数列复习讲义

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数列复习讲义

等差数列、等比数列（一）主要知识：()1定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；()2中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列； ()3通项公式法：n a kn b =+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；()4前n 项求和法：2n S pn qn =+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；2.等比数列的判定方法:()1{}n a 是等比数列1n na q a +⇔=（q 为非零常数）； ()2{}n a 是等比数列n n a cq ⇔=（0,0c q ≠≠）()3{}n a 是等比数列212n n n a a a ++⇔=⋅ ()4{}n a 是等比数列n n S kq k ⇔=-（11a k q =-，0k ≠，1q ≠）（二）典例分析问题1．()1等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知1030a =，2050a =， ①求通项n a ；② 若242n S =，求n()2已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式； ()3在等比数列{}n a 中，318a a -=，64216a a -=，40n S =，求公比q 、1a 及n问题2．()1在等差数列}{n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，则3a = .A 4.B 5 .C 6.D 7()2设等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若28515a a a +=-，则9S = .A 60.B 45 .C 36.D 18()3已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,n N ∈*,354657281a a a a a a ++=，则46a a +=()4在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a =.A 81 .B .C .D 243()5在83和272之间插入三个数，使五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积是（三）等差数列综合题1.设等差数列}{n a 的首项1a 及公差d 都是整数,前n 项和为n S ,(Ⅰ)若110a =，1498S =,求数列的通项公式；(Ⅱ)若1a ≥6，110a >，14S ≤77，,求所有可能的数列}{n a 的通项公式.2.已知函数()31xf x x =+，数列{}n a 满足11a =，()1()*n n a f a n N +=∈ ()1求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；()2记()212nn n x x x S x a a a =++⋅⋅⋅+，求()n S x .3.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，（*n N ∈）．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：231log (3)n n T a ->+（*n N ∈）．（四）等比数列综合题1.已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足21056n n n S a a =++且1a ，3a ，15a 成等比数列，求数列{}n a 的通项n a ．2.设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a N ∈*．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．3.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（Ⅰ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列数列求和（一）主要方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩2.错位相消法：给n n a a a S +++=...21各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n 项和n S .一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。

数列知识点大纲总结

数列知识点大纲总结一、数列的概念和分类1. 数列的概念- 数列是由一系列有规律的数按照一定的顺序排列而成的数集合。

数列中每一个数称为该数列的项。

2. 数列的分类- 按照数列的性质和规律，数列可以分为等差数列、等比数列、等差数列、递归数列等。

- 等差数列：数列中相邻两个项的差都相等的数列，这个差值称为公差。

- 等比数列：数列中相邻两个项的比值都相等的数列，这个比值称为公比。

- 等差-等比数列：数列中相邻两个项的差的绝对值保持不变且相邻两项的比值保持不变的数列。

- 递归数列：数列中的每一项都是前面若干项的某种函数所确定的。

二、等差数列的性质和常用公式1. 等差数列的性质- 等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an为数列的第n项，a1为数列的首项，d 为数列的公差。

- 等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2 = n * (a1 + an) / 2，其中Sn为数列的前n项和。

2. 等差数列的常用公式- 求和公式：Sn = (2a1 + (n-1)d) * n / 2- 第n项公式：an = a1 + (n-1)d- 公差公式：d = (an - a1) / (n-1)三、等比数列的性质和常用公式1. 等比数列的性质- 等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中an为数列的第n项，a1为数列的首项，q为数列的公比。

- 等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn为数列的前n项和。

2. 等比数列的常用公式- 求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)- 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)- 公比公式：q = an / a(n-1)四、递推数列的性质和常用公式1. 递推数列的性质- 递推数列是指数列的每一项都是由其前面若干项通过递推公式所确定的数列。

2. 递推数列的常用公式- 递推数列的通项公式：an = f(an-1, an-2, ..., an-k)，其中f为递推函数，k为递推的项数。

数学专题讲义---数列(完整资料)

一．等差、等比数列的基本理论⑴等差、等比数列：⑵判定一个数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数).⑶判定一个数列是不是等比数列有以下三种方法：①1(2,)n n a a q n q -=≥为非零常数②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) ③n n cq a =(q c ,为非零常数).⑷数列{n a }的前n 项和n S 与其通项n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn例1. 在等差数列{}n a 中，972S =。

求249?a a a ++=解：法一：因为9119(91)9936722S a d a d -=+=+=所以148a d +=249113123(4)3824a a a a d a d ∴++=+=+=⨯=法二：因为91289...72S a a a a =++++=而19285...2a a a a a +=+==所以 5972a = 58a ∴=249533824a a a a ∴++==⨯=例2. 在等比数列{}n a 中，11a =，634S S =。

求4?a =解：因为634S S =所以公比1q ≠（事实上，若1q =，则6166S a ==，3133S a ==此时显然不满足题设条件634S S =）于是有 6311(1)(1)411a q a q q q--=-- 6314(1)q q ⇒-=- 又6331(1)(1)q q q -=+-314q ∴+= 33q ∴=341133a a q ∴==⨯=例3. 在等差数列{}n a 中，535a a =。

求95?S S = 解：法一：19551513319(91)999(4)992595(51)5(2)55552a d S a a a d S a d a a a d -++====⋅=⋅=-++ 法二：因为95539,5S a S a == 所以95553399959555S a a S a a ==⋅=⋅= 例4. 设数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=， n *∈N 。

超全数列基本知识点复习讲义

等差数列一、数列定义：有序的一列数表示方法：1）最常见的枚举法：1,2,3,4,5,6……2）★★★通项公式：()n a f n =，理解：数列是一种特殊的函数，特殊在定义域上，定义域n 是从1开始的自然数，所以说，数列又可以从函数解析式的角度来分析数列特征3）递推关系：1()n n a f a +=，理解：递推公式是最直观的，比如说等差数列就是后一项和前一项的差相等，但是递推公式不利于分析数列的性质，比如想知道第100项是多少，就需要由递推公式去推出通项公式4）求和公式：n S ，理解：n S 和n a 的关系11(2)(1)n n S S n S n --≥⎧⎨=⎩（记⑤）★★★难点：递推公式⇒通项公式通项公式⇔求和公式 ☆☆☆一般考察思路：/n n a S ⇒递推公式⇒通项公式n S ⇒⇒不等式（中间截取一段或者几段）二、等差数列1. 递推公式：1n n a a d +=+（d 可以是0） ()n m a a n m d =+-2. 通项公式：1(1)()na a n d f n =+-=（可以把这个式子看成一个关于n 的一次函数（记①））1(dn a d =+-）（一次项系数为d （记②），这个式子递增递减的变化取决于公差d （记③））3. 求和公式： 1()2n n a a nS +=（把n a 的式子代入）1(1)2n n na d -=+ （更常用） 21=()22d d n a n +-（可看成二次函数，无常数项。

二次项系数为2d，决定开口方向。

（记④）⇒从函数的角度看一个数列的n S 有没有最大值和最小值是由d 的正负决定的）考点1：由数列函数性质速算通项公式和求和公式例题1.已知一个等差数列{}n a ，25a =，57a =，求通项公式解析：1）通常解法：求通项公式，求1a 求d52233a a d -== ，1133a =，1132211(1)(1)=3333n a a n d n n =+-=+-⋅+ 2）口算解法：把n a 看成一个函数1(n a dn a d =+-）（由②，只需要记住一次项系数为d ）所以23n a n =+一个数，然后代入2a ，解得那个数是113例题2．1）已知数列{}n a 的通项公式是25n a n =+，求n S解析：由①知，通项公式为关于n 的一次函数，则n a 是等差数列常规解法：21221(1)7,9,2,7262n n n a a d a a S n n n -===-==+⋅=+ 口算解法：（函数的角度）由②，知道2d =，由④知，22n d S n =+一个数n ⨯2=n +一个数n ⨯想求得这个数只需要代入一个n S 即可，21171S a ===+一个数1⨯，可知，这个数为6所以26nS n n =+2）已知数列{}n a 的前n 项和为23nS n n =-，求{}n a 的通项公式解析：由④，n S 是没有常数项的二次函数，所以{}n a 是等差数列由口算解法，可知6na n =+一个数，由112S a ==，64n a n =-3）已知数列的前n 项和为232nS n n =--，求{}n a 的通项公式解析：由④，n S 是没有常数项的二次函数，所以{}n a 是等差数列由⑤，2n ≥，221=(32)(3(1)(1)2)64nn S S n n n n n ---------=-1n =，110S a ==（思考：其实，在2n ≥部分，上一题中的2213(3(1)(1))n n n a S S n n n n -=-=-----这一题中的22132(3(1)(1)2)n n n a S S n n n n -=-=-------恰好常数项约掉了，所以即使这题中的n S 不是等差数列的n S ，在2n ≥部分也可按上题的方法求得）例题3. 已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，且2331n n A n B n +=-，则?n na b = 解析：由④，n A 和n B 的前n 项和应该是无常数项的二次函数，所以，可以这样理解22233n n A n nB n n+=-，因为要求的n na b ，要的是比值，与,n n a b 分别是多少没有关系，所以令2223,3n n A n n B n n =+=-，那么由例题2（2）可以口算求得41,64n n a n b n =+=-考点2：判断数列增减性例题4.（2013辽宁理4文4）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题1:p 数列{}n a 是递增数列 2:p 数列{}n na 是递增数列3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 4:p 数列{}3n a nd +是递增数列上述命题中真命题的个数是几个？解析：★★判断数列增加性的方法：1.从通项公式，函数的角度分析，增函数，即为递增数列，减函数，即为递减数列2.从递推公式的角度分析，10n na a +->，即为增函数，反之，减函数1p ，由③，0d >函数是个增函数，正确2p ，1(1)n n b na na n n d ==+-，111(1)(1)(1)n n b n a n a n nd ++=+=+++11+2n n b b a nd +-=，由于0d >，所以增减性取决于1a ，因此不能确定 3p ，解答思路同2p ，增减性也取决于1a ，因此不能确定4p ，11(1)3(41)n b a n d nd a n d =+-+=+-，11(4(1)1)n b a n d +=++-1(4(1)1(41))40n n b b n n d d +-=+---=> 递增数列，正确考点3：数列的最值问题例题5.（2012年浙江理7）设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误的是？ A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意的n N ∈*，均有0n S >D ．若对任意的n N ∈*，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列解析：★★思路1：从函数的角度分析数列的增加性和最值A.数列{}n S ，把12,S S ……看成数列的每一项，可以把n S 看成一个函数，数列{}n S 有最大项，即函数n S 有最大值，由④，n S 是一个二次函数，二次项系数为2d，所以，0d <，开口向下，有最大值，正确 B ．同理A ，有最大项，即开口向下，正确C ．n S 为递增数列，即函数n S 在1n ≥上是增函数，所以开口向上。

