2020届江苏省扬州市高三第四次模拟考试：数学模拟试卷(有答案)
江苏省扬州市高三第四次模拟考试（数学）
江苏省扬州市高三第四次模拟考试数 学．5全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）． 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第 一 部 分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{2,3},{1,},{2},A B a A B A B ====若则 ▲ .2．“1x >”是“11x<”的 条件．（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）3．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第 ▲ .象限． 4．某人5 次上班所花的时间（单位：分钟）分别为,8,10,11,9x ，若这组数据的平均数为10，则其方差为 ▲ .5．从[]1,1-内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为 ▲ . 6．若将函数x x y sin 3cos -=的图象向左移)0(>m m 个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为 ▲ .7．设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ▲ .8．函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 ▲ . 9．执行右边的程序框图，若9p =，则输出的S= ▲ .10．已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且仅有两个实根，则实数a 的取值范围是 ▲ .11．已知二次函数)(2)(2R x c x ax x f ∈++=的值域为),0[∞+，则)1(f 的最小值为 ▲ .12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线22(0)y px p =>有相同的焦点F ，,P Q 是椭圆与抛物线的的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为▲ .13．在ABC ∆中，3,4,5AB AC BC ===，O 点是内心，且12AO AB BC =λ+λ，则=+21λλ ▲ .14．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若322(1)2010(1)1a a -+-=，320092009(1)2010(1)1a a -+-=-，则下列四个命题中真命题的序号为 ▲ . ①20092009S =； ②20102010S =； ③20092a a <； ④20092S S <二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥。
江苏省扬州市高三数学第四次模拟考试试卷-人教版高三全册数学试题
扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1．已知集合{1,2,4},{2,3,4,5}A B ==，则AB =．{2，4}2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．13i -3．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 ．2,10x R x ∃∈+≤ 4．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．455．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的 概率是 ．9106．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = －17．锐角ABC △中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4,5a b ==, ABC △的面积为53则c．218．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 ．93π 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2244a S a S =，则12015S S 等于 ．110．若函数()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等于 ．23π析：∵函数()cos f x k x =⋅的图象经过点(,1)3P π，∴()cos 1233f k k ππ==⇒=，∴x x f cos 2)(=，()2sin f x x '=-，()2sin333k f ππ'==-=-11．若直线30x y m ++=截半圆225y x =-8，则m = ．310-12．平面内四点,,,O A B C 满足4,25,5,0OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．1513．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为32，过原点O 且倾斜角为3π的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，若△AFB 的周长为13413+，则椭圆方程为 ．2214x y += 析：由已知2a b =，椭圆方程可化为：2224x y a +=，将:3l y x =代入得13||A x =，DB由椭圆对称性，△AFB 的周长=2||24||A a AB a x +=+，可得2a =． 14．已知函数||()()xx f x x R e=∈，12()421()x x g x a a a a R +=-+⋅++-∈， 若{|(g())}R A x f x e =>=， 则a 的取值范围是 ．[1,0]- 析：当0x ≥时，1'()xxf x e -=，得()f x 在[)0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，当1x =时有极大值1e ； 当0x <时，1'()0x x f x e-=<恒成立，()f x 是减函数，且(1)f e -=．设()g x t =，由()f t e >得1t <-，即()1g x <-对x R ∈恒成立，22()(2)21x g x a a a =--++-，当0a >时，2()21g x a a ≤+-，而2211a a +->-，不合题意；当0a ≤时，2()(,1)g x a a ∈-∞+-，∴211a a +-≤-，得10a -≤≤． 15．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是ABC ∆的中心． ⑴若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；⑵若AD 上存在点N ，使//MN 平面BCD ，求AN ND的值．证⑴连AM 并延长交BC 于E ，连DE因为M 是等边ABC ∆的中心，所以E 是BC 的中点，AE BC ⊥ ……………2分又因为DM BC ⊥，AE DM M =，,AE DM ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ， ……………5分 因为AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥； ……………7分 ⑵,M AE AE ∈⊂平面ADE ，所以M ∈平面ADE ， 因为AD 上存在点N ，所以N ∈平面ADE ，所以MN ⊂平面ADE ， ……………9分 又//MN 平面BCD ，平面ADE平面BCD DE =，所以//MN DE ， ……………12分 在ADE ∆中，因为12AM ME =，所以12AN ND =． ……………14分16．ABC ∆的内角,A B 满足2cossin 22A B A Ba i j +-=+(单位向量,i j 互相垂直)，且6||2a =． ⑴求tan tan A B 的值； ⑵若sin A =，边长2a =，求边长c ． 解⑴因为2223||2cossin 222A B A B a +-=+=， 即1cos()31cos()22A B A B --+++=， ……………3分所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02A B A BA B A B +--=，化简整理，得13tan tan 022A B-=，故tan tan A B =13. ……………7分(2)由(1)可知,A B 为锐角．因为sin A =，所以2tan 3A =，1tan 2B =，tan tan 7tan tan()1tan tan 4A B C A B AB +=-+=-=--，sin C =……………12分因为正弦定理sin sin a cA C=，所以227c =，所以边长c =． ……………14分 17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2 倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司 进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元． ⑴若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和； ⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？ 解⑴2248000500(2.550.6)230052.5⨯-+=； ……………4分 ⑵保护罩的底面边长为x 米，底面积为S 平方米，体积为V 立方米，总费用为y 元，则 48000500(0.6)y V S =-+=2248000500(20.6)x x x ⋅-+32480001000300x x=+-，（ 1.2x ≥）……9分 52339600032'30003000x y x x x-=-=，令'0y =得2x =， 当1.22x ≤<时'0y <，y 递减；当2x >时'0y >，y 递增∴当2x =时，y 有极小值即最小值．答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米． ……………14分18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．⑴求椭圆的离心率；⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN 的距离为4141，求椭圆方程． 解⑴因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=， 又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； ……………4分 ⑵①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，11NF MFe NN MM ==， 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆= 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分 解法二：∵2a c =，∴3b c =，椭圆方程为2222143x y c c+=，(,0)F c ，(4,0)T c设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c +=上，即有22211334y c x =-，∴2222211113()()34MF x c y x c c x =-+=-+-22111111124|2|2422x cx c x c c x =-+=-=-同理2122NF c x =-， 又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=， 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c c x c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=两式相减得：220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =， ……………10分可得0y =，故直线MN的斜率为8744k c c ==-， ……………13分直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c = 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：22222(4)143x k x c c c-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*） 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意：⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ck x x k k c c x x k +=+-=+ 由⎧⎨⎩212212324324ck x x k x x c +=+-=解得：⎧⎨⎩2122221644316443ck c x k ck c x k +=+-=+所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2536k =，即k =． 直线MN的方程为(4)6y x c =--60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c =， 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分19．设m 个正数m a a a ,...,,21()*4,m m N ≥∈依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,k k a a a a a -*(,)k m k N <∈ 是公差为d 的等差数列，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． ⑴若12a d ==，8k =，求数列m a a a ,...,,21的所有项的和m S ； ⑵若12a d ==，2015m <，求m 的最大值； ⑶是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解⑴依题意16k a =，故数列m a a a ,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时10m =，84m S =， ……………4分 ⑵由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是首项为2、公差为2的等差数列知，2k a k =，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是首项为2、公比为2的等比数列知，22m kk a +-=，故有222m kk +-=，12m kk +-=，即k 必是2的整数次幂，由122km k +⋅=知，要使m 最大，k 必须最大，又2015k m <<，故k 的最大值102，从而1010241222m +⋅=，m 的最大值是1033． ……………9分⑶由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m k k a a +-=⋅， 故1(1)a k d +-112m k a +-=⋅，11(1)(21)m kk d a +--=- 又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =则11112(1)32212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(21)]32(21)2m km k ka k a a +--+-=⨯-，则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-， 显然6k ≠，则112182166m k k k k+-+==-+-- 所以6k <，将12345k =，，，，一一代入验证知，当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =，综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． ……………16分20．设函数1()1f x x =-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）． ⑴若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；⑵若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值；⑶若()()xf eg x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 解⑴由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<， 故当(3,1]a ∈-时，函数()()()F x f x g x =-没有零点； ……………3分⑵21'()f x x=，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ，则有⎧⎪⎨⎪⎩()()'()'()P P P P P P y f x y g x f x g x ===即⎧⎨⎩()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是⎧⎪⎨⎪⎩2211111()(1)P P P P Px x ax x ax -=+=+当1P P ax x +=时111P x -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-；…………8分 ⑶由题得111xx e ax -≤+在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)xe --∈， 所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥. ……………10分解法一：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0xax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立， 令1()(1)(1)1x x ax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1'()1x ax a h x a e -+=+-，再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e-+-=，同时，'(0)21m a =-，'(0)0h =，(0)0h =， ①当0a =时，1'()0,x m x e=-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴ '()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴ ()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e ---=，因为210a a-->，所以'()0m x <，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴ ()h x 在[0,)+∞上单减， ∴()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a->若210a x a-<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a -上单调递增，所以'()'(0)0h x h >=即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴()(0)=0h x h >，即()()xf eg x ≥，不满足条件.