2019沈阳市高中三年级数学教学质量监测(三)

2019沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学试题卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++等于（ ）． A. i B. 1C. i -D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】利用)ni n N *∈（的周期求解.【详解】由于234110i i i i i i +++=--+=， 且)ni n N *∈（的周期为4，2019=4504+3⋅， 所以原式=2311i i i i i ++=--=-. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的计算和)ni n N *∈（的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）． A. 1 B. 5C. 6D. 无数个【答案】C 【解析】 【分析】直接列举求出A 和A 中元素的个数得解.【详解】由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =，所以A 中元素的个数为6. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.“k ”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先化简直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切，再利用充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切，1,3k =∴=±.所以“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若非零向量,a b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则,a b 的夹角为（ ）． A.6πB.3π C.56π D.23π 【答案】D 【解析】【分析】直接利用数量积的运算法则化简已知即得解.【详解】由题得2222+=02cos ,0a b b b a b b ⋅∴<>+=，， 所以12cos ,,,23a b a b π<>=-∴<>=. 故选：D【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.己知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则()35tan a a +的值为（ ）．A.3 B. C.D. 33-【答案】A 【解析】 试题分析：1472a a a π++=，所以443543524432,,2,t a n(333a a a a a a a ππππ==+==+=考点：1、等差数列；2、三角函数求值.6.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为（ ）．A.B.332 C.D.3【答案】B 【解析】 【分析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，即可求出其侧棱长．【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，因为外接球的表面积是4π，所以球的半径为1， 所以正方体的对角线的长为2， 设侧棱长为a,2,a =∴==所以侧棱长为332． 故选：B ．【点睛】本题主要考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，推理能力，解题的关键就是将三棱锥扩展成正方体，属于中档题．7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切岗外的概率是（ ）． A.215πB.203π C. 2115π-D. 3115π-【答案】C 【解析】 【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案． 【详解】13=，设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =．∴内切圆的面积为24r ππ=，∴豆子落在内切圆外部的概率42111155122P ππ=-=-⨯⨯，故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理 能力.8.已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）．A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1B. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】令31()()12x xg x f x x x e e =-=-+-，x R ∈．判断其奇偶性单调性即可得出． 【详解】令31()()12xxg x f x x x e e =-=-+-，x R ∈． 则()()g x g x -=-，()g x ∴在R 上为奇函数． 21()320220x xg x x e e '=-+++-=…， ∴函数()g x 在R 上单调递增．2(1)(2)2f a f a -+…，化为：2(1)1(2)10f a f a --+-…，即2(1)(2)0g a g a -+…，化为：2(2)(1)(1)g a g a g a --=-…， 221a a ∴-…，即2210a a +-…， 解得112a -剟． ∴实数a 的取值范围是]21,1[-．故选：C ．【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -，中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为（ ）．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为a ，求出平面1ACD 的法向量n ，令|cos n <，11|3CC >=求出a 的值．【详解】以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 设1DD a =，则(2A ，0，0)，0(C ，2，0)，1(0D ，0，)a ，则(2AC =-，2，0)，1(2AD =-，0，)a ，1(0CC =，0，)a ， 设平面1ACD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1·0·0n AC n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴22020x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得(1n =，1，2)a ，故cos n <，111||||n CC CC n CC >===．直线1CC与平面1ACD 所成角的正弦值为13， ∴13=，解得：4a =． 故选：C ．【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．10.已知函数||()sin()(0,0,0)x f x A x e A ωϕωϕπ-=+⋅>><<的图象如图所示，则A ω的可能取值（ ）．A.2πB. πC.23π D. 2π【答案】B【解析】 【分析】根据函数图象的对称性得函数为偶函数，可得2πϕ=，由(0)2f =可得2A =，由f （1）f =（3）0=可得ω可取2π． 【详解】()f x 的图象关于y 轴对称，)(x f ∴为偶函数，2k πϕπ∴=+，k Z ∈，0ϕπ<<，2πϕ∴=，||()cos x f x A x e ω-∴=，(0)2f A ∴==，f （1）f =（3）0=，311cos cos30e eωω∴==， cos cos30ωω∴==，取2πω=，则A ωπ=．