数列综合讲义十三种题型归纳梳理

数列综合讲义第1讲累加法、累乘法、差商法求通项题型1 累加法1．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若1111(2)3(2,*)n n n n n a a a a a n n N -+-++=∈，则数列{}n a 的通项n a = ．【解析】111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N +-+-++=∈，∴1111112()n n n n a a a a +--=-，2111312a a -=-= ∴数列111{}n n a a +-是等比数列，首项与公比都为2，∴1112n n na a +-= 2n ∴时，1212122212121n n n n n a ---=++⋯⋯++==--，则数列{}n a 的通项121n n a =-∴则数列{}n a 的通项121n n a =- 2．若数列{}n a 满足11a =，且对于任意*n N ∈都有11n n a a n +=++，则1220172018201911111a a a a a ++⋯+++= ．【解析】由11n n a a n +=++，得11n n a a n +-=+，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋯+-+(1)(1)(2)212n n n n n +=+-+-+⋯++=∴12112()(1)1n a n n n n ==-++ 则1220172018201911111111111120192(1)22334201920201010a a a a a ++⋯+++=-+-+-+⋯+-= 3．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，且*111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N -+-++=∈（1）证明：数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列（2）求数列1{2n n a a +}n 的前n 项和【解析】（1）证明：当2n 且*n N ∈时，在111123n n n n n n a a a a a a -+-++=两边同除以11n n n a a a -+，得11123n n n a a a +-+=，1111112()n n n n a a a a +--=-，1111211n nn n a a a a +--=-为常数，且21112a a -= 所以数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）设数列{}12nn n a a +的前n 项和为n S由（1）知1112n n n a a +-=，1111112221n n n n a a a ++-=-=⋯=-=-，∴11121n n a ++=-，11121n n a ++=- 又由1112n n n a a +-=，112n n n n n a a a a ++=-，所以122311111()()()121n n n n n S a a a a a a a a +++=-+-+⋯+-=-=-- 题型2 累乘法1．已知数列{}n a 满足11a =，且1(1)n n na n a +=+，则(n a = ) A ．1n + B ．n C ．1n -D ．2n -【解析】数列{}n a 满足11a =，且1(1)n n na n a +=+，可得11321111321n n n a a a a a an n n +-===⋯====+- 可得n a n =，选B2．已知数列{}n a 满足1(2)(1)n n n a n a ++=+，且213a =，则(n a = )A ．11n + B ．121n - C ．121n n -- D ．11n n -+ 【解析】1(2)(1)n n n a n a ++=+，∴112n n a n a n ++=+，∴3234a a =，4345a a =，11n n a n a n -⋯=+ 以上各式两边分别相乘得1(2)1n a n n =+，由1n =时也适合上式，所以11n a n =+，选A 3．已知数列{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，若数列{}n b 满足12n n n b b +=+，且12b =，则式子312123n nb b b b a a a a +++⋯+的值是( ) A ．122n n +- B ．(1)22n n -+ C ．(1)22n n +- D ．1(1)22n n +-+【解析】根据题意，数列{}n a 满足2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，变形可得11[(1)]()0n n n n n a na a a +++-+= 又由数列{}n a 是首项为1的正项数列，则有1(1)0n n n a na ++-=，变形可得：11n n a na n +=+ 则有11n n a n a n --=，则有1211211211112n n n n n a a a n n a a a a a n n n -----=⨯⨯⋯⋯+⨯=⨯⨯⋯⋯⨯⨯=-，故1n a n= 数列{}n b 满足12n n n b b +=+，即12n n n b b +-=，则有112n n n b b ---=则有12112211()()()22222n n n n n n n n b b b b b b b b -----=-+-+⋯⋯+-+=++⋯⋯++=，故2n n b = 则2n n n b n a =⨯，设312123n n nbb b b S a a a a =+++⋯+，则212222n n S n =⨯+⨯+⋯⋯⨯，① 则有231212222n n S n +=⨯+⨯+⋯⋯⨯，②-②可得：231112(21)2(222)22(1)2221nn n n n nS n n n +++--=+++⋯⋯-⨯=-⨯=---变形可得：1(1)22n n S n +=-+，选D4．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，2，3，)⋯，则4a = 14，n a = ．【解析】2211(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，2，3，)⋯，11[(1)]()0n n n n n a na a a ++∴+-+= 又0n a >，1(1)n n n a na +∴+=，11a =，111n na a ∴=⨯=，1n a n ∴=，414a =，故答案为：14；1n5．已知数列{}n a 满足123a =，12n n na a n +=+，求通项公式n a ．【解析】12n n n a a n +=+，∴12n n a n a n +=+ 1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----∴=⋯12321211433n n n n n n ---=⋯⨯+-43(1)n n =+，43(1)n a n n ∴=+．6．已知数列{}n a 满足13a =，131(1)32n n n a a n n +-=+，求n a 的通项公式．【解析】数列{}n a 满足13a =，131(1)32n n n a a n n +-=+，∴134(2)31n n a n n a n --=-， 13211221n n n n n a a a aa a a a a a ---∴=⋯3437523313485n n n n --=⋯--631n =-，当1n =时也成立，631n a n ∴=-题型3 差商法1．已知数列{}n a 中，11a =，对所有*n N ∈，都有212n a a a n ⋯=，则3(a = ) A ．32B ．3C ．9D ．94【解析】因为数列{}n a 中，11a =，对所有*n N ∈，都有212n a a a n ⋯=，所以3n =时，21233a a a =，2n =时，2122a a =，所以394a =．选D ． 2．已知数列满足11222()2n n na a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求证221n S n n +-．【解析】()1I n =时，112a =，112222n n n a a a -++⋯+=，2n ∴时，21211222n n n a a a ---++⋯+=两式相减可得，1122n n a -=，∴12n n a = ()II 解：2n n nnb n a ==，∴231222322n n S n =+++⋯+，231212222n n S n +=++⋯+ 两式相减可得，23112(12)22222212n nn n n S n n ++--=+++⋯+-=--∴1(1)22n n S n +=-+()III 证明：由()II 可知，12(1)2(1)(11)n n n S n n +-=-=-+0110112111111(1)()(1)()(1)(3)23n n n n n n n n n C C C n C C C n n n n ++++++++=-++⋯+-++=-+=+-∴2223n S n n ---，∴221n S n n +-3．已知数列n a 满足21*123222()2n n na a a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n n nb a =求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】（Ⅰ）1n =时，112a =，21123222..2n n n a a a a -+++⋯+=⋯（1） 2n ∴时，22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=⋯．（2）（1）-（2）得1122n n a -=即12n n a =，又112a =也适合上式，∴12n n a = （Ⅱ）2n n b n =，∴231222322n n S n =+++⋯+（3），23121222(1)22n n n S n n +=++⋯+-+（4）（3）-（4）可得231121212122nn n S n +-=+++⋯+-1112(12)222212n n n n n n +++-=-=---∴1(1)22n n S n +=-+4．已知数列{}n a 满足112324296n n a a a a n -+++⋯+=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2||(3log )3n n a b n =-，探求使123111116n m b b b b -+++⋯+>恒成立的m 的最大整数值．【解析】（1）当1n =时，1963a =-=，当2n 时，112324296n n a a a a n -+++⋯+=-，① 2123124296(1)n n a a a a n --+++⋯+=--，②①-②得，126n n a -=-，232n n a -∴=-；23,13,22n n n a n -=⎧⎪∴=⎨-⎪⎩，（2）．2||(3log )3n n a b n =-，1231(3log )33b ∴=-=，1113b =；2n 时，2||(3log )3n n a b n =-223||2(3log )(3(2))3n n n n --=-=--(1)n n =+；1111n b n n =-+； ∴123111116n m b b b b -+++⋯+>可化为：11111111()()()3233416m n n -+-+-+⋯+->+；即11112316m n -+->+恒成立，即511616m n -->+恒成立，故1136m ->成立，故m 的最大整数值为2．5．已知数列{}n a 满足1231(1)(41)23(1)6n n n n n a a a n a na -+-+++⋯+-+=．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）若111nn i i i T a a =+=∑，则求出2020T 的值；（Ⅲ）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，设1n n c b λ+=，若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围【解析】（Ⅰ）由题意，数列{}n na 的前n 项和(1)(41)6n n n n S +-=．当1n =时，有1111a S ⋅==，所以11a =．当2n 时，1(1)(41)(1)(45)66n n n n n n n n n na S S -+---=-=-22[(1)(41)(1)(45)][(431)(495)](21)66n nn n n n n n n n n n =+----=+---+=-．所以，当2n 时，21n a n =-；又11a =符合，2n 时n a 与n 的关系式，所以21n a n =-，所以2a 的值为3．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n a n =-．可令11111111()(21)(21)22121n n n n n c a a a a n n n n ++===-⋅-+-+因为111nn i i i T a a =+=∑所以12233411111n n n T a a a a a a a a +=+++⋯+11111111[(1)()()()]2335572121n n =-+-+-+⋯+--+11(1)22121n n n =-=++ 所以2020T 的值为20204041．（Ⅲ）由111b a ==，359b a ==得29q =．又1q >，所以3q = 所以1113n n n b b q --==，123n n n n c b λλ+==-⋅因为{}n c 是递减数列，所以1n n c c +<，即112323n n n n λλ++-⋅<-⋅．化简得232n n λ⋅> 所以*n N ∀∈，12()23nλ>⋅恒成立又12()23n ⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭是递减数列，所以12()23n ⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的最大值为第一项1121()233a =⨯=所以13λ>，即实数λ的取值范围是1(,)3+∞6．