第7节 全概率公式1
全概率公式 贝叶斯公式
全概率公式贝叶斯公式在我们学习概率论的奇妙世界里，全概率公式和贝叶斯公式就像是两把神奇的钥匙，能帮助我们解开很多看似复杂的谜题。
先来说说全概率公式。
全概率公式啊，就像是一个全能的“情报收集器”。
想象一下，你在一个大商场里，有好多不同的店铺。
有的店铺卖衣服，有的卖鞋子，有的卖美食。
你不知道自己会在哪个店铺碰到老同学。
假设在卖衣服的店铺碰到老同学的概率是 20%，在卖鞋子的店铺碰到的概率是 30%，在卖美食的店铺碰到的概率是 50%，而你去这三个店铺的概率分别是 40%、30%和 30%。
那么，你在整个商场碰到老同学的总概率，就可以用全概率公式来计算。
我记得有一次我去参加一个集市活动。
这个集市上有各种分区，有手工艺品区、农产品区和小吃区。
我特别想在这个集市上碰到我的好朋友小李。
我估计在手工艺品区碰到他的概率是 0.2，在农产品区碰到的概率是 0.3，在小吃区碰到的概率是 0.5。
而我逛这三个区的可能性分别是 0.3、0.4 和 0.3。
用全概率公式一算，我能碰到他的总概率就出来啦。
再谈谈贝叶斯公式。
贝叶斯公式呢，更像是一个“侦探神器”，能根据新的信息来更新我们之前的判断。
比如说，你怀疑家里的小猫偷吃了桌上的蛋糕。
一开始你觉得小猫偷吃的可能性是 50%。
然后你发现地上有小猫的脚印，而如果小猫偷吃了蛋糕，留下脚印的概率是80%；如果小猫没偷吃，留下脚印的概率是 20%。
那么根据贝叶斯公式，就可以重新计算小猫偷吃蛋糕的概率。
就像有一次我丢了一支很喜欢的笔。
我怀疑是被同桌拿走了，一开始觉得有 60%的可能性。
后来我发现我的同桌桌上有和我笔很相似的一支，但也有可能只是巧合。
如果是他拿的，有这种相似笔的概率是90%；如果不是他拿的，有相似笔的概率是 10%。
通过贝叶斯公式一计算，我对这件事的判断就有了新的变化。
全概率公式和贝叶斯公式在实际生活中的应用那可真是广泛。
比如在医学诊断中，医生根据病人的症状和各种检查结果，运用这些公式来判断病人患某种疾病的概率。
第7节 全概率公式和贝叶斯公式
0.4825.
练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别 为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求 他迟到的概率．
解 设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来， A4＝他乘飞机来，B＝他迟到。
易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组，由全概率公式得
1. 引例 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红 球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求
(1)从乙盒取出2个红球的概率; (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。
解 (1)设A1=从甲盒取出2个红球，A2=从甲盒取出2个白球； A3＝从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出2个红球； 则A1, A2, A3 两两互斥，且A1+A2+A3=Ω, 所以
i 1
i 1
i 1
3. 全概率公式的应用
如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成， E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种 可能的结果，如果求与E2的结果有关事件的概率，可 以用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了 完备事件组．
例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三 等种子, 1%的四等种子, 用一等、二等、三等、四等种子长出的 穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所 结的穗含有50颗以上麦粒的概率。
P(B)= P(A1)P(B|A1 )+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
C22 C52
C32 C72
C32 C52
0 C72
C31C21 C22 C52 C72
概率论 全概率公式(一)
概率论全概率公式(一)概率论全概率公式概率论中的全概率公式（Law of Total Probability）是一个重要的概率理论，用于计算复杂事件的概率。
全概率公式是基于条件概率的思想，通过将事件分解为若干个互不相交的情况，从而求解整体事件的概率。
全概率公式基本定义全概率公式的基本定义如下：对于事件B，如果满足条件概率P(A|B)存在，且B1, B2, …, Bn 是一组互不相交的事件且并集为样本空间，那么事件A的概率可以表示为：P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + … + P(A|Bn) * P(Bn)其中，P(A|Bi)表示给定事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
全概率公式的应用全概率公式在实际问题中有广泛的应用，特别是当事件的发生可以分解为若干互不相交的情况时，全概率公式可以简化问题的求解过程。
以下是全概率公式的一些常见应用场景和相关公式：1.二项分布的全概率公式：对于二项分布，全概率公式可以表示为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) 其中，X表示试验成功的次数，k表示成功的次数，n表示总的试验次数，p表示单次试验成功的概率。
