3.3 微分及其在近似计算中的应用
微分及其在近似计算中的应用
x0 x
x0
按微分的定义 , 知 f ( x)在x0处可微.
这表明:函数 f ( x) 在点 x0可导 , 则函数在点 x0必可微.
由此可见 ,函数 f ( x) 在点 x0处可导与可微是等价的.
由上面推导可以看出 A f ( x0 ) 所以函数 f ( x) 在 x0 处的微分 dy xx0 f ( x0 ) x ………………………… (1) 由 (1) 式可知，自变量微分 dx x x x 所以函数 f ( x) 在 x0 处微分 , 又可写成
当边长从x0变到x0 x时，面积A有相应的改变量 A （x0 x）2 x02 2x0x (x)2
这个 A 2x0x (x)2 由两部分组成 第一部分 : 2x0 x 是 x 的线性函数 第二部分 :(x)2是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
NT MN tanq f ( x0 ) . x dy
即 dy NT
y
于是 , 函数 y f ( x) 在点 x0 处的
微分就是曲线 y f ( x)在点M ( x0 , y0 )
处的切线MT, 当横坐标由 x0 变到 x0 x时, 其对应的纵坐标
q
o
的改变量.
P
T
M N
x 0 x0
x
x
二、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 dy f ( x)dx
d(C) 0
d( x ) x 1 dx
d(a x ) a x lna dx 1
d(log a x) x ln a dx d(sin x) cos x dx
d(tan x) sec2 x dx d(sec x) sec x tan x dx
一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积 增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部 分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的 近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得 增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近 似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，
微分求近似值
微分求近似值
微分求近似值是数学中的一个常见问题,旨在找到一个函数的近似值,使其与原函数的误差达到最小。
在数学、物理、工程等领域中,近似值非常重要,可以帮助我们进行各种分析和计算。
本文将探讨微分求近似值的方法和应用。
微分求近似值的方法可以分为两类:基于函数的导数和基于函数的极值。
其中,基于函数的导数的求近似值方法是最常用的方法。
在这种方法中,我们首先求出函数的导数,然后利用导数的正负性来近似原函数。
具体来说,设我们要计算的函数为$f(x)$,则我们可以对其求导数,得到$f'(x)$。
然后,我们利用导数的正负性来决定如何近似$f(x)$。
如果$f'(x)>0$,则我们通常可以沿$x$轴正方向求近似值;如果$f'(x)<0$,则我们通常可以沿$x$轴负方向求近似值。
这种方法可以有效地将原函数近似为$f(x)+k$,其中$k$是一个常数。
基于函数的极值的求近似值方法相对较为复杂。
在这种方法中,我们首先需要找到函数的极值点,然后利用这些极值点来近似$f(x)$。
这种方法比较适用于一些比较复杂的函数,比如$e^x$函数。
微分求近似值的应用非常广泛。
在数学领域中,微分求近似值可以用来计算各种数值,比如微积分、微分方程等。
在物理领域中,微分求近似值可以用来计算物理量的大小,比如速度、加速度等。
在工程领域中,微分求近似值可以用来计算各种实际问题,比如机械效率、电路中的电流等。
微分求近似值的方法可以有效地求解很多实际问题,实现重要的近似计算。
不仅如此,还可以为其他数值求解提供一个重要的数学工具。
微分的定义、计算和应用领域
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目录
微分的定义
微分的计算
微分的应用领域
微分在数学建模 中的应用
微分在经济学中 的应用
微分的定义
微分表示曲线在某一点的切线斜率 微分可以理解为函数值随自变量变化的近似值 微分的大小表示函数图像在相应点的变化率 微分的正负号表示函数图像在相应点的增减性
微分是一种数学运算，表示函数在某一点的变化率 微分由函数在该点的导数定义，记作f'(x) 微分运算可以用线性近似的思想来理解，即用线性函数近似非线性函数 微分是高等数学中的基本概念之一，是研究函数变化规律的重要工具