已知数列{}n a 满足12a =，1121222(*)n n n n a a a na n N -+++⋯+=∈ （Ⅰ）求{}n a （Ⅱ）求证：1223111132(*)61112n n a a a n n n N a a a +----<++⋯+<∈--- 【解析】（Ⅰ）由1121222n n n n a a a na -+++⋯+=可得3121212222n n n na a na a a +-+++⋯+= 所以当2n 时，3121211(1)2222n n n n a a n a a a ----+++⋯+= 因此，有111(1)(2)222n n nn n n a na n a n ----=-，即122(1)n n n a na n a +=--，整理得12(2)n n a a n +=，又12a =，212a a = 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求得2n n a =（Ⅱ）记1111212112121212n nn nn n n a b a +++---==<=---，故122311111111112222n n a a a na a a +---++⋯+<++⋯+=---，又112111212111111122121212222422232n nn nn n n n nn a b a ++++----====-=------⨯-⨯，所以1223111(1)1111111326211112233223612n n nn a a a n n n n a a a +-----++⋯+-=-+⨯>-=----．综上可得：122311113261112n n a a a n n a a a +----<++⋯+<---． 7．已知数列{}n a 满足11121(22)2(*)n n n a a a n N n -+++⋯+=∈．（1）求1a ，2a 和{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S 对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）由题意得1112222n n n a a a n -+++⋯+=，所以：21124a =⨯=，312222a a +=⨯．解得：26a =．由1112222n n n a a a n -+++⋯+=，所以212122(1)2(2)n n n a a a n n --++⋯+=-，相减得1122(1)2n n n n a n n -+=--，得22n a n =+，1n =也满足上式．所以{}n a 的通项公式为22n a n =+．（2）数列{}n a kn -的通项公式为：22(2)2n a kn n kn k n -=+-=-+说以：该数列是以4k -为首项，公差为2k -的等差数列，若4n S S 对任意的正整数n 恒成立，等价于当4n =时，n S 取得最大值，所以4524(2)2025(2)20a k k a k k -=-+⎧⎨-=-+⎩解得12552k ．所以实数k 的取值范围是125[,]52．8．（1）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -+++⋯+=，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =，求数列{}n a 的通项公式．【解析】（1）由211233333n n n a a a a -+++⋯+=①，得113a =，且22123113333n n n a a a a ---+++⋯+=②①-②得：1133n n a -=，∴1(2)3n n a n =，验证1n =时上式成立，∴13n n a =（2）设等比数列{}n a 的公比为q由12231a a +=，23269a a a =，且0n a >，得1122342319a a q a a +=⎧⎨=⎩，∴134(23)13a q a a +=⎧⎨=⎩，解得：113a q ==，∴13n n a = 第2讲已知n S 求n a1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n n a =B ．3122n n n a n =⎧=⎨⎩C ．12n n a -=D ．12n n a +=【解析】由2log (1)1n S n +=+，得112n n S ++=，当1n =时，113a S == 当2n 时，12n n n n a S S -=-=，所以数列{}n a 的通项公式为3,12,2n n n a n =⎧=⎨⎩，选B2．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =-，1n n a S +=，那么5(a = ) A ．4- B ．8- C ．16- D ．32-【解析】2n 时，1n n a S +=，1n n a S -=，可得：1n n n a a a +-=，化为12n n a a +=，1n =时，212a a ==-∴数列{}n a 从第二项起为等比数列，公比为2，首项为2-，那么352216a =-⨯=-，选C3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N +=∈，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．*2()n a n n N =∈B ．*2()n n a n N =∈C ．*2()n a n n N =+∈D ．2*()n a n n N =∈【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N +=∈∴当2n =时，22121(21)22a S a a a +==+⇒=，把1n =代入检验，只有答案A B 成立，排除CD 当3n =时，331233(31)62a S a a a a +==++⇒=；排除B ，选A 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式(n a = ) A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +【解析】14121n n S a n +-=-，1(21)41n n n a S +∴-=-①，1(23)41(2)n n n a S n -∴-=-② ①-②得：1(21)(23)4(2)n n n n a n a a n +---=，整理得：121(2)21n n a n n a n ++=- 1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----∴=⋯21232553123252731n n n n n n ---=⋯---21(2)n n =-，11a =，符合上式21n a n ∴=-，选C5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，2121(*)n n a S n n N +=++∈，若对任意的*n N ∈，123111120nn a n a n a n a λ+++⋯+-++++恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．(-∞，2] B ．(-∞，1] C ．1(,]4-∞ D ．1(,]2-∞【解析】22a =，2121(*)n n a S n n N +=++∈，2n ∴时，22112()121n n n n n a a S S a +--=-+=+化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0na >，11n n a a +∴=+，即11n n a a +-= 1n =时，212224a a +==，解得11a =，∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1 11n a n n ∴=+-=，∴123111111111222n n n a n a n a n a n n n nn +++⋯+=++⋯⋯+=+++++++ 对任意的*n N ∈，123111120n n a n a n a n a λ+++⋯+-++++恒成立，122λ∴，解得14λ ∴实数λ的取值范围为(-∞，1]4，选C6．已知数列{}n a 满足：12a =，21(1)0(*)n n n a S S n N ++-=∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意的n 均有12(1)(1)(1)n S S S n ++⋯+恒成立，则的最大整数值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】当1n 时，由条件21(1)0(*)n n n a S S n N ++-=∈可得21(1)n n n nS S S S +--=-，整理得221(21)n n n n n S S S S S +-=--+，化简得：121n n n S S S +=-从而111n n n S S S +--=-，故111111n n S S +-=-- 由于：1111S =-，所以：数列1{}1n S -是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列，则：11n n S =-，整理得：1n n S n+=，依题只须12(1)(1)(1)()n min S S S n++⋯+12(1)(1)(1)()n S S S f n n ++⋯+=，则12(1)(1)(23)1()1(1)n n S f n n n f n n n ++++==>++，故11()(1)31ninS f n f +=== 3max∴=，选B7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22(*)n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a = n ．设211(1)nn n n n a b a a ++=-，则数列{}n b 的前n 项和n T =（）．【解析】22(*)n S n n n N =+∈，212(1)1(2,*)n S n n n n N -∴=-+-∈，两式相减得：22n a n =，即(2)n a n n =又212112a =+=，11a ∴=，也符合上式，n a n ∴=，又2112111(1)(1)(1)()(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++=-=-=-+++1111111(1)()()(1)()223341n n T n n ∴=-+++-+-⋯+-++121,,1111,,11n n n n n n n n n n +⎧⎧---⎪⎪⎪⎪++==⎨⎨⎪⎪-+-⎪⎪++⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数8．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a =（）．【解析】当2n 时，12n n S a -=①，12n n S a +=②②-①得12n n n a a a +=-，即13n n a a +=，故数列{}n a 从第二项起为等比数列，又22a =，则223n n a -=⨯ 当1n =时，11a =，故2*1,123,2,n n n a n n N -=⎧=⎨⨯∈⎩9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n nS S S n ++⋯+=+，则数列{}n a 的通项公式n a = 【解析】数列{}n a 的的前n 项和为n S ，且1211121n nS S S n ++⋯+=+① 当2n 时，12111122n n S S S n--++⋯+=② ①-②得122221(1)n n n S n n n n -=-=++，所以(1)2n n n S += 故1(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-=-=-=（首项1符合通项），故n a n =10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231122n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式n a =（）．【解析】231122n S n n =++，可得113a S ==当2n 时，22131311(1)(1)1312222n n n a S S n n n n n -=-=++-----=-则数列{}n a 的通项公式3,131,2n n a n n =⎧=⎨-⎩，故答案为：3,131,2n n n =⎧⎨-⎩ 11．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则n a =（）【解析】各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S对任意*n N ∈，总有n a ，n S ，2n a 成等差数列，22n n n S a a ∴=+，21112n n n S a a ---=+两式相减，得22112n n n n n a a a a a --=+--，111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+- 又n a ，1n a -为正数，11n n a a -∴-=，2n ，{}n a ∴是公差为1的等差数列当1n =时，21112S a a =+，得11a =，或10a =（舍)，n a n ∴=．第3讲构造辅助数列求通项1．已知数列{}n a 满112,413n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式为（）．【解析】知数列{}n a 满112,413n n a a a +==+，则设14()n n a p a p ++=+，整理得13p =，所以113413n n a a ++=+（常数），则数列1{}3n a +是以1113a +=为首项，4为公比的等比数列．所以11143n n a -+=，整理得1143n n a -=-（首项符合通项）．故数列的通项公式：1143n n a -=-．2．已知数列{}n a 的首项12a =，1122n n n a a ++=+，则{}n a 的通项n a =（）．【解析】由1122n n n a a ++=+两边同除以12n +可得，11122n n n n a a ++=+，即11122n nn na a ++-=，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭以1为首项，1为公差的等差数列所以2n n a n =，所以2n n a n =． 3．数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为（）．变式：已知数列{}n a 中12a =，312n n a a +=，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为（）．【解析】由11)(2)1)2n n n a a a +=+=+，得11)(n n a a +=，120a =，∴数列{n a -构成以21为公比的等比数列，则11)(21)1)nn n a --=，则1)n n a =故答案为：1)n n a = 变式：由12a =，312n n a a +=，可知0n a >，两边取对数，得132n n lga lga lg +=+，∴11123(2)22n n lga lg lga lg ++=+， 11322022lga lg lg +=≠，∴数列1{2}2n lga lg +构成以322lg 为首项，以3为公比的等比数列，则11332322222n n n lga lg lg lg -+==，∴31122(31)2222n n n lga lg lg lg =-=-，则1(31)22n n a -=． 