初中数学垂径定理第1课时PPT课件
合集下载
《垂径定理推论》课件
04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公 式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析：利用两点之间的距离公 式，我们知道点P到圆心的距离 等于点P的横坐标与圆心横坐标 之差的平方和加上点P的纵坐标 与圆心纵坐标之差的平方和的平 方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾 垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推 论解决实际问题，提高数 学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，增强数学学习的自 信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理， 它描述了从圆心到圆上任一点的 连线（即半径）与通过该点的圆 的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程，可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通 过逐步推导和解析，可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理，还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实 例分析，可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线被圆所截得的弦长为多少？
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，求圆 上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A，且直线l的方程为 Ax + By + C = 0，求点A到直线l的距离公 式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。
初中数学《垂径定理》公开课课件
C
O
AE
F
B
P
D
A
B
O
自我评价 本节课堂自我评价
评价项目及评价结果 优
良
合格
不合格
课前预习的主动性以及 效果
课堂活动的参与度
独立回答问题以及解决 问题的准确性
对整节课所学知识以及 数学思想方法的认识与 体会
较之上节课的学习表现 是
否
是否有了进步
备注：请根据评价项目对自己作出客观的评价,并写在相应的栏目下面。
E
连半径 建模思想
F
●
D
O
用勾股 方程思想
解这个方程,得R 545.
牛刀小试
1.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,则∠OAB的正弦 值是 。
0
A
B
辅助线：作垂直，得平分，用勾股
大显身手
2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的
距离是 2cm或14cm .
.
3.分类讨论思想
1.实际生活中的应用价值
2.自主探索和团队合作精神
当堂检测
必做题
1.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么
OP长的取值范围是______。
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
O
A
PB
O.
AC
DB
当堂检测
动手操作
折一折：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的
直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
·
可以发现：圆是_轴__对__称_ 图形，任何一条直__径__所__在__的__直__线 都是它的对称轴，它有__无__数__条对称轴。
3.3垂径定理精品PPT课件
求证
② CD平分弦AB
定逆理命1题：1：
C
平分弦(的不直是径直垂径直)的于直弦径，垂并直且于平弦分，弦并所A且对平的M分└弧弦. 所B 定逆对理命的2题弧：2. 平：分平弧分的弧直的径直垂径直垂平直分平于分弧弧所所对对的的弦弦●..O
探索一个定理的逆命题是否成立是发现新定理的一种常D 用方法
如图，在⊙O中，直径CD交弦AB （不是直径）于点E.
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴;
（2）圆的对称轴有无数条．
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.
(1)该图是轴对称图形吗？
(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成
为轴对称图形? C
A EO A D
思考：你能 利用等腰三 角形的性质， B 说明CD平 B 分AB吗？
所对的另一条弧.
（ √）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
(4)弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且
经过圆心.
（√ ）
(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧
（√ ）
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心 作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结 半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
(1)若 CD⊥AB，则
有 AE=EB 、 AC=BC 、 AD=BD ；
(2)若 AE=EB， 则
有 CD⊥AB、 AC=BC 、 AD=BD ；
(3)若 AC=BC ，则
有 CD⊥AB、 AE=直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧. （ ）
② CD平分弦AB
定逆理命1题：1：
C
平分弦(的不直是径直垂径直)的于直弦径，垂并直且于平弦分，弦并所A且对平的M分└弧弦. 所B 定逆对理命的2题弧：2. 平：分平弧分的弧直的径直垂径直垂平直分平于分弧弧所所对对的的弦弦●..O
探索一个定理的逆命题是否成立是发现新定理的一种常D 用方法
如图，在⊙O中，直径CD交弦AB （不是直径）于点E.
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴;
（2）圆的对称轴有无数条．
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.
(1)该图是轴对称图形吗？
(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成
为轴对称图形? C
A EO A D
思考：你能 利用等腰三 角形的性质， B 说明CD平 B 分AB吗？
所对的另一条弧.
（ √）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
(4)弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且
经过圆心.
（√ ）
(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧
（√ ）
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心 作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结 半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
(1)若 CD⊥AB，则
有 AE=EB 、 AC=BC 、 AD=BD ；
(2)若 AE=EB， 则
有 CD⊥AB、 AC=BC 、 AD=BD ；
(3)若 AC=BC ，则
有 CD⊥AB、 AE=直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧. （ ）
《垂径定理》优秀ppt课件2024新版
判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等， 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行，从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足 将直径分成的两条线段相等，且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
【最新】课件-垂径定理PPT
合都能得到另外三个。
简称“二推三”
应用1：垂径定理的有关计算
例2 一条排水管的截面如图所示．排水 管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截 面圆心O到水面的距离 ．
圆心到圆的一条弦的
． O
距离叫做弦心距．
A
C
16
B
应用1：垂径定理的有关计算
练习2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。 E
⌒⌒ , AD=BD
?