线性方程：通过微分法将线性方程转化为可解的形式 非线性方程：利用微分法寻找方程的根 微分方程：通过微分法求解微分方程，得到函数的变化规律 积分方程：通过微分法将积分方程转化为可解的形式
概率分布函数的导数：描述随机变 量的变化趋势
随机变量的方差和协方差：计算随 机变量的变异程度和相关性
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随机变量的概率密度函数：计算概 率密度函数的值
大数定律和中心极限定理：研究随 机变量的极限性质和分布规律
微分在经济学中的 应用
定义：微分在经济学中用于描述函数边际变化的概念。
计算方法：通过求导数来计算边际值。
应用领域：边际分析常用于企业决策、市场分析等领域，帮助决策者了解经济变量的变化趋势 和影响。
求导
参数式函数的 微分：导数的
线性主部
参数式函数的 微分法则：适 用于参数式函 数数是指函数关系由一 个等式来表示，而非显式地给出自 变量和因变量之间的函数关系。
应用领域：隐式函数的微分法则在数 学、物理、工程等多个领域都有广泛 应用，例如解决物理问题、优化问题、 控制系统等领域。
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用微分是微积分的一个重要概念，它是描述函数变化率的工具。
在微分中，有一些运算法则可以帮助我们简化复杂的函数求导过程，而微分在近似计算中也有广泛的应用。
一、微分的运算法则1.常数微分法则：如果常数函数f(x)=C，其中C为常数，那么它的导数f'(x)=0。
2.幂微分法则：如果函数f(x) = x^n，其中n为常数，那么它的导数f'(x) =nx^(n-1)。
3.和差微分法则：如果函数f(x)=g(x)±h(x)，那么它的导数f'(x)=g'(x)±h'(x)。
4.乘积微分法则：如果函数f(x)=g(x)*h(x)，那么它的导数f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
5.商微分法则：如果函数f(x)=g(x)/h(x)，那么它的导数f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h(x)^26.复合函数微分法则：如果函数f(x)=g(h(x))，那么它的导数f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
7.反函数微分法则：如果函数y=f(x)有反函数x=g(y)，那么f'(x)*g'(y)=1，也就是说f'(g(y))=1/g'(y)。
微分在近似计算中有很多应用，以下介绍其中的几种常见应用。
1.切线近似法：利用微分的定义，可以得出函数在其中一点的切线方程。
利用切线方程，我们可以近似得到函数在该点附近的函数值。
这在物理学中常用于速度和加速度的计算中。
2.极值问题的求解：在求解函数的极值问题时，可以利用函数在临界点附近的导数信息。
通过求导找到函数的临界点，计算函数在这些临界点处的函数值，比较函数值的大小，就可以得到函数的极值。
3.弧长的计算：将弧长表示为函数关于自变量的微分形式，通过计算微分形式的积分，就可以得到两个点之间的弧长。
函数的微分及其在近似计算中的应用
3、问题：函数可微的条件是什么？ A = ? 问题：函数可微的条件是什么？ 可微, 则有(1)成立 成立， 设函数 y = f (x) 在点 x0 可微 则有 成立，即
∆y = A∆x + o(∆x)
等式两端除以 ∆x , 得
o( ∆ x ) ∆y = A+ . ∆x ∆x
于是, 于是 当 ∆x → 0时, 由上式就得到 o(∆x ) ∆y = lim A + lim = A. f ′( x 0 ) = ∆ x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x 可微， 因此, 因此 如果函数 f (x) 在点 x 0 可微，则 f (x)在点 x 0也一定可导 且 也一定可导,
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 函数在任意点的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 df ( x ), 即 称为函数的微分 dy = f ′( x ) ∆ x . 如函数 y = cos x 的微分为
dy = (cos x )' ∆ x = − sin x ∆ x 显然， 显然，函数的微分 dy = f ′( x )∆x 与 x 和 ∆x 有关。 有关。
′
1 d (log a x ) = dx, x ln a 1 d (ln x ) = dx , x 1 d (arcsinx) = dx, 2 1− x 1 d (arccosx) = − dx, 1 − x2 1 d (arctanx) = dx, 2 1+ x
1 (arccot x) = − 2 . 1+ x
dy = ( x 3 )′∆x = 3 x 2 ∆x.
