得：，∴2（x+y）＝2（8+2）＝20．∴这个矩形周长为20cm．21．解：当a＝5，b＝6，c＝7时，p＝＝＝9，＝＝．。
中考数学专题特训第六讲：二次根式(含详细参考答案)
中考数学专题复习第六讲：二次根式【基础知识回顾】 一、二次根式式子a （ ）叫做二次根式【赵老师提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】二、二次根式的性质：①（a ）2= （a ≥0）= （a ≥0 ,b ≥0）(a ≥0, b ≥0)【赵老师提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和的大小，可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小】 三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是 ，因式是整式2、被开方数不含 的因数或因式 四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：= （a ≥0 ,b ≥0）（a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算【赵老师提醒：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成 】 【重点考点例析】考点一：二次根式有意义的条件（a ≥o ）（a ＜o ）例1 （2012•潍坊）如果代数式43x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3 B ．x ＜3 C ．x ＞3 D ．x ≥3思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可． 解：要使代数式43x -有意义， 必须x-3＞0， 解得：x ＞3． 故选C ．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式B A中A ≠0，二次根式a 中a ≥0． 对应训练1．（2012•德阳）使代数式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠12 C ．x≥0且x≠12D ．一切实数 1．C1．解：由题意得：2x-1≠0，x≥0， 解得：x≥0，且x≠12， 故选：C ．考点二：二次根式的性质例2 （2012•张家界）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2||a a b -+的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b思路分析：现根据数轴可知a ＜0，b ＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b ＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可． 解：根据数轴可知，a ＜0，b ＞0，原式=-a-[-（a+b ）]=-a+a+b=b ． 故选C ．点评：本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 对应训练为 ． 1．-b2．解：∵由数轴可知：b ＜0＜a ，|b|＞|a|，=|a+b|+a =-a-b+a =-b ，故答案为：-b ．考点三：二次根式的混合运算思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．=3． 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键． 对应训练4=+考点四：与二次根式有关的求值问题222)(1)(x x x ++-思路分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．2(1)1)4x x x+0，(1)1)4x x x +=本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当1，此题难度不大．对应训练A ．0B ．25C ．50D ．804．D分析：根据平方差公式求出1142-642=（114+64）×（114-64）=178×50，再提出50得出50×（178-50）=50×128，分解后开出即可．=80， 故选D ．点评：本题考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计算，本题主要考查学生的思维能力和应变能力，题目比较好，是一道具有代表性的题目．【聚焦山东中考】1．（2012•泰安）下列运算正确的是（ ）A 5=-B ．21()164--=C ．x 6÷x 3=x 2 D ．（x 3）2=x 5 1．B ．2.（2012•临沂）计算：= ． 2．03．7【备考真题过关】一、选择题A ．x ＞0B ．x≥-2C ．x≥2D ．x≤2 1．DA B ．5 C ．2 D ．22．AA ．3BC ．D ．3．C ．A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．-5＜m ＜-4D ．-6＜m ＜-5 4．A即5＜m ＜6， 故选A ．5．（2012•南充）下列计算正确的是（ ）A ．x 3+x 3=x 6B ．m 2•m 3=m 6C ．3=D = 5．D6．（2012•黔东南州）下列等式一定成立的是（ ）A ．945-=B ．5315⨯=C ．93=±D ．2(9)9--=6．B7．（2012•广西）使式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ． x ≥﹣1B ． ﹣1≤x ≤2C ． x ≤2D ．﹣1＜x ＜2 考点： 二次根式有意义的条件。
中考数学复习二次根式专题复习讲义(含答案)
中考数学复习二次根式专题复习讲义中考考点梳理1、二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、★★★二次根式的性质（1）)0()(2≥=a a a （2）==a a 2(0)(0)a a a a ≥≤⎧⎨⎩（3）)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）)0,0(≥≥=b a ba b a 5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
中考典例精选考点典例一、二次根式概念与性质【例1】使二次根式1-x 有意义的x 的取值范围是A. 1≠xB. 1>xC. 1≤xD. 1≥x 【答案】D.【解析】试题分析：使二次根式a 有意义的条件是被开方数a≥0，所以使二次根式1-x 有意义的条件是x-1≥0，即x≥1，故答案选D.考点：二次根式有意义的条件.【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．【举一反三】（金华）在式子11,,x 2x 3--x 可以取2和3的是【 】A ．1x 2-B ．1x 3- C D 【答案】C ．考点：二次根式和分式有意义的条件.考点典例二、二次根式的运算【例2】如果ab ＞0，a+b ＜0，那么下面各式：=1=，b =-其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】B.【解析】答案：二次根式的乘除法．【点睛】二次根式化简依据：)0,0(≥≥∙=b a b a ab ，)0,0(≥≥=b a ba b a ，本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a ＜0，b ＜0．【举一反三】计算18212-的结果是 ．【答案】22-.【解析】试题分析：2223221218212-=-⨯=- 考点：二次根式化简.考点典例三、二次根式混合运算【例304(1-.【解析】试题分析：考点：二次根式的混合运算【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．【举一反三】的结果为（ ）A．0 B．2 C．- D．【答案】D．【解析】+-D．考点：二次根式的加减法．考点典例四、二次根式运算中的技巧【例4】若-2，则（x+y）y=【答案】14．【解析】试题分析：根据被开方数大于等于0，列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．试题解析：由题意得，x-4≥0且4-x≥0，解得x≥4且x≤4，∴x=4，y=-2，∴x+y）y=（4-2）-2=14．考点：二次根式有意义的条件【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．【举一反三】若（m-1）=0，则m+n的值是（ ）A．-1B．0 C．1 D．2【答案】A．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．考点典例五、估算大小【例5】a，b是两个连续整数，若a＜b，则a，b分别是（ ）A．2，3B．3，2 C．3，4D．6，8【答案】A．【解析】可得a=2，b=3．考点：估算无理数的大小．【举一反三】若a ＜b ，且a ，b 为连续正整数，则b 2-a 2=【答案】7.考点：估算无理数的大小．课后能力提升自测小练习1. 