例如，假设有一个硬币，正面朝上的概率为，我们进行10次独立的抛硬币实验，求正面朝上的次数为5的概率。
根据全概率公式，可以计算得到： P(X=5) = C(10,5) * ^5 *()^(10-5) ≈2.多项分布的全概率公式：对于多项分布，全概率公式可以表示为：P(X1=k1, X2=k2, …, Xn=kn) = n! * p1^k1 * p2^k2 * … * pn^kn / (k1! * k2! *… * kn!) 其中，X1,X2, …, Xn表示n个随机变量的取值，k1, k2, …, kn表示各随机变量取值的次数，p1, p2, …, pn表示各随机变量取值的概率。
例如，假设有一个箱子里有4个红球、3个蓝球和2个黄球，我们随机取3个球，求取到一个红球、一个蓝球和一个黄球的概率。
概率论中的条件概率与全概率公式
概率论中的条件概率与全概率公式概率论是数学中一门重要的学科，它研究的是随机事件的发生概率和规律。
在概率论中，条件概率与全概率公式是基础且常用的概念和公式。
本文将详细介绍条件概率和全概率公式，并探讨它们的应用。
一、条件概率的概念条件概率是指在已知某一事件B发生的前提下，事件A发生的概率。
用符号表示为P(A|B)，读作“A在B发生的条件下发生的概率”。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
二、全概率公式的概念全概率公式是一种通过已知的一些事件得到其他相关事件概率的方法。
假设{B1, B2, ..., Bn}是一组互斥且完备的事件，即它们两两不相交且并起来等于整个样本空间。
那么对于任意一个事件A，可以通过全概率公式计算出A的概率：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)三、条件概率与全概率公式的应用1. 贝叶斯定理条件概率和全概率公式是贝叶斯定理的基础。
贝叶斯定理用于计算在已知后验概率的情况下，推导出先验概率。
公式表达为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)为先验概率，P(B|A)为看到B发生的情况下A发生的概率，P(B)为全概率。
2. 假设检验在统计学中，条件概率和全概率公式被广泛应用于假设检验。
假设检验是一种用于通过观察数据来对某个假设进行验证或推翻的方法。
通过计算条件概率和全概率，可以得到在不同假设下的概率值，从而进行假设检验。
3. 事件的独立性判断条件概率与全概率公式也可以用于判断两个事件是否独立。
如果事件A与事件B独立，那么条件概率P(A|B)应该等于先验概率P(A)。
通过计算条件概率和全概率，可以判断两个事件是否独立。
四、总结条件概率与全概率公式是概率论中的基础概念和重要工具。
全概率公式证明过程
全概率公式证明过程全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
在本文中，我们将详细介绍全概率公式的证明过程。
我们需要明确全概率公式的表达式：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)其中，A表示事件，B1、B2、…、Bn表示一组互不相交的事件，且它们的并集等于样本空间。
P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
接下来，我们来证明全概率公式。
假设事件A和B1、B2、…、Bn满足上述条件，我们需要证明：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)我们可以将事件A表示为：A = (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ … ∪ (A∩Bn)这是因为事件A可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况。
接下来，我们可以利用加法公式将上式展开：P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn)然后，我们可以将每个交集表示为条件概率的形式：P(A∩Bi) = P(Bi)P(A|Bi)这是因为在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为P(A|Bi)。
将上式代入前面的公式中，我们得到：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)这就是全概率公式的证明过程。
总结一下，全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
证明过程中，我们利用了事件A 可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况这一性质，然后利用加法公式和条件概率的定义，推导出了全概率公式的表达式。
全概率公式
例如，某地发生了一个案件，怀 疑对象有甲、乙、丙三人。 偏小 在不了解案情细节(事件A) 之前，侦破人员根据过去 丙 乙 甲 的前科，对他们作案的可能性 P(B ) P(B ) P(B ) 3 1 2 有一个估计，设为 知道A 但在知道案情细 发生后 节后, 这个估计 P(B1 | A) P(B2 | A) P(B3 | A) 就有了变化。 比如原来认为作案可能性较小的某甲， 现在变成了重点嫌疑犯。
AB1 AB2
设B1={第一人抽到入场券}, B2={第一人未抽到入场券} 则 A＝AB1+AB2 且 AB1和AB2互不相容
空
B1
A 空
入 场 券 B2
入 场 券
空
空
空
入 场 券
入 场 券
空
则 A＝AB1+AB2