C
C
CB
AE
O
O
O
E
E
A
BA
B
D
D
D
直径垂直弦 才能平分弦,平分弦所对的弧.
例1 已知A⌒B，如图，用直尺和圆规求作这 条弧的中点．
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD,交弧AB于点E.
A
点E就是所求弧AB的中点．
C E
B
D
变式： 求弧AB的四等分点．
错在哪里？
Ｅ
练习6 已知：⊙O中
弦AB∥⌒CD。⌒
C
求证：AC＝BD
A
M
D
∟.
B
O
N
小结:
A
.
O
C
B
A
O.
E AC
DB
M
D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是
①过圆心作弦的垂线，
②作垂直于弦的直径，
③连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
六、总结回顾
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
垂径定理ppt课件
连接OA,如图所示,则OA=OD=250,
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
返回目录
2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
返回目录
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
返回目录
5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
返回目录
知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
返回目录
2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
返回目录
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
返回目录
5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
返回目录
知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
初中数学九年级上 册28.4 垂经定理 课件
证一证：
已知： CD是圆0的直径， AB为弦，且AB⊥CD，
垂足为E。
C
求证：AE=BE，A⌒D=B⌒D， A⌒C=B⌒C．
O·
说一说：
A
E
B
D
你能把上述的条件及结论归纳成定理
吗？
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,
且平分弦所对的两条弧
C
几何语言：
·O
AE
B
D
∵ CD是直径， CD⊥AB
∴ AE=BE, A⌒C ⌒ A⌒D ⌒ =BC, =BD.
AEB
O·
当堂检测：
4、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
13cm,OE=5cm,则A2B4= cm。
AE
B
·O
• 方法提炼：涉及半径、弦长、圆心到弦距 离的计算时，通常作半径，及过圆心作弦 的垂线，构造以半径为斜边的直角三角形 ，利用垂径定理和勾股定理解决。
温馨提示
·O
计算中常用勾股定理 呀！
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c.
C
A
D
B
O
O
A
E
B
.
A
Dc
O
E
BA
C
O EB D
A
D
B
O
是
注 过意 圆： 心不定（理直是中径的）两，个垂条直是件于弦
缺一不可！
O
不是 A
E
B
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
垂径定理PPT课件
请观察下列三个银行标志有何共同点?
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少 条对称轴？ 你是用什么方法解决 上述问题的?
●
O
圆的对称性
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
注意：
●
O
对称轴是直线，不 能说每一条直径都是它 的对称轴；
课外拓展
1. 已知：如图， 在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C， D两点。 求证：AC＝BD。
O
A E C D B
.
2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．
M
A
．
O
N
C
思路：由垂径定理可得M、 1N分别是 AB、AC的中点，所以MN= BC=2． 2
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是 ⊙O直径. (1)该图是轴对称图形吗？ (2)能不能通过改变AB、CD的位置关系, 使它成为轴对称图形?
直径CD和弦AB互相垂直
特殊情况 C A M O D
在⊙O中，AB为弦， CD为直径,CD⊥AB
提问：你在图中能找 到哪些相等的量？并 B 证明你猜想的结论。
A.CE=DE
C．OE=BE
B. BC=BD
⌒⌒
A
． O C
E B D
D． ∠COE=∠DOE
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最 短弦长为8cm，那么OM长为（ A ）
A．3
B．6cm
C． 41cm
D．9cm
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8， M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范 A 围是（ ）
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少 条对称轴？ 你是用什么方法解决 上述问题的?
●
O
圆的对称性
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
注意：
●
O
对称轴是直线，不 能说每一条直径都是它 的对称轴；
课外拓展
1. 已知：如图， 在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C， D两点。 求证：AC＝BD。
O
A E C D B
.
2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．
M
A
．
O
N
C
思路：由垂径定理可得M、 1N分别是 AB、AC的中点，所以MN= BC=2． 2
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是 ⊙O直径. (1)该图是轴对称图形吗？ (2)能不能通过改变AB、CD的位置关系, 使它成为轴对称图形?
直径CD和弦AB互相垂直
特殊情况 C A M O D
在⊙O中，AB为弦， CD为直径,CD⊥AB
提问：你在图中能找 到哪些相等的量？并 B 证明你猜想的结论。
A.CE=DE
C．OE=BE
B. BC=BD
⌒⌒
A
． O C
E B D
D． ∠COE=∠DOE
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最 短弦长为8cm，那么OM长为（ A ）
A．3
B．6cm
C． 41cm
D．9cm
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8， M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范 A 围是（ ）
垂径定理PPT课件
A
B
E
.