与5-是同类二次根式的是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C.【解析】试题分析：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．10、15都是最简二次根式，被开方数与5-的被开方数不一样，因此A 、B 错误，5220=与5-的被开方数一样，因此C 正确，525=与5-的被开方数不一样，因此D 错误.故选C.考点：同类二次根式2.下列计算正确的是（ ）A =B =C =-D x =【答案】A ．试题分析：A=，正确；B=，故此选项错误；C=-，故此选项错误；=，故此选项错误；D x故选A．考点：二次根式的性质与化简．3. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）A．x≥0B．x＞4C．x＜4D．x≥4【答案】D.【解析】试题分析：根据二次根式有意义的条件可得出x﹣4≥0，解得x≥4．故答案选D．考点：二次根式有意义的条件．4. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n，则最后输出的结果是（ ）A．14B．16C．D．【答案】C.考点：实数的运算．6. 计算3﹣2的结果是（ ）A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A.【解析】试题分析：根据二次根式的加减运算法则可得原式=（3﹣2）=．故答案选A ．考点：二次根式的加减法．7 .有意义时，实数x 的取值范围是 .【答案】x≤9.【解析】9-x≥0，即x≤9.考点：二次根式有意义的条件.8.0(2)-= ．【答案】3．【解析】0(2)+-=2+1=3．故答案为：3．9.计算：2= ．【答案】28．【解析】试题分析：原式=222⨯=28．故答案为：28．考点：二次根式的乘除法．10. 计算3﹣2的结果精确到0.01是（可用科学计算器计算或笔算）（ ）A ．0.30B ．0.31C ．0.32D ．0.33【答案】C ．考点：计算器的运用.11.计算18212-的结果是 ．【答案】22-.【解析】试题分析：2223221218212-=-⨯=-考点：二次根式化简.12.若1＜x ＜2，则x -的值为（ ）A ．2x﹣4B ．﹣2C ．4﹣2xD ．2【答案】D ．考点：二次根式的性质与化简．13. = ．．【解析】试题分析：原式=．考点：二次根式的加减法．14.(1)计算：()－1＋(π―3.14)0－2sin60°―＋|1－3|；12016123 (2)先化简，再求值：（a ＋1－）÷（－），其中a ＝2＋．4a －5a －11a 1a 2－a3【答案】(1)原式=2016；（2）原式=a 2－2a.当a ＝2＋时，原式＝3＋2.33【解析】试题分析：(1)根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊三角函数值计算即可．(2)根据分式的运算顺序先化简再求值即可.33试题解析：(1)原式＝2016＋1－2×－2＋（3－1）2333＝2016＋1－－2＋3－1考点：实数的运算；分式的化简求值.。
二次根式(知识点+例题+练习+答案)
二次根式【相关知识点】1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根.2.()0a≥叫做二次根式；被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．3.二次根式的性质：2(0)(0)||0,0)(0)0;0)0,0)a aa a a a ba aa b a b⎧⎪⎨⎪⎩≥=≥=≥≥-<≥>≥≥4.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．【经典题例】例1.下列命题中，假命题是（）A.9的算术平方根是3；2；C.27的立方根是±3；D.立方根等于－1的实数是－1.例2.，中，最简二次根式个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个例3.下列各组二次根式中，同类二次根式是（）B.例4.当x取何值时，下列各根式才有意义：）））（）（））【经典题型训练】1.(2的平方根是；的平方根是；9的算术平方根是；214⎛⎫- ⎪⎝⎭的算术平方根是，的算术平方根是 .1的相反数的和列式为，计算结果为 .3.当0a <时，化简a ＝ .4.下列命题：⑴任何数的平方根都有两个；⑵如果一个数有立方根，那么它一定有平方根；⑶算术平方根一定是正数；⑷非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）A.1B.2C.3D.45.设x 是实数，则()()232516x x +-+的算术平方根是（ ）A.21x -B.12x -C.21x -D.21x +6.当12x <<时，化简1x -+的结果是（ ）A.－1B.21x -C.1D.32x -的值一定是（ ） A.0B.42x -C.24x -D.48.()()23x x -+-，那么x 的取值范围是（ ） A.3x ≥B.2x ≤C.3x >D.23x ≤≤9.成立的条件是（ ） A.23x -<≤B.23x -≤≤C.2x >-D.3x ≤10.把(a b -化成最简二次根式，正确的结果是（ ）C. D.11.化简3- ） A.正数 B.负数 C.零 D.不能确定12.计算：-；13.先化简,再求值:⎫++，其中2x =2y =+。
人教版八年级下册数学 第16章《二次根式》讲义 第1讲 二次根式认识、性质(有答案)
第1讲 二次根式认识、性质形如（）的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件（（）表示a 的算术平方根， 即0（）。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若，则a=0,b=0。
①、a a ≥≥00（） ②、()a a a 20=≥（）③、a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪⎩⎪||（）（）（）④、ab a b a b =⋅≥≥（，）00 ⑤、b a baa b =>≥（，）00考点1、二次根式概念例1、下列各式：1-其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1（2（3（4（5 （6例3)()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ） ①15 ②51 ③22b a + ④ b a2 ⑤bc ab 32⨯ ⑥215例5、若21x +的平方根是5±_____=．1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D4、下列式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0）1x y +、（x≥0，y •≥0） ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及应用例1有意义，则x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2018，则x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．o1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是 3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>y xC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
九年级二次根式专题训练
九年级二次根式专题训练一、二次根式的概念1. 二次根式的定义- 形如公式的式子叫做二次根式。
其中，公式叫做被开方数。
- 例如：公式，公式都是二次根式，因为公式，公式。
而公式不是二次根式，因为公式。
2. 二次根式有意义的条件- 被开方数必须是非负数。
- 例1：求公式中公式的取值范围。
- 解析：要使二次根式有意义，则公式，解得公式。
- 例2：若公式有意义，则公式满足的条件是（）- A. 公式 B. 公式 C. 公式 D. 公式- 解析：因为二次根式有意义的条件是被开方数公式，解不等式公式，公式，得公式，所以答案是B。
二、二次根式的性质1. 公式- 例1：计算公式。
- 解析：根据性质公式，所以公式。
- 例2：若公式，则公式____。
- 解析：由公式（公式），已知公式，所以公式。
2. 公式- 例1：化简公式。
- 解析：先计算公式，然后公式。
- 例2：化简公式。
- 解析：先将公式变形为公式，则公式，因为公式，所以公式，公式。
三、二次根式的乘除1. 二次根式的乘法法则- 公式。
- 例1：计算公式。
- 解析：根据乘法法则公式。
- 例2：化简公式。
- 解析：将公式分解因数公式，则公式。
2. 二次根式的除法法则- 公式。
- 例1：计算公式。
- 解析：根据除法法则公式。
- 例2：化简公式。
- 解析：公式。
四、二次根式的加减1. 同类二次根式- 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
- 例如：公式化简为公式，公式化简为公式，公式和公式是同类二次根式，因为它们化成最简二次根式后被开方数都是公式。