再求函数当 x = 2 , ∆ x = 0 . 02 时的微分
dy
x =2 ∆x =0.02
微分在近似计算中的应用教案
微分在近似计算中的应用教学目的：1、理解微分的几何意义2、掌握微分在近似计算的应用3、掌握微分在误差估算的应用教学重点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学难点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算2、导入新课3、讲授新课（1）1、理解微分的几何意义（2）微分在近似计算的应用（3）微分在误差估算的应用4、例题分析5、课堂小结6、布置作业微分在近似计算中的应用在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。
1．函数增量的近似计算如果()y f x =在0x 点可微,则函数的增量 0()()()y f x x o x dy o x '∆=∆+∆=+∆, 当||x ∆很小时,有 0()y f x x '∆≈∆例1 半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？ 解：设2A r π=，10r =厘米，0.05r ∆=厘米，则22100.05A dA r r πππ∆≈=⋅∆=⨯⨯=（2厘米）例2 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0.01cm ，估计一下每只球需用铜多少g (铜的密度是8.9g/cm 3)?解: 先求出镀层的体积，再求相应的质量。
因为镀层的体积等于两个球体体积之差V ∆，所以它就是球体体积343V R π= 当R 自0R 取得增量R ∆时的增量，我们求V 对R 的导数:003204()4,3R R R R V R R ππ==''==204.V R R π∆≈⋅∆ 将0 1, 0.01 R R =∆=带入上式，得 234 3.1410.010.13().V cm ∆≈⨯⨯⨯= 于是镀每只球需用的铜约为0.138.9 1.16().g ⨯=2．函数值的近似计算由00()()y f x x f x ∆=+∆-，00()()dy f x dx f x x ''==∆，y dy ∆≈得000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆,令0x x x =+∆, 有000()()()()f x f x f x x x '≈+-（用导数作近似计算公式）. 若00x =，则 ()(0)(0).f x f f x '≈+说明：（1）要计算()f x 在x 点的数值，直接计算()f x 比较困难，而在x 点附近一点0x 处的函数值0()f x 和它的导数0()f x '却都比较容易求出,于是可以利用000()()()f x f x x x '+-作为()f x 的近似值, x 与0x 越接近越精确。
微分及其在近似计算中的应用
微分及其在近似计算中的应用微分是微积分的重要概念之一，它描述了函数在其中一点上的变化率。
利用微分，我们可以研究函数的极值、函数的连续性、函数的图像等性质。
在实际应用中，微分也有着广泛的应用，尤其是在近似计算中。
一、微分的定义及性质微分的定义是通过极限的概念进行的。
对于函数f(x)，如果在其中一点a处存在极限：\[f'(a) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}\]则称函数f(x)在点a处可微分，f'(a)称为函数f(x)在点a处的导数。
函数f(x)的导函数，或称为它的导数函数，表示了函数在每一点的变化率。
根据微分的定义，导数具有以下性质：1.一元函数的导数只与该点的函数值有关，与其他点无关；2.导数存在的充分必要条件是函数在该点可微；3.对于多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数，都有相应的导数公式，可以通过公式计算导函数。
二、微分的应用1.近似计算微分在近似计算中有着广泛的应用。
我们知道，在一个点附近，函数可以用它的切线近似代替。
这个近似的精度，就可以通过微分来度量。
对于函数f(x)在其中一点a的微分为f'(a)，可以近似地表示为：\[f(a+h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h\]其中，h为f(x)在a点邻近的增量。
这个公式被称为“一阶微分公式”。
根据这个公式，我们可以使用函数的微分来近似计算函数在其中一点的函数值。
举例来说，考虑函数y=f(x)=x^2，在点x=3附近的近似计算。
我们可以先求出函数在点x=3处的导数：\[f'(3) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(3+h)-f(3)}}{h} = 6\]然后，我们可以利用微分来近似计算f(x)在点x=3.1处的函数值：\[f(3.1) \approx f(3) + f'(3) \cdot (3.1-3) = 9 + 6 \cdot 0.1 = 9.6\]这个结果与实际的计算结果3.1^2=9.61非常接近。