综上，()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2. (16)分解法二：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x xax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立， 设()(1)(1)=(1)(1)xxxh x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()xh x e ax x a a =-+-， 再设()'()()xm x h x e ax x a a ==-+-，则'()[(1)(21)]xm x e a x a =-+- 同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，①当1a ≥时，'(0)210m a =->，故函数'()h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=， 即()()xf eg x ≤，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数'()h x 是(0,)+∞上的减函数 所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=， 即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >， 故函数'()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=，即()()xf eg x ≥，与()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2．第二部分21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，计算2M β． 解法一：矩阵M 的特征多项式为221()4312f λλλλλ- -==-+- -，令()0f λ=，解得1,3λλ==，对应的一个特征向量分别为1211,11αα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ……………5分 令12m n βαα=+，得1,4m n =-=，22221212(4)()4()M M M M βαααα=-+=-+22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分解法二：因为221211212M 5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……………5分所以2335537M β5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分 21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2(12x t t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值． 解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以2240x y y +-=，即圆C 方程为22(2)4x y +-= ……………4分又由212x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t得0x +=， ……………8分 因为直线l 与圆C相切，所以||22-=得23m =±，又0m >，所以323m =+． ……………10分 22．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直， 且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为 DF 中点．⑴求异面直线DA 与PE 所成的角；⑵求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．解：在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠==， 所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =， AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF如图，建立空间直角坐标系{,,}AB AF AC ，则13(0,0,0),(1,0,0),3),(3),(1,1,0),(0,2,0),(2A B C D E F P -- ⑴33(1,0,3),(,0,22DA PE =-=- 设异面直线DA 与PE 所成的角为α，则3cos |||2||||23DA PE DA PE α⋅===⨯⨯ 所以异面直线DA 与PE 所成的角为6π； ……………5分 ⑵(0,2,0)AF =是平面ABCD 的一个法向量，设平面DEF 的一个法向量(,,)n x y z =，(2,1,3),(1,2,3)DE DF =-=则(,,)(2,1,3)230(,,)(1,2,3)230n DE x y z x y z n DF x y z x y z ⎧⋅=⋅=+-=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩， 得33z x ==，取1x =，则1,3y z ==故(1,1,3)n =是平面DEF 的一个法向量，设平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β，则2cos |||||||2AF n AF n β⋅===⨯⨯． ……………10分 23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，， 集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S ．⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：n m S 111322n m n +++<+-． 解⑴228S =，4232S =； ……………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ， 故共有222n nC -种可能，即为222n C ， ……若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ， 故共有2n m m n C -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m m m n n n S C C C =++⋅⋅⋅+，因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k n C -≥所以1122222n m m m n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． ……………10分。
2020-2021学年江苏扬州高三下数学高考模拟有答案
2020-2021学年江苏扬州高三下数学高考模拟一、选择题1. 已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|y=2x+1}，则集合A∩B中元素的个数为( )A.3B.2C.1D.02. 若复数z1=1+2i，复数z2=1−i，则|z1z2|=()A.6B.√10C.√6D.√23. 已知函数f(x)=x2−2x+m．若p：f(x)有零点；q:0<m≤1，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知角α是第三象限角，则α2终边落在( )A.第一象限或第二象限B.第二象限或第三象限C.第二象限或第四象限D.第一象限或第三象限5. 已知曲线y=ae x+x ln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则( )A.a=e, b=−1B.a=e, b=1C.a=e−1, b=1D.a=e−1，b=−16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a：b：c=4：3：2，则2sin A−sin Bsin2C=( )A.3 7B.57C.97D.1077. 函数y=ln|x|−x2的图象大致为( )A. B.C. D.8. 已知菱形ABCD 的边长为4, ∠ABC =60∘，E 是BC 的中点， DF →=−2AF →，则AE →⋅BF →=( )A.24B.−7C.−10D.−12二、多选题下列说法中，正确的命题是( )A.已知随机变量X 服从正态分布N (2,σ2)， P (X <4)=0.8，则P (2<X <4)=0.2B.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y =a ̂+b ̂x ，若b ̂=2，x ¯=1，y ¯=3，则a ̂=1D.若样本数据2x 1+1 ，2x 2+1，…，2x 16+1的方差为8，则数据x 1，x 2，…，x 16的方差为2下列不等式不一定成立的是( ) A.若a >b ，则a 2>b 2 B.若a >b >0，则b a <b+ma+m C.若ab =4，则a +b ≥4 D.若ac 2>bc 2，则a >b函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，将函数f (x )的图像向左平移π3个单位长度后得到y =g (x )的图像，则下列说法正确的是( )A.函数g (x )为奇函数B.函数g (x )的最小正周期为πC.函数g (x )的图像的对称轴为直线x =kπ+π6(k ∈Z ) D.函数g (x )的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k ∈Z )如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠DAB =60∘．侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A.在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMBB.异面直线AD 与PB 所成的角为90∘C.二面角P −BC −A 的大小为45∘D.BD ⊥平面PAC 三、填空题若sin x =−23，则cos 2x =________.已知向量OA →=(3，−4)，OB →=(6，−3)，OC →=(2m ，m +1)，若AB →//OC →，则实数m 的值为________.函数f(x)=ax 2+(b −2a)x −2b 为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则f(x)>0的解集为________．函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln2)=2，则满足不等式f(x)>e x的x的范围是________.四、解答题已知命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题．(1)求实数m的取值范围；(2)若q:−4<m−a<4是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．已知向量m→=(−1,cosωx+√3sinωx)，n→=(f(x),cosωx)，其中ω>0，m→⊥n→，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为32π．(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f(32α+π2)=2326，求sin(α+π4)cos(π+2α)的值．已知函数f(x)=log a x(a>0，且a≠1），且f(3)=1.(1)求a的值，并写出函数f(x)的定义域；(2)设函数g(x)=f(1+x)−f(1−x)，试判断g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)若不等式f(t⋅4x)≥f(2x−t)对任意x∈[1,2]恒成立，求实数t的取值范围．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD= AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：BE // 平面PAD；(2)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BCD夹角的余弦值．中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为"锻炼达标"与性别有关？(2)在”锻炼达标“的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，①求这10人中，男生、女生各有多少人？②从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表已知函数f(x)=ln x+ax2−3x(a∈R)．(1)若函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=−2，求函数f(x)的极值；(2)若a=1时，对于任意x1，x2∈[1, 10]，当x1<x2时，不等式f(x1)−f(x2)>m(x2−x1)恒成立，求实数m的取值范围．x1x2参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高三下数学高考模拟一、选择题1.【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式得到d<r，则圆x2+y2=1与直线y=2x+1相交，有两个公共点，，集合A∩B中元素的个数为2个.【解答】解：∵圆x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0)，半径为r=1，O(0,0)到直线y=2x+1的距离为d=√22+12=√55<r=1，∴圆x2+y2=1与直线y=2x+1相交，有两个公共点，∴集合A∩B中元素的个数为2个.故选B.2.【答案】B【解析】直接利用复数的模等于模的乘积求解．【解答】解：∵z1=1+2i，z2=1−i，∴|z1z2|=|1+2i|⋅|1−i|=√5×√2=√10．故选B.3.【答案】B【解析】利用判别式大于等于0求得m的范围，然后结合充分必要条件的判定方法得答案．【解答】解：函数f(x)=x2−2x+m有零点，则Δ=4−4m≥0，即m≤1．∴p不能推出q，但q能够推出p，∴p是q的必要不充分条件．故选B.4.【答案】C【解析】先根据α所在的象限确定α的范围，进而确定α2的范围，进而看当k为偶数和为奇数时所在的象限．【解答】解：∵解：∵α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+32π，k∈Z．当k为偶数时，α2为第二象限角；当k为奇数时，α2为第四象限角．故选C．5.【答案】D【解析】此题暂无解析【解答】解：y′=ae x+ln x+1,∵曲线y=ae x+x ln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，∴ae+ln1+1=2,解得a=e−1.∴切线方程为y=2x−1，解得b=−1.故选D.6.【答案】D【解析】此题暂无解析【解答】解：设a=4k，b=3k，c=2k，根据余弦定理可知：cos C=a2+b2−c22ab =21k224k2=78，根据正弦定理可知2sin A−sin Bsin2C =2a−b2c×cos C=2×4k−3k2×2k×78=107.故选D.7.【答案】A【解析】【解答】解：令f(x)=y=ln|x|−x2，定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，且f(−x)=ln|x|−x2=f(x)，所以函数y=ln|x|−x2为偶函数，因此图象关于y轴对称，故排除B，D；当x >0时，设g(x)=ln x −x 2， g ′(x)=1x −2x ，当x ∈(0,√22)时，g ′(x)=1x −2x >0，所以g(x)=ln x −x 2在(0,√22)上单调递增，故排除C . 故选A .8.【答案】 D【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知得AF →=13AD →，BE →=12BC →，AD →=BC →，所以AE →=AB →+12AD →，BF →=AF →−AB →=13AD →−AB →. 因为在菱形ABCD 中，∠ABC =60∘， 所以 ∠BAD =120∘.又因为菱形ABCD 的边长为4， 所以AB →⋅AD →=|AB →|⋅|AD →|cos 120∘ =4×4×(−12)=−8，所以AE →⋅BF →=(AB →+12AD →)⋅(13AD →−AB →) =−|AB →|2−16AB →⋅AD →+16|AD →|2=−16−16×(−8)+16×16=−12.故选D . 二、多选题 【答案】C,D【解析】由正态分布的性质可判断A ，由相关系数的概念可判断B ，由回归方程过样本中心(x ¯，y ¯)可判断C ，由方差的性质可判断D . 【解答】解：对于A 选项，随机变量X 服从正态分布N (2,σ2)， P (X <4)=0.8， 则P (2<X <4)=P (X <4)−P (X <2)=0.8−0.5=0.3，故A 错误；对于B 选项，因为线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，故B 错误； 对于C 选项，因为回归方程过样本中D (x ¯,y ¯)，所以有3=a +2×1，解得a ̂=1，故C 正确；对于D 选项，由方差的性质D (aX +b )=a 2D (X )，可得，若样本数据2x 1+1 ，2x 2+1，…，2x 16+1的方差为8，则数据x 1，x 2，…，x 16的方差为822=2，故D 正确． 故选CD . 【答案】 A,B,C【解析】本题考查不等式，考查推理论证能力． 【解答】解：对于A ，当a =−1，b =−2时，a 2<b 2，故选项A 不一定成立； 对于B ，ba −b+ma+m =b(a+m)−a(b+m)a(a+m)=(b−a)ma(a+m)，因为a >b >0，所以b −a <0， 当a +m >0，m <0时，(b−a)ma(a+m)>0，即ba >b+ma+m ，故选项B 不一定成立； 对于C ，当a =−1，b =−4时，a +b =−5，故选项C 不一定成立； 对于D ，因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 一定成立． 故选ABC ． 【答案】 B,D【解析】根据函数f (x )的部分函数图像得到f (x )=3sin (2x −π3)，即可得到将函数g (x )=3sin (2x +π3)，再结合选项逐一判定即可得解. 【解答】解：依题意，A =3，3T 4=5π12+π3=3π4，∴ T =π， ∴ ω=2，∴ f (x )=3sin (2x +φ). 又∵ 函数图像过点(5π12,3), ∴ 3=3sin (2×5π12+φ)， ∴ 5π6+φ=2kπ+π2(k ∈Z )， ∴ φ=2kπ−π3.又∵ |φ|<π2， ∴ φ=−π3，∴ f (x )=3sin (2x −π3).将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得g (x )=3sin (2x +π3)，显然g (x )不是奇函数，故A 错误； 函数g (x )=3sin (2x +π3)的最小正周期T =2π2=π，故B 正确；由2kπ−π2≤2π+π3≤2kπ+π2(k ∈Z )，可得−5π12+kπ≤x ≤π12+kπ(k ∈Z )， ∴ g (x )的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k ∈Z )，故D 正确．故选BD .【答案】 A,B,C 【解析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可． 【解答】解：对于A ，如图取AD 的中点M ，连结PM ，BM ，∵ 侧面PAD 为正三角形， ∴ PM ⊥AD ，又底面ABCD 是菱形，且∠DAB =60∘， ∴ 三角形ABD 是等边三角形， ∴ AD ⊥BM ，∴ AD ⊥平面PBM ，故A 正确， 对于B ，∵ AD ⊥平面PBM ，∴ AD ⊥PB ，即异面直线AD 与PB 所成的角为90∘，故B 正确， 对于C ，∵ 底面ABCD 为菱形，∠DAB =60∘,平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴ BM ⊥BC ，则∠PBM 是二面角P −BC −A 的平面角， 设AB =1，则BM =√32，PM =√32， 在直角三角形PBM 中，tan ∠PBM =PMBM =1，即∠PBM =45∘，故二面角P −BC −A 的大小为45∘，故C 正确； 对于D ，∵ BD 与PA 不垂直，∴ BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误. 