2. 二次根式的加减法则- 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。
- 例1：计算公式。
- 解析：先化简公式，公式，则公式。
- 例2：计算公式。
- 解析：化简公式，公式，公式，则公式。
初中数学 数与式模块1-6 二次根式讲义(含答案解析)
二次根式题型练题型一二次根式的定义学习要求：例1.1.下列各式中是二次根式的是（）A.B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．【详解】A、是三次根式；故本选项不符合题意；B、-1＜0C、符合二次根式的定义；故本选项符合题意；D、2不是二次根式，故本选项不符合题意．故选：C．a≥0）叫二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的定义．变式2.当x是二次根式．【答案】x>1 3【解析】【分析】主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【详解】解：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可知：-（1-3x）＞0即x＞13，所以自变量x的取值范围是x＞13．【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式有分母时，还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．题型二二次根式有意义的条件例2.x的取值范围是．【解析】解：∵x－4≥0∴x≥4变式3.x 应满足的条件是__________【答案】4x >．【解析】【分析】直接利用二次根式有意义条件和分数有意义求出x 的取值范围．可得：40x ->，解得4x >，故答案为4x >．【点睛】本题考查了二次根式有意义与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义与分式有意义的条件是解题的关键．题型三二次根式的性质例3.的结果是＝．【解析】解：原式＝－|－2|＝－2变式4.实数a ，b ＝_____【答案】a b+【解析】【分析】依据可得到10,10a b +>-<，即可化简．【详解】解：由题意可知：-<<<<，a b10,01∴+>-<，10,10a b∴原式11=++-=+，a b a b+．故答案是：a b【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是：掌握二次根式的性质及绝对值的性质．题型四二次根式的化简<的正确结果是（）例4：已知a bA.-B.-C.D.有意义，∴－a3b≥0，∴a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，=-，故选：A．变式5.当01a <<1a -=（）A.aB.a -C.2a a -D.2a a -【答案】B【解析】【分析】先确定1a a-是正是负，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：211a a a a--=，当01a <<时，210a -<，而0a >，所以10a a-<．原式＝1111a a a a a a a --=--=-，故答案选择B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和分式的运算，解题关键是判断1a a-的正负，再根据二次根式和绝对值的性质熟练进行化简．题型五最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．例5：化为最简二次根式为．【解析】==变式6.，12中，是最简二次根式的是_____．【解析】【分析】利用最简二次根式定义判断即可．，【点睛】本题考查的知识点是最简二次根式，解题的关键是熟练的掌握最简二次根式.题型六二次根式的乘除法例6：3===．变式7.计算：【答案】24.【解析】【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算即可得出答案．【详解】原式=8×3=24．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题的关键．题型七分母有理化例7：＝．3==．变式8.实数2﹣的倒数是_____．【答案】2+【解析】【分析】先根据倒数的定义写出2﹣【详解】解：22243+===+-故答案为：2+．【点睛】本题考查实数的倒数，分母有理化．掌握利用平方差公式分母有理化的方法是解题关键．题型八同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．例8：是同类二次根式的是．===2变式9.与最简二次根式是同类二次根式，则a=_____．【答案】2【解析】化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．与最简二次根式∴a+1=3，解得：a=2．故答案为2．点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．题型九二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．例9：计算：．=+-=解：2变式10.-++【答案】【解析】【分析】先将各二次根式进行化简，然后再合并即可．-++=+=【点睛】此题主要考查了二次根式的加减法，将各二次根式进行化简是解答酷暑珠关键．题型十二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例10：+=+4=+．4变式11.计算：)22-．【答案】7-【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】解：)22-+=-+34=-．7【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练运用二次根式的运算法则．题型十一二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．例11：已知x2+，求代数式x2－y2的值．-，y2-，y2，解：∵x2∴x＋y＝x＋y＝－4原式＝（x＋y）（x－y）＝－4×＝－变式12.已知1m =．（1）求代数式244m m ++的值；（2）求代数式3232020m m m +-+的值．【答案】（1）3+；（2）2019【解析】【分析】（1）利用完全平方公式进行计算；（2）将已知条件进行变形得到1m +=【详解】解：⑴∵1m =-，∴2121m +=-+=+，∴())22244213m m m ++=+=+=+．⑵∵10m =≠，∴1m +=，∴两边同时平方得2212m m ++=，∴2210m m +-=，∴212m m =-．∴两边同时乘以m 得：()32221252m m m m m m =-=--=-．∴原式5212320202019m m m =-+--+=．【点睛】本题考查完全平方公式、代数式的求值，灵活运用完全平方变形是关键．实战练13.当x ＝_______【答案】3【解析】【分析】根据二次根式成立的条件即可求出答案．∴260x -≥∴当26=0x -，即3x =的值最小，最小值为0．故答案为：3．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．14.若y 1，则xy ＝_____．【答案】12．【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得到关于x 的不等式组，求出x ，代入求出y ，即可求解．【详解】解：由题意得：210120x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得x ＝12，∴y =＝1，∴1y 2112x =⨯=．故答案为12．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出x 、y 的值是解题关键．15.当1<a <21a +-的值为_________．【答案】1【解析】【分析】利用二次根式和绝对值的性质进行化简．【详解】解：原式21a a =-+-，∵12a <<，∴原式211a a =-+-=．故答案是：1．【点睛】本题考查二次根式和绝对值的性质，解题的关键是根据a 的取值范围去绝对值进行化简．16.是最简二次根式，则最小的正整数a为______.【答案】2【解析】【分析】根据最简二次根式的定义求解即可.【详解】解：∵a 是正整数，且是最简二次根式，∴当a=1=当a=2=，是最简二次根式，则最小的正整数a 为2，故答案为：2．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．17.计算：1)+-=____．【答案】4【解析】【分析】【详解】试题分析：原式=2﹣12=5﹣1=4．考点：二次根式的乘除法．18.的整数部分a=_____，小数部分b=__________．【答案】①.2②.12-【解析】的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．32==，∵4＜7＜9，∴2＜3，即2+3＜3+＜3+3，∴53322<<的整数部分是2a =，则小数部分为31222b +=-=．故答案为：2，1 2-．【点睛】本题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．