4．已知数列{}n a 满足12a =，且*112(2,)1n n n na a n n N a n --=∈+-，则n a = 221nn n - ．【解析】由*112(2,)1n n n na a n n N a n --=∈+-，可得：11122n n n n a a --=+，于是1111(1)2n n n n a a ---=-，又11112a -=-，∴数列{1}n n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列，故112n n n a -=-，*2()21n n n n a n N ∴=∈-． 5．已知数列{}n a 满足1a a =，*121()n n a a n N +=+∈．（1）若数列{}n a 是等差数列，求通项公式n a ；（2）已知2a =，求证数列{1}n a +是等比数列，并求通项公式n a ．【解析】（1）数列{}n a 是等差数列，1a a =，121(*)n n a a n N +=+∈，设数列的公差为d ，则(1)n a a n d =+-． 2((1))1a nd a n d ∴+=+-+，即21nd d a =--对*n N ∈成立，于是0d =． n a a ∴=，且21a a =+，解得1a =-．1n a ∴=-；证明：（2）2a =，121(*)n n a a n N +=+∈，112(1)n n a a +∴+=+．1130a +=≠，∴数列{1}n a +是以3为首项，公比为2的等比数列．∴1132n n a -+=．∴1321n n a -=-．6．已知数列{}n a 满足：132a =，且*113(2,)21n n n na a n n N a n --=∈+-．（1）求1212nna a a ++⋯+的值；（2）求证：*2151()263n n a a a n n N n++⋯++-∈；（3）设*()nn a b n N n=∈，求证：122n b b b ⋯<．【解析】（1）132a =，且*113(2,)21n n n na a n n N a n --=∈+-，∴112113n n n a n a na --+-=，121133n n n n a a --=+⨯．∴1312n n n n a a --=+，113(1)1n n n n a a --∴-=-．故可得{1}n n a -是以13-位首项，以13为公比的等比数列，∴1111()33n n n a --=-，∴11()3n n n a =-．∴1211[1()]1211133()122313n n n n n n a a a -++⋯+=-=-+-．（2）11()3n n n a =-，∴3121131313n n n n n a n ==++--， 1*2121[1()]11115193()()1222336313n n nn a aa n n n n N n--∴++⋯+++=++-=+-∈-．（3）331n n n n a b n ==-，现用数学归纳法证明122n b b b ⋯<313n n-，(2)n ．当2n =时，1239271623191169b b ==<=--919-．假设当n k =(2)k 时，122k b b b ⋯<313k k -，当1n k =+时，1212k k b b b b +⋯<11313331k kk k ++--．要证明 2 11113133123313k k k k k k +++--<-，只需证明1133(k k ++1231)3(31)k k k +-<-，只要证133k +⨯(1231)(31)k k +-<-，222221333231k k k k ++++-<-⨯+，即证213231k k ++>⨯-，即证131k +>-．而131k +>- 显然成立，1n k ∴=+ 时，112113123k k k k b b b b ++-⋯<，综上得1121131223k k k k b b b b ++-⋯<<．又当1n =时，12b <，所以1212k k b b b b +⋯< 第4讲分组求和1．数列1，1，2，3，5，8，13，21，⋯最初是由意大利数学家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某校数学兴趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列{}:1n a ，2，1，6，9，10，17，⋯，设数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）请计算123a a a ++，234a a a ++，345a a a ++．并依此规律求数列{}n a 的第n 项n a =（）．（2）31n S +=（）．（请用关于n 的多项式表示，其中2222(1)(21)123)6n n n n +++++⋯+=【解析】（1）由题意得11a =，22a =，31a =，46a =，59a =，610a =，717a =，计算：1234a a a ++=，2349a a a ++=，34516a a a ++=，⋯ 可归纳得数列{}n a 满足的递推关系式为212(1)n n n a a a n ++++=+，由212(1)n n n a a a n ++++=+，2123(2)n n n a a a n +++++=+，两式相减得323n n a a n +-=+．可得1211,23n n n n a a a n --=⎧=⎨+⎩．（2）由212(1)n n n a a a n ++++=+可得2222212345678932313(11),(41),(71),(31)961n n n a a a a a a a a a a a a n n n --++=+++=+++=+⋯++=-=-+ 312345632313()()()n n n n S a a a a a a a a a --∴=++++++⋯+++，222329(12)6(12)(1)(21)(1)319636222n n n n n n n n n n n n=++⋯+-++⋯+++++=-+=+- 由323n n a a n +-=+得：41213a a -=+，74243a a -=+，107273a a -=+，⋯，31322(32)3n n a a n +--=-+， ∴2311(321)2(1432)323322n n n a a n n n n n +-+-=++⋯+-+=+=+，∴231321n a n n +=++ ∴322323133131933321312222n n n S S a n n n n n n n n ++=+=+-+++=+++． 2．求数列的前n 项和：2111111,4,7,,32,n n a a a -+++⋯+-⋯．【解析】设21111(11)(4)(7)(32)n n S n a a a -=++++++⋯++-将其每一项拆开再重新组合得21111(1)(14732)n n S n a a a-=+++⋯+++++⋯+- 当1a =时，(31)(31)22n n n n n S n -+=+=，当1a ≠时，111(31)(31)12121n n n n n a a n n a S a a-----=+=+-- 3．数列{}n a 中，*1112,,()22n n n a a a a n N n +-=-=∈+，n P 为抛物线24y x =与直线n y a =的交点，过n P 作抛物线的切线交直线1x =-于点n Q ，记n Q 的纵坐标为n b ．（Ⅰ）求n a ，n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．（附2222(1)(21):123)6n n n n +++++⋯+=【解析】（Ⅰ）*1,()2n n n a a n N n +=∈+，由112a =易得0n a ≠，11,(2)1n n a n n a n --=+，1212111232121143(1)n n n n n a a a a n n n a a a a n n n n n ------⨯⨯⋯⨯==⨯⨯⨯⋯⨯⨯=+-+，112a =，故1(2)(1)n a n n n =+，经检验1n =时也符合，故n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+．对24y x =两边取导数，可得2y y'=，0(x ，0)y 处切线斜率为002(0)k y y =≠，切线方程为0000022()2y y x x y x y y =-+=+，与1x =-的交点的纵坐标为0022y y -+，故n b 的通项公式为*212(1)()22(1)n n n a b n n n N a n n =-+=-++∈+．（Ⅱ）2111111112(1)22()2(1)21nn n n n k k k k S k k k k k k k k =====-++=--+-++∑∑∑∑ (1)(21)112(1)(1)621n n n n n n ++=-⨯-++-+(1)(24)32(1)n n n n n ++=-++．4．已知数列{}n a 满足11a =，2*12(1)()n n na n a n n n N +-+=+∈．（1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列：（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解析】（1）由212(1)n n na n a n n +-+=+，两边同除以(1)n n +得1211n n a an n+-⨯=+，∴11222(1)1n n n a a an n n++=⨯+=++．11201a +=≠，∴10n a n +≠，∴11121n na n a n+++=+， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）有12nn a n+=，∴2n n a n n =-，1212(1).12222(123)122222n n n n n S n n n +=⨯+⨯+⋯+-+++⋯+=⨯+⨯+⋯+-．令1212222n n T n =⨯+⨯+⋯+，23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+，∴231112(12)222222(1)2212n nn n n n T n n n +++⨯--=+++⋯+-=-=---，∴1(1)22n n T n +=-+．则前n 项和1(1)(1)222n n n n S n ++=-+-． 5．已知正项数列{}n a 的前三项分别为1，3，5，n S 为数列的前n 项和，满足：22321(1)(1)(3)(n n nS n S n n An Bn A +-+=+++，B R ∈，*)n N ∈．（1）求A ，B 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足122(1)()222n n nb b b n a n N ++=++⋯+∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（参考公式：222112(1)(21))6n n n n ++⋯+=++【解析】（1）正项数列{}n a 的前三项分别为1，3，5，n S 为数列的前n 项和，满足：22321(1)(1)(3)(n n nS n S n n An Bn A +-+=+++，B R ∈，*)n N ∈．分别令1n =，2，可得：222122(3)S S A B -=++，2232233(2442)S S A B -=++，又111S a ==，23a =，35a =，24S =，39S =．24212(3)A B ∴-⨯=++，2229343(2442)A B ⨯-⨯=++，化为：427A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得3A =，1B =．（2）由（1）可得：22321(1)(1)(33)n nnSn S n n n n +-+=+++化为：22213311n n S S n n n n+-=+++．∴22222222222112211()()()3[(1)(2)1]3(121)11221n n n n n S S S S S S S S n n n n n n n n n ---=-+-+⋯+-+=-+-+⋯++++⋯+-+--- (1)(21)(1)3362n n n n n n ---=⨯+⨯+3n =，0n S >．2n S n ∴=．（3）由（2）可得：2n 时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．数列{}n b 满足122(1)()222n n n b b b n a n N ++=++⋯+∈，即122(1)(21)()222n n b b b n n n N ++-=++⋯+∈， 1n ∴=时，122b =，解得14b =．当2n 时，11221(23)222n n b b bn n ---=++⋯+，可得：412n nb n =-，即(41)2n n b n =-． ∴数列{}n b 的前n 项和23472112(41)2n n T n =+⨯+⨯+⋯+-．231243272(45)2(41)2n n n T n n +=-+⨯+⨯+⋯+-+-，231112(21)84(222)(41)24(41)2(54)2821n n n n n n T n n n +++-∴-=+++⋯+--=⨯--=---，1(45)28(1n n T n n +∴=-+=时也成立）．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，45627a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b a =，求数列{}n b 前n 项和n T ．参考公式：222(1)(21)126n n n n ++++⋯⋯+=．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1322a a a +=，知3239S a ==，即23a =．又由4565327a a a a ++==，得59a =．52932523a a d --∴===-．2(2)32(2)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-；（2）由222(21)441n nb a n n n ==-=-+． ∴2224(12)4(12)n T n n n =++⋯+-++⋯++(1)(21)(1)4462n n n n n n +++=⨯-⨯+3(1)(21)14[441]623n n n n nn +++-=⨯-⨯+⨯=7．已知数列{}n a 的前n 项和为3n n S =，数列{}n b 满足11b =-，*1(21)()n n b b n n N +=+-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n b 的通项公式n b ；（3）求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考公式：22221123(1)(21)6n n n n +++⋯+=++．