故选：B ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.设2018log a =log b =，120182019c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. c b a >>B. a c b >>C. b a c >>D.c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】先确定1,,1c a b ><，然后将,a b 利用对数的运算，求得11,22a b ><，从而得到,,a b c 的大小关系.【详解】由于02018201920181,log 20181,log 20191c a b >=<=<=，所以c 为三个数中最大的.由于20182018111l og2019l o g 2222a =>=，而20192019111log 2018log 2019222b =<=，故b a >.综上所述b a c >>，故选C. 【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“12和1”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于1的，有一个是介于12和1之间的，还有一个是小于12的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1:0l x my -=与抛物线C 交于P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若3QF =，则QBF PRFS S=（ ）．A.75B.37C.76 D.97【答案】C 【解析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，易知120,0y y ><.由题意知2p =，则抛物线2:4C y x =.因为3QF =，所以2222(1)9x y -+=，又2224y x =，得22x = （负值舍去），2y =-，联立204x my y x⎧-=⎪⎨=⎪⎩，得240y my --=，故12y y =-，所以1y =，故251=x ，过点P 作P P '垂直于准线:1l x =-，垂足为P '，过点Q 作Q Q '垂直于准线:1l x =-，垂足为Q '，易知RQQ RPP ''∽，故36772QRF PRFSQR QQ SPRPP =='='=，故选C ．二、填空题．13.已知球O 的内接圆锥体积为之23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为______． 【答案】254π【解析】 【分析】利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于R 的方程，即可得解. 【详解】由圆锥体积为23π，其底面半径为1，设圆锥高为h 则221133h ππ=⨯⨯，可求得2=h 设球半径为R ，可得方程：()2221R R --=，解得：54R =25254=164S ππ∴=⨯本题正确结果：254π【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.14.下列三个命题在“（ ）”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l ，m 为直线，α，β为平面），则此条件是_____．①()l m m l αα⎫⎪⇒⎬⎪⎭；②()m l m l αα⎫⊂⎪⇒⎬⎪⎭；③()l m m l αα⎫⊥⎪⊥⇒⎬⎪⎭【答案】l α⊄ 【解析】 【分析】由线面平行的性质和判断可得①；由线面平行的判定定理可得②；由线面垂直的性质和线面平行的判断可得③．【详解】①//l m ，////m l αα⇒或l α⊂，由//l l αα⊂⇒/； ②l α⊂/，α⊂m ，////l m l α⇒；③l m ⊥，//m l αα⊥⇒或l α⊂，由//l l αα⊂⇒⇒/．故答案为：l α⊂/．【点睛】本题考查空间线线、线面的位置关系，考查线面平行的判定，考查推理能力，属于基础题．15.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆4)2(22=++y x 所截得的弦长为2，双曲线C 的离心率为______．【答案】332 【解析】 【分析】求出双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程，利用被圆截得的弦长为2，列出关系式，然后求解双曲线C 的离心率．【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线0bx ay +=被圆4)2(22=++y x 所截得的弦长为2，可得241-=，解得2243a c =，可得c e a ==．故答案为：332． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =-，则数列276n n n b a a =-+的最小值为______．【答案】6- 【解析】 【分析】由已知求得12n n a -=，再由配方法求数列276n n n b a a =-+的最小值．【详解】由21n n S =-，得111a S ==，当2n …时，11121212n n n n n n a S S ---=-=--+=， 11a =适合上式， ∴12n n a -=．则2272576()24n n n n b a a a =-+=--．∴当q 时2725()(4)624n min b =--=-． 故答案为：6-．【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在V ABC 中，角AB C 、、的对边分别为c b a 、、，且满足()2222a cb ac b =+-（其中b c ≠）（1）求证：2A B =；（2）若()f x sinx cosx =+，求()f B 的取值范围．【答案】（1）见证明；（2）1()f B <≤【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得2cos a b B =，由正弦定理，二倍角公式可得sin sin 2A B =，可证A=2B ；（2）由两角和的正弦函数公式可得f （B ）)4B π+，由范围(0,)3B π∈，可得(44B ππ+∈，7)12π，利用正弦函数的图象和性质即可得解． 【详解】（1）由已知，两边同时除以abc 2，得()222222b a c b a c abc abc+-=化简，得22222a a c b b ac+-=由正弦定理和余弦定理，得sin cos 2sin AB B=解得，sin 2sin cos sin 2A B B B == 所以A=2B 或2A B π+= 所以A=2B 或B=C 又因为b c ≠，所以A=2B ．（2）由()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭．得()4f B B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由00203B A B C B ππππ<<⎧⎪<=<⎨⎪<=-<⎩，解得ABC ∆, 所以74412B πππ<+<，所以1()f B <≤ 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表：（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下22⨯列联表，并判断是否有99．9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++【答案】（1）平均值为16.92．（2）27（3）见解析【解析】【分析】()1根据平均数的公式进行计算即可;()2利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可;()3完成22⨯列联表，计算2K的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．