19.已知最简二次根式与可以合并，则a 的值是________．【答案】2．【解析】【分析】根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于a 的方程7﹣2a =3，再解方程可得答案．【详解】解：由题意得：723,a -=24,a ∴=2,a ∴=故答案为2．20.已知x+1，则代数式x 2﹣2x +1的值为____．【答案】2．【解析】【分析】利用完全平方公式将所求的代数式进行变形，然后代入求值即可．【详解】解：原式为：2x -2x+12=(x-1),将1+代入上式，原式22=(x-1)=2故答案为：2．【点睛】此题考察了完全平方公式的计算，二次根式的性质．利用完全平方公式将所求代数式进行变形是解答此题的关键．21.若a 为正数，则有（）A.aB.aC.aD.a 的关系不确定【答案】D【解析】【分析】根据a 的取值范围，对a【详解】解：当0,1a =时，a =；当01a <<时，a <当1a >时，a >所以，a 的关系不确定，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，解题的关键是：掌握二次根式的意义和性质．22.已知：a，b ，则a 与b 的关系是（）A.a －b ＝0B.a ＋b ＝0C.ab ＝1D.a 2＝b 2【答案】C【解析】【分析】先分母有理化求出a 、b ，再分别代入求出ab 、a +b 、a -b 、a 2、b 2各个式子的值，即可得出选项．【详解】解：分母有理化，可得a ，b ，∴a-b=（）-（）A选项错误，不符合题意；a+b=（）+（=4，故B选项错误，不符合题意；ab=（）×（）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；∵a2=（2，b2=（）2∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．23.是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将各个二次根式化简，再看被开方数即可得出答案．====，2是同类二次根式，故选：B．【点睛】本题考查了同类二次根式、二次根式的化简，熟记同类二次根式的定义是解题关键．24.下列计算正确的是（）A.=B.==±C.【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的基本性质进行化简和二次根式的加减运算进行判段．【详解】解：A=，故选项错误，不符合题意；B=-=，故选项正确，符合题意；C2-=-，故选项错误，不符合题意；D 3=，故选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式化简和二次根式的加减运算，解题的关键是：熟练掌握运算法则．25.有理数a 和b||a b -等于（）A.aB.a -C.2b a +D.2b a-【答案】B【解析】【分析】根据实数与数轴的关系确定a 和b 的符号，再化简即可．【详解】解：观察数轴可知：b ＜0＜a ，b b ==-，()a b b a b b a b a --=---=--+=-，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简、实数与数轴．26.《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S a 、b 、c 为三角形的三条边长，S 为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ，AD ，对角线BD ABCD 的面积为（）A. B. C.2 D.72【答案】B【解析】【分析】根据已知条件的公式计算即可；【详解】根据题意可知：a ，b ，c∴S ，，=，2=，∴△2ABD S =，∴平行四边形△=2ABCD ABD S S =故答案选B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．27.计算：（15（2）4（3）-（4）)11（5）(21)-÷--（6）(0|20213|-+-【答案】（1）1；（2）12；（3；（4）（5）22-；（6）2-【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘法法则计算出答案；（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算出答案；（3）直接利用二次根式的加减运算法则计算出答案；（4）利用二次根式的加减乘除混合运算法则计算出答案；（5）利用零指数幂、去绝对值符号、二次根式的除法计算出答案．【详解】解：（1551==（2）1442=÷=（3）2-=-=（4）)1131=-+=（5）(21)231222-÷-=--+=-（6）(020213||132=+-+--=--【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算、零指数幂、去绝对值符号、解题的关键是：掌握相关的运算法则．28.已知a＝2b＝2a2b＋ab2的值．【答案】4【解析】【分析】先计算出a+b，ab，把a2b＋ab2变形为ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵a＝2，b＝2，∴ab=(2+-=1，a+b=(2+4，∴a2b+ab2=ab（a+b），=1×4=4．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，注意：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了整体代入的方法．29.设a＝－1b＝－1a2－b2，a2－2ab＋b2的值．【答案】；12．【解析】【分析】根据a、b的值计算出a+b、a-b的值，再将所求代数式因式分解，代入即可得出答案．【详解】解：∵a＝－1b＝－1，∴a+b=-2，a-b=（-（），则a2-b2=（a+b）（a-b）；a2-2ab+b2=（a-b）2=（）2=12．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式和完全平方公式．30.如果最简根式b a ，b 的值．【答案】0,2a b ==【解析】【分析】根据同类二次根式的定义，根指数相同，被开方数相同列方程组求解即可．【详解】解： 最简根式b 2322b a b b a -=⎧∴⎨=-+⎩，解得：0,2a b ==，故答案是：0,2a b ==．【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，解题的关键是：理解同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开放数相同的二次根式叫做同类二次根式．31.已知二次根式（1）求使得该二次根式有意义的x 的取值范围；（2）已知为同类二次根式，求x 的值，并求出这两个二次根式的积．【答案】（1）x ≥2；（2）x =12，–5．【解析】【详解】试题分析：（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；（2化为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念求解即可.试题解析（1）要使有意义，必须x –2≥0，即x ≥2，所以使得该二次根式有意义的x 的取值范围是x ≥2；（2=12，所以x –2=10，解得：x =12，这两个二次根式的积为=–5．32.一个直角三角形的两边m 、n 恰好满足等式8m =，求第三条边上的高的长度．【答案】4.8或6【解析】【分析】根据二次根式的意义求出,n m 的值，然后利用等面积法求第三边上高的长度，需要进行分类讨论．【详解】解：8m = ，2120n ∴-=，解得：6,8n m ==，1︒当,m n 10=，由等面积法，11681022h ⨯⨯=⨯，4.8h ∴=，∴第三条边上的高的长度为4.8．2︒当m 为斜边，n 为直角边时，所以第三条边上的高的长度为：6．【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式有意义的条件、解题的关键是：熟悉二次根式有意义的条件．33.已知线段a ，b ，c ，且线段a ，b 满足|a |＋（b2＝0（1）求a ，b 的值；（2）若a ，b ，c 是某直角三角形的三条边的长度，求c 的值．【答案】（1）a b （2）c 的值为4．【解析】【分析】（1）根据绝对值与完全平方式非负性求出a b -，即可；（2）分类讨论a 斜边与直角边两种情，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵(20a b +=，(200a b ≥≥，，∴a b ，，∴a b（2）当a b由勾股定理c ==，当a 为某直角三角形的斜边时，b ,c 为直角边，由勾股定理4c ===，∴c 的值为4．【点睛】本题考查非负数的性质，以及勾股定理，二次根式化简，掌握非负数的性质，以及勾股定理，二次根式化为最简二次根式的方法，利用绝对值与完全平方式非负性求出a b ，的值是解题关键．34.已知a ，b －（b －1＝0，求a2014＋b 2015的值．【答案】【解析】【分析】(10b -=，利用二次根式有意义的条件得到1-b ≥0，1+a ≥0再根据几个非负数和的性质得到1+a =0，1-b =0，解得a =-1，b =1，然后根据乘方的意义计算a 2014+b 2015的值．