【解析】（1）数列{}n a 的前n 项和为3n n S =，1n ∴=时，113a S ==．2n 时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯．13,123,2n n n a n -=⎧∴=⎨⨯⎩．（2）数列{}n b 满足11b =-，*1(21)()n n b b n n N +=+-∈，即121n n b b n +-=-． 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---∴=-+-+⋯+-+(23)(25)311n n =-+-+⋯++-2(231)22n n n n --==-．（3）数列{}n b 的前n 项和22221(1)(1)(25)1232(12)(1)(21)2626n n n n n n T n n n n n ++-=+++⋯+-++⋯+=++-⨯=．8．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)32(32)nn a nn a b n n -=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=，① 当2n 时，1231(1)258(34)2n n n a a a n a --+++⋯+-=，② ①-②得：(1)(1)(31)22n n n n n n a n +--=-=，故(2)31n n a n n =-，当1n =时，解得112a =，首项符合通项，故31n n a n =-．（2）由（1）得：(31)3311222()(32)(31)(32)3132nn a n n n n a b n n n n n n -=+=+=+-+-+-+，所以12111111(222)()25583132nn T n n =++⋯++-+-+⋯+--+2(21)1121232n n ⨯-=+--+1132322n n +=--+ 9．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)22nn a n nn b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=，① 当2n 时，1231(1)258(34)2n n n a a a n a --+++⋯+-=，② ①-②得：(1)(1)(31)22n n n n n n a n +--=-=，故(2)31n n a n n =-，当1n =时，解得112a =，首项符合通项，故31n na n =-．（2）设(31)2222(31)nn a n n n n b n a -=+=+-，所以122(21)(231)2232212n n n n n T n n +-+-=+⨯=++--．10．已知数列{}n a 满足*1(1)(1)()n n nS n S n n n N +=+++∈，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(2)1(1)(1)(1)n n n n a b n n n ++=≠+-，记23n n T b b b =++⋯+，求n T ．【解析】（1）*1(1)(1)()n n nS n S n n n N +=+++∈，且11a =．∴111n n S S n n +=++，即111n n S Sn n+-=+， ∴数列{}n S n 是等差数列，首项为1，公差为1．∴1(1)n Sn n n=+-=，2n S n ∴=． ∴当2n 时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时也成立，21n a n ∴=-．（2）2n 时，(2)1(2)(21)111232()(1)(1)(1)(1)11n n n n a n n n b n n n n n n n +++-+===++-+-+--+，23(1)(523)1111111112[(1)()()()()]232435211n n n n T b b b n n n n -++∴=++⋯+=+-+-+-+⋯+-+---+2111342(1)21n n n n =+-++--+24231(1)n n n n n +=+--+．11．在数列{}n a 中，13a =，12(2)(2n n a a n n -=+-，*)n N ∈．（1）求证：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的与前n 项和n S ．【解析】（1）证明：13a =，12(2)(2n n a a n n -=+-，*)n N ∈．12(1)n n a n a n -∴+=+-，∴数列{}n a n +是等比数列，首项为4，公比为2．11422n n n a n n -+∴=⨯-=-．（2）{}n a 与前n 项和231(222)(12)n n S n +=++⋯+-++⋯+4(21)(1)212n n n -+=--22242n n n ++=-- 12．单调递增数列{}n a 满足21231()2n na a a a a n +++⋯+=+．（1）求1a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设111,21,n n n a n a n c a n -+-⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【解析】（1）21231()2n n a a a a a n +++⋯+=+，①∴当1n =时，2111(1)2a a =+，解得11a =，当2n 时，2123111(1)2n n a a a a a n --+++⋯+=+-，② ①-②并整理，得2211(1)2n n n a a a -=-+，∴221(1)0n n a a ---=，解得11nn a a --=或11(2)n n a a n -+= 又{}n a 单调递增数列，故11n n a a --=，{}n a ∴是首项是1，公差为1的等差数列，n a n ∴=⋯ （2）111,21,n n n a n a n c a n -+-⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数，∴13212(242)[1232(21)2]n n T n n n -=++⋯++⨯+⨯+⋯-⨯+ 1321(1)[1232(21)2]n n n n n -=++⨯+⨯+⋯-⨯+，记13211232(21)2n n S n -=⨯+⨯+⋯-⨯③ 352141232(21)2n n S n +=⨯+⨯+⋯-⨯④，由③-④得4622132222(21)2n n n S n +-=+++⋯+--，∴24622132222(21)22n n n S n +-=+++⋯+---，214(14)3(21)2214n n n S n +--=----，∴214(14)(21)22933n n n n S +--=++，21(65)21099n n n S +-=+，∴2122(65)210299n n n T n n +-=+++．⋯（13分）第5讲裂项求和1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912162a a =+，24a =，则数列1{}n S 的前20项的和为( )A ．1920 B ．2021C ．2122D ．2223【解析】由912162a a =+及等差数列通项公式得1512a d +=，又214a a d ==+，12a d ∴==，2(1)222n n n S n n n -∴=+⨯=+，∴1111(1)1n S n n n n ==-++， ∴数列1{}n S 的前20项的和为1111111120112233420212121-+-+-+⋯+-=-=，选B 2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)2n n n S +=，则数列11{}n n a a +的前10项的和为．【解析】数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)2n n n S +=，可得1n =时，111a S ==， 2n 时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=，上式对1n =也成立，故n a n =，*n N ∈， 11111(1)1n n a a n n n n +==-++，则数列11{}n n a a +的前10项的和为111111101122310111111-+-+⋯+-=-=． 3．数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11{}n na a -+的前n 项和为5，则n = ．【解析】数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，2214n n a a +∴-=，2214n n a a +∴=+，1n a +∴ 12a =，2a ∴=3a ∴=4a =，⋯由此猜想n a =．11142,n n n n a a a a a ++=-=+，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，∴21321111()(2)544n n n a a a a a a a ++-+-+⋯+-=-=，22∴=，解得1121n +=，120n ∴=． 4．已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2n n n n a a n n a +-==-，3，4，)⋯．（1）求3a 、4a 的值；（2）设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式；（3）设*1sin3()cos cos n n n c n N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【解析】（1）数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2nn nn a a n n a +-==-，3，4，)⋯，∴2321(21)1412724a a a -===--，34312(31)17131037a a a ⨯-===--，∴317a =，4110a = （2）当2n 时，1(1)1111(1)(1)(1)1n n n n n n n a n a n a n a n a n a +---=-==----，∴当2n 时，11n n n b b n -=-，故*11,n n n b b n N n++=∈，累乘得1n b nb =，13b =，3n b n ∴=，*n N ∈ （3）1sin 3cos cos n n n c b b +=sin(333)tan(33)tan3cos(33)cos3n n n n n n+-==+-+，12n n S c c c ∴=++⋯+(tan6tan3)(tan9tan6)(tan(33)tan3)n n =-+-+⋯++-tan(33)tan3n =+-5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n n a a =+，33S =，数列{}n b 为等比数列，13310b b a +=，24610b b a +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若11(1)(1)(1)n n n n n b c b b b -+=+++，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求使得2116n T λλ<-恒成立的实数λ的取值范围．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，223n n a a =+，33S =，21123a a a d ∴=+=+，1333a d +=，解得11a =-，2d =．12(1)23n a n n ∴=-+-=-．设等比数列{}n b 的公比为q ，13310b b a +=，24610b b a +=．∴21(1)103b q +=⨯，31()109b q q +=⨯，解得13b =，3q =．3n n b ∴=．（2）1111113311[](1)(1)(1)(31)(31)(31)8(31)(31)(31)(31)n n n n n n n n n n n n n b c b b b -+-+-+===-++++++++++， ∴数列{}n c 的前n 项和13113[]824(31)(31)64n n n T +=-<⨯++，2116n T λλ<-恒成立，化为2316416λλ-，即264430λλ--，解得：14λ，或316λ-． 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5125S S =，212n n a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b a =，且n b，2n ，*n N ∈，求证：{}n b 的前n 项和n T <．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，5125S S =，212n n a a -=，11545252a d a ⨯∴+=，111(1)[(21)1]2a n d a n d +-=+--，解得11a =，2d =．12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）证明：2(121)2n n n S n +-==．n b =，2n ，*n N ∈，则：{}n b 的前n项和1n T b =+⋯⋯+11==222()2()a b a b ++，a ，0b >，a b ≠．1∴+=．n T ∴<．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ．【解析】（1）2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+，① ∴2312111(1)(1)23122n S S S S n n n -+++⋯+=-+--，2n ，② ①②两式相减得nS n n=，2n 故2n S n =，2n ，又11S =，从而2n S n =，*n N ∈ 易得11,11,1,221,2n nn S n n a S S n n n -==⎧⎧==⎨⎨--⎩⎩，21n a n ∴=-．（2）由（1）得1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，故12311111111(1)(1)2335212122121n n nT b b b b n n n n =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=-+++．由715n T >得7n >，又当*n N ∈时，n T 单调递增，故所求最小正整数n 为8．。