函数的微分及其在近似计算中的应用
函数的微分及其在近似计算中的应用一、函数的微分1.导数的定义对于函数y=f(x)，如果函数在一些点x0处的导数存在，那么这个导数称为函数在这个点的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数的几何意义可以理解为函数曲线在其中一点处的切线斜率。
2.导数的计算常见的函数导数的计算公式包括：常数函数的导数为0；幂函数的导数为幂次-1乘以系数；指数函数和对数函数的导数；三角函数和反三角函数的导数。
3.高阶导数对于函数的导数也可以再进行求导，得到的导数称为高阶导数。
高阶导数的理解可以理解为导数的导数，可以表示函数的更加详细的变化情况。
二、微分的应用1.近似计算微分在近似计算中有广泛的应用。
利用导数的定义，可以利用线性近似来计算函数在其中一点的近似值。
设函数在x0点处的导数为f'(x0)，那么在x0+h处的函数值可以表示为f(x0+h) = f(x0) + hf'(x0)，这种方法又被称为泰勒展开。
因此，我们可以利用导数来计算复杂函数在一些点的近似值，从而简化计算过程。
2.最优化问题在求解最优化问题时，微分也是一个重要的工具。
对于单变量函数，通过求导可以得到函数的极值点，进而求解最大值或最小值。
对于多变量函数，微分可以帮助我们找到最优解的方向，通过迭代方法逐步逼近最优解。
3.数值计算微分在数值计算中也有重要的应用。
在数值积分中，我们可以利用导数来进行数值积分，例如利用梯形法则或辛普森法则。
在数值解微分方程的过程中，也需要计算函数的导数来逼近微分方程的解。
4.概率论和统计学微分在概率论和统计学中也有广泛的应用。
通过对概率密度函数进行微分，可以得到概率密度函数的导数（即概率密度函数的变化率），从而求得随机变量的期望、方差等统计特征。
总结：函数的微分是微积分的基本概念，它描述了函数在其中一点的局部变化率。
微分的计算和应用在近似计算中有广泛的应用，包括数值计算、优化问题等。
通过近似计算、最优化问题、数值计算以及概率论和统计学等领域的应用，微分帮助我们简化计算过程、求解最优解、逼近函数的解以及分析概率分布等问题。
导数与微分题型与做题方法总结
导数与微分题型与做题方法总结目录1. 导数与微分题型概述 (3)1.1 导数的概念 (4)1.2 微分的概念 (4)1.3 导数与微分的联系 (4)2. 导数题型分类及解题方法 (5)2.1 一阶导数求法 (6)2.1.1 利用导数定义求导 (6)2.1.2 利用导数公式求导 (7)2.1.3 利用求导法则求导 (7)2.2 高阶导数求法 (7)2.2.1 利用高阶导数公式求导 (8)2.2.2 利用求导法则求高阶导数 (9)2.3 复合函数求导 (9)2.3.2 分部积分求导 (10)2.4 隐函数求导 (11)2.4.1 直接求导法 (12)2.4.2 对数求导法 (13)2.5 参数方程求导 (13)3. 微分题型分类及解题方法 (14)3.1 微分公式及运算 (15)3.1.1 微分的基本公式 (15)3.1.2 微分的运算规则 (16)3.2 微分在近似计算中的应用 (16)3.2.1 微分近似计算公式 (17)3.2.2 微分近似计算的步骤 (17)3.3 微分在经济学中的应用 (18)3.3.1 边际分析 (19)4. 导数与微分综合题型及解题技巧 (21)4.1 导数与微分的综合应用 (22)4.1.1 导数与微分在几何中的应用 (23)4.1.2 导数与微分在物理中的应用 (24)4.2 解题步骤及注意事项 (25)4.2.1 分析题意，确定题型 (26)4.2.2 选择合适的求导方法 (27)4.2.3 注意细节，避免错误 (28)5. 案例分析及解题思路 (29)5.1 一阶导数求法案例分析 (29)5.2 高阶导数求法案例分析 (30)5.3 复合函数求导案例分析 (30)5.4 隐函数求导案例分析 (31)5.5 参数方程求导案例分析 (32)5.6 微分公式及运算案例分析 (32)5.7 微分在近似计算中的应用案例分析 (33)5.8 微分在经济学中的应用案例分析 (33)6. 常见错误及注意事项 (34)6.1 求导过程中的常见错误 (34)6.2 微分运算中的常见错误 (36)6.3 注意事项总结 (37)7. 总结与展望 (38)7.1 导数与微分的重要性 (39)7.2 学习建议及展望 (40)1. 导数与微分题型概述导数和微分是数学中的重要概念，用于描述函数的变化率和通过微小变化对函数值的影响。
微分在近似计算中的应用
所以 sinx ≈sin0+ cos0 · x=x
所以 ln(1+x ) ≈x
由于 (ln(1+ x)) = 1/(1+x) 由于 (e x) =e x
所以 e x ≈ x
总结
1.微分的近似计算的方法就是利用函数曲线 在某点的附近的近似直线（切线）来计算函 数近似值的方法
2.如果函数在某点函数值及其导数值容易计 算时，就可以利用微分近似计算公式来计算 函数在该点附 .