且 AB1和AB2互不相容 运用加法公式得
所以 P(A)＝P(AB1)+P(AB2)
0.005 * 0.95 0.1066 0.005 * 0.95 0.995 * 0.04
现在来分析一下结果的意义： 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？ 如果不做试验，抽查一人，他是患者的 提示 概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应， 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率 为 P(C｜A)= 0.1066
这一类问题在实际中更为常见，它所求的是 条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因 发生可能性大小。
结果已发生 现从出厂产品中任取一件， 发觉该产品是次品而且其标 志已脱落，试求这件次品来 自车间1的概率？
全概率公式_范文
全概率公式_范文全概率公式（Law of Total Probability）是概率论中的一个重要定理，用于计算条件概率的方法之一、在贝叶斯定理的推导中，全概率公式扮演了关键的角色。
本文将详细介绍全概率公式的定义、推导过程和应用方法。
1.全概率公式的定义假设事件A的样本空间可被划分为互不相交的两个事件B1和B2，即S=B1∪B2，并且B1和B2的概率P(B1)和P(B2)均不为零。
那么，对于任意一个事件A，可以通过全概率公式将其表示为B1和B2的概率之和，即：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)其中P(A，B1)和P(A，B2)分别代表在事件B1和B2发生的条件下事件A发生的概率。
2.全概率公式的推导为了推导全概率公式，首先考虑事件A的辅助事件C，该事件是由事件B1和B2的交集构成，即C=B1∩A=C=B2∩A。
根据条件概率的定义，可以将事件B1的概率表示为：P(B1)=P(B1∩S)=P(B1∩(B1∪B2))=P(B1∩(B1∩A∪B2∩A))=P(B1∩A)+P(B1∩B2∩A)同理，可以得到：P(B2)=P(B2∩A)+P(B2∩B1∩A)根据概率的加法定理，可以将事件B1和B2的概率表示为：P(B1)+P(B2)=P(B1∩A)+P(B1∩B2∩A)+P(B2∩A)+P(B2∩B1∩A)=P(A)+P(B1∩B2∩A)对上式做变换，可以得到：P(A)=P(B1)+P(B2)−P(B1∩B2∩A)由于B1和B2是互不相交的，所以事件B1∩B2的概率为零，即P(B1∩B2)=0。
将此结果代入上式，可以得到全概率公式的最终形式：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)3.全概率公式的应用例如，假设城市有两家快递公司，A公司和B公司，分别按照90%和10%的比例进行投递。
其中A公司的准时投递率为95%，而B公司的准时投递率为80%。
现在假设一个快递包裹准时到达，问这个包裹是A公司投递的概率是多少？根据问题的描述，可以将事件A定义为包裹是A公司投递的事件，B1定义为A公司投递的事件，B2定义为B公司投递的事件。
第七节 全概率公式
AB1 AB2
设B1={第一人抽到入场券}, B2={第一人未抽到入场券} 则 A＝AB1+AB2 且 AB1和AB2互不相容
空
B1
A 空
入 场 券 B2
入 场 券
空
空
空
入 场 券
入 场 券
空
则 A＝AB1+AB2
且 AB1和AB2互不相容 运用加法公式得
所以 P(A)＝P(AB1)+P(AB2)
答卷 是 否
例 罐中有50个球，其中30个红球，某省在五天内安 排了15个项目的运动员246名参加调查，最后开箱统 计，答卷全部有效，其中回答“是”的有54张，问该 省大约有多少名运动员赛前服用过违禁药品. 解： 设事件A表示答“是”，
分析：A怎么发生的？
取到白球，回答问题A 取得红球，回答问题B 情况1 情况2
全概率公式的由来，不难由上式看出： “全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和。 它的理论和实用意义在于： 直接计算P(A)不容易时，考虑将事件A进行分割，借 助样本空间Ω的一个划分B1, B1, … , Bn将事件A 分成AB1, AB1, … , ABn ， B2 B1 用所有的P(ABi)之和计算 A P(A)，往 往可以简化计算。 Bn B3 Bn1
从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍。
说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有意义。
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有 癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个 人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过 再试验来确认.
n
第9章统计与概率第7节 条件概率与全概率公式 课件 高考数学一轮复习
【答案】
3 10
内容索引
思考1►►► 如何判定条件概率？
内容索引
当题目中涉及“在什么条件下(前提下)”等字眼时，一般为条件概 率；或已知事件的发生影响了所求事件的概率时，一般也为条件概率．
内容索引
题组二 条件概率的计算 3 现有5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取1个，不
则 P(A)＝35，P( A )＝25，P(B|A)＝0.9，
P( B |A)＝0.1，P(B| A )＝0.4，P( B | A )＝0.6.