故选ABC ． 三、填空题 【答案】19【解析】由已知条件利用二倍角的余弦公式计算即可得到结果. 【解答】解：由二倍角的余弦公式可得：cos 2x =1−2sin 2x =1−2(−23)2=1−89=19.故答案为：19. 【答案】−3【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 向量OA →=(3，−4)，OB →=(6，−3)， ∴ AB →=(3，1)，OC →=(2m ，m +1)， 由AB →//OC →可得：3m +3=2m ， 解得m =−3． 故答案为：−3. 【答案】{x|x <−2或x >2} 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知得f(x)为二次函数且对称轴为y 轴， ∴ a ≠0，−b−2a 2a=0，即b =2a ，∴ f(x)=ax 2−4a ．再根据函数在(0,+∞)上单调递增， 可得a >0．令f(x)=0，求得x =2或x =−2， 故由f(x)>0，可得x <−2或x >2， 故解集为{x|x <−2或x >2}． 故答案为：{x|x <−2或x >2}． 【答案】 (ln 2,+∞) 【解析】造函数g(x)=f(x)e x，利用导数可判断g(x)的单调性，再根据f(ln2)＝2，求得g(ln2)＝1，继而求出答案．【解答】解：∵∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，∴f′(x)−f(x)>0，于是有(f(x)e x)′>0，令g(x)=f(x)e x，则有g(x)在R上单调递增，∵不等式f(x)>e x，∴g(x)>1，∵f(ln2)=2，∴g(ln2)=1，∴x>ln2.故答案为：(ln2,+∞).四、解答题【答案】解：(1)由题意命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题，∴m>x2−x在−1≤x≤1恒成立，即m>(x2−x)max，x∈(−1, 1)，因为x2−x=(x−12)2−14，所以−14≤x2−x≤2，即m>2，所以实数m的取值范围是(2, +∞).(2)由p得，设A={m|m>2}，由q得，设B={m|a−4<m<a+4}，因为q:−4<m−a<4是p的充分不必要条件，所以q⇒p，但p推不出q，所以B⫋A，所以a−4≥2，即a≥6，所以实数a的取值范围是[6, +∞)．【解析】(Ⅰ)分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出(x2−x)max，求出m的范围．(Ⅱ)设p对应集合A，q对应集合B，“q是p的充分不必要条件”即B⫋A，求出a的范围【解答】解：(1)由题意命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题，∴m>x2−x在−1≤x≤1恒成立，即m>(x2−x)max，x∈(−1, 1)，因为x2−x=(x−12)2−14，所以−14≤x2−x≤2，即m>2，所以实数m的取值范围是(2, +∞).(2)由p得，设A={m|m>2}，由q得，设B={m|a−4<m<a+4}，因为q:−4<m−a<4是p的充分不必要条件，所以q⇒p，但p推不出q，所以B⫋A，所以a−4≥2，即a≥6，所以实数a的取值范围是[6, +∞)．【答案】解：(1)由题意得m →⋅n →=0，所以，f(x)=cos ωx ⋅(cos ωx +√3sin ωx) =1+cos 2ωx 2+√3sin 2ωx2=sin (2ωx +π6)+12.根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.又ω>0， 所以ω=13.(2)由(1)知f(x)=sin (23x +π6)+12， 所以f(32α+π2)=sin (α+π2)+12=cos α+12=2326， 解得cos α=513.因为α是第一象限角，故sin α=1213， 所以sin (α+π4)cos (π+2α)=sin (α+π4)−cos 2α=√2−2(cos α−sin α)=1314√2.【解析】（1）利用向量的数量积，而二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简数量积为sin (2ωx +π6)+12，利用周期求出ω的值．（2）设α是第一象限角，且f(32α+π2)=2326，化简方程为cos α=513，求出sin α=1213，利用两角和的正弦函数，诱导公式化简sin (α+π4)cos (π+2α)并求出它的值． 【解答】解：(1)由题意得m →⋅n →=0，所以，f(x)=cos ωx ⋅(cos ωx +√3sin ωx) =1+cos 2ωx +√3sin 2ωx=sin (2ωx +π6)+12.根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π. 又ω>0， 所以ω=13.(2)由(1)知f(x)=sin (23x +π6)+12，所以f(32α+π2)=sin(α+π2)+12=cosα+12=2326，解得cosα=513.因为α是第一象限角，故sinα=1213，所以sin(α+π4 )cos(π+2α)=sin(α+π4)−cos2α=√2−2(cosα−sinα)=1314√2.【答案】解：(1)f(3)=loga3=1，故a=3.f(x)=log3x定义域为(0,+∞).(2)g(x)=f(1+x)−f(1−x)，∴{1+x>0，1−x>0，∴−1<x<1，g(−x)=f(1−x)−f(1+x)=−g(x)，∴g(x)为奇函数.(3)f(x)=log3x，∴f(x)是单调递增函数，f(t⋅4x)≥f(2x−t)，∴(t⋅4x)≥(2x−t)>0，∴t(4x+1)≥2x，∴t≥2x4x+1=12x+12x.令y=2x+12,x∈[1,2]时该函数为增函数，∴y min=2+12=52，∴ t≥152=25.又∵2x−t>0，∴t<(2x)min=2.综上t∈[25,2).【解析】答案未提供解析。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷四全卷+学生
2020年江苏高考数学全真模拟试卷四（南通教研室）数学Ⅰ试题A ．必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合A ={x ｜x ≥0},B =(－2,－1,0,2)，则A ∩B =▲．2.已知复数z ＋i =－3＋ii,其中i 为虚数单位，则z 的模是▲．3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4:3:2.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n 的值是▲．4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x 的值为5,那么输出的y 的值是▲．5.函数y =log 3(－x ＋5x －6)的定义域是▲．6.某国家队“短道速滑”项目有A ,B ,C ,D ，4名运动员.若这四人实力相当,现从中任选2名参加2022年北京冬奥会,则A ,B 至少有1人被选中的概率是▲．7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线C :x 2a 2－y 2b 2=1(a >0，b >0)的一条渐近线垂直于直线y ＝2x －1则双曲线C 的离心率是▲．8.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6cm .当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高是▲．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.（第4题图）Read x If x ≤4Theny ←6x Elsey ←x ＋5End If Print y（第8题）9.若S n ,是等比数列{a n }的前n 项和,S 3,S 9,S 6成等差数列,则a 9a 6＝▲．10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋4)=f (x ),当0≤x ≤2时,f (x )=－x 2+ax ＋b ,对f (－1)的值是▲．11.已知三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB =4，点A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动,则OA →・OC →的最大值是▲．12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 的方程为x 2+（y －1）2=4.过点P (x 0，y 0)存在直线l 被圆C 截得的弦长为23,则实数x 0的取值范围是▲．13.已知函数f (x )=（a ＋1）x 2－bx ＋a ，若函数f (x )有零点、且与函数y ＝f (f (x ))的零点完全相同，则实数b 的取值范围为▲．14.如图，在ABC 中已知2BC 2+AB 2=2AC 2,且BC 长线上的点D 足DA =DB ,则∠DAC 的最大值是▲．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为菱形、E 为棱A 1A 的中点,且O 为A 1C 1与B 1D 1的交点.(1)求证:OE ∥平面ABC 1;(2)求证:平面AA 1C 1⊥平面B 1D 1E.O（第11题）ACBy x（第14题）ACBD（第15题）ACBDEOC 1A 1D 1B 116.(本小题满分14分)已知函数f (x )=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<2π)的图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若角α满足f (α)=2,α∈(3π4,7π4)求sinα的值.17.(本小题满分14分)图1是某高架桥箱梁的横截面,它由上部路面和下部支撑箱两部分组成.如图2,路面宽度AB =10m,下部支撑箱CDEF 为等腰梯形(CD >EF ),且AC =BD .为了保证承重能力与稳定性,需下部支撑箱的面积为8m 2,高度为2m 且2m ≤EF ≤3m 若路面AB 、侧边CF 和DE 、底部EF 的造价分别为4a 千元/m,5a 千元/m,6a 千元/m (a 为正常数),∠DCF =θ.(1)试用θ表示箱梁的总造价y (千元);(2)试确定cos θ的值,使总造价最低?并求最低总造价.（第17题）（图1）（图2）A CFBD Eθ如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,1)为椭圆Ex 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点，P 为椭圆E 上异于上、下顶点的一个动点.当点P 的横坐标为233时,OP ＝2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设M 为x 轴的正半轴上的一个动点.①若点P 在第一象限内,且以AP 为直径的圆恰好与x 轴相切于点M ,求AP 的长.②若MA =MP ,是否存在点N ,满足PN →＝4PM →,且AN 的中点恰好在椭圆E 上?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=e x －ax ,其中e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程为y =x ＋1,求实数a 的值;(2)若函数f (x )有2个不同的零点x 1,x 2.①求实数a 的取值范围;②求证:2<x 1＋x 2<2ln a.（第18题）APxy OM对于给定的数列{a n},{b n},设c k=max{ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k}(k=1,2,…,n),即c k是ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k中的最大值,则称数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”}是等差数列；(1)设a n=n+1,b n=2n求c1,c2,c3的值,并证明数列{c nn(2)设数列{a n},{b n}都是公比为q的正项等比数列,若数列{c n}是等差数列,求公比q的取值范围;(3)设数列{a n}满足a n＞0,数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”,且ka i＋b i＋c k-i+1＝m(m为常数,i=1,2,…,k),求证:c n=m a n＋b n．2020年江苏高考数学全真模拟试卷(四)（南通教研室）数学Ⅱ附加题A ．必做题部分21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝2211,矩阵B 的逆矩阵B -1＝10012.若矩阵M ＝AB ,求矩阵M .B.[选修4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角标系xOy 中,已知直线l ＝1－t ，＝t －1，,(t 为参数,曲线C 的参数＝2sinθ，＝2｜cos θ｜，(θ为参数)求直线l 与曲线C 的交点坐标.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页,均为非选择题(第21题~第23题).本卷满分为40分,考试时间为30分钟,考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3.请认真核对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.C.[选修45:不等式选讲](本小题满分10分)已知x ,y ,z 均是正实数,且x 2＋9y 2＋4z 2＝36，求证x ＋y ＋z ≤7.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AP =AC =4,AB =2,D ,E 分别为棱BC ,PC 的中点,点F 在棱PA 上,设t ＝PFAF.(1)当t ＝13时,求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；(2)试确定t 的值，使二面角C -EF -D 的平面角的余弦值为42121.（第22题）BACDEPF23.(本小题满分10分)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当n依次取0,1,2,3,…时(a＋b)n展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{a n}.例:a1=1,a2=1+1,a3=1+2,….(1)写出数列{a n}的通项公式(结果用组合数表示),无需证明;(2)猜想a1＋a2＋a3＋…＋a n,与a n+2的大小关系,并用数学归纳法证明.。
2019-2020年高三第四次模拟考试 数学(理) 含答案
绝密★启用前2019-2020年高三第四次模拟考试数学（理）含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，则A． B. C. D.2．已知，则在复平面内，复数所对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量，，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知成等差数列，成等比数列，则等于A. B. C. C. 或5．已知，，则函数为增函数的概率是A. B. C. D.6．已知一个几何体的正视图和俯视图如右图所示,正视图是边长为2a的正三角形,俯视图是边长为a 的正六边形,则该几何体的侧视图的面积为A．B．C．D．7．执行如下图的程序框图，则输出的值P=A．12B．10C．8D．68．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点. 若|AF|=3，则 AOB的面积为A．B．C．D．9．设，满足约束条件，若目标函数（，）的最小值为，则的最大值是A．B．C．D．10．若函数在是增函数，则的取值范围是A． B. C. D.11．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形。
2020届江苏省扬州市高三考前调研测试(5月)数学模拟试卷有答案(加精)
扬州市高三考前调研测试试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1．已知{}{}0,1,2,2,4A B ==，则A B ⋃= ▲ ．2．若复数z 满足(2)1i z i -=+，则复数z 在复平面上对应的点在第 ▲ 象限.3．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[)80,100，若该校的学生总人数为3000，则成绩不超过60分的学生人数大约为 ▲ .4．在区间()0,5内任取一个实数m , 则满足34m <<的概率为▲ .5．如图是一个算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．函数1()()42x f x =-的定义域为 ▲ . 7．已知双曲线2221(0)20x y a a -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的焦距为 ▲ . 8．已知1sin ,(0,)32πθθ=∈，则tan 2θ= ▲ . 9．已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角等于2π的扇形，则这个圆锥的体积是 ▲ s ←1S ←S ×k开始输出S结束YNk>5 第5题k ←1k ← k +1 第3题10．已知圆22:2220(C x y ax y a +--+=为常数）与直线y x =相交于,A B 两点，若3ACB π∠=，则实数a = ▲ .11、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53a =，1040S =， 则n nS 的最小值为 ▲ ． 12．若动直线(x t t R =∈）与函数2()cos ()4f x x π=-，()3sin()cos()44g x x x ππ=++的图象分别交于,P Q 两点，则线段PQ 长度的最大值为 ▲ .13．在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若ABC ∆的面积为2，则2BC MC MB +⋅的最小值为 ▲ .14．已知函数221,(0,1]()1,(1,)kx x x f x kx x ⎧+-∈=⎨+∈+∞⎩有两个不相等的零点12,x x ，则1211x x +的最大值为 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若2222a c ac b ++=，10sin A =. ⑴求sin C 的值；⑵若2a =，求ABC ∆的面积. 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB =2CD ， AC 交BD 于O ，锐角∆P AD 所在平面⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ =2QC . 求证：⑴P A ∥平面QBD ；⑵BD ⊥ AD .17．（本小题满分14分）如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB 和曲线DE 分别是顶点在路面A 、E 的抛物线的一部分，曲线BCD 是圆弧，已知它们在接点B 、D 处的切线相同，若桥的最高点C 到水平面的QA B C D P O距离6H=米，圆弧的弓高1h=米，圆弧所对的弦长10BD=米.（1）求弧¼BCD所在圆的半径；（2）求桥底AE的长.18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左顶点(2,0)A，且点(1,)2-在椭圆上，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点。