解 设 f (x) = arctan x , 所以 f (x ) =(arctan x)=1/(1+x2)
设 x0=1, x=0.05 ，所以 f (1 ) =arctan 1= /4
由 得
f (1 ) =1/(1+12) = 1/2
f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x f (1.05 ) ≈f (1)+ f (1)· 0.05
4
0.025
当 |x| << 1 时， 由近似公式 f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x
即当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
f (x ) ≈f (0)+ f (0)· x 如当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
由于 (sin x) =cos x
微分在近似计算中的应用
淮南职业技术学院
什么是瞬时速度？
怎样计算函 数值呢？ 计算近似值也 是需要的。
切线方程： y=f (x0)+f (x0)(x-x0)
y = f(x) y0
x0
微分在近似计算中的应用 !
微分和其在近似计算中的应用
六、微分形式旳不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量 t 的可
微函数 x (t), 则
(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部(.微分旳实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
( x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
函数旳变化率问题
导数旳概念
函数旳增量问题
微分旳概念
求导数与微分旳措施,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用旳科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分旳联络: 可导 可微.
★ 导数与微分旳区别:
1. 函数 f ( x) 在点x0处的导数是一个定数 f ( x0 ),
而微分 dy f ( x0 )( x x0 ) 是x的线性函数, 它的
该函数的导数. 导数也叫"微商".
四、微分旳几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量 .
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
微分在近似计算中的应用
微分在近似计算中的应用微分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
其中，微分的近似计算在实际问题的求解中具有重要意义。
本文将从近似计算的思想、微分的近似计算方法以及应用实例三个方面，对微分在近似计算中的应用进行详细阐述。
一、近似计算的思想在实际问题中，我们往往需要求解一些复杂的函数或方程。
这些函数或方程可能没有解析解，或者解析解十分复杂难以计算。
此时，我们可以考虑利用微分的近似计算方法，通过对原函数进行适当的近似，得到问题的近似解。
近似计算的思想是基于函数的局部性质，即在一个小区间内，函数的变化是平滑且连续的。
我们可以选择一个足够小的区间，然后利用函数在该区间上的局部性质来近似整个函数的行为。
这种思想也体现了微分的基本概念，即通过函数的导数来描述函数变化的速率。
二、微分的近似计算方法微分的近似计算方法主要有以下两种：1.泰勒展开法泰勒展开法是一种基于泰勒公式的近似计算方法。
对于一个光滑的函数f(x)，其在其中一点a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。
当我们取展开式的前几项作为近似，可以得到：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)这也是函数f(x)在点a处的线性近似。
通过泰勒展开法，我们可以利用函数在其中一点的导数来近似整个函数的行为。
2.有限差分法有限差分法是一种基于函数的导数定义进行近似的方法。
对于一个函数f(x)，其在其中一点x处的导数定义为：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x))/h为了近似函数f(x)在其中一点的导数，我们可以选择一个足够小的步长h，然后计算f(x+h)和f(x)之间的差别，再除以步长h，得到近似的导数值。
函数的微分在近似计算中的应用
函数的微分在近似计算中的应用函数的微分在近似计算中有着非常重要的应用。
通过对函数进行微分，我们可以获得函数在其中一点的局部线性近似，从而可以用这个近似来进行计算。
这种方法有着广泛的应用，比如在工程、计算机科学、物理学等领域中经常会用到。
首先，函数的微分在近似计算中可以用来求解函数在其中一点的近似值。