(1) 由全概率公式，得 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( A )P(B| A )＝35×0.9＋25
×0.4＝0.7.
内容索引
(2)
由题意，得
P(
A
1234
内容索引
A 小区的概率是26400＝14，故 B 正确；对于 C，甲、乙两位同学被安排在同 一小区，共有 A44＝24(种)不同的安排方法，所以甲、乙两位同学被安排在 同一小区的概率为22440＝110，故 C 错误；对于 D，甲同学被安排到 A 小区 有 60 种安排方法，在甲同学被安排到 A 小区支教的前提下，A 小区有两 名同学的安排方法有 24 种，所以在甲同学被安排到 A 小区支教的前提下， A 小区有两名同学的概率是2640＝25，故 D 正确．故选 ABD.
内容索引
(3) 设本年度所交保费为随机变量X.
X 0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
平 均 保 费 E(X) ＝ 0.85a×0.30 ＋ 0.15a ＋ 1.25a×0.20 ＋ 1.5a×0.20 ＋
条件概率与全概率公式
条件概率与全概率公式
条件概率和全概率公式是概率论中的两个重要概念，也是解决实际问题时常用的工具。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；全概率公式则是用来计算某一事件发生的总概率，其中考虑了所有可能的情况。
条件概率的计算方法是根据贝叶斯定理得出的，公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A
发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表
示事件B发生的概率。
全概率公式的计算方法是将一个事件分解为若干个互不相交的
子事件，然后分别计算这些子事件的概率，再将它们相加得到总概率。
全概率公式的表达式为：P(A) = ∑[P(A|B_i)×P(B_i)]，其中B_i
表示事件A的所有可能的子事件，P(A|B_i)表示在B_i发生的条件下，事件A发生的概率，P(B_i)表示B_i发生的概率。
条件概率和全概率公式在实际应用中经常用于解决复杂问题，如在医学诊断中，通过已知的临床表现和检验结果，利用条件概率计算某种疾病的概率；在市场调查中，通过对各种因素的分析，利用全概率公式计算某产品销售的总概率等。
熟练掌握条件概率和全概率公式，对于解决实际问题具有重要的意义。
- 1 -。
全概率公式教学内容
全概率公式教学内容
全概率公式是概率论中的一个重要概念，用于计算一个事件的概率。
全概率公式可以在给定一组互斥事件的情况下，通过这些事件对另一个事件的影响来计算这个事件的概率。
首先，让我们来定义一些术语。
在概率论中，如果事件A可以表示为一组互斥事件B1, B2, ... Bn 的并集，即A = B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn，那么全概率公式可以表示为P(A) = Σ (P(Bi)
P(A|Bi))，其中Σ表示对所有i的求和，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
全概率公式的教学内容可以从以下几个方面展开：
1. 理论解释，首先，可以从理论层面解释全概率公式的推导过程，引入互斥事件的概念，以及条件概率的概念，然后推导出全概率公式的数学表达式。
2. 示例分析，其次，可以通过具体的例子来说明全概率公式的应用。
例如，可以以掷骰子为例，说明如何利用全概率公式计算得到某一结果的概率。
3. 实际应用，进一步可以介绍全概率公式在实际生活中的应用，比如在市场营销中的应用，或者在医学诊断中的应用等，让学生了
解到全概率公式的重要性和实用性。
4. 练习与应用，最后，可以设计一些练习题或者案例分析，让
学生通过实际操作来加深对全概率公式的理解和应用能力。
总的来说，全概率公式是概率论中一个基础且重要的概念，教
学内容应该包括理论解释、示例分析、实际应用和练习与应用等多
个方面，以帮助学生全面理解和掌握这一概念。
概率的全概率公式
概率的全概率公式好的，以下是为您生成的关于“概率的全概率公式”的文章：在咱们学习概率的这个奇妙世界里，有一个特别重要的家伙，叫做全概率公式。
这玩意儿听起来好像挺高深莫测的，但其实啊，只要咱们耐心点儿，就能把它拿下。
我先给您讲讲啥是全概率公式。
假设咱们面前有一堆事件，比如说B1、B2、B3……Bn ，这些事件就像一群小伙伴，它们两两互斥，而且把所有可能的情况都给包圆儿了。
然后呢，还有一个事件 A ，它的发生和这些小伙伴有关系。
这时候，全概率公式就登场啦，它说：P(A) = P(B1)×P(A|B1) + P(B2)×P(A|B2) + …… + P(Bn)×P(A|Bn) 。