2020届江苏省百校高三下学期第四次联考数学试卷及解析
2020届江苏省百校高三下学期第四次联考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（必做题,共160分）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{2,5},{3,5}A B ==,则A B =____________.【答案】{}2,3,5【解析】根据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集,知A B ={}2,3,5.故答案为：{}2,3,52.已知复数z 满足12i i z+=（i 为虚数单位）,则复数z 的实部为____________. 【答案】2【解析】利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案. 【详解】21222i i z i i i +-===-,所以复数z 的实部为2. 故答案为：23.A B C ，，三所学校举行高三联考,三所学校参加联考的人数分别为160,240,400,为调查联考数学学科的成绩,现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本,若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为____________.【答案】100【解析】某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【详解】设抽取的样本容量为x ,由已知,30240160240400x =⨯++,解得100x =. 故答案为：1004.根据如图所示的伪代码,若输入的x 的值为2,则输出的y 的值为____________.【答案】1【解析】满足条件执行34y x ←-,否则执行22x y -←.【详解】本题实质是求分段函数234,22,2x x x y x -->⎧=⎨≤⎩在2x =处的函数值,当2x =时,1y =. 故答案为：15.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习,抛一枚硬币两次,若两次都是正面朝上,就在家学习,否则出去看电影,则该同学在家学习的概率为____________.【答案】14【解析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况,即（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）,在家学习只有1种情况,即（正,正）,故该同学在家学习的概率为14. 故答案：146.已知数列{}n a 满足11a =,且1130n n n n a a a a +++-=恒成立,则6a 的值为____________.【答案】116【解析】易得1113n n a a +-=,所以1{}na 是等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由已知,0n a ≠,因1130n n n n a a a a +++-=,所以1113n n a a +-=,所以数列1{}na 是以。
2020年江苏高三四模数学试卷(百校联考)答案
此时
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2020/4/27
2020年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
设 为 的中点，
，
即
，
即
，
，
，
设
，则
，
取
得
，
“获
所以
，
器
∴
．
神
课
二、解答题
“授
15. （ 1 ）证明见解析．
时， 的最大值为
有最大值 ， ．
更多 17. （ 1 ）
．
（2）
或
．
【解析】（ 1 ）∵离心率为 ， 设焦距为 ，
的周长为 ，
则
，解得
，
∴椭圆方程为
．
（ 2 ）设 为
，则
，且
，
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2020/4/27
当
时，有
综上，
，无解20，20年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
的解集为
．
11. 【解析】 设容器底面半径为 ，原水面所在半径为 ，母线长为 ，
2020-2021学年江苏扬州高三下数学高考模拟
2020-2021学年江苏扬州高三下数学高考模拟一、选择题1. 已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|y=2x+1}，则集合A∩B中元素的个数为( )A.3B.2C.1D.02. 若复数z1=1+2i，复数z2=1−i，则|z1z2|=()A.6B.√10C.√6D.√23. 已知函数f(x)=x2−2x+m．若p：f(x)有零点；q:0<m≤1，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知角α是第三象限角，则α2终边落在( )A.第一象限或第二象限B.第二象限或第三象限C.第二象限或第四象限D.第一象限或第三象限5. 已知曲线y=ae x+x ln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则( )A.a=e, b=−1B.a=e, b=1C.a=e−1, b=1D.a=e−1，b=−16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a：b：c=4：3：2，则2sin A−sin Bsin2C=( )A.3 7B.57C.97D.1077. 函数y=ln|x|−x2的图象大致为( )A. B.C. D.8. 已知菱形ABCD的边长为4, ∠ABC=60∘，E是BC的中点，DF→=−2AF→，则AE→⋅BF→=()A.24B.−7C.−10D.−12二、多选题下列说法中，正确的命题是( )A.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X<4)=0.8，则P(2<X<4)=0.2B.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=â+b̂x，若b̂=2，x¯=1，y¯=3，则â=1D.若样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为2下列不等式不一定成立的是( )A.若a>b，则a2>b2B.若a>b>0，则ba<b+ma+mC.若ab=4，则a+b≥4D.若ac2>bc2，则a>b函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，将函数f(x)的图像向左平移π3个单位长度后得到y=g(x)的图像，则下列说法正确的是( )A.函数g (x )为奇函数B.函数g (x )的最小正周期为πC.函数g (x )的图像的对称轴为直线x =kπ+π6(k ∈Z )D.函数g (x )的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k ∈Z )如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠DAB =60∘．侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A.在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMBB.异面直线AD 与PB 所成的角为90∘C.二面角P −BC −A 的大小为45∘D.BD ⊥平面PAC 三、填空题若sin x =−23，则cos 2x =________.已知向量OA →=(3，−4)，OB →=(6，−3)，OC →=(2m ，m +1)，若AB →//OC →，则实数m 的值为________.函数f(x)=ax 2+(b −2a)x −2b 为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则f(x)>0的解集为________．函数f(x)的导函数为f′(x)，对∀x ∈R ，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln 2)=2，则满足不等式f(x)>e x 的x的范围是________. 四、解答题已知命题p ：“∀−1≤x ≤1，不等式x 2−x −m <0成立”是真命题． (1)求实数m 的取值范围；(2)若q:−4<m −a <4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．已知向量m →=(−1,cos ωx +√3sin ωx)，n →=(f(x),cos ωx)，其中ω>0，m →⊥n →，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为32π．(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f(32α+π2)=2326，求sin (α+π4)cos (π+2α)的值．已知函数f(x)=log a x(a >0，且a ≠1），且f (3)=1. (1)求a 的值，并写出函数f (x )的定义域；(2)设函数g (x )=f (1+x )−f (1−x )，试判断g (x )的奇偶性，并说明理由；(3)若不等式f (t ⋅4x )≥f (2x −t )对任意x ∈[1,2]恒成立，求实数t 的取值范围．如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD =AD =2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE // 平面PAD ；(2)若BE ⊥平面PCD ，求平面EBD 与平面BCD 夹角的余弦值．中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为"锻炼达标"与性别有关？(2)在”锻炼达标“的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，①求这10人中，男生、女生各有多少人？②从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表已知函数f(x)=ln x+ax2−3x(a∈R)．(1)若函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=−2，求函数f(x)的极值；(2)若a=1时，对于任意x1，x2∈[1, 10]，当x1<x2时，不等式f(x1)−f(x2)>m(x2−x1)恒成立，求实数mx1x2的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高三下数学高考模拟一、选择题1.【答案】B【考点】集合中元素的个数直线与圆的位置关系交集及其运算【解析】利用点到直线的距离公式得到d<r，则圆x2+y2=1与直线y=2x+1相交，有两个公共点，，集合A∩B中元素的个数为2个.【解答】解：∵圆x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0)，半径为r=1，O(0,0)到直线y=2x+1的距离为d=√22+12=√55<r=1，∴圆x2+y2=1与直线y=2x+1相交，有两个公共点，∴集合A∩B中元素的个数为2个.故选B.2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接利用复数的模等于模的乘积求解．【解答】解：∵z1=1+2i，z2=1−i，∴|z1z2|=|1+2i|⋅|1−i|=√5×√2=√10．故选B.3.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】利用判别式大于等于0求得m的范围，然后结合充分必要条件的判定方法得答案．【解答】解：函数f(x)=x2−2x+m有零点，则Δ=4−4m≥0，即m≤1．∴p不能推出q，但q能够推出p，∴p是q的必要不充分条件．故选B.4.【答案】C【考点】象限角、轴线角【解析】先根据α所在的象限确定α的范围，进而确定α2的范围，进而看当k为偶数和为奇数时所在的象限．【解答】解：∵解：∵α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+32π，k∈Z．当k为偶数时，α2为第二象限角；当k为奇数时，α2为第四象限角．故选C．5.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：y′=ae x+ln x+1,∵曲线y=ae x+x ln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，∴ae+ln1+1=2,解得a=e−1.∴切线方程为y=2x−1，解得b=−1.故选D.6.【答案】D【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：设a =4k ，b =3k ，c =2k ，根据余弦定理可知： cos C =a 2+b 2−c 22ab=21k 224k 2=78，根据正弦定理可知2sin A−sin B sin 2C=2a−b 2c×cos C=2×4k−3k2×2k×78=107.故选D .7. 【答案】 A【考点】函数图象的作法 【解析】【解答】解：令f(x)=y =ln |x|−x 2， 定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)， 且f(−x)=ln |x|−x 2=f(x)，所以函数y =ln |x|−x 2为偶函数，因此图象关于y 轴对称，故排除B ，D ； 当x >0时，设g(x)=ln x −x 2， g ′(x)=1x −2x ， 当x ∈(0,√22)时，g ′(x)=1x−2x >0，所以g(x)=ln x −x 2在(0,√22)上单调递增，故排除C .故选A .8.【答案】 D【考点】向量在几何中的应用 平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知得AF →=13AD →，BE →=12BC →，AD →=BC →， 所以AE →=AB →+12AD →， BF →=AF →−AB →=13AD →−AB →.因为在菱形ABCD 中，∠ABC =60∘，所以 ∠BAD =120∘.又因为菱形ABCD 的边长为4，所以AB →⋅AD →=|AB →|⋅|AD →|cos 120∘ =4×4×(−12)=−8，所以AE →⋅BF →=(AB →+12AD →)⋅(13AD →−AB →) =−|AB →|2−16AB →⋅AD →+16|AD →|2=−16−16×(−8)+16×16=−12. 故选D . 二、多选题【答案】C,D【考点】命题的真假判断与应用 正态分布密度曲线 求解线性回归方程相关系数极差、方差与标准差 【解析】由正态分布的性质可判断A ，由相关系数的概念可判断B ，由回归方程过样本中心(x ¯，y ¯)可判断C ，由方差的性质可判断D . 【解答】解：对于A 选项，随机变量X 服从正态分布N (2,σ2)， P (X <4)=0.8， 则P (2<X <4)=P (X <4)−P (X <2)=0.8−0.5=0.3，故A 错误；对于B 选项，因为线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，故B 错误； 对于C 选项，因为回归方程过样本中D (x ¯,y ¯)，所以有3=a +2×1，解得a ̂=1，故C 正确； 对于D 选项，由方差的性质D (aX +b )=a 2D (X )，可得，若样本数据2x 1+1 ，2x 2+1，…，2x 16+1的方差为8，则数据x 1，x 2，…，x 16的方差为822=2，故D 正确．故选CD . 【答案】 A,B,C 【考点】不等式比较两数大小 【解析】本题考查不等式，考查推理论证能力．【解答】解：对于A，当a=−1，b=−2时，a2<b2，故选项A不一定成立；对于B，ba −b+ma+m=b(a+m)−a(b+m)a(a+m)=(b−a)ma(a+m)，因为a>b>0，所以b−a<0，当a+m>0，m<0时，(b−a)m a(a+m)>0，即ba>b+ma+m，故选项B不一定成立；对于C，当a=−1，b=−4时，a+b=−5，故选项C不一定成立；对于D，因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，故选项D一定成立．故选ABC．【答案】B,D【考点】正弦函数的周期性由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性正弦函数的奇偶性【解析】根据函数f(x)的部分函数图像得到f(x)=3sin(2x−π3)，即可得到将函数g(x)=3sin(2x+π3)，再结合选项逐一判定即可得解. 【解答】解：依题意，A=3，3T4=5π12+π3=3π4，∴T=π，∴ω=2，∴f(x)=3sin(2x+φ). 又∵函数图像过点(5π12,3),∴3=3sin(2×5π12+φ)，∴5π6+φ=2kπ+π2(k∈Z)，∴φ=2kπ−π3.又∵|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=3sin(2x−π3).将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得g(x)=3sin(2x+π3)，显然g(x)不是奇函数，故A错误；函数g(x)=3sin(2x+π3)的最小正周期T=2π2=π，故B正确；由2kπ−π2≤2π+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，可得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ(k∈Z)，∴g(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)，故D正确．故选BD.【答案】A,B,C【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直的判定异面直线及其所成的角【解析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．【解答】解：对于A，如图取AD的中点M，连结PM，BM，∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，且∠DAB=60∘，∴三角形ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，∴AD⊥平面PBM，故A正确，对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90∘，故B正确，对于C，∵底面ABCD为菱形，∠DAB=60∘,平面PAD⊥平面ABCD，∴BM⊥BC，则∠PBM是二面角P−BC−A的平面角，设AB=1，则BM=√32，PM=√32，在直角三角形PBM中，tan∠PBM=PMBM=1，即∠PBM=45∘，故二面角P−BC−A的大小为45∘，故C正确；对于D，∵BD与PA不垂直，∴ BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误. 故选ABC ． 三、填空题 【答案】1 【考点】二倍角的余弦公式 【解析】由已知条件利用二倍角的余弦公式计算即可得到结果. 【解答】解：由二倍角的余弦公式可得：cos 2x =1−2sin 2x =1−2(−23)2=1−89=19. 故答案为：19. 【答案】 −3【考点】平面向量的坐标运算 平行向量的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 向量OA →=(3，−4)，OB →=(6，−3)， ∴ AB →=(3，1)，OC →=(2m ，m +1)， 由AB →//OC →可得：3m +3=2m ， 解得m =−3． 故答案为：−3. 【答案】{x|x <−2或x >2} 【考点】二次函数的性质 函数奇偶性的性质【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知得f(x)为二次函数且对称轴为y 轴， ∴ a ≠0，−b−2a 2a=0，即b =2a ，∴ f(x)=ax 2−4a ．再根据函数在(0,+∞)上单调递增， 可得a >0．令f(x)=0，求得x =2或x =−2， 故由f(x)>0，可得x <−2或x >2， 故解集为{x|x <−2或x >2}． 故答案为：{x|x <−2或x >2}． 