通过对函数进行微分，我们可以得到函数在该点的切线，切线方程可以用来计算函数在该点附近的近似值。
这个方法可以用来解决很多实际问题，比如在物理学中，可以用来计算物体在其中一点的速度，加速度等。
其次，函数的微分在数值计算和优化问题中也有着广泛的应用。
在数值计算中，常常需要对函数进行数值积分或求解方程。
通过利用函数的微分，可以将这些计算问题转化为求解微分方程或微分方程组的问题，从而简化计算过程。
在优化问题中，函数的微分可以用来找到函数的最小值或最大值的位置。
通过求解函数的导数为零的方程，可以找到函数的极值点，从而解决优化问题。
此外，函数的微分在图像处理和计算机图形学中也有着重要的应用。
在图像处理中，常常需要对图像进行平滑、边缘检测等操作。
通过利用函数的微分，可以设计出滤波器等算法来实现这些操作。
在计算机图形学中，常常需要对曲面进行光线跟踪、着色等计算。
通过利用函数的微分，可以计算曲面在其中一点的法向量，从而进行光线跟踪等计算。
此外，函数的微分还在机器学习和数据分析中有着重要的应用。
在机器学习中，常常需要对损失函数进行最小化。
通过利用函数的微分，可以找到损失函数的最小值，从而进行模型学习。
在数据分析中，常常需要对数据进行拟合、回归等操作。
通过利用函数的微分，可以对模型进行参数估计，从而进行数据分析。
最后，需要指出的是，函数的微分在实际应用中并不是一种绝对准确的近似方法，因为近似值的精度取决于所选择的近似点。
如果近似点选得不好，那么近似值的误差就会较大。
因此，在应用函数的微分进行近似计算时，需要选择合适的近似点，并根据具体问题进行误差分析和合理的精度控制。
药学类高等数学教材
药学类高等数学教材高等数学是药学专业学生的必修课程之一，对于他们的综合素质提升起着重要作用。
药学类高等数学教材的编写应该符合药学专业学生的学习需求，内容应该具有一定的实用性和针对性，使学生能够更好地应对日后的临床工作和研究。
一、导言高等数学作为一门基础课程，为药学专业学生打好基础，并为学生们日后进一步学习统计学、生物数学等专业课程做好准备。
本教材的编写旨在帮助药学专业学生更好地理解和应用数学知识，为他们的专业发展奠定坚实的数学基础。
二、基本概念和基础知识2.1 数列和级数2.1.1 数列的定义和性质2.1.2 等差数列与等差级数2.1.3 等比数列与等比级数2.1.4 递推数列与递推级数2.1.5 收敛数列与收敛级数2.2 函数与极限2.2.1 函数的概念及性质2.2.2 一元函数的极限2.2.3 多元函数的极限2.2.4 极限存在准则2.2.5 无穷小量与无穷大量2.3 导数与微分2.3.1 导数的定义与性质2.3.2 高阶导数和导数的几何意义2.3.3 微分的定义与性质2.3.4 微分中值定理及其应用2.3.5 微分学的基本定理三、微分学的应用3.1 泰勒展开与近似计算3.1.1 泰勒公式3.1.2 泰勒展开的应用3.1.3 近似计算方法3.2 极值与最值3.2.1 极值与最值的定义3.2.2 极值的判定条件3.2.3 极值在药学研究中的应用3.3 曲线的几何性质3.3.1 曲线的凹凸性与拐点3.3.2 曲线的渐近线3.3.3 曲线的长度与面积计算四、积分学及其应用4.1 不定积分与定积分4.1.1 不定积分的定义4.1.2 定积分的定义与性质4.1.3 牛顿-莱布尼茨公式4.1.4 定积分的计算方法4.2 定积分的应用4.2.1 曲线下面积的计算4.2.2 定积分在药学领域的应用4.3 微积分基本定理4.3.1 第一、第二类微积分基本定理4.3.2 变上限积分4.3.3 微积分基本定理的应用五、概率论与数理统计5.1 概率的基本概念5.1.1 随机事件与样本空间5.1.2 概率的定义与性质5.1.3 条件概率与独立性5.1.4 事件的组合与计数5.2 随机变量与概率分布5.2.1 随机变量的定义与性质5.2.2 常见离散型概率分布5.2.3 常见连续型概率分布5.2.4 随机变量的数学期望与方差5.3 统计基础与参数估计5.3.1 抽样与抽样分布5.3.2 点估计与区间估计5.3.3 参数估计的常见方法六、附录：药学专业中常见的数学应用案例本教材附录部分列举了药学实践中常见的数学应用案例，如药物浓度的计算、剂量的调整、药物代谢动力学的分析等，以帮助学生将数学知识应用到实际生活中，增加学习的兴趣和动力。
高等数学教学过程中理论与实际相结合之“微分在近似计算中的应用”教学设计
第 33 卷 第 8 期2020 年 8 月江西电力职业技术学院学报Journal of Jiangxi Vocational and Technical College of ElectricityVol.33 No.8Aug.2020高等数学教学过程中理论与实际相结合之“微分在 近似计算中的应用”教学设计游磊（江苏旅游职业学院，江苏扬州 225000）摘 要：在高等数学中，微分和积分是微积分的两大重要分支，这足以说明“微分”的重要地位。
微分在数学、物理、工程等相关领域中有着非常重要的应用，而近似计算是在解决问题过程中常用的一种方法，是一个非常有效的解题工具。
分析利用微分把一些复杂的计算用简单的近似来代替，并对微分的数字设计进行探讨。