(10b --=，(10b -=(010b ≥-≥，∴1+a =0，1-b =0，解得a =-1，b =1，∴a 2014+b 2015=（-1）2014+12015=1+1=2．【点睛】本题考查了代数式求值，二次根式非负数的性质：二次根式具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．35.求代数式的值，其中a＝﹣2020．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（3）求代数式a＝﹣2019．【答案】（1）小芳；（2）被开方的数具有非负性；（3）2025．【解析】【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以得到哪位同学做错了；（2）根据题目中的解答过程，可知错误的原因是没有正确运用被开方的数具有非负性；（3）根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）∵a＝﹣2020，∴1﹣a＝1﹣（﹣2020）＝2021，故小芳开方时，出现错误，故答案为：小芳；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：被开方的数具有非负性，故答案为：被开方的数具有非负性；（3）＝，∵a＝﹣2019，∴a﹣3＜0，∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝6﹣（﹣2019）＝6+2019＝2025，即代数式2025．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．36.一样的式子，=，3==)()22212111⨯⨯-===--，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：221111+===-=（1（2+⋅⋅⋅+．【答案】（1；（2）12-【解析】【分析】（1）分母有理化的两种方法：①分子因式分解达到约分的目的；②同乘分母的有理化因式达到约分的目的；（2）先分母有理化，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【详解】（1==22===-（2）原式12222--=+++⋅⋅⋅+12-++⋅⋅⋅+-=12-=．【点睛】本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．培优练37.阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如23(1+=，我们来进行以下的探索：设2(a m +=+（其中a ，b ，m ，n 都是正整数），则有2222a m n +=++，∴222a m n =+，2b mn =，这样就得出了把类似a +的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探索并解决下列问题：（1）当a ，b ，m ，n 都是正整数时，若2(a m -=-，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a=，b=；（2）利用上述方法，找一组正整数a ，b ，m ，n ，填空：﹣（—）2（3）2(a m -=-且a ，m ，n 都为正整数，求a 的值．【答案】(1)a=m²+5n²,b=2mn;(2)见解析;(3)9或21.【解析】【分析】（1）利用完全平方公式把（2展开即可得到用含m ，n 的式子分别表示出a ，b ；（2）利用（1）中的表达式，令m=2，n=1，则可计算出对应的a 和b 的值；（3）利用（1）的结果得到2mn=4，则mn=2，再利用m ，n 都为正整数得到m=2，n=1或m=1，n=2，然后计算对应的a 的值即可．【详解】(1)∵2(a m -=-=225m n -+，∴225a m n =+，2b mn =；（2）答案不唯一;取m =2，n =1，则a =4+5=9，b =4；(3)∵2mn =4，∴mn =2，而m ，n 都为正整数，∴m =2，n =1或m =1，n =2，当m =2，n =1时，a =9；当m =1，n =2时，a =21.即a 的值为9或21.故答案为(1)a=m²+5n²,b=2mn;(2)见解析;(3)9或21.【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。
中考数学复习高频考点精讲精练(全国通用)：专题07 二次根式(解析版)
专题07二次根式一、二次根式的基本性质与化简【高频考点精讲】1．二次根式有意义的条件（1）二次根式中的被开方数必须是非负数；（2）如果所给式子中含有分母，那么除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。
2．二次根式的基本性质（1）≥0；a≥0（双重非负性）。
（2）（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）。
（3）＝a＝3．二次根式的化简（1）利用二次根式的基本性质进行化简。
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）【热点题型精练】1．（2022•雅安中考）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．解：∵有意义，∴x﹣2≥0，∴x≥2，答案：B．2．（2022•绥化中考）若式子+x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0解：∵x+1≥0，x≠0，∴x≥﹣1且x≠0，答案：C．3．（2022•日照中考）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≤．解：由题意得：3﹣2x≥0，解得：x≤，答案：x≤．4．（2022•常德中考）要使代数式有意义，则x的取值范围为x＞4．解：由题意得：x﹣4＞0，解得：x＞4，答案：x＞4．5．（2021•杭州中考）下列计算正确的是（）A．＝2B．＝﹣2C．＝±2D．＝±2解：A.，符合题意；B.，不符合题意；C.，不符合题意；D.，不符合题意，答案：A．6．（2022•聊城中考）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s解：v＝＝＝8×102（m/s），答案：D．7．（2022•广西中考）化简：＝2．解：＝＝＝2．答案：2．8．（2022•遂宁中考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．解：由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|﹣+＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2答案：2二、同类二次根式及分母有理化【高频考点精讲】1．同类二次根式（1）一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么把这几个二次根式叫做同类二次根式。
九年级数学二次根式的概念、二次根式的乘除法知识精讲 试题
九年级数学二次根式的概念、二次根式的乘除法【本讲主要内容】二次根式的概念、二次根式的乘除法1. 二次根式的概念2. 二次根式的性质3. 二次根式的乘法4. 二次根式的除法【知识掌握】【知识点精析】一. 二次根式的概念：≥0叫做二次根式．1. 定义：式子a a()注意：〔1〕根式定义中的a≥0是定义的一个重要组成局部，不可略；因为负数没有平-22是二次根式，当a≤0方根，所以当a<0时，a没有意义．如-2不是二次根式，()时，-a是二次根式．〔2〕被开方数a可以是数，也可以是代数式．2. 最简二次根式〔1〕最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或者因式．〔2〕化二次根式为最简二次根式的方法：①假如被开方数是分数〔包括小数〕或者分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进展化简．②假如被开方数是整数或者整式，先将它分解因数或者因式，然后把它开得尽方的因数或者因式开出来．“一分〞即利用分解因数或者分解因式的方法把被开方数〔或者式〕的分子、分母都化成质因数〔或者质因式〕的幂的积的形式．“二移〞即把能开得尽方的因数〔或者因式〕用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上． “三化〞即化去被开方数的分母．二. 二次根式的性质：1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或者非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203.a a aa aa 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：〔1〕字母不一定是正数．〔2〕能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．