O
C
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 A E B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
结论
⌒CD⊥⌒AB A⌒C=B⌒C
C
AD=BD
D
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
C
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
C
A
┗●
M
●O
B 由 ① CD是直径 ③ AM=BM
A
D
B
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/20
可编辑
讲解
M
如果圆的两条弦互相平 C 行，那么这两条弦所夹 A 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
D B
.O
N
证∴M明N：⊥作C直D径。M则NA⊥MA⌒＝BB。M∵⌒，ACBM∥＝C⌒DDM，（⌒垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦）
O
A C G DB
AM⌒ －CM⌒
＝
⌒
BM
－D⌒M
∴A⌒C＝BD⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等
垂径定理的推论2
初中数学课件： 垂径定理1
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
例1 已知A⌒B，如图，用直尺和圆规求作这
条弧的中点．
作法：
⒈ 连结AB.
C
⒉作AB的垂直平分线
E
CD,交弧AB于点E. A
B
点E就是所求弧AB的中点．
D
变一变： 求弧AB的四等分点．
C mE F
A
n G
B
D
例2 一条排水管的截面如图所示．排水 管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面 圆心O到水面的距离OC ．
变一变 一条排水管的截面如
图所示．排水管的半径
OB=10，水面宽AB=16，求
C
截面中水的最大深度．
C
半径（r) 弦心距(d)
半弦
变1、式如如图图，，圆圆O中O中弦弦ABA的B的长长为为8，8，半C径E 过OD圆⊥心OA且B于垂点直CA，B于DC点=2C，，求CE圆=8O，的求半圆径O. 的半径.
设未知数，利用两直角 三角形的公共边，由勾 股定理建立相等关系.
思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OB平分CD吗？
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
A
O
D
圆心到圆的一条弦 C P
的距离叫做弦心距．
B
如图所示，AB是⊙O 的直径，CD为弦，CD⊥AB
于点E，则下列结论中不一定成立的是（ C）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE
D．BC BD
② A⌒C=A⌒D，B⌒C=B⌒D．
理由如下：∵∠OPC=∠OPD=Rt∠，
垂根据径圆定的理轴对: 称性，可得射线PC与PD重合， 垂∴直点于C与弦点的D重直合径，弧平AC分和这弧A条D重弦合,，并弧且BC平和弧分BD弦重所合．对的弧.
垂经定理PPT课件1
实践探究
沿着圆的任意一条直径对折，重 复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径 所在直线都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为 E．
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
∴四边形ADOE为矩形，AE 1 AC，AD 1 AB
2C
2
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
▪ 练习：1、已知：如图，线段AB与⊙O交于 C、D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.
▪ 2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求 证：AC＝BD
D
垂径定理：垂直于弦的直径平 分弦，并且平分弦所对的两条 弧．
由① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
·O
E
A
B
D
③AE = BE ④A⌒C = ⌒ B⑤CA⌒D = ⌒
BD
垂径定理的几个基本图形
C
O
A
A
E
B
D
CD过圆心
CD⊥AB于E
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
设⊙O的半径是r，圆心到弦的 距离d，弦长a，
根据勾股定理，得：AO2 OM 2 AM 2 ∴ AM AO2 OM 2 102 62 8 ∴ AB = 2AM = 2 x 8 = 16
归纳：垂径定理中常见的辅助线：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弦长AB 2 r 2 同一个圆中，两条弦
.C
的长短与它们所对应的弦心距之
A
D
B 间有什么关系？
5 O
13
答:在同一个圆中，
弦心距越长,所对应的弦就越短;
弦心距越短,所对应的弦就越长.
归纳：
1．作弦心距和半径是圆中 常见的辅助线；
2 ．半径（r)、半弦、弦心 距(d)组成的直角三角形是研 A 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
1．若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么?
２．如果以这个等腰三角形的顶点为圆心， 腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图 形呢？
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C
O
D
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ） 结论1：
的半径.
C
A
D1
3
3
B
O
4.如图，AB是⌒AB所对的弦，AB的垂直平分线DG 交A⌒B于点D，交AB于点G，给出下列结论：
⌒⌒ ① DG⊥AB ②AG=BD ③BD=AD
其中正确的是__①__③____
D
A
G
B
5、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 求证：A⌒C=⌒BD
O
A
B
C
D
6.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点
作法： ⒈ 连结AB. ⒉ 作AB的垂直平分线
A
CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点．
C E
B
D
变式： 求弧AB的四等分点．
C
m
E
F
A
n
G
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少?