关键词：微分；近似计算；应用；教学设计中图分类号：O13；G642.4 文献标识码：B 文章编号：1673-0097(2020)08-0020-03The Teaching Design of "the Application of Differential in Approximate Calculation" in Advanced MathematicsYOU Lei(Jiangsu V ocational College of Tourism, Yangzhou 225000,China)Abs t ract: In advanced mathematics, differential and integral are two important branches of calculus, which is sufficient to illus trate the important position of "differential". Differential has very important application in mathematics, physics, engineering and other related fields. Approximate calculation is a commonly used method in the process of solving problems, which is a very effective problem-solving tool. This paper analyzes the application of differential to replace some complex calculations with simple approximations, and probes into the digital design of differential.Keywords: Differential; Approximate Calculation; Application; Teaching Design1 教学背景“高等数学”课程是高职院校工科各专业一门必修的公共基础课，也是提升学生综合素质不可缺少的一门重要课程。
微分及其在近似计算中的应用
9
复合函数的微分的求法
（1）用微分定义直接去求； （2）利用复合函数的微分法则去求。
（例1）4、求下y列函ln数s的in微x1分
解：
dy
1 sin
1
d (sin
1) x
1 sin
1
cos
1 x
d(1) x
1 x2
cot
1 x
dx
x
x
10
（2） y e13x cosx
解：
函数 y＝f(x)在点 x 处的微分 dy 就是曲线 y＝f(x)在点
M (x , f (x )) 处的切线的纵坐标对应于 x 的增量。
例1、 计算函数 y＝ x 2 在点 x 1处的微分。
解： dy y dx 2dx 。 x1
例 2、求函数 y ln(1 2x) 在点 x 1处的微分。
dx (t)dt
dy f (t)dt
dy f (t)dt f (t) dx (t)dt (t)
19
x 例 9、设
y
t t
1 t
1
，求dy dx
。
t
解： dx (1 1 )dt t2
dy
(1
1 t2
)dt
1 1 dy t 2
t2 1
dx 1 1 t 2 1
t2
20
例
10、已知椭圆的参数方程为xy
s gtt 1 (t)2 s gtt s(t)t
2
2
二、微分的概念
y
y＝f（x）
M
y
P
Q
O
x
x x x O
y＝f（x）
M
T
P
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即 y 2x0 x f '( x0 ) x
x0
这个结论具有一般性
x
x
x0 x
x0 x
x0
y 设 y f ( x) 在点 x 处可导, lim 即 f ( x), x 0 x y f ( x) ( 是 x 0时的无穷小量), 因而 x y f ( x)x x ( lim 0),
例3. 用微分的不变性求下列函数的微分： x (2) y esin x (1) y ln(1 e ) ex dx (1)dy d ln(1 ex ) 1 x d(1 e x ) 解： x 1 e 1 e sin x (2)dy d(e ) esin x d(sin x) cos x esin xdx 例4 在等式左端的()中填入适当的函数,使等式成立
1 (2)d(ln(1 x) C ) 1 x 1 (4)d( dx x C ) 2 x (6)d(sin 2 x) ( 2sin x )dsin x
小结
微分的定义及其求法
作业
P25 6（3）（4）
P27 10、11
ln 0.99 ln[1 (0.01)] 0.01
练习 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立
(1)d(
2x C ) 2dx
1 1 C ) 2 dx (3)d( x x e2 x (5)d( ) e 2 xdx C 2 1 (7) dx ( 1 )d(arctan2 x) 1 4 x 2 2
dx
(2 x tan x x sec x)dx
2 2
练 1、 求函数 y x 2 1在 x 1, x 0.1时的改变量与微分.