〔3〕可移到根号内的因式，必须是非负因式，假如因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a aa aa 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联络 〔1〕a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一实在数． 〔2〕()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． 〔3〕a 2和()a 2的运算结果都是非负的．三. 二次根式的乘法a b a b a b =⋅≥≥()00， 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．注意：〔1〕a b ≥≥00，是公式成立的必要重要条件．如()()-⨯-≠-⋅-4949 〔2〕公式中的a b ,可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．四. 二次根式的除法 1.a b a ba b =≥>(,)00 商的算术平方根等于被除式的算术平方铲除以除式的算术平方根． 2. 分母有理化〔1〕把分母中的根号化去，叫做分母有理化．〔2〕分母有理化的根据是分式的根本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式． 〔3〕有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式．常用的互为有理化因式有如下几种类型： ①a a 与； ②a b a b +-与；③a b a b +-与；④ab cd ab cd +-与． 〔4〕分母有理化时分母要先化简．【解题方法指导】例1. x 为何值时以下式子有意义？ 〔1〕21x + 〔2〕-+15x 〔3〕x x+-13 分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数． 解：〔1〕根据二次根式定义，得21012x x +≥∴≥-〔2〕根据二次根式定义，得-+≥∴+<∴<-1505005x x x ()分母不能为 〔3〕根据二次根式定义，得x x+-≥130 ∴+≥->⎧⎨⎩x x 1030或者x x +≤-<⎧⎨⎩1030∴≥-<⎧⎨⎩x x 13或者x x ≤->⎧⎨⎩13〔空集〕∴-≤<13x例2. 计算：〔1〕()62；〔2〕()352；〔3〕()82-a 解：〔1〕()662=〔2〕()()35359545222=⨯=⨯=〔3〕()882-=-a a点评：此例表达了公式()a a 2=的应用．对于〔3〕题()82-a ，其运算是先方、再乘二次方，所以题目本身已隐含了80-≥a ．例3. 计算：〔1〕44176⨯；〔2〕-⨯⨯-4259169()〔3〕23483415⨯；〔4〕162436a a ⨯；〔1〕解法一：原式=⨯⨯=⨯=⋅=⨯=44444442442442882222解法二：原式=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=11411161142114288222 〔2〕解：原式=⨯⨯=⨯⨯425916925313222()=⋅⋅=253131303222()点评：运算时，〔1〕被开方数的积不要计算成一个结果，应是化简成幂的积的形式，以便于开方、化简；〔2〕被开方数的负因子要计算成正因子，才能用公式． 〔3〕23483415⨯ =⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=2334481512163351243565 〔4〕162436163246a a a a ⨯=⨯⋅=⨯⨯=⨯⨯=12646126262a a a ．例4. 化简．〔1〕19681；〔2〕27424c a b；〔3〕385a ；〔4〕12a b a b ->()解法一：〔1〕原式==19681149〔2〕原式==⨯=27493232324222ca b c a b a b c ()解法二：〔1〕原式==()1491492〔2〕原式=⋅=()323323222a b c a bc〔3〕原式=⋅⋅=a a aa 42321646注意：化去分母时，被开方数的分子、分母只要同乘2即可，假设同乘8就太繁了． 〔4〕原式=⨯--=--43232()()()a b a b a b a b 点评：化去被开方数的分母时，不能忘掉分子中开得尽方的因数的化简．例5. 把x y x y--分母有理化．解法一：原式=---=---=-()()()x y x y x y x y x y x y x y 2解法二：原式=--=-()x y x yx y 2〔x y -中隐含条件x y ->0，故x y x y -=-()2〕 同样，55555101010101022====()()，例6. 化简：1235133552735773+++++++++()()()()分析：联想分式中逆用分式加、减法，得到分子为1而分母也很简单的式子．解：原式=+++++++++++()()()()()()()()1335133557735773=+++++++=-+-+-+-=11313515717312315375371() 点评：假如要直接化为同分母或者先有理化分母，都太繁琐，但是，注意到数学中的公式总是双向的，假如根据题目的构造特点，灵敏地逆用公式，在解题时便能左右逢源，得心应手．建议只能从左到右地运用公式而不习惯逆用〔即由右到左〕或者变用公式的同学，对这几个题目多加分析，以求从熟悉、模拟到主动在解题中运用逆向思维的方法．例7. 〔2021年中考题〕填空题： 化简a ab a a ab-+的结果是________．分析：因为分母是含字母的根式，可能使a a b -=0，所以不可将分子、分母同乘以分母的有理化因子．但是，假如注意到分子、分母可以分解为乘积的形式，也答应以解决问题．解：由所给算式知a b >≥00， ∴原式=-+=+-+=-a a b aa b aa ba b aa b a b()()()()()【考点打破】【考点指要】二次根式的概念及其运算在中考说明中是C 级知识点，它们常与整式、分式、综合在一起，以选择题、填空题、计算题等题型出如今中考题中，大约占有4—8分左右．解决这类问题需纯熟掌握二次根式的概念和运算法那么．【典型例题分析】例1. 选择题：〔1〕〔2021年中考题〕函数y x =-1中，自变量的取值范围是〔 〕 A. x ≥1B. x >1C. x >0D. x ≠1〔2〕〔2021年中考题〕选择题：假如()x x -=-222，那么x 的取值范围是〔 〕 A. x ≤2B. x <0C. x ≥2D. x >2〔3〕选择题：假设a a aa 2211-=-，那么a 的取值范围是〔 〕 A. a a >≠01且 B. a ≤0 C. a a ≠≠01且D. a <0〔4〕〔1996年中考题〕选择题：假设a b ≠0，那么等式--=-a b ba b 531成立的条件是〔 〕A. a b >>00，B. a b ><00，C. a b <>00，D. a b <<00， 分析：正确运用二次根式性质的前提是被开方数的非负性〔在分母上那么不能为零〕． 解：〔1〕要使x -1有意义，x -≥10，∴≥x 1 答案：选A ．〔2〕等式()x x -=-222成立的条件是x -≥20，即x ≥2 应选C ．〔3〕由a a a a 2211-=-，得||()a a a a 111-=-即-⋅-=-||a a a a 1111于是，-=||a a1∴<a 0．应选D ． 〔4〕等式--=-a b ba b 531变形为--=-1133||b a b ba b ，这个等式成立的条件是->=-⎧⎨⎩ab b b 0||即a b b <<⎧⎨⎩00∴><a b 00且 应选B ．点评：正确运用二次根式性质的前提是掌握公式中被开方式中字母的取值范围，而且这个范围必须使每个二次根式都有意义，因本例的问题是找使公式能成立的条件，所以是逆向求字母的取值范围，这种方法常归结为求不等式组的解的问题．★最简根式 例2. 选择题：〔1〕〔2021年中考题〕以下二次根式中，最简二次根式是〔 〕 A.12B. 8C.y 3D.a 21+〔2〕〔2021年中考题〕以下二次根式中，属于最简二次根式的是〔 〕 A.4a B.a4C.a 4D.a 4〔3〕以下根式中，最简二次根式是〔 〕 A.23aB.a a3 C.a b b aD.a ab 423+〔4〕〔2021年中考题〕以下二次根式：2xy ，8，a b 2，35x y ，x y +，12，其中最简二次根式一共有〔 〕A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：紧扣最简二次根式的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或者因式． 解：〔1〕因为12中含有分母，822232=⋅=⋅和y y y 的被开方数中含开得尽方的因数或者因式，它们都不是最简二次根式，只有a 21+满足最简二次根式的条件，应选D ．〔2〕选C ． 〔3〕选B ．〔4〕只有2x y x y 和+是最简二次根式，应选A ．点评：判断一个二次根式是不是最简二次根式，必须抓住由“两条〞刻画的“最简〞含义，先看被开方数的因数是不是整数，因式是不是整式，再看被开方数是不是含有能开得尽方的因数或者因式，假如“两条〞都满足的就是最简二次根式，否那么就不是最简二次根式．★对错难辨例3. 〔2021年中考题〕阅读下面的文字后，答复以下问题．小明和小芳解答题目“先化简下式，再求值：a a a +-+122，其中a =9〞时，得到了不同之答案．