《数列》讲义

《数列》讲义一、数列的定义在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数。

例如，1，3，5，7，9 就是一个数列；再比如，2，4，6，8，10 也是一个数列。

数列中的每一个数都被称为这个数列的项。

我们可以用符号 a₁，a₂，a₃，…，aₙ 来表示数列中的各项，其中 n 表示项数。

比如在数列 1，3，5，7，9 中，a₁＝ 1，a₂＝ 3，a₃＝ 5 等等。

二、数列的分类数列有多种分类方式。

1、按照项数的多少，数列可以分为有限数列和无限数列。

有限数列的项数是有限的，比如1，2，3，4，5 就是一个有限数列，它只有 5 项。

无限数列的项数是无限的，例如 1，2，4，8，16，… 就是一个无限数列，它的项数没有尽头。

2、按照数列的单调性，数列可以分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

递增数列是指从第二项起，每一项都大于它前一项的数列，比如1，2，3，4，5 。

递减数列是指从第二项起，每一项都小于它前一项的数列，例如5，4，3，2，1 。

常数列是指各项都相等的数列，像 3，3，3，3，3 。

摆动数列则是指从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，比如 1，－1，1，－1，1，－1 。

三、数列的通项公式如果数列{aₙ}的第 n 项 aₙ 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

例如，数列 2，4，6，8，10，… 的通项公式可以表示为 aₙ ＝ 2n 。

通过通项公式，我们可以很方便地求出数列中的任意一项。

但并不是所有的数列都有通项公式，有的数列的规律比较复杂，难以用一个简单的公式来表示。

四、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。

例如，数列 3，5，7，9，11 就是一个公差为 2 的等差数列。

2、通项公式等差数列的通项公式为 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d ，其中 a₁是首项，d是公差。

高中数学竞赛辅导讲义第五章数列【讲义】

第五章数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。

其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。

若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。

数列知识点总结大纲

数列知识点总结大纲
一、数列的概念和性质
1.1 数列的定义
1.2 数列的项、通项公式和前n项和
1.3 数列的分类：等差数列、等比数列、等差数列
1.4 数列的性质：有界性、单调性、周期性
二、等差数列
2.1 等差数列的概念和性质
2.2 等差数列的通项公式和前n项和公式
2.3 等差数列的应用：等差数列的中项、倒数第n项等问题
三、等比数列
3.1 等比数列的概念和性质
3.2 等比数列的通项公式和前n项和公式
3.3 等比数列的应用：等比数列的中项、倒数第n项等问题
四、递推数列
4.1 递推数列的概念和性质
4.2 递推数列的通项公式和前n项和公式
4.3 递推数列的应用：如何构造递推数列、递推数列的性质
五、综合应用
5.1 几何问题与数列：等差数列、等比数列在几何图形中的应用5.2 累加与数列：数列的和与级数的求和
5.3 数列的特殊问题：收敛性、散度性、收敛上界、收敛下界等问题
六、挑战问题
6.1 数列的特殊性质：如何判断一个数列的性质
6.2 数列的极限问题：数列的极限性质与收敛性定理
6.3 数列的推广问题：数列在数学、物理、工程等领域中的应用
七、拓展应用
7.1 数列与函数：数列与函数的关系
7.2 数列与级数：级数求和与展开
7.3 数列与微积分：数列在微积分中的应用
以上是对数列知识点的一个大致总结，通过学习这些知识点，我们可以深入了解数列的概念、性质与应用，从而更好地应用数列知识解决实际问题。

希望这份总结对你有所帮助，谢谢！。

数列复习课件(人教版)

2n 12an an 2n 12bn bn
另解：
An Bn
7n 2 n3
n7n 2 nn 3
7n2 2n n2 3n
令： An 7n2 2n Bn n2 3n
则
an An An1 bn Bn Bn1
14n 5 2n 2
a8 107 b8 18
等差（比）列的判断与证明
解：由题
a
2 3
=
a
2a
4，
a
2 5
=
a
4a
6，
∴
a
2 3
+
2a
3a
5
+
a
2 5
=
25
即 ( a 3 + a 5 ) 2 = 25
∵ a n ＞0
故 a3+a5 =5
例3、一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中的偶数项的和与奇数项的和之比为 32 ：27，求公差 d.
法一: 2a15a111d2d 59
差数列.
6、思维点拔
A．等差数列的判定方法
(1)定义法: an1 an d (常数) (n N • ) (2)中项法: 2an1 an an2 (3)通项法: an a1 (n 1)d (4)前n项和法: Sn An 2 Bn B. 知三求二( a1, d, n, an , Sn),要求选用公式要恰当 C．设元技能: 三数:a d, a, a d
(4)前n项和法:若 Sn Aqn A(A,q为常数，且q 0,q 1)
数列an为等比数列
7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题a1、an、sn、q、n)
(2)分类的思想

数列复习专题精选完整版ppt课件

数列与函数问题：化归思想，函数与方程思想
恒成立问题：论证推理
探索性问题--恒成立问题
恒成立问题：论证推理
探索性问题--存在性问题
注：（1）不等式恒成立与最值问题相关联：确定变量最大或最小（2）数列最值问题关联：单调数列特征，或数列取值正负变化特征，或数列二次函数特征（3）恒成立问题：推理论证（4）存在性问题：寻找，特值法、代入验证法等
二、数列基本方法
1、方程（组）思想、函数思想2、代入法，因式分解降次法3、待定系数法4、分类讨论思想5、化归转换思想★6、不等式放缩应用
数列问题探究-典型例举
数列问题探究-典型例举
数列问题：
2、一般数列通项递推的应用（关于Sn--an）
递推式运用原则：减元原则、降次原则、目标趋近原则
知识拓展与方法应用：
数列
1.知识
2. 问题
3. 方法
一、数列基础知识
一般数列：
特殊数列：等差数列
特殊数列：等差数列性质足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
特殊数列：等比数列
特殊数列：等比数列性质足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
二、数列基本问题
公式变式\性质应用
题例
基本关系式应用：正用代入--逆用作差
一般数列通项递推的应用
数列求和：数列递推问题：数列与不等式问题：数列与函数：探索性问题：成立与存在性问题预测方向
数列递推问题
数列递推问题
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
小结：（1）高考卷选择填空题型：等差等比比重大，一般数列通项或和，新定义与创新型问题（2）高考数列解答题：通项、前n项和，★递推问题，不等式证明（3）含参数问题：取值或范围，最值问题（4）重点问题：特殊数列、递推问题等

高二数学：数列(讲义)

高二数学：数列(讲义)
数列是数学中极为重要的一个概念，它通常用来描述一组事物的性质，是数学上组织一系列数的有效方式。

它可以概括出许多数学性质，例如等差数列的等差性质。

数学中使用数列的许多应用，几乎无处不能被见，科学计算和大数据分析更是大量使用数列来完成商业活动中的任务。

通常情况下，数列可分为两类：等差数列和等比数列。

等差数列，又称等差级数，即每两项之差（公差）相等。

它大多数情况下是由某个初始数（首项）和某个常量公差组成的，每一个数的值都是比前面数要大的。

通常我们只需记录着数列的首项和公差就可以完成所有等差数列的计算。

等差数列的构成要素有三个：首项、公差、项数，因此，它又可分为等差等比数列。

许多数学性质可以作为数列的研究内容，如求和、等比数列的累加积、关于每一项的表达式以及关于每一项之和的表达式等。

数列在多方面涉及到数学研究，也提供了许多应用，例如计算机编程中使用数列来实现，统计学中使用数列推断，物理学中描述物质运动规律也可使用数列，数学中常涉及到数列的比较、计算等。

几乎在所有数学应用中，都可以看到数列的存在。

数列知识点复习

单调有界定理
单调递增（或递减）且有上界（或下界）的数列必定收敛。即如果一个数列单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，则该数列必定收敛。这个定理可以用来证明某些数列极限的存在性。
03 数列的收敛与发散
收敛数列的定义与性质
定义：如果数列的极限存在，则称该数列为收敛数列。性质唯一性：收敛数列的极限值是唯一的。
根值判别法
计算数列项的n次方根，并根据该n次方根的极限值判断数列的收敛性。若n次方根极限小于1，则数列收敛；若大于1，则数列发散。这些方法在判断数列收敛性时具有一定的适用条件和局限性，需要综合运用其他知识和技巧来进行判断和证明。
04 数列的应用
数列在日常生活中的应用
01
02
03
存款利息计算
在银行存款时，利用等比数列计算复利，从而得到更准确的利息收益。
数列极限的几何意义
数列极限的几何意义在于，当n无限增大时，数列的项越来越接近一个常数，这个常数就是数列的极限。
数列极限的性质
唯一性
如果数列$a_n$的极限存在，则极限值是唯一的。
有界性
如果数列$a_n$收敛于A，则数列$a_n$必有界，即存在正数M，使得$|a_n| \leq M$对一切n成立。
保序性
如果$\lim_{n \to \infty} a_n = A$，且A大于0（或小于 0），则存在正整数N，当$n>N$时，$a_n$大于0（或小于0）。
保号性
如果$\lim_{n \to \infty} a_n = A$，且存在正整数N，当$n>N$时，$a_n \geq 0$（或$a_n \leq 0$），那么 A也大于等于0（或小于等于0）。
数列知识点复习
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高三数列复习讲义