这公式看着挺复杂，其实您就想象成是在找事件 A 发生的所有可能的“路径”。
比如说，有一天我去超市买水果。
超市里有苹果、香蕉、橙子三种水果在打折。
假设我买水果的事件是 A ，买苹果的情况是B1 ，买香蕉的情况是 B2 ，买橙子的情况是 B3 。
每种水果被我选中的概率不一样，而且在选中某种水果的情况下我最终决定购买的概率也不一样。
比如说，我买苹果的概率是 0.3 ，在我决定买苹果的情况下真正买的概率是 0.8 ；买香蕉的概率是 0.4 ，决定买香蕉后真正买的概率是 0.7 ；买橙子的概率是 0.3 ，决定买橙子后真正买的概率是 0.6 。
那我最终买水果的概率 P(A) 就是：0.3×0.8 + 0.4×0.7 + 0.3×0.6 = 0.24 + 0.28 + 0.18 = 0.7 。
您看，通过全概率公式，咱们就能算出我买水果这个事儿到底有多大可能发生啦。
再给您举个例子，比如说学校要举办运动会，有跑步、跳远、跳高三个项目。
参加跑步的概率是 0.4 ，在参加跑步的情况下获得名次的概率是 0.3 ；参加跳远的概率是 0.3 ，在参加跳远的情况下获得名次的概率是 0.4 ；参加跳高的概率是 0.3 ，在参加跳高的情况下获得名次的概率是 0.5 。
第七节 全概率公式
第七节 全概率公式
综合应用
用于计算比较复 杂事件的概率
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互不相容
乘法公式
P(AB)=P(A)P(B|A) P(A)>0
(一)全概率公式
例如 一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到2张入场券. 大家都想去，怎么办？
入入
空 空 场 场 空 抽签！
运用乘法 公式得
2 1 3 2 5 454
抽签不必争
2
先恐后！
5
将公式一般化，就得到全概率公式
1. 全概率公式
设随机试验的样本空间为Ω。
B1,B2,…,Bn为互不相 容的完
B2
备事件组(划分),且P(Bi)>0， i =1,2,…,n,
B3
另有一事件A, 则
A＝AB1+AB2+……+ABn
能性大小的认识。
当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发 生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计。
例如，某地发生了一个案件，怀
偏小
之前，侦破人员根据过去
丙 乙甲
的前科，对他们作案的可能性 有一个估计，设为 知道A
P(B1)
P(B2)
P(B3)
从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍。
说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有意义。
2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为
P(C｜A)=0.1066
即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有 癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个 人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过 再试验来确认.
第7节 全概率公式1
5 7 3 6 53 0.7361. 8 9 8 9 72
概率论与数理统计教程（第四版）
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§1.7
全概率公式
[例3] 某工厂的产品以100个为一批.抽样检查时只从 每批中抽检10个产品,如发现其中有次品,则认为这批产 品不合格.假定每批产品中次品最多不超过4个,且恰有 个 i (i 0,1, 2, 3, 4) 个次品的概率如下：
则
P( A) P( Bi ) P( A Bi )
4 12 0.8 1 0.1 0.1 0.94 5 19
i 0 2
P( B0 A)
P( B0 ) P( A B0 )
P( B ) P( A B )
i 0 i i
2
0.8 1 0.85 0.94
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2 1 0.03 0.02 3 3
0.027
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§1.7
全概率公式
[例2] 设甲袋中有白球5个,红球3个,乙袋中有白球6 个,红球2个.现从甲袋中任取一球放入乙袋,然后再从 乙袋中任取一球.试求从乙袋中取到白球的概率.