【答案】 (ln 2,+∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】 造函数g(x)=f(x)e x，利用导数可判断g(x)的单调性，再根据f(ln 2)＝2，求得g(ln 2)＝1，继而求出答案．【解答】解：∵ ∀x ∈R ，都有f′(x)>f(x)成立， ∴ f ′(x)−f(x)>0，于是有(f(x)e x)′>0，令g(x)=f(x)e x，则有g(x)在R 上单调递增，∵ 不等式f(x)>e x ，∴ g(x)>1， ∵ f(ln 2)=2， ∴ g(ln 2)=1， ∴ x >ln 2.故答案为：(ln 2,+∞). 四、解答题【答案】解：(1)由题意命题p ：“∀−1≤x ≤1，不等式x 2−x −m <0成立”是真命题， ∴ m >x 2−x 在−1≤x ≤1恒成立， 即m >(x 2−x)max ，x ∈(−1, 1)，因为x 2−x =(x −12)2−14，所以−14≤x 2−x ≤2，即m >2，所以实数m 的取值范围是(2, +∞).(2)由p 得，设A ={m|m >2}，由q 得， 设B ={m|a −4<m <a +4}，因为q:−4<m −a <4是p 的充分不必要条件， 所以q ⇒p ，但p 推不出q ，所以B⫋A ， 所以a −4≥2，即a ≥6，所以实数a 的取值范围是[6, +∞)． 【考点】命题的真假判断与应用根据充分必要条件求参数取值问题【解析】(Ⅰ)分离出m ，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出(x 2−x)max ，求出m 的范围． (Ⅱ)设p 对应集合A ，q 对应集合B ，“q 是p 的充分不必要条件”即B⫋A ，求出a 的范围 【解答】解：(1)由题意命题p ：“∀−1≤x ≤1，不等式x 2−x −m <0成立”是真命题， ∴ m >x 2−x 在−1≤x ≤1恒成立， 即m >(x 2−x)max ，x ∈(−1, 1)，因为x 2−x =(x −12)2−14，所以−14≤x 2−x ≤2，即m >2， 所以实数m 的取值范围是(2, +∞).(2)由p 得，设A ={m|m >2}，由q 得， 设B ={m|a −4<m <a +4}，因为q:−4<m −a <4是p 的充分不必要条件， 所以q ⇒p ，但p 推不出q ，所以B⫋A ， 所以a −4≥2，即a ≥6，所以实数a 的取值范围是[6, +∞)． 【答案】解：(1)由题意得m →⋅n →=0，所以，f(x)=cos ωx ⋅(cos ωx +√3sin ωx) =1+cos 2ωx 2+√3sin 2ωx2=sin (2ωx +π6)+12.根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π. 又ω>0， 所以ω=13.(2)由(1)知f(x)=sin (23x +π6)+12，所以f(32α+π2)=sin (α+π2)+12 =cos α+12=2326，解得cos α=513.因为α是第一象限角，故sin α=1213，所以sin (α+π4)cos (π+2α)=sin (α+π4)−cos 2α=√2−2(cos α−sin α)=1314√2.【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 数量积判断两个平面向量的垂直关系三角函数的化简求值 【解析】（1）利用向量的数量积，而二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简数量积为sin (2ωx +π6)+12，利用周期求出ω的值．（2）设α是第一象限角，且f(32α+π2)=2326，化简方程为cos α=513，求出sin α=1213，利用两角和的正弦函数，诱导公式化简sin (α+π4)cos (π+2α)并求出它的值．【解答】解：(1)由题意得m →⋅n →=0，所以，f(x)=cos ωx ⋅(cos ωx +√3sin ωx) =1+cos 2ωx 2+√3sin 2ωx2=sin (2ωx +π6)+12.根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.又ω>0， 所以ω=13.(2)由(1)知f(x)=sin (23x +π6)+12，所以f(32α+π2)=sin (α+π2)+12=cos α+12=2326， 解得cos α=513.因为α是第一象限角，故sin α=1213， 所以sin (α+π4)cos (π+2α)=sin (α+π4)−cos 2α=√2−2(cos α−sin α)=1314√2.【答案】解：(1)f (3)=log a 3=1， 故a =3.f (x )=log 3x 定义域为(0,+∞). (2)g (x )=f (1+x )−f (1−x )， ∴ {1+x >0，1−x >0，∴ −1<x <1，g(−x)=f(1−x)−f(1+x)=−g(x)，∴g(x)为奇函数.(3)f(x)=log3x，∴f(x)是单调递增函数，f(t⋅4x)≥f(2x−t)，∴(t⋅4x)≥(2x−t)>0，∴t(4x+1)≥2x，∴t≥2x4x+1=12x+12x.令y=2x+12x,x∈[1,2]时该函数为增函数，∴y min=2+12=52，∴ t≥152=25.又∵2x−t>0，∴t<(2x)min=2.综上t∈[25,2).【考点】对数函数的定义域对数函数的定义函数奇偶性的判断函数恒成立问题【解析】答案未提供解析。
2024届江苏省扬州市高三上学期期初模拟考试数学试题及解析
扬州市2024届高三上学期期初考试模拟试题数学学科C ．28R πD =（）C ．1ab a ab+-D 0)的左、右焦点分别为1F 、2F ，过对定义域内的任意实数x恒成立，则称函3 DC DB==.，若存在，求BFBC的值；2号），比赛时第一局两队男1号进行单打比赛，第二局两队女1号进行单打比赛，第三局两队各派一名男女运动员参加混双比赛，第四局两队男2号进行单打比赛，第五局两队女2号进行单打比赛，五局三胜，先胜3局的队获胜，比赛结束.某队中的男甲和男乙两名男队员，在比赛时，甲单打获胜的概率为23，乙单324打获胜的概率为5，若甲排1号，男女混双获胜的概率为3；若乙排1号，男女混双获胜的概率为5（每局比赛相互之间不受影响）试题解析1．D解一元二次方程求集合A ，由具体函数的定义域求集合B ，再利用集合的并运算求A B ⋃即可.依题意，得{}12A x x =-<<，{}2B x x =≤，∴(],2A B ⋃=-∞.故选：D．2．D由正弦定理、三角形边角关系及充分条件、必要条件的定义即可得解.由正弦定理得sin sin a bA B =，且(),0,A B π∈，若sin sin A B ≥，则a b ≥，所以A B ≥，所以cos cos A B ≤，故充分性成立；若cos cos A B ≤，则由余弦函数的单调性可得A B ≥，所以a b ≥，sin sin A B ≥，故必要性成立.所以“sin sin A B ≥”是“cos cos A B ≤”的充要条件.故选：D.3．B按照相邻捆绑，不相邻插空的方法求解．A ，B 相邻，捆绑作为一个节目与E 、F 进行全排列，然后把C 、D 插入其中的四个空档中，排法总数为232234A A A 144=．故选：B．4．C根据圆柱和球的体积公式和表面积公式即可求解.设圆柱部分的高是h ，所以2331411πππ233R h R R +⋅=，所以1411233h R R+⋅=所以3h R =，内壁表面积为222112π4π2π34π8π22Rh R R R R R +⋅=⋅+⋅=，故选：C.5．A利用指数与对数的互换表示出lg 3，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可．由题可得31log 10lg 3b ==，即1lg 3b =．原式51lg 6lg 2lg 31log 6lg 51lg 21a ab b a b ab +++=====---．故选：A ．6．A根据给定的离心率及三角形周长，求出椭圆方程，再设出直线MN 的方程，与椭圆方程联立求解三角形面积即可.依题意，△M 2周长222112||||||||||||||416MF MN NF MF MF NF NF a ++=+++==，解得4a =，而椭圆的离心率12e =，则其半焦距122c a ==，因此22212b a c =-=，椭圆C ：2211612x y +=，1(2,0)F -，显然直线MN 不垂直于y 轴，设其方程为2x ty =-，由2223448x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得：22(34)12360t y ty +--=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有1212221236,3434t y y y y t t +==-++，12224||134y y t -==+，令1u =，函数13u u +在[1,)+∞上单调递增，因此当0=t时，取得最小值4，即12max ||6y y -=，△M 2的面积2121211||||461222MNF S F F y y =⋅-≤⨯⨯= ，当且仅当MN x⊥时取等号，所以△M 2面积的最大值为12.故选：A 7．A根据三角函数恒等变换公式化简已知等式，再根据诱导公式简化7πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可得到答案.πsin cos 16sin cos cossin sin1661cos sin 122sin 6θθππθθθθθπθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⇒++=⎫⇒=⎪⎪⎭⎛⎫⇒+⎪⎝⎭7ππsin sin sin 6663πθθπθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选:A8．B由函数的解析式结合对数的运算性质即可得解.∵函数f （x ）＝log ax （a ＞0，a ≠1），f （x 1x 2…x 2018）＝4，∴f （x 1x 2…x 2018）＝log a （x 1x 2…x 2018）＝4，∴f （x 12）+f （x 12）+…+f （x 20182）()222122018a log x x x =⨯⨯⨯ ＝log a （x 1x 2…x 2018）2＝2log a （x 1x 2…x 2018）＝2×4＝8．故选B ．本题考查函数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．BD复数12z i =-,可知其实部为1与虚部为2-，其模长为，5z z ⋅=，将复数z 代入2250x x -+=验证即可说明复数z 为方程的一个根.因为复数12z i=-所以复数z 的实部是1，虚部是2-，A错误，z ==正确，(12i)(12i)145z z ⋅=-⋅+=+=，C 错误，因为2(12i)2(12i)514i 424i 50---+=---++=，即复数z 是方程2250x x -+=的一个根，D 正确.故选：BD.10．BCDA.由11132P BCQV AA BC h -=⨯⨯⨯⨯判断； B.由11111cos A PD A P A D ∠=，21114cos AD A P D A P⋅=∠求解判断；C.由1CC ⊥平面ABCD ，得到1C QC ∠是1C Q 与平面ABCD 所成的角求解判断；D.以D 为原点，分别以1,,DB DC DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设球心为1,2O t ⎫⎪⎪⎝⎭，(),,1P x y ，由OP OB =化简得到t 的范围，再由外接球的表面积为24S OBπ= 判断.直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 到底面ABCD 的距离为11AA =，设点Q 到BC 的距离为h，则11132P BCQ V AA BC h-=⨯⨯⨯⨯，因为h 不是定值，故四面体PBCQ 的体积不是定值，故A 错误；在11Rt A PD △中，11111cos A PD A P A D ∠=，211111111111cos 4cos AD A P A D A P A D A P D A P D A P⋅=⋅=⋅⋅∠=∠，因为110,2D A P π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以()11cos 0,1D A P ∠∈，则()10,4AD A P ⋅∈ ，故B 正确；因为1CC ⊥平面ABCD ，所以1C QC∠是1C Q与平面ABCD 所成的角，则111tan CC C QC CQ CQ ∠==，因为()0,2CQ ∈，所以11tan 2C QC ∠>，故C 正确；以D 为原点，分别以1,,DB DC DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系：则)())()11,0,1,0,1,1,0,0,1BC AD -，线段BC的中点为1,022M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，线段11A D的中点为1,12N ⎫-⎪⎪⎝⎭，设球心为1,2O t ⎫⎪⎪⎝⎭，(),,1P x y，则221122x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由OP OB =得()222222211112222x y t t t ⎛⎛⎛⎫⎛⎫-+-+-=-++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，化简得22221112112222t x y y y y ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12t y =-，易知112y -<≤，则13[0,22t y =-∈，[1,)2OB = ，所以外接球的表面积为24[4,13)S OB πππ=∈ ，故D 正确，故选：BCD 11．AD根据新定义进行证明判断A，假设二次函数是“k 距周期函数”，然后由新定义推理判断B，用反例判断C，根据周期函数的定义求解判断D．A．设一次函数为()f x ax b =+，则()()()f x T a x T b ax b aT f x aT +=++=++=+，其中k aT =，A 正确；B．设二次函数为2()f x ax bx c =++（0a ≠），222()()()(2)f x T a x T b x T c ax aT b x aT bt c +=++++=+++++，若()f x 是“k 距周期函数”，则20aT =，则0T =，不满足新定义，B 错误；C．设,()2,x x Qf x x x Q ∈⎧=⎨+∉⎩，则()f x 是“1距周期函数”，且类周期为1，(1)1f =，C 错；D．设[2,22]x n n ∈+，则2[0,2]x n -∈，即()(2)g x g x n =-，则()()(2)(2)2(2)2[2,21]f x x g x x n g x n n f x n n n n =+=-+-+=-+∈+，D 正确．故选：AD．关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，然后根据新定义解决问题．新定义的实质是()()f x T f x k +=+恒成立（0Tk ≠），因此可转化恒等式进行分析．12．BCD利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.对于A：()()()()P A B P A P B P AB+=+-，()111234P AB =+-，所以()112P AB =，故A 错误；对于B：()()()P AB P AB P A += ，()11123P AB ∴+=，∴()14P AB =，()()()134143P AB P B A P A ===，故B 正确；对于C：1()112()1()43P AB P B A P A ===，()14P B =，∴()(P B A P B =，故C 正确.对于D：()()()()112P AB AB P AB P AB P AB +=+=+，()()()P B P AB P AB=+ ，∴()3144P AB =+，∴()12P AB =，∴()11712212P AB AB +=+=，所以D 正确.故选：BCD.13．26根据题意得到 3.5,x =42y =，得到493954424m +++=，解之得解.由题得 3.5,x =回归方程是ˆ9.49.1yx =+经过样本中心点是()x y ，且 3.5,42x y =∴=，所以493954424m +++=，解得26m =．故答案为：26本题主要考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．41n a n =-，*Nn ∈根据已知，利用等差数列的性质以及通项公式求解.因为等差数列{}n a 满足1522a a +=，所以3222a =，所以311a =，又因为()22n n S n a n =-+，所以()2122=2=+2S a a a -，即214a a =+，所以4d =，所以3(3)11(3)441n a a n d n n =+-=+-⋅=-，*N n ∈.故答案为：41n a n =-，*N n ∈.15．{|(1)},6k x x k k Zππ=+-⋅∈方程3sin x =1+cos2x ,即3sin x =1+1−22sin x ，解关于sin x 的方程即可方程3sin x =1+cos2x ,即3sin x =1+1−22sin x ,即22sin x +3sin x −2=0，求得sin x =−2(舍去),或sin x =12，∴(){|1},6kx x k k Zππ=+-⋅∈，故答案为(){|1},6kx x k k Zππ=+-⋅∈16．3π；分析：根据余弦定理，将题中等式化简整理，可得sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，利用两角和正弦公式化简得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在两边约去sinA 得12cosB =，结合三角形内角取值范围即可得到角B 的大小.详解：∵在△ABC 中，b 2=a 2+c 2﹣2accosB，∴b 2﹣a 2﹣c 2=﹣2accosB，同理可得c 2﹣a 2﹣b 2=﹣2abcosC∵2222222sinC b a c sinA sinC c a b --=---∴222sinC accosB ccosB sinCcosBsinA sinC abcosC bcosC sinBcosC -===--，∵sinC≠0，可得sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴等式两边约去sinA，可得12cosB =，∵0＜B＜π，∴角B 的大小3π．点睛：点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．17．(1)1a =，极大值1，无极小值；(2)存在，11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)结合已知条件，首先求出(e)f '，然后利用两直线垂直关系即可求出a ，然后利用导函数求出()f x 的单调区间，进而求得极值；(2)结合(1)中结论，求出零点存在的大致区间，再结合已知条件即可求解.(1)由ln ()a xf x x +=，得()21ln a x f x x --'=，因为()f x 的图象在点(e,(e))f 处的切线与直线2e e y x =+垂直，所以2221ln e 1(e)e e e a a f ---'===-，解得1a =．所以1ln ()(0)xf x x x +=>，令()2ln 0x f x x '=-=，得1x =，因为当(0,1)x ∈时，()0f x ¢>；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．故()f x 在1x =处取得极大值1，无极小值．(2)由(1)，知()f x 在(1,)+∞上单调递减，且()0f x >，又()f x 在(0,1)上单调递增，且()22221ln e e e 0e f ---+==-<，(1)10f =>，所以由零点存在定理，得()f x 在区间(0,1)内存在唯一零点．若函数()f x 在区间2,(0)3t t t ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值和零点，则20131ln ()0t t t f t t ⎧<<<+⎪⎪⎨+⎪=<⎪⎩，解得113e t <<．所以存在符合条件的区间2,(0)3t t t ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，此时实数t 的取值范围为11,3e ⎛⎫⎪⎝⎭．18．