解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得:
请用命题的形式表述你的结论.
思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？
C
A M└ ●O
D
证明 : 连接OA、OB,
则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
B ∵⊙O关于直径CD对称,
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
10 C 88 D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
C
O
A
A
E
B
D
A
O
C
B
A
O
D
B
D
B
O
C
C
A
CB
D
O
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是对称轴。 强调：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴;
（2）圆的对称轴有无数条．
在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB
与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你
发现哪些点、线互相重合? 如果把能够重合的圆弧叫做
∴ 重当合圆, ⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, ⌒ A对D折和时B⌒D,点重合A与. 点B
∴A⌒C
⌒
=BC,
A⌒D
⌒
=BD.
结论2：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
A
垂径定理的几何语言叙述:
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）C E O
D
∴ EA=EB， A⌒C=B⌒C， A⌒D=B⌒D．
E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
B
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧A B
CD平分弧ADB
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
例1 已知A⌒B，如图，用直尺和圆规求作这条弧的 中点．(先介绍弧中点概念）
分析:要平分A⌒B,只要画垂直于弦AB的直径.而这 条垂直直平径分应线在就弦能AB把的A⌒垂B平直分平.分线上.因此画AB的
弦长AB 2 r2 d 2 .
O．
dr
C
B
2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且 OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ） (A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O 10 P8 6
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB
OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O
相等的圆弧,那么在下图中,哪些圆弧相等? A
得 ①E出A=结EB论；：② A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D．
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
CE O
D
根据圆的轴对称性，可得射线EA与EB重合， B
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．
∴ EA=EB，
A⌒C=
⌒ BC，
⌒⌒ AD=BD．
.C
的长短与它们所对应的弦心距之
A
D
B 间有什么关系？
5 O
13
答:在同一个圆中，
弦心距越长,所对应的弦就越短;
弦心距越短,所对应的弦就越长.
归纳：
1．作弦心距和半径是圆中 常见的辅助线；
2 ．半径（r)、半弦、弦心 距(d)组成的直角三角形是研 A 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
1．若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么?
２．如果以这个等腰三角形的顶点为圆心， 腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图 形呢？
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C
O
D
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ） 结论1：
的半径.
C
A
D1
3
3
B
O
4.如图，AB是⌒AB所对的弦，AB的垂直平分线DG 交A⌒B于点D，交AB于点G，给出下列结论：
⌒⌒ ① DG⊥AB ②AG=BD ③BD=AD
其中正确的是__①__③____
D
A
G
B
5、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 求证：A⌒C=⌒BD
O
A
B
C
D
6.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点
作法： ⒈ 连结AB. ⒉ 作AB的垂直平分线
A
CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点．
C E
B
D
变式： 求弧AB的四等分点．
C
m
E
F
A
n
G
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少?
解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得:
请用命题的形式表述你的结论.
思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？
C
A M└ ●O
D
证明 : 连接OA、OB,
则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
B ∵⊙O关于直径CD对称,
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
10 C 88 D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
C
O
A
A
E
B
D
A
O
C
B
A
O
D
B
D
B
O
C
C
A
CB
D
O
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是对称轴。 强调：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴;
（2）圆的对称轴有无数条．
在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB
与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你
发现哪些点、线互相重合? 如果把能够重合的圆弧叫做
∴ 重当合圆, ⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, ⌒ A对D折和时B⌒D,点重合A与. 点B
∴A⌒C
⌒
=BC,
A⌒D
⌒
=BD.
结论2：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
A
垂径定理的几何语言叙述:
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）C E O
D
∴ EA=EB， A⌒C=B⌒C， A⌒D=B⌒D．
E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
B
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧A B
CD平分弧ADB
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
例1 已知A⌒B，如图，用直尺和圆规求作这条弧的 中点．(先介绍弧中点概念）
分析:要平分A⌒B,只要画垂直于弦AB的直径.而这 条垂直直平径分应线在就弦能AB把的A⌒垂B平直分平.分线上.因此画AB的
弦长AB 2 r2 d 2 .
O．
dr
C
B
2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且 OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ） (A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O 10 P8 6
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB
OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O
相等的圆弧,那么在下图中,哪些圆弧相等? A
得 ①E出A=结EB论；：② A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D．
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
CE O
D
根据圆的轴对称性，可得射线EA与EB重合， B
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．
∴ EA=EB，
A⌒C=
⌒ BC，
⌒⌒ AD=BD．