小明的解答是：原式=+-=+-=a a a a ()()1112；小芳的解答是：原式=+-=+-=-=⨯-=a a a a a ()()1121291172；〔1〕__________的解答是错误的．〔2〕错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________． 答案：〔1〕小明〔2〕a a 2=||点评：本例中，小明的错误是同学最容易出现的错误，如a a a a 22=-=-，()，42=±，等等．纠正方法是：①明确“a 〞表示算术平方根；②明确算术平方根的非负性，即a a ≥≥00()，也就是说a 只能是正数或者0，而不可能是负数；③在化简a 2时，应利用公式a a 2=||过渡，稍作停留，冷静下来，看清算术根的本质，再去掉绝对值符号〔需分类讨论时再分类写出答案〕，即可确保万无一失．★隐含条件例4. 〔1〕〔2021年顺义区中考题〕把二次根式a a-1化简，正确的结果是〔 〕 A. -a B. --a C. -aD.a〔2〕〔2021年中考题〕化简二次根式a a a-+12的结果是〔 〕 A. --a 1 B. ---a 1 C.a -1 D. --a 1分析：紧紧抓住：对于a ，只有当a ≥0时，a 才表示a 的算术平方根． 解：〔1〕显然a ≠0，由->10a，得a <0 ∴-=-=⋅-=⋅-=--=--a a a a a a a aa a a a a a a 122||应选B ．点评：①因为二次根式a 隐含条件“a ≥0〞，所以此题隐含了一个条件->10a②a a a a ||()()=>-<⎧⎨⎩1010 〔2〕显然a ≠0．由a a aa 2201010>-+≥-+≥，，得()∴≤-∴=-+=⋅-+=⋅-+a aa a a a aa a a 111122原式()()()|| =---=---aaa a 11 应选B ．点评：在化简二次根式a 2的问题中，要把根式的性质a a 2=||与绝对值||a 的概念结合起来，形成一条“等式链〞：a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||(),() 在详细解题时，强调在这个“等式链〞的中间一环——||a 处“暂停〞，以便由||a 再考虑a 的符号，以保证最后结果为非负数． ★对错难辨例5. 〔1〕〔2021年中考题〕选择题：化简132+．甲、乙两位同学的解法如下：甲：13232323232+=-+-=-()()乙：132323232323232+=-+=+-+=-()()对于甲、乙两位同学的解法，正确的判断是〔 〕 A. 甲、乙的解法都正确B. 甲正确、乙不正确C. 甲、乙的解法都不正确D. 甲不正确、乙正确 〔2〕选择题：有理化分母：x y x y-+小聪和小明的解法如下：小聪的解法：原式=--+-()()()()x y x y x y x y=---=-()()x y x y x yx y小明的解法：原式=-+()()x y x y22=+-+=-()()x y x y x yx y对于小聪、小明的解法，正确的判断是〔 〕 A. 小聪、小明的解法都正确B. 小聪正确、小明不正确C. 小聪、小明的解法都不正确D. 小聪不正确、小明正确分析：在作二次根式的除法时，通常把除法写成分数的形式，所得的商应是分母中不含根号的式子．假如分母中含有根号，就要把分母中的根号化去．至于怎么“化去〞分母中的根号，既可以采用根式的除法运算，也可以在分子、分母上同乘以分母的有理化因式，只要能使分母变成有理式〔但分母的值不能为零！〕解：〔1〕甲的解法是在分子、分母上同乘以分母()32+的有理化因式()32-，使分母变成了有理式1，所得的商是分母中不含根式的式子．所以，甲的解法正确． 乙的解法是把分子1变成()32-后分解变形，变成()()3232+-，利用二次根式的除法运算〔实际上是“约分〞〕，也把分母变成了有理式1，所得的商也是分母中不含根式的式子，所以，乙的解法也正确． 应选A ．〔2〕首先注意题目的隐含条件：由的算式可知，应该有x >0且y >0．但是，x y 、之间的大小关系，在算式中没有特别地说明，所以，x y 、之间的关系应该有：x y x y ≠=或．由此可见，小聪的解法不正确．错误的原因是：假如x y =，那么x y -=0，分子、分母就不能同乘以分母()x y +的有理化因式()x y -．小明的解法是正确的．因为他把分子x y -分解变形：由x y x y x y x y x y >>-=-=+-0022，，得()()()()，然后应用根式的除法运算使分母中的根号化去，符合分母有理化的HY ，而且在这个过程中，保持分母不为零．所以，小明的解法正确． 应选D ．点评：此题表现的是分母有理化的两种根本方法以及应该注意的地方．在作二次根式的除法时，特别是除式的两个根式的和的情形，如本例两个小题那样，为了化简或者计算上防止作除数是近似小数的除法运算，要使所得的商是分母中不含根式的式子，就要化去分母中的根号〔这个过程就是分母有理化〕，根本方法一是分子、分母同乘以分母的有理化因式，使分母变为有理式；二是通过分子的分解变形约去分母中的根号．这是代数中的根本功，一定要纯熟掌握．当然，由于所给式子构造形式的其他特点，也可以采用其他的方法进展分母有理化．★化简求值例6. 〔1〕〔2021年中考题〕当x =-21时，求 x x x x x x x +-++⋅-++13114322的值． 分析：先化简，再代入求值．解：x x x x x x x +-++⋅-++13114322=+-++⋅+-++=+--+=+x x x x x x x x x x x x x 131111311111()()()()∴当x =-21时 原式=-+==12111222〔2〕〔2021年中考题〕填空题：x =+21，那么代数式：x x x x x x x x -+--÷--++121221222的值等于______．解：原式=-+--⋅++--x x x x x x x x 121212222=-+-+-⋅++-=-+-=+-x x x x x x x x x x x x x 1211112111112()()()()()∴当x =+21时原式=+++-=+=+211211212212()〔3〕〔2021年中考题〕a =+123，求a a a a a a a 2226221--+--+-的值． 分析：“目的〞中有a a 221-+，化简时应由推知a -1的正负． 解：由a =+=-<123231，得a -<10∴原式=+-+---()()()()a a a a aa 232112=----=-+--=+-a a a a a a a a a a31131113||()() a =-∴=-++-=23232331,原式 点评：此题因化简()a -12需要将123+进展分母有理化，得到a =-<231，一方面解决了a -<10，从而()()a a -=--112，使原式顺利化简，另一方面又在最后求值计算a a +1时正好用上了，再注意到由即得123a=+，使计算合理、正确、迅速．这个题目设计巧妙，考察了有理式变形〔因式分解、约分〕和根式变形〔化简()a -12、分母有理化〕，以及计算的灵敏性、合理性，是一个多功能的好题．【综合测试】一. 选择题：1. 〔〕以下二次根式中，最简二次根式是〔 〕 A.22xB.b 21+C. 4aD.1x2. 〔〕在以下式子中，正确的选项是〔 〕 A. -=-5533B. -=-3606..C.()-=-13132D.366=±3. 〔区〕化简1231-的结果为〔 〕A. 231+B. 231-C.23111-D.23111+ 4. 〔〕以下二次根式中，属于最简二次根式的是〔 〕 A.4a B.a 4C.a 4D.a 45. 〔〕化简132-的结果是〔 〕A. 32-B. 32+C. --32D. -+326. 〔〕以下二次根式中，属于最简二次根式的是〔 〕 A.x 2B. 8C.x 2D.x 21+7. 〔〕a =+132，b =-32，那么a 与b 的关系为〔 〕 A. a b =B. a b +=0C. a b =1D. a b =-18. 〔〕-a 3化简的结果为〔 〕 A. -a aB. a a -C. --a aD. a a9. 在根式2823512x y a b x y x y ,,,,,+中，最简二次根式的个数是〔 〕 A. 2B. 3C. 4D. 510. 〔2021〕能使等式x x xx -=-22成立的x 取值范围是〔 〕 A. x ≠2B. x ≥0C. x >2D. x ≥2二. 填空题：1. 〔〕假设x <5，那么()x -=52_______．2. 〔〕假设14<<x ，那么化简()()x x -+-4122的结果是________．3. 〔〕计算⋅---+)3223(1313()3223+=_________．4. 〔〕x =-152，那么x x-1的值等于_______． 5. 〔〕，实数a b ,在数轴上对应点的位置如下图，化简：b b a --=()2_______．a 0 b6. 〔〕x ≤1，化简124422-+--+=x x x x _______．三. 当x 是何实数时，以下各式分别为二次根式？ 〔1〕21x +；〔2〕-52x ；〔3〕1-||x ；〔4〕x x 244-+四. 化简： 1.()()()x x x ---<<810810222. ()()x y x yx y ---<13.a a bab b a b a b 2240+⋅+⋅<<()4. ()()mn m nm m nn nm 222220--+>> 5. |()|||()x x x x --+-<22112五. 求代数式的值：1. 〔〕先化简，再求值：()1112+÷-x x x，其中x =22. 〔东城区〕a b =-=+152152,，求b a a b ++2的值．