, 解： 设 A {从乙袋中取到的是白球 ｝ B1 {从甲袋中取出放入乙袋 的是白球｝ , B2 {从甲袋中取出放入乙袋 的是红球｝ ,
2 1 P ( B1 ) , P ( B2 ) , P( A B1 ) 0.03, P( A B2 ) 0.02 3 3
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全概率公式
定理 若事件A1，A2，…构成一个且都有正概率，则对任意一个事件B，有如下公式成立： 此公式即为全概率公式。 特别地，对于任意两事件A和B，有如下成立： P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|Ac)P(Ac) 其中A和Ac为互补事件。
全概率公式证明过程
全概率公式证明过程
全概率公式是组合概率论的基本公式，用于求解一个实验结果出现的概率，如果我们将这个实验分解为不互斥的子实验，则全概率公式是求解每个子实验结果出现的概率及它们之间的关系的有力工具。
全概率公式定义为：如果事件A可以被分解为互斥的事件A1，A2，…，An，则有:P（A）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）证明：
用反证法证明，假设P（A）≠P（A1）+P（A2）+…+P（An），
即存在某事件Ak，使得P（Ak）不等于P（Ak|A1）+P（Ak|A2）…+P（Ak|An）。
但事件A1，A2，…，An是互斥的，所以可将它们抽象成一种试验，令u=A1，v=A2，…，z=An，
则有P（Ak|u）+P（Ak|v）+…+P（Ak|z）=P（Ak|u∪v∪…∪z）=P（Ak|A1∪A2∪…∪An）=P（Ak|A）
即有P（Ak）=P（Ak|u）+P（Ak|v）+…+P（Ak|z）
又根据全概率公式可得：
P（A）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）
但
P（Ak）=P（Ak|u）+P（Ak|v）+…+P（Ak|z）
故有
P（A）=P（Ak|u）+P（Ak|v）+…+P（Ak|z）＝P（Ak|A）由此可知，当满足 P（A）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）时，Ak
的概率值就等于Ak在A中出现的概率，即 P（Ak）=P（Ak|A）。
所以，P（A）=P（A1）+P（A2）+…+P（An），也就是全概率公式。
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5 7 3 6 53 0.7361. 8 9 8 9 72
概率论与数理统计教程（第四版）
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§1.7
全概率公式
[例3] 某工厂的产品以100个为一批.抽样检查时只从 每批中抽检10个产品,如发现其中有次品,则认为这批产 品不合格.假定每批产品中次品最多不超过4个,且恰有 个 i (i 0,1, 2, 3, 4) 个次品的概率如下：
§1.7全概率公式 Nhomakorabea第一章 随机事件及其概率
§1.7 全概率公式与贝叶斯公式
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§1.7
全概率公式
1.全概率公式
当事件 A 的发生受到多个因素的 影响时，可以通过 分析 A 发生的原因以及这些原 因对事件 A的影响程度来 计算 A 发生的概率. [全概率公式]
Bi B j (i j ),
且 A
n
Bi , 则
i 1
P( Bi ) P( A Bi ) P( Bi A) P( A)
P( Bi ) P( A Bi ) P( B j ) P( A B j ) j 1
n
.
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§1.7
全概率公式
B1 , B2 ,, Bn , 且 Bi , 使得
i 1 n
A AB1 AB2 ABn .
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§1.7
全概率公式
思考题
一批产品共 20件, 已知其中有1件次品, 其余为正品.
现从中任取一件进行检 查, 若为正品, 则认为该批产品
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§1.7
全概率公式
设 A : 这批产品通过检查， 则
P( A B0 ) 1,
10 C10 C 99 98 P( A B1 ) 10 0.900, P( A B2 ) 10 0.809, C100 C100 10 C10 C 97 96 P( A B3 ) 10 0.727, P( A B4 ) 10 0.652, C100 C100 由全概率公式得
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§1.7
全概率公式
小 结
1. 全概率公式的实质： 当事件 A 的发生受到多个因素的 影响时，我们通过 分析 A 发生的原因(公式中的事件 Bi )以及这些原因对事 件 A的影响程度 (公式中的概率 P( A Bi ))来计算 A 发生的 概率. 2. 应用全概率公式的关键：找一个互不相容事件组
通过验收检查 .已知检查时一件正品被 误判为次品的
概率为0.05, 一件次品被误判为正品 的概率为0.01. 求
这批产品通过验收检查 的概率.
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全概率公式
解： 设 A : 这批产品通过验收检查 ， B : 所取的一件
产品确为正品，则
19 1 P( B) , P( B) , 20 20 P( A B) 0.95, P ( A B) 0.01,
解： B : 被检查者患有癌症， 则 设 A : 试验结果呈阳性， P( B) 0.004, P( A B) 0.95, P( A B) 0.96. 由此可知 P( B) 0.996, P( A B) 0.05, P( A B) 0.04.
