2015春七年级数学下册 8.4 因式分解《提公因式法》教案3 (新版)沪科版

《提公因式法》
教学目标：
掌握提公因式法.
教学重点：
会利用提公因式法进行计算.
教学过程
用字母表示分配律的等式m（a+b+c）=ma+mb+mc①
这个式子表明了两个因式相等所得的结果，结果是一个多项式，其中各项都含有一个公共的因式m．
把①式反过来写，就是ma+mb+mc=m（a+b+c）②
这个式子表明：如果一个多项式的各项都含有一个公共的因式m，那么这个多项式可化为因式m与另一个因式的积．这种把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
①式是做整式乘法，②式是进行因式分解，由此可以看出因式分解正好与整式乘法相反，就是说，因式分解是整式乘法的逆变形．
看多项式ma+mb+mc，各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．
也就是，多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，可以把公因式m提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成因式m与a+b+c乘积的形式：ma+mb+mc=m（a+b+c）．这里的m既可以是单项式，也可以是多项式．
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
下面，我们用提公因式的方法把一些多项式分解因式．
1．公因式是单项式的类型
例1 把8a3b2－12ab3c分解因式．
解：8a3b2－12ab3c
=4ab2·2a2－4ab2·3bc
=4ab2（2a2－3bc）
说明：怎样提公因式呢？公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．
例2 把3x2－6xy+x分解因式．
解：3x2－6xy+x
=x·3x－x·6y+x·1
=x（3x－6y+1）
说明：提公因式后，不能出现漏项的情况，1作为项的系数，通常可以省略不写，但如果单独成一项时，如例2中的x，它在因式分解过程中不能漏掉，检查是否漏项的方法是用乘法进行验证．
例3 把－4m3+16m2－26m分解因式．
解：－4m3+16m2－26m
=－（4m3－16m2+26m）
=－2m（2m2－8m+13）
说明：如果多项式首项的系数是负的，一般要提取“－”号，使括号内的第一项系数是正的，在提取负号时，多项式的各项都要变号．
2．公因式是二项式或三项式乘方的类型．
例4 把2a（b+c）－3（b+c）分解因式
解：令m=b+c，则：
2a（b+c）－3（b+c）
=（b+c）（2a－3）
例5 把6（x－2）+x（2－x）分解因式．
解：6（x－2）+x（2－x）
=6（x－2）－x（x－2）
=（x－2）（6－x）
例6 把18b（a－b）2－12（a－b）3分解因式．
解：18b（a－b）2－12（a－b）3
=6（a－b）2·3b－6（a－b）2·2（a－b）
=6（a－b）2[3b－2（a－b）]
=6（a－b）2（3b－2a+2b）
=6（a－b）2（5b－2a）
例7 把5（x－y）3+10（y－x）2分解因式．
解：因为（y－x）2=[－（x－y）]2=（x－y）2所以：
5（x－y）3+10（y－x）2
=5（x－y）2·（x－y）+5（x－y）2·2
=5（x－y）2（x－y+2）
说明：（1）进行因式分解时常用的一些等式：
b－a=－（a－b）；
（b－a）2=（a－b）2;
（b－a）3=－（a－b）3.
（2）在提公因式后的多项式因式里，如果有同类项，要合并同类项，如例6；如果化简后的因式化为单项式，要把单项式因式写在前面，如
（m+n）（p+q）－（m+n）（p－q）
=（m+n）[（p+q）－（p－q）]
=（m+n）（p+q－p+q）
=（m+n）·2q=2q（m+n）。