3. 〔〕先化简，再求值：()()()2121212a a a +-+-，其中a =-512六. 〔〕化简352+，甲、乙两同学的解法如下：甲：3523525252+=-+-()()()=-52； 乙：352525252+=+-+()()=-52对于他们的解法，正确的判断是〔 〕 A. 甲、乙的解法都正确B. 甲的解法正确，乙的解法不正确C. 乙的解法正确，甲的解法不正确D. 甲、乙的解法都不正确七. 把代数式()x y x y---1根号外的因式移到根号内，并化简．某同学这样解： 原式=---=--=-()()x y x yx y y x2问：他做得对吗？假如不对，就指出错误的原因，并写出正确的解法．八. a b =51,是a 的小数局部，求a b21-的值．【综合测式答案】一. 1. B 2. A 3. D 4. C 5. B 6. D7. B8. C9. A10. C二. 1. 5-x 2. 3 3. 34- 4. 45. a6. -1三.解：〔1〕要使21x +为二次根式，必须210x +≥，即x ≥-12∴当x ≥-12时，21x +为二次根式． 〔2〕要使-52x 为二次根式，必须-≥502x ，即x 20≤，而x 2是非负的，得x =0．∴当x =0时，-52x 为二次根式．〔3〕要使1-||x 为二次根式，必须10-≥||x ，得||x ≤1，即-≤≤11x ． ∴当-≤≤11x 时，1-||x 为二次根式． 〔4〕要使x x 244-+为二次根式，必须04x 4x 2≥+-，而x x x 22442-+=-()，不管x 取何实数，()x -22是非负的，即()x -≥202．∴x 取任意实数时，xx 244-+都为二次根式． 说明：通过本例我们应进一步明确a a ()≥0的意义．不是对任意的实数a a ,都有意义，只有当a 有意义时，它才叫做二次根式．四. 1. 原式=---=---=--+=-||||()x x x x x x x 8108108102182. 原式=-----=--()()()x y x y x y y x3. 原式=++⋅=+=+()()()|()|a a b a b b a ba b a b a b a b 22222442=-+=--22222ab a b a b ab ()4. 原式=+--=-+()()(()m n m n nm )m n m nm n5. 原式=--+-=-++-=|()()|||xx x x x x 2212220五. 1. 原式=+⋅+-=-x x x x x x 11111()() 当x =2时，原式=-=+121212. a =-=+15252，b =+=-15252原式=+=++-+-==()()()()()ab a b 22252525252251203. 原式=++--4414122a a a ())1a 2(22a 41a 41a 4a 422+=+=+-++=当a =-512时，原式52)115(2=+-=六. A七. 解：他做得不对．错误的原因是他没有考虑到原式成立的隐含条件是-->10x y，即x y -<0．因为把根号外的代数式移到根号内时，实际上是在逆用“等式链〞a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 也就是说，应先考虑移到根号内的代数式的正、负，注意只能把正因式平方后移到根号内．创 作人： 历恰面 日 期：2020年1月1日 创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日 正确的解法：由所给代数式知-->10x y，故x y -<0． ∴原式=---()y x y x1=---=--()y x y x y x2说明：假如你不能看出某同学解法的问题，就可以把详细的数代入算算看，例如取x y ==37,〔考虑：为什么不取x y ==73,呢？〕那么，一方面，由题目的原式=---=-=-()371374142；另一方面，由这位同学解得的结果得原式=-=734=2．由此可见，这位同学做错了．八. 解：由495164<<，得7518<< ∴a 的小数局部b =-517 ∴-=--=-+-a b 2151215175125175149 272751251-=+-=。
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二次根式的概念、性质和乘法
重点与难点：二次根式的概念、二次根式的乘法运算和二次根式的大小比较.
一、知识点
（1）式子a （a ≥0）叫做二次根式，对它的理解要把握以下两点： ①式子a 只有在a ≥0时才叫做二次根式，3-不是二次根式； ②二次根式是指式子的外在形式。
4=2，4是二次根式，而2不是二次根式。
（2）二次根式的运算性质：()a a =2（a ≥0），a a =2， b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）
二、例题：
例1、下列各式中哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？
（1）12+x ；（2）2-a （a ≥2）；（3）b a -；（4）3m （m ≥0） 解：（1）（2）是二次根式，它们都符合a （a≥0）的条件。
（3）因为无法判断a －b 是否大于等于0，所以不是二次根式；（4）是一个三次根式
例2、x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）3-x ；（2）x 5-；（3）1+x ；（4）2
1--x x 分析：一个式子要有意义则要求被开方数大于等于0，分母不为0 解：（1）由x －3≥0得x≥3，∴当x≥3时式子3-x 在实数范围内有意义
（2）由－5x≥0得x≤0，∴当x≤0时式子x 5-在实数范围内有意义
（3）∵|x|≥0，∴|x|+1>0 ，∴无论x 取任何值1+x 都有意义
（4）由⎩⎨⎧≠-≥-0
201x x 得x≥1且x ≠2，∴当x≥1且x≠2 时式子有意义
例3、化简2a －（3-a ）2－a -3
解：原式只有当a －3≥0才有意义，因此a≥3，于是a -3=a －3
原式=2a －（a －3）－（a －3）=2a
例4、把下列各式写成平方差的形式，再在实数范围内分解因式：
（1）9x 2－5 （2）x 4－36 （3）x 2－23x+3
解：（1）9x 2－5=（3x ）2－()2
5=（3x+5）（3x －5） （2）x 4－36 =（x 2+6）（x 2－6）=（x 2+6）[x 2－（6）2]
=（x 2+6）（x+6）（x －6）
（3）x 2－23x+3= x 2－23x+（3）2=（x －3）2
例5、化简和计算：
（1）180=562⨯=562⨯=65
（2）548b a =()()b b a 2222222⨯=2a 2b 2b 2
（3）5522+-a a （a<5）=()25-a =5-a =5－a
注：此题最后一步容易误为a －5，应当紧记a a =2 （4）
22b a b a -⋅-=()b a b a b a b a b a b a b a +-=+-=+-⋅-2))(( 注：此题应当避免中间计算出现2)(b a -的形式，从而不必讨论a －b 的符号。
（5）5.2101.03⨯=5.21.01.02⨯⨯×10=0.1×0.5×10=0.5
注：此题运用乘法的结合律a ·（b · c）=（a · b）· c
（6）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-b b a a ab 11=a b b b ab a a ab -=⋅-⋅11 注：此题运用乘法的分配律a ·（b+c ）=ab+ac
例6、已知x 2
+21x =14且x>1，求x x x x 1122-+和的值。
解：由x 2+2
1x =14得
16214121222=+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ，12214121222=-=+-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x x x 又∵x>1 ∴x+x 1和x －x 1都大于零 ∴416112==+=+x x x x ，3212112==-=-x
x x x 例7：比较32与23的大小
解：因为32=18，23=12，18>12 所以32>23
三、训练题：
1、当a 是实数时下列各式中是二次根式的是____________；
10+a ，a ，2a ，12-a ，12+a ，
()21-a
2、若|a+b －1|+52--b a =0，求a 与b 的值。
3、在实数范围内分解因式：（1）16y 2－7；（2）x 4－11x 2+18
4、化简和计算： （1）)10()5(-⨯-； （2）5424⨯；
（3）
63
2⨯； （4）2a ab c ac ⋅2（c<0）；
（5）6)3812(⨯--
5、已知a －b=12，ab=1，b>0，求a+b 的值。
6、比较大小：76与67；－56与－65
答案:
1、a ，2a ，12+a ，()21-a
2、由⎩⎨⎧=--=-+05201b a b a 得⎩⎨⎧-==1
2b a
3、（1）原式=（4y+7）（4y －7）
（2）原式=（x 2－2）（x 2－9）=（x+2）（x －2）（x+3）（x －3）
4、（1）52；（2）36；（3）3
2；（4）－2a 2c 2b ；（5）32－43 5、∵a+b>0 ∴a+b=4124)()(22+=+-=
+ab b a b a =4 6、76>67；－56>－65。