(1)212n n a -=；(2)5（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得21n b n =-，然后由1211m n m a b a ++-<≤+，得222221m m n +<≤+，则222221m m m c +=-+，从而可求出mS ，进而可求出使得2022m S >的最小整数m 的值.（1）当1n =时，11342S a =-，得12a =，当2n ≥时，由342n n S a =-，得11342n n S a --=-，所以113342(42)n n n n S S a a ---=---，1344n n n a a a -=-，所以14n n a a -=，所以数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以121242n n n a --=⨯=（2）由（1）得2122log log 221n n n b a n -===-，因为数列{}n b 中落入区间(]121,1m m a a ++-+内，所以1211m n m a b a ++-<≤+，所以2(1)12(2)1212121m m n +-+--<-≤+，21232222m m n ++<≤+，所以222221mm n +<≤+，所以数列{}n b 中落入区间(]121,1m m a a ++-+内的项的个数222221341m m m m c +=-+=⨯+，所以112(14)4414m m m S m m +-=+=+--，由2022m S >，得1442022m m ++->，即142026m m ++>，当4m =时，41441024410282026++=+=<，当5m =时，51454096*********++=+=>，因为14m m ++随m 的增大而增大，所以2022m S >的最小整数为5.19．(1)证明见解析；(2)存在；34BF BC =.（1）若选①，取AC 中点G ，BC 中点O ，AB 中点H ，可证得四边形EDCG 为平行四边形，从而利用勾股定理和平行关系证得AC CD ⊥，由线面垂直和面面垂直判定得到平面ABC ⊥平面BCD ，利用面面垂直性质可证得DO ⊥平面ABC ；若选②，取BC 中点O ，AB 中点H ，由线面垂直和面面垂直的判定可证得平面ABC ⊥平面BCD ，利用面面垂直性质可证得DO ⊥平面ABC ；若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，根据长度和平行关系可证得四边形DEHO 为平行四边形，由此确定12EH AB =，得到AE BE ⊥，结合AE BE =可得2BE =，从而利用勾股定理和平行关系证得AC BD ⊥，由线面垂直和面面垂直判定得到平面ABC ⊥平面BCD ，利用面面垂直性质可证得DO ⊥平面ABC ；三个条件均可说明,,DO OH BC 两两互相垂直，则以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面垂直的向量证明方法可证得结论；（2）假设存在满足题意的点()()0,,011F t t -≤≤，利用二面角的向量求法可构造方程求得12t =-，由此可确定F 点位置，得到BFBC 的值.（1）若选①，取AC 中点G ，BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，//ED AC ，12CG AC ED ==，∴四边形EDCG 为平行四边形，//EG CD ∴，EG ∴112AG AC ==，2AE =，222AG EG AE ∴+=，AG EG ∴⊥，又//CD EG ，AC CD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；若选②，AC BD ^ ，AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，DC BD ==DO BC ∴⊥，又2BC =，DO ∴=,O H 分别为,BC AB 中点，1//2OH AC ∴，又1//2ED AC ，//OH ED∴，∴四边形DEHO 为平行四边形，EH DO ∴=AC BC ⊥Q，2AC BC ==，AB ∴=，12EH AB∴=，AE BE ∴⊥，EAB EBA ∠=∠ ，2∴==BE AE ，222BD DE BE ∴+=，BD DE ∴⊥，又//DE AC ，AC BD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，又DO BC ⊥，DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直，则以O 为坐标原点，,,OD OH OB为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B，(E ，()2,2,0AB ∴=-，(1,BE =-，DO ⊥ 平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =；设平面ABE 的法向量()1111,,x n y z =，则11111112200AB n x y BE n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，解得：11y =，10z =，()11,1,0n ∴ ，10m n ∴⋅= ，即1m n ⊥ ，∴平面ABE ⊥与平面ABC .（2）设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于，由（1）得：(1,,EF t =-，(AE =-，设平面AEF 的法向量()2222,,n x y z =，则2222222200AE n x y EF n x ty ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令21y =，则212t x +=，)214t z -=，)211,1,24t t n ⎛⎫-+∴= ⎪⎪⎝⎭ ；()11,1,0n ∴121212cos ,n n n n n n ⋅∴<>=⋅，化简可得：221370t t --=，解得：12t =-或7t =（舍），10,,02F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，32BF ∴=，34BF BC ∴=；综上所述：在线段BC 上存在点F ，满足34BF BC =，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于43.20．(1)答案见解析(2)乙排1号，理由见解析（1）求出X 的可能取值及对应的概率，得到分布列；（2）在（1）的基础上，求出男甲排1号时的期望值，再求出男甲排1号时的期望值，比较后得到结论.（1）X 的可能取值为0,1,2，()221011339P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222411133339P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2242339P X ==⨯=，故分布列为：X012P194949（2）由（1）知，甲排1号时，期望值为()14440129993E x =⨯+⨯+⨯=，设Y 表示男乙排1号时，该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数，则Y 的可能取值为0,1,2，则()3420115525P Y ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()343411111555525P Y ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()341225525P Y ==⨯=，故期望值为()2111270122525255E Y =⨯+⨯+⨯=，因为4735<，故乙排1号时期望值更大.21．（1）2214x y +=；（2）存在，方程为2245x y +=.（1）根据条件，列出关于,a b 的方程组，求椭圆的标准方程；（2）当斜率存在时，设直线y kx m =+，与椭圆方程联立，得到韦达定理，结合直线与圆相切，得到2221m r k =+，并代入OA OB ⋅的坐标表示，利用定值与k 无关，求得圆的方程，当斜率不存在时，可直接求得点,A B 的坐标，得到OA OB ⋅的值，求得圆的的方程.（1）由题意知(0,)M b ，(,0)N a ，由112ab =，得2ab =①.设直线y x =与椭圆C 交于点()00,P x x ，()00,Q x x--，则220||8PQ x =.把()00,P x x 代入椭圆方程，得22222a b x a b =+，故2222228||a b PQ a b ==+⎝⎭，即222245a b a b=+②.由①②，解得2241a b ⎧=⎨=⎩或2214a b ⎧=⎨=⎩(舍去)，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在这样的圆O ，设OA OB λ⋅=.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+.由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122814kmx x k +=-+，21224414m x x k -=+.故()()()222221212121222448111414m km OA OB x x y y k x x km x x m k km m k k -⎛⎫⋅=+=++++=++-+= ⎪++⎝⎭22254414m k k λ--=+③.由r =2221m r k =+④.由③④，得()()22254114rk k λ-+=+，当λ与k 无关时，0λ=，245r =，即圆O.当直线AB 的斜率不存在时，若直线AB的方程为x =，将其代入椭圆C的方程，得,55A ⎛ ⎝⎭，B ⎝⎭，此时0OA OB ⋅=.若直线AB的方程为x =，同理可得0OA OB ⋅=.综上，存在满足题意的圆O ，其方程为2245x y +=.解决存在性问题的注意事项：（1）存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在；（2）当条件和结论不唯一时，要分类讨论；（3）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都未知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径。
江苏省扬州市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(备考卷)完整试卷
江苏省扬州市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若函数是偶函数，则A．B．C．D．第(2)题现有函数图象如下，其函数表达式可能是（）A．B．C．D．第(3)题设，对于函数，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值第(4)题记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种第(5)题已知命题，命题，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第(6)题已知α为第二象限角，，则cos2α=A．B．C．D．第(7)题已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M 点”． 有以下两个命题：①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M 点；②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增．那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题第(8)题若△ABC 为钝角三角形，且，，则边c 的长度可以为（ ）A ．2.5B ．3C ．4D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐代，如今逐渐演化为赏月、颂月等活动，以月之圆兆人之团圆，为寄托思念故乡，思念亲人之情，祈盼丰收、幸福，成为丰富多彩、弥足珍贵的文化遗产.某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A．样本的众数为75B．样本的分位数为75C．样本的平均值为68.5D．该校学生中得分低于60分的约占第(2)题下列函数满足的是（）A．B．C．D．第(3)题设，满足，则下列结论正确的是（）A．的最大值为B．的最小值为4C．的最大值为2D．的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题数列满足，则___________.第(2)题已知，是两个单位向量，设，且满足，若，则_________.第(3)题如图为函数的部分图像，则______，______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，角，，的对边分别为，，，若（1）求角.（2）若，，求的面积.第(2)题某商场为调查手机卖场各品牌手机在晚上19：30到21：00时段的销售情况，随机抽取了某一周该时段的销售数据，并要求每个品牌只抽取一个款式的手机，且不考虑价格波动.手机品牌步步高三星华为苹果vivo1.92 1.8 4.8 4.82.52销售总额（万元）销售量431067销售利润率0.10.070.060.050.08销售利润率是指：一部手机销售价格减去出厂价格得到的利润与该手机销售价格的比值.(1)从该公司本周该时段卖出的手机中随机选一部，求这部手机利润率高于0.07的概率；(2)从该公司本周该时段卖出的销售单价为4800元的手机中随机选取2部，求这两部手机的利润率不同的概率；(3)销售一部步步高手机获利元，销售一部三星手机获利元，…，销售一部vivo手机获利元，依据上表统计数据，随机销售一部手机获利的期望为，设，试判断与的大小.第(3)题已知抛物线，直线与抛物线交于、两点（在的上方）.(1)若过抛物线的焦点，且垂直于轴时，，求此时抛物线的方程；(2)若直线的斜率，过点作直线的垂线交抛物线于另外一点，当，且的重心落在直线上时，求直线的斜率.第(4)题已知袋子中放有大小和形状相同，标号分别是0，1，2的小球，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球1个.从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的球标号为b. 记“”为事件A.(1)求事件A的概率；(2)在区间内任取2个实数x，y，求事件“”恒成立的概率.第(5)题如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，F在上，满足.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.。
江苏省扬州市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)模拟(冲刺卷)完整试卷
江苏省扬州市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）模拟(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题一组样本数据的平均数为，标准差为.另一组样本数据，，…，的平均数为，标准差为.两组数据合成一组新数据，，…，，新数据的平均数为，标准差为，则（）A．B．C．D．与的大小与有关第(2)题令，，若，则实数的值是（）A．B．C．2D．1第(3)题杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.；若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是（）A．B．C．数列的前n项和为D．数列的前n项和为第(4)题已知平面外不共线的三点到平面的距离都相等，则正确的结论是（）A．平面必平行于平面B．平面必与平面相交C．平面必不垂直于平面D．存在的一条中位线平行于平面或在平面内第(5)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(6)题等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前项和（）A．B．C．D．第(7)题已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{2}D．{1，2}第(8)题某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有员工工资的方差为（）A．6.4B．6.6C．6.7D．6.8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题对于函数，下列说法正确的是（ ）A ．在处取得极大值B ．有两个不同的零点C．D ．当时，方程有两解第(2)题如图，在直三棱柱中，△ABC 是边长为2的正三角形，，M 为的中点，P 为线段上的点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A ．平面ABMB．三棱锥的体积的取值范围是C ．存在点P ，使得BP 与平面所成的角为60°D ．存在点P ，使得AP 与BM 垂直第(3)题在直角坐标系中，已知双曲线的焦点到渐近线的距离不大于，点分别在的左、右两支上，则（ ）A．的离心率为定值B ．是的一条渐近线C ．的两条渐近线的夹角的正切值为D ．的最小值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数，满足约束条件，则的最小值为__________.第(2)题函数在处的切线方程为___________.第(3)题如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为，则该棱锥的内切球半径为___．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求证：函数存在极小值；(3)求函数的零点个数.第(2)题已知函数.（1）如果关于x的不等式在恒成立，求实数a的取值范围；（2）当时，证明：.第(3)题设函数.（1）若，有两个零点，求的取值范围；（2）若，求的最大值.第(4)题已知函数，a∈R.（1）若函数f（x）在x＝1处的切线为y＝2x+b，求a，b的值；（2）记g（x）＝f（x）+ax，若函数g（x）在区间（0，）上有最小值，求实数a的取值范围；（3）当a＝0时，关于x的方程f（x）＝bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.第(5)题已知函数.（1）若函数的极小值为0，求的值；（2）且，求证：.。
江苏省扬州市(新版)2024高考数学统编版模拟(冲刺卷)完整试卷