解： y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.1) f (1)
(1.12 1) (12 1) 0.21 dy y ' dx ( x 2 1)' x1 x 2 0.1 0.2
求下列函数的微分： 2、 2 (2) y ln x 2 (1) y 1 x
3、微分的几何意义
MT 如图， 为曲线在点 M ( x, y )处的切线， f '( x) tan 得到曲线上另一点N ( x x, y y) 当 x 有增量 x 时， 由图可知 QP MQ tan x tan xf ( x) f ( x)dx =dy
x0
x的线性主部
x 0,可忽略不计
由此， y f '( x) x 把 f '( x) x 称为 f ( x) 在点 x 处的微分
2、微分的定义
定义1 设函数 y f ( x) 在点 x 处可导,称 f '( x) x
也称函数可微. 为函数 f ( x) 在点 x 处的微分, 记为 dy 或 df ( x).即 dy f '( x) x
2
例2 求函数的微分: (1) y lnsin x (2) y x tan x 解
(1) dy d (lnsin x) (ln sin x)dx cos x dx cot xdx sin x 2 (2)dy d( x tan x) ( x 2 tan x)dx
求函数的微分就 是求导后乘
1 x2 (3) y 1 x2 x 2 2 dx 解： dy d ( 1 x ) ( 1 x )' dx (1) 2 1 x 2 2 2 (2) dy d (ln x ) (ln x )' dx dx ' x 2 1 x 1 x2 (3) dy d dx 4 x2 2 dx 1 x2 1 x2 (1 x )
§3.3 微分及其在近似 计算中的应用
一、微分的概念
二、微分的运算
三、微分的近似计算公式
教学目的
使学生掌握微分的定义及其计算； 使学生会使用近似计算公式计算.
重 难
点：微分的定义 点：微分形式的不变性
复习
默写十六个导数公式及和差积商求导法则.
一、微分的概念
1、引例
受热, 边长有增量 x , 设正方形金属薄片边长为 x0 , 则 y x0 x 2 x0 = 2x0 x + x 2 2x0 x 是 x的线性函数,当 x 很小时, x 2 可忽略不计
2、微分法则
设 u u ( x), v v( x) 都是可微函数，则 (1)d(u v) du dv (2)d(uv) vdu udv u vdu udv (v 0) (3)d( ) v v2
3、复合函数微分法则
无论u 是中间变量还是自变量, 函数 y f ( x)的微分 都是 f (u )du , 这个性质称为微分形式的不变性．
(10)d(cot x) csc 2 xdx (11)d(sec x) sec x tan xdx (12)d(csc x) csc x cot xdx 1 1 dx (13)d(arcsin x) dx (14)d(arccos x) 2 1 x 1 x 2 1 1 (16)d(arccot x) dx (15)d(arctan x) dx 2 1 x 1 x 2
即微分 dy 是曲线 y f ( x ) 在点 M ( x, y ) 处的切线的纵坐标改变量yຫໍສະໝຸດ y f ( x)T
N
P M
y
dy
Q
o
x0
x0 x
x
二、微分的运算
1、微分公式 (1)d(C ) 0
(3)d(a x ) a x ln adx 1 (5)d(log a x) dx x ln a (7)d(sin x) cos xdx (9)d(tan x) sec2 xdx (2)d( x ) x 1dx (4)d(e x ) = e x dx 1 (6)d(ln x) dx x (8)d(cos x) sin xdx
三、微分的近似计算
当 x 很小时,由微分近似公式,可推导出 工程常用近似公式：
sin x x tan x x ( x的单位是弧度)
ln(1 x) x
n
e x 1 x
1 1 x 1 x ( n为正整数) n 例如 2 1.05 1 0.05 1 1 0.05 1.025 2 3 1.006 3 1 0.006 1 1 0.06 1.02 3 e 0.05 1 0.05 1.05
(1)d(
) x 2dx
(2)d(
) cos6 xdx
解：(1) Q d( x3 C ) 3x2dx x3 1 3 x2dx d( x C ) d( C ) 3 3 (2) Q d(sin6 x C ) 6cos6 xdx
cos6 xdx 1 d(sin6 x C ) d( 1 sin6 x C ) 6 6
对于 y x , 有 dy dx ( x)' x x 即 dx x
因此微分常记为 dy f '( x)dx
dy f '( x ) dy f '( x)dx dx 这说明导数 等于函数的微分 dy 与自变量 的微分 dx
之比, 因此导数又称微分的商, 简称微商．
例1
求 y x 在点 x 1处当x 0.01时的增量 y 与微分 dy．
2
解
y f ( x x) f ( x) f (1.01) f (1) (1.01)2 12 0.0201 dy f '( x)dx ( x 2 ) x1 x 2 1 0.01 0.02