[数列的通项公式]⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn [数列的前n 项和]n n a a a a S ++++= 3211n①定义法：1n n a a d +-=是常数*()n N ∈⇔数列{}n a 是等差数列； ②通项公式法：(,)n a kn b k b =+是常数⇔数列{}n a 是等差数列；③前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ⇔数列{}n a 是等差数列； ④等差中项法：*212()n n n n N a a a +++=∈⇔数列{}n a 是等差数列； 2、等差数列的通项公式的推广和公差的公式：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈*(,,)n ma a d n m N n m n m-⇒=∈≠-；3、若A 是a 与b 的等差中项2A a b ⇔=+4、若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列且项数相同，则{},{},{},{}n n n n n n n kb a b a b pa qb +-+都是等差数列；5、等差数列{}n a 中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；6、等差数列{}n a 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；7、若数列{}n a 是等差数列，且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，也就是： =+=+=+--23121n n na a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,12321反之也成立；当p q =时，2m n p a a a +=，即p m n a a a 是和的等差中项；8、若数列{}n a 是等差数列的充要条件是前n 项和公式()n S f n =，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ；9、若数列{}n a 的前n 项和2(,)n An Bn C A B s =++≠是常数,C 0，则数列{}n a 从第二项起是等差数列；10、若数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，则{}n Sn也是等差数列，其首项和{}n a 的首项相同，公差是{}n a 公差的12；11、若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，则2121n n n n a S b T --=； 12、若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为,,x d x x d -+；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为3,,,3x d x d x d x d --++；13、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且234,,,k k k k S S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分别为数列{}n a 的前k 项,2k 项,3k 项,4k项,……的和，则k S ，k k S S -2，k k S S 23-……………成等差数列（等差数列的片段和性质）；如图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++14、等差数列{}n a 中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S S 奇偶，，则11S n S n +=-奇偶；若项数n 为偶数，221nn a SS a =+奇偶；15、在等差数列{}n a 中，若公差0d >，则等差数列{}n a 为递增数列；若公差0d <，则等差数列{}n a 为递减数列；若公差0d =，则等差数列{}n a 为常数列； 16、有关等差数列{}n a 的前n 项和为n S 的最值问题：〖1〗何时存在最大值和最小值① 若10,0a d ><，则前n 项和为n S 存在最大值 ② 若10,0a d <>，则前n 项和为n S 存在最小值〖2〗如何求最值① 方法一：（任何数列都通用）通过100n n a a +≥⎧⎨≤⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最大值；通过100n n a a +≤⎧⎨≥⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最小值；② 方法二：利用等差数列前n 项和n S 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和n S 不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数； ③ 利用等差数列的相关性质求解17、用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于1,,,,n n a n S a d 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”1、对等比数列定义的理解（1）是从第二项开始，每一项与前一项的比（2）每一项与前一项的比是同一个常数，且这个常数不为0 （3）等比数列中任何一项都不会为0 （4）符号语言的描述：若数列{}n a 中满足1n na q a +=（不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列； 2、当且仅当两个数a 和b 同号是才存在等比中项，且等比中项为G =3、若,,a G b 成等比数列，则2G ab =4、判断给定的数列{}n a 是等比数列的方法（1）定义法：1n naq a +=（不为0的常数）⇔数列{}n a 为等比数列；（2）中项法：221n n n a a a ++=⇔数列{}n a 为等比数列；（3）前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和=A-Aq n n S （A 是常数，0,0,1A q q ≠≠≠）⇔数列{}n a 为等比数列；5、等比数列通项公式的推广：若{}n a 为等比数列，则*(,)n m n m a a q n m N -=∈6、若数列{}n a 是等比数列，且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+，则m n p q a a a a =，反之也成立；也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n na a a a a a 。

数列知识点归纳总结复习

数列知识点归纳总结复习一、数列的基本概念1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数的集合，通常用表示为{an}，其中an表示数列的第n个项。

例如，1, 2, 3, 4, 5,… 就是一个简单的递增数列。

2. 数列的常见表示方式数列可以用公式、递推关系或者图形等方式来表示。

比如，斐波那契数列可以用递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)来表示，而调和数列可以用公式表示为{1, 1/2, 1/3, 1/4, …}。

3. 数列的分类根据数列的性质和规律，可以将数列分为等差数列、等比数列、等差-等比数列、递归数列、调和数列等多种类型。

在实际问题中，我们需要根据数列的特点来选择合适的方法进行求解。

二、数列的常用公式与性质1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等差数列的性质包括递推公式、前n项和公式、通项求和公式等，在数学和物理等领域都有着广泛的应用。

2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

等比数列同样具有递推公式、前n项和公式、通项求和公式等性质，其在金融、生物学、物理学等领域都有着重要的应用。

3. 通项公式对于一些特定的数列，我们可以通过观察数列的规律得到其通项公式，这样就能方便地计算数列中任意一项的值。

通项公式的求解是数列问题中的常见技巧，需要灵活运用代数方法和数学归纳法进行推导。

4. 前n项和对于一个数列{an}，其前n项和S(n)可以用数学方法得到一个通用的公式。

对于等差数列和等比数列，其前n项和公式分别为Sn = n/2(a1+an) 和 Sn = (a1(q^n-1))/(q-1)，这些公式在实际问题中有着重要的应用。

5. 数列的极限当n趋向无穷大时，数列{an}的极限值称为数列的极限。

数列的极限可以用来判断数列的趋势和发散性，以及在微积分和数学分析中有着广泛的应用。

数列知识点复习课件

除法：如果lim(n→∞) a(n) = A， lim(n→∞) b(n) = B，且B≠0，那么lim(n→∞) (a(n) / b(n)) = A / B。
极限的存在条件
极限的存在条件是数列收敛的充分必要条件。
极限存在的条件是数列的项与某一固定值之间的差值的绝对值可以无限减小，即数列收敛于某一
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等比数列的前n项和公式
总结词
等比数列的前n项和公式可以表示为 S_n=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比。
详细描述
等比数列的前n项和公式是根据通项公式推导出来的，它表示等比数列的前n 项和是首项乘以(1-公比的n次方)/(1公比)。
04 数列的极限
数列极限的定义
极限是描述数列收敛性的重要概念，表示当数列的项无限增大时，数列的项无限接近某个固定值。
乘法：如果lim(n→∞) a(n) = A， lim(n→∞) b(n) = B，那么 lim(n→∞) (a(n) × b(n)) = A × B 。
极限的四则运算是极限运算的基本法则，包括加法、减法、乘法和除法。
减法：如果lim(n→∞) a(n) = A， lim(n→∞) b(n) = B，那么 lim(n→∞) (a(n) - b(n)) = A - B 。
详细描述
等差数列的通项公式是$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中$a_n$ 表示第n项的值，$a_1$表示第一项的值，d表示公差，n表示项数。这个公式可以用来计算等差数列中任何一项的值。
等差数列的前n项和公式
总结词
等差数列的前n项和公式是用来计算等差数列的前n项的和的公式。
详细描述