江苏省扬州市（新版）2024高考数学统编版模拟(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知是不共线向量，设，，，，若△的面积为3，则△的面积为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．4第(2)题如图，已知抛物线：和圆：，过圆圆心的直线与抛物线和圆依次交于A ､C ､D ､B 四点，则的最小值为（）A．B．C．D．第(3)题已知抛物线的焦点为F ，其准线与x轴交于点为C 上一点，，则（ ）A．B．C．D．第(4)题在四边形ABCD 中，，已知，与的夹角为且，，则（ ）A ．10B ．6C ．4D ．2第(5)题已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）A．B．C．D．第(6)题已知总体划分为若干层，通过分层随机抽样，其中某一层抽取的样本数据为，，…，，其平均数和方差分别为，．记总的样本平均数为，则（ ）．A．B．C．D．第(7)题阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为( )A．2B．3C．4D．5第(8)题若集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的部分图象如图所示，则（）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D ．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称第(2)题将函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．的最小正周期为B．C．D．的图象关于点对称第(3)题对任意，下列不等式恒成立的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知x，y的取值如下表：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7若x，y具有线性相关关系，且回归方程为，则的值为______．第(2)题《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是一个整除以三余二，除以五余三､除以七余二，求这个整数.设这个整数为a，当时，符合条件的a的个数为___________.第(3)题已知，与的夹角为60°，则在上的投影为_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）求f(x)的极值；（2）求证：且．第(2)题为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：x… 2.7 3.6 3.2…y…57.864.762.6…经计算得：，，，.(1)利用最小二乘法估计建立y关于x的线性回归方程；(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致.（i）求这两条直线的公共点坐标.（ii）比较与的斜率大小，并证明.附：y关于x的线性回归方程中.，，第(3)题已知抛物线的焦点为，且点与上点的距离的最大值为．(1)求；(2)当时，设，，是抛物线上的三个点，若直线，均与相切，求证：直线与相切．第(4)题已知函数.(1)若，求函数的单调增区间；(2)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；(3)当时，函数恰有两个不同的零点，且，求证：.第(5)题已知椭圆C：=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2一1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．(i)求k1k2的值： (ii)求OB2+ OC2的值．。
江苏省扬州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版摸底(自测卷)完整试卷
江苏省扬州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版摸底(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数和函数（其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（）A．①④B．②③C．③④D．①②③第(2)题已知正项等比数列的前n项和为．若，则（）A．B．C．D．第(3)题已知圆与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．第(4)题设数列满足．设为数列的前项的和，则（）A．110B．120C．288D．306第(5)题已知复数为纯虚数，则的值为（）A．2B．1C．D．第(6)题已知，则（）A．0B．C．D．第(7)题已知非空集合、、满足：，．则（）．A．B．C．D．第(8)题已知，且，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为，则下列选项中说法正确的是（）A．当时，B．当在区间内变化时，先增大后减小C．不存在最大值D．当在区间内变化时，逐渐减小第(2)题已知菱形中，，，与相交于点，将沿折起来，使顶点移至点的位置，在折起的过程中，下列结论正确的是（）A．存在某个位置使得B．当为等边三角形时，C．当二面角为时，三棱锥外接球表面积为D．设为线段的中点，则三棱锥体积的最大值为第(3)题某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了天的数据：经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（）A．样本中心点为B．C．时，残差为D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则_____________.第(2)题已知函数，若函数，则函数的图像的对称中心为______；若数列为等差数列，，则______．第(3)题过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．(1)求证：平面；(2)求点D到平面ABE的距离．第(2)题将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；…．如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列．(1)分别写出数列的前2项；(2)记数列的第项为．求证：当时，；(3)若，求的值．第(3)题希望种子公司销售一种新品种蔬菜种子，其说明书标明：此品种蔬菜果实的平均长度为11.5cm．某种植大户购买了这种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）序号（i）12345678910长度11.613.012.811.812.012.811.512.713.412.4序号（i）11121314151617181920长度12.912.813.213.511.212.611.812.813.212.0(1)估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差；(2)判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立．（记，其中为蔬菜果实长度的平均数，s为蔬菜果实长度的标准差，n是选取蔬菜果实的个数．当时，．若，则说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立）参考数据：，，，．第(4)题若有穷数列满足,则称为数列.(1)写出满足的两个数列;(2)若,,证明:数列是递增数列的充要条件是;(3)记,对任意给定的正整数,是否存在的数列,使得?如果存在,求出正整数满足的条件;如果不存在,说明理由.第(5)题已知函数.(1)若在定义域内单调递增，求a的取值范围；(2)当时，若存在唯一零点，极值点为，证明：.。
江苏省扬州市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(备考卷)完整试卷
江苏省扬州市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A．B．C．D．第(2)题已知，则（）A．B．4C．5D．第(3)题设全集，集合，则集合（）A．B．C．D．第(4)题已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（）A．B．C．2D．第(5)题已知集合，集合为整数集，则A．B．C．D．第(6)题已知m、n是两条不同直线，、、是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则第(7)题已知向量，，满足，则（）A．B．C．D．第(8)题已知单位向量满足则=（）A．B．C．D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间(单位：周)，纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位：吨).根据统计图分析，下列结论正确的是（）A．当时有害垃圾错误分类的重量加速增长B．当时有害垃圾错误分类的重量匀速增长C．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时增长了30%D．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时减少了0.6吨第(2)题已知函数，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于y轴对称C．的图象关于对称D ．的图象关于对称第(3)题在棱长为2的正方体中，点Q为线段（包含端点）上一动点，则下列选项正确的是（）．A．三棱锥的体积为定值B．在Q点运动过程中，存在某个位置使得平面C．面积的最大值为D．直线AQ与平面所成角的正弦值的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题非空集合G关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{非负整数}，为整数的加法；②{偶数}，为整数的乘法：③{平面向量}，为平面向量的加法；④{二次三项式}，为多项式的加法；⑤{虚数}，为复数的乘法其中G关于运算为“融洽集”的是_____________．（写出所有“融洽集”的序号）第(2)题设函数，则_________．第(3)题已知单位向量的夹角为，若，则实数___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，三角形中，，是边长为的正方形，平面⊥底面，若、分别是、的中点．（1）求证：∥底面；（2）求证：⊥平面；（3）求几何体的体积．第(2)题2022年11月21日第22届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办，也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛.某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的，女生中喜欢足球的人数占女生的.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关.(1)请完成下面的列联表，并求出k的值；喜欢足球不喜欢足球合计男生女生合计(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X，求X的分布列及数学期望.附：，其中.0.100.050.010.0012.7063.841 6.63510.828第(3)题已知函数，是非零常数．(1)若函数在上是减函数，求的取值范围；(2)设，且满足，证明：当时，函数在上恰有两个极值点．第(4)题已知函数（常数）．（Ⅰ）求证：无论为何正数，函数的图象恒过点；（Ⅱ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅲ）讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.第(5)题已知函数．(1)当时，求证：；(2)求证：．。
江苏省扬州市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)摸底(评估卷)完整试卷
江苏省扬州市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知圆锥的底面面积为，其侧面展开图的圆心角为，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积最大值为（）A．B．C．2D．第(2)题已知向量，，若，则（）A．B．C．D．第(3)题已知函数在内恰有4个极值点和3个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题设函数的值域为A，若，则的零点个数最多是（）A．1B．2C．3D．4第(7)题已知EF是圆的一条弦，且，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是（）A．B．C．D．第(8)题设变量x，y满足则2x+3y的最大值为A．20B．35C．45D．55二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列和满足：，，，，，则下列结论错误的是（）A．数列是公比为的等比数列B．仅有有限项使得C ．数列是递增数列D．数列是递减数列第(2)题已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意，，则（）A．B．C．是周期为3的函数D．第(3)题已知正方体的展开图如图所示，则下列说法正确的有（）A．B．平面C．平面D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．第(2)题华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：①若，则存在唯一一个周期为1的周期点；②若，则存在周期为2的周期点；③若则不存在周期为3的周期点；④若，则对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点．其中所有正确结论的序号是_________．第(3)题已知函数，若是的极值点，则在处的切线方程为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，记点M的轨迹为曲线.若为上的点，且.(1)求曲线的轨迹方程；(2)已知，，直线交曲线于两点，点在轴上方.①求证：为定值；②若，直线是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.第(2)题已知数列满足，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：①对任意的，；②.第(3)题已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，在上恒成立，求的取值范围.第(4)题已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）证明：当时，；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.第(5)题如图，已知正方体的棱长为4，点E满足，点F是的中点，点G满足(1)求证：四点共面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.。
江苏省扬州市(新版)2024高考数学苏教版模拟(冲刺卷)完整试卷
江苏省扬州市（新版）2024高考数学苏教版模拟(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．第(2)题若，，，则（）A．B．C．D．第(3)题设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为（）A．是等比数列B．或是等比数列C．和均是等比数列D．和均是等比数列，且公比相同第(4)题已知，则（）.A．B．C．D．0第(5)题已知对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交．当甲成立时 A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件第(7)题过点作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（）A．1B．C．2D．第(8)题已知复数满足，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题对于函数，下列结论正确得是（）A．的值域为B．在单调递增C．的图象关于直线对称D ．的最小正周期为第(2)题若复数满足，，则（）A．在复平面内，对应的向量与对应的向量所成角的正切值为2B．在复平面内，对应的点在第四象限C．的虚部为2D．的实部为第(3)题某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为，，则下列判断不正确的是（）A．B．C．，D．，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知是△的边的中点，，，则______；______第(2)题已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为____________．第(3)题某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图是等边三角形，则此几何体的体积是___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知正数，，满足，证明：(1)．(2)．第(2)题已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，记的极小值为，证明：.第(3)题在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立．(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率；(2)求第n次射击的人是乙的概率．第(4)题在中，角A，，所对的边分别为，，，若，且．(1)求的值；(2)若，求的值．第(5)题如图，几何体为直四棱柱截去一个角所得，四边形是菱形，，点为棱的中点．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．。
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Read x If x≤5 Then y←10x Else y←+5End If扬州市高三第四次模拟测试数 学 试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{|12}A x x =-<<，Z 是整数集，则A Z =I ▲ ． 2．若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定 ▲ ． 4．已知ABC ∆中，21,2,3a b C π===，则边c 的长度为 ▲ ． 5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y 值是20， 则输入的x 值是 ▲ ．6．在区间]2,1[-内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ．7．在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．8．已知tan 2α=且α为锐角，则cos2α= ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22420x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 ▲ ．10．已知等边ABC ∆中，若1()3AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ AP t AB =+u u ur u u u r u u u r ，且AP AQ ⊥u u u r u u u r ，则实数t 的值为 ▲ ．11．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF∆是等边三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ．（第5题图）12．设函数2log ()(0)()2(0)x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n项和，且n a =n *∈Ν）．若不等式2016n n S a λ≥-对任意n *∈Ν恒成立，则实数λ的最小值为 ▲ ．14．已知函数32()f x ax bx cx d =+++在O 、A 两点处取得极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线2sin ([,])33y x x x ππ=∈上，则曲线()y f x =的切线斜率的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+r ，(1,cos())2b x ωϕ=+r (0,0)4πωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-r r r r ．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．（1）求ω的值；（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值． 16．（本小题满分14分）在三棱锥P －S BC 中，A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且3,8, 5.AB BC CD ===PA ⊥BC ． （1）求证：平面PSB ⊥平面ABCD ；（2）若平面PAD I 平面PBC l =，求证：//l BC ．