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P ( ABi ).
i 1 n
再由乘法定理得
P ( A) P ( Bi )P ( A Bi ).
i 1
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n
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全概率公式
[例1] 两台车床加工相同的零件，甲车床出现废品 的概率为0.03，乙车床出现废品的概率为0.02，且 甲车床加工的零件比乙车床加工的零件多1倍.将两 车床加工的零件放在一起，求任取一零件是废品的 概率. 解： 设 A : 任取一零件是废品 B1 : 零件由甲车床生产 B2 : 零件由乙车床生产 则
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§1.7
全概率公式
[例5] 临床诊断记录表明,利用某种试验检查癌症具有 如下的效果:对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占 95%,对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%. 现在用这种试验对某市居民进行癌症普查,如果该市癌 症患者数占居民总数的4‰,求: (1) 试验结果呈阳性反应者确实患有癌症的概率； (2) 试验结果呈阴性反应者确实未患癌症的概率.
则
P( A) P( Bi ) P( A Bi )
4 12 0.8 1 0.1 0.1 0.94 5 19
i 0 2
P( B0 A)
P( B0 ) P( A B0 )
P( B ) P( A B )
i 0 i i
2
0.8 1 0.85 0.94
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设有随机事件 A, B1, B2 , , Bn , 已知P( Bi ) 0(i 1, 2, , n), n Bi B j (i j ), 且 A B , 则 i
P( A) P( Bi ) P( A Bi ).
i 1
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n
i 1
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2 1 P ( B1 ) , P ( B2 ) , P( A B1 ) 0.03, P( A B2 ) 0.02 3 3
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全概率公式
由全概率公式得
P( A) P( B1 ) P( A B1 ) P( B2 ) P( A B2 )
P ( A) P ( Bi ) P ( A Bi )
i 0
4
0.8142.
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全概率公式
2. 贝叶斯公式
在全概率公式中，通常把事件 Bi 的概率 P ( Bi ) (i 1,2,, n) 叫做试验前的假设概率. [先验概率] 如果试验时 A 确实发生了，则应重新估计事件 Bi 的概率，即计算条件概率P( Bi A) (i 1,2,, n), 称为 [后验概率] 试验后的假设概率. 由乘法定理，P( A) P( Bi A) P( Bi ) P( A Bi ). [贝叶斯公式]
在[例1]中，若已知取出的零件是废品，则它是 甲车床生产的概率为
P( B1 A) 3 0.75 0.03 2 0.02 1 3 3 0.03 2
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全概率公式
[例4] 玻璃杯成箱出售，每箱20只.假设每箱含0，1， 2只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购 买一箱玻璃杯，购买时售货员随意取一箱，顾客开箱 随机查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否 则退回.求： （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率； （2）在顾客买下的这箱玻璃杯中确实没有残次品 的概率.
解：
A : 顾客买下该箱玻璃杯
Bi : 箱中含有 i 只残次品 i 0,1, 2
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§1.7
全概率公式
P( B0 ) 0.8, P( B1 ) 0.1, P( B2 ) 0.1
4 C19 4 12 P( A B0 ) 1, P( A B1 ) 4 , P( A B2 ) C20 5 19
P( Bi ) P( A Bi ) P( Bi A) P( A)
P( Bi ) P( A Bi ) P( B j ) P( A B j ) j 1
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n
.
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§1.7
全概率公式
[贝叶斯公式] 设有随机事件 A, B1, B2 , , Bn , 已知P( Bi ) 0(i 1, 2, , n),
一批产品中有次品数 概 率 0
0.1
1
0.2
2
0.4
3
0.2
4
0.1
求各批产品通过检查的 概率.
解 : 设 Bi : 一批产品中有 i 个次品 (i 0,1,2,3,4)， 则 P( B0 ) 0.1, P( B1 ) 0.2, P( B2 ) 0.4, P( B3 ) 0.2, P( B4 ) 0.1,
§1.7
全概率公式
由贝叶斯公式得
P( B) P( A B) (1) P( B A) P( B) P( A B) P( B) P( A B)
0.004 0.95 0.0871 . 0.004 0.95 0.996 0.04
P( B) P( A B) (2) P( B A) P( B) P( A B) P( B) P( A B) 0.996 0.96 0.9998 . 0.004 0.05 0.996 0.96