数列讲义

数列讲义（共五讲）第一讲数列的概念及简单表示方法考点自测1．(课本改编题)已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为__________． 2．(课本改编题)已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第________项． 3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝__________，数列{na n }中数值最小的项是第________项．4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋156n (n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是( )A ．a 12B ．a 13C ．a 12或a 13D ．不存在5．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 100等于()A ．1B ．－1C ．5D ．－5题型一由数列的前几项归纳数列的通项公式例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，…； (5)0,1,0,1，…. 练习：写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….题型二已知数列的递推公式求通项公式例2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)；(3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 练习：根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2n ，a 1＝3；(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1；(3)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1；(4)在数列{a n }中，a 1＝8，a 2＝2，且满足a n ＋2－4a n ＋1＋3a n ＝0.题型三由a n 与S n 的关系求通项a n例3 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *. 求{a n }的通项公式．练习：设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2 (n －1) (n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．第一次作业A 组专项基础训练题组1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n } 2．数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对所有正整数n 都成立，则a 10等于 ( )A ．34B ．55C ．89D ．100 3．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1)B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n4．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，a 36＝________.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1<S k <9 (k ∈N *)，则a 1的值为______，k 的值为______．6．已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝________. 三、解答题7．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？B 组专项能力提升题组1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则a 1·a 2·…·a 2 011的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．32．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.1323．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.6116B.259C.2516D.31154．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n(n ≥2)，则a 16＝________.5．数列53，108，17a ＋b，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )是______________．6．(2011·浙江)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________. 7．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1) (n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．第二讲等差数列及其前n 项和考点自测1．(课本改编题)有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列{a n }的通项公式a n ＝______________.2．(课本精选题)已知两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 与x ，b 1，b 2，y 都是等差数列，且x ≠y ，则a 2－a 1b 2－b 1的值为________．3．(课本改编题)已知数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2 (n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.5．(2011·江西)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18B ．20C ．22D ．24题型一等差数列的判定或证明例1 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，a 1＝2.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．题型二等差数列的基本量的计算例2 设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围．练习：(2011·福建)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．题型三等差数列的前n 项和及综合应用例3 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．练习：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使a n ≥S n .试题：(12分)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，求它的前m ＋n 项的和S m ＋n .第二次作业A 组专项基础训练题组1．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于 ( )A ．31B ．32C ．33D ．34 2．数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A ．40 B ．200 C ．400 D ．20 3．(2011·大纲全国)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．54．(2011·辽宁)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p 、q ∈R ，且p 、q 为常数)． (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列； (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．B 组专项能力提升题组1．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.16 C.13 D.122．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0 (n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 3．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝10，b 1＝90，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第2 012项的值是( )A ．85B ．90C ．95D ．1004．(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．5．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．6．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．7．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．第三讲等比数列及其前n 项和考点自测1．(课本改编题)在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是____________． 2．(课本精选题)在等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________． 3．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.4．(2011·广东)已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 5．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是 ( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3题型一等比数列的基本量的运算例1 (1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8；(2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项．练习：设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝1，S 8＝17，求{a n }的通项公式．题型二等比数列的定义及判定例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．练习：设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．题型三等比数列的性质及应用例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．练习：(1)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10；(2)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值； (3)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.题型四等差、等比数列的综合应用例4 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.练习：已知数列{a n }满足a 1＝12，3(a n ＋1－a n )1＋a n ＋1＝1－a n ＋1a n ＋1＋a n，且a n ＋1·a n <0 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a 2n ＋1－a 2n ，试问数列{b n }中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？若存在，求出满足条件的等差数列；若不存在，说明理由．试题：(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．第三次作业A 组专项基础训练题组1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，S n 等于( ) A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －12．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或123．(2011·辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．164．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，若a n ＝64，则n 的值为________．5．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是______． 6．设等比数列{a n }的公比q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________． 7．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n .8．S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，且公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项． (1)求S 2和S 3；(2)求此数列{a n }的前n 项和公式； (3)求数列{S n }的前n 项和．B 组专项能力提升题组1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )2．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn等于( )A.32B.32或23C.23D ．以上都不对 3．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n＝f (n ) (n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎣⎡⎭⎫12，1 4．在等比数列{a n }中，若a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.5．已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝__. 6．已知数列{a n }是正项等比数列，若a 1＝32，a 3＋a 4＝12，则数列{log 2a n }的前n 项和S n 的最大值为________． 7．等比数列{a n }的公比q >1，a 1与a 4的等比中项是42，a 2和a 3的等差中项为6，数列{b n }满足b n ＝log 2a n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3 (n ∈N *)，其中m 为常数，m ≠ －3且m ≠0.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1) (n ∈N *，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列，并求b n .第四讲数列求和考点自测1．(课本改编题)数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝________.2．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其中前n 项和S n ＝32164，则项数n ＝________.4．(2011·天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110B ．－90C ．90D ．1105．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则a n 等于 ( )A.3n ＋12B.3n ＋32C.3n －12D.3n －32题型一分组转化求和例1 求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n ＋12n；(2)S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 练习：求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 题型二错位相减法求和例2 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 013的n 的最小值．题型三裂项相消法求和例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝32log (3a n ＋1)时，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝n1＋n .试题：(12分)(2010·山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .第四次作业A 组专项基础训练题组1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －22． a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在纵截距为 ( )A ．－10B ．－9C ．10D ．93．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S 2 013等于( )A ．2 008B ．2 010C ．1D ．04．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.5．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________. 6．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2 (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n . 8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .B 组专项能力提升题组1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为 ( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158 2．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－4004．已知等差数列的公差d <0，前n 项和记为S n ，满足S 20>0，S 21<0，则当n ＝______时，S n 达到最大值．5．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________.6．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．7．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根．则数列{a n }的通项公式是a n ＝________；若b n ＝a n ＋12n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n ＝__________.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ∈N *)，等差数列{b n }中，b n >0 (n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列． (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .第五讲数列的综合应用题型一等差数列与等比数列的综合应用例1 在等比数列{a n } (n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小．练习：已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1 (n ≥2，q ≠0)．(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．题型二数列与函数的综合应用例2 已知函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2n a)＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．练习：已知定义域为R 的二次函数f (x )的最小值为0，且有f (1＋x )＝f (1－x )，直线g (x )＝4(x －1)的图像被f (x )的图像截得的弦长为417，数列{a n }满足a 1＝2，(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0 (n ∈N *)．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝3f (a n )－g (a n ＋1)，求数列{b n }的最值及相应的n .题型三数列与不等式的综合应用例3 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝14，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n1－a 2n.(1)求b 1，b 2，b 3，b 4； (2)求数列{b n }的通项公式；(3)设S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，求实数a 为何值时，4aS n <b n .练习：已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ；(3)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0032对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .试题：(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1 (n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.第五次作业A 组专项基础训练题组1．(2011·安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 2．(2010·福建)等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝ ( )A ．6B ．7C ．8D ．93．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n ) (n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.nn －1D.n ＋1n4．(2011·江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．6．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝________. 7．已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n 12log a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的最小正整数n 的值．B 组专项能力提升题组1．{a n }是等差数列，a 2＝8，S 10＝185，从{a n }中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第3n 项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，则b n 等于 ( )A ．3n ＋1＋2B ．3n ＋1－2 C ．3n ＋2 D ．3n －22．已知数列{a n }通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值313．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4 (n ∈N *)且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小正整数n 是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8 4．(2011·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 12 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为__________．6．对正整数n ，若y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为____．7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n －1n (n ＋1).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和S n .8．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．不等式及不等关系考点自测1．(课本改编题)已知a >b >0，c <0，则下列不等式成立的所有序号是________．①ac >bc ；②ab >ac ；③ab <bc ；④c a <c b ；⑤c a >cb.2．下列四个不等式：①a <0b >0，且c >d >0，则a d 与bc 的大小关系是________．4．已知a <0，－1b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2； (3)若a ab >b 2；(4)若a 1b ； (5)若a ab .练习：适当增加不等式条件使得下列命题成立：(1)若a >b ，则ac ≤bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a 2>b 2； (3)若a >b ，则lg(a ＋1)>lg(b ＋1)．题型二比较实数或代数式的大小例2 已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a与1＋a 的大小．练习:已知a 、b 、c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．题型三不等式性质的应用例3 设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．练习：（1）(2010·江苏)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．（2）已知1≤lg x y ≤2,2≤lg x 3y≤3，求lg x33y的取值范围．题型四与一元二次不等式有关的恒成立问题例4设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．练习：1.已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________ 2.若不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3<1的解集为__________3．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0，对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是______．4．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．5．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是___． 6．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．课外作业A 组专项基础训练题组1．若a >b >0，则( )A ．a 2c >b 2c (c ∈R )B.ba>1 C ．lg(a －b )>0 D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b 2．设a 1bB.1a －b >1a C ．|a |>－bD.－a >－b3．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b4．若角α、β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是____________．5．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0.其中真命题为______．(把正确命题的序号写在横线上)6．给出条件：①1<a 0，b >0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a .8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求ca的取值范围．B 组专项能力提升题组1．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于( )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1bD ．x <－1b 或x >1a2．已知a ，b ，c 是实数，给出下列四个命题：①若a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；③若a ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c －a >bc －a .其中正确命题的序号是( ) A ．①④B ．①②④C ．③④D ．②③3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b4．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．5．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是_________．6．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n(n ∈N *，n >2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是_______．7．已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .8．(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时比较c n 与a n ＋b n 的大小．。

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精锐教育参训教师讲义
n a f +
+=()n a f n ⋅⋅=求n a ()f n ,求a
②形如11n n n a ka b
a --+=
的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.
二、数列求和的方法 1、公式法： {
等差数列求和公式：2)
(1n n a a n s +=
或2111(1)222n d d S na n n d n a n ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭
等比数列求和公式；⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na s n n n 2、分组求和法：若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.
4、错位相减法：源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，均可用此法.
5、裂项相消法：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和. 公式：1
2
123(1)n n n ++++=+； 22221
6
123(1)(21)n n n n +++
+=++；
33332(1)2123[]n n n ++++
+=；2135n n +++
+=；
$
常见裂项公式：11
1
(1)
1
n n n n ++=-
；
1
11
1()
()n n k k n
n k
++=-
；
111
1(1)(1)
2(1)
(1)(2)
[
]n n n n n n n -++++=-
；
常见放缩公式：2
12
1111
2()2()n n n n n n
n
n n +-+++--=
<<
=-.
知识点2
一、等差或等比数列的证明
判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
1、定义法：对于n ≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

2、通项公式法： ①若
=+（n-1）d=
+（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列；
}
②若
，则{}n a 为等比数列。

3、中项公式法：验证
都成立。

知识点3
一、数列的应用
1、“分期付款”、“森林木材”型应用问题
⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算
(1)p nr +
+分n 期还清)(1(1n x r x r =++++
2 11 2
a a =
，，．
1
．
122
n n ++，，，的前22n a n =+
解：23411
111
111
(2462)(1)222
222n n n S n n n ++⎛⎫=+++
+++++
+
=++- ⎪⎝⎭．【点评】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构
等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.
【例题5】★★数列{}n a 为等差数列，试证明数列的前n 项和。

【考点】等差数列求和方法。

【分析】利用等差数列的性质，倒序相加求和。

【解答】证明：由题意得：
?
，即：
，
两式左右分别相加，得
，
由等差数列性质可知：121121a a a a a a a a n n n n +=+==+=+--
所以，
于是有： .这就是倒序相加法.
【点评】倒序相加法主要适用于等差数列求和。

~
【例题6】★★数列{}n a 为等比数列，试证明数列的前n 项和⎪⎩⎪
⎨⎧≠--==)
1(1)1()1(11
q q
q a q na s n n
【考点】等比数列求和方法。

【分析】分类讨论，当公比不为1时用错位相减法求和。

【解答】证明：设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，则当1=q 时，n a a a ==21，所以1na s n =
当1≠q 时，1
1-=n n q a a
11++-n n+1=
4(n+1)。

21
6
n +
+=222
21
(12312n n
+++∈+++++裂项相消求和法的应用。

221116
n a n +=
=+++
1(1)11n n n n ++
+++-+12,),1a =，
220a ，，，则，50a =[1(n +++(1)b +++
（1）5，55，555，5555，…，
5(101)9
n
-，…；（2）
1111
,,,,
,
132435
(2)
n n ⨯⨯⨯+；
（3）11
n a n n =++；
（4）2
3
,2,3,
,,
n a a a na ；
（5）13,24,35,
,(2),
n n ⨯⨯⨯+；
（6）2
2
2
2sin 1sin 2sin 3sin 89+++
+．
练习2、(2011朝阳二模理）已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a =
；并归纳出数列{}n a 的通项公式n a = 。

/
练习3、设二次方程)(0112N n x a x a n n ∈=+-+有两根α和β，且满足3626=+-βαβα
(1)试用n a 表示1+n a ；
(2)求证：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-32n a 是等比数列； (3)当6
7
1=
a 时，求数列{}n a 的通项公式。

【精锐小测】
测试1、设12a =，121n n a a +=
+，21
n n n a b a +=-，*
n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．
~
测试2、已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=，求数列{}n b 的前n 项和。

测试3、（2011辽宁卷理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10
（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．
55
5n +
+个
5
(9999)9
n =++
+个
(101)(10n +-++-10(1081n n n ++-=
-2
+1(n n ++-1n n +-1
1n ++
+(1n +
++n na +
+，
(n n
222
++++，1sin2sin3sin89
222
89sin88sin87sin1 ++++，89
1
,2n
n a -++
故.2
n
n a ++
所以，当 11111
121()1(1222422n n n n n n n a a a n -----++
-=-+++
-=-2。

数列复习讲义