PSDCBA（第16题图）17．（本小题满分14分）某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m 为常数，且36m ≤≤）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x 元/百支（3540x ≤≤），根据市场调查，日销售量与x e 成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求y 的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m 最多为多少元（精确到0.1元） 18．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，椭圆的离心率为32．设点M 是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M 的直线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点上，且满足13AM AB =u u u u r u u u r．（1）求证：线段AB 的长是一定值；（2）若点N 是点M 关于原点的对称点，一过原点O 且与直线AB 平行的直线与椭圆交于P 、Q 两点（如图），求四边形MPNQ 面积的最大值，并求出此时直线MN 的斜率．yQPNMB A Ox （第18题图）19．（本小题满分16分）数列{}n a 是公差为d (0)d ≠的等差数列，它的前n 项和记为n A ，数列{}n b 是公比为q (1)q ≠的等比数列，它的前n 项和记为n B ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数,k m ，使k m a b =． （1）若11a =，2d =，3q =，4m =，求k A ．（2）若11a =，2d =，试比较2k A 与2m B 的大小，并说明理由；（3）若2q =，是否存在整数,m k ，使86k m A B =，若存在，求出,m k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数()f x =1ln ,a x a x+∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当[]1,2x ∈时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值；（3）试问过点(02)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切并说明理由．扬州市高三第四次模拟测试数 学 试 题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21（B ）．（本小题满分10分）已知矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ，求该矩阵的另一个特征值．21（C ）．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合）中，圆C 的方程为4cos ρθ=．若直线l 被圆C 截得的弦长为11，求实数a 的值．22．（本小题满分10分）长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下： 甲班 10 12 15 18 24 36 乙班121622262838如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望()E X ． 23．（本小题满分10分） 已知*0()()nkk n nk f x Cx n N ==∈∑．（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求)(x g 中含4x 项的系数；（2）证明：012121231(2)123[]3n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L ．高三第四次模拟测试 数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案一、填空题1．{0,1} 2．1i - 3．“2,10x R x x ∀∈++≠” 4．7 5．2或6 6．23 7．1 8．35- 9．1[0,]2 10．23- 11．2 12．[1,)+∞ 13．12017 14．32二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（1）2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+r r r r r r………………………4分由题意得：周期24T πω==，故2πω=……………………6分（2）∵图象过点1(1,)2M ，1cos(2)22πϕ∴-+=即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=，则()cos()26f x x ππ=-+． ……………………10分 当11x -≤≤时，23263x ππππ-≤+≤1cos()1226x ππ∴-≤+≤ ∴当13x =-时，min ()1f x =-，当1x =时，max 1()2f x =． ……………………14分16．证：（1）Q A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且8BC = //AD BC ∴且4AD =3,AB SA ==Q 5CD SD ==222SA AD SD ∴+=90SAD ∴∠=︒即SA AD ⊥BC SB ∴⊥ ……………………3分PA BC ⊥Q ，PA SB A =I ，PA 、SB ⊂平面PSB BC ∴⊥平面PSBBC ⊂Q 平面ABCD ∴平面PSB ⊥平面ABCD ……………………7分（2）//AD BC Q ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD//BC ∴平面PAD ……………………10分BC ⊂Q 平面PBC ，平面PAD I 平面PBC l =//l BC ∴ ……………………14分17．解：（1）设日销量为x k e ，则401000ke=401000k e ∴=．则日售量为401000x e e ∴日利润401000(30)xe y x m e =--⋅．即 401000(30)xe x m y e --=，其中3540x ≤≤． ………………3分 令'0y =得31x m =+．① 当34m ≤<时，343135m ≤+< ∴当3540x ≤≤时，'0y ≤．∴当35x =时，y 取最大值，最大值为51000(5)m e -． ………………5分② 当46m ≤≤时，353137m ≤+≤，函数y 在[35,31]m +上单调递增，在[31,40]m +上单调递减． ∴当31x m =+时，y 取最大值91000m e -． ………………7分 ∴当34m ≤<时，35x =时，日利润最大值为51000(5)m e -元当46m ≤≤时，31x m =+时，日利润最大值为91000m e -元． ………………8分（2）由题意得：401000(30)1000xe x m e --≥对[35,40]x ∀∈恒成立 ………………10分则4030xe m x e≤--对[35,40]x ∀∈恒成立设40()30x e h x x e =--，[35,40]x ∈ 404040'()1x xe e e h x e e -∴=-= 则()h x 在[35,40]上单调增，则min 51()(35)5h x h e ==-，即515m e≤- 5.0≈ ∴每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元答：每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元． ………………14分18．解：（1）由题意得：24a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩1b ∴= ∴椭圆方程为：2214x y += ……………………3分设00(,)M x y ，则220014x y +=13AM AB =u u u u r u u u r Q 且A 、B 分别在x 轴、y 轴上 003(,0),(0,3)2A xB y ∴222220000999()944x AB x y y ∴=+=+= 3AB ∴=为定值 ……………………7分（2）方法（一）设11(,)P x y //AB PQ Q 02PQ AB y k k x ∴==-，220044x y += 则直线PQ 的方程为：02y y x x =-…………………9分∵0022214y y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 22012200220122004161616x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪+⎩2222002222000041664441616x y PQ OP x y x y +∴==⋅=++ 点M 到直线00:20PQ y x x y +=的距离：0000002200|3|24x y d y x ==+ ………12分 22220000002222220000003||(44)12212122216441616四边形MPQMPNQ x y x y y y S S PQ d x y y y x y ∆-∴==⨯⋅=⋅==+-++4200201231y y y -+=+，令231,1t y t =+≥，则242002011()14133(5)3199t t y y t y t t ---+-+==-+-≤+ 当且仅当2t =时，取等号；即20312y +=时，max ()4四边形MPNQ S =，此时220018,33y x ==2MN k ∴=±………16分 方法（二）设直线MN 的斜率为k ，则003232PQ AB y k k k x -===-，则直线MN 方程为y kx =， 直线PQ 方程为2y kx =-， …………………9分解方程组22,1,4y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 214M x k =±+，用2k -代k 得，2116P x k =±+，由椭圆的对称性知222002221||M MN OM x y k x ==+=+， 点P 到直线MN 的距离222|||(2)|3||111kx y kx kx kx d kkk---===+++， ………12分由椭圆的对称性知，四边形MPNQ 的面积1226||||2PMN M P S S MN d x kx ∆==⋅⋅=⋅＝ 2222222224,114116(14)(116)1642026420k kk k k k kk k==≤=+⋅+++++⨯+当且仅当22164k k=，即2k =±时取等号， 所以，四边形MPNQ 的面积的最大值为4，此时直线MN 的斜率24k =±． ………16分 19．解：（1）34327k a b ===，即2127k -=，14k =，14196A =． ………3分（2）依题意，224k A k =，且121m q k -=-，显然1q >． 又222211[(21)1]11m mq B k q q q -==----， 所以222221[(21)1]41m k B A k q k q -=---- 22221[(21)4(41)]1k q k q k q =--+--， ………6分 设2222()(21)4(41)f x k x k x k =--+-，2(1)(21)10f k =--> 它是关于x 的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程22412(21)k x k =<-，故()f x 是(1,)+∞上的增函数，所以当1x >时()(1)0f x f >>，即220m k B A ->，所以22k m A B <． ………9分 （3）依题意：112m k m a b a -==⋅， 由86k m A B =得：118621k ma a a qa k q+-⨯=⨯-， 即111112286212m m a a a a k --+⋅⨯=⨯-， 4862128622486486m k k k⨯+⨯==-⨯-⨯-， ………12分所以151634421m k --=+，因为92512=，故19m -≤，且51641294343=⨯=⨯⨯，且121m -+为奇数 则其中121129m -+=时，151621m -+是整数，故17m -=，8m =且340k =． ………16分 20．解：（1）2211'()a ax f x x x x-=-+=， 0a ≤时，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间(0,)+∞，0a >时，令10ax -<则1x a <，即10x a<<时，'()0f x <，则()f x 的单调递减区间1(0,)a ． ………3分 （2）①12a ≤，()f x 在[1,2]上单调递减，min 1()(2)ln 202f x f a ∴==+=，解得：112ln 22a =-≤，适合题意；②1a ≥，()f x 在[1,2]上单调递增，min ()(1)10f x f ∴==≠，无解；③112a <<，()f x 在1[1,]a 上单调递减，1[,2]a 上单调递增，min 11()()ln 0f x f a a a a∴==+=，解得：a e =，舍去；综上可得：12ln 2a =-． ………8分 （3）0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线．设切点坐标是00(,())x f x ，依题意：00200()210f x ax x x --=- 即00011ln 2a x a x x +-=-，化简得：002ln 20a x a x +--= 设2()ln 2F x a x a x=+--，0x > 故函数()F x 在(0,)+∞上零点个数，即是曲线切线的条数． ………10分2222'()a ax F x x x x -=-+=①当0a =时，2()2F x x=-，在(0,)+∞上恰有一个零点1； ………11分③ 当0a <时，22'()0ax F x x -=<在(0,)+∞上恒成立， ()F x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F a =->，2()20F e e=-< 故()F x 在(1,)e 上有且只有一个零点，当0a <时，()F x 在(0,)+∞上恰有一个零点； ………12分③0a >时，()F x 在2(0,)a 上递减，在2(,)a+∞上递增， 故()F x 在(0,)+∞上至多有两个零点，且(1)220F a a =--=-< 又函数ln y x =在(1,)+∞单调递增，且值域是(0,)+∞， 故对任意实数a ，必存在0(1,)x ∈+∞，使02ln a x a+>，此时 00000222()ln 2(ln )0a F x a x a a x x x a+=+--=+-> 由于21a a+>， 即函数()F x 在0(1,)x 上必有一零点； ………14分111(1)1121()2(1)22(23)a a a aaa F eea a a e a a a-++++++=-++--=-++先证明当0a >时，112(2)a aea ++≥+，即证112ln(2)a a a++≥+ 若(0,2)a ∈，113a a++≥，而2ln(2)2ln 4a +≤，由于2ln 4ln163=< 若[2,)a ∈+∞，构建函数1()12ln(2)x x x xϕ=++-+，32222122(1)2'()102(2)(2)x x x x x x x x x x x ϕ----=--==>+++ ()x ϕ在[2,)+∞为增函数，1()(2)32ln 402a ϕϕ≥=+->综上0a >时，112(2)a aea ++≥+，所以11222222(2)23(25)23a aea a a a a a a ++≥+=+++++>++，故1(1)()0a aF e-++>又1(1)(1)0,1a aF e -++<<，所以在1(1)(,1)a ae-++必有一零点．∴当0a >时，()F x 在(0,)+∞上有两个零点∴综上：0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线． ………16分数 学 试 题Ⅱ参考答案21（B ）．解：因为2113111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则2313a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得12a b =⎧⎨=⎩所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ …5分 由212()(1)4021f λλλλ--==--=--，所以(1)(3)0λλ+-= 211,3λλ=-= 1λ=-所以另一个特征值是． ………………………………10分 21（C ）．解：直线l 的参数方程为12x ty a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）所以直线的直角坐标系方程是：220x y a +--= ………………………………2分圆的直角坐标系方程是：2224x y -+=（），圆心（2，0），半径2r =……………………4分设圆心到直线的距离为d ，221142d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以52d = ……………………………7分 又4225255a a d ---===所以9122a =-或 ………………………………10分 22．解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A ，则213124()()339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ……3分（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则224222666(0)225C C P X C C === 112112422244226656(1)225C C C C C C P X C C +===11112222424244222266101(2)225C C C C C C C C P X C C ++===211211242442226656(3)225C C C C C C P X C C +=== 222422666(4)225C C P X C C === ……………8分()2342225225225225E X ∴=+⨯+⨯+⨯= 答：数学期望为2 …………………………10分 23．解：（1）00110()(1)nk k n nn n n n n n k f x C x C x C x C x x ===+++=+∑L …………………………1分456456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++()g x 中4x 项的系数为4444562356C C C ++=； …………………………3分（2） 012111111231232323n m m m m m m m m n m m m m nC C C nC C C C nC -++++++++++++++++=++++L L设12()(1)2(1)(1)m m m nh x x x n x +++=++++++L ①则函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++L ……5分由错位相减法得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+L ② 11(1)1(1)()(1)1(1)m nm n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦-=-+-+2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x n x +++++=+-+++，()h x 中含1m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+ …………………………7分3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+所以012121231(2)123[]3n m m m m m nm n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L………………10分。