【详解】()1由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为()17.51812.51217.5922.5927.5632.5437.5216.9260x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈； 所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．()2设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A ，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[)5,10，[)0,15l ，[)15,20的女性客户中抽取1人(设为)a ，2人(设为A ，)B4人，(设为1c ，2c ，3c ，4)c ，从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA ，aB ，1ac ，2ac ，3ac ，4ac ，AB ，1Ac ，2Ac ，3Ac ，4Ac ，1Bc ，2Bc ，3Bc ，4Bc ，12c c ，13c c ，14c c ，23c c ，24c c ，34c c ，共21种，其中事件A 所包含的基本事件为：12c c ，13c c ，14c c ，23c c ，24c c ，34c c ，共6个， 则事件A 发生的概率62217P ==． ()3依题意得22⨯列联表如下则()()()()222()100(48241612)16.66710.82864366040n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关．【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键.考查学生的计算能力．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PC 上的点，且BE ⊥平面APC（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ； （2）求三棱锥ABC P -体积最大值． 【答案】（1）见证明；（2）23【解析】 【分析】（1）由BE ⊥平面APC 可得BE AP ⊥，由BC ⊥平面APB 可得AP BC ⊥，故而AP ⊥平面PBC ，于是平面PAD ⊥平面PBC ；（2）代入体积公式可知13P ABC C APB V V PA PB --==，根据基本不等式求出PA PB 的最大值即可．【详解】证明：∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，四边形ABCD 为正方形， ∴BC AB ⊥，D 面ABCD ， ∴BC ⊥面PAB ， 又AP ⊂面PAB ， ∴AP BC ⊥，BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，∴BE AP ⊥，B BE BC = ，,BC BE ⊂平面PBC ，∴AP ⊥面PBC ，AP ⊂面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． （2）111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 求三棱锥ABC P -体积的最大值，只需求PA PB ⨯的最大值． 令,PA x PB y ==，由（1）知，PA PB ⊥， ∴224x y +=，而221123323P ABCx y V xy -+=≤⨯=，当且仅当x y ==，即PA PB ==ABC P V -的最大值为23． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算及基本不等式求最值，属于中档题．20.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若椭圆E 的离心率为12，2ABF 的周长为16． （1）求椭圆E 的方程；（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ．证明：O ，M ，N 三点共线． 【答案】（Ⅰ）1121622=+y x ；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知椭圆E 的离心率为12，2ABF 的周长为16，解得a ，b 的值，可得椭圆E 的方程；（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，00M x y （，）．利用点差法，可得34OM k k=-，34ON k k=-，由此可得O ，M ，N 三点共线．【详解】（Ⅰ）解：由题意知，416a =，4a =．又12e =，2c ∴=，b =，∴椭圆E 的方程为2211612x y +=；（Ⅱ）证明：当直线AB 、CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知， 中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线； 当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设()11A x y ，，()22B x y ，，00M x y （，）．则221111612x y +=，222211612x y +=，相减得22221212--=-1612x x y y ， 1212121234y y y y x x x x -+∴⋅=--+，即01212034y y y x x x -⋅=--，即34OM k k ⋅=-， 34OM k k∴=-； 同理可得34ON k k=-， OM ON k k ∴=，所以O ，M ，N 三点共线．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题．21.已知()ln 2af x x x =-（a 为常数）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()g x xf x =有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）()0,1 【解析】 【分析】（1）函数的定义域为(0,)+∞，其导数1()2af x x '=-，对a 分类讨论即可得出单调性．（2）2()2ag x xlnx x =-，其导函数()1g x lnx ax '=+-．令()10g x lnx ax '=+-=，可得1lnx a x+=，令1()lnx h x x +=，令2()0lnxh x x-'==，列出表格即可得出单调性，结合图象即可得出．【详解】（1）函数的定义域为(,)∞+0，其导数1'()2af x x =- ①若0a ≤，则'()0f x ≥，函数在(,)∞+0上单调递增； ②若0a >，令'()0f x =，解得2x a=， 函数在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （2）2()ln 2a g x x x x =-，其导函数'()ln 1g x x ax =+-， 令'()ln 10g x x ax =+-=，ln 1x a x=⇒+，令ln 1()x h x +=，则2ln '()x h x -=，由2ln 01xx -=⇒=，又因为时，ln 1()0x h x x+=>恒成立，于是函数()h x 的图像如图所示要使()g x 有两个不同极值点，则需，即a 的取值范围为()0,1．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.选修4-4坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的平面直角坐标方程和直线l 的普通方程： （2）若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求实数a 的值．【答案】（1）2:2,